（信号与信息处理专业论文）α稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究.pdf

摘要 非高斯信号处理是近年来发展起来的一个信号处理的新领域。传统的信号处理 是基于高斯分布和二阶统计量的理论和技术，这是因为高斯模型比较简单，且在许 多应用场合是适用的，在这种模型基础上设计的信号处理算法易于进行理论上的解 析分析。 尽管高斯噪声假设能够很好的描述许多信号和噪声，然而，在实际应用中存在 大量的非高斯信号和噪声，这些噪声的一个共同特点是它们的概率密度函数具有较 厚的拖尾，并导致其时间波形上具有显著的脉冲特性。实际上，这种脉冲状噪声和 较厚的统计拖尾正是分数低阶口稳定分布( f l o a ) 过程的显著特性。近年来，口稳 定分布作为一种非高斯脉冲噪声的数学模型，已成为信号处理领域的热点研究课题。 本文首先介绍了对称口稳定分布( s a s ) 中的口和y 参数的估计算法，随后着 重对s s 分布噪声条件下的时间延迟估计进行了探讨，最后介绍了s a s g 分布噪声 条件下的自适应滤波算法，主要内容包括以下几点： 1 回顾了口稳定分布的研究背景，阐述了其研究现状、基本概念、基本特性、 一般原理及应用前景。 2 介绍了对称口稳定分布的参数估计方法，并对基于样本分位数的参数估计方 法和l o g i s c c s l 法进行了实验仿真，仿真结果显示两种算法均能给出较好的估计结果， 能够满足后期的研究需要，而且l o gl s 0 【s i 法比基于样本分位数法计算量小，且具有 闭合形式的计算公式，因此性能上更为优越。 3 在假设对称口稳定分布噪声相互独立的条件下，分析了基于分数低阶协方差 ( f l o c ) 的时间延迟估计算法中输入信号的分数低阶指数彳、艿依赖于口值的先验 估计的缺点，并将其与反双曲正弦变换相结合推出了基于反双曲正弦的时间延迟估 计算法，有效地避免了依赖于口值的先验估计选择么、召参数的缺点，易于对信号 进行实时性的处理。仿真结果显示，该算法具有较高的估计精度，但同时也存在当 对称口稳定分布噪声独立性不满足时性能显著退化的缺点。 4 在l o g i s 0 【s l 过程的基础上，利用l o g i s 0 【s i 过程的三阶矩定义代价函数，通过 最小化代价函数给出新的时间延迟估计算法，算法中的口可由本文中介绍的参数估 计方法得到。仿真结果显示，该算法具有较高的韧性，无论s 仅s 噪声独立性是否满 足都能给出较好的检测结果，很好地解决了s s 分布噪声不满足相互独立时性能显 著退化的缺点。 5 当系统噪声为s 0 c s g 分布时，基于自适应混合范数( r m n ) 滤波算法，使 用s i g m o i d 函数对瞬时误差进行变换，可将误差信号转换成二阶矩过程，从而使对 s 仅s g 分布噪声的处理转变成对传统的二阶矩过程的处理。最优化标准化权值误差 矢量的仿真实验验证了所给算法性能的提高。 最后对本文的工作做了总结，并对进一步研究工作进行了展望。 关键词：非高斯信号处理，对称口稳定分布，时间延迟估计，反双曲正弦变换， l o g i s d s i 过程，s 0 【s g 分布，s i g m o i d 函数 a b s t r a c t n o n g a u s s i a ns i 印a jp r o c e s s i n gi san e ws i 朗a lp r o c e s s i n gf i e l di 1 1r e c e n ty e a u r s t h e 仃a d i t i o n a ls i 印a lp r o c e s s i n gi sb a s e do ng a u s s i a l ld i s t r i b u t i o na n ds e c o n d o r d e rg t a t i s t i c s i i lm e o r ya n dt e c h n o l o g y b e c a u s e 也eg a u s s 胁m o d e li se a s i e ra n dr e a s o n a b l ei nm a n y i i l s t a i l c e s ，i to r e nl e a d st oa n a l y t i c a l l y 缸a c t a b l es o l u t i o n sf o rs i g n a lp r o c e s s i n gp r o b l e m s t h o u 曲i nm a n yi n s t a l l c e st h eg a u s s i 锄a s s u m p t i o ni sr e a s o n 曲l e ，t h e r ea r em a i l y n o n g a u s s i