（基础数学专业论文）Λ稳定秩条件下的酉群.pdf

摘要 本文主要是使用a b a k 和唐国平在【1 1 中定义的a 稳定秩条件对酉群做了研 究，同时这里所考虑的酉群u ( m ) 仅要求模m 具有适当大的w i t t 指数而不要求 模m 具有双曲基。首先，本文简略地叙述了典型群的起源及其研究的主要问题。 在型环口，a ) 满足适当的a - 稳定秩条件时，利用 2 1 q 。的结果证明了酉群的同余 子群e u ( m ，1 ，r ) 的正规性，建立了酉群的同余子群之间的一个换位子公式。然 后借鉴【2 】中的方法证明了酉群的一个被基本子群e u ( m ) 正规化的子群中存在 基本e i c h l e r 变换。最后。对酉群的三明治分类问题进行了讨论。 关键词：酉群，a 稳定秩条件，型环，形式理想，e i c h l e r 变换 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w eu s et h ec o n c e p t0 fa s t a b l er a n g ec o n d i t i o n in t r o d u c e db ya 8 a ka n d6 u o p in gt a n gin 1 t or e s e a r c ht h eu nit a r yg r o u p s ( w i t h o u th y p e r b o l i cb a s i s ) w i t hs o m ew i t ti n d e xc o n d i t i o n s i nt h i st h e s i s w ef i r s tg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt oc l a s s i c a lg r o u p s w h e nf o r mr i n g s a t i s f i e sc e r t a i na s t a b l er a n g ec o n d i t i o n w eu s et h er e s u l t si n 2 t op r o v et h en o r m a lit yo fau n it a r yc o n g r u e n c es u b g r o u pe u ( m ，f ) a n d a ni m p o r t a n tc o r w a u t a t o re q u a t i o no fu n i t a r yc o n g r u e n c es u b g r o u p s t h e n ， w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fa ne l e m e n t a r ye i c h l e rt r a n s f o r m a t i o n i na s u b g r o u pw h i c hi sn o r m a l i z e db ye l e m e n t a r ys u b g r o u pe u ( m ) f i n a l l y ，w e d is c u s st h ep r o b l e ms a n d w i c hc l a s s i f i c a t i o n so fu n i t a r yg r o u p s k e y w o r d s ：u n i t a r yg r o u p s 。a s t a b l er a n g ec o n d i t i o n ，f o r mr i n g f o r mi d e a ，e i c h l e rt r a n s f o r m a t i o n l i 西北工业大学硕士学何论文 第一章绪论 第一章绪论 本文的主要参考文献之一是h a h n 的t h ec l a s s i c a lg r o u p sa n dk t h e o r y ，即 文献【3 】，所有未明确定义的概念及符号等均参见这一文献中的相应概念及符号。 1 1 背景知识 典型群的理论是1 9 世纪6 0 年代c j o r d a n 在研究有限素域上的矩阵群的时候 创立的。1 9 世纪末期，l e d i c k s o n 在对任意域上的矩阵群做了系统研究的基础 上拓展了c j o r d a n 在典型群方面的研究。 