（固体力学专业论文）浅埋圆柱形弹性夹塞附近的半圆形凸起对SH波的散射.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文采用“契合”的思想，研究了地下圆柱形弹性夹塞与地面上的半圆 形凸起地形对s h 波散射问题。将整个求解区域分割为两部分来处理，其一 为包括半圆形凸起在内的一个圆形区域i ，其余为区域i i 。在两个区域中分 别构造位移解，并在“公共边界”上实施“契合”。在区域i 中构造一个上 半部边界应力为零，而其余部分位移、应力任意的驻波解；在区域i i 中构造 出半圆形凹陷和圆柱形弹性夹塞的散射波，且要求满足水平界面上应力为零 的约束条件。再通过移动坐标，满足“公共边界”的“契合”条件和地下弹 性央塞的边界条件，建立起求解该问题的无穷代数方程组，并用截断有限项 的方法进行计算。最后给出了例题和数值结果，并对其进行了讨论。 关键词：s h 波散射；半圆形凸起；弹性夹塞；契合；移动坐标 堕玺鎏三垂盔兰堡主堂焦笙塞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h es c a t t i n go fs h - - w a v eb yas e m i c y l i n d r i c a lh i l la b o v ea s u b s u r f a c ee l a s t i c c y l i n d r i c a l i n c l u s i o ni n h a l f - s p a c e i ss t u d i e db a s e do n c o n j u n c t i o n ”t h ew h o l es o l u t i o nd o m a i nw a sd i v i d e di n t ot w op a r t s , t h ef i r s t o n ei sac l r c l ed o m a i n ，w h i c hi n c l u d e st h eb o u n d a r yo ft h es e m i - c y ! i n d d c a lh i l l ， a n da l lo ft h er e s tw a sc o n s i d e r e dt ob et h es e c o n do n e t h es o l u t i o no f d i s p l a c e m e n tw a sc o n s t r u c t e di nt h et w op a r t sr e s p e c t i v e l y , a n dt h e nt h et w o s o l u t i o n sw e r ec o n j o i n e do nt h ej u n c t i o ni n t e r f a c e as t e a d yw a v ef u n c t i o ni s c o n s t r u c t e di nt h ec i r c l ed o m a i n ，w h i c hs a t i s f i e st h ec o n d i t i o nt h a ts t r e s si sz e r oa t t h eh i l le d g ea n da r b i t r a r ya to t h e rp a r t i nt h es e c o n dd o m a i n ，i n c l u d i n gas e m i c y l i n d r i c a lc a n y o na n das u b s u r f a c ee l a s t i cc y l i n d r i c a li n c l u s i o ni nh a l f - s p a c e ，a s c a t t e r e dw a v ef u n c t i o ni sc o n s t r u c t e d ，w h i c hs a t i s f i e st h ec o n d i t i o nt h a tt h es t r e s s i sz c r oa tt h eh o r i z o n t a ls u r f a c e t h e nb ym o v i n gc o o r d i n a t e ，t h et w os o l u t i o n s t h a ts a t i s f i e dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o na tt h es u b s u r f a c ee l a s t i cc y l i n d r i c a le d g ea r e c o n j o i n e do nt h ej u n c t i o ni n t e r f a c e f i n a l l y , t h es o l u t i o no ft h ep r o b l e mc a nb e r e d u c e dt