（基础数学专业论文）若干（21）维孤子方程的有限参数解.pdf

摘要 ( 2 + 1 ) 维孤子方程的显式解的求得是困难问题。近几十年已经取得了不少进 展，但各自的方法都有一定的局限性。本文主要是用非线性化方法来研究困难的 ( 2 + 1 ) 维孤子方程的显式的有限参数解的。 本文详细讨论了四个( 2 + 1 ) 维孤子模型，它们是( 2 + d - s o 方程，两个m k p 方 程，一个与b o i t i - p e m p i n e l l i t u ( b p t ) 谱问题相应的( 2 + 1 ) 维可积方程。 首先，从相应模型的谱问题出发，利用对易条件建立基本恒等式，找出l e n a r t 算子对和l e n a r t 梯度的显式表达式，由此得出( 1 + 1 ) 维孤子方程族，并从两个( 1 + 1 ) 维孤子方程的相容条件构造出有兴趣的( 2 + 1 ) 维孤子方程。然后，经过非线性化 手续，由谱问题得到有限维h a m i l t o n 系统，用l a x 矩阵及守恒积分母函数方法 证明它的l i o u v i l l e 完全可积性，由此得到一族相容的完全可积的有限维h a m i l t o n 系统，它们给出( 2 + 1 ) 维孤子方程的可积分解。 文中运用代数曲线方法，通过恰当引入椭圆坐标和a b e l - j a e o b i 坐标，将 h a m i l t o n 相流拉直，并直接求积。最后，通过反演到原来的坐标，将孤子方程的 解显式地表出。 另外，本文还就( 2 + i ) - s g 方程和m k d v 方程二者之间的关系做了进一步的研 究。 关键词( 2 + 1 ) 维孤子方程，非线性化，l i o u v i l l e 可积，代数曲线，有限参数解。 a b s t r a c t i t i sd i f f i c u l t yt og e tt h ee x p l i c i ts o l u t i o nf o rt h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls o f i t o n e q u a t i o n 。q u i t eaf e wp r o g r e s sh a s b e e nm a d ed m i n gt h er e c e n td e c a d e s n e v e r t h e l e s s , e a c hm e t h o dh a si t sl i m i t a t i o nt h ep u r p o s eo ft h ep i 栅tp a p e ri s e s i n gt h en o n i i n e a r i z a t i o na p p r o a c ht os t u d yt h ee x p l i c i tf i n i t e - p a r a m e t e rs o l u t i o n t ot h ed i f f i c u l t ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a ls o f i t o ne q u a t i o n f o u r ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls o f i m nm o d e l smi n v e s t i g a t e d ：t h e ( 2 + 1 ) - d i m e i l s i o n a l s i n e - g o r d o ne q u a t i o n ( s g ) ，t w ok i n d so fm o d i f i e dk a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i e q u a t i o n ( m k p ) ，a ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a li n t e g r a b l ee q u a t i o na s s o c i a t e dw i t hb o i t i - p e m p i n e l l i t us p e c t r a lp r o b l e m ( b e t ) f i r s t , m r t i n gf m m t h es p e c t r a lp r o b l e ma s s o c i a t e dw i t ht h es o f i m nm o d e l ，w e c o n s t r u c tt h ef u n d a m e n t a li d e n t i t ya n df i n do u tt h el e n a r to p e r a t o rp a i ra n dt h e e x p l i c i te x p r e s s i o no ft h el e u a r t sg r a d i e n t sb yu s i n gt h ec o m m u t a t i v