（基础数学专业论文）rn中曲线论初步.pdf

摘要 本文按照p 经典微分几何的研究思路，对r n 中的正则曲线作了初步探讨，我们首先 从豫“中正则曲线的定义入手，然后介绍了正则曲线的自然参数表示和f r e n e t - s e r r e t 公式， 接卜来利用这一重要公式给出了r “中正则曲线的各阶曲率的计算公式，讨论了中的， 般螺旋线和曲线的平坦性，我们还对渺中的闭曲线证明了一个几何不等式。 关键词：舯中的曲线；各阶曲率：一般螺旋线；f r e n c t 标架；平坦性 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s f o l l o w i n gt h ei d e a so fc l a s s i c a ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi nr 3 ，w ed i s c u s sr e g u l a rc u r y e si nr ”f r o mt h eb e g i n n i n go fd e f i n i t i o no fr e g u l a rc u r v e s ，w ei n t r o d u c et h en a t u r a lp a r a - m e t r i z a t i o na n df r e n e t s e r r e tf o r m u l ao fr e g u l a rc u r v e s t h e n ，b yt h ef o r m u l a ，w eg i v ec a l c u l a t i o n f o r m u l a so fr e g u l a rc u r v e s c u r v a t u r e s ，a n dd i s c u s st h eg e n e r a lh e l i c e sa n df l a t n e s so fc u r v e si n 即, f i n a l l yw ep r o v eag e o m e t r yi n e q u a l i t yo fc u r v a t u r e sa n da r cl e n g t h k e yw o r d s ：c | a r v e si nr 4 ；c u r v a t u r e ；g e n e r a lh e l i c e s ；f r e n e t - s e r r e tf o r m u l a ；f l a t n e s s 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的 研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的已 公开发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贞献的个人和集 体，均已在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位论文原创性声明的法律责任由本人 承担 学位论文作者签名：黝 _ 年i 旯s 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位沦文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其 他手段保存论文；有权将学位论文用于非赢利1 7 1 的的少量复制或全部内容用于学术活动并 允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：罗妇 川年占月，f i 导师签名： 年月日 r ? 中曲线论初步 第一节引言 曲线的微分几何是经典微分几何的一个重要组成部分，我们知道，对于r 3 中正则曲 线 ，可以对它通过弧长s 再参数化，使其切向量场成为单位向量场，伴随j 二曲线1 ，可以 引进f r e n e t s e f r e t 活动标架，将这个标架微分后再分解到它自身上面可以得到f r e n e t - s e r r e t 公式，其中引入的曲率和挠率是曲线的两个重要几何量。经典的曲线论j f 是围船r e n e t - s e 玎e t 公式而展歼的。 