（通信与信息系统专业论文）序列偶信号相关性与低零相关序列偶信号的研究.pdf

摘要 摘要 最佳离散信号及其设计在现代通信、雷达、声纳、制导、以及电子对 抗等系统中，起着越来越重要的作用。经过几十年的努力，人们在最佳离 散信号的研究上已取得了大量的重要成果。但是，目前最佳离散信号的选 取范围还是比较窄，序列的数量还不是很充足。本论文主要研究了序列偶 的相关特性。本文对近些年国内由两单个序列组成偶的最佳离散信号设计 方式和利用低零相关区特性分析最佳离散信号的研究方法进行了综合，并 在前人研究的基础上对最佳离散信号作了进一步地研究，主要工作如下： ( 1 ) 介绍了序列偶的基本概念和序列偶自相关函数的性质。对序列偶在 扩频通信系统中的应用进行了分析并给出了数值论据。 ( 2 ) 在前人有关一般序列相关界的理论成果的基础上，本文定义了序列 偶的相关参数；推导形成一般序列偶的理论界。最后将其扩展到一般序列 的相关界，对二者进行了比较。 ( 3 ) 基于序列偶和低零相关区序列理论定义了低相关区序列偶和零相关 区序列偶的概念。然后给出其变换性质，并论证了其存在性，给出实例。 最后推导形成了低相关区序列偶的理论界。 ( 4 ) 结合低相关区序列偶和二元互补序列偶，本文定义了低相关互补序 列偶。利用f o u r i e r 变换的一些基本性质对低相关互补序列偶进行了谱分析， 推导出了低相关互补序列偶的一些谱特性。并得出低相关互补序列偶的重 量分布情况。最后扩展形成了低相关互补序列偶族的概念，研究了其相关 特性。 关键词最佳离散信号；相关界；序列偶；族；低相关序列 燕山大学工学硕士学位论文 a b s 仃a c t t h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a la n di t sd e s i g np l a ya l li m p o r t a n tp a r ti nt h e o p t i m i z i n gd e s i g ni nt h ea r e ao fm o d e r n i s t i cc o m m u n i c a t i o n ，r a d a r , s o n a r ， n a v i g a t i o na n de l e c t r o n i c a l l ya n t a g o n i s ms y s t e m s a na b u n d a n c eo fr e s e a r c h r e s u l t sw e r ep u b l i s h e dt h r o u g hs e v e r a ld e c a d e s b u ta t p r e s e n t ，t h er a n g eo f s e l e c t i n gp e r f e c td i s c r e t es 适n a li sr e l a t i v e l yn a r r o wa n dt h en u m b e ro ft h e p e r f e c ts i g n a l si sn o ts u f f i c i e n t t h ec o r r e l a t i o np r o p e r t i e so ft h es e q u e n c ep a i r a r et h em a i nr e s e a r c ho b j e c ti nt h i sp a p e r t h ep a p e ri n t e g r a t e st h ep e r f e c t d i s c r e t es i g n a ld e s i g nm o d eo f t h es e q u e n c ep a i rw i t ht h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a l d e s i g nm e t h o d sw h i c hu t i l i z et h ez c zp r o p e r t ya n a l y s i sm o d e ，a n dm a k e s f u r t h e rs t u d y 如rt h ep e r f e c td i s c r e t es i g n a l so nt h eb a s i so ft h ep r e d e c e s s o r s r e s e a r c h , t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf 0 1 1 0 w e d ： ( 1 ) t h ec o n c e p to fs e q u e n c ep a i r sa n ds o m ep r o p e r t i e so f t h es e q u e n c ep a i r a r ei n t r o d u c e d t h ep a p e ra l s oa n a l y s e st h ea p