ec o n d i t i o n , f t o mw h i c ht h eh i e r a r c h yo f ( 1 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n si so b t a i n e da n d t h ei n t e r e s t i n gf 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o ni sc o n s t r u c t e db yt h ec o m p a t i b l e c o n d i t i o no ft w o ( 1 + 1 ) - d i m e n s i o m ls o f i t o ne q u a t i o n s t h e n , t h r o u g h t h e n o n l i n e a r i z a t i o np r o c e d m e ，a l li n t e g r a b l ef i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l m n i a ns y s t e mi s a c q u i r e d , w h o s ec o m p l e t ei n t e g r a b i l i t yi nl i o u v i l l es e n s ei sp r o v e db yl a x m a t r i x a n dg e n e m t i n gf u n c t i o no ft h ec o n s e r v e di n t e g r a l s t h u sah i e r a r c h yo fi n t e g r a b l e f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e m si so b t a i n e d , b yw h i c ht h ei n t e g r a b l e d e c o m p o s i t i o no f t h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o ni sa c q u i r e d a sn na p p l i c a t i o no fa l g e b r a i cc u l n et h e o r y , t h ee l l i p t i cc o o r d i n a t e sa n dt h e a b e b j a c o b ic o o r d i n a t e sa r ei n t r o d u c e ds u i t a b l y ，f r o mw h i c ht h es t r a i g h t e n i n go u t o ft h eh a m i l t o n i a nf l o w sa r em a d ea n dt h eq u a d r a t u r ei so b t a i n e dd i r e c t l y f i n a l l y , b yv i r t l 坨o ft h er i e m a n n - j a c o b ii n v e r s i o n , t h es o l u t i o no ft h es o l i t o ne q u a t i o ni s j i i r e p r e s e n t e di nt h eo r i g i n a lv a r i a b l ee x p l i c i t l y a d d i t i o n a l l y , t h er e l a t i o n s h i pb g t w c c nt h e ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls i n e - g o r d o n e q u a t i o n ( s g ) a n dt h e m o d i f i e dk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o n ( m k d v ) i sa l s o c o n s i d e r e d 1 ( e y w o r d s ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l s o l i t o n e q u a t i o n , n o n l i n e a r i z a t i o n , l i o u v i l l e i n t e g r a b i l i t y , a l g e b r a i cc u r v e ，f i n i t e p a r a m e t e rs o l u t i o n 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切 法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ： 磅张 z 0 0 5 年9 月1 6 日 引言 随着人类对自然界认识能力的不断提高、利用自然和改造自然能力的不断加 强，以及实际应用的需要，在数学、物理、生物、化学、社会、经济等领域都 遇到了大量的非线性问题，这些非线性问题的定量描述往往可以用非线性发展方 程( 组) 的形式写出【l 】。