本文遵循了上述思想对n 维欧氏空间豫n 中的曲线作一初步研究，在第二节中我们首先 从皿”中曲线的定义开始，讨论正则曲线及正则曲线的再参数化问题，然后对r ”中的曲线 j 入f r e n e t - s e r r e l 方程组，这个方程组已包含- 于二k l i n g e n b e r g 7 和k u p i 乜、p e r l e s 8 1 中，然而 他们都没有给出r “中的各阶曲率的计算公式，本文给出了r n 中正则曲线的各阶曲率的计 算公式。在第三节中，我们仿照w e i n e r 1 5 冲的方法证明了r n 闭曲线的一个几何不等式。 笫四节中我们将r 3 中一般螺旋线的概念推广到乏n 中，证职了舯中曲线为一般螺旋线充分 必要条件。最后在第血节中，我们还讨论了豫n 中曲线的平坦性，所得结果恰足r 3 中曲线论 的两个命题的一个共同推广。 p 中曲线论初步 第二节r n 中曲线 2 1 中曲线 定义2 1 1 ( 连续映射) 给定映射，y ：( a ，b ) 一l p ，其中n ，b r 若对妇，y ( a ，b ) 莉1 v o ，存 在5 0 ，使得当i z y l o ，使得当p ，q 7 目d i s t ( p , q ) 6 时，恒有l ，y “( 尸) 一7 - 1 ( q ) i ，则 称1 1 在p 点连续。若对v p 舯，7 - 1 在p 点均连续，则称7 - 1 是连续的。 设7 ：( c t ，b ) 一r n 是p 中的曲线，则，y 中的仟一点p 均可看成是t ( 口，b ) 在映射7 作用下 的像，即p = ( r l ( ) ，r 2 ( t ) ，i n ( t ) ) ，则称曲线7 被参数t ( o ，b ) 参数化。 设7 ：( a ，b ) 一r “是舻中的曲线，参数为t ( o ，b ) 若对每一个t ( n ，b ) 给定一个 向量t ) ，则称7 由向量值函数以t ) 确定。本文以后若尤特别说明，则1 的位置向量均 为e ( t ) = ( r l ( t ) ，您( f ) ，( t ) ) ，t 为实参数。 定义2 1 3 ( 正则曲线) 若对v t ( a ，6 ) 有，( t ) 6 ，则称7 是止则曲线。 定义2 1 4 ( c k 正则曲线) 若曲线1 存在参数t 满足位置向量值函数戒t ) 足伊函数，且，( ) d ，则称，y 是g 正则的。 例2 1 1 曲线，y ：f 0 ，2 1 r 1 一r 2 0 _ ( c 0 8 0 ，s i n 为正则曲线。 2 2 弧长参数化 类似于r 3 中的曲线弧长的定义，对于r 叫a 的曲线7 ：【o ，6 】一，若对于任意划分 ：a = t o t 1 0 ，使得当一t l 6 时有l 蕾is 则可得到 可得 a i i - - r ) l = i e i a i t ise a s t ，矸2 一l r ( f o ) & t 1 2 f = i ( i ，一r 7 ( 矗) t ，i ，+ 一( 岛) 。t ) i f l 2 一f r ( f o ) a i t l 2 f e a 。引i f + r ( 如) i 球( 2 2 2 ) 对( 2 2 2 ) 进行变换我们可以得到： ”；司一l r ，c ( o ，州l s ，t 会霸：；i ；言芸刍e 正 c 。r 2 s ， 最后运用( 2 2 3 ) 有： l s ( h ) 一i r ( f o ) a 。i l = i l t 司一i r ，( 岛) t t l l = l ( i 。嗣一l r 7 ( 如) t t t ) l i ( 1 a 。司一i r ( 如) 酬) i se 蛳 = e ( b 0 1 由g 的任意性，可以得到： 耿极限可得： s ( ) = i r ，( 岛) 氆t i = 1 s = ，出 4 r n 中曲线论初步 口 定理2 2 r “中任正则曲线均可弧长再参数化。 证明：设丁是舭中的c 1 正则曲线，且由参数t 参数化，弧长用s 表示。则 s = 肪圳砒 其中敢t o ) 为1 的起始点的位置向量。由于 警邓l 。， ( 2 2 4 ) 所以存在反函数 t = t ( s ) ， 使得 彤( s ) ) = ( r 1 ( t ( s ) ) ，r 2 ( t ( s ) ) ，h ( f ( s ) ) ) ， 即： 硪s ) = ( f l ( s ) ，e 2 ( s ) ，一，( s ) ) 写作： 最s ) = ( n ( s ) ，r 2 ( s ) ，一，h ( s ) ) 推论2 1 若武s ) 是关于弧长参数化的曲线7 的位置向量，则l e li 1 证明：由( 2 2 4 ) 可得到： i 如l = i 一( ) 眦i = i 嗣 那么： l 为乩 即： i i i l 2 3f r e n e t 公式 5 口 口 r n 中曲线论初步 巨：要。 