a i ls i 印a l sa n dn o i s e si nt 1 1 ea c t u a l 印p l i c a t i o n s ，m er e m a r l ( a b l ec h a r a c t e r i s t i c o f 吐l es o r r to fs t o c h a s t i cs i g n a l so rn o i s e si st h a tt l l et a i l so ft h es t a b l ed e n s i t ) ，a r eh e a v i e r a n dr e s u l t si nt h er e m 冰a b l ei m p u l s i v en a t u r ei nw a v e f o n n i nn a t u r e ，t h i si m p u l s i v ea 1 1 d h e a v yt a i l e dn 觚鹏a r er e 】n a r k a b l ec h a r a c t e r i s t i c so fm e 行a c t i o n a l l o 、e ro r d e r 口- 虹b l e d i s t r i b u t i o n ( f l o a ) 啊1 e 口一s t a b l ed i s t r i b u t i o n ，w 1 1 i c hi so n ek i n do fm a t h e m a t i c a l m o d e lo fn o n g a u s s i a l ln o i s e s ，i sa i l 妇p o n a n ti s s u ei ns i 目a lp r o c e s s i n gf i e l d f i r s t l y ，n l i sp a p e r 硫r o d u c e sn l ep 钺吼e t e re s t i m a t i o nm e t h o d so f 口 a n dyi n 此 s ) r r t 瑚e t r i c 口- 嘲b l ed i 嘶b u t i o n ( s a s ) ，t 1 1 e np l a c e se x t r ae m p h a s i so nm ea l g o r i 廿l i i l so f t 妇ed e l a ye s t i m a t i o nu n d e rt 1 1 es 伍sd i g 岫b u t e dn o i s ec o n d i t i o n ，i i lm ee n d ，i n 仃o d u c e s a d a p t i v ef i l t e ra l g o m 吼su i l d e r 龇s a s gd i 嘶b 毗dn o i s ec o n 罅i o n ，t h em 如c o n t e n t i n c l u d e s 1 ef o l l o 毗l g s ： 1 r e v i e w l er e s e a r c hb a u c k g r o l l i l do f 口一s t a b l ed i s t r i b u t i o l l ，e x p o u i l dr e s e a r c h s t a ：t u s ，如n d a m e 删c o n c 印t i o n s ，f e 狐鹏s ，p 血l c i p l ea n da p p l i c a t i o np r o s p e c t s 2 1 1 1 讯烛l c et 1 1 ep a r a m e t e re s 廿m a ：c i o nm e t h o d so fs y m m e t r i c 口一s t a b l ed i 嘶b u t i o n t h ec o m p u t e rs i i n u l 撕o n sb a u s e d0 nq 1 1 a n t i l e so fs 锄p l e sm e m o da n d l o gi s 旺s lm e t l l o d i 1 1 d i c a t e l a tm e 似om e l o d sb o t l lc a n 西v eb e t t e re s t i m a t e dr e s u l t sa n dt l l er e s u hc a i l s a t i s 匆m en e e d so fm e 咖d y ，觚dl o g l s a s im 砒o dh a ss m a l l e rc o m p u 嘶o n 觚dm e c l o s e d f o 册f o 肋u l af o rc a l c u l a t