oas e r i e so fa l g e b r a i ce q u a t i o n st h a tc a nb es o l v e dn u m e r i c a l l yb y t r u n c a t i n g t h ef i n i t et e r m so fi n f i n i t ea l g e b r a i ce q u a t i o n s t h ee x a m p l e sa n d c o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa r eg i v e na n dd i s c u s s e d k e yw o r d s ：s c a t t e r i n go fs h - w a v e ；s e m i c y l i n d r i c a lh i l l ：e l a s t i cc y l i n d r i c a l i n c l u s i o n ；c o n j u n c t i o n ；m o v i n gc o o r d i n a t e s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的引用已 在文中指出，并与参与文献相对应。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。 对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：年月日 堕玺鎏兰型奎堂堡主堂堡堡墨 第1 章绪论 1 1 弹性波散射问题研究概况 弹性波在弹性介质中传播，当其遇到障碍物( 夹杂、孔洞、裂纹等) 时， 将与障碍物发生相互作用，这种相互作用的结果使障碍物表面上任何一点成 为一个新的波源，这些次生的波源向各个方向发出次生波，这种现象称为弹 性波的散射，次生波称为散射波，障碍物也被称为散射体。 研究弹性介质内异质物对弹性波的散射问题在许多工程领域中具有重要 意义。例如，矿产勘探、石油勘探及定量无损检测，雷达、声纳和爆炸等技 术的应用和发展，归根到底需要弄清楚弹性波的散射效应与埋藏的异质物的 几何、物理特性之间的关系，弄清楚散射效应与某些断裂力学参数的相互关 系等。从工程应用的观点来看，很多弹性波散射问题是弹性动力学的反问题， 即是在已知弹性波散射效应的前提下反推诸如散射体( 埋藏物) 的位置、大 小及方向，以及介质特性、发射源等。要系统地解决这些反问题，毫无疑问， 首先要对相应的正问题进行系统深入的研究，得到问题的固有规律和特性， 从而为反问题的最终解决奠定基础。对弹性波问题进行分析研究最早的是著 名学者a c l e b s c h 。早在1 9 世纪中叶，c l e b s c h ( 1 8 6 3 ) 为弄清光波的散射， 分析了球状夹杂物对矢量波的散射效应。9 年后，l r a y l e i g h 于1 8 7 2 年首次 对声波的散射问题采用波函数展开法进行了研究，讨论的散射体是刚性或充 气的球状夹杂物。对弹性波的散射给出一般分析的首先是s e z a w a i 一1 。他在1 9 2 7 年完成了对球、圆柱和椭圆柱体引起的入射p 波的散射的研究，利用特殊波 函数构造了问题的解。在这以后，这方面的问题一直很少有人问津。 弹性波的散射问题真正成为物理及工程领域中活跃的研究课题是在本世 纪4 0 年代末和5 0 年代中期。w o l t l 2 】，n a g a s e l 3 1 并1 k n o p o f t a 】先后对球体的散射 作了研究，内容偏重地球物理学中的应用。n i s h i m u r a 和j i m b o i s 懈决了各向 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 异性介质中球体孔洞的动应力集中问题。他们沿用s e z a w a 早期工作的研究步 骤，通过假设一个随时间变化的谐波入射到一个无限弹性空间内嵌有刚性、 真空或弹性的球形上产生散射，从总的波来确定球体外各处的应力和位移。 他们得到了随入射波长变化的应力分布，对于频率趋于零的无限大波长的情 况，结果与相应的静力情形相吻合。 同一时期，在声学领域，w h i t e l 6 和k a t o i n 分别运用实验和理论的方法对 弹性圆柱体的散射给予了分析。p a o 等l q 、m o w 等0 1 还探讨了圆柱体内含物的 动应力集中问题。b a r o n 等人 1 0 , 1 1 j 率先对弹性介质中圆柱形空腔引起的脉冲散 射问题进行了分析，使用积分变换和波函数展开法给出了压缩波散射的解析 解。 j a i n 和k a n w a l l l 圳还全面研究了圆柱形缺陷( 或内含物) 和球体对弹性 波的散射，得到了长波长情形下的位移场、应力场、远场幅值、动应力强度 因子及散射横截面的近似公式。这里，对圆柱体和球体，求解的途径仍是采 用波函数展开法。 d a r t 等人f 1 4 l 提出采用匹配渐进的方法分析了半空间内含柱形孔洞对p 波、 和s v 波和s h 波的散射问题，给出了远场的渐近表达式及相应的数值解。