（基础数学专业论文）ropersuffridge算子与loewner链.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 l o e w n e r 理论是多复变函数论的重要组成部分，而r o p e r - s u f f r i d g e 算子在由单 复变数的双全纯函数构造多复变数的双全纯映照中有着至关重要的作用，本文主要 研究特定区域上推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子的性质及算子与l o e w n e r 链之间的联 系全文共分三章 在本文的第一章，我们简要地介绍了多复变几何函数论的发展背景，本文所用 到的一些记号、基本概念、定义及本文的主要结果 在第二章，我们分别证明了一般形式的推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子在域q ，= ( z l ，磊，磊) cx c n 2x c n k ：i z l l p ，+ i l 忍i i 字+ + i i 磊i i 1 ，p j 1 ，歹= 1 ，2 ，七) 上保持q 次的p 型螺形性和q 次的殆p 型螺形性 在第三章，我们证明了一般形式的推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子在复b a n a c h 空 间单位球上能嵌入l o e w n e r 链，并从l o e w n e r 链的角度出发得到算子保持q 次的殆 口型螺形性 本文的主要结果是对已有结论的深入研究和推广，得到了一些全新的内容；从 而使我们对r o p e r - s u f f r i d g e 算子和l o e w n e r 链有了吏进一步的认识 关键词：l o e w n e r 链，推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子，双全纯映照，r e i n h a r d t 域， 完全r e i n h a r d t 域 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t l o e w n e rt h e o r yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nf u n c t i o nt h e o r yo fs e v e r a lc o m p l e xv a r i - a b l e s ；a n dt h a tr o p e r - s u f f r i d g eo p e r a t o ri sv i t a li nc o n s t r u c t i n gt h eb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g so fs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sf r o mt h eb i h o l o m o r p h i cf u n c t i o n so fc o m p l e xv a r i a b l e i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d ym a i n l yt h ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e de x t e n s i o nr o p e r - s u f f r i d g e o p e r a t o ro ns p e c i a ld o m a i n sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e nt h eo p e r a t o ra n dl o e w n e rc h a i n s t h ew h o l et h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h eb a c k g r o u n do ft h ed e v e l o p m e n to ft h e g e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，s o m en o t a t i o n s ，b a s i cc