譬= o 西+ 如磊， ( 2 3 1 ) 8 丢( 拍) _ ( 鲁娟，堕d 8 ) ( 2 3 2 ) 6 r ，呻曲线论初步 而 代入( 2 3 2 ) 町得： ( 磊，西) = 0 要而) ：o 石，勖，。u ( 磊，堡d s ) - ( 鲁“。 ( 2 3 3 ) 将( 2 3 3 ) 代入( 2 3 1 ) , - i 得： _ d e - ：一七1 而+ k 2 9 3 s 下面我们可以依次如此定义曲率如，h l 和向量面，磊，磊通过选取磊使得譬足 由磊，西，磊一l 和一个正交于西，而，磊一i 的新向量磊的线性组合。我们可以设： ，_ i - - i 警= 嘛+ 磊， 其中o 。为未知的变差系数a 若k i i 0 ，则向量磊足良好定义的。类似的我们有： 同理可得 由于 则我f f 得到 ( 2 3 4 ) d “) = ( 、d 磊d s l - i “) + ( “，警) ( 2 删 ( d e i s - i ，西一2 ) = 一( 磊一i ，d g d i s - 2 ，= 一一2 a l 一2 2 一k i 一2 n p = ( d 舌i s - i ，昂) = 一( 反一l ，- d d 巨- ；) ，卢= 1 ，一，i 一3 ， 一1 a l5a 2 2 = a i 一3 = 0 a i 一1 20 7 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) r “中曲线论初步 代入( 2 3 4 ) 可得： 竺至兰= 一一2 西一2 + k l 磊， t = 2 ，n d 8 按照定义磊足譬在与西，晶一l 正交的平面上的射影的单位向量，则我们有： 又： 代入( 2 3 9 ) 可得： 即： ( 磊，磊一i ) = 0 乏( 骗- 1 ) = ( 警啦一警) ( 晶。挚) ：一k 一。 a s 所以整理可得p 中的f r e n e t 公式如f ： 日 弓 ： ： 孥：一k 一，磊一， n s = k i 邑 = 一詹i 西4 - 岛舀 = 一 厩一l 磊一l + 七。磊+ l 磊=一l 磊一1 ( 2 3 9 ) 其中均是对弧长s 求导。 2 4r n 中曲线的曲率 考察鼢中的普通参数化的伊曲线7 ，政t ) 为曲线1 的位置向量，t 为实参数。对向量组 ，( t ) ，矿( t ) ，一“( t ) 按导数增加的顺序进行s c h m i d t 正交化，得到l e 交向量西( t ) ，西( t ) ， 8 r n 中曲线沧初步 磊( t ) ，则可以得到： 己= 岛而 己 = 一 k l 西 + 西 予 。 一 如而 + b 矗 ( 2 4 1 ) 爵一1 = 一 k 一2 磊一2 + k i 磊 磊 = k 一1 磊l ， 其中h ，如，1 分别为曲线在该点的l 阶、2 阶、n 一1 阶曲率，上式均是对弧长s 求 导，且 西= 击， 西= 击【一罨蔫西】 ： ( 2 4 2 ) 磊= 士即一薹铹吼 其中a 。= j ，h i l l _ 1 = i 一一薹错弓| j f = 2 ，3 ，n ，j 开表示向量r 啪欧氏长度。 我们设，( t ) ，一( ) ，再”) ( t ) 线性无关。用f ( 矗，而，磊) 表求西，而，西的线性组 合，对弧长s 求导则可得到： 考虑： 两边对s 求导 又及 f ( 西，而，一，磊) = f ( 西，而，磊+ 1 ) ( 2 4 3 ) 一 面2 a 0 8 1 塞= 硝五+ 印 d t1 d s o o 9 ( 2 4 4 ) r n 中曲线论初步 代入( 2 4 4 ) ： 继续对( 2 4 5 ) 两边s 求导 将( 2 4 3 ) 代入化简为： 同理依次求导化简可得： 进行变换： = n 0 西磊+ 碡l 邑 ，= f ( 西) + k l 舀 j 忑d t = f ( 而) 7 + ( 碚七1 ) 而+ 碚七t 磊 一3 ) = f ( 磊，邑) + 罐t ( 2 4 5 ) 一) = f ( 而，西，磊一1 ) + n ；h 如一2 一1 ( 2 4 6 ) a ) 一12 雨赢+ f ( 磊，磊，磊一i ) ( 2 。