然而，由于线性方程( 组) 的许多性质，包括线性微 分方程的叠加原理等在研究非线性发展方程时不再成立，因此求解非线性发展方 程非常困难。早期经典力学的理想目标是求出运动方程的显式解，然而，众所周 知，只有对极少数的系统才可以做到，并且都伴以高度的数学技巧，如j a c o b i 关于 椭球面上的测地线方程，c n e u m a n n 关于约束到球面上的谐振子，k o v a l e v s k a y a 关于一些类型的陀螺的研究等【2 5 1 ，而新的可积系统的模型越来越难于发现。1 9 世纪末，p o i a r 6 等人意识到多数h a m i l t o n 系统并不完全可积，特别是指出了 著名的三体问题不可积，后来又进一步发现在小扰动下完全可积性也受到破坏， 可积性的重要性受到怀疑，可积系统被认为是个别的例外情形，不具备通有性， 从p o i n c a r 6 等人开始，动力系统的研究转向定性理论，可积理论自此进入低潮【6 】。 1 8 4 4 年j s c o t tr u s s e l l 在论波动一文中记叙了他1 8 3 4 年沿河道骑马追 踪一个波的著名故事【7 ，1 0 7 ，大意是“我正在观察一条船的运动，这条船被两匹 马拉着，沿着狭窄的河道迅速前进。船突然停下了，河道内被船体带动的水团却 没有停下来，而是以剧烈受激的状态聚集在船头周围，然后形成了一个巨大的圆 而光滑的孤立水峰，突然离开船头，以极大的速度向前推进。这水峰约有三十英 尺长，一至一英尺半高，在河道中行进时一直保持着起初的形状，速度也未见减 慢。我骑着马紧紧跟着，发觉它大约以每小时八至九英里的速度前进。后来，波 的高度渐渐减小，过了一至二英里之后，终于消失在蜿蜒的河道中。这就是我在 1 8 3 4 年8 月第一次偶然发现这奇异而美妙的现象的经过”。1 8 9 5 年k o r t e w e g 和d ev r i e s 在一篇论文中提出了一个数学模型方程，他们的用意之一就是为j s c o t tr u s s e l l 所观察到的现象提供一个解释。方程的原始形式如下： 鲁= 三店北私匆j l 盯斟 该方程就是通常所说的k o r t e w e gd ev r i e s 方程，简称k d v 方程。经过简单变换 有如下标准形式： 址一6 u u , r + u x = = 0 这个方程具有g a l i l e i 变换不变性。k d v 方程默默地度过了漫长的6 5 年，偶尔在 文献中被提一下，这种局面直到1 9 6 0 年才被打破，那时g a r d n e r 和m o r i k a v a 在 分析无碰撞磁流体波的模型时重新发现了这一方程【8 】。从那时以来k d v 方程一 次又一次地在不同背景中，作为描述多种多样的物理现象的模型方程被推导出来 【9 】。由于k d v 方程的研究，促使发展了一套新的数学方法，得到了许多新的结 果，值得一提的是由g a r d | 噼g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( c , 6 k m ) 四人首创的反散 射变换方法( i s l ) 【1 0 1 ，这一突破直接导致了对k d v 方程初值问题的反散射解法， 进而开辟了一个用解析方法求解非线性偏微分方程的新领域，成为近年来数学物 理中最引人注目的发展之一。1 9 6 8 年p d l a x 发展了g g k m 的思想，他把k d v 方程写成易于推广的l a x 方程的形式【l l 】，z a k h i 鲫o v 和s h a b a t ( z s ) 用该方法解决了 具有重要物理意义的非线性s c h r o d i n g 盯方程( n s ) 的求解问题【1 2 】，a b l o w i t z , k a u p ， n e w e l l 和s c g u l ( a j s ) 四人进一步发展了该方法且用于s i n e - g o r d o n 方程的反散 射求解获得成功【1 3 ，1 4 1 。反散射方法的发展引起了人们对可积理论的重新认识。 二十世纪六十年代中期，对孤立子研究的兴趣，发现为数众多的方程，尽管背景 极不相同，却都被判明为l i o u v i u e 完全可积的【1 5 1 7 】。此外，又知道在小扰动下 虽然完全可积性被破坏，但原问题的不变环面的一个大子集却保留了下来，组成 一个复杂的具有正测度的c a n t o r 集，这就是著名k o l m o g o r o v - a m o l d - m o r s e ( k a m ) 理论【1 8 ，l9 】，有人进一步证明在w h i t n e y 可微意义下，扰动系统在上述c - t o r 集上仍是完全可积的【2 0 】，这样，造成1 9 世纪末以来研究停滞的原因不复存在。 然而，对可积系统的本质认识还远远不够【6 】。 