此 方法的基本思想是将原问题转化成对应于散射近场和远场的内外两个问题来 考虑，而这个问题的解是应用不同的级数展开形式的解为依据，通过一定的 条件匹配而得到的。k r i e g s m a n n 等人吣l 近年来利用这一方法讨论了声介质中 的散射问题。 刘殿魁等人1 1 q 于1 9 8 2 年成功地将弹性静力学中的复变函数法推广到二 维散射问题的分析之中。对于单个和多个任意形状的孔洞，该方法可有效地 解决动应力集中问题。 堕堑堡二堡奎堂堡主堂堡笙苎 1 2 本课题的研究现状 1 2 1 地形问题的研究现状 地面运动是一个复杂的物理现象，受到多种因素的影响。无论从震害的 宏观调查还是从已有的理论成果来看，局部地形条件对地震产生的地面运动 影响很大。研究不同形式的地形对地面运动的影响，为结构的抗震设计提供 合理的参数，是地震工程中的重要课题之一。 地形变化的模式，大致可分为凹陷地形和凸起地形两种基本形式。1 9 7 3 年t r i f u n a c l l 7 1 首先利用波函数展开法求解了平面s h 波对半圆形凹陷地形的散 射问题；1 9 8 2 年刘殿魁等人1 1 6 1 成功地将弹性静力学中的复变函数法推广到 二维散射问题的分析之中；1 9 9 0 年和1 9 9 1 年刘殿魁i 】8 i i t 9 】等人求解了平面s h 波对任意形凹陷的散射问题：1 9 9 3 年刘殿魁、许贻燕1 2 2 1 研究了各向异性介质 中s h 波与多个半圆形凹陷地形的相互作用；此后凹陷地形散射问题经过众 多学者的发展得以完善。由于凸起地形内存在对入射波的多次反射，与凹陷 地形相比，凸起地形引起的散射波更为复杂，因此对凸起地形影响的理论分 析进展得比较迟缓。直到1 9 9 2 年袁晓铭才采用波函数展开法求解了半圆形和 任意圆弧形凸起对平面s h 波的散射问题。1 9 9 5 年刘殿魁等人采用“分区” 的思想，用一个全新的方法对圆弧形凸起地形的散射问题进行了研究，将问 题转化为一个普通的“契合”问题加以解决。在“分区”、“契合”思想的指 导下，文献1 2 0 , 2 1 分别给出了单个半圆形凸起地形和多个半圆形凸起地形对平面 s h 波散射的解析解。在此基础上，文献1 2 ，】利用复变函数和移动坐标法研究了 地下孔洞与地面上半圆形凸起地形对平面s h 波的散射和地震动问题。刘殿 魁、王国庆和王艳等人在2 0 0 2 年又分别研究了含圆形孔洞的半圆形凸起以及 半圆形凸起附近的浅埋衬砌对平面s h 波的散射问题 2 3 , 2 5 i ，2 0 0 1 年t r i f u n a d 刎 在研究柔性基础和规则三角形坝体结构相互作用时讨论了三角形凸起的地形 影响问题并给出了部分算例。 哈尔滨工程人学硕士学位论文 以上关于地形问题对波的散射的影响的研究大都是对于弹性波散射中最 简单的模型稳态s h 波而言，而对于平面p 波和s v 波的研究则相对较少。 在这方面，1 9 9 0 年c a o ； t l l e e 研究了半圆形凹陷对平面p 波的散射【2 6 】；1 9 9 7 年刘 殿魁、刘宏伟等人利用复变函数法研究了p 波对具有不等深度凹陷地形的散射 1 2 1 ；2 0 0 1 年梁建文和l e e 等人利用f o u r i e r b e s s e l 级数展开法研究了圆弧形层 状沉积谷地对入射平面p 波的散射m 2 9 。2 0 0 3 年梁建文等人又研究了圆弧形 层状沉积谷地对入射平面s v 波的散射。至于凸起地形对入射平面p 波和s v 波的散射方面的研究至今还尚未出现。 在以上诸多局部地形影响分析的成果中，多数为理论和数学方法的研究， 直接提供数值结果和可方便指导实践的资料并不多”。本文就弹性波散射中 最简单的模型稳态s h 波对半圆形凸起界面附近浅埋圆柱形弹性夹塞的 散射问题进行了研究。它不但可以提供一个便于工程实践的分析方法，而且 还为研究相类似问题提出了一种新方法。 1 2 2 半圆形凸起及浅埋孑l 洞地形问题研究现状 l e e 等人分别于1 9 9 5 年和1 9 9 9 年研究了有关浅埋孔洞和浅埋孔洞与凹陷 地形对s h 波散射与地震动影响问题1 4 8 4 9 。崔志刚、刘殿魁等于1 9 9 8 年采用“契 合”的方法，给出了求解平面s h 波对半圆形凸起地形的散射问题的新方法例。 2 0 0 2 年，刘殿魁、王国庆和王艳等人又分别研究了含圆形孔洞的半圆形凸起 以及半圆形凸起附近的浅埋衬砌对平面s h 波的散射问题1 2 3 2 5 1 。在求解中，采 用“分区”的思想研究了半圆形凸起地形对s h 波的散射情况。 1 3 波动问题的研究方法 近几十年来，一大批有识之士致力于弹性波散射问题的研究，已提出多 种分析方法用于弹性波散射的远近场分析1 3 3 】。这些方法多数可推广用于界面 波动问题的研究，其巾主要有： 哈尔滨工稃大学硕士学位论文 ( 1 1 波函数展开法：在曲线坐标中，通过对标量或矢量波动方程作变量 分离，利用一些曲线坐标和与之对应的特殊函数【3 4 i ，如b e s s e l 、w e b e r 、m a t h i e u 函数来构造波动方程的解，并进一步满足边界条件，求解边值问题。