2 0 世纪5 0 年代中期，d i e u d o n n专著的l ag 6 0 m 6 t r i ed e sg r o u p e s c l a s s i q u e s 是典型群发展的一个里程碑。在这个专著中，d i e u d o r m 6 考虑了任意 域和除环上的群族：一般线性群，辛群，酉群和正交群。并称这些群为“c l a s s i c a l ” 群，译为典型群。d i e u d o n n 6 对典型群的生成元、子群、商群、自同构等做了研 究。 到现在，域或环上的典型群的理沧已推广到了任意环上的典型群的理论，其 中问题之一是刻画任意环上的典型群的三明治分类问题，相应的商群的计算可转 化为k 群的计算，典型群的同构理论扩大到整环上的完全典型群的扩张同构理 论。相应的s t e i n b e r g 群与疋群的引入和研究又为典型群的表示论提供了新的 方法与内容。 设g 是一个典型群，e g 表示g 的基本子群，s t g 表示g 的s t e i n b e r g 群。 在对典型群进行研究的时候，有如下的几个基本问题： f 1 1 基本子群e g 在典型群g 中的正规性问题； ( 2 ) 商群g e g 的结构问题； ( 3 ) s t e i n b e r g 群s t g 到基本子群e g 这一群扩张的中心性扩张以及泛性 问题： f 4 )g 中被基本子群e g 所正规化的子群族的三明治分类问题。 堕! ! 三些奎堂堡主堂焦笙茎 兰二兰些笙 在研究这些问题的时候，一般遵循的研究主线是：分析典型群的换位子群及 其基本子群的生成元，给出这些生成元所满足的关系；证明基本子群的正规性： 通过稳定性理论研究k - 群；通过基本子群的生成元及其所满足的关系引入和研 究s t e i n b e r g 群，证明稳定的s t e i n b e r g 群是稳定的基本子群的泛中心扩张，并 定义一群为这一中心扩张的核。 在典型群的三明治分类问题方面已有很多经典的结果，如一般线性群 g 印) 的三明治分类定理，b a s s 的关于稳定一般线性群g 三( 爿) 的三明治分类定 理，v a s e r s t e i n 的关于辛群的三明治分类定理( 1 9 8 9 ) ，游宏与v a s e r s t e i n 的关于伪 正交群d 2 。o ) 的三明治分类定理( 1 9 9 5 ) 等。通过阅读文献我们可以知道，对于同 一种典型群，可以得到它在不同的条件下的三明治分类定理。文献【3 1 中给出了 在几种不同条件下酉群的三明治分类定理。 1 1 本文的主要工作 在第二章中，我们介绍了a 一稳定秩象件及e i c h l e r 变换的概念，同时给出了 e i c h l e r 变换所满足的九个关系式和几个最基本的关系式的证明。利用唐国平在【2 】 中的结果得到了两个有用的结论，它们简化了本文中一些结论的证明。使用人 稳定秩条件证明了同余子群e u ( m ，i ，r ) 在酉群【，( m ) 中的正规性。 在第三章中，我们证明了在a 稳定秩条件下酉群的同余子群间的一个十分 重要的换位子公式。第二章与第三章的这两个结论为后来研究a 稳定秩条件下 酉群的三明治分类问题提供了帮助。 在第四章中，使用人稳定秩条件并借鉴唐国平在【2 】中的方法，证明了在酉 群u ( m ) 的子群h 中存在基本e i c h l e r 变换，这里我们要求子群h 被基本子群 e u ( m 1 正规化且包含一个非中心元。这一证明过程中不仅使用了么模、稳定秩 条件、a 一稳定秩条件等许多概念及性质，同时伴随着大量的复杂计算以及理论 推导。这一结论后来推广到了形式理想的情形。 在第五章中，我们分别针对种简单情况和一般情况讨论了a 稳定秩条件 2 西北 业人学硕士学位论文第一章绪论 下酉群的三明治分类问题。 我们这里所考虑的问题与文献中所研究的问题之间的主要的异同点为： f 1 ) 传统上人们对酉群的讨论大多局限于模m 是有限生成的自由a 一模并 且模m 的某个基是双曲基。而我们这里仅要求模m 的一个直和项具有双曲基， 即要求模m 的w i t t 指数适当大。 ( 2 ) 大多数文献中在讨论稳定性时使用绝对稳定秩条件或酉稳定秩条件， 而我们使用比这两种条件均弱的a 稳定秩条件。 ( 3 ) 在对模m 的要求以及稳定秩条件两者均减弱的假定之下我们尽可能地 将文献中的已有经典结果进行推广。 ! ! ! 