p l i c a t i o no ft h es e q u e n c ep a i ri n t h es p r e a ds p e c t r u mc o m m u n i c a t i o ns y s t e ma n dp r e s e n t ss o m ed a t ar e s u l t s ( 2 ) b a s e do nt h ef o r m e rt h e o r yr e s u l t sa b o u tt h ec o r r e l a t i o nb o u n d s ，t h e p a p e rd e f i n e ss o m ec o r r e l a t i o np a r a m e t e r sa b o u tt h es e q u e n c ep a i r ；t h e nt h e p a p e rd e d u c e st h et h e o r yb o u n d sa b o u tt h ec o m n l o ns e q u e n c ep a i r , a tl a s tt h e p a p e rs p r e a d st h eb o u n d st ot h eb o u n da b o u tt h ec o m m o ns e q u e n c ea n dn m k e s c o n t r a s tf o rt h et w ot y p eb o u n d s ( 3 ) b a s i n go nt h et h e o r yo ft h es e q u e n c ep a i ra n dt h ez c zs e q u e n c e ，t h e p a p e rd e f i n e st h ec o n c e p t so f t h el c zs e q u e n c ep a i ra n dt h ez c zs e q u e n c ep a i r t h e n , t h ep a p e rp r e s e n t st h et r a n s f o r mp r o p e r t i e sa n dp r o o f st h eb e i n go ft h e s p e c i a ls i g n a l , a l s ow eg i v es o m ee x a m p l e sa b o u tt h es p e c i a ls e q u e n c e s f i n a h y t h ep a p e rd e d u c e st h et h e o r yb o u n da b o u tt h el c z s e q u e n c ep a i r ( 4 ) c o m b i n i n gt h ez c z l c zs e q u e n c ep a i rw i t ht h eb i n a r yc o m p l e m e n t a r y s e q u e n c ep a i r , t h ep a p e rd e f i n e st h el c zc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i r u s 吨 a b s t r a c t t h eb a s i cp r o p e r t i e so ft h ef o u r i e rt r a n s f o r m , t h ep a p e rm a k e ss o m es p e c t r u m a n a l y s i sa b o u tt h el c zc o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i ra n dg e t ss o m es p e c t r u m c h a r a c t e r i s t i c sa b o u tt h es i g n a l a l s ow eg e tt h eq u a n t i t yd i s t r i b u t i n gc i r c sa b o u t t h es i g n a l a tl a s tt h ep a p e rc o m e si n t ob e i n gt h ec o n c e p to ft h ef a m i l yo fl c z c o m p l e m e n t a r ys e q u e n c ep a i ra n ds t u d i e st h ec o r r e l a t i o np r o p e r t i e sa b o u t i t k e y w o r d sp e r f e c td i s c r e t es i g n a l ；c o r r e l a t i o nb o u n d ；s e q u e n c ep a i r ；f a m i l y l c zs e q u e n c e ； i i i 第1 章绪论 1 1 研究背景 第1 章绪论 随着电子技术、通信技术和计算机技术的飞速发展，最佳离散信号 1 1 3 】 及其设计在现代通信、雷达、声纳、导航、制导、信号处理、信息保密和 提取，以及电子对抗等有线和无线系统的优化设计中，起着越来越熏要的 作用。