o n c e p t s ， d e f i n i t i o n sa n dt h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ea r g u e r e s p e c t i v e l yt h eg e n e r a l i z e de x t e n s i o nr o p e r s u f f r i d g e o p e r a t o rp r e s e r v i n gt h ep r o p e r t yo fs p i r a l l i k em a p p i n go ft y p e 口a n do r d e rqa n da l - m o s ts p i r a l l i k em a p p i n g so ft y p epa n do r d e rdo nd o m a i n sq 知= ( z 1 ，历，磊) c c 作2 c n ：i z l v - + 1 1 6 1 1 ；2 + + i | 磊l i 1 ，耽1 ，j = 1 ，2 ，惫) i nt h et h i r dc h a p t e r ，w et e s t i f yt h eg e n e r a l i z e de x t e n s i o nr o p e r - s u f f r i d g eo p e r a t o r c a nb ee m b e d e di nl o e w n e rc h a i n so nt h eu n i tb a l li nc o m p l e xb a n a c hs p a c e s 。 a tt h e s a m et i m e ，w eo b t a i nt h ef a c tt h a tt h eo p e r a t o rk e e p st h ep r o p e r t i e so fa l m o s ts p i r a l l i k e m a p p i n go ft y p e8a n do r d e rqf r o mt h ep o i n to fl o e w n e rc h a i n s t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r eb a s e do nt h ek n o w nr e s u l t s ，b u te x t e n da n d i m p r o v et h e m s ow eh a v ead e e pr e a l i z a t i o na b o u tt h er o p e r s u f f r i d g eo p e r a t o ra n d l o e w n e rc h a i n s k e y w o r d s ：l o e w n e rc h a i n s ，e x t e n s i o nr o p e r - s u f f r i d g eo p e r a t o r ，b i h o l o m o r p h i c m a p p i n g s ，r e i n h a r d td o m a i n s ，c o m p l e t er e i n h a r d td o m a i n s i i 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 硼删说篡测童一 ，t 一7 ，毪，、钐 ，多。，i 。| 。噬： 学位申请a ( 学位论克作孝) 签名：- f 竖猢耋 忿氯裂戮鬣缘 簧一关于学位论文著作权使用授权书。? 雾 学位获得者( 学位论文作者) 釜名：2 鱼盥墨 学位论文指导教师签名：当笾 2 0o p 年土月扣曰 2 。7 扣日 第一章预备知识弟一早耿亩刘以 众所周知，在单复变数中有很多正规化双全纯凸函数和正规化双全纯星形函数 及其子族或扩充的具体例子，然而在多复变数中人们知道的这样的例子却为数彳 多 于是人们提出了这样的问题：能不能通过一个算子把单复变数中单位圆盘上的正规 化双全纯凸函数和正规化双全纯星形函数分别映成多复变数中特定区域上相应的 映照呢? 