坚业大学蓼士学位论文第二章a - 稳定秩条件r e u ( m ，r ) 的上e 规性 第二章 a 一稳定秩条件下e u ，r ) 的正规性 典型群的同余子群的正规性在研究典型群的时候起着重要的作用，我们经常 利用它来研究典型群的三明治分类问题。 对于一般线性群g l n 似) ，有如下的结果。 定理2 1 1 3 设_ ，3 且a 是交换环。则对于环一的任意理想，t ( ，) 是 g l ) 的正规子群。 对于伪正交群0 2 ( 一) ，有如下的结果。 定理2 2 1 4 设，l 苫3 且对于c 的每一个最大理想，存在一个乘法子集 s c ，一使得爿s u ，i ) s 以一2 。则对于型环o ，a ) 的任意的形式理想，) ， d h ( j ，) 是d 2 。( 爿) 的正规子群a 其中c 表示由c c ( c c e n ( 4 ) ) 所生成的 c e n ( a ) 的孑环。 本章主要结果： 定理2 3 设型环， ) 满足 一稳定秩条件，( m ，q ) 是型环，a ) 上的二 次型空间且它的w i t t 指数，l a s ( a ，a ) + 1 。则对于型环( 4 ，a ) 的任意的形式理 想( ，f ) ，e u ( m ，f ) 是u ( m ) 的正规子群a 2 1基本概念和常用关系式 本节我们主要介绍与本文有关的几种稳定秩条件和e i c h l e r 变换等些基 本概念，并给出e i c h l e r 变换所满足的几个基本关系式的证明。e i c h l e r 变换是本 文中的个最基本的概念，在全文的计算与推理中起着十分重要的作用。 设a 是一个具有单位元1 的结合环。在环a 上定义一个对合，即一个一一 映射 西北t 业大学硕十学位论文 第二章a - 稳定秩条件下e u ( m ，f ) 的上e 规性 + ：a _ a ，口f - - 口 并且满足( a + 6 ) + = a + 6 + ，( a b ) + = b * a + ，a ”= aa 取fc e n ( a ) 并且满足 f + = 1 ，这里c e n ( a ) 表示环a 的中心。这个对合自然地诱导出全体订，z 矩阵 环m a t ，( a ) 上的一个对合( 口口) + = ( 口f ) ，即矩阵0 i ) 的共轭转最。 令4 ，= 盘一a e l a a ) ，a 。 口e a l 口= 一口e ) 。 设a 是环a 的加法群( 爿，+ ) 的一个子群，满足 ( 1 ) 对任意的a 爿，有a a 口a ； ( 2 ) a 一。a a a 通常我们称这样的人为关于和+ 的型参，而称印， ) 为型环。显然4 。与a 。都 是型参，因此也把4 。和a “分别记为人。和人。 设m 是一个右( 有限生成投射) 爿一模，m 上的半双线性型h 是一个映射 h ：肘x m 一爿， ，v ) 一h ( u ，v ) ， 它对于两个变元是可加的，即 h ( u 1 + “2 ，v ) = h ( u l ，v ) + h ( u 2 ，) ， h ( u ，v 1 + v 2 ) 一h ( u ，v 1 ) + ( “，v 2 ) ， 而且对于任意的( “，v ) mx m 以及任意的n ，b e a ，有 h ( u a ，v b ) 一a h ( u ，v 弘。 如果型 满足 0 ，v ) = h ( v ，“) ，则称这样的型i l 为f 厄米特型。如果存在型， 使得 h ( u ，y ) ；f ( u ，v ) - i - f ( v ，“) s ， 则称型h 为偶f 厄米特型。对于型h ，如果同念 妒：m h o m 似，a ) ， r h h ( v ，一) ， 是同构，则称型h 是非奇异的。 堕! ! 兰、业查兰里主兰堡笙奎 第二章a - 稳定秩条件fe u ( m ，r ) 的正规性 一 ：= = ：= 。： a 一模上的两个型血与 的直和 o 7 由关系 q ，) ( x ，y ) = h ( x ，y ) + ，y ) 来定义。于是爿- 模m 上全体型的集合s e s q ( 膨) 做成一个加群，而其中满足条 件h ( v ，v ) e a 的全体e - 厄米特型h 做成一个子群x ( m ，e ，人) 。商群 s e s q ( m ) x ( m ，+ ，a ) 中的元素叫做m 上的二次型。当g 是由型 所代表的二 次型时，有相应的长度映射 l g ：m - - * a a ，v h ( p ，y ) + a 及相应的偶厄米特型 ( ，) 9 ：m f ，爿， ( “，v ) 卜h ( u ，v ) + ( v ，“) s 。 当相应的偶。厄米特型( ，l 为非奇异时，称g 是非奇异的，此时称( m ，g ) 为型 环( _ ，a ) 上的二次型空间。