4 7 ) 由( 2 4 2 ) 可知： 一。) = d 1 磊+ f ( 西，磊一1 ) 综合比较( 2 4 1 ) 、( 2 4 ，7 ) 和( 2 _ 4 8 ) 我们可得到： 即曲线的i 阶曲率为 例2 4 1 给定曲线7 ， 则 f ( 而，而，磊一1 ) = 一岛一2 e 。i 一2 ( 2 4 8 ) ，n 一l 如一1 2 a o k x k 2 k l - 2 2 矛彘，汪”一，一1 ( 2 4 9 ) 位置向量为覆) = 0 c o s t ，a s i n t ，沈) ，其中如为常数，假设均大于o 。 ，( z ) = ( 一a s i n t ，a c o s t ，厶) 1 0 即中曲线论初步 根据( 2 4 2 ) 可得： 代入( 2 4 9 ) 町得： ( ) = ( 一c o s t ，- a s i n t ，0 ) ( t ) = ( a s i n t ，- a c o s t ，o ) ， 咖= i ，i = 、瓜巧万i 而= ( - a 刁s i n 再t , a c 矿o s t 一, b ) ， o l = i 一( ，西) 西l = n ， 西：( - a c o s t , - a s i n t , 0 ) ， o 眈= l 一( ，巨) 磊一( ，西) 而l = 了南 ”嚣= 南a ， 十扩= 丽a 2 = 万 口 推论2 4 1 对于参数为t 的3 维c 。曲线7 ，位置向量为即) ，其曲率为：坪铲，挠率为：1 ；i ；铲 推论2 4 2 对于弧长参数化的3 维c 3 曲线，y ，位置向量为硝s ) ，其曲率为：磁，挠率为： e ! 益：型，1 1 ，矗产 r n 中曲线沧初步 第三节关于弧长和曲率的几何不等式 定义3 1 ( 非退化) 若r ”中的c n 曲线1 有f r e n c t 标架，则说曲线7 是非退化的，即存在着一组 沿着1 的l e 交基使得 ， = 为 日= h 而 而 = 一 l a + 如西 磊= 一 k 2 9 2+ 邑 ；( 3 1 ) = 一 厩一l e l i 一1 + 五+ 1 爵一l = 一 k 一2 磊一2 + k l 蠢 磊= 一一l 磊一1 ， 其中是对弧长求导，劝吖的位置向量，k l ，k 2 ，一，h 一1 是，y 各阶曲率。 我们设k i 0 ，i = 1 ，2 ， 一1 ，k n = 0 定义3 2 ( 闭曲线) 若，y ：f 0 ，l j r “可推出个g “映射：彳：s 1 一r ”，其中s 1 是圆， 即戒o ) = 敢l ) ，一。( o ) = 一4 ( l ) ，i = l ，札，则称1 是闭曲线。 若戒0 ) = 硬l ) ， 日，( o ) ，( l ) ，则称7 ：1 0 ，l 】一碾口是顶多有一个隅角的闭曲线a 定义：= 旧磊) ，i = 1 ，2 ，一，n ，其中( ，) 是r “中的内积。 则 n ，= 嚼 ( 3 2 ) i = l r ；= ( 一，而) + ( t ) ( 3 3 ) 将( 3 1 ) 、( 3 2 ) 代入( 3 3 ) 得： = l + l 咆( 3 , 4 ) 同理： r ：= ( ，而) + ( t 乞) = 一k t r t + k 2 r 3 ； 1 2 r n 中曲线论初步 吒= ( ，磊) + ( t 磊) = 一乜r 2 + k a r 4 = ( ，磊) + ( 一) = 一岛一l r 卜1 + n + l ；( 3 5 ) 心= ( f ，磊) + 矗) = 一一f g n i 主要定理：设，y 是闭曲线，若1 不是闭的，则设7 是顶多有一个隅角的闭曲线。设反o ) = 硬l ) = r “中的原点，l 为曲线的弧长，l 司r ，则 l s 舻营弘【型警巡p lsr 2 l 圳丝型等 掣p + l q - i 圳e 幻 + ( 缈2 _ i + ( 墙渤2 + l l 【卜掰+ ( 心，x + ( 忙) 2 其中 蚓如= 雠 且所有的积分区间均是s t o ，纠，等号成立当且仅当1 ( 【o ，l i ) 是r 2 中的半径为r 的圆( n 若是 偶数，则2 。= k n = o 使得不等式右边第二项为o ) 。 证明：因为1 是闭的或在顶多有一个隅角，即：武0 ) = 硬上) 所以我们有： ，= 硬三) 一刷o ) = d 显然： 。= ni = 艮l + k t r 。、d s = l + k n 即： l = 一h r 2 ( 3 6 ) 我们对( 3 5 ) 作积分，其中积分区间均为：s 【o ，引，可以得到： 。