我们知道h a m i l t o n 系统的理论框架是辛流形 1 9 2 1 ，2 2 ，即装配了闭的非退化 的微分2 - 形式的偶数维微分流形，常见的是( r 州，咖a 由) ，其中著名的 l i o u v i l l e a m o l d 定理是这一理论的基石，根据这一定理，对于2 n 维的h a m i l t o n 系统，如果存在n 个独立且两两对合的守恒积分，则守恒积分的水平集是相流 2 的不变流形，在紧致连通情形下它微分同胚于一个n 维环面，相流在其上的限 制是一个条件周期运动，在角坐标下，正则方程具有非常简单的形式，可以直接 用求积分积出。这就是通常所说的在l i o u v i l l e 意义下的完全可积性 2 1 1 。从2 0 世纪6 0 年代中期开始，随着对孤子方程研究的兴起，可积系统的研究大为发展， 进展迅速，对孤子方程的研究也出现了很多有效的方法，除了著名的反散射( i s t ) 方法以外 1 0 ，1 2 ，1 5 ，2 3 3 6 ，还有b g t e k l u n d 变换和d a x b o u x 变换法 3 7 - 4 4 ，双线 性变换法 4 5 5 3 1 ，p a i n l e v a 试验法【2 5 ，5 4 - 5 7 ，穿衣服方法【5 8 6 0 1 ，代数几何方法 6 1 - 6 3 1 等等。与国际情况相比，中国对孤立子与可积系统的研究起步较晚，但水 平提高较快，并在某些方面形成了自己的特色。( 1 9 9 0 年在前苏联的杜布绍召开 的第六届非线性演化方程与动力系统国际学术会议后的文件中写道：在非线性科 学方面已经存在的很强的研究集体是苏联、美国，欧洲、日本和中国) 。谷超豪 教授将d a f b o u x 变换用于孤立子和几何应用方面的研究，做了大量富有成效的工 作并形成自己的特色【6 ，3 9 ，6 4 - 6 6 1 。曹策问教授关于特征值问题的非线性化方法开 创了一条从已知孤子系统获得有限维可积系统的卓有成效的途径 6 7 - 7 2 ，产生了 一大批有限维可积系统，使中国在有限维可积模型的研究达到相当高的水平。与 此同时一大批年轻的数学和物理工作者，也投入到孤立子与可积系统的研究，使 我国在该领域的研究与世界同步，从连续情形到离散情形，从空间一维到空间多 维都取得了丰硕的研究成果，从而推动了a b i o w i t z 和c l a r k s o n 关于非线性发展 方程六大问题的解决，这六大问题是 2 5 】：( 1 ) 多维方程，( 2 ) 边值问题，( 3 ) 常微 分方程，( 4 ) 泛函分析与2 + 1 维，( 5 ) 量子反散射与统计力学，( 6 ) 完全可积性。特 征值问题或l a x 对的非线性化方法，至少有两个方面的应用：一是可获得许多新 的有限维可积系统，二是将( 1 + 1 ) 维孤子方程分离成相容的常微分方程。文【6 8 】 给出了非线性化方法的框架结构，并对一批孤子系统列出其对应的b a r g m a n n 系 统或n e w m a n n 系统。近年来，非线性化方法又得到了进一步的发展，它不仅可 以用于连续情形，而且也可以用于离散情形，不仅对2 2 情形有效，而且对3 3 ，4 x 4 等情形也适用7 3 8 9 ，1 2 3 1 2 5 。这个方法于1 9 9 9 年被用于求k p 方 程的拟周期解，并进一步推广到用于求解一系列( 2 + 1 ) 维孤子方程的代数几何解 【9 0 1 0 6 。 本文主要研究( 2 + 1 ) 维孤子方程的解，其中包括一族新的( 2 + 1 ) 维s i n e g o r d o n 方程，两类不的m o d i f i e d k a d o m t s e v - p e t v i a s h v i l i 方程( m k p ) 和- - 个( 2 + 1 ) 维b o i t i - p e m p i n e l l i t u 方程( b r r ) 。 本文的主要结果是： 第一得到了一个新的可积的( 2 + 1 ) 维s i n e g o r d o n 及s i n h - g o r d o n 方程族并 求出了它的有限参数解。 第二建立了( 2 + 1 ) 维s g 方程族和m k d v 方程族的内在联系。 第三从b o i f i p e m p i n e l l i - t u ( b p d 谱问题出发，得到一个b p t - b 籼系 统并证明了其l i o u v i l l e 完全可积性。其求解问题分解为常微分方程 的求解问题。 第四得到另一个m l ( p 方程的新的谱表示，并求出了它的拟周期解 论文的主要安排如下： 第一章利用两个已知的谱问题( 这两个谱问题的相容条件是s i n e - g o r d o n 方 程) 通过引入两个线性映射得到一个基本恒等式和两个推论，其中一个恰好是零 曲率方程满足的充要条件，后面的孤子方程就由此产生与通常情形一样利用 l e n a r t 算子对递归定义l e n a r t 梯度。通过截断得到孤子方程族( a s g ) 。接下来， 借助于l e n a r t 梯度定义了( 2 + 1 ) 维s i n e - c m r d o n 方程族。这些方程都有对易表 示。