由于曲 线坐标的种类有限，到目前为只有1 1 种( 直角坐标、圆柱坐标、椭圆柱坐标、 球坐标、圆锥坐标、抛物线坐标，扁长球面坐标、扁球面坐标、椭圆球面坐 标、抛物面坐标) ，而对于矢量波动方程，分离坐标的数量仅限于前6 种，因 此，该方法在使用上受到很大限制。但是它所提供的原则和解答，对人们 以后求解弹性波散射和动应力集中等问题起到了非常重要的作用。 ( 2 ) 积分方程法：广泛应用于弹性波散射问题的研究。一般从弹性动力 互等原理出发导出积分方程。根据积分表达式定理，可以用一个面积分和一 个体积分来描述由任意形状的物体产生的散射波。对于材料性质不连续的夹 杂物，可以通过等价的体积力与周围介质g r e e n 函数的体积分来描述由不连 续区域引起的散射波。由于体积分中的未知函数含有总波场，所以我们得到 的是关于散射波的积分方程，其类型主要为f r e d h o l m 型积分方程和具有 c a u c h y 型积分核的奇异积分方程。可用渐近方法或叠代方法进行求解。如果 第一次试函数用入射波长代替总波场，所得的解被称为b o m l * l 近似；如果用 静态场代替未知的总波场，所得的解被称为静态近似1 3 7 1 。积分方程对于二维 定常波和瞬态波问题很有效。 ( 3 ) 积分变换法：利用已有的积分变换将偏微分方程化为变换空间的代 数方程或常偏微分方程进行求解，再将得到的解答做逆变换到物理空间，从 而得到真实解答。该方法多被用于瞬态动力问题的分析，但逆变换一般需要 进行数值反演，由于反演具有内在的不稳定型而常常遇到困难。 ( 4 ) 传输矩阵法( t - 矩阵法) ：适用于任意形状散射体的弹性体散射问题。 根据定常弹性波的不同表示定理，w a t e r m a nr 。s 】和p a o i ”瞎几乎同时提出了弹性 波散射的t - 矩阵法。这种方法来源于电磁波和声波的散射矩阵理论。它的基 础是弹性波散射的积分表达式和各种波函数，即把积分表达式中的已知或未 知函数用波函数表达，考虑边界条件得到求解未知系数的t _ 矩阵方程。转换 s 哈尔滨工程大学硕士学位论文 矩阵的主要特点是如果散射体确定，则转换矩阵不变，与入射波无关，而且 转换矩阵具有某种正定性。 ( 5 ) 摄动法：对波动方程或其边界条件进行摄动，然后再进行求解的一 种近似方法。以摄动边界法居多。摄动法也常和其它方法相结合用于问题的 求解。近几十年来这一方法又发展为渐近匹配法，将原问题变为内问题和外 问题，内外问题用不同的级数求解，然后按一定的条件匹配起来。这种方法 用于声波和弹性波l 柏l ，研究任意形状物体的各种参数对散射的影响。 ( 6 ) 射线法：k e l l e r 和l a v y 根据声波理论提出的射线法在波动理论中得 到深入的发展。a c h e n b a c h l 4 1 1 等详细阐述了射线法在弹性波散射理论中的应 用。弹性动力射线法的思想是把波动方程中的势函数取为级数形式，该级数 具有未知的振幅和相位函数，在高频意义下，获得的相位函数满足径向方程， 振幅满足传输方程，其结果与实验结果吻合。尽管射线理论在原理上仅仅对 高频波适用，但是实际上可以用于一定的低频范围。 ( 7 ) 复变函数方法：刘殿魁等人1 4 z 删提出的复变函数方法为求解二维散射 问题提供了一个新的有效方法。此法是弹性力学复变函数法的推广，在保角 变换下，引入“域函数”的概念，使得变换后的波动方程的通解可以表示为 以“域函数”为项的波函数的级数形式，通过离散满足边界条件的级数方程 为线性代数方程组，可以数值求解。该方法对任意形状的夹杂以及任意形状 的带衬砌的孔洞的弹性波散射问题较为有效i i s , 1 9 , 4 4 , 4 5 。该方法已经应用于板壳 开孑l ( 包括大孔) 等问题的研究m 4 7 1 。 ( 8 ) 数值方法：鉴于弹性波动问题本身的复杂性，人们采用理论分析和 数值计算两种方法来求解问题。在通常的情况下，解析解很难得到，它只限 于几种最简单的情况。由于实际介质的情况的复杂性和多变性，使得解析方 法的应用常常受到限制，而直接的数值方法也被用来分析稳态波入射问题， 其中，透射边界研究取得了重要进展，有限元法、有限差分法、边界元法、 边界法和混合法等数值法取得了大量的在工程中有使用价值的研究成果。然 哈尔滨_ l = 程人学硕士学位论文 而，计算量大、高频波入射时误差不易控制以及不易实现对问题的深入分析 等，仍然是数值方法将要克服的缺点。 1 4 本文的主要工作 本论文建立了求解浅埋圆柱形弹性夹塞附近的半圆形凸起对稳态s h 波 散射的物理模型( 如图1 1 所示) ，给出了一定边界条件下的s h 波散射的解 析方法。不但可以提供一个便于工程实践的分析方法，而且将此种地形影响 的研究推进一步。 x x 1 图1 1 浅埋圆柱形弹性夹塞附近的半圆形凸起地形示意图 f i g1 1t h e m o d e lo fas e m i - c y l i n d r i c a lh i l la b o v e as u b s u r f a c ee l a s t i cc y l i n d r i c a li n c l u s i o n 首先根据三角函数的性质，利用复变函数法构造出一个可以自动满足半 圆形凸起界面上应力自由边界条件的驻波；其次，利用s h 波散射的对称性 和多级坐标法，构造了一个可以自动满足水平界面上应力自由边界条件的s h 波散射的波函数。