本文后面所出现的符号i f 。以及( ，) 。指的都是这晕的 定义。 下面引入二次型空间( m ，留) 上的酉群u ( 肘) 的概念。 我们称集合 u ( m ) 2 a e g l ( m ) l ( r x ，d y ) 。= o ，) ，) 。，l 似b = i x b ，g x ，y m 为二次型空间( m ，q ) 上酉群。而称u ( m ) 中的元素为酉变换。 注酉群u ( m ) 即为二次型空间( m ，q ) 的自同构群。 设_ ，x 2 ，x 2 。是模肼的个基且每个都是迷向元，如果偶p 厄米特型 ( ，) 。关于_ ，x ：，z ：。的矩阵为f 0 ：1 ，则称_ ，工：，x ：。是模m 的个双曲 基。很容易可以看出，如果z 。，x ：，x ：。是模肘的一个基且型 关于x ，工：，x ：。 的矩陴为( ：) ，则t ，也，屯。是模的个双曲基。 如果二次型空间似，q ) 具有双曲基x 。，x 2 ，石2 。，则酉群c 厂( m ) 可以定义为 西北工业大学硕士学 ：奇= 论文 第二章a - 稳定秩条件_ 卜e u ( m ，f ) 的止规性 驴c 钏a 仉r 耻。) a 。= 】，胁气0 4 ) i y = 一y ，k e a ，v1 s i s 刀) ， a ，y ，6 是1 1 以矩阵。 在研究酉群时我们经常用到么模向量和几个稳定秩条件的概念。为了阅读上 的方便，我们把这几个概念列举如下。 a - 模膨中的向量x 称为是么模的，如果a n n 。o ) = a e a l x a ；o = 0 ，且 存在a 模吖的子模，使得m = = x 吼。特别地，对于爿模爿”1 ，向量 ( 口，口：，口。+ 。) e a ”1 是么模的充分必要条件是存在( 岛，b 2 ，屯+ 。) 名”1 ，使得 口1 6 l + 如+ + a m + i b m + l = 1 。在二次型空j j j ( m ，q ) 中，对任意的e m ，如果 存在厂e m ，使得 ，) 。= l ，则我们称e 是一个哼一么模向量。 本文中更多的用到的是模爿”1 中么模向量和( m ，q ) 中q - 么模向量的概念。 称环爿满足稳定秩条件s m ，如果对任意的么模向量0 。，n ：，a ，+ 。) 爿”1 ， 在环爿中存在元素缸，b 2 ，k ，使得( a l + 口。+ 1 6 1 ，a 2 + 口。+ a ，口。+ 口+ 1 以) 4 ” 是么模向量。环a 的稳定秩s 似) 定义为它所满足的s k 的最小正整数k 。若环a 满 足稳定秩条件s 。且栉2 m 时，则环4 也满足s 。 称型环( a ，a ) 满足酉稳定秩条件邵，如果坏a 满足稳定秩条件毛并且对 - 1 ：- l2 用和么模向量( q ，a 2 ，) m a 甜，存在向量 ，也，) c a 2 并且满足 嘁l + 岛6 ：f a ，使得n ，b l + + 口2 b 2 f = 1 成立。定义型环a ，人) 的酉稳定秩 u s ( a ，人) 为满足吣。的最小正整数k 。易知如果型环口，a ) 满足酉稳定秩条件 k 且撑2 t 时，则型环即，a ) 也满足己晦a 称环4 满足绝对稳定秩条件一氐，如果对于的任意的口。，a ：，a 爿，存 在b l ，k 爿使得a + l ，( 口l + a m + l b l ，a 2 + a m + 1 6 2 ，a 。+ 口6 m ) 。其中，( s ) 7 o y ， ，jl f j 、， a4 ，lh u 中其 酲北工业大学硕 学位论文 第一二章a - 稳定秩条件下e u ( m ，r ) 的三规性 表示环a 的包含子集s a 的所有撇大理想的交集。环a 的绝对稳定秩a s ( a 、 定义为它所满足的a s 的最小正整数k 。易知如果环4 满足绝对稳定秩条件4 5 。 且n 己掰时，则环a 也满足4 s 。 绝对稳定秩条件以及酉稳定秩条件常用来证明酉群的基本子群的正舰性、二 次型空间的消去性及酉k - 群的稳定性。为了证明厄米特巧一群的稳定性，a b a k 和唐国平在【l 】中引入了一种稳定秩条件即人稳定秩条件，这是比绝对稳定秩条 件及匿稳定秩条件都要弱的新的稳定秩条件。利用a - 稳定秩条件唐国平在【2 1 中 证明了酉群的基本子群的正规性、二次型空间的消去性及酉k l - 群的稳定性。这 些结果不仅推广了已有的类似结果、极大的简化了证明过程，而更重要的是降低 了稳定秩的下界。 下面给出a b a k 和唐国平在【1 】中弓 入的a 稳定秩条件的概念。 