（基础数学专业论文）banach空间的几种凸性与光滑性之探讨.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文捅要 b a n a c h 空间的凸性与光滑性研究是b a n a c h 空间几何理论中的重 要研究内容之一b a l l a c h 空间几何理论的研究是从b a l l a c h 空间单位 球的凸性开始的，由于凸性具有非常鲜明的直观几何意义，凸性的研 究吸引了无数的数学工作者，人们详细地讨论了各种凸性的性质和它 们在最近逼近以及不动点理论中的应用光滑性，一方面作为凸性的 对偶性质而提出的，另一方面，它与范数( 一种特殊的凸函数) 的各种 可微性质有密切关系，因此也得到了深入的研究由此可见，b a n a c h 空间的几何研究中凸性与光滑性的研究占据着重要地位，而合理引进 并讨论与某种凸性具有对偶关系的光滑性( 或与某种光滑性具有对偶 关系的凸性) ，对于揭示凸性( 或光滑性) 的本质和建立凸性与光滑性 之间的对偶理论有重要意义 到目前为止，b a n a c h 空间的凸性与光滑性研究虽然已比较完善， 但是由一些已知的凸性和光滑性直接推广的某些k 一凸性和弘光滑性 的研究还不是很完善，本文中进一步探讨了b a n a c h 空间中的某些肛 凸性与肛光滑性，并研究了它们与已知的肛凸性与尽光滑性的联系， 也得到了较好的结果，全文共分为三章 第一章：在本章中，发现了两类新的b a n a c h 空间，并给出了其特 征刻画，所发现的这两类新空间分别是k 一非常极凸和k 一非常极光滑 空问( 它们是一对对偶概念) ，并且分别是非常极凸和非常极光滑空间 概念的推广证明了k 一非常极凸( k 一非常极光滑) 空间是严格介于 足一一致极凸和k 一非常凸( 肛一致极光滑和k 一非常光滑) 空间之间 的一类新的b a n a c h 空间，并举例说明了k 一非常极凸( k 一非常极光滑) 空间和k 一强凸( k 一强光滑) 空间之间不存在蕴含关系，证明了k 一非 常极凸( k 一非常极光滑) 空间蕴涵( k + 1 ) 一非常极凸( ( k + 1 ) 一非常极 光滑) 空间，但反过来不成立 第二章：自1 9 9 8 年以来，在b a n a c h 空问 性与光滑性研究方面 出现了两种k 一极凸概念，虽然它们都是b a n a c h 空间的凸性，但它们 都不是k 一极光滑的对偶概念在本章中重新给出了合理的k 一极凸概 念，说明了它确实是k 一极光滑的对偶概念，并且是严格介于上述两 堕矍直堕蔓奎兰塑主兰篁丝塞 种凸性之间的一种新凸性，还讨论了它的基本性质以及它与其它凸性 之间的关系 第三章：本章中引入了平均一致光滑空间，并说明了它确实是平 均一致凸空间的对偶概念，给出了它的性质和特征刻画及它与其它光 滑性之间的关系 关键词：实b a n a c h 空间，k 一非常极凸空间，k 一非常极光滑 空间，k 一极凸空间，平均一致光滑空间 a b s t r a c t i n 血i st h e s i s ，w em a i n l ye x p l o r cm ec o n v e x i t ya 1 1 ds m o o t l 1 e s so f b a j l a c hs p a c e s ，a n dd i s c u s st h e i rr e l a t i o n so fs 0 i n ec o n v e x 埘a n d s m o o t h n e s s ，w h i c hh a v eb e e nk n o w n i nt h ep r o c e s so fm ys t u d y ，ih a v e o b t a i n e ds o m ep r o d u c t i v er e s u l t s t h i sp 叩e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nc h a p t e ro n e ，t h ec o n c e p t i o n so f 尽v e 巧e x t r e m e l yc o n v e x 时a n d 群v e d ，e x t r e 】n e l ys m o o t h n e s sa r ei n t r o d u c e da sg e n e r a l i z a t i o n so fv e w e x t r e m e l yc o n v e x i t ya n dv e 巧e x t r e m e l ys m o o t h n e s s 1 t i ss h o w nt h a t k v e r ye x t r e m e l yc o n v e x ( r e s p e c t i v e l y k v e r ye x