结构优良的信号可以提高系统抗干扰、抗噪声、抗衰落等性能，可 以增加系统数据的保密性，并且在码分多址( c d m a ) 通信系统中，实现通信 中的同步与捕捉等睁8 1 。 由于最佳离散信号在这些领域起到如此重要的作用，因此，在过去的 几十年里，世界各国的学者和工程技术人员对此进行了大量的研究，并取 得了丰硕的研究成果。但随着电子技术、通信技术和计算机技术不断地发 展，最佳离散信号的设计也不断地深入和发展；另一方面， 最佳离散信号 的设计与数学学科有着紧密的联系。由于最佳离散信号的设计需求，许多 数学问题已经被提出来了，对这些数学问题的研究也能够推动某些数学领 域的发展：反过来，数学领域的发展使最佳离散信号的设计有更多的数学 工具可用，也极大的促进了最佳离散信号的设计发展。可以说，最佳离散 信号的理论研究是通信电予和某些数学领域的交叉点。 由于最佳离散信号本身就是一个模糊的概念，所以对于最佳离散信号 本身而言并无严格的数学定义，在不同的工程应用中，实际的工程背景不 同造成对其所用信号的需求标准也不相同。因此，在不同的工程应用中， 有着不同的最佳信号定义。所谓最佳离散信号，即为能够满足某项工程的 需要并使系统性能处于最优状态的离散信号。显然，某个信号是否是最佳 信号，仅是相对的，不是绝对的。实际上，当用一种工程标准去衡量某类 信号时，它可能是最佳的，但当用另一种工程标准去衡量时，该信号可能 就会变成最差的信号。 由于电子设备系统处理信号的能力不断地提高，系统功能愈来愈强， 燕山大学工学硕士学位论文 其结构也愈来愈复杂，对系统的各项性能指标的要求也愈来愈高，因此， 对所用信号就提出了更高的要求。同时，计算机技术在电子系统中得到了 广泛的应用，使信号处理机能够处理不同模式的信号。这就促使人们不仅 可以使用简单的二元信号形式，而且还可以选用更加优良的信号模式用于 信息处理中，以提高系统的性能、增加系统的灵活性，从而客观上也就要 求最佳离散信号必须有大的发展。 综上所述，研究最佳离散信号设计理论不仅具有重要的理论价值，而 且具有广泛的工程应用价值。 最佳离散信号一般以循环相关函数、非循环相关函数、汉明相关函数 等为设计准则。本课题的研究内容主要涉及到循环相关和非循环相关，主 要阐述在循环和非循环相关准则下最佳离散信号相关界的问题。 1 2 循环相关信号的研究进展 循环相关准则是目前应用最广泛、研究最深入的最佳离散信号设计准 则，在工程上的应用非常广泛。直观上看，循环相关性就是要求信号序列 与自身延迟信号序列的麸轭序列的内积为脉冲函数。在通信工程中，对所 处理的信号提出如下两个条件( 或其中之- - ) t w 】： ( 1 ) 信号集里的每一个信号都很容易与其自身的时延信号区分开来。 ( 2 ) 信号集里的每一个信号都很容易与其他信号以及它们的时延信号区 分开来。 条件( 1 ) 对诸如遥测系统、雷达系统和扩频通信系统来说是十分重要的； 而对于同时多个目标、多个终端系统来说，条件( 2 ) 则更为重要。在实际应 用中，为了简化有关工程系统的具体实现过程，经常要求信号具有周期性。 区分信号的一个最常用和最有效的测度就是所谓的最小均方误差，即当两 个信号之间的均方误差很大时，这两个信号就很容易彼此区分开来。人们 已经从理论上严格证明了【i 】当信号的采样序列具有良好的循环相关特性时， 信号与信号之间以及与其时延信号之间的均方误差就较大，从而可以利用 带有相关接收器或匹配滤波器的导航和雷达系统等通信设备准确地提取出 2 第1 章绪论 所需要的信号或信号的时延。这就是循环相关为什么可以作为最佳信号的 一个标准的实际工程背景；这也是为什么循环相关是当今应用最为广泛、 研究最为深入的最佳信号准则的原因之一。 循环相关函数的定义如下： 设x = g 。，x l ，一，工。) 和】，= 。，y l i - ，y 。) 是两个长度为n 的有限 长复数序列，称函数 一1 ，) ( r ) = 一y i + 。，o r n 一1 ( 1 1 ) i = 0 为信号序列x 和j ，之间的循环互相关函数。其中y ? 为y ，的共轭复数， i + , - ；( f + q m o d n ，循环的含义就在于此。当x = y 时，又称此函数为循 环自相关函数。 在循环相关信号中最佳二元阵列是一类相当重要的最佳离散信号。最 佳二元二进阵列是一种相关性能良好的伪噪声阵列，这种信号已应用于信 道编码、同步信号处理、图像编码、数据压缩、模式识别、密码学以及组 合分析等大量的工程当中。 在最佳二元阵列刚刚出现时，由于它良好的相关特性，得到了通信与 电子领域内众多学者的广泛重视。但是当时缺乏计算机的帮助，虽然性能 特别好，但却难以寻找，在上世纪6 0 年代末只找到一个一维4 阶最佳二元 阵列( 最佳二元序列) ，两个二维二元阵列。