答案是肯定的1 9 9 5 年，k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e r o p s u f l 】引入了所谓 的r o p e r - s u f f r i d g e 算子，并证明了该算予保持凸性及星形性通过该算子可由复平 面c 中单位圆盘u 上的正规化双全纯凸函数或星形函数，得到妒中单位球b n 上的一个正规化双全纯凸映照或星形映照后来，龚升，刘太顺，刘小松，刘名生和 朱玉灿等( g o n g - l i u l ，【g o n g - l i u 2 ，( l i u l i u l ， l i u l ， l i u - z h u l ) 对该算子在不同的空 间和区域上作了进一步的推广在本文的第二章，我们将在前述工作的基础上证明 一般形式的推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子 j k ，忱，凤，饥( z ) = g i n ，庇，他，鼠，7 k ( ，) ( z ) = ，( 掣) 胁汹胤，( 掣) 凤汹炉t 蟊) 在域q k 上保持口次的殆黟型螺形性和保持q 次的声型螺形性，其中 q = 【( z 1 ，历，磊) c c 竹2 c n ：i z l l p l + l l 南l 1 9 24 - + i i 磊l 侈 1 ) ， 其中殇1 ，歹= l ，k ，n = 1q - n 2 - b + 死老。 l o e w n e r 理论是上世纪二十年代初由k l o e w n e r 【l o e l 】建立，并由p p k u f a r e v k u f l 所发展的一种研究单叶函数的理论这一理论在单叶函数的研究中有广泛的 应用，如系数估计、函数单叶性的判别等，尤其是这一理论在解决著名的b i e b e r b a c h 猜想中发挥了举足轻重的作用，从而人们对这一理论更加刮目相看自然地，人们 会想能否把这一理论推广到高维中呢? 最先考虑这一问题的是数学家j a p f a l t z g r a f f f p f a l 。1 9 7 4 年，他把单复变数的l o e w n e r 理论推广到中的欧氏单位球上并给 1 河南大学硕十学位论文 出了许多应用，如双全纯性的判别、以l o e w n e r 链形式给出的双全纯映照子族的解 析特征众所周知，在单复变数中任一双全纯函数都能嵌入l o e w n e r 链，但在多复 变数中这一结论不再成立因而在多复变数中构造能嵌入l o e w n e r 链的映照类受 到了人们的极大关注有趣的是，自k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e 引入所谓的r o p e r s u f f r i d g e 算子以来，人们发现推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子与l o e w n e r 链有着密切的 联系i g r a h a m ，h h a m a d a ，g k o h r 等( g r a - k o h - k o h l ，【g r a - k o h l ， g r a h a m k o h - s u f l ) 证明了几种推广的算子在c 竹中的欧氏单位球上能嵌入l o e w n e r 链，并且还 证明了这些算子在c n 中的欧氏单位球上都保持星形性和型螺形性之后，朱玉 灿，刘名生，徐庆华等( z h u - l i u l ，i x u l 】) 又得到推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子在不同 空间和区域上能嵌入l o e w n e r 链，并作为推论得到这些算子的些性质在本文的 第三章，我们将在前述工作的基础上证明一般形式的推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子在 复b a n a c h 空间特定域卜能嵌入l o e w n e r 链，并从l o e w n e r 链的角度出发得到算子 保持a 次的殆p 型螺形性 1 2 定义及记号 为了叙述方便起见，我们首先给出全文最常用的一些符号及基本概念 在全文中，我们用c 表示复平面u = 名c ：例 1 表示c 中的开单 位圆盘，o u = z c ：川= 1 ) 表示u 的边界，c n 表示礼维复欧氏空间，对 v z = ( z 1 ，锄) 7 c n ，记i i z l i = 厩，用b 竹= 【z c a ：i i z l i 0 ，z b o ) ，互t ( z ) ) 域q ，上的m i n k o w s k i 泛函定义为 j d ( z ) = i n f t o ，詈q ) ，名e c n 下而介绍本文所使用的一些基本定义 