i l 唱，s oi th a sam o r es u 【p e r i o rp e r f o m a l l c e 3 u 1 1 d e r 血ec o n d i t i o no fs 舯e t r i c 口一s t a b l ed i s t r i b m e da n ds p a t i a la r l dt e m p o r a l i i l d 印e n d e n tn o i s e s ，也e l e s i sa 1 1 m y z e s 廿l es h p r t c o m i l l go ft 证l ed e l a ye s t i m a t i o n a l g o r i t l l i i lb a s e do n 如以o n a ll o w e ro r d e rc o v 碰a 1 1 c e 口l o c ) w m c hr e q u e s t st h ep r e 、，i o u s e s t h i l a t i o no fc h a r a c t e r i s t i ce x p o n e n t 口i 1 1o r d e rt 0c h o o s ea i la p p r o 面a t ev a l u eo f 缸l c t i o n a ll 伽旧ro r d e re x p o n e m so fi i l p u ts i 印a l s 么a n db ，a 1 1 dc o m b i l l e st i i i l ed e l a y e s t i m a t i o na l g o r i t h mb a s e do nf l o ca n da n t i - h y p e r b o l i cs i n et m s f b n nt oi n t r o d u c et i m e d e l a ye s t i m a t i o na l g o r i t h mb a s e do na n t i - h y p e r b o l i cs i n et 姗s f o 珊t h en e wa l g o r i m m o v e r c o m e st h es h o r t c o m i n go fd 印e n d i n go nt h ep r e v i o u se s t i m a t i o no fm ec h a r a c t e r i s t i c e x p o n e n t 口ni se a s yt or e a l t i m es i g n a lp r o c e s s i n g ，a 1 1 dh a sg o tah j 曲e s t i m a t e d p r e c i s i o nt h r o u 曲c o m p u t e rs i m u l a t i o n s b u t i t e x i t s 龇s h o 蹴。卿n go f 蠡g n i c 础 d e g r a d a t i o n 、v h e nt h ei n d e p e n d e n c eo f t h es y n l n l e t r i cc z 。s t a b l ed i s t r i b u t e dn o i s ec a nn o t b es a t i s f i e d 4 o nt h ef o u n d a t i o no fl o gl s q s lp r o c e s s ，c o s t 血n c t i o n i sd e f i n e db a l s e do n t m r d o r d e rm o m e n to ft h el o gi s a s lp r o c e s s ，an e wt i m ed e l a ye s t i m a t i o nm e t h o di s i n t r o d u c e db ym i 血m i z i n gt h ec o s t 如n c t i o n t h ep 猢e t e r 口 c a i lb ee s t i m a t e db yt l l e n e wm e t h o di n 们d u c e di nt h et 1 1 e s i s t h ee x p e “m e n t a lr e s u l t si n d i c a t et h a tr o b u s t l l e s so f t h j sm e m o di ss 仃o n g e ra 1 1 dc a ng i v eb e t t e rt e s tr e s u l t sr e g a