到了上世纪8 0 年代末，由于实 际工程的需要，并借助计算机的帮助，找到了若干体积较小的二元最佳阵 列，更是由于发现了许多十分有效地构造多维最佳二元阵列的新方法，从 1 9 8 7 年开始最佳二元阵列又成为国际学术界的一个热点研究对象，几年内 发表了大量的有关论文 1 5 - 19 】。这些研究成果使对多维最佳二进阵列的认识 有了长足的进步，但对于一维最佳二元阵列( 序列) ，只是证明了当序列的长 度 1 2 1 0 0 时，还是仅存在一个4 长的最佳二元序列：( + 1 ，+ l ，一l ，+ 1 ) ，并有 大量的证据显示很可能不存在其它的最佳二元序y de 1 7 , 2 0 2 2 。于是人们不得 不去寻找新的序列以满足工程的需要。 对于二进序列，人们首先考虑了优化二进序列 2 3 4 2 7 】，特别是异相自相关 燕山大学工学硕士学位论文 函数的绝对值小于等于1 的二进序列，这些序列主要包括n l 序列【l 】、g o l d 序列”、k a s a m i 序列【4 j 、m 序列【7 】、辛格码 1 l 、雅可比码“i 、g o l o m b 序 列【4 】、c h i r p 序列、b e n t 序列】、g m w 序y 【j f 4 1 、一般g m w 序列1 2 8 】、 平方剩余码( 指数码或l e g e n d r e 序列) 【2 9 1 、h a l l s 六次冗余序列90 1 、扩展序 列【3 0 】、f r a n k 序列口1 j 2 1 等，这一类序列的研究成果是非常丰富的。其次， 人们在改变二进序列和信号最佳循环相关条件下，同样也得到了丰硕的成 果，它们主要包括：几乎最佳二进序列【3 3 q9 1 、奇周期最佳二进序列4 ”、 区域相关为零序列1 4 1 州】、部分相关序列【4 5 4 钔、a l e x i s 序n t 4 9 5 0 等等。其中， 几乎最佳二元序列应用较广，此种序列是j w o l f m a r m 于1 9 9 2 年提出的，也 就是对原来的最佳二元序列的条件进行了适当的放松，原来的最佳二元序 列的异相自相关系数全部都等于零，而现在，几乎最佳自相关序列的异相 自相关函数系数有一个非零，而其余还是为零。正是这一个非零，使序列 的长度在 1 2 1 0 0 的情况下大量的存在。但是在这种定义下，n 仍然有不 小的限制，如r 必须为4 的整数倍，在n 1 0 0 的范围内，就有以取3 2 、4 4 、 6 8 、7 2 、8 0 的值时，此序列不存在，但是这对于最佳自相关序列的寻找已 是一个大的飞跃。在此之后，人们在j w o l f m a n n 基础上进行了大量的有益 的探讨，如对几乎最佳自相关序列的存在性进行了研究，探索了最佳与几 乎最佳的存在关系，把多元引入到几乎最佳自相关序列中，把差集与几乎 最佳自行关序列相结合共同研究等。 总之，近几年在最佳二进序列的研究上取得了不菲的进展，但还是存 在一些不足，如序列长度的选取范围还是比较窄，序列的数量还不是很充 足，随着技术的进步。还迫切的需要新的最佳离散信号来满足工程上的需 要，所以文献 5 0 】提出了“偶”的概念，即改变个序列的状况，把两个序列 组合到一起，共同来解决问题，例如，传统的相关检测是用与发送序列相 同的本地序列作为相关检测信号，并要求所选的信号序列有优良的自相关 特性，而用偶的理论：发送序列为4 ，本地序列为丑，将爿和占看成是一 个序列偶( 4 ，占) ，只需要序列偶( 一，b ) 的自相关函数满足一定的条件，就可 用序列口来检测序列爿，而不是需要序列爿、b 本身都具有良好的自相关 特性，从而使约束条件放宽，有更加多的序列满足条件。这样，原来意义 4 第1 章绪论 上的最佳信号便成为这种最佳信号的特例( u p 两个序列相同) 。 文献 5 1 1 n 用偶的原理对几乎最佳二进序列进行了分析，提出了几乎最 佳二进序列偶的概念，与几乎最佳自相关序列相比，几乎最佳自相关序列 偶的长度n 比前者数目增多，只需为2 的倍数，比前者多了两倍，而且在同 种序列长度下，序列的可取种类也多。序列的数目增多，也就使这种序列 有更好的应用性，提高了序列的保密性。但是，由于一般意义上的二元序 列偶的自相关函数具有多值性，因此研究多值二元序列偶具有更一般的意 义，可以进一步提高最佳离散信号的数量。 1 3 非循环相关信号的研究进展 非循环相关的主要工程背景是脉冲压缩雷达、声纳、通信同步等问题。 非循环相关准则与循环相关准则的唯一区别在于它的信号已不再是周期性 的了。相应地，此时仅考虑非循环移位，即在定义非循环相关函数时用非 循环移位代替循环相关中的循环移位。从工程角度来说，非循环相关更加 接近实际，但因研究难度太大又缺乏有效的研究工具，使得非循环相关信 号设计难度很大，正处于等待突破的阶段。 设x = ( x o ，x l ，x _ 1 ) 和y = ( y o ，y 1 i t ，y ) 是两个长有限序列，定 义函数 氏0 ) = z j y ：+ 。