定义1 2 1 设q 是c n 中包含原点的域若对任意的z q ，0 7 1 ，都 有r z g t ，则称q 为相对于原点的星形域；若对任意的z ，训q ，0 t 1 ，都有 t z + ( 1 一t ) 伽q ，则称q 为凸域；若对任意的z q ，9 r ，都有e i o z q ，则称q 为圆 型域；若对任意的名= ( z 1 ，z n ) 7 q ，p 1 ，既r ，都有( e 口1 名1 ，e 名n ) 7 q ， 则称q 为r e i n h a r d t 域；若对任意的z q ，e c ，且1 ，都有o q ，则称q 为 完全圆型域；若对任意的z = ( z 1 ，) 7 q ，白c ，且i 白i 1 ，j = 1 ，t , ，都有 ( ( ：1 z l ，白) 7 q ，则称q 为完全r e i n h a r d t 域 定义1 2 2 【f e n g l 】设g 是c 礼中包含原点的有界星形圆型域，它的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是召g o 上的一个c 1 函数，其中g o 是虿上的一个低维流形；，是g 上 的正规化局部双全纯映照若q 0 ，1 ) ，卢( 一，考) 且 r e 高塞e 一佃化) ) 。m ) s p ，z g 斜， 则称，是g 上的q 次的殆p 型螺形映照 当n = 1 时，上式即为 卜鬻 孤即一矿 河南大学硕七学位论文 当n = 0 时，定义1 2 2 为g 上的p 型螺形映照的解析定义式当p = 0 时，定 义1 2 2 为g 上的a 次殆星形映照的解析定义式当a = 口= 0 时，定义1 2 2 为g 上星形映照的解析定义式 上面的定义推广到复b a n a c h 空间即为 定义1 2 3 设，：b x 是正规化局部双全纯映照若q 【0 ，1 ) ，卢 ( 一三，考) ，且 r e e 一 卢t z ( d f ( z ) ) 一1 ，( z ) ) 。r i i z i ic 。s p ，z b ， 则称，是b 上的q 次的殆p 型螺形映照 当q = 0 时，定义1 2 3 即为b 上的p 型螺形映照的解析定义式当p = 0 时， 定义1 2 3 即为b 上的。次殆星形映照的解析定义式当q = p = 0 时，定义1 2 3 即为b 上星形映照的解析定义式 定义1 2 4 f e n g l 】设g 是c n 中包含原点的有界星形圆型域，它的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是虿g o 上的一个c 1 函数，其中g o 是召上的一个低维流形；，是g 上 的正规化局部双全纯映照若q ( 0 ，1 ) ，p ( 一号，吾) 且 i 南秒o p ) e _ 吨d ，( 纠。1 m ) 一( 警- is i n 3 ) l 百c o s f ，名g 0 ) ， 则称，是g 上的q 次的p 型螺形映照 当几= 1 时，即为 卜z 八7 7 引瓦) 一( 等一i s i n p ) i 百c o s ，z 弘 当p = 0 时，定义1 2 4 即为g 上的q 次星形映照的解析定义式 上面的定义推广到复b a n a c h 空间即为 定义1 2 5 设，：b _ x 是正规化局部双全纯映照若q ( 0 ，1 ) ，p ( 一考，吾) ，且 l e 卅击踟。北) ) 。1 m ) 】一、c 0 2 s q i s i n f l ) i 百c o s f 7 ，z 州。一 则称，是b 上的o 次的p 型螺形映照 河南大学硕十学位论文 当q = 0 时，定义1 2 5 即为b 上的卢型螺形映照的解析定义式当p = 0 时， 定义1 2 5 即为b 上的q 次星形映照的解析定义式当a = 卢= 0 时，定义1 2 5 即 为b 上星形映照的解析定义式 下面的定义是我们熟知的 定义1 2 6 设，g 日( u ) 若存在s c h w a r z 函数妒日( 阢u ) 且妒( o ) = 0 ，使 得g ( z ) = ，( 妒( z ) ) ，则称g 从属于，记为g - 4 ， 定义1 2 6 推广到复b a n a c h 空间即为 定义1 2 7 设，g 日( b ) 若存在s c h w a r z 函数妒h ( b ，b ) 且妒( o ) = 0 ，使 得g ( z ) = ，( 妒( z ) ) ，则称夕从属于，记为夕 ， 定义1 2 8 若对任意的t 0 ，( ，t ) 日( u ) ，f ( o ，t ) = 0 ，7 ( o ，t ) = e 且f ( z ，8 ) 