（信号与信息处理专业论文）基于多重分形的图像识别研究.pdf

中文摘要 多重分形是非线性科学研究中十分活跃的一个新分支，它作为分形几何领域的一 个主要发展方向，现在已被广泛应用于各个学科领域。特别是它在图像处理方面潜在 的理论和应用价值，使得多重分形理论在图像处理中的应用成为许多科学工作者的研 究课题。多重分形是描述信号奇异性结构的有效数学工具，它尤其适合于一些难以建 模的不规则图像的处理和分析。它从全局来描述奇异几率分布的形式，或者说它是用 一个谱函数来描述分形体不同层次的生长特征，从系统的局部出发来研究其最终的整 体特征。 本论文在深入研究了多重分形的理论、算法及其在特征提取方面的应用后，提出 了利用8 个多重分形谱特征( 奇异指数a 的最小值a m i n ，奇异指数仅的最大值a 一， a m 抽所对应的多重分形谱的值丘，口。碱所对应的多重分形谱的值厂懈，谱宽，谱差， 厂( 仅) 取得极大值的奇异指数的值仅d ，二次拟合曲线的不对称度b ) 进行图像识别的 方法。通过编程仿真实验，对近2 0 0 副图像( 三类图像) 进行识别，识别率达到了 8 0 。实验证明，用多重分形分析方法提取的目标图像特征值有很好的识别效果，并 取得了较好的识别率。本文的研究成果为多重分形理论在图像识别领域中的应用带来 了新的思路与方法，丰富了图像识别技术及其应用的研究思路，具有一定的理论意义 和应用价值。 关键词 多重分形谱，办占忱，指数a ，特征提取，图像识别 a b s t r a c t m u l t i f r a c t a l i t yi san e wb r a n c ho fn o n l i n e a rs c i e n c e a sac o r eb r a n c h o ff r a c t a l g e o m e t r yf o rr e s e a r c h i n gi r r e g u l a rg e o m e t r i c a lf i g u r e ，i th a sb e e nu s e di nt h eo t h e rf i e l d s o fs c i e n c em o r ea n dm o r ew i d e l y e s p e c i a l l y , i t sp o t e n t i a lv a l u ei nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n o ft h ei m a g ep r o c e s s i n g ，m a k e st h ea p p l i c a t i o no fm u l t i f r a c t a lg e o m e t r yt h e o r yi ni m a g e p r o c e s s i n gb e c o m ear e s e a r c hs u b j e c to fm a n yr e s e a r c h e r s m u l t i f r a c t a l i sa l le f f e c t i v e m a t h e m a t i c a lt o o lf o rd e s c r i p t i n gt h es t r u c t u r eo ft h es i n g u l a r i t y m u l t i f r a c t a li su s e dt o d e s c r i b et h eo d dp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o nf r o mw h i c hc a l ln o tb ed e s c r i b e dc o m p l e t e l yb y o n ec h a r a c t e r i s t i cs c a l ee x p o n e n tt h a ti sd e t e r m i n e db yt h ef r a c t a ld i m e n s i o n i td e s c r i b e s d i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c si nd i f f e r e n tl e v e li nag r o w i n gp r o c e s so ff r a c t a lg e o m e t r yb o d y w h i c hh a ss c a l ep r o p e r t y e v e r yl e v e lc a nb ei n d i c a t e di nd i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i cp a r a m e t e r s ， w h i c hc o m p o s eo n es e to rs p e c t r a lf u n c t i o n