，0 r n - 1 z 一站l n r 1 3 的奇数长 度的b a r k e r 码；偶数长度的b a r k e r 码可能长度h = 4 t2 ，“= 1 , 2 ，) ，偶长 6 第1 章绪论 b a r k e r 码的长度必不含有素因子p = 4 k + 3 ，且长度胛1 2 1 0 0 的偶数长度的 b a r k e r 码肯定不存在，并猜测很可能不存在n 1 3 位的b a r k e r 码。 关于c o s t a s 阵列、雷达阵列、声纳阵列、脉冲位置调制探测序列、h o h o l d t 序列的研究成果详见文献 5 ，6 】。 1 4 阵列偶相关的概念及发展 通过对雷达、声纳、码分多址等系统中信号检测过程的研究发现，发 送的阵列( 或序列) 与接收机中所用的本地阵列可以不必相同，而只要这 两个阵列( 称为阵列偶) 满足一定条件，就完全可达到工程上对最佳信号 的要求。这样，原来意义上的最佳信号便成为这种信号的特例( 即两个阵 列相同) 。阵列偶中两个阵列的互相关函数定义为这个阵列偶的自相关函 数，以此为依据可广泛研究各种形式上的最佳信号。 阵列偶的相关的思想是近些年提出的，这种相关思想可分为循环相关 和非循环相关两种形式，并在最佳二进阵列偶理论和互补序列偶理论的研 究中取得了一定的研究成果。有关阵列偶相关理论的具体研究成果请参见 文献 5 0 。由于阵列偶相关的思想可以扩充到许多形式的阵列中，故在这一 新的相关理论中，还有许多有待研究的问题。本论文所涉及的内容主要是 有关这方面的研究的成果。 1 5 论文研究内容及结构 文献分析结果表明，尽管最佳离散信号设计理论的研究已有很长的历 史，取得了极其丰富的研究成果，但还有大量的问题有待于进一步研究。 特别是随着科技的发展，技术的进步，人们对通信的要求越来越高，这就 需要不断的有新的研究方法被引入到这个领域中来，因此需要人们不停的 去探索最佳离散信号的新概念、新方法，去满足工程上的需要，同时也可 以新的观念去研究最佳离散信号，为以后的发展打下良好的理论基础。 本论文在前人有关序列偶和低零相关序列研究的基础上形成几种新形 式信号的定义，并对序列偶的相关特性进行了重点的分析研究，为新信号 ， 燕山大学工学硕士学位论文 的构造和应用奠定了理论基础，论文主要内容安排如下： ( 1 ) 第2 章主要给出了序列偶的基本概念、分类以及序列偶对应的变换 性质和序列偶在扩频通信系统中的应用仿真。 ( 2 ) 第3 章在列举前人有关一般序列相关界的理论成果的基础上，定义 有关序列偶的相关参数概念，推导形成一般序列偶的相关理论界，并把形 成的界加以推论，然后扩展到一般序列的相关界上，把两者进行了相应的 比较。最后利用数据计算结果验证序列偶界的实效性。 ( 3 ) 第4 章的主要内容是结合上面提到的序列偶和低零相关区序列理论 而形成的，定义低相关区序列偶和零相关区序列偶，并推导形成低相关区 序列偶的理论界。 ( 4 ) 一维阵列偶也称为序列偶，互补序列偶便是由两个序列偶组成的并 且满足类似互补序列的相关特性的一种序列组形式，低零相关互补序列偶 便是互补序列偶的相关特性被晃定在一定范围内的互补序列偶，它的各种 性质和构造方法类似于互补序列偶。第五章将进行上述特殊序列偶的相关 特性的研究。 最后对本文进行总结。 第2 章序列偶概述及序列偶应用 第2 章序列偶概述及序列偶应用 2 1引言 最佳离散信号有预先的可确定性，可重复性，使它易于实现相关接收 或匹配接收，故有好的抗干扰性【l 】。由于有如此特性，最佳离散信号得到了 广泛的应用。在通信、导航、遥控遥测、雷达、信号同步等系统中，通常 就是利用了序列特殊的自相关和互相关性质来达到工程应用的目的。例如， 在连续波雷达中，发射机将经过调制放大的伪随机信号序列发射到空间， 信号遇到目标时将会返回( 反射) ，接收机收到返回信号后通过相关检测确定 收发信号的时间间隔或反射信号迟后发射信号的时延值f ，根据公式 2 d = c a ，就可测得发射机至目标的距离吠其中c 是电磁波的传播速度) 。为 了提高时间的分辨率，常常采用带有相关接收或匹配滤波器的系统来处理 信号的自相关函数，根据自相关函数的特殊性来达到高精度地提取时间信 息的目的。 序列的自相关函数一般是用序列与其自身时延序列的共轭序列的内积 来表征的，目前在研究各种最佳信号的自相关函数时都是用此定义f 或类似 的方法) 。但是这种方法不仅限制了最佳序列的存在空间，而且在工程中应 用还要求发送序列与接收机中计算自相关函数所用的本地序列是同一序 列。所以文献【5 0 提出了“偶”的概念，也就是发送的序列与本地接收的序 列可以不必是同一个序列，而只要这两个序列f 称为序列偶) 满足一定的条 件，就完全达到工程上对最佳信号的要求。这样，原来意义上的最佳信号 便成为这种最佳信号的特例( 即两个序列相同) 。在序列偶中，两个序列的互 相关函数被定义为这个序列偶的自相关函数，以此为依据可广泛研究各种 形式上的最佳信号。 本章主要介绍了序列偶的和序列偶相关函数的基本概念，给出了序列 偶的几种特殊形式，此外通过引入序列变化对序列偶自相关函数的基本性 质进行了讨论。最后举例说明了序列偶在扩频通信和信号处理中的应用。 9 燕山大学工学硕士学位论文 2 2 序列偶及其分类 2 2 1 序列偶基本概念 定义2 1 ：设a = 0 。，a l j 一，d 。) 