= f k i - l r i - i - 觑嘶，忙z ， 1 3 ，n 一1 ( 3 7 ) 舻中曲线论初步 设p 。是任意的实数，m = 1 ，q ，其中q = 嘲则由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得 又： l = 一k l r 2 + 善q - 1 k i t 2 ( f i 从) ( + 。吻+ 。一k 2 j + ：r + 3 ) l = 一 ( p 。) ( h + 吻+ t 一z 协s f = lm = l 。 = 一k i t 2 + ( i ip 。) ( 如- + l - # j k 2 j + 2 r 脚) = 一h r 2 + ( i 胁) ( 竹嘛t k 2 j ) r 2 j + t + ( i i 胁) ( 如j r v + t 一心锄+ 。+ 3 ) ：一k l r 2 + q - i ( j n - i 脚) 厂( 蜥场+ 。一k v ) + ，+ 2 r 3 - ( q - 1 k 。j ) r 2 j) k 。q r 2 。 = 一 ( n 脚) ( 蜥场+ t 一 + 一+ ( ) 。 忙1m = l 。 m = l 。 可得： 进而： 将上式代入： 可得： 同理我们有： f 1 r 1 r 2 j + l lsr ，j 一1 ，一，q 一1 厂r 毛+ 。i l r 乞+ 。ls r 2 l ( 3 8 ) ( 心+ t k 2 j ) r 2 j 川s ( 脚+ 一) 2 陬吗+ 1 ) ； ( 3 9 ) ( 膨+ ，一场) 饧+ l j 风伍i ( 一场+ ，一场) 2 声 ( 3 1 0 ) k 2 r 3 l r 以( 固 如。脚住( 确； 1 4 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 硬n 中曲线论初步 事实上， n 蛹m 一如疗= 屿h “一2 | 嘛时旧 = c 脚一锴) 2 + 堕掣 特别地：脚是任意实数，所以我们町以取 这样可以得到： 即： 脚2lk “如i l 避m r ，d ，厅芒l 符i f ，砀，磕+ 1 一( 厂锄+ 1 ) 2 l l r 扼萎i 娶l 【坐型鱼节菱攀p 们烟重1 1 1 圳削+ 响够2i + r y e ( 礤；1 + r 以i i ( 磕) + 冗以( 心，。：) ； m = p。p ls 砰 蓦i 卦【趔等警巡pls 砰 i p 。l 【些世等裂型p + i 卧拈灯( 缈2 _ l + ( 2 - 铲： + i i ( 心。) + ( 心jz + ( ) 2 m = 1 ” ” ” 例3 1 给定曲线1 ，位置向量为武t ) = ( r c o s t ，r s i n ) ，t 【0 ，2 7 r 】则由主要定理可得： 而 所以： 舻，2 ”；如 j 0 岛= 去 三 3 足关于疗为参考向量和常数c ( c 0 ，士1 ) 的螺旋线，f ： j r ”是7 的到与万垂直的超、f 面的j e 交射影，则，是中的螺旋线当且仅当7cy i i ，其 中n l 是既不平行h 也不垂直n 的超f 面。 证明：假设f 是关于i d ( ) 的螺旋线。考虑正交基( 西，邑，爵) ，使得磊一l = 最磊= 玉 且设是向量子空间 可得 e ( 8 ) = r l ( s ) 磊+ r 2 ( s ) 磊+ + r 。0 ) e s , = f ( s ) + ( c 8 + d ) 晶，( 4 1 ) 且1 f ( s ) i = r = = c l ，0 c l 1 作参数变换a ( t ) = 岳使得f 。a 是弧长参数化的。 由f 足关于磊一。的螺旋线我们可以得到： 户。a ( s ) = r l ( a ( s ) ) 西+ r 2 n ( s ) ) 而十+ r n - 2 ( a 0 ) ) 磊一2 + ( q s + d 2 ) 磊一l 硝s ) = n ( 8 ) 而+ 您( s ) 西+ + 一2 ( s ) 磊一2 + c l q s 磊一l + d 2 f n 一1 + 磊+ d 磊= ( t o 妒) ( 户( 占) ) 其中t 是由( d 一蛊) 靠决定的变换，妒：r “一r ”是关于基晒，而，一，磊) 的线性映射，变换 矩阵为： 1 1 8 l 孟0 。也 +沈+_ 岛0 + +_ 吃0您 + _ 日 州 璧讣”以 ：入即代 i n 中曲线论初步 很容易看出结论成立。 = = 假设尹c1 1 1 ，其中1 既不平行也不垂直i i 设旧，西，一，磊) 是关于磊= 疗的l e 交基，再 设单位向量d = l 西+ + t l 。磊o ( n 1 ) 1 ，我们有 1 t 4 ( 4 1 ) 变换得剑： 代入可得： ( ，( s ) ，回= 0 ，( ，( s ) ，司= c ，( s ) = ，( s ) 一峨 ( 矿( s ) ，札l 西+ + u n1 磊一1 ) = ( ，( s ) 一o r ，t t l 西+ 一+ u n - i 晶一1 ) = ( 一( 8 ) ，回+ ( e g ，晶) 一( c 己，回一( 一( s ) ， n 磊) 已知1 既不平行也不垂直n ，则我们可以得到f 足中的螺旋线，参考向量为 常数为 u l e l 十。+ 1 e 一1 ”2 面百f i 瓦= 磊 强万煎i 等丽 1 9 口 r n 中曲线论初步 第五节r ”中曲线的平坦性 在通常的初等微分几何教材中f 面两个命题是熟知的习题，例如，见f 6 】( 第9 2 页和 第9 7 贞) 、【1 0 、【1i i ( 第3 3 贞) 、【1 3 1 、【1 7 】( 第1 5 页) ： 命题5 1 在p 中，若一条曲线的所有切线经过一个固定点，则这条曲线足直线。 口 命题5 2 在r 3 中，若一条曲线的所有密切，f 商经过一个固定点，则这条曲线足、f 面曲线。 口 这两个命题有一个显而易见的共同点，就是反映了二维欧氏空问中曲线的平坦性。如 何将它们推广到对中曲线呢? 这正是本节的任务。我们将得到如卜结论： 主要定理【8 】：在r ”中，若一条曲线的所有密切k 平坦( 女一f l a t ) 都经过一个固定点，则这条曲线 是一条岛平坦曲线，即它落在一个平坦上。 下面我们给出r “2 ) ，中曲线的密切k 一甲坦的定义。设，是一个区间，它可以有界也 可以无界，可能有端点也可能没有端点。对jci ，记敢厂) = 敢) ：t 乃对固定的， 1 k n ，我们来寻找保证敢j ) 属于一个k 平坦的条件。因为我们要寻找的条件只涉及曲 线7 在区间，的内点的行为，并且，任何包含m 盯) 的奄乎坦也包含武，) ，所以，不失一般性， 可以假设j 是一个开区间。 定义5 1 ，若曲线，y ：i 一舻满足下列两个条件： ( a ) 1 是k 次呵微的，( 记作1 c 。，并用一( t ) 表示1 在点t 的第 阶导数) ； c o ) 对v i ，七个向量，( ) ，( t ) ，一( t ) 足线性无关的( 特别地，对所有的t i ，( t ) 0 ) ， 则称曲线1 是条一曲线。 对t i ，定义 l o ( t ) = s p a n f ( t ) ，( t ) ，一( t ) ) ， l ( t ) = e ( t ) 十l o ( t ) 我们称l ( t ) 是曲线1 在t 处的密切平坦。 现在，对”中任何子集v scr ”，记a f f ( s ) 是s 的仿射扩张。 定义5 2 设1 ：，一豫“足r “中一条女一曲线，若7 包含在舻中一个一平坦中，亦即，o ，( 双川足维 2 0 r n 中曲线论初步 的，则称，y 是平坦的。 下面我们分成几个引理来完成本节主要定理的证明 引理5 ，1 设1 ：i 一，p 是r ? 中一条k 一曲线，j 是朋q 一个开子区间，lc p 足一个k 平坦， 且政j ) cl ，则i n c l j , l = n ，( 讯t ，) ) = l ( t ) 证明：设l o = l l = 方舻l 仃= 声一甙正彳) 若t j ，则 即) = 热塑掣 即：e ( t ) 别j ) s e 点的差分的数量倍数的极限因此，e ( t ) l o 若t 是j 的端点，则假设t j ，结论同样成立。 重复上述过程可得和) ( t ) l o ，i = 1 ，且对t i n c l j ， l ( t ) = 媛) + s p a n ，( t ) ，( t ) ，再( t ) ce ( t ) + l o = l 蕴涵t d i m l k 此外，若d i m = k ，则 l ( t ) = f i t ) + s p a n f ( t ) ，0 ) ，一0 ) = 己 口 下面我们引入平坦区问的概念若爿j ) 包含在f 坦上，则称，的开予区间j 是甲坦区 问( 记作f i ) 。由引理1 ，任意的，f 坦区间，包含在唯一一个最大的平坦区间j q 6 ( j 是包含j 的 所有严坦区间s 的并集) 。