i nt h i s p a p e r , p r o p o s e dt h e m e t h o dw h i c hu s et h ee i g h tm u l t i f r a c t a ls p e c t r a l c h a r a c t e r i s t i c st or e c o g n i z ei m a g ea f t e ri n d e p t hs t u d yo ft h em u l t i f r a c t a lt h e o r y , f e a t u r e e x t r a c t i o na l g o r i t h ma n di t sa p p l i c a t i o n t h ee i g h tm u l t i f r a c t a ls p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c sa r e a m i n ，口r 眦，厶j n ，二，s p e c t r a li w i d t h ，s p e c t r a ld i s p e r s i o n ，da n da s y m m e t r y d e g r e e t h r o u g ht h es i m u l a t i o np r o g r a m ，r e c o g n i z e2 0 0i m a g e s ( t h r e et y p e s ) ，a n dt h e r e c o g n i t i o nr a t er e a c h e d8 0 w i t hu s i n gm u l t i f r a c t a la p p r o a c h ，i tm i g h ts h e ds o m el i g h to n t h et h e o r yo fi m a g er e c o g n i t i o n s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o do fm u t i f r a c a li s w e l lv a l i d a t ef o rr e c o g n i z i n go b je c t sa n dt h ee i g e n v a l u ee x t r a c t e db yt h i sm e t h o dh a v ea m o r ee f f e c to nt h ei d e n t i f i c a t i o no fi m a g e s t h ea c h i e v e m e mo fo u rr e s e a r c hr e s u l t s e n r i c h e st h ea p p r o a c h e st ot h ei m a g ec l a s s i f i c a t i o na n dr e c o g n i t i o nt e c h n o l o g ya n di t s a p p l i c a t i o n s ，a n dh a sac e r t a i nt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li m p o r t a n c e t h i st h e s i sp r o v i d e s u s e f u lm e t h o d sa n da p p r o a c h e sf o rt h er e s e a r c ha n dt h ed e v e l o p m e n to fi m a g e c l a s s i f i c a t i o na n dr e c o n g n i t i o nt e c h n o l o g ya n di t sa p p l i c a t i o n s k e y w o r d s m u l t i f r a ls p e c m m a ，hol d e re x p o n e n tc f ，f e a t u r ee x t r a c t i o n ，i m a g er e c o n g n i t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 i 拓善主磊d ：勃指删币虢如侈 1 年日竹厂月叫 j 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = c 己 思。 学位论文作者签名：奔小勃 埘年6 月2 ，2 日 西北大学硕士学位论文 1 1 研究背景和意义 第一章前言 近年来，分形作为一门新兴学科已经融入到自然科学的许多领域中。由于分形理 论中的经典简单迭代算法可以生成各种复杂的自然景物，分形维数又可以作为目标物 体复杂性地有效度量，因此可以认为分形与图像之间有着一种必然联系，而正是这种 联系注定了分形理论必然会在图像处理应用中开辟它的新领域。