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奇异值分解及行转置矩阵与行反对称矩阵的奇异值分解定理的证明 1.奇异值分解（Smgluar Value Decompositiong）设M是一个矩阵，则有M=其中U是阶酉矩阵，是半正定阶对角矩阵，V是阶酉矩阵，表示的共轭转置（下文中都是如此表示），称上述分解为M 的奇异值分解，对角线上的元素称为M 的奇异值。U（左奇异向量）系列是系特征向量；V（右奇异向量）系列是系特征向量；（非零奇异值）的非零元素是或中非零特征值的平方根。例：求矩阵A=的奇异值分解.解：由=可求得的特征值为=3，=1，=0，对应的特征向量依次为=，=，=，于是可得rank（A）=2，令，其中，计算 ，构造，则,从而可得A的奇异值分解2.下面对矩阵的行转置与行反对称矩阵的定义与它们的奇异值分解定理的证明下面所用公式的表达方式与上稍有不同，但所用理论相同.用表示反对角线元素全为1，其余元素全为0的n阶方阵；为m阶单位阵；，分别表示矩阵A的转置、共轭转置.显然.行转置矩阵与行反对称矩阵定义1 设，则称为矩阵A的行转置矩阵并记为.特别，若，则称A为行对称矩阵； 若，则称A为行反对称矩阵.显然：行反对称矩阵只有两种类型或定理1 设为的奇异值分解，其中2酉阵，,，则行反对称矩阵存在一个奇异值分解,其中，.证明：因为，为的特征值，所以为的奇异值.又 ，因而为酉矩阵，且 证毕.定理 2 设为的奇异值分解，其中2酉阵，,，则行反对称矩阵，存在一个奇异值分解,其中 ,.证
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