最后通过非线性化方法得到b a r g m a a n 系统的h a m i l t o n 公式及重要的l a x 矩 阵，利用l a x 矩阵获得了守恒积分的母函数及l a x 矩阵圪沿一流满足的l a x 方 程，从而证明了守恒积分的对合性。 第二章首先将a s g 族、m k p 方程和( 2 + 1 ) 维s i n e - g o r d o n 方程族的求解分 解为常微分方程的求解，利用b a r g r a a n n 映射得到原方程的解。通过椭圆坐标， 借助代数曲线知识，适当引入a b e l - j a c o b i 坐标将h a m i l t o n 流拉直。最后经过反 演得出了m k d v 方程族、m k p 方程和( 2 + 1 ) 维s i n e - g o r d o n 方程族的有限参数 解。 第三章从b o i t i p e m p i n e l l i t u ( b p t ) 谱问题出发，通过非线性化方法得到一个 b p t - b a r g m a n n 系统并证明了其l i o u v i l l e 完全可积性。将其求解问题化为常微分 方程的求解问题。 4 第四章是从另外一个谱问题出发得到了另一个m k p 方程。通过引入矩阵矽， 将m k p 的求解分解为两个常微分方程组的求解。利用代数曲线知识，适当引入 a b e l j a c o b i 坐标将流拉直。最后得到该m k p 方程的拟周期解。 第一章( 2 + 1 ) s i n e g o r d o n 方程 s i n e - g o r d o n 方程( 简称s o ) 有两种形式，在普通时空坐标下为 一+ s i n u = o ， 在光锥坐标x = 丁x + t ，r = 孚下为： 4 2 s m ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) s i n e - g o r d o n 方程最早是在微分几何中出现的b o s ，当伪球面采用渐近坐标 时g a u s s 方程的相容条件就产生了s i n e - g o r d o n 方程【4 0 】。 ( 1 + 1 ) 维s i n e - g o r d o n 方程已经是公认的性质独特的孤子方程，其方程族的形 状一直有别于其它各类孤子方程族。s i n e g o r d o n 方程的高维推广是重要而有意 义的。一百多年前b a c k l u n d 研究了伪球面的变换性质并且得到了b l i c k l u n d 变换， 他的结果后来被c l t e r n g 和i ct e n e n b l a t 推广到高维空间 n o ，1 1 1 】。特别， 当考虑m ”r 2 “时他们得到一个n 维广义s i n e g o r d o n 方程( g s g ) 【1 1 2 ： 矾0 ( 吒10 熟a 1 j + 毒皓刳+ 丕专警鲁= 啊吼，吲 晏i 上挚l ；上晏誓，“，七互不相同 ( 1 0 3 钒i q ，钙jq t q 钆 、 丝：生血。f _ i 阮q ，砖 这里s = 1 ( 占= o 时为广义波方程) 。当n = 2 及- = 6 r 1 、 c 0 8 b 叫 r 1 、 3 m i j 叫 时 0 0n恒愕p 咖 | 宝 = ( j ，t ) 满足经典的s i n e - g o r d o n 方程：一+ x s i n u = 0 另外，b g k o n o p e l c h e n k o 5 9 也得到一个可积的( 2 + 1 ) 维广义s i n e - g o r d o n 方程： ( p 咿! 口+ ，7 ) n ) t 一盯2 1 p 府( 口+ 叩) 伊) ，= o ( 1 o 4 ) ( e - ”( 曰一刁) 。) 。一盯2 ( p 一4 ( 0 - 7 ) 。) ，= o ， 、 7 并通过反谱变换方法得到了它的多孤子解。 值得注意的是疗维广义s i n e - g o r d o n 方程不是简单的用血代替就可以得 到的( 是一维l a p l a c e 算子) 。事实上，方程 一a u = s i n u ( l 0 5 ) 在n 2 时不是完全可积的 2 5 ，1 1 3 。2 0 世纪已经发现s i n e - g o r d o n 方程出现在 物理上许多不同的领域，s g 已被用来描述【1 1 4 】：( 1 ) 晶格位错的传播，( 2 ) 磁性晶 体的b l o c h 壁运动，( 3 ) 沿类脂膜的扩张波的传播，( 4 ) 基本粒子的统一理论， ( 5 ) j o s c p h s o n 线中磁通量的传播。s g 的反散射解法己由a k n s 等人做出并得到 了孤子解 1 3 1 ，而它的拟周期解则由v p k o t l y a l o v 等人首先得到 1 2 2 。此外，s g 提供了一个具体实例，沟通了反散射方法与b 苴c l d u n d 变换，如果说，k d v 与n s 的解分别给出钟状孤波与包络孤波的范例的话，那么s g 便是产生扭子与呼吸子 这两种重要孤波的具体方程。因此，s g 的内容是相当丰富的。 