目前，国内外许多学 者已经关注到这一热点，并开始将分形理论在图像处理中的应用作为他们新的研究课 题。 然而，随着理论研究的深入，研究者们越来越清楚的意识到，对于大多数客观存 在的分形物体而言，仅用一个分形维数是无法刻画其结构的。8 0 年代初，g r a s s b e r g e r 等人系统地提出了多重分形理论，用广义维数和多重分形谱来描述目标物体的特性， 由于多重分形考虑了物理量在几何支集上的空间奇异性分布，因此该理论在许多涉及 信号处理的领域迅速地取得了广泛应用【1 2 】。特别是在图像处理领域中，多重分形已 经展示出了它重要的作用。学者发现用单一的分形维数已经无法区分图像中较为复杂 的分形结构，而多重分形分析的方法恰恰弥补了这一缺陷，它充分考虑了分形体的局 部特征以及在分形体的形成过程中各种不同层次的特征，因而可以认为多重分形是从 全局和局部两方面出发来研究分形体最终的整体特征，它能够对分形结构进行比较全 面有效地描述，从而揭示出其本质特性。有不少学者已经关注到了这一热点并且开始 着手研究多重分形在图像处理中的应用。 在图像处理领域，分形理论已经相继有了大量的应用报道。特别是用分形维数来 刻画图像纹理的作法己经非常流行。利用分形的分析方法，人们可以采用各种不同的 特征参数，包括分形特征和非分形特征参数，来分析图像的特征。我们也可以采用某 种分形特征和另一种分形特征相结合的方式来描述不同物体。此外，还可以依据分形 理论的自相似原理特性，对图像特征进行分析。分形作为自然景物的描述模型，分形 维数作为图像图形的形态特征参数，已运用于图像分析【3 一，模式识别 5 1 ，图像压缩编 码f 6 7 一，图像滤波【9 】9 ，图像去噪f l o a i ，图像分割1 2 , 1 3 】，图像纹理分析1 4 1 ，边缘检测【1 5 1 6 1 等各个方面。这一切都说明，分形图像处理技术是分形理论与图像处理技术结合的产 物。但是多重分形理论在图像处理中的应用还处于初级阶段，特别是在国内，有重大 第一章前言 突破的研究成果相对较少，有许多理论和应用问题亟待解决。 图像识别技术是近2 0 年来发展起来的- i - j 新型技术科学，它以研究图像的分类 与描述为主要内容。图像识别所研究的领域十分广泛，它是图像处理的重要目的之一。 所谓图像识别就是对经过一系列预处理( 例如：去噪，校正，分割等) 后的图像进行 分类并确定其类别名称。它可在分割的基础上选择需要提取的特征，并对某些图像参 数进行测量，再提取这些特征，最后根据测量结果作分类。传统的图像识别技术，大 部分都基于大规模计算的基础之上，在运算量与运算精度之间存在着不可调和的矛 盾。近年来人工神经网络技术的发展为解决这一难题开辟了新的途径。因为神经网络 独有的分布式信息存贮和大规模自适应并行处理满足了对大数据量目标图像的实时 处理要求，其高度容错性又容许许多目标图像出现背景模糊和局部残缺的情况。基于 以上阐述，本论文选用神经网络方法对多重分形谱特征进行识别( 具体见4 3 节) 。 本文在分析了进行图像识别时理想特征应满足的条件后，提出了基于多重分形的 特征提取。将多重分形谱特征引入到图像识别领域中来，不仅能丰富图像识别技术及 其应用的研究思路，而且具有一定的理论意义和应用价值，为图像识别技术及其应用， 提供了有益的探索。 本论文的研究内容属于导师主持的陕西省自然科学基金基于多重分形的图像理 解研究项目的部分内容。作者作为该项目组成员( 排名第四) ，参加了项目的研究 工作。该项目具体分为基于多重分形的图像边缘提取研究、基于多重分形的图像识别 研究以及基于多重分形的图像理解研究等几个部分。该项目的研究成果( 包括本论文 部分研究成果) 已经发表在导师编著的专著分形理论及其在信号处理中的应用【1 】 一书中，作者作为该专著的第三作者，参与了相关章节内容的撰写以及文字、图片、 实验结果的整理工作。该专著己于2 0 0 8 年1 2 月由清华大学出版社出版。 1 2 国内外研究概况 2 0 世纪8 0 年代以来，分形渗透到了图像处理等信息科学的各个分支，分形维数 也逐渐成为分形图像处理技术中的一种重要的度量工具。分形维数不仅可以度量图像 表面的不规则程度和图像的复杂程度，而且它还具有多尺度多分辨率的变化不变性。 分形维数的度量还可以充分反映图像表面纹理的粗糙程度：分形维数越大表明图像的 表面越粗糙；分形维数越小表明图像的表面越光滑。基于以上，分形维数常常作为图 像纹理的一个重要特征而被广泛应用于图像分割、图像边缘检测等图像处理的各方 2 西北大学硕士学位论文 面。 分形维数的概念最早是由p e n n t l a n d 在1 9 8 4 年引入到图像处理中来的，这一引入 给图像处理技术带来了质的发展。学者可以利用分形的方法得到图像的各种不同特征 参数，并且利用几种分形特征参数来描述、区分不同的目标物体，进而以此来提高图 像处理的时效。除此之外，分形理论的自相似性原理也是进行图像研究的一个重要方 向。