r d l e s so fs q s1 1 i o s ew h e 血e ro r n o tt om e e tt l l ei n d e p e n d e n c e ，a i l dw e l lr e s 0 1 v e st 1 1 ep r o b l e mo fn o t a b l yd e g e n e r a t i o n w h e nt 1 1 ei n d 印e n d e n c eo fs 仅sd i s t m u t e dn o i s ec a l ln o tb es a t i s f i e d 5 w h e nn l es y s t e mn o i s es a t i s f i e ss c 【s gd i s t r i b 面o n ，t h et l l e s i sa d o p t ss i g m o i d 如n c t i o n 仃a n s f o r mo ni n s t a n t a n e o u se r r o rb a s e do nr m nf i l t e ra l 套o r i m mi no r d e rt o 眦l s f o 仰世l ei n s t a n t a n e o u se n 0 rt o 觚o - o r d e rp r o c e s s i n 也i sw a yt h ep r o c e s s i n go f s 舔gd i s 锎) u t i o nn o i s ei sc o n v 识e di n t ot h ep r o c e s s i n go f 铆。一o r d e rp r o c e s s ，t h e o p t i 渤gs 妇u l a t i o nr e s 试t so fi l o 咖a l i z d 、v e i g h te r r 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信号建模应用中，需要用多个参数来表示某种信号；在滤波和预测应用中，需要从 观测数据中预测将来的数据或内插丢失的数据，如维纳滤波、卡尔曼滤波等；在信 号分离应用中，需要从观测数据中将不同的信号分离出来，如盲信号分离、多用户 检测等；在信号参数估计应用中，需要从观测数据中估计出表征信号的参数，如频 率估计等。 几乎在所有信号处理应用中，观测数据中都同时存在期望信息和不希望的干扰 信号( 即噪声信号) 。噪声产生的原因有很多种：它可以从相邻信号源中产生，从自 然界本身产生，由人为产生，或者从观测过程中产生等等。由于噪声在信号处理中 是不可避免的，因此，信号处理的任务就是从含有噪声的数据中来恢复期望信号或 提取期望信号的相关信息。为了实现这一目标，我们通常假设信号和噪声符合一定 的统计模型。 一般情况下，信号处理的数学模型都可以表示成： x ( 七) = d ( 后) 十力( 后)( 1 1 ) 其中，d 表示理想的无噪声信号，”表示噪声信号，x 表示观测到的含噪声信号。 对高斯分布噪声，其概率密度函数( p r o b a b i l 时d e n s 时f u i l c t i o n ，简称p d f ) 为： p ( 咖，仃) ：下与e x p ( 一生掣) ( 1 2 ) 2 兀盯 z 仃 其中，为分布的均值，仃2 为分布的方差。 将噪声假设成高斯分布有着很强的理论依据：首先，当我们没有任何关于噪声 的先验信息时，根据中心极限定理：无穷多个独立的有限方差的随机变量之和近似 服从高斯分布【1 1 ；其次，将噪声假设成高斯分布，可以给算法的推导和理论分析带 来很大的方便，因为高斯假设带来的通常是线性处理，而非高斯假设带来的往往是 非线性处理。在业已发展的大量的信号处理方法中，基于高斯噪声假设的线性处理 方法通常可以得到闭式的最优解。最后，高斯分布通常只需要用均值和方差两个参 数即可描述。 2 扬州大学硕士学位论文 尽管高斯嗓声假设有很强的理论依据，然而，现实中仍然存在着大量的信号和 噪声比高斯噪声更具有脉冲性，如雷达、声纳、水声、低频大气噪声、卫星通信、 网络数据包流量以及经济学中都存在大量的菲高靳脉冲噪声【2 ，3 4 l ，这些噪声的一个 共同特点是它们的概率密度函数具有较厚的拖尾，并导致其时间波形上具有显著的 脉冲特性。在高斯模型的假设下，这些信号的非高斯性会使分析系统的性能显著退 化，甚至不能正常工作。因此，采用有效技术，对信号及其噪声进行合理而适当的 描述和有效的分析处理，是面临的首要问题。实际上，这种脉冲状噪声和较厚的统 计拖尾正是分数低阶口稳定分布过程的显著特性。文献 5 用实际雷达回波数据说明 口稳定分布能更好的描述具有显著“杂波尖峰”或“野值”特征的复杂的海杂波， 文献f 6 ，7 】说明口稳定分布是描述通信中噪声干扰的有效模型。 