t r c m e l ys m o o m ) s p a c e s l i e ss t r i c t l yb e 眦e e n 群u n i f b 咖1 ye x t r e m e l yc o n v e xa i l d 群v e 巧c o n v c x ( r e s p e c t i v d y k m n i f o m l ye x t r e n l e l ys m o o t ha n d 妊v e r ys m o o t h ) s p a c e s t h e r ei sn oi n c l u s i o nr e l a t i o n sw i t l lt h ec l a s so fk - v e 巧e x t r e m e l yc o n v e x a n d 尽s t r o n g l yc o n v e x( r e s p e c t i v e l y 妊v e 口 e x t r e m e l ys m o o t h a i l d 群s t r o n 9 1 ys m o o m ) s p a c e s i ti sp r 0 v e dt h a tk 二v e 哆e x t r e m e l yc o n v e x ( r e s p e c t i v e l y k 二v e qe x t r e m e l ys m o o t h )s p a c e s i n c l u d e ( 氐斗1 ) 一v e 巧 e x t r e m e l yc o n v e x ( r e s p e c t i v e l y ( k + 1 ) 一v e 巧e x t r e m e l ys m o o t h ) s p a c e s h o w e v e r m ec o n v e r s ei n c l u s i o ni sn o tn e c e s s a r i l yt r u e t h es o m en e c e s s a r ya n ds u 舔c i e n tc o n d i t i o n sf o rab a n a c hs p a c et ob ek 二v e 巧e x t 陀m e l y c o n v e xs p a c e so rk v e r ye x t r e m e l ys m o o t hs p a c e sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e rt w o ，w es h o wt h a tx i a nj u na l l dh hc h a n g s o n g sn o t i o n o f尽e x t r e m e l yc o n v e x i t ya n dh er e n y i s n o t i o no f 尽e x 仃e m e l y c o n v e x i t ya r en o tt h ed u a l i t yn o t i o no fk e x t r e m e l ys m o o t h n e s s w e p r o p e r l yi n t r o d u c et h en o t i o no fk - e x t r e m e l yc o n v e x i t y ，a n ds h o wt h a t t h ek e x t r e m e l yc o n v e x i t yw h i c hw ei n t r o d u c ei sj u s tt h en o t i o no f d u a l i t yo fx i a nj u na n dh uc h a n g s o n g sk e x t r e m e l ys m o o t h n e s sa n d l i e ss t r i c t l yb e t w e e nt h ex i a nj u na n dh uc h a n g s o n g sn o t i o no f 塑茎查堕垄奎兰堕主兰篁笙窭 一一 一一 娶e x t r e m e l yc o n v e x i t y 锄dh er e n 如sn o t i o no f 尽e x t r e m e l yc o n v e x l 够 i na d d i t i o n ，w eo b t a i ns o m ep r o p e n yo f t h i sk i n do fc o n v e x i t ya n ds t u d y t h er e l a t i o nb e t 、) l ，e e nt h a tw i mv 撕o u sc o n v e x 蚵 