0 为l o e w n e r 链 定义1 2 8 在b n 的情形是由j a p f a l t z g r a f f p f a l 】引入的，然后由p o r e d e p o r l 】 推广到任意有限维复b a n a c h 空间单位球上的，即 定义1 2 9 若对任意的t 0 ，( ，t ) 日( b ) ，f ( o ，t ) = 0 ，d f ( o ，t ) = e t i 且 f ( z ，8 ) o 为l o e w n e r 链 1 3 本文的主要结果 本文主要研究了特定区域上一般形式的推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子的性质及算 子与l o e w n e r 链之间联系的问题，其主要结果概括如下： 在第二章，我们分别证明了一般形式的推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子在域q = ( z 1 ，历，磊) c c n 2 c n k ：i z l i p l + i l 而| l ；2 + + i i 。p l ，现1 ，j = 1 ，2 ，尼) 上保持n 次的p 型螺形性和o 次的殆p 型螺形性在第三章，我们证明 了一般形式的推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子在复b a n a c h 空间特定域上能嵌入l o e w n e r 链，并从l o e w n e r 链的角度出发得到算子保持q 次的殆p 型螺形性主要包含以下 定理： 5 河南大学硕士学位论文 定理2 2 1 设”忆是c 码上的b a n a c h 范数，吩为正整数，j = 2 ，k 令 q ，= “z 1 ，历，磊) c c 几。c n t ：i z1 p ，+ l i 而悖+ + l l 磊噔 1 ) ，这里 聊1 ，j = 1 ，k ，n = 1 + 9 1 , 2 + + 扎后，z l c ，而c 礼2 ，蟊c n 若，是c 中单位圆u 上的q 次的p 型螺形函数，那么 f ( z ) = 2 n ，阮滟，风m ( ，) ( z ) ：( 他n ( 掣) 愚獭，( 掣) 风协胪磊) 。 是域q 0 上的q 次的p 型螺形映照，其中k 2 ，侈( 一号，詈) ，口( 0 ，1 ) ，岛 【0 ，1 】，【0 ，去】，俦+ 竹1 ，( j = 2 ，尼) ， f 1 ，o 2 ； 【( 钜+ 1 ) p 1 且幂函数取分支使得( ：掣) 乃l ：，：。= l ，( ，7 ( z 1 ) ) 钐i z ，：。= 1 ，j = 2 ，忌。 当p = 0 时，有下面推论 推论2 2 1 若，是c 中单位圆u 上的o l 次星形函数，则 f ( z ) = 皿，岛，能，风，饥( ，) ( z ) ：，( 掣) 如胤，( 掣) 风c 儿m 7 t 磊) 是域q ，上的口次星形映照，其中p j l ，岛【0 ，1 】，( 0 ，去】，岛+ 镌s1 ，j = 2 ，克，且幂函数取分支使得( 掣) 易l 刁：。= 1 ，( ，7 ( z 1 ) p i ：，：。= 1 ，j = 2 ，七 当a = 0 时，有下面推论 推论2 2 2 若，是c 中单位圆u 上的p ( 一墨 p 三) 型螺形函数，则 f ( 2 ) = f f g ，励，钧，风，住( ，) ( z ) = ，( 掣) 成獭，( 掣) 凤溆胪磊) 是域q 上的声型螺形映照，其中巧之l ，易f0 ，1 】， 0 ，去】，岛+ 铅s1 ，歹= 2 ，k ，且幂函数取分支使得( 掣) 岛i z ，：o = l ，( ，7 ( z 1 ) ) i ：，：o = 1 ，歹= 2 ，k 6 河南大学硕士学位论文 当口= 0 ，多= 0 时，又有f 面推论 推论2 2 3 若，是c 中单位圆u 上的星形函数，则 f ( z ) = 皿，阮，忱，风。弧( ，) ( z ) = ，( 掣) 位魄慨，( 掣) 风协炉t 磊) 7 是域q 知上的星形映照，其中所1 ，岛【0 ，1 】，竹 0 ，去】，岛+ 1 ，歹= 2 ，凳，且幂函数取分支使得( 掣) 岛1 z ，：。= 1 ，( ，( z ，) 弘1 。，：。= 1 ，j = 2 ，凳 定理2 2 2 设l | b 是c 码上的b a n a c h 范数，唧为正整数，j = 2 ，k 令 q ：v = ( z 1 ，历，磊) c c n 。