利用移动坐标法和“契合”思想将所研究的问题转换成一 个只需要满足“公共边界”上的应力、位移连续的“契合”条件的问题，并 哈尔滨工程大学硕士学位论文 借助了浅埋圆柱形弹性夹塞物周边的边界条件进行求解。该问题的解答，最 终又可归结为对一组无穷代数方程组的求解问题，并可利用截断有限项的方 法对其进行计算。最后，给出了当稳态s h 波入射时，弹性夹塞物周边动应 力集中系数的算例和数值结果以及半圆形凸起地形表面位移幅值的算例和数 值结果。首先讨论了具有不同剪切模量和密度的弹性夹塞以及不同半径的弹 性夹塞对动应力集中的影响，然后讨论了具有不同剪切模量和密度的弹性夹 塞以及不同半径的弹性夹塞对地表位移幅值的影响，得到了一些初步的结论。 本文具体工作如下： 第一章概述弹性波动理论的工程背景与应用，阐明有关的基本概念、研 究状况和基本方法。 第二章介绍了弹性动力学的基本方程，有关弹性波的基本知识。 第三章研究了半圆形凸起地形附近浅埋圆柱形弹性夹塞对s h 波的散射 和弹性夹塞周边的动应力集中。研究s h 波的散射问题，其关键是在求解该问 题时，要构造一个能自动满足半圆形凸起表面应力自由边界条件的驻波以及 一个自动满足弹性半空间水平表面应力为零边界条件的散射波。前者可以利 用三角函数的性质和复变函数法进行构造，而后者则可以利用s h 波散射所具 有的对称性质以及三角函数的性质来构造。然后再利用移动坐标法和“契合” 思想将所研究的问题转换成一个只需要满足“公共边界”上的应力、位移连 续的“契合”条件的问题进行求解。再借助浅埋弹性夹塞物周边应力与位移 连续的边界条件，最终可将该问题归结为一个无穷代数方程组，并可采用截 断有限项的方法对其进行求解。最后给出了具体算例，并对其进行了讨论。 第四章利用第三章构造的能自动满足半圆形凸起表面上应力为零的边界 条件的驻波以及能自动满足水平表面应力为零的边界条件的散射波，研究了 浅埋圆柱形弹性夹塞附近半圆形凸起对s h 波的散射与地震动问题。 最后，总结了本论文的工作，并展望了本文工作给出的方法的应用前景。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章基本方程 2 1 弹性动力学的基本理论 2 1 1 弹性动力学的控制方程 由动量平衡、角动量平衡和能量平衡三个原理可以推得体积为v ，表面 为s 的连续、均匀、各向同性的线弹性体中的动力学问题的控制方程i s o l 为： 运动方程 o q i + p f i = p 矗。 t 2 - 1 ) 本构关系 几何方程 质量守恒式 动量矩守恒式 盯# 暑a 占从d 口+ 2 肛占口 ( 2 - 2 ) 5 d i 10 f ，+ “) p = p o o q 。o i ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) 即应力张量是对称性的。6 。称为k r o n e k e r - 6 函数， 铲器暑 ( 2 - s ， 考虑到应力和应变的对称性，上述应力张量、应变张量和位移矢量的分 量共计有1 5 个未知数，当体力、密度和弹性常数为已知时，( 2 - 1 ) 、( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) 共计1 5 个方程，这组方程便成为一套完整的方程组，在适当的边界条件和 初始条件下就构成弹性动力学的定解方程。 哈尔滨工程人学硕士学位论文 对于均匀、各向同性的线弹性体，把( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) 代入运动方程( 2 1 ) 可得 以位移矢量表示的运动方程： ) 杀+ 肛杀帆= p 争，“- 1 ，2 ，3 d x i x ；d x ?dt 2 1 2 波动方程的简化 在不考虑体力作用( ，= o ) 的情况下，位移运动方程用矢量和张量符号表 示为 ( + v ) v ( v h ) + v 2 h = p ( 2 - 8 ) 按照h d m h o l t z 定理，任何一个矢量场都可以表示为一个标量场i v 的梯 度与一个矢量场卿q 旋度之和： h v 妒+ v 哆 v 矽= 0 ( 2 9 ) i v 和吲尔为标量和矢量位移势。将上式代入方程( 2 - 9 ) 得 v 【( a + 2 ) v 2 妒一p ；】+ v 【肛v 2 妒一p 妒】= 0( 2 1 0 ) 如果 2 2 + 2 p ) p ( 2 - 1 1 ) c ；一肛p 上述方程便可以满足。这里可以看出，妒和吩别满足一个标量波动方程和 一个矢量波动方程。 由于波动方程比原始运动方程简单了许多，所以，可以从方程( 2 9 ) 构造 出h 的解，并使其势能满足波动方程( 2 - 1 1 ) 以及边值条件和初始条件。完备性 定理指出：( 2 8 ) 中的每一个解都能分解为式( 2 - 9 ) ，所含有的妒和哟满足方 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 程( 2 - 1 1 ) ( v = 0 9 非唯一条件) 。