定义2 1 1称型环o ，人) 满足a - 稳定秩条件a s ，如果环a 满足稳定秩 条件最且对任意的么模向量 扣i ，2 ，口。“，轨，b z ，- ，k + 1 ) 爿2 1 “， 存在沏+ 1 ) ( 坍+ 1 ) 矩阵y a 。+ 1 ，使得 0 1 ，a 2 ，口) + ，6 2 ，+ t ) y 4 ”1 是么模向量。 型环( 4 ，a ) 的人稳定秩似，a ) 定义为满足他的最小正整七。 注 ( ；：) ，( ：；) u ：。+ ：一，a ，当且仅当r ，卢a ，“。因此关于列 么模向量的a - 稳定秩条件a s 。应为环a 满足稳定秩条件5 。且对列么模向量 ( 8 l ，口2 ，矗。+ 1 ，岛，6 2 ，“) _ 2 “+ 2 存在( m + 1 ) ( m + 1 ) 矩阵卢具有卢= 一印且卢f ；a ，使得 0 1 ，a 2 ，a r n + 1 ) + 卢( 岛，b 2 ，一，b m + 1 ) a ”1 西北二【：业大学硕士学位论文 第二章a - 稳定秋条件卜e u ( m ，f ) 的正规性 引理2 1 2 1 1 】设( a ，a ) 是型环，则以下的条件是等价的： ( 1 ) 型环( a ，a ) 满f f ：a 一稳定秩条件八。 ( 2 ) 环4 满足稳定秩条件s 且对于任意的么模向量 口；( 日l ，2 ，口，+ l ，6 l ，b e ，一，k + 1 ) 彳2 “， 存在( 加+ 2 ) ( 加+ 2 ) 矩阵= ( ；) ，其中，是沏“) + 1 ) 单位矩阵， y a 。，使得 a 口= a l 口2 ，口：+ l ，魄，如，k + 1 ) 满足( 口，口：7 ，口：+ 。) 是么模向量。 ( 3 ) 环4 满足稳定秩条件且对于任意的么模向量 a = ( q ，口2 ，口删，岛，也，k + 1 ) e a 2 ”2 ， 存在( 2 m + 2 ) ( 2 m + 2 ) 矩阵盯= e0 ，) ，其中a 是可逆沏+ 1 ) ( 历+ 1 ) 矩 存在( + 2 ) ( + 2 ) 矩阵盯= i 一，l ，其中a 是可逆( m + 1 ) ( 历+ 1 ) 矩 iy j 阵，满足以- 1 ，+ l ，使得 a 盯= ( n ，n ：，拉：。6 1 7 ，也，6 二+ ，) 满足0 。，口：，口：+ 。) 是么模向量。 命题2 1 3 【1 】如果型环( a ，a ) 满足a s m ，而且，l 苫m ，则它也满足 。 命题2 1 4 1 1 如果型环似，a ) 满足呱或者爿& ，则它也满足缄。 下面我们给出酉群中e i c h l e r 变换的概念。 定义2 1 5 取4 - 模m 中迷向元e ( 1 e l ，- 0 ) 且与“l f 正交( e ，“) 。z0 ，取 r i “l ，则称m 到m 的变换r ( e ，“，r ) f ( p ，“，r ) 0 ) = 工+ 球( p ，z ) g e f + 以，x ) 口一e + r ( e ，x ) 目，慨m 为一个e i c h l e r 变换。 西0 f ：业大学硕士学位论文 第二章a - 稳定秩条f l 二下e u ( m ，r ) 的正规性 显然e i c h l e r 变换f ( p 州，。) e e n d ( m ) 。 引理2 1 6 【3 】对于任意的t 3 r ，f e n d ( m ) ，有 o r 一1 = ( d l i d ) - i - ( f 一1 廿) + ( d l i d ) ( r 一1 l d ) 。 证直接验证可得。证毕。 e i e h l e r 变换f ( p ，“，) 满足下面的常用关系： ( r 1 ) r 0 ，u ，r ) e u ( m ) ； ( r 2 )r ( e ，“，) r ( ，v ，s ) = f ( 已，m + v ，r + s 十( “，v ) 目) ； ( r 3 )f ( p ，“，r ) 一1 = f ( p ，一“，一，+ 0 ，“) q ) ； ( r 4 ) o v ( e ，u ，r ) a = r ( a e ，d w ，r ) ，v a e u ( m ) 。 证对任意的e i c h l e r 变换r ( e ，u ，) ，r ( e ，v ，s ) e e n d ( m ) ，由引理2 1 6 得 f ( e ，“，r ) r ( p ，v ，s ) 一i d = ( r ( b ，雎，) - 1 。) - i - p ( p ，v ，s ) 一k ) 十一( e ，h ，r ) 一k ) ( r ( p ，v ，s ) 一b ) 。 