i nc h a p t e rt h m e ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no fa v e r a g eu m t o m l l y s m o o t l ls p a c e s ，w h i c hi st h ed u a lo fa v e m g el l i l i f o 衄l yc o n v e xs p a c e s i e ，x i sa v e r a g eu n i f 0 m l yc o n v e xs p a c ei fa n do n l y i f 爿i sa v e r a g e u n i f o r m l ys m o o t hs p a c e ，a j l d x i sa v e r a g eu n i f o n n l ys m o o t hs p a c e sl f a n d0 n l yi f xi sa v e r a g eu n i f o 彻l yc o n v e xs p a c e a l s o ，w es h o w t h a tt h e r e l a t i o n sa m o n gt h ea v e r a g eu n i f o r n ls m o o t l l i l e s sa 1 1 do t h e rs m o o 岫e s s l ( e yw o r d s ：r e a lb a n a c hs p a c e s ，尽v e 拶e x t r e m e l yc o n v e x s p a c e s ，尽v e r ye x t r e l ：1 1 e l y s m o o t hs p a c e s ，尽e x t r e m e l yc o n v e xs p a c e s ， a v e r a g eu n i f i o n n l ys m o o t hs p a c e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签日期：腓6 关于论文使用授权的说明 月乃弓日 7 萎霎恭姓触触鬣0 。霞i 摊力j 1言篓芦锶1 月v 飞日 b 锄a c h 空间的几种凸性与光滑性之探讨 引言 自1 9 3 2 年波兰著名数学家s b a n a c h 的名著“n e o r i ed e s0 p 酬i 0 1 l sl i i l e a i r e s ” 问世以来，b 卸a c h 空间即受到广泛的重现与研究，所形成的理论被称为b 锄a c h 空间理论，是现代泛函分析最基础、最重要的组成部分，如今，它已被广泛的应 用于数学的许多分支以及近代物理、优化理论等学科中 b a i l a c h 空间是比h i l b 瞰空问更广泛的一类空间，b a j l a c h 空问的各种凸性和 光滑性乃至范数可微性的研究，在最佳逼近、不动点理论中有重要应用1 9 6 7 年， j j s c h a f l 衙考虑b a l l a c h 空间单位球的内度量性质，引入了单位球的g i m l 曲线， 研究b 锄a c h 空间之间接近等距性质，讨论了平坦空间；1 9 6 8 年，e a s p l l l n d 从 凸函数的可微性角度引入强可微和弱可微空间，后来被称之为a s p l u n d 和 w 二a s p l u n d 空问特别是1 9 6 7 年m a r i e 仃e l 将向量测度r a d o n n i k o d y m 定理与 b a l l a c h 空间中有界集的“可凹性”联系起来，使人们能进一步研究这种称之为 r n p 性质的空间，将b 锄a c h 空间理论( 特别是几何理论) 的研究推向了一个新的 高潮 b a n a c h 空问的凸性与光滑性的研究是b a n a c h 空间几何理论中的重要研究内 容之一，b a i l a c h 空间几何理论的研究( 当然包括凸性与光滑性的研究) 最早是从 b a i l a c h 空问单位球的凸性开始的，j a c 1 a r k s o n 1 于1 9 3 6 年引入一致凸空间并 在这种空间中讨论了向量测度r a d o n n i k o d y m 定理，从而为这方面的研究指明 了方向，尔后，人们又引入了各种凸性，并讨论了它们的基本性质以及在最佳逼 近及不动点理论中的应用光滑性，一方面作为凸性的对偶性质而提出的，另一 方面，它与范数( 作为一种特殊的凸函数) 的各种可微性有密切关系( 如b 蚰a c h 空 间单位球上的( 强) 光滑点等价于( f r e c h e t ) g a t e a u 】一可微点) ，因此也得到了深入 的研究 1 9 6 0 年，i s i n g e r 2 