完备性定理还肯定在弹性固体里仅存 在两种类型的波，其一是以速度c 。传播的妒波，其二是以速度c ，传播的瞰。 由于a ) 0 和肛，0 ，故c 。恒大于c 。这两种波的波速之比仅仅是材料泊 松比1 ，的函数，用单独符号r 来表示 r ；垒；( 生马 ：( 臻) 5 ( 2 - a 2 ) c s “l 一“ 由v 妒产生的波的速度较快，称为初波( p 一波) ，由v 妒产生的波称为次 波( s 波) 。为了用别的物理性质来区分这两种波，考虑位移分解式 u - u l + 1 1 2( 2 一a 3 ) 式中已记 u 1 = v 妒u 2 一v x 、i ，( 2 1 4 ) 由上式易知 v 。u 15 v 。( v 妒) l 0(2q5) v 。u 2 = v 。( v 。、i ，) = 0 这意味着，妒对应的波无转动变形，仅有体积变形和剪切变形；晰对 应的波则仅有剪切变形和转动变形。前者由此又称为膨胀波、无旋波、压缩 波、纵波、p 波( p r i m a r y 或p r e s s u r ew a v e ) 等名称；后者又被称为旋转波、 等体积波、剪切波、横波、s 波( s h e a r 或s e c o n d a r yw a v e ) 等。 2 2 固体中的平面波 固体中平面波表示为 或 u ；a fr x n c t ) u i = a i f ( x k n k c f l ( 2 一1 6 ) ( 2 - 1 6 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中，4 为振幅矢量；，为任意函数；n 为波面法线，即波的传播方向； c 为波速。将式( 2 一1 6 ) 代入( 2 8 ) 可以看出，只有在 ( a + 口) ( a 。n ) n + ( z 一肛2 ) a 0( 2 - 1 7 ) 时，( 2 1 6 ) 式给出的形式才能代表弹性固体中的平面波。 还可以用位移势将平面弹性波表现出来，p 波可写成 妒2 9 of ( r 。n c p t ) 妒= 0( 2 - 1 8 ) 相应的位移为 u 。；v 驴；妒o n ，( r n c p t ) ( 2 - 1 9 ) 式中撇号表示对宗量的微分。 剪切波可写成 一0 妒= 妒o g ( r 一一c 5 f )( 2 - 2 0 ) 式中，妒。为垂直于一的任意常矢量。令p 为剪切波的偏振方向的单位矢量。 于是我们可将妒。写成妒o - 妒op xn 并将剪切波写成 妒= 0 妒一妒o ( p n ) g ( r n c s t )( 2 - 2 1 ) 式中妒。为标度系数。由( 2 - 1 9 ) 式中的势求得位移矢量 u s = v 妒= 妒o p 厂( ，n c p t ) ，p n = o ( 2 - 2 2 ) 由于位移矢量总是与波的法线d 平行的，所以，关于平面p 一波的偏 振方向不会有第二种解释。但是，除非( 2 - 2 2 ) 式中的p 是规定好的，否则剪 切波的偏振方向则难以确定，因为聪可以是许许多多与l q 相垂直的单位矢量 中的任意一个( 图2 1 ) 。为方便起见，我们在介质中选一条直线作为垂直坐 1 哈尔滨上程大学硕+ 学位论文 标轴( 图2 1 中的z ，一轴) ，任何一个垂直于该直线的平面均视作水平面。如果 剪切波的偏振方向是与水平的x 3 - 轴平行的，则称此剪切波叫s h 波；如果是 与垂直平面( 确一x ，平面) 相平行，则称此剪切波叫s v 波。由于地球表面 给我们提供了一个天然的水平基线，所以这种参考系对于处理地震波是非常 方便的。对于其它问题，我们可以有意地选择某个方向作为垂直轴，其它的 轴随之也就确定下来了。显然，p 波和s v 波构成一种平面运动的分量，而s h 波则代表一种反平面运动。平面运动与反平面运动是两种不相耦合的运动。 x2 垂直轴 图2 1 平面波在固体中的传播 f i g 2 1 p r o p a g a t i o no fp l a n ew a v e s i ns o l i d 本文研究出平面波动问题，即s h 波的散射问题。这时只有沿着z 3 轴方 向的位移分量，即 32 心 吩托 10 o o 吉 ； j 晰睨奶 为且里分力应的零为不的应棺 堕叠堡三堡盔堂堡兰垡堡壅 根据( 2 2 2 ) ，可将( 2 - 8 ) 式所含的第三个运动方程简化为单一的标量波动方 程 一v 2 w q 1，f)，p罂(2-25)w(xix 2 一 ，f ) 一p 兰 m 2 3 圆柱形弹性夹塞所激发的散射波以及边界条件 由文献【3 5 】知，均匀、连续、各向同性的无限空间中由圆柱体所引起的 散射波，利用复变函数法可以写为 旷k 互删1 ) ( 蝴i 酽“ 2 2 6 其中珊为稳态波的圆频率。 又由文献【5 1 】，可确定在半无限空间中，由圆柱形弹性夹塞所激发的， 且同时满足水平面上应力自由条件的散射波，可以利用s h 波散射的对称性、 复变函数法构造为 虬妻4 锻。 仲哂r + 钟 卜刮乍z i - 习2 h r 扣“ ( 2 _ 2 7 ) 其中： h ：”( ) 为n 阶第一类h a n k e l 函数，h 为圆柱形弹性夹塞到地表 面的距离，取j l = l d l ，d 为夹塞边界z 圆心的复坐标，a n 为待定的系数，应 根据弹性夹塞的边界条件确定。 