1 2 及稳定分布的发展历史及其现状 口稳定分布的概念是由利维( l e v y ) 于1 9 2 5 年在研究广义中心极限定理时提 出的。8 0 年来，口稳定分布的理论在数学界得到了广泛的重视和发展，但是，直到 1 9 9 3 年，经由s h a o 和n i l ( i a s 的论文【s 】，口稳定分布的概念和理论才在信号处理领 域得到重视，并且在近十年中，得到了迅速的发展、丰富和广泛的应用。在1 9 2 5 年，正在研究中心极限定理的法国数学家l e v ) r 注意到中心极限定理存在着一些例 外：如果放宽中心极限定理中有限方差的条件，则其极限分布服从稳定分布规律。 受到这个理论的启发，l e v y 开始评价所有稳定分布的傅里叶变换，并且首次提出了 稳定分布的理论。 分数低阶统计量【9 】( f r a c t i o n a ll o w e ro r d e rs t a t i s t i c s ，简称f l o s ) 是指低于二 阶的( o ，2 ) 范围内的分数阶统计量，典型的分数低阶矩可以表示为e 帖( 疗) p 1 】，其中， t _ 0 p 的评价， 基于信号噪声口稳定分布假设而导出的信号处理算法对诸如信号噪声模型的不确 定性与实际情况有误差等情况，具有良好的韧性。研究表明，这类算法在很多方面 优于相应的基于高斯假定的算法，即使当信号噪声确实为高斯分布时，基于f l o s 王丽萍：口稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究 3 算法的性能也与基于高斯假定的算法相当。 正是因为具有上述显著优点，自二十世纪九十年代中期以来，基于口稳定分布 和相应的f l o s 的信号处理理论和方法受到国际信号处理学术界极大的关注。在口 稳定分布和f l o s 的基本理论方面，在口稳定分布噪声条件下的线性系统分析、信 号检测和参数估计、自适应波束形成【2 1 和时间延迟估计【l o 】等方面，所研究出的成果 丰富了口稳定分布和f l o s 信号处理理论、方法和它的应用，有力地推动了这一领 域的进步。例如，国内的研究者肖先赐【l l ，1 2 1 ，冯大到1 3 ，14 1 ，邱天爽【1 5 】等，分别从不 同的侧面深入研究了f l o s 理论与应用问题，丰富和发展了f l o s 信号处理的理论， 方法和应用。 此外，f a b r i c i u s 【1 6 】将口稳定分布的概念引入了独立分量分析( i c a ) 【1 7 】领域， 将i c a 的概念推广到分数低阶统计量：飚d m o s e 【1 8 】利用口稳定分布来分析和处理音 频信号，得到了较好的结果；g e o 画o u 【1 9 】等人用口稳定分布对脉冲噪声建模，提出 了一种具有较好韧性的时间延迟估计方法；k o n g 和q i u 【2 0 】等人针对撞击加速度试验 等条件下获得的脑电信号具有显著的分数低阶口稳定分布特性，提出了基于分数低 阶统计量的诱发电位潜伏期1 2 1 j 变化检测方法，比常规的基于二阶统计量的方法具有 明显的改善。 1 3 本文的主要内容 本论文分为六章，具体安排如下： 第一章：绪论部分。本章主要介绍了论文的课题背景和意义、口稳定分布的发 展历史及其现状、阐述了本文的主要工作和论文安排。 第二章：本章介绍了口稳定分布的定义、性质、分类和对称口稳定分布( s 仅s ) 随机过程，引出分数低阶统计量、共变、最小分散系数准则三个重要概念，以对口 稳定分布的基本理论有一个整体的了解，最后介绍了后续几章中仿真实验所需的口 稳定分布随机变量的产生方法。 第三章：介绍了两种s 仅s 分布的参数估计方法，并对基于样本分位数的参数 估计方法和l o gl s a s i 法进行了实验仿真和比较分析。 第四章：研究了s 仪s 分布噪声条件下的时间延迟估计算法。 1 在假设s 仅s 分布噪声相互独立的条件下，分析了基于分数低阶协方差的时间 4 扬州大学硕士学位论文 延迟估计算法中输入信号的分数低阶指数彳、b 依赖于口值的先验估计的缺点，将 反双曲正弦变换与该算法相结合并推出了基于反双曲正弦的时间延迟估计算法，并 与以往的方法进行了比较分析得出有意义的结论。 2 研究了l o g i s a s l 过程的定义，并基于l o g l s a s i 过程的三阶矩定义代价函数得 到新的时间延迟估计算法，算法中的a 可由第三章中介绍的参数估计方法得到。仿 真结果显示，该算法具有较高的韧性，无论s q s 噪声独立性是否满足都能给出较好 的检测结果。 第五章：研究了s 仅s g 分布噪声条件下的自适应滤波算法。介绍了几种经典的 自适应滤波算法，在此基础上得到基于s i g m o i d 变换的自适应滤波算法，并从最优 化标准化权值误差矢量的角度进行了仿真，仿真实验验证了所给算法性能的提高。 