由开集的并还是并集可知m f i s 是开的，且两两小相交。 引理5 2 若 和j 2 是共一个端点s 的不相交平坦区问，则 u 3 u 如也是平坦区间。这里 的最 ) 和敢如) 均包含在同一个k 一平坦上。 证明：由引理1 有： 敢 u s ) u 如) c5 ( 8 ) 特别地两个不相交的m f i s 不可能共端点，否则它们的并才是m f i 口 2 1 r n 中曲线论初步 用一( t ) 表示下面矩阵： 芦( 幻= 贰t ) ，( t ) 一一1 ) ( t ) 考虑坐标 g k 敢t ) 的第f 列可写成列的基的线性组合，组合的系数可用克莱姆法则 得到，即可以写成： 拙t ) = b ( f ) 乎( f ) e ( i ，z ，) j 耳 其中i 是行指标，0 i k 一1 ，j k ，t j ，且沁( ) 是关于t 的可微函数。 对于方程e ( i ，f ，t ) ) 0 s k l 求导可得： 批t ) = 旦d t 辄) 2 j k 秽( 薹心( 幻搠j k 迸面得出： e ( i ，z ，t ) = p “+ 1 ，z ，力， a 矽( t ) = o ，o s l sk 一1 ，j 瓦卫 j k 2 2 r n 中曲线沦初步 再由弓足线性无关的我们可以得到：沁( t ) = 沁= 常数。则说明： 而= a 。以1 k j e k 即；n ，( 磺，) 是k 维的，也就是说贰，) 是k 一平坦的。 口 设驴表示m f i s 的集合，f = uj ，我们只要证明f = 腑说明了7 是平坦的。 定义s = l f ，则只需要证明s = o 即可。 由引理5 2 可知：f 包含了所有使r a n k r - r ( t 1 = 的t 朋q t 点。 命题5 3 s 没有孤立点。 证明：假设s 是s 的孤立点，则s 是f 的两个不相交的组成部分的端点，即是两个不相交 的m f i s 的端点，有引理5 2 可知这是不可能的，假设矛盾。 口 设s s ，由引理知：r a n k r 升( s ) 根据一( s ) 有s ) ，( s ) ，再k - 1 ( 8 ) 这k 行和讯8 ) ， ，( 8 ) ，渺一1 ( 5 ) 是线性无关的，我们可得到：敢s ) 是，( 8 ) ，再h 1 ( 3 ) 的线性组合，则 可设 敢s ) = b l ，( s ) + + b k 一2 再一2 ( s ) + 6 k 一1 一七1 ( s ) ( 5 1 ) 设元素个数为k 的集合kcn ，考虑詹行列式 c d t ) = d e t ( 一) ：0 i k 一1 ，j r ) 对t s ，由引理知机( t ) = 0 ，特别地当t - s 时，冈为s 中没有孤立点，所以s s ) 中有 列 s 。) ：。收敛于s 由行列式的导数等于每行求导的和可知： 0 = 以( s ) = d e t ( ( s ) ：i o ，1 ，一，k 一2 ， ，j ) 则可得到行为s ) ，( 8 ) ，一一( s ) 一( s ) 的矩阵秩小于k 又及，( s ) ，一一2 ) ( 8 ) ，一( s ) 是 线性无关的，我们可以得到：政s ) 是，( 5 ) ，矗扣2 ( 8 ) ，一( s ) 的线性组合。即： 反s ) = o l 一1 ( s ) + - + 钆一2 一k - 2 ( 8 ) + 口k 一( 8 ) ( 5 2 ) 再综合( 5 1 ) ，有： ( a l b 1 ) ，( s ) 十十( o k 一2 一b k 一2 ) 一k - 2 ( s ) 一“l 一一1 ( s ) + o k 一( s ) = 0 ， 2 3 誓中1 i i f 线论初步 再根据，( s ) ，一( s ) 线性无关，可德：q = 蛇1 i 一2 ，b k l = 0 ，= 0 代入可得： 覆s ) = 8 i ，( s ) 4 - + 口k 一2 一一2 ( s ) 即：最s ) 町由，( s ) ，一，r - ( 一2 ) ( 8 ) 线性表示。