在直角坐标系中波动方程表示为 v z w ：一o2 w + 一0 2 w ：! 塑 ( 2 2 8 ) 缸2 a v 2 c ；o t 2 其中： 。：、拦为介质的剪切波速；p 、肛分别为介质的质量密度和剪 弘 阻 型魄旦岘 肛 肛 皇 哈尔浜 程大宇帧十学位论文 切模量。 将位移函数w 与时间的依赖关系为e “代入上式，则位移函数w 满足平 面直角坐标系中的h e l m h o l t z 控制方程： o z w _ + o z _ w + 七2 w ；o( 2 2 9 ) 石+ 可+ 庀。o o 而对应的应力是 吒：p 罢，：i o w ( 2 - 3 0 ) 吒2 p i 2 i 引入复变量z = x + i y ，；= x i y ，在复平面( z ，；) 上，式( 2 2 9 ) 和式( 2 3 0 ) 可表示如下： 堡+ i k 2 w ；o( , z - 3 1 ) 一+ ；u j 叫尝+ 詈) ，却( 詈一警) ( 2 - 3 2 )2 【i + i ) ，“肛( i i ) 而在极坐标系中，应力表达式( 2 - 3 1 ) 有： = 学+ 警一肛( o 抛w 一警e “) ( 2 - 3 3 ) 2 4 驻波的复变函数表示 根据文献 5 0 1 可知，s h 波入射时均匀、连续、各向同性的结构内产生的 驻波的复变函数形式可以写为以下任何一种形式 。； 见j 。( k l z i ) c o s o e x p ( 一f 脚f ) ( 2 - 3 4 ) 纠。2 羹 口j j 。c 七l z l ， ( 青) “+ ( 亩) 一” e x p c r 。- t ， c z _ s s ， f 甘小决上稀人孚删工手性t e j l 弘警弘卜。舻+ 州刈啪卜州 ( 2 3 6 ) 壮半私卜i 惭4 矿一州叫啪卜州 2 5 本章小结 本章介绍了有关弹性波的基本知识，并利用s h 波散射所具有的对称性 质和使用多极坐标方法，构造了一个能自动满足弹性半空间自由表面上应力 为零的边界条件的界面附近圆柱形弹性夹塞的散射波，并给出了驻波的复变 函数表达形式。 哈尔滨工程人学硕士学位论文 第3 章半圆形凸起附近圆柱形弹性夹塞对s h 波的 散射和动应力集中 3 1 引言 研究弹性半空间中界面附近浅埋结构对弹性波的散射与动应力集中问 题，在理论及工程应用中均有十分重要的意义。在诸多的分析浅埋结构的动 力问题的成果中，多数成果属于数学方法的研究，能直接提供数值结果并能 方便指导实践的资料并不多。其中，著名的分析方法有波函数展开法n ”2 。 对出平面s h 波问题，这方面已积累了大量成果，但寻求弹性半空间界面附近 浅埋结构对s h 波散射问题的解答，不但可以为研究这类的问题提供一个工程 计算的分析方法，又可为研究这类复杂问题开拓一个新思路。在理论和工程 实践中，还可为材料科学、水声学、工程结构，特别是抗震、抗爆研究中有 关所谓浅埋结构的动力反应问题的研究提供参考。 对于本文所要研究的半圆形凸起界面附近浅埋圆柱形弹性夹塞对弹性波 的散射问题，在一般意义上讲，求解该问题的理论解是有一定困难的。随着 计算力学的发展，该问题可以用不同的数值方法进行求解，并可得到数值结 果。但人们仍希望找到一个理论解，用以研究圆柱形弹性夹塞物附近的动应 力分布与波数、入射角和材料参数之间的关系。本章就弹性波散射中最为简 单的模型即s h 波入射问题进行了研究，以求得一个解答。 若将浅埋的圆柱形弹性央塞视为“隐蔽地形”，则问题可与对凹陷、凸起 地形的研究归于一类，属于地形影响范畴。在求解该问题时，其关键是要构造 一个能自动满足半圆形凸起表面应力为零的边界条件的驻波和一个能自动满 足弹性半空间自由表面上应力为零的边界条件的圆柱形弹性夹塞的散射波。 前者可以利用半圆形凸起的对称性来进行构造，后者可以利用s h 波散射所 具有的对称性质和使用多极坐标方法来构造，然后再利用“分区契合”的思 17 哈尔滨工程大学硕士学位论文 想和圆柱形弹性夹塞周边上的边界条件来进行求解n ”。最终则可将待求问 题归结为求解一个无穷代数方程组，并可采用截断有限项的方法对其进行求 解。最后给出了关于弹性夹塞周边上动应力集中系数的具体算例，并对其进 行了讨论。 3 2 问题的表述 地下有浅埋圆柱形夹塞，地上有半圆形凸起的弹性半空间模型如图3 1 所示。图中半圆形凸起边界记为c ，凸起两侧水平边界记为s ，半圆形凸起 的圆心为o ，半径为a 。浅埋圆柱形弹性夹塞边界记为丁，圆心为o l ，半径 为r 。圆心与水平边界的距离为h 。口为入射角。 s h x x 图3 1 浅埋圆柱形弹性夹塞附近的半圆形凸起地形示意图 f i g 3 1t h em o d e lo fa s e m i c y l i n d r i c a lh i l la b o v e as u b s u r f a c ee l a s t i cc y l i n d r i c a li n c l u s i o n 求解该模型对s h 波的散射问题，就是要在满足以下边界条件的情况下， 求解s h 波的控制方程。