第六章：全文总结，对本文所做的工作进行了总结，同时，对下一步的研究工 作进行了展望。 2 仪稳定分布的基本理论 2 1a 稳定分布 2 1 1 优稳定分布提出的动因 提出并发展口稳定分布概念和理论的第一个动因是因为这种分布是满足广义 中心极限定理【2 2 2 3 】的惟一的一类分布。实际上，提出常规的高斯分布的动因也是中 心极限定理，因此，口稳定分布在理论上的合理性和高斯分布一样。口稳定分布能 够描述更加广泛的数据，甚至可以描述许多不满足中心极限定理的数据，因此具有 更普遍的意义。 提出并发展口稳定分布的第二个动因是因为这种分布是一种能够保持自然噪 声过程的产生机制和传播条件的极限分布。 第三个动因是因为口稳定分布是一种更加广义化的高斯分布，或者说高斯分布 是口稳定分布的一个特例，并保持有口稳定分布的一些特性，其中最重要的是所谓 稳定特性，即口稳定分布概率密度函数的卷积是封闭的，且其随机变量的相加也是 封闭的。这表明，具有相同特征指数的口稳定分布随机变量的线性组合仍为口稳定 分布随机变量，但具有不同的分散系数。因此，输入为口稳定分布的线性系统，其 输出仍然是口稳定分布的，并且用于高斯分布信号的线性系统理论的许多方面可以 直接扩展到口稳定分布信号的场合。 第四个动因是因为口稳定分布能够非常好地与实际数据相吻合。s t u c k 等人已 经表明，电话线路中的噪声可以有效地用口稳定分布来描述【2 4 】。n 飚a s 等人表明了口 稳定分布是描述大气噪声的非常好的模型【4 】。o w 表明了口稳定分布与无线网络中 的多路干扰和雷达系统中的反向散射回波相符合【2 5 1 。m a n d e l b r o t 关于利用口稳定分 布对经济时间序列建模的工作也是很成功的【2 6 】。 2 1 2 口稳定分布的三种定义方式 一人们基于稳定性( s t a b i l 时p r o p e 啊) ，吸收域( d o m a 证o f a t t r a c t i o n ) 和特征函 数( c h 娥l c t e r i s t i c 胁c t i o n ) 给出了口稳定分布的三种定义。 6扬州大学硕士学位论文 定义2 1 ：基于稳定性的定义【1 啦7 】 若蜀和彪是随机变量x 的独立样本。如果对于任何正数彳和b ，存在正数c 和一个实数d ，使得晒+ 丑墨和c 静d 具有相同的分布，则x 是稳定分布的随机变 量，如果x 和叫具有相同的分布，则称x 为对称稳定的。稳定变量x 在胪0 时被 称为严格稳定的。 定义2 2 ：对于任意随机变量z 存在口( 0 ，2 ，使c 满足： c 。= 彳口+ b 口 ( 2 1 ) 式中，口称为特征指数。具有特征指数口的稳定分布随机变量x 称为口稳定分布随 机变量。( 证明过程参考文献 2 8 】) 。 定义2 3 ：基于吸收域的定义 如果一个随机变量x 具有一个吸引域，即如果有一个独立同分布的随机变量序 列y l ，琏，一个正数序列 磊) 和一个实数序列 口。) ，且满足： 生掣+ 当x( 2 2 ) “n 其中，符号“j 表示按分布收敛，则随机变量x 具有稳定分布。( 对不同的收敛 定义，参考附录a ) 。 定义2 4 ：基于特征函数的定义 如果随机变量x 存在参数o ( 2 4 ) 式中， 嘶，= 。舞怒2 葚。 亿固 王丽萍：口稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究 7 唧= 则随机变量x 服从稳定分布。因此，口稳定分布由参数口，y 和口唯一确定， 参数口，y 和口具有如下物理意义1 1 9 j ： ( 1 ) 参数口( 0 ，2 称为特征指数( c h 批t e r i s t i ce x p o n e n t ) ，它决定该分布脉 冲特性的程度。口值越小，所对应分布的拖尾越厚，因此脉冲特性越显著。相反， 随着口值变大，所对应分布的拖尾变薄，且脉冲特性减弱。当口= 2 时，口稳定分 布变为高斯分布，当口= l 且卢= 0 时为柯西( c a u c h y ) 分布。定义0 a 2 的非高 斯分布为分数低阶口稳定分布。 ( 2 ) 参数为对称参数( s y n 姗e 时p a r a m e t e r ) ，用于确定分布的斜度。= o 对应于对称分布，简称s 0 【s 。高斯分布和柯西分布都属于s 仅s 分布。 ( 3 ) 参数y 为尺度系数( s c 出ep a r 锄e t e r ) ，又称为分散系数或离差( d i s p e r s i o n ) ， 它是关于样本相对于均值的分散程度的度量，类似于高斯分布中的方差。对于高斯 分布，分散系数的数值是方差的2 倍。 ( 4 ) 参数口称为位置参数( l o c a t i o np a r a r n e t e r ) 。