在这一方面，已经有学者取得了大量有意义的研究成果：例如：w a l a c h 等学者 在分析了分形的自相似原理后在1 9 8 6 年提出了分形的自相似性在图像压缩处理方面 的研究；t r i c a t 等学者也在1 9 8 7 年提出了非整数维的概念以及其在图像处理中的应用 研究；n g u g e n 在1 9 8 8 年提出了分形的自相似性在3 d 物体纹理分析方面的研究；k e l l e r 于1 9 8 9 年提出了基于分形白相似性的图像纹理描述和分割研究：b a m s l e y 等学者也 在同年对分形自相似性在图像压缩方面的应用作了研究；b e r t h e k 于2 0 0 2 年进一步 提出了基于模糊分形理论的图像压缩研究等【1 刀。 随着国外的分形运动愈演愈烈，国内也随之刮起了强烈的分形旋风。1 9 9 8 年， 黄宸使用小波变换的方法估计出了有噪图像的分形维数，根据不同区域的图像分形维 数亦不同的理念提取了图像的边缘【ls 1 。2 0 0 1 年，张坤华提出了一种新的边缘检测方 法1 1 9 】，该算法的提出基于分形理论对图像纹理特征的描述( 即就是不同纹理图像及图 像边缘处的分形参数不同) 。同年，罗强又使用分形编码的方法提取了图像的边缘【2 0 1 。 2 0 0 2 年，谭衢霖运用分形自相似原理对遥感图像进行了边缘检测【2 1 1 。2 0 0 3 年，赵健 将小波理论和多重分形理论结合起来应用到s r a 图像的消噪中】，同年，孙亦南和 刘伟军等人将分形理论和数学形态学结合起来，提出了一种新的图像边缘检测方法 2 2 1 。2 0 0 5 年，吴盼密把分形理论和四叉树进化算法结合起来，得到了一种新的图像 压缩算法，该算法经过试验证明可以得到很好的图像压缩比【2 3 】。 随着全世界分形运动的蓬勃发展，随着众多学者对分形研究的越来越深入，多重 分形理论逐渐被提到了重要的研究地位上来。多重分形也称为多标度分形，其概念首 先由m a n d e l b r o t 和r e n y i 引入，可以说多重分形是与动力系统的奇异吸引子有关的另 一类重要分形集。多重分形不仅可以描述信号的奇异性结构，而且可以处理和分析一 些难以建模的不规则图像，它是从系统的局部出发来研究物体的全局特性。 随着多重分形理论的迅速发展，多重分形在许多科学研究领域也逐渐取得了广泛 的应用，例如：生物医学领域的心脏跳动多重分形动态建模与分析 2 4 】，心电信号的分 析【2 5 】，基于多重分形的自然图像分割【2 6 2 刀以及纹理分析【2 8 】，信号与信息处理领域的 第一章前言 应用【2 9 】，雷达声纳信号处理方面的研究【3 0 】，金融股市分析及其预测【3 l 】，以及网络通 信交通流量的分析等。 目前，国际上越来越多的学者都加入到了分形理论的研究中，各科学领域内的分 形研究论文也越来越多。作为分形研究交流的重要平台一各类与分形研究有关的刊物 也有如雨后春笋，逐渐在国际上凸显出了它们重要的传播地位。例如：1 9 9 1 年，英 国培格曼出版社推出了混沌、孤子和分形国际性刊物，这一刊物的面世标志着分 形已经进入到了现代科学研究的重要领域中来。1 9 9 3 年新加坡世界科学出版社推出 了分形学一关于大自然复杂几何学的交叉科学杂志，这又充分显示了分形与其它 自然学科之间的密切联系。同年，( ( f r a c t a l s ) ) 等相关刊物也陆续出版，这些刊物为学 者们进行分形研究提供了广阔的平台。与此同时，各种与分形有关的国际学术讨论会 也盛况空前。由此可见，分形论对现代科学有着重要的影响。 国内的分形研究虽然起步比较晚，但发展快速。许多专家院士致力于该方面的研 究，谢和平院士，孙义燧院士，郝柏林院士等在分形理论研究方面都取得了重大研究 成果。其它科学领域的科技工作者也积极投入到分形理论及其应用研究的工作中来， 发表了许多和分形研究有关的论文。自分形研究在国内开展以来，国内各类刊物上发 表的有关分形和多重分形的论文可以检索到3 0 0 0 多篇，关于分形理论及应用的专著 也有1 0 多本，国内的分形研究已逐渐成为重要的研究热点。在国家自然科学基金项 目中，分形研究也占据了很大的份额。2 0 0 5 年的国家自然科学基金项目中，分形项 目有3 3 个，其中有关图像处理的有9 个，如“海空光电目标的混沌研究、分形特征 提取技术研究”等；2 0 0 6 年，关于分形的国家自然科学基金共有2 7 个，其中图像处 理方向的有7 个，如“图形图像细分分形理论及其在视频图压缩与超分辨分析中应用 研究”，“水中絮体分形模式识别及动态仿真技术研究”等；2 0 0 7 年，关于分形国家 自然科学基金有2 8 个，其中图像处理方向有8 个，如“基于分形几何和双目标视觉 的空间目标相对定轨算法研究9 9 j 6 随机多重分形的时维谱分布理论及a f f i n e 类时频处 理技术 等。 国内的分形研究已经取得了一定的研究成果，但在多重分形的理论研究以及应用 方面还有所欠缺，还需要更多的学者付诸于更多的努力，希望更多的学者加入到分形 的研究团队中来，共同推动国内分形研究的发展。 