c 几t ：l z l i p ，+ i i 历i 1 9 2 + + i i 磊l 攫 1 ) ，这里 巧l ，j = 1 ，k ，n = 1 + n 2 + + n k ，名1 c ，勿c n 2 ，磊c n 若，是c 中单位圆u 上的q 次的殆p 型螺形函数，那么 f ( z ) = 霍，阮，优，风，饥( ，) ( z ) = ，( 掣) 仍陌慨，( 掣) 凤沏胪磊) 7 是域q 上的0 1 次的殆p 型螺形映照，其中k 2 ，p ( 一墨，詈) ，o t 0 ，1 ) ，岛 0 ，1 】，竹【0 ，南】，岛+ 竹1 ，o = 2 ，七) ， f 1 ，o 2 ； 【( 以+ 1 ) p l 小7 。 且幂函数取分支使得( 掣) 岛i ：。：。= l ，( ，7 ( z ) ) 竹l 现：。= 1 ，歹= 2 ，凫 当= 0 时，有下面推论 推论2 2 4 若，是c 中单位圆u 上的口次殆星形函数，则 f ( z ) = 皿，励，1 2 ，凤，饥( ，) ( z ) = ，( 掣) 融e 几m - ，( 掣) 风渤矿。磊) 7 是域q ；v 上的o 次殆星形映照，其中功1 ，岛【0 ，1 】，【0 ，去】，岛+ 1 ，j = 2 ，南，且幂函数取分支使得( 掣) 岛f 。，；。= 1 ，( ，7 ( z ，) ) 饬i 石，：。= 1 ，j = 2 ，七 河南大学硕士学位论文 当q = 0 时，有f 面推论 推论2 2 5 若，是c 中单位圆u 上的p ( 一吾 p 吾) 型螺形函数，则 f ( z )= 皿，阮，忱，凤，1 k ( ，) ( z ) = ，( 掣) 阮矿。，( 掣) 凤协炉。蟊) 。 是域q ，上的卢型螺形映照，其中乃1 ，岛【0 ，1 】， 0 ，上a p j 】，岛+ 竹1 ，j = 2 ，k ，且幂函数取分支使得( 掣) i ：，：o = 1 ，( ，7 ( z 1 ) ) 1 名。：o = 1 ，j = 2 ，k 当q = 0 ，卢= 0 时，又有下面推论 推论2 2 6 若，是c 中单位圆u 上的星形函数，则 f ( z ) = 皿，励，忱，仇，饥( ，) ( z ) = ，( 掣) 阮亿慨，( 掣) 风汹矿一磊) 。 是域q ，上的星形映照，其中功1 ，岛【0 ，1 ， 0 ，去】，岛+ 协1 ，歹= 2 ，k ，且幂函数取分支使得( 掣) 以i 。：。= 1 ，( ，7 ( z 1 ) ) 1 名，：o = 1 歹= 2 ，k 注记2 2 1 当= 1 ，歹= 2 ，k 时，町以得到下面算子 f ( z ) = 皿七，阮m ，凤，饥( ，) ( z ) = ，( 掣) 如汹慨，( 掣) 凤协矿) 7 在c k 中的有界星形圆形域q 上保持口次的p 型螺形性和口次的殆p 型螺形性， 其中 q = z c 南：i 乃i 黝 0 ，妒 ) 0 ， t 【0 ，1 ) 定义 p ( z ) ：( i z 。j p ，+ k | j 弓l 伊) 万1 j = 2 则垆( t ) j d ( ，他，凤，饥( z ) ) 矽( t ) ，其中 霍，阮，他，凤，讹( ，) ( 名) = ，他，凤，佻( z ) = ，( 掣) 如溆獭，( 掣) 风胪磊) ， 9 河南大学硕士学位论文 p ( z ) = r 1 定理3 2 1 设”b 是c 唧上的b a n a c h 范数，为正整数，歹= 2 ，惫令 q 知= ( z 1 ，而，磊) c c n z c t ：1 z lj p ，+ j i 而j i ；2 + + l l 蟊j l 1 ) ，这里 鳓1 ，j = 1 ，七，n = 1 + r t 2 + + r t k ，z i c ，龟c 靠2 ，磊c 死七 若f s ( u ) ，那么 f ( z ) =皿，如，他，凤，饥( ，) ( z ) = ) ，f ，趔z l n 汹慨，f ，趔z 1 协炉。磊) 在域q 上能嵌入l o e w n e r 链，其中k 2 ，岛 0 ，1 】， 0 ，上a p j 】，岛+ 竹 1 ，o = 2 ，七) ， f 1 ，o 2 ； 【( 钜+ 1 ) p 1 且幂函数取分支使得( z 业l 、 白z 1 = o = 1 ，( ，7 ( z 1 ) ) 叫：，：。= 1 ，j = 2 ，七。 推论3 2 1 设0 c 【0 ，1 ) ，p ( 一虿7 1 ，i 7 1 ) ，凡= 皿，融，恤，风，协( ，) 同定理3 2 1 若，是u 上的a 次的殆p 型螺形函数，则凡= 皿，岛，7 2 ，缎，讯( ，) 足q ，上的q 次 的殆p 型螺形映照 推论3 2 2 设p ( 一百7 1 ，三) ，凡= 皿，庇，协，凤，饥( ，) 同定理3 2 1 若，是u 上的p 型螺形函数，则厢= 皿，疡胁，风，( ，) 是q ：、r 上的卢型螺形映照 推论3 2 3 设q 【0 ，1 ) ，凡= 皿，励，他，。