考虑到分布的特征函数是其 概率密度函数的傅里叶变换，因此式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 中的e x p 廊“) 基本上对应 于概率密度函数在x 轴上的平移。对于s a s 分布，若1 口2 ，则口表示均值；若 0 i i 甜 甜：甜 8 扬州大学硕士学位论文 性质4 ：对于任意o 口 2 x & ( 盯，o ) 乍j x & ( 盯，一，o ) ( 2 1 0 ) 性质5 ：当且仅当胪0 且口= o 时，x & ( 仃，口) 是对称的。当且仅当户0 时， x & ( 仃，口) 相对于口是对称的。 性质6 ：令x & ( 仃，口) ，且口1 。当且仅当萨o 时，x 是严格稳定分布的。 性质7 ：令x & p ，口) ，且口1 。则卫口是严格稳定分布的。 性质8 ：当且仅当户0 时，x & ( 仃，口) 是严格稳定分布的。 性质9 ：令x & ( 仃，o ) ，口 2 ，则存在两个独立同分布的随机变量y l 和 y 2 ，具有共同的分布& p ，o ，1 ) ，使下式成立： x 兰( 半) i 一( 半) k ，口1 ( 2 1 1 ) 三二 ： x 兰( 半半黔仃( 半n 半一半h 半) ，删 ( 2 - 2 ) zz 7 【 z兀z 性质1 0 ：设分布& p ，口) 族的对称参数在一1 1 之间随机变化，盯值固定， 且满足口 1 。如果如足p ，0 ) ，且有届屐，则对于所有z 有： p 爿么x p 义么x ) ( 2 1 3 ) 性质1 1 ：令z & ( 仃，口) j 且o 口 2 ，则： 式中， c 乙= c f x 一口s ；n 瓢投，一l = | l 乏i 三母口1 q t 5 ， 式中，r ( ) 为伽玛函数，定义为： r ( x ) = f f 州e 叫出 ( 2 1 6 ) 性质1 2 ：令x & ( 仃，口) ，且o 口 2 ，则对于任意0 p 口，有： 俨 仔 半等 一彩 m * m h 小 h 小 王丽萍：口稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究9 对于任意p 口，有： e i x i 尸 e l x l p = ll ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 性质1 3 ：令x & ( 盯，o ) 满足o 口 2 ，且当口= 1 时有= o ，则对于所有 o p 口，存在一个常数，口( p ) 等于( e i k l p ) 咖，其中五& ( 1 ，o ) 。 2 1 4 倪稳定分布的概率密度函数 通过对口稳定分布的特征函数取傅里叶逆变换，可以得到标准口稳定分布的概 率密度函数为： 1 “ 厂( x ，口，) = 二【e x p ( 一材口) c o s 【删+ “口缈( 甜，口) 衍 ( 2 1 9 ) 兀” 注意到厂( x ；口，) = 厂( 一x ；口，一) ，这表明口稳定分布的概率密度函数相对于随 机变量x 和对称参数是偶对称的。另一方面，还可以证明厂( x ；口，) 是有界的，且任 意阶导数存在。 但是，除了高斯( 口= 2 ) 、柯西( 口= 1 ，= o ) 和皮尔森( p e a r s o n ，口= 1 2 ， = 一1 ) 等分布以外，一般的稳定分布及其概率密度函数均没有封闭的表达式。不 过，稳定分布概率密度函数的幂级数展开式是可以得到的。标准稳定分布的概率密 度函数可以展开为绝对收敛的级数。对驴0 ，有： 式中， 厂( x ；口，) = 刁= t a n ( 7 c 口2 ) ，= ( 1 + 7 7 2 ) - 2 9 ) 孝= 一( 2 7 c ) 删a n 7 7 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) n 概一2 ，口、i n 兀一货 咖 堕c l i 酞 _ 口 xrk1。 卜， x r ，l、， d 一 - 鼬 + _ 础 七一口等譬 。心。m i 仳上丽 1 0 扬州大学硕士学位论文 而r ( ) 为伽玛函数，定义为r ( x ) = f 广1 p 叫功。 上面的内容介绍了口稳定分布的概率密度函数，在实际的应用问题中，往往需 要判断给定序列是高斯分布( 口= 2 ) 还是分数低阶口稳定分布( 口 2 ) ，以便决 定采取不同的信号处理方法。判断信号高斯特性的常用方法是计算该序列的动态样 本方差【3 l 】。若尥，肛1 ，2 ，是一个随机序列，对于1 刀，其动态样本方差 定义为： 霹5 去丢( 以一又) 2 ( 2 2 4 ) 其中， 元= 圭以 ( 2 2 5 ) 力西 绘出霹随门变化的曲线，如果序列是高斯分布，则其具有有限的方差，对应的 霹曲线会收敛为一有限值。反之，若序列为非高斯的口稳定分布序列，则它没有有 限的方差，对应的爱曲线不能稳定的收敛。由此可以粗略判定给定序列是否为高斯 分布的序列。这种方法称为动态样本方差检验。