为了研究最佳逼近问题，把b a n a c h 空间的严格凸的概念 推广为k 一严格凸性，1 9 9 0 年，南朝勋和王建华 3 引入了k 一光滑和k 一强光 滑概念，讨论了k 一光滑和k 一强光滑空问的一些重要性质，并指出k 一严格凸 和k 一光滑性具有对偶性不久，x uj i - h o n g 4 给出了k 一严格凸和k 一光滑性 与连续泛函的保范延拓之间的关系，从而推广了t a y l o r f a u g d 经典结果， 由 此可见，合理引进并讨论与某种凸性具有对偶关系的光滑性或与某种光滑性具有 对偶关系的凸性，对于揭示凸性( 光滑性) 的本质和建立凸性与光滑性之问的对偶 内蒙古师范大学硕士学位论文 理论有重要意义 1 9 7 9 年，f s u l l i v 趾 5 推广了一致凸空间的概念，利用尽维体积来引入了弘 一致凸和局部弘一致凸( 简记为k 一凇或麒一隙) 空间随后国内外学者们对 k 一獬和丛一凇进行了大量的研究，得到了许多令人鼓舞的结果，但是还不知 道与k 一瞅( 或以一隙) 具有对偶关系的尽一致光滑( 或局部k 一一致光滑) 空 间如何来定义，1 9 8 4 年，vi i s t r a t e s c u 6 中引入了一种k 一一致光滑空间的概 念，但是他所给出的足一一致光滑空间等价于与通常的一致光滑空间( 见文献 7 ) 1 9 9 7 年，苏雅拉图和吴从忻 8 从对偶的角度出发首先给出了k 一一致光滑 空间( 简记为k 吣) 的确切定义，并证明了它确实是足一一致凸空间的对偶概念 且l 吣是一致光滑空间，1 泌j 2 硼j j 删s j ( k + 1 1 珊，( k + 1 ) 珊殷靥，从 而才真正把一致光滑空问的概念推广为尽一致光滑空间此后尽凸性与肛光滑 性的研究进入空前的发展阶段，并且它们之间的相互联系也得到了广泛的研究 笔者在阅读相关文献的过程中发现以下两类问题：对于k 一凸性与尽光 滑性的研究还不是很完善，某些已知的凸空间与光滑空间还可以进一步推广为某 种k 一凸空间与k 一光滑空问；某些凸性的对偶概念尚未被引入和研究1 9 8 6 年，刘世伟 9 中引入了很极光滑( 在这里称其为非常极光滑) 、一致极光滑的概 念，以后，许多工作者对这几种极光滑性进行了大量的研究，但在很长一段时 间内相应的极凸性的研究却很少1 9 9 7 年，苏雅拉图 1 0 中引入了极凸的概念， 1 9 9 8 年，罗先发 1 1 中引入了非常极凸的概念，但文 1 0 中极凸概念和文 1 1 中非常极凸概念未能明显体现与极光滑和非常极光滑之间的对偶关系而显得不 够合理，1 9 9 9 年郝飞 1 2 注意到了这一点，并重新给出了极凸和非常极凸的概 念，证明了所给出的这两个概念分别是极光滑和非常极光滑的对偶概念笔者在 文 9 和文 1 2 的基础上引入了肛非常极凸与肛非常极光滑的概念，证明了它们 具有对偶性，并研究了它们与已知的足一凸性与足一光滑性的关系，所得到的结 果完全蕴含了文 1 2 中关于非常极凸和非常极光滑的所有结果，这是我的硕士论 文中的第一个主要工作 1 9 9 8 年何仁义 1 3 引入了k 一极凸空问的概念( 注：当时，k 一极光滑空间 的概念还没有被发现，该文中也没有引入肛极光滑空间的概念，因此，在该文 中未涉及到k 一极凸概念和足一极光滑概念是否具有对偶性的问题事实上，该 文所引入的肛极凸不是真正意义上的确切的弘极凸概念，故无从谈起与真正意 b 锄a c h 空间的几种凸性与光滑性之探讨 义上的确切的群极光滑概念成为对偶的问题) ，并把七= l 的时称为极凸2 0 0 1 年冼军 1 4 说明了何仁义 1 3 引入的极凸与苏雅拉图 1 0 引入的极凸的概念并 不是同一概念，并在文 1 0 的基础上引入了尽极凸概念，由于文 1 4 的肛极凸 概念是基于不太合理的极凸概念而建立的，因而也不可能体现与肛极光滑空间 的对偶性( 注：虽然文 1 4 的尽极凸概念不够合理，但是文 1 4 的弘极光滑概 念确实是真正意义上的确切的肛极光滑概念) 这样以来，真正意义上的确切的 尽极凸概念到目前为止尚未被引入，笔者对文 1 2 中的极凸概念进行推广，重 新给出了尽极凸的概念，证明了肛极凸与尽极光滑是一对对偶概念并研究了 它们与已知的尽凸性的关系，所得到的结果完全蕴含了文 1 2 中关于极凸和极 光滑的所有结果，这是我的硕士论文中的第二个主要工作 2 0 0 2 年，白国仲引进了平均一致凸的概念，但是它的对偶概念还尚未被引 入，笔者引入了平均一致凸空间的对偶概念平均一致光滑空间，并建立了它 们之间的对偶定理，还讨论了它与其它已知光滑性之间的关系，这是我的硕士论 文中的第三个主要工作 全文共分为三章 第一章：非常极凸空间的推广及其对偶空间 本章中引入了k 一非常极凸空间和k 一非常极光滑空间的定义，给出了它们 的性质和若干特征刻画，建立了它们之间的对偶关系，并讨论了k 一非常极凸性 ( k 一非常极光滑) 