和b = ( 6 0 ，b 1 ，一，b 。) 分别是长度为 的序列，称口和b 组成一个长序列偶，记为a ，b ) 。 定义2 2 ：n 长序列偶0 ，6 ) 的循环自相关函数矗( 刚) g ) 定义为 n 一1 r ( 0 - - 口b ，f = o ，1 ，n - 1 ( 2 - 1 ) 1 0 式中i + v ；( i + v ) m o d n 。 当r = 0 时，称丑( 咖) ( f ) 为序列偶a ，b ) 的同相自相关函数( 或称为自相关 函数的主峰) ；当f 0 时，称r ( 叫) ( f ) 为序列偶0 ，b ) 的异相自相关函数( 或 称为自相关函数的副峰) 。当日= b 时，又称r f 加1 ( ) 为序列订的循环自相关 函数。 由l l g y 2 2 可知，序列偶0 ，b ) 的循环自相关函数就是通常意义下序列口 和b 之间的循环互相关函数。 定义2 _ 3 ：n 长序列偶0 ，6 ) 和n 长序列偶0 ，d ) 之间的循环互相关函数 r ( 叫) ( 叫) ( r ) 定义为 n 1 帆。) ( r ) = 疗d ，f = 0 , 1 ，n 一1 ( 2 - 2 ) i = 0 序列偶( c ，d ) 和0 ，6 ) 之间的循环互相关函数尺( 。，。) ( ) ( r ) 定义为 - 1 帆6 ) ( r ) = c 。b 。，r = o ，1 ，n - 1 ( 2 3 ) f ；o 式中i + vz ( i + r ) m o d n 。 由定义2 3 知，序列偶0 ，6 ) 和序列偶c ，d ) 之间的循环互相关函数是序 列a ( 第一个序列偶中的第一个序列) 和序列d ( 第二个序列偶中的第二个序 列) 之间的互相关函数。因此，序列偶0 ，6 ) 和( c ，d ) 之间的循环互相关函数 与序列偶c ，d ) 和( 口，6 ) 之间的循环互相关函数之间没有必然的联系，而两个 序列口和6 的互相关函数之间却存在关系式r 。( f ) = - r 。( r ) 。 1 n 第2 章序列偶概述及序列偶应用 定义2 4 ：长序列偶( 盯，b ) 的非循环自相关函数c f 咖) 0 ) 定义为 c - ，。) ( r ) = n l - v 口b ，f = 0 , 1 ，2 ，n 一1 。三：，( 2 - 4 ) 日。b 。，f n + i ，- n + 2 ，一1 r = 0 式中i + v ；f i + v ) m o d n ，i - fi ( i - v ) m o d n 。 当r = 0 时，称c ( 刚) ( r ) 为序列偶a ，b ) 的同相自相关函数( 或称为自相关 函数的主峰) ；当f 0 时，称c k 们( r ) 为序列偶0 ，b ) 的异相自相关函数( 或 称为自相关函数的副峰) 。 由定义2 4 可知，序列偶( 口，b ) 的非循环自相关函数就是通常意义下序 列和b 之间的非循环互相关函数。 定义2 5 ：n 长序列偶仁，6 ) 和n 长序列偶c ，d ) 之间的非循环互相关函 数c ) ( 叫) ( r ) 定义为 c h 州刊( r ) = 摩峨仁0 1 2 ， ( 2 - 5 ) l q d r = - n + i ，一n + 2 ，一l 序列偶( c ，d ) 和0 ，6 ) 之间的非循环互相关函数c ( 叫) ( 刚) ( r ) 定义为 c ( 叫) ( ) ( r ) = f = 0 , 1 ，2 ，一1 ( 2 - 6 ) r = 一n + 1 , - n + 2 ，一l 式中i + r ；( i + r ) m o d n ，i - f ；( f v ) m o d n 。 2 2 2 序列偶的分类 根据序列偶0 ，b ) 自相关函数的取值多样性，我们可以将序列偶分为最 佳自相关序列偶、几乎最佳自相关序列偶5 1 1 以及多值自相关序列偶。下面 首先介绍序列偶中的两种特殊形式最佳自相关序列偶和几乎最佳自相 1 1 ” 以 6 o c ，c 盘 、l 燕山大学工学硕士学位论文 关序列偶。 定义2 6 ：对于一个周期为n 的二元“l ，一l 序列偶0 ，b ) ，如果它的所有 异相自相关函数均为零，则这个序列偶( 口，b ) 就被称为最佳自相关序列偶。 对于最佳自相关序列偶，其自相关函数可以表示为如下形式： r - ，。，g ) = 主。：i ： c ：- ， 由此可见，如果口= b ，则最佳自相关序列偶就退化为最佳自相关序列。 例2 1 ：设a = 一一一+ + + + + 和b = 一十一+ + 一十+ ，其中“+ ”代表“+ l ”， “一”代表“1 ”，组成个周期为8 的二元序列偶( 口，6 ) 。可以验证二元序 列偶( 口，b ) 的自相关函数是 ，( r ) = 播篡 所以序列偶( 口，b ) 组成了以上定义的最佳自相关序列偶。 定义2 7 ：对于一个周期为n 的二元“l ，一l 序列偶0 ，b ) ，如果它的所有 异相自相关函数仅在点处不为0 ，而在所有其它点处均为0 ，则这个序列 偶( 以b ) 就被称为几乎最佳自相关序列偶。 