再设 a l o ) = d e t ( ：0 s i e 一2 , j k ) ， 其中k 元素个数为k 1 重复上述过程可得到r ( j ) 只线性依靠空集，即对s s ，有敢s ) = 西与定义5 i 中的( b ) 相 矛盾，则s = g 口 参考文献 【1 】y u a m i n o v , d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dt o p o l o g yo fc u r v e s ，a m s t e r d a m t h en e t h e r l a n d s ： g o r d o na n db r e a c hs c i e n c ep u b l i s h e r s ，2 0 0 0 【2 】m p d oc a r m o ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fc u r v e sa n ds u r f a c e s ，p r e n t i c e h a l l 。e n g l e w o o d c l i f f s ，n j ，1 9 7 6 ( 有中译本) 【3 】f j c r a v e i r od ec a r v a l h o ，at h e o r e mo fer f a b r i c i u s b j c i t eo nh e l i c e s p i e p u b l i c a c o e s d od e p a r t a m e n t od em a t e m a t i c au n i v e r s i d a d ed e c o i m b r a p r e p r i n tn u m b e r0 3 0 1 【4 jm g h o m i ，c l a s s i c a lo p e np r o b l e m si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , l a s tr e v i s e do c t o b e r2 1 2 0 0 4 ( h t t p ：w w w m a t h g a t e e h e d u g h o m i p a p e r s o p p d 0 【5 】v a o o r k a v i y , o n ei n t e g r a li n e q u a l i t yf o rc l o s e dc u r v e si ne u c l i d e a ns p a c e ，c r a sp a r i s 3 2 1 ( 1 9 9 5 ) ，1 5 8 7 1 5 9 1 6 1c c h s i u n g ，af i r s tc o u r s ei nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , p u r e a p p l i e dm a t h 。w i l e y , n e w y o r k , 1 9 8 1 【7 1wk l i n g e n b e r g ，ac o u r s ei nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，g t m51 ，s p r i n g e r , b e r l i n ，2 n de d i t i o n 1 9 8 3 【8 】y s ，k u p i t z m ，a p e r l e s ，ac o n d i t i o nf o rf l a t n e s so fc u r v e si n 靴。a m e r m a t h m o n t h l y 9 7 ( 1 9 9 0 ) ，4 0 1 4 0 5 1 9 j m l e e ，r i e m a n n i a nm a n i f o l d s ：a ni n t r o d u c t i o nt oc o l v a t n t e , s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k 。 l n c 1 9 9 7 1 1 0 ls l i p s c h u t z ，t h e o r ya n dp r o b l e m so fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , s c h a u m so u t l i n es e r i e s ， m c g r a w h i l l ，1 9 6 9 【11 】r s m i l l m a n g d p a r k e r , e l e m