与已知k 一凸性、k 一光滑性之间的关系，本章中给出的k 一 非常极凸和足一非常极光滑的概念分别是非常极凸和非常极光滑概念的自然推 广，特别的，在足= 1 的情形下的结果完全包含了关于非常极凸空间与非常极光 滑空间的全部结果本章中还给出了这两类空问的一些重要性质，证明了k 一非 常极凸空间( 足一非常极光滑空间) 是严格介于k 一一致极凸空问和k 一非常凸空 间( k 一一致极光滑空问和k 一非常光滑空问) 之间的一类新的b a n a c h 空问，并举 例说明了k 一非常极凸空问( 足一非常极光滑空间) 和足一强凸空间( k 一强光滑 空间) 之间不存在蕴含关系 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下列文章：非常极凸空间的推 广及其对偶空问( 已投数学年刊) 第二章：极凸空间的推广及其对偶空问 自1 9 9 8 年以来，在b a n a c h 空间凸性和光滑性研究方面出现了两种肛极凸 概念，虽然它们都是b 锄a c h 空问的凸性，但它们都不是尽极光滑的对偶概念 内蒙古师范大学硕士学位论文 本文中重新给出了合理的尽极凸概念，说明了它确实是k 一极光滑的对偶概念， 并且是严格介于上述两种凸性之间的一种新凸性，还讨论了它的基本性质和其与 其它凸性之间的关系特别地，在足= 1 的情形下的结果完全包含了关于极凸空 问与极光滑空间的全部结果 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下列文章：关于肛极凸空间 的几点注记( 已投数学杂志) 第三章：平均一致光滑空间 本章中引入了平均一致凸空间的对偶空间平均一致光滑空问，给出了它 的性质和特征刻画，证明了所引进的平均一致光滑性与白国仲引进的平均一致 凸性，恰好是一对对偶概念，证明了z 。是平均一致凸空间当且仅当x 是平均一 致光滑空间，x 是平均一致光滑空间当且仅当x 是平均一致凸空间，并且研究 了平均一致光滑与其它光滑性之间的关系 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下列文章：平均一致凸空间与 平均一致光滑空间( 内蒙古师范大学学报，已接受) 4 第一章非常极凸空间的推广及其对偶空间 第一章非常极凸空间的推广及其对偶空间 就b 锄a c h 空间凸性( 光滑性) 理论的研究而言，给定了两种凸性( 光滑性) ， 并且其中的一种凸性( 光滑性) 弱于另一种凸性( 光滑性) 时，探索并寻找严格介于 这两种凸( 光滑) 空间之间的新的凸( 光滑) 空间的问题是b a n a c h 空间凸性( 光滑 性) 理论研究中的重要而有意义的研究课题，它有助于弄清这两种凸性( 光滑性) 的强弱差异到底到什么程度，且对b a n a c h 空间几何理论的发展起到促进作用 1 9 7 7 年，s m 确和s u l l i v 锄 1 5 中引入并研究了b 锄a c h 空间的极光滑、强极 光滑等性质1 9 8 6 年，刘世伟 9 引入了很极光滑( 在这里称其为非常极光滑) 和 一致极光滑的概念，给出了b a n a c h 空间具有这些性质的充分必要条件，并研究 了它们的一些性质1 9 9 8 年，罗先发在文献 1 1 中引入了很极凸的概念，但未能 明显体现和很极光滑的对偶性，因而显得不够合理2 0 0 2 年，郝飞在文献 1 2 中 重新定义了很极凸，并称其为非常极凸，证明了它与非常极光滑是一对对偶概念 我们在学习过程中发现，非常极凸和非常极光滑的推广形式尚未出现，因此，研 究以下两个问题将是很有意义的事情： 如何对非常极凸和非常极光滑的概念进行推广，进而，能否给出合理的 尽非常极凸和弘非常极光滑的概念? 所引进的尽非常极凸和肛非常极光滑空间到底具有那些性质? 肛非常 极凸( 肛非常极光滑) 与其它各种已知的弘凸( 肛光滑) 有什么联系? 更进一步， 群非常极凸( 尽非常极光滑) 是否严格介于某两种已知的肛凸( 尽光滑) 之问? 本章的目的就是着手解决上述两个方面的问题 1 1 基本概念及引理 文中所涉及的空间x 为实b a l l a c h 空问，x 是b a n a c h 空问x 的共轭空间， x “表示石的二次共轭空问，采用以下符号： b a j l a c h 空问x 的单位球和单位球面分别用u ( x ) = 工ix x ；忙i l l 和 s ( x ) = 工i 工，h l = 1 表示，u ( x ) 和s ( ) 可类似定义；对x s ( x ) ，记 墨= 厂i s ( r ) ，厂( 对= 1 = 删 ，对厂s ( x ) ，记4 = 阳x s ( 砷，( 砷= 1 = ) x 中元列 弱收敛于x 时，记为l 惦x 中元列 正j 弱收敛于厂时，记 为z ! o 用j j ：x x ”表示典型嵌入映像，即对任意的x 及x x ， 以( x ) ( ) = 厂( x ) 在典型嵌入映像下，以作为x “的子空问与x 等距同构，因此， 内蒙古师范大学硕士学位论文 常把x ( 彳) 中的元看成工。