图2 1 2 8 给出了不同口值情况下的 随机序列的波形及其相应的方差曲线。 x1 0 5 1r 一 0 簧1 詈 2 3 01 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 0 样本数 图2 1 口= 0 7 时的波形 图2 2口= o 7 时的动态样本方差 王丽萍：口稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究 11 刨 1 匝 1i 一 jii 。ljj l 01 0 0 d2 d 0 0 3 0 d 04 0 d 0 样本数 图2 3口= 1 1 时的波形 样本数 图2 5 口= 1 6 时的波形 01 0 0 d2 0 0 03 0 0 04 d 0 0 样本数 棚 祆 将 糙 椭 祆 + 争 糙 = h i i j 妖 将 糙 样本数 图2 4 口= 1 1 时的动态样本方差 样本数 图2 6 口= 1 6 时的动态样本方差 样本数 图2 7口= 2 0 时的波形 图2 8 口= 2 o 时的动态样本方差 由图2 1 - 2 8 可以看出，当口值较小时，序列波形中含有许多尖峰脉冲，这些脉 冲的幅度远远大于序列中其他样本的平均幅度，相应的动态样本方差不能收敛到稳 0 佃 佃 扣 加 雠罂 4 2 0 乏 4 雠坚 1 2 扬州大学硕士学位论文 定的值。当口增加时，尖峰脉冲的效应减弱，相应的动态样本方差的波动减小。当 口= 2 o 时，口稳定序列变为高斯分布，其动态样本方差收敛为一个常数。 2 1 5 对称口稳定分布( s a s ) 随机过程 由于对称a 稳定分布( s 伐s ) 在理论和实际应用中具有极端重要性，因此讨论 中主要讨论对称口稳定分布。 若实随机变量x 服从s q s 分布，则其特征函数有如下形式： 矽( “) = e x p 口“一yf “i 口) ( 2 ，2 6 ) 其中，0 0 为分散系数，一o 。 口 + o o 为位置参数，显然， 当a = 2 时，特征函数变为： 矽( 甜) = e x p _ ，舀甜一y i 材1 2 ( 2 2 7 ) 与高斯分布的特征函数相同。当口= l 时，x 服从柯西分布。 如果实随机变量蜀，为，五或者实随机矢量x = ( 五，五，以) r 的联合特 征函数具有式( 2 2 8 ) 所示的形式： 妒( “) = e x p 口一胪s 陬出) ) ( 2 2 8 ) 则墨，盈，五是联合s q s 分布，或者x = ( 五，五，以) r 服从s 0 【s 分布。 其中，谱测度( ) 是对称的，即在单位球面s 上对任意可测的集合a ，有 ( a ) = ( 一a ) 成立，a ，u ，s r ”。如果满足0 口2 ，当且仅当线性组合 a i 墨+ 口2 置+ + 口。k 服从s 仅s 分布，实随机变量蜀，尼，是联合s q s 分 l 布。 对于随机变量的集合 x ( f ) ，f r ) ，丁为任意自变量集合，如果对于任意的玎1 和惟一的f l ，2 ，乙丁，随机变量x ( f 1 ) ，x ( 乞) ，x ( 乙) 为联合s q s 分布的，且具有 相同特征指数口，则 x ( ，) ，f 丁) 被称为s q s 随机过程。 不失一般性，我们假定所有的s 0 【s 分布都是以原点为中心的，即满足删。在 这种情况下，s 仅s 分布仅由0 o 两个参数来确定。这样，其特征函数变 为： 王丽萍：口稳定分布噪声下的时延估计与滤波方法的研究 九，( 甜) = e x p 一y | “1 8 ) ( 2 2 9 ) 它的概率密度函数和分布函数分别以正，( x ) 和c ， ) 来表示。其中厶，( x ) 表示 为【4 j ： 五，( 功= 专二譬脚m 两n c 等，c 抄小1 肌删 布 亿3 专：。焉r c 莩，c 尹八删 一 赤唧c 2 心儿泸2 当7 = 1 时，s a s 分布是标准s q s 分布。 2 2 口稳定分布过程的分类 实际中，存在许多不同类型的口稳定分布过程，且它们具有不同特性，在这里 我们讨论在实际应用中经常用到的三种类型的口稳定分布过程。 2 2 1 亚高斯过程3 2 】 如果对于所有胛1 和 ，乞，乙，( x ( r 1 ) ，x ( f 2 ) ，x ( 厶) ) 有如下特征函数： ( 掰) = e x p ( 一【寺；：。：。筠甜。震( ，乞) 酬2 ) ( 2 3 1 ) 则稳定分布过程 x ( f ) ，f 丁) 称为口亚高斯过程，或简写为口踟伍) 。其中协方差函 数尺( 纠是正定函数，u = ( 敞，“2 ，“。) t r ”，口的范围是( 1 ，2 】。当口= 2 时砌是一 个高斯过程，其均值为零。显然，当且仅当r ( ， 垆r ( f 庐r 0 f ) 时，亚高斯过程是 平稳的。 亚高斯过程是高斯过程的方差混合。特别地，如果掇f ) 是口踟( r ) ，则： z ( f ) = s