西北大学硕士学位论文 1 3 本文的主要内容及组织结构 本论文整理、总结了近年来国内外学术界在分形理论、多重分形理论以及图像处 理领域的研究成果和最新进展，较为系统的研究和探讨了分形、多重分形的理论、算 法以及在它们在图像识别上的应用；本文研究的主要内容体现在论文的第四章，利用 多重分形分析的方法对图像进行去噪、边缘提取等预处理。本着理想特征的原则，提 取了能够充分反映图像全局和局部特征的多重分形谱特征，尝试将多重分形谱理论引 入到图像识别领域中来。通过反复实验，证明了基于多重分形的图像识别能够取得较 好的识别效果，能够给图像识别领域注入新的生机和活力。 本章首先概述了课题的背景、意义以及国内外分形理论的研究状况，最后说明了 本文采取多重分形方法对图像进行识别的重要意义。 论文的后续内容分别为： 第二章介绍了分形、分形维数、多重分形的基本概念以及经典的多重分形谱计算 方法，为后续的图像预处理及图像特征的提取奠定了理论基础并提供了算法依据； 第三章介绍了图像识别的基础知识，讨论了理想特征应该具备的条件。通过对几 种常用图像识别方法各自优缺点的比较，从理论角度确定了使用神经网络方法作为本 文实验的分类器。 第四章介绍了基于多重分形的图像识别方法，是本文的主要工作。首先采用多重 分形分析的方法对图像进行去噪、边缘提取等预处理。编程实现了多重分形谱的计算， 并在此基础上提取了图像的多重分形谱特征，以此作为神经网络的输入层，利用神经 网络的方法对飞机、汽车、自行车三类图像进行了识别，并取得了较好的识别效果。 最后一章对论文进行了总结，并对未来的发展做了展望。 5 西北大学硕士学位论文 第二章多重分形 分形是一门崭新的学科，其思想新颖而独特。它是一个研究和处理自然与工程中 不规则图形的强有力数学理论工具，为处理非线性的系统问题提供了新思路和新方 法。分形学是个新的方法论和科学观，它的问世在科学界产生的影响可以跟牛顿创立 微积分学后在科学界产生的重大影响相比拟，可以称作是科学的新里程碑。人们把它 与耗散结构及混沌理论共称为2 0 世纪7 0 年代中期科学上的三大重要发现。 2 1 分形概述 2 0 世纪7 0 年代，m a n d e l b r o t 首先将分形( f r a c t a l ) 这一名词引入到自然科学领 域中来。f r a c t a l 的原意是不规则、破碎的意思，现在用它来描述物体表面的粗糙程 度。 大家熟悉的欧几里得几何学研究的是规则形状的图形，例如简单的圆、正方形、 球等，所谓规则是指这些图形都具有连续而且光滑的边缘。但是，自然界里的规则图 形毕竟是少数，我们经常见到的物体都是不规则的，甚至是支离破碎的。这些不规则 的图形几乎涉及到自然科学的各个领域，分形几何学就是为了更透撤地研究这些不规 则图形的自然规律才诞生的。 分形理论的发展大致可分为三个阶段【3 2 】： 第一阶段为1 9 2 5 年以前。在该阶段发现了很多典型的分形集合，例如：1 8 7 2 年 由法国数学家k t w w e i e r s t r a s s 发现的w e i e r s t r a s s 曲线；1 8 8 3 年德国数学家 g f p c a n t o r 构造出的康托尔三分集；1 9 0 4 年瑞典数学家h v o n k o c h 发现了科克雪 花曲线；1 9 1 5 年波兰数学家w s i e r p i n s k i 在二维与三维空间绘出的谢尔宾斯基垫片 等。 第二阶段是从1 9 2 6 年到1 9 7 5 年。这一阶段更为系统、深入的升华了第一阶段的 思想。在该阶段中，分形理论逐渐成形，分形的研究范围也逐渐涉及到数学领域的许 多分支中。许多学者在此阶段取得了重大研究成果：1 9 6 7 年，数学家b b m a n d e l b r o t 在其发表的“英国的海岸线有多长? 统计自相似性与分形维数”论文中对海岸线的本 质进行了独特的分析，该文章的发表不仅震惊了当时的学术界，而且也成为 m a n d e l b r o t 学术思想的转折点。“分形”这个名词由此开始在科学界产生了影响。半 个多世纪以来，人们对分形作了较为深入的研究，特别是在维数方面的研究已获得了 7 第二章多重分形 丰硕的成果。但是，这些重要的研究成果都还只局限于纯数学理论的研究，未曾与其 它学科发生联系。 第三阶段是从1 9 7 5 年至今。该阶段分形几何在各领域的应用取得了全面发展并 形成了独立的学科。b b m a n d e l b r o t 在1 9 7 7 年发表的分形：形，机遇与维数及 1 9 8 2 年发表的自然界的分形几何学专著标志着分形学的正式创立。分形几何也 因此受到各国学者的重视和公认，国际学术界出现了分形热的学术气氛。 虽然国际上分形理论的研究已取得了初步的成果，但是分形的数学理论还不完 备，还没有形成公理化结构的理论体系。尽管如此，人们还是接受到了分形理论的思 想所赋予的丰富多采、创造性的理论思维。分形理论的诞生对原有的微积分理论提出 了新的改变要求，分形的应用迫切需要“分数阶的微积分理论”的诞生。“分数阶微 积分理论 已经成为当代自然科学前沿课题的迫切要求。 分形是专门用来研究不规则形状图形的。