对于几乎最佳自相关序列偶，若其异相自相关函数在a 点处不等于0 ， 其中a l ，2 ，n l ，则几乎最佳自相关序列偶的自相关函数可表示为： f f o ，f = o 胄f m ) ( f ) = t g 0 ，f = 口 ( 2 - 8 ) 1 0 ，f a , 0 例2 2 ：设口= + 一+ 一一一一一+ 一和b = 一一+ + 一一一一+ + ，其中“+ ”代表 “+ 1 ”，“一”代表“1 ”，组成一个周期为1 0 的二元序列偶( 口，b ) 。可以验证 二元序列偶( 口，b ) 的自相关函数是 f 4 ，f = 0 r ( 。) ( f ) = t 4 ，f = 9 1 0 ，f a , 0 所以序列偶( 口，b ) 组成了以上定义的几乎最佳自相关序列偶。 定义2 8 ：若周期为n 的二元( + 1 ，一1 ) 序列偶( 口，b ) 的自相关函数不具备以 第2 章序列偶概述及序列偶应用 上所定义的最佳自相关序列偶及几乎最佳自相关序列偶的性质，则称这样 的序列偶为一般意义上的多值自相关序列偶。 2 3 序列偶的变换性质 2 3 1序列的变换形式 定义2 9 ：定义序列a 的下面4 种变换。 ( 1 ) 序列日的向左循环移m 位变换，记为”( ) ，其中0 m n 一1 ，0 州 为m 位移位算子，上协- ) = - 。，a 。，口。，日l ，一，口。，) 。因为序列a 是以 为周期的，所以序列a 中的各元素向左循环移肌位，等于口中的各元素向右 循环移n 一掰位，即有三抽) g ) = 三 n - m ) 幻) 。 ( 2 ) 序列a 的逆序变换，记为r ( a ) 。r 为逆序变换算子，由此定义可知， 烈砷= - 1 ，a _ 2 ，a oj 。 ( 3 ) 序列口的采样变换，记为d ( ，( d ) ，其中q 为与互素的正整数。d j 为q 采样算子，d 0 ) = k 岫，口。，口( 。h ) ，其中元素下标对周期进行 取模运算，即有f q ；( f q ) m o d n 。由此定义可知，由于g 与彼此互素， 所以序列d j 口) 只是序列d 中元素的重新排列。 ( 4 ) 序列口取补变换，记为a 。序列a 中的每一个元素为序列a 中相对应 元素取补，因为序列a 中的元素为+ 1 或1 ，所以取补变换也就相当于对序 列a 中的元素易号，因此序列a 取负元变换，记为一a ，与序列口取补变换 相同，即有a = 一a 。 2 3 2 序列偶自相关函数的性质 性质2 1 ：序列偶- ，6 ) 经过互易变换为0 ，a ) ，有 r ( b ，。) ( r ) = r ( 小) ( _ f ) ( 2 - 9 ) 证明：根据序列偶自相关函数的定义2 2 可得 n - 1 一l r ( b ，。) ( ) = b ，。= 口一b 。= r 咖) ( _ f ) 1 = 0 i = 0 1 1 一 鎏些查兰三兰塑圭堂垡笙苎 证毕o ，、 性质2 2 ：序列偶0 ，6 ) 经过向左移埘位变换为似”0 ) ，0 “( 6 ) ) ，有 胄沙，( 。) ，d 。，。目( f ) = r ( 咖) ( f ) ( 2 - 1 0 ) 证明：根据序列偶自相关函数的定义2 2 可得下式 以圳( 。n ( ) 2 酗j v - i 一+ r _ 。o n 1 n - i + 6 m m 因为f + m = ( f + m ) m 。d n ，n n r ( l ( 。，。) ，州( 。”( f ) = 五( 叫) ( r ) ，证毕。 f f ) 贡z 3 ：序列偶0 ，6 ) 经过逆序变换为伍0 l r o ) ) ，有 r ( r o ) ) ( r ) = 6 ) ( 一r ) ( 2 _ 1 1 ) 证明：根据序列偶自相关函数的定义2 2 可得下式 月忙( 口l 。o ”( r ) = 口, v _ l - i b ”一，。= a n - a b 一l f f + a u _ z b 一2 一f + + az b i 叶+ a 0 6 0 - f = 口。氏一f 十十a x _ z b 一2 一f + a n - i b u 一1 一f = n - i q k 一= 艮以( 一r ) 证毕。 性质2 4 ：序列偶0 ，6 ) 经过取补变换为( 口，否) ，有 r ( o ；) ( f ) = 一。) ( r ) ( 2 - 1 2 ) 证明：根据序列偶自相关函数的定义2 2 司得f 式 吼- 1 ( f ) ：n - i q k ：一n - l q 6 。：一r ( 妒) ( r ) ( f ) 2 擎r 一酗6 一一) ( r ) 证毕。 性质2 5 ：序列偶( ，6 ) 经过取补变换为每，6 ) ，有 r 仁，。1 ( f ) = 一胄b s ) ( r ) ( 2 - 1 3 ) 第2 章序列偶概述及序列偶应用 证明：根据序歹u 偶目相关函数的定义2 2 司得 月g ，。1 ( r ) ：n - i 口虬：一n - 1 d 扎：一。) ( r ) 1 2 uf 2 u 证毕。 性质2 6 ：序列偶0 ，6 ) 经过取补变换为仁，石) ，有 r 仁，i 1 ( r ) = r ( 。a ) ( r ) ( 2 1 4 ) 证明根据序列偶自相关函数的定义2 2 可得下式 嘲( ) = p n - 1k = 酗n - 1 6 。= ，( r ) 证毕。 