( x ”) 中的元用彳h ，而，) 表示由x 中的七+ 1 个点一，j f 2 ，赡+ 。所围成的七维体积，其中 爿c而，屯，赡+，=哪划二妻?二量；二参l：石，正，五5cx， 在厂s ( x ) ，使石f 定义1 1 2 n j x 为非常极凸的当且仅当对w s ( x ) ， ， z 。) s ( x “) ， 当z ( ) 寸1 ，成+ ( 厂) 一1 时，有c r 与o ( 或等价地，对v 厂s ( x + ) ， x ：) s ( x ”) ，当( ) 专l 时，存在x ”量，使得c b ，) 定义1 1 3 2 1 若对任意的 薯) ：1cx ，当艺to ：艺盹l i 时，毛，艺，+ 。线性 相关，则称x 为足一严格凸空间 定义1 1 4 1 1 6 j 若x 是k 一光滑空间且对坛s ( 砷， c s ( f ) ，当z ( 力_ 1 时， z ) 为相对弱紧集，则称x 为足一非常光滑空间 定义1 1 5 l l j 若x 是k 一严格凸空间且对v x s ( x ) ， 工。 cs ( z ) 及某个 厂s ，当厂( 毛) 寸1 时， ) 为相对弱紧集，则称x 为k 一非常凸空间 定义1 1 6 1 1 7 1 若x 是k 一严格凸空间且对坛s ( x ) ，当 矗 cs ( x ) 及 某个厂最，当( ) 斗1 时， 为相对紧集，则称x 为足一强凸空间 定义1 1 7 1 3 j 若x 是k 一光滑空问且对垤s ( x ) ，当 z c s ( x ) ，z ( x ) 斗l 时， ) 为相对紧集，则称x 为足一强光滑空间 定义1 1 8 叫称x 为足一一致极凸的，若对v 厂s ( x ) ， 研 ：c s ( x “) ，当 g ( 厂) 一l 时，有爿( 吖，q ，g a ) 斗o ( ，l j ) 定义1 1 妒川称x 为尽一致极光滑的，若vg s ( x “) ， z 4 ：1c s ( x + ) ，当 g ( ，”) 斗1 时，有一( 石”，刀，尼。) 寸o ( n 寸0 0 ) 定义1 1 1 0 【伸j 称工x 为 cx 的弱极限点，若存在 ) 的子序列 ) ，使得弱收敛于工 引理1 1 1 f 1 8 j 若x 是尽一致凸空问，则x 为肛一致极凸空问；若x 是弘 致光滑空问，则x 为肛一致极光滑空间 引理1 1 2 1 3 l l 一严格凸与严格凸等价；k 一严格凸蕴涵( k + 1 1 一严格凸 6 第一章非常极凸空间的推广及其对偶空间 引理1 1 3 1 3 jl 一光滑与光滑等价；肛光滑蕴涵( k + 1 ) 一光滑 引理1 1 4 1 3 j x 为足一严格凸空问的充分必要条件是对任意的，s ( f ) ，有 d i m 爿，k ( 其中d i m 彳，表示么，的线性维数) ；x 为肛光滑空间的充分必要条件 是对任意的x s ( x 1 ，有d i m s ，k 引理1 1 5 【3 j 若f 是尽严格凸空间，则x 为肛光滑空间；若f 是肛光滑空 间，则x 为弘严格凸空间 引理1 1 6 【3 jx 是肛强光滑的当且仅当工自反、尽严格凸且具有( 功性质 引理1 1 7 【1 7 j 若是尽强光滑空间，则x 为肛强凸空间；若x 是肛强凸 空间，则x 为弘强光滑空间 引理1 1 8 【1 6 j 若是肛非常光滑空间，则x 为肛非常凸空间：若工是肛非 常凸空间，则x 为艮非常光滑空间 引理1 1 9 1 1 3 j 若f 是k 一一致极光滑空间，则x 为k 一一致极凸空间：若 是k 一一致极凸空间，则x 为k 一一致极光滑空间 引理1 1 1 0 【”j 设x 为b 锄a c h 空间，则下列命题等价：( 1 ) x 为k 一一致极 光滑空间；( 2 ) x 是足一强光滑空间且自反；( 3 ) x 是娶严格凸且对v g 剐r ) ， c s ( x + ) ，当g ( z ) 斗1 时， z 为相对紧集 引理1 1 1 1 【l l j 设x 为b 锄a c h 空间，则下列命题等价：( 1 ) x 为k 一一致极 凸空间；( 2 ) x 是k 一强凸空间且自反；( 3 ) x + 是k 一光滑空问且对v ，s ( r ) ， q c s ( x ”) ，当瓯( 工) 寸1 时， q 为相对紧集 引理1 1 1 2 若x 是k 一非常光滑的，则x 是自反的 1 2k 一非常极凸空间的定义及其性质 定义1 2 1 若肖是k 一严格凸空间且对可s ( f ) ， ) c 5 ( r ) ，当( 厂) 一1 时， ” 为相对弱紧集，则称石为k 一非常极凸空间 定理1 2 1 设x 为b a n a c h 空间，则下列命题等价： 口) x 是k 一非常极凸空间； 6 1x 是自反的k 一严格凸空间； c 1x “是k 一非常凸空问； d ) 对v s ( ) ， cs ( x ”) ，当+ ( 厂) j 1 ( 以j 。