，熊m ( ，) 同定理3 2 1 。若，是u 上 的q 次殆星形函数，则凡= 皿，励舰，仇，讥( 厂) 是q ，上的q 次殆星形映照 推论3 2 4 设岛= 皿，励，能，凤，( ，) 同定理3 2 。1 若，是u 上的星形函数， 则凡= 皿，庇，熊，饥( ，) 是略上的星形映照 1 0 第二章复b a n a c h 空间中推广的r o p e r s u f f r i d g e 算子 2 1 引言 r o p e r - s u f f r i d g e 算子有着很好的性质，近些年来，国内外学者对其进行了深入 的研究，得到了小少有意义的结果在本章，我们将在已有结果的基础上，证明复 b a n a c h 空间中推广的r o p e r - s u f f r i d g e 算子保持q 次的p 型螺形性及保持q 次的殆 口型螺形性 首先，我们给出这节将用到的几个定义 定义2 1 1 【f e n g l 】设g 是c 竹中包含原点的有界星形圆型域，它的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是存g 0 上的一个c 1 函数，其中g o 是虿上的一个低维流形；，是g 上 的正规化局部双全纯映照若q 0 ，1 ) ，p ( 一互2 ，考) 且 r e 高口o p z ( z ) e 一伽m ) ) 1 m ) 8 ，2 g 科， 则称，是g 上的q 次的殆p 型螺形映照 当n = 1 时，上式即为 & 卜端卜c o s 牝u 定义2 1 2 设，：b _ x 是正规化局部双全纯映照若a 【0 ，1 ) ，p ( 一i 7 r ，至) ，且 r e e 邱疋 ( d m ) ) 一1 弛) ) 酬z | j c o s 多，孑b ， 则称，是b 上的d 次的殆夕型螺形映照 定义2 1 3 f e n g l 】设g 是c 乱中包含原点的有界n g g n i 型域，它的m i n k o w s k i 泛函p ( z ) 是召岛上的一个c 1 函数，其中g o 是召上的一个低维流形；，是g 上 的正规化局部双全纯映照若q ( 0 ，1 ) ，卢( 一号，考) 且 丽2 瓦o p ( 加。佃他) ) 。m ) 一( 百c o s is i n z ) l 百c o s ，z g o ) ， 河南大学硕士学位论文 则称，是g 上的a 次的卢型螺形映照 当佗= 1 时，即为 l e 卅端一( 百c o s i s i n z ) l 百c o s 一矿 定义2 1 4 设，：b x 是正规化局部双全纯映照若q ( 0 ，1 ) ，卢 ( 一专，专) ，且 卜南疋 ( d 化) ) 。化) 一( 百c o s - is i n f l ) i 百c o s ，z 刚o ) 则称，是b 上的a 次的型螺形映照 1 9 9 5 年，k a r o p e r 和t j s u f f r i d g e 【r o p s u f l 引入了所谓的r o p e r - s u f f r i d g e 算 子 丑n ( ，) ( z ) = ( f ( z 1 ) ，、，7 ( z 1 ) 绚) 7 ，z = ( z l ，劲) 7 兰严，( 2 1 ) 其中z 1 以z o = ( z 2 ，) 7 c 竹，平方根取分支使得 7 丽= 1 通过该算 子可由c 中单位圆盘u 上的一个正规化局部双全纯函数，构造出c n 中单位球 b n 上的一个正规化局部双全纯映照他们证明了该算子保持凸性，后来，i g r a h a m 和g k o h r 【g r a - k o h l 又证明了算子( 2 1 ) 保持星形性和b l o c h 性质 2 0 0 2 年，i g r a h a m ，g k o h r ，m k o h r 和t j s u f f r i d g e 【g r a - k o h - k o h - s u f1 将算子 ( 2 1 ) 推广为 彤，= ，( 掣) p 矿幻) ， 其中p 0 ，1 】，7 0 ，1 且p + - y 1 ，z l ，z 0 ，z 定义同上且f ( z 1 ) 0 ， z u 。) ，幂函数取分支使得( 墨 ) 卢k ：。= 1 且( ，( 。) ) 7 = 1 他们证明了该算 子保持星形性，当且仅当( 卢，7 ) = ( 0 ，) 时保持凸性 以上这些结果都是在b n 上得到的但是，对于更为一般的r e i n h a r d t 域，例如 。