圆、直线、平面等欧几里得几何是人们 较为熟悉的图形，而自然界中弯弯曲曲的海岸线、棉絮团似的云烟却无法再用熟悉的 欧几里得几何来描述，m a n d e l b r o t 则提出了用分形来描述这些不规则的图形。最初 的分形要求被研究物体具有严格的自相似性( 即要求每个局部和整体都相似) ，这种 早期的分形概念是不确切的。因为完全自相似的分形只是一种数学抽象，在自然界中 是很难发现的。经过不断的探索和研究，发展到现在的分形( 多重分形) 概念已经对 自相似性作了适当的修正和推广，这样不仅使得分形的概念更能接近现实的事物，而 且它能够更加有效地被用来处理许多自然界中的非线性现象。分形理论出现的比较 晚，目前大部分研究还处于理论研究阶段，它的数学理论和实际应用之间存在着一定 的距离。 分形理论研究的是由非线性系统产生的不光滑及不可微的几何形体。最早的分形 定量刻画是由m a n d e l b r o t 作出的，他认为所谓分形就是h a u s d o r f f 维数严格大于其拓 扑维数的集合。后来，k f a l c o n e r 研究认为，m a n d e l b r o t 对分形的定量刻画是不完备 的。k f a l c o n e r 提出了可以用生物学中对“生命定义的方法来对分形进行刻画，即 就是对分形给出一系列的特征性质，当目标具备这些性质时就可以认为它是分形。分 形的特征性质如下【1 7 】： 1 ) 分形必须具有精细的结构，即在任意小的比例尺度内可以包含整体，这一点 类似于生物中的全息率概念； 2 ) 这里研究的分形可以是几何图形，也可以是一种数理模型； 8 丙北大学硕士学位论文 3 ) 分形应该具有某种自相似的形式，既可以是严格意义上自相似，也可以是统 计意义上的相似性； 4 ) 分形不仅可以同时具有形态、功能和信息三方面的自相似性，而且也可以只 是其中某一方面的自相似性；数学理论中研究的分形具有无限嵌套的层次结构，而自 然界中研究的分形只是具有有限层次的嵌套，在进入到一定的层次以后才会出现分形 的规律； 5 ) 分形的相似性具有级别上的差异。这里的级别是指生成元的使用次数或者放 大倍数。级别愈接近的分形体愈相似。级别相差愈大，物体的相似性也就愈差。自然 界中的分形体往往有一个最大和一个最小的标度来标识，只有在无标度区域内，对象 才具有分形规律，否则，一旦越过无标度区，自相似性也就消失了； 6 ) 在一般情况下，可以认为被研究物体( 分形) 的分形维数大于它的拓扑维数； 7 ) 分形的定义比较简单，它可以是一种递归方式。 分形几何具有标度不变性的特征，即就是说在变换群作用下，分形体的形和量 都不改变。虽然分形几何研究的图形是不规则的，但是在不同的尺度下观察分形体， 却可以得到尺度上的对称性。因此，可以说分形几何学是研究图形在标度变换群作用 下不变性和不变量的学科。 2 2 分形维数 m a n d e l b r o t 认为分形具有形状、机遇以及维数三大要素。所谓形状，是指分形体 所具有的支离破碎、参差不齐以及凹凸不平的不规则形状；所谓机遇则是指分形体产 生的随机性，因为对一组任意给定的规则通过随机迭代就可以得到分形，分形产生的 过程是随机的，而结果却是确定的：所谓分形的维数则是指能够描述分形体的个重 要特征量。传统意义上的维数指的是能够描述对象中任意一个点的位置而需要的坐标 数目。在这种意义下所指的维数通常是一个整数。而分形中所指的维数不一定是整数， 也可以是分数。f h a u s d o r f f 在1 9 1 9 年就提出了维数不必局限于整数，也可以是个实 数的概念，因此这种维数被称为h a u s d o r f f 维( 豪斯多夫维) ，记做d 。要理解分形 的数学机理，熟悉豪斯多夫测度和豪斯多夫维数是非常必要的。 2 2 1 豪斯道夫测度 假设u 为刀维欧几里得空间尺刀中的非空子集，u 的直径( 直径是指任何两点之 9 第二章多重分形 间距离的最大值) 定义为m = s u p x g ：x y u ) 。如果妙f 是可数或有限个直径不超过6 的集构成的覆盖f 的集类：即f c ，圣】u f ，且对任意，都有。i u “6 ，则称杪f 为f 的一个6 覆盖。 设f 为考虑的目标图形，也是r 力中的子集，s 为一非负数，对任意的巧 0 ，定 义： 咏耻洫框m ? 矽，蚴叫 ， 显然，当6 减少时，式( 2 1 ) 能覆盖，的集类是减少的，所以下确界；( f ) 相应增 加，且当6 0 时趋于一极限，记为： h s 扩) = 。l i m 碟( ，) ( 2 2 ) 6 0 ” 定义h s 伊) 为f 的s 维豪斯道夫测度。这里的f 既可以是分形图形，也可以是欧 氏几何图形。 2 2 1 豪斯道夫维数 回到方程( 2 1 ) ，可以很容易看出对任何给定的集f c r “且6 s ，且妙f j 为，的占覆盖，则有： l 【， - y 1 v ”l u ，1 5 艿卜3 i u ，1 8 ， ( 2 3 ) 取( 2 3 ) 式的下确界，可得： 啄( f ) 巧卜5 啄( f ) ( 2 4 ) 当6 斗0 时，若日5 扩) _ o ：h 5 ( f ) - - 0 - -? 日5 ( 尸) = ) ( 2 6 ) 豪斯道夫维数是最古老的，也是最重要的一种维数，它对任何集合都有意义。