d ) 时， z 为相对弱 紧集，且 x ： 最多只有k 个线性无关的弱极限点 证明口) j 6 ) 显然，x 是k 一严格凸的，故只证明自反性对v 厂s l f ) ， 7 堕蒌直堕翌奎兰塑主兰垡堡奎 一 由b i s h o p p h e l p s 定理知，存在 工) 二，cs ( f ) ，使得z j = i 一厂，其中正达到 范数，则存在 屯 ：。cs ( z ) ，使z ( 吒) = l ，进而( ) 专1 ，由于x 是k 一非常 极凸的，故_ ，其中x ”s x 。) ，z 。( ) = 1 ，由m a z u r 定理知，以( 彳) 弱 闭，故x “以( x ) ，于是存在而s ( x ) ，使得x 。= ，从而厂( ) = 广( 厂) = l ，即 厂达到范数，由j 咖e s 定理知，x 是自反的 6 ) j 口) 设v 厂s ( x ) ， c s ( x ”) ，当z ( ) _ 1 ( 以一o o ) 时，由x 的 自反性可设 毛” - cs ( z ) ，于是( ) 斗l ( 玎寸) ，因x 的自反性， 为相对弱紧集，又x 为k 一严格凸空间，所以x 是k 一非常极凸空间 6 ) c ) 设x 是自反的k 一严格凸空间，由引理1 1 5 知，x + 是k 一光滑空 问任取 c s ( x ) ，厂s ( x ) 且( 毛) 寸1 ，由x 的自反性， 屯 为相对弱紧 集，又x 是自反的k 一光滑空间，于是由定义1 1 4 知，肖= x “是k 一非常光 滑空间，再由引理1 1 - 8 知，x ”是k 一非常凸空间 c ) j 6 ) 设x ”是k 一非常凸空间，由引理1 1 8 知，x 是k 一非常光滑空间 且x 是k 一非常凸空间，再由引理1 1 1 2 及定义1 1 5 知，x 是自反的k 一严 格凸空间 口) jd ) 设x 是足一非常极凸空间，则x 是自反的，故x = x ”设 v s ( x ) ， cs ( x ”) 且z + ( 厂) jl ，由x 的白反性可知， 为相对弱 紧集若 # 有k + 1 个线性无关的弱极限点，则存在序列 的足+ 1 个子序 列，使它们分别弱收敛于并，疗，以：。，且 ：c s ( x ”) ，设第一个子序列为 o ，于是o _ 片，而1 ( - 厂) = ( ”) 一1 ，所以( 订) = l ，同理可得， 厂【f ) = l ，f = 互- ，后+ 1 ，因此d i m 4 k ，由引理1 1 4 知，彳i 是k 一严格凸的， 这与x 是k 一非常极凸相矛盾 d ) j 口) 由口) j 6 ) 的证明过程知，在条件d ) 下，x 是自反的下面证明x 是足一严格凸空间如果x 不是足一严格凸空问，由引理1 1 4 知，存在 厂s ( 彳+ ) 使得d i m 4 k ，凶为州i _ 1 ，故可取 cs ( x ) 使得厂( ) 一1 ，即 ( 厂) = 厂( ) 寸1 ，由条件d ) 知， z 最多只有足个线性无关的弱极限点，故最多 只有k 个点五，恐，s ( x ) ，使厂( 薯) = 1 ，( f = 1 ，2 ，后) 成立，于是d i m 爿r k ，这 与d i m 4 k 相矛盾 推论1 2 1x 是k 一强光滑空问当且仅当x 是具有( ) 性质的k 一非常 极凸空问 第一章非常极凸空间的推广及其对偶空间 证明由定理1 2 1 和引理1 1 6 立即得到 定理1 2 2 若x 是k 一一致极凸空间，则x 是k 一非常极凸空间 证明设彳是k 一一致极凸空间，于是由引理1 1 1 l 知，x 是自反的且x 是 k 一光滑空问，由引理1 1 5 知，z 是k 一严格凸空间，再由定理1 2 1 知，x 是k 一非常极凸空间 定理1 - 2 3 若x 是k 一非常极凸空间，则x 是x 一非常凸空间 证明显然 定理1 2 4 非常极凸与1 一非常极凸等价 证明先证卜非常极凸是非常极凸设v s ( f ) ， f c s ( r ) 且( 力叫， 由l 一非常极凸性知， f ) 是相对弱紧集，即存在子 c f ，使_ 工”，所 以正专x ”，于是有，( ) = 1 ，i ，= 0 ，0 i 卅i 0 ，( 厂) i i = 1 由于q ，由 b a n a c h m 龇定理知，0 x ”| i k ，由引理1 1 4 知，x 不是k 一光滑的，这与x 是 足一非常极光滑相矛盾 d ) ；口) 由口) j6 ) 的证明过程知，在条件d ) 下，彳是自反的下面证明x 是 k 一光滑空问如果x 不是足一光滑空间，由引理1 1 4 知，存在x s ( x 1 ，使得 d i m 最 k ，因为= 1 ，故可取 z c s ( r ) ，使得工( z ) 一1 ，由条件d ) 知， z 最 多只有k 个线性无关的弱极限点，故最多只有k 个点蜀，g ：，鼠s ( x + ) ，使 岛( 工) = 1 ，扣1 ，2 ，豇成立，于是d i m 最k ，这与d i m 墨 k 相矛盾 定理1 3 3 若x 是弘一致极光滑空问，则x 是尽非常极光滑空问 证明设是k 一一致极光滑空问，并设垤“s ( x ”) ， z cs ( z ) ，则当 ，( z ) 斗1 ( 刀斗) 时，由引理1 1 1 0 知， z 为相对紧集，因而 z 为相对弱 紧集且x 是尽严格凸空间，由引理1 1 5 知，x 是鼹光滑空间，再由肛非常极 光滑空问的定义知，彳是肛非常极光滑空间 定理1 3 4 若x 是k 一非常极光滑空问，则x 是k 一非常光滑空间 证明显然 定理1 3 5 非常极光滑与l _ 非常极光滑等价 证明先证明1 一非常极光滑必为非常极光滑设订s r ) ， z c s ( r ) 且，( z ) 一l ，由卜非常极光滑性知， z 为相对弱紧集，于是存在 z 。 c z ， 厂x 使得厶j 厂( 意寸) ，故工z 。) 斗工( 厂) = 厂( 工) = 1 ，由z 是l 一非常极 塑蒌直堕蔓奎兰塑主兰垡笙塞 光滑性知，z 为卜光滑的，又由引理1 1 3 知，1 一光滑与光滑等价，所以厂唯 一，故必有z 山厂( 力斗叫事实上，若不然，则存在子列 z 。 c z 及和 f z “使l z ”( 丘一) i 占。，又由厶( 工) 一1 和l 一非常极光滑性知，存在子列 厶， c 厶 ，使与厂( ，哼) ，而这与l 石”( 厶一厂) l 气式矛盾，故必有 z 士厂( 万一) ，所以1 一非常极光滑是非常极光滑 其次证明非常极光滑是卜非常极光滑 文献 1 1 的定理2 ) ，于是由引理1 1 3 知， 定义易知，非常极光滑必为卜非常极光滑 由于非常极光滑一定是光滑的( 见 x 是1 一光滑的，再由非常极光滑的 注1 3 1 定理1 3 5 说明了尽非常极光滑空间为非常极光滑空问的推广， 并且由以下的蕴含关系：尽光滑j ( k + 1 ) 一光滑，以及k 一非常极光滑空间的定 义容易得到新的蕴含关系：群非常极光滑j ( k + 1 ) 一非常极光滑，但蕴含式反 面不成立 在定理以上中，考虑后= 1 的特殊情形，可得到在文献 1 2 中的诸多结论 推论1 3 1 若x 是一致极光滑空间，则x 是非常极光滑空间 推论1 3 2 若x 是非常极光滑空间，则x 是非常光滑空间 推论1 3 3 设j 为b 蚰a c h 空间，则下列命题等价： 口】x 是非常极光滑空间： 6 1x 是自反的光滑空间； c 1x “是非常光滑空间 推论1 3 4 设x 为b 锄a c h 空间，若r 是非常极光滑空问，则x 为非常极 凸空间：若x 是非常极凸空问，则x 为非常极光滑空间 1 4 几个主要例子 例1 4 1 存在一个无穷维的b a n a c h 空问，它是k 一非常极凸( k 一非常极 光滑) 空间，但不是( k 1 ) 一非常极凸( ( 足一1 ) 一非常极光滑) 空间 设七2 是整数， 如 o ，使得当 s ( r ) o l1 = 1 ，2 ，七+ e ( z ) e ( 六) l 互( 彳) 五( 工) 1 ) ，( 石( 力 七+ 1 - 万时，对，z ，正s ( r ) 有 l o ，厶s ( x + ) 及某个k + 1 元鼻，e + s ( x ”) ，使得对v 万 o 成立不等式 ( 鼻，只+ 。) ( 石) k + l j ，但对某足个元彳，五+ s ( x ) 成立不等式： ，jl、 1 o 七 一 玉 l，、 z ，、j、j + 乓 彳，六 卜 1，i、，i、 h i + + 卜 疋 疋 第二章极凸空间的推广及其对偶空间 i 1 i p i 互( 五 l 互( z e ( 以甜峪 由于j i 十l i i 巧+ + 疋+ 。0 ( e + + e + 。) ( 二) 七+ l j ，故由艿的任意性知， 互( 五) = 1 ，( f = 1 ，2 ，尼+ 1 ) 令砖1 = 互，群2 = e ，“1 = 嘎+ p ( n = 1 ，2 ，) ，则 ( 工) 专1 ，( f = 1 ，2 ，后+ 1 ) 再由x 的弘。极凸笸知，对，五，五s ( ) 有 1l e ( z ) e ( 石) e + 。 e ( 五) 最( 正) 只“斗 l1 l o ( 石) 曩2 ( 彳) 曩o ( z o ( 正) 曩2 ( 五) 曩d ( 五 h0 ， 这与( 1 式相矛盾 1 9 6 0 年，i s i n g e r 2 引入了k 一严格凸空间的概念，k 一严格凸在逼近中有 重要的应用南朝勋和王建华在文献 3 中进一步研究了k 一严格凸空问，得到了 足一严格凸空问的如下特征刻画：x 是足一严格凸空间当且仅当对w s ( x ) ， 有d i m 么，k 本章也研究了k 一严格凸空间，得到了k 一严格凸空间的与相对 弱紧集和足维体积表达式中的k + 1 阶行列式相联系的新特征( 见定理2 3 8 )