，m = z c n ：i 勺i 乃 1 ) ， 其中乃1 ，歹= 1 ，礼，上面的这些结果则未必成立，于是需要进一步推广r o p e r - s u f f r i d g e 算子 河南大学硕士学位论文 在【g o n g - l i u l 和【g o n g - l i u 2 】中，龚升和刘太顺在c 礼中的域q 上引入了星 形映射，并且证明了算子 皿n ，三( 烈z ) ：( ，( z 1 ) ，( ，k 1 ) ) ；加) 7 p， 在域q n p = 名c n ：i z l l 2 + 登i z j l p 1 ) 上保持e 星形性质，其中p 1 ，z p ，z l ，z o 定义如前当e 分别取0 和1 时，可以得到皿竹三( ，) 在域q 竹p 上保持 星形性质和凸性 之后，他们又将算子和域作了进一步的推广【g o n g - l i u 3 ，证明了算子 皿n ，者，p a g ( f ) ( z ) = ，去( z ) = ( f ( z 1 ) ，( ，7 ( z ，) ) 去纯，( ，7 ( 名，) ) 击锄) 7 在域q 卯：，枞= z c n ：i z l l 2 + ni z j l 黝 1 ) 上保持e 星形性质，其中乃 1 ，j = 2 ，礼，z 1 定义如前当e 分别取0 和1 时，可以得到皿。土一1 ( ) 在域 p ，p n q n p 2 ，m 上保持星形性质和凸性 同时也证明了算子 皿者，者( ，) ( z ) 2 名，击( 名) 2 ( ，( z ) ，( ，7 ( z t ) ) 万z ，( ，7 ( z 1 ) ) 瓦叫) 在j 或q = 【( z 1 ，z ，叫) c c n - c 札* ：i z l l 2 + i i z l l ：1 + - t - 1 1 w l l 2 * 1 ) 上 保持星形性质，其中1 1 l j 是c 上的b a n a c h 范数，吻为正整数，聊1 ，j = 1 ，2 ，七，f ，z 1 定义如前，n = 1 + 礼1 + + 礼惫，z 1 c ，名c m ，w c 饥当 分别取。和1 时，可以得到皿击，去( ，) 在域q 上保持星形性质和凸性 2 0 0 3 年，刘小松和刘太顺f l i u l i u l 把算子( 2 1 ) 推广为 皿n ，励，饱，风，( 厂) ( 名) ：，( 掣) 励协慨，( 掣) 风协胪) 7 ， 2 其中岛 。，1 】，竹【。，万1 且岛+ 竹1 ，幂函数取分支使得( 墨 ) 国k ：。= 1 且( ，( 0 ) ) w = 1 ，j = 2 ，n 他们证明了该算子在域 q n 炉2 ，勘= z c n ：i z l l 2 + j 勺j 乃 1 ，p j 1 ，j = 2 ，n ) 河南大学硕士学位论文 上保持星形性 2 0 0 4 年，冯淑霞 f e n 9 1 又证明了算子( 2 2 ) 在域 p 2 ，p 。上保持q 次殆星形 性 之后，刘小松 l i u l 又证明了算子( 2 2 ) 在域q 咿。，加上保持卢型螺形性和a 次的p 型螺形性 2 0 0 7 年，刘名生和朱玉灿 l i u - z h u l 把算子( 2 2 ) 推广到有界完全r e i n h a r d t 域 上，即 ，庇，忱，& ，h ( ，) ( z ) = ，( 掣) 励汹慨，( 掣) 风汹胪锄) ， 其中死2 ，z = ( 2 1 ，z n ) 7 岛，一号 p 1 ，岛【0 ，1 】，竹 0 ，南】，j = 2 ，视，其中n = n 0 1 ) = p 一1 1 ) p ，n 并 次星形性，其中 0 2 ；幂函数取分支使得( ，丛型、) 岛i 。，：。：1 且( ，( o ) ) w ： z 1 一 ”一 证明了该算子皿礼，风，倪，风，( ，) 在域砩上保持型螺形性和 d p = 2 c n ：i 乃i p j 0 ，j = 1 ，九l ( 2 3 ) 2 0 0 8 年，冯淑霞，闫春燕，洪杰 f e n 哥y a n - h o n 鲴又把算子( 2 2 ) 推广到r e i n h a r d t 域，即算子 皿n ，历，能，风，( ，) ( 名) = ，( 掣) 屁协慨，( 掣) 风溆炉n 锄) ， 是q = q n ，p ，加= z c n ：i z l i p l - - f 翟2i 刁i 乃 1 ，p l ( 0 ，2 】，功1 ) 上的a 次 的殆卢型螺形映照，其中一詈 p 号，0 q 1 ，0 p l 2 ，p j 1 ，岛【o ，1 ， o ，寺】，岛+ 1 ，幂函数取分支使得( 掣) 岛i ：。：o = 1 ，( ，7 ( o ) ) = 1 ，j = 2 m 1 4 竹 l1件一 +