其边晁条件为：( 1 ) 在水平地表s 、凸起边界c 上应 力自由；( 2 ) 弹性夹塞物的边界条件是应力与位移在跨越交界面时的连续条 件。由于该问题在边界s 、c 上分别要求应力：、t ，为零，在7 上应力、位 移连续，属于混合边值问题，求解时有一定困难。为此，可采用“分区”的 哈尔浜工催人学硕士学位论文 思想加以解决，即将整个求解区域分割成两部分来处理。如图3 2 所示，分 割区域i 为包括边界c 和c 在内的圆形区域：余下部分为区域i i ，包括边界 5 、s 和圆柱形弹性夹塞边界丁。其中，一c $ o s 一为两个区域的公共边界，应 该满足应力、位移连续的“契合”条件。 c 二二一二3 j z ! 毒i _ _ l + n i 、r 。_ _ _ _ _ _ - 。一 、。 、i 7 7 c 图3 2 求解区域的分割 f i g 3 2t h ed i v i s i o no ft h es o l u t i o nd o m a i n 如图3 3 所示，建立半圆形凸起附近浅埋圆柱形弹性央塞对s h 波散射问 题的计算模型。以半圆形凸起的圆心。为原点，建立z 一0 一y 坐标系，对应 复平面( z ，；) ；以弹性夹塞边界r 的圆心0 1 为原点建立墨一d 1 一x 坐标系，对 应复平面( ，i ) 。d 为石一0 一y 坐标系下夹塞边界f 的圆心复坐标，孑为其 共轭。 3 3 控制方程 在各向同性、均匀、连续的介质中研究弹性波对夹塞的散射问题，其最 为简单的模型就是反平面剪切运动的s h 波模型。入射s h 波在叫平面内所激 发的位移( 波函数) 似y ，0 垂直于锣平面，且与z 轴无关。对于稳念情况， 哈尔滨_ l = 程大学硕士学位论文 十o厂 _ 一 h x x 1 图3 3 浅埋圆柱形弹性夹塞附近半圆形凸起地形解题模型 f i g 3 3i l l u s t r a t i n gm o d e lo ft h ep r o b l e mt ob es o l v e d 位移w ( x ，y ，t ) 要满足运动方程 詈+ 警+ k 2 w = 0 ( 3 - 1 ) 缺却2 其中，为位移函数，位移函数与时间的依赖关系为e “( 以下略去谐和因 子g 。“) e k 一吐咖，为位移w ( x ，y ，f ) 的圆频率；互万为介质的剪切波 速，p 、分别为介质的质量密度和剪切模量。以下的讨论中，p l , p ：和地，口： 分别代表介质和弹性夹塞的质量密度和剪切模量。 应力与应变的关系 龟；肛詈，r = 肛詈( 3 - 2 ) y z龟2 肛i 72 肛i 引入复变量z = x + y ，z = x 一y ，在复平面( z ，z ) 上，式( 3 一1 ) 和式( 3 - 2 ) 可表示如下 竺+ ! k 2 w ：0 ( 3 3 ) o z o z 4 和 k = 肛e + 驴啦等一警 a ， 哈尔滨工程大学硕十学位论文 而在极坐标系中，应力表达式有 ；芒e + 警e “ 。叫i o w 一警e “) ( s 3 4 区域i 内的驻波 为了顺利求解半圆形凸起地形的问题，首先要在圆形区域i 内，即在坐 标系x o y 对应的复平面( z ，；) 中构造一个驻波解，并使其预先满足在边 界c 上应力自由，c 上应力任意的边界条件，即 0z c 毕2m 争- - 。巳叫州i h 悱l 唰“z 石 咱 其中，为驻波的最大幅值，c m 为待求常数a 与式( 3 - 5 ) 相对应的满足运动方程的驻波解为 _ ) _ 重见l ( h ) 高r c 。1 ， 其中，d 为任意常数。 由式( 3 - 7 ) 得出的应力表达式为 = 华耋见悱i k 小州i ) 树 s ) 将式( 3 6 ) 在( 玎，玎) 内展开成f o u r i e r 级数，有 靠= 华薹薹哇端出_ 1 ( 州i 一。( 删i 耐 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中 a 。= 1 2 e i j 一1 2 z i f 优一站l 7 1 ，n n ( 3 一l o ) 将由式( 3 7 ) 得出的应力表达式( 3 8 ) 在h = a 上与式( 4 9 ) 相比较，则有 见= 皇q 锑蝴n 。 将式( 3 - 11 ) 带入式( 3 7 ) ，则可得到驻波 ( z - ) 2 薹羔畦渊n 础i 枷耐 式( 3 1 2 ) 即为构造的在区域i 中，满足上边界c 应力为零，下边界己上 应力任意，并满足式( 3 1 ) 的驻波解。 相应的应力表达式为 牡华薹薹巳畿糟者静斗 1 ( 非j ) _ 钏槲 ( 3 1 3 ) 3 5 区域i i 内的波函数 3 5 1 散射波 在区域i i 内，求解一个散射波矽( s ) ，且要求它能满足半空间表面s 上应 力自由这一条件。 在区域i i 中的散射波形应由圆弧形凹陷i 和弹性夹塞丁的散射波 纬0 “、嬲5 组成，且有 ( 乙；) = 掣( z ，j ) + 掣( z ，；) ( 3 - 1 4 ) 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 田s h 扳散射嗣羽杯。旺利梦微坐杯援刘，仕显干闻( z ，z j 上，暇”利w ”口j 睚( z ，_ ) = 薹4 h 鞭h h