性质2 7 ：序列偶g ，6 ) 经过采样变换为( d ( 。0 l d ( ，( 6 ”，有 r ( d ，- ) ，。( 。1 ( 6 ) ) ( r ) = r - ，6 ) ( f ) ( 2 - 1 5 ) 证明：根据序列偶自相关函数的定义2 2 可得下式 铀加如) ) ( r ) 2 酗 一 - 2 酗6 m2 ) ( f ) 证毕。 2 4 序列偶的应用 2 4 1 基于序列偶的扩频通信系统 根据对扩频通信系统信号检测过程的初步研究发现，可以用序列偶代 替传统意义下的扩频序列。基于序列偶的扩频通信系统与一般的扩频通信 系统的构成相似，其主要差别是基于序列偶的扩频通信系统的发送端和接 收端分别使用序列工和y 作为调制器和解调器的伪随机序列。其中，序列工 和y 组成序列偶( ，y ) 。为了讨论方便，下文中用p 。( f ) 、尸，( r ) 来分别 代替序列偶( j ，y ) 中的x 序列和y 序列。基于序列偶的扩频通信系统组成 15 茎些奎兰三兰堡主兰堡丝苎 原理框图见图2 1 ，其中接收端载波幅值设为2 并无任何特殊意义，只是为 了简化以后接收信号与接收端载波信号相乘计算。 p n 。( t )2 e o s ( 2 e 图2 1 序列偶扩频通信系统模型 f i g 2 - 1t h em o d e lo f t h es e q u e n c ep a i rs p r e a d i n gc o m m u n i c a t i o ns y s t e m 载有信息的基带信号用v ( ，) 表示，其值如下： v ( r ) = 吒g ，( f 一聆瓦) ( 2 1 6 ) 式中a 。= 1 ，( o 。 c o ) ，g r o ) 是持续周期为瓦的矩形脉冲。这个信号与 由p n 发生器来的信号相乘，它可表示为： c o ) = 气p ( f - n l ) ( 2 1 7 ) 一 式中c 。代表该二进制p n 的值为1 的码序列，从而c ( r ) 代表伪随机数发生 器产生的伪随机信号，如图2 2 所示。 ji 。w l 广 门i l 7 1 t c 图2 - 2p n 信号 f i g 2 - 2p ns i g n a l 1 6 兰! 童曼型堡楚垄墨壁型堡窒旦 p ( r ) 是持续周期为c 的矩形脉冲，v ( f ) 代表数据源端待扩频的数据信号，如 图2 - 3 所示。 图2 - 3 待扩频数据信号 f i g 2 - 3t h ed a t as i g n a lb e f o r es p r e a d i n gs p e c t r u m v ( t ) c ( t ) 是经过伪随机信号扩频后的数据信号，如图2 - 4 所示。 j i7 w c w 1 厂厂 厂。 7 1 l _ jl jl _ j 卜t 叫 图2 - 4 扩频后数据信号 f i g 2 - 4t h ed a t as i g n a la l t e rs p r e a d i n gs p e c t r u m 图2 - 5 扩频序列信号频谱 f i g 2 - 5t h es p e c t r u mo f t h es p r e a d i n gs e q u e n c e 扩频序列信号的码片间隔为t ，其倒数1 t c 称为码元速率，并近似等 于传输信号的带宽矽，如图2 5 所示。当基带信号与扩频序列信号相乘后， 燕山大学工学硕士学位论文 基带信号频谱被扩展到扩频序列信号频谱宽度，如图2 7 所示。 l v l l j 图2 - 6 待扩频数据信号频谱 f i 9 2 6t h es p e e t r t u no f t h ed a t as i g n a lb e f o r es p r e a d i n gs p e c t r u m v t i j l l ” | 一 图2 7 扩频后基带信号频谱 f 培2 - 7t h es p e c t r m no f t h eb a s e b a n ds i g n a l 在实际的扩频系统中，通常选择比特区间与码片间隔的比值为某 一整数，记为l 。= t b 。数据信息v ( r ) 与扩频序列| p ，( f ) 相乘后，经载波 a 。c o s ( 2 妒) 调制产生的输出信号为 ”( f ) = a 。v ( t ) p n ，( r ) c o s ( 2 斫)( 2 - 18 ) 式中4 。是载波调制信号的振幅，是载波频率。研究某一信号对所期望的 载有信息信号解调上的影响是很有意义的。在接收端，设接收到的信号为： r ( r ) = a 。v ( ) 州，( t ) e o s ( 2 2 0 口) + 砸) + 聆( r )( 2 1 9 ) 式中，i ( t ) = a ，c o s ( 2 矾r + 匕) 是正弦干扰信号，4 ，力和分别是干扰 信号的振幅、频率和相位，n ( f ) 是传输信道中的高斯白噪声。接收信号r ( f ) 经解扩后，其输出为： w ( t ) = 2 r ( t ) e o s ( 2 矽) p 。p ) = ( f ) + 2 c o s ( 2 妒) p 。o ) f 0 ) + 胛o