然 而，这种维数在理论上的价值远远大于实用价值。因为实际中计算豪斯道夫维数是非 常困难的，所以平时最常用的还是下面提到的这些维数。 2 2 2 盒子维数 定义“设集合f c r ”，这里f 是所研究的分形体。记m ( f ) 是可以覆盖，的、 边长为s 的刀维立方体( 记做”一立方体) 的最小个数，则f 的盒维见定义为( 当 极限存在时) ： 耻娥等 晓7 ) 盒子维与h a u s d o r f 维一样，也考虑了f 的覆盖，只是可采用同样大小的s ”一立 方体，所以，总有如下式子是成立的： d b d ( 2 8 ) 对于许多规则的图形，有d 8 = d 。由于盒子维的计算相对比较容易，所以在实际中 的应用也比较广泛【3 3 】。 2 2 3 相似维数1 3 3 1 若集合，具有一些子集，这些子集与，有着相同的结构，而且它们的大小是按照 缩小因子，缩小的，另外这些子集又依次具有相同比例的子子集，如此下去。假定每 一个“母集”，有个子集，而当每一个子集中各点间的距离按照因子三增大时都 恒等于该“母集”。如果规定初始尺度为l ，并取边长= 广，则覆盖f 所需立方体的 个数( f ) = n 。代入( 2 7 ) 式则有： 。口2 l i m 。一l 。l g 。( g n ( r k 。) i ( 2 9 ) 第二章多重分形 ( 2 1 0 ) 其中，n 是由前一个“母集”按照比例，缩小后的子集个数，而且取d b = d 。通常 人们习惯按照( 2 1 0 ) 式来计算h a u s d o r f 维数的估计值。根据( 2 1 0 ) 式，可以得到一 些著名分形集合的维数，例如：科克曲线的协姗d o r f 幺隹数j od ：粤喽，康托集的 l o g j h a 淞d o r f 燃d ：粤呈，谢尔宾斯基三角形的胁凇如矿维数为另：粤呈。 l o r jl o g z 2 2 4 容量维数 _ 容量维数是h a u s d o r f f 维数的一种简化，便于数值计算。设5 是灵”中一有界集， 我们计算能够覆盖5 且半径为s 的球的最少个数为 ) 。如果s 是一个d 维的，具 有有限长度( d = 1 ) 、面积( d = 2 ) 或体积( d = 3 ) 的集合，则 n ( s ) - s 却 ( 2 1 1 ) 因此d ：一l i m l o g n ( s ) ( 2 1 2 ) s _ o l o g s s 的容量维数d 是该公式的推广，它定义为 d ：一l i r a i n f l o gn ( s ) ( 2 1 3 ) s o l o g s 因此s 的测度为m = l i m s u p n ( s ) s d ，它是有限或无穷的【3 3 】。 2 3 多重分形概述 多重分形也称为分形测度，它是分形理论的进一步研究。多重分形弥补了分形理 论的不足，因为要想完整刻画自然界中复杂的几何体，仅用一个分形维数是不够的， 这时候就必须同时使用多个维数来描述它，才能全面的刻画其特征。所以，也可以说 多重分形理论是分形理论的升华，多重分形理论定量刻画了分形测度定义在某种支撑 上的分布状况。 一，一厂 g 一幢v 型噼 = ： d 式 4 公数维的单简分十个至得可即 西北大学硕士学位论文 2 3 1 多重分形的定义 通常情况下，描述多重分形的语言有两套町1 。一套是基本语言口f ( a ) ，另一套 是从信息论角度引入的g d ( q ) 语言。 1 ) a 厂( a ) 语言描述多重分形谱 假设勤r ：d 维欧氏空间，x 是测度的支集，也是x 盯的一个d 维子集。对集合戈 进行划分( 这里的划分是迭代的或递归的) ，定义概率不变测度，并将。赋给。 设口是和划分有关系的一个参数，将第n 步划分后的x 的子集记作x 。 ) 。 定义一个测度空间为 ，) ，若彳。= l i m x 。 ) 是一个分形集，则认为它就是测 度空间，p ) 的分形子集。若对集合x 进行划分后，似，肛) 产生的分形集可以表示成 若干分形子集的并集，并且每一分形子集都有不同的维数，则可以将此分形集称为多 重分形。 若，p ) 被划分成尺度为6 的不同单元，则单元测度与6 之间存在着幂律关 系： p 。6 “ ( 2 1 4 ) 则称a 为矗占眈，指数。由于它控制着概率密度的奇异性，因此也称作奇异性指数。 对概率测度为虬的分形子集瓦的任意可列5 一覆盖砂，) ( f n ) ，即： 0 厂q ) 时，矽7 佤，“。- - 0 ；， 弛) 时 矽7 - x t x ，p 。) = ；r = 厂q ) 时，0 矽7 ( x o ，p 。) 1 时，若p ， p ，则p ，9 p y q 考虑p 对测度p 和维数的贡献大小，可以作出 以下定义： 定义概率测度的q 阶矩为： g ( q ，6 ) = p ，q ( 6 ) 定义广义，一维测度为； 5 ( g ) = 莓衫( 6 ) 矿= n ( q 占) 6 ， z ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 西北大学硕士学位论文 厂( g ) = d 訾g ) 2 2 1 假设r 国) 是依赖于p ，的q 阶矩选择的临界指数，r ( g ) 的定义： r ( g ) = i n f p i ( g ) = o ) = s u p p l 7 ( g ) = ) ( 2 2 2 ) 这里，可以则称f 0 ) 为质量指数。 