显然，对任意的x m ( f ( p ，u ，r ) t ( e ，v ，s ) 一k ) ( 工) 一f ( e ，u ，r ) r ( e ，v ，s ) 0 ) x a 然而 ( 0 ( e ，“，) 一b ) + 0 ( e ，v ，s ) 一k ) + p ( p ，“，r ) 一k ) p ( e ，v ，s ) k ) ) 0 ) = 0 ( e ，“，r ) 一b ) o ) + p 0 ，v ，s ) 一k ) o ) + p ( p ，h ，r ) 一k ) p ( e ，v ，s ) 一l i d ) 0 ) ； 0 ，工) q - e e 以，x ) 目一e f r 0 ，z ) q ) + 0 0 ，工) q e c p ，工) q e c s 0 ，x ) 9 ) + ( r ( e ，“，r ) - 1 ) ( v ( e ，x ) q e g + o ，工) 目一e g 5 ( e ，x ) 目) = ( + v ) ( p ，x ) g - - e e + v ，工) q e g ( r + s ) ( 8 ，x ) g ) 一e s + ( “，v ) 口( e ，工) 口 = ( ( f + v ) ( e ，x ) p e s + ( f l + v ，x ) q e e + r + s + ( “，v ) g ) ( e ，x ) q 。 从而 f ( e ，u ，r ) t ( e ，v ，s ) 0 ) 曲北删 业大学硕士学位论文 第二章a - 稳定秩条件下e u ( m ，r ) 的止规性 = x + ( ( “+ v ) ( ，x ) 目一e e + ( h + v ，j c ) 日一e ( r 十s + ( “，v ) q ) ( 。，j ) 。 = r ( p ，“+ r ，+ s + ( “，v ) 目) o ) a 所以 f ( e ，u ，r ) r ( e ，p ，s ) = r 0 ，“+ v ，r + 5 + u ，v ) 。) 。 所以( r 2 ) 得证。 在_ r ( e ，“，r ) 中，由于r q ul ，o p h ( u ，“) 一r e a ，因为 i i l ( 一“，一“) 一( 一r + 似，“) 。) = h ( u ，“) + ，一h ( u ，“) 一h ( u ，“) t - ( h ( u ，“) + 一，s ) + ( ，一，) = - ( h ( u ，“) - r ) + s + ( r r + ) = ( ( ( “，“) 一r ) 一( h ( u ，“) - r ) + ) 一( o ，h ) - r ) + ( ，一r + ) ， 所以 ( 一h ，“) 一( 一r + ( “，“) q ) a 。 利用( r 2 ) ，经计算可得 r ( e ，u ，r ) r ( e ，一“，一r + ，“) 。) e r ( p ，o ，o ) 。 所以( r 3 ) 得证。 设仃ar ( p ，u ，r ) ，由于 ( d x ，口y ) p ；( x ，_ ) ) 日+ 0 ，“) 9 ( e ，_ ) ，) g o ，e ) 4 s 以，y ) 口一如，e ) g ，( p ，y ) g + 忙，工) ：似，y ) 。+ 0 ，z ) ； ，“l 如，_ y ) 。一 ，x ) q e ( e ，y ) 。一e ，) ：，s 0 ，y ) 口 = ( x ，y ) ，一0 ，e ) 。r p ，y ) 。+ ( e ，工) ：( “，“) 。0 ，y ) 。一( 0 ，z ) ：r s 0 ，) ，) 。 ；( x ，) k + ( 口，戈) ：( 0 ，n ) 。一，一r + ) 0 ，y ) 。 ； ，_ ) ，) 目+ 0 ，工) ；0 ，“) 一r 十( | 1 1 0 ，m ) 一，) 。s ) ( 岛) ，) 。 曲北f 业大学硕士学位论文 第：章a - 稳定佚条什r e u ( m ，f ) 的正规性 其中h ( u ，“) 一，a a ，所以( h ( u ，“) 一，) + ( h ( u ，“) 一r ) + f = 0 。从而 | 上而 的计算得到( 盯x ，盯y ) 。= ( x ，y ) 。同样经计算可得l o x i 目= j xl 。结合( r 2 ) 和( r 3 ) 得到f ( p ，“，r ) e u ( m ) 。 经直接计算可得( r 4 ) 。证毕。 下面我们设二次型空问( m ，q ) 的w i t t