根据p 的q 阶矩，还可以引入广义r e n y 维数为： 广义维数d ( g ) 是随不同的g 值而有不同意义的分形维数。 2 3 2 多重分形参量的基本性质 广义维数d ( q ) 与多重分形谱厂 ) 之间满足勒让德( l e g e n d r e ) 变换： ( 2 2 3 ) a ( g ) = 百d r ( q ) f ( a ) = 留a ( q ) - r ( q ) ( 2 2 4 ) ) = 等 ( 2 2 4 ) 式构成了多重分形理论的核心，建立了独立变量口，f 及a ，厂之间的联系， 不论是哪两个作为独立参数都可以描述多重分形内部结构。 性质1 单调性和凹凸性： 广义维数d ( q ) 和厅占胁，指数仅( q ) 关于9 严格单调递减； 质量指数t 白) 是关于g 的严格递增的凸函数； 多重分形谱函数厂q ) 是关于口的凸函数。 性质2 关于几个特殊点值： d ( o ) 是容量维数，d ( 1 ) 是信息维数，d ( 2 ) 是关联维数； q = 0 时，f ( a ) 取最大值且厶戤= d ( o ) ，是容量维数； 第二章多重分形 g = 1 时，f ( a ( 1 ) ) - a ( 1 ) 是信息维数。 2 4 经典多重分形谱的计算 描述多重分形的两套等价语言是a 厂( a ) 和口d ( q ) ，如何计算广义维数d 0 ) 和奇异谱厂( 口) 是研究多重分形的关键所在。常用的直接计算奇异谱f ( a ) 是所谓的 “直接计算法 ，而直接计算广义维数d 0 ) 的方法有三种：数盒子法，固定半径法和 固定质量法【3 2 1 。 2 4 1 直接计算法 h o l d e r 指数仅( g ) 和多重分形谱( 0 c ( g ) ) 的直接计算方法是由c h h a b r a 和j e n s e n 首先于1 9 8 9 年作为一种计算多重分形谱的方法明确提出的，基本思想是用尺度为6 的盒子覆盖被研究的多重分形集，考虑研究点在第i 个盒子的概率为a ( 艿) ，由此构 造一个测度族，即 吣6 ) = 皿z e p , ( 5 ) q ( 2 2 5 ) 上式中， 只( 6 ) 9 为对所有盒子的概率的g 次幂求和。 ， 被研究的多重分形集的h a u s d o r f f 维数为： ，( g ，6 ) l l l j l l ，( 口，占) 厂( a ( g ) ) 2 娥1 万一( 2 2 6 ) 被研究的多重分形集力占地r 指数仪( q ) 的平均值可估计为： “( g ，6 ) h 1 瞳( 6 ) o c ( 9 ) = l 洲i m 丽一( 2 2 7 ) 直接计算法是一种实用，高效的高精确度方法，具有计算步骤简单，计算精度 高的许多优点。在计算机试验中，对于给定的g 值，首先要定义并获得相应的分形空 间里每个非空网格里的奇异概率测度只( 6 ) ；然后，对不同尺度的6 ，计算并绘制相 1 6 西北大学硕士学位论文 应的曲线，找出图中的无标度区，用最小二乘法计算该段曲线的斜率，其绝对值即就 是给定譬值的矗占地r 指数伐( q ) 和多重分形谱( 伐( 留) ) 。 广义维数d ( 9 ) 可以直接按照定义进行计算，严格的定义为： 见：吉熙掣 弦2 8 ， 用尺度为6 的“盒子 对分形空间中的分形集进行划分，定义每个盒子里的奇异 概率测度为p ，p ) ，给定q 值，对于不同的尺度6 ，计算并绘制出相应的双对数曲线， 找出图中的无标度区，用最, j , - - 乘法计算出该段曲线的斜率，其绝对值即就是给定q 值的广义维数见。 2 4 3 固定半径法 用固定半径法计算广义维数d 。时，假定计算结果与覆盖区域的选取无关。任意 选择一个分形集，考察该分形集上的球体( 点_ 为球心，6 为半径) 。定义该球体的 奇异概率测度为p ，p ) ，则可得到固定半径法的计算公式为： 制馏等 ( 2 2 9 ) 在( 2 2 9 ) 式中， 表示按球心平均。用上式求出质量指数f b ) 后，可以根据( 2 2 4 ) 求 得广义维数d 。 2 4 4 固定质量法 如果定义在分形集上的测度足够地平滑，那么对于随机选择的以分形集上的点x ， 为球心的球体，可以获得具有质量p 的相应半径，0 ) 。于是可以得到固定质量法的计 算公式为： ( s 。g - p 1 1 ( 2 3 0 ) 对于给定的不同质量p ，由( 2 3 0 ) 式，通过变化f 的值，可以求出q - - r ( q ) 的关 第二章多重分形 系，然后转化成d ( q ) - - y 的关系。 上述的各种方法中，提及的奇异测度都应该是非零的，因为测度为零就意味着该 区域内不属于所研究的多重分形测度的支撑集，因而是不需要涉及的。 2 5 本章小结 本章介绍了分形的一些基本理论背景，简单分形和分形维数的定义，分形中涉及 的测度知识及计算分形维数的基本方法，并重点给出