在本文中我们也得到一个新的可积的( 2 + 1 ) 维s i n e - g o r d o n 方程族，它的头几 个成员是： a 2 妒 i 2 瓦麦= 2 c 0 8 矿+ i 够瓤n 仍 麓= c 帮32 咖叫c 乃一扣扣衄 晰， 老= 【纯，+ 三( 方+ 。纺+ 力) + i 1 5 乃4 c o s p + ( 吼纯，一妒，y 钆，+ 互1 2 ) + 5 乃3 + j i 2 妒知2j , + 素矿】s i n 弘 而一般成员是由l e n a r t 梯度 九。) 的第二个分量给出的： 袅= 2 h l + ( 1 s i n e g o r d o n 方程是下面两个谱问题的相容条件： 7 帆= k 缈= a 一 2 一w ( 1 o 8 ) = 硪i ( c 。o m s ；一s i q , 妒1 ，妒； ， 这里w = 一i 1 纯。方程( 1 o ，8 ) 的保谱方程形成了m k d v 族( 见第二章) 。而( 1 o 9 ) 的保谱方程则是纯微分代数形式的，我们暂且叫它代数s g ( a s g ) ，它e hl e n a r t 梯度的第三个分量所决定： 老5 + j 1 移，( 1 0 1 0 ) 堕：+ 妻吼砖+ i 3 ” ( 1 o - 1 1 ) 二a t2 + j 毋畴+ i 乃。11)_3 罢：2 h _ 3 ； d f o 利用矩阵屹，( 2 + 1 ) 维s g 可以用零曲率方程的形式表出： ( 1 0 1 2 ) a 。k 一屯圪+ 【k ，e 】= 仉 ( 1 0 1 3 ) 换句话说，( 2 + 1 ) 维s g 有l a x 对k ，p 二。更进一步，( i + i ) s g 和肌- 阶a s g 的相 容解解出了( 2 + 1 ) 维s g 。 m k d v 方程和( 2 + 1 ) 维s g 方程的代数几何解通过三个步骤得出：分解、拉直 和反演。该方法已经成功用来求解k p 方程【9 0 】、特殊( 2 + 1 ) - t o d a 方程【9 2 】、带有 一个离散变量的( 2 + 1 ) b u r g e r s 方程【9 3 】以及其它方程【9 l ，9 4 1 0 6 】。 分解正如在【9 0 ，9 2 - 9 3 】中的一样，与s g m k d v 特征值问题( 1 0 8 ) 、( 1 0 9 ) 相伴的对合积分 巩( p ，g ) ) 组成了一个l i o u v i l l e 意义下的有限维可积系统。更进 一步，存在两个映射( b a r g m a a n 映射) ： w = f + ( p ，g ) = ：( + ) ， ( 1 0 1 4 ) 矿= m 护毗鼍等篆竽，( 1 0 1 5 ， i 它们在有限维可积系统和无穷维可积系统之间起着基本的联系。具体说来，且 流和珥，流的相容解p ( x ，o ) ，q ( x ，) 被厂+ 映成历- 阶m k d v 方程的解： w ( x ，o ) = f + ( p ( 工，o ) ，q ( x ，o ) ) ( 1 0 1 6 ) 类似地，h i 一流、盟流和 - - 一流的相容解p ( x ，y ，f - ，) ，q ( x ，y ，f _ 。) 被f 一映成肌- 阶( 2 + 1 ) 维s g 方程的解： 纠x 儿f _ ) = 厂( p ( 而乃f - ) ，q ( x , y ，f - ) ) ( 1 0 1 7 ) 这是c n e u m a n n 系统和k d v 方程之间一个著名关系的推广【1 8 】。 拉直与s g - m k d v 模型相伴的超椭圆曲线f 由下面的仿射方程给出： f 2 4 胄( 2 ) = o ( 1 0 1 8 ) 这里r ( = 胄( 丑p ，目) 是五和q ，g ) 的多项式。定义在r 上的亚纯函数以的幂级数 展开式的系数决定了守恒积分： f 以l + 日- 2 五2 + 日旬五4 + ，在z = o 附近； 月j2 i 一 + 耳z 4 + 马a 。+ ，在2 = o o 附近 l 。j 9 设g 是亏格，= ( q ，) 7 是r 上全纯微分的正则基底。a b e l - j a c o b i 变量 妒= ( 磊，农) 7 是精心定义在r 的j a c o b i 族上的坐标，它在拉直流的时候起着中 心作用；而且它沿见，一流和上r - _ - 流的演化速度是常数： 老娟z 一，老= 一 m 眈 令人惊异的是这些速度刚好是全纯微分国的偶次幂展开系数： m ：p ) “1 ( q l + 嘎冲+ q i + 。) d z ， 在，s r ； ( 1 o 2 1 ) m = 1 ( 一1 ) ( q i + q - ，丑+ + q i a + ) d a ，在o i 附近； u 朋z u 【( 一1 ) 。( q i + q - 2 丑+ + q 一 a 1 1 + ) d a ，在 附j 丘； 这里z = a ，= l ，2 在a b e l j a c o b i 坐标的窗口里，相应的孤子方程的显式解 是非常简单的： a s g ： 妒= 归一i + f - 。q 一2 ，“+ 九； 9 m k d v ： 妒= 】西；+ 乇q 2 i + 磊； ( 2 + 1 ) - m k p ：= 垃i + t 2 k 2 3 + 巧q ，； ( i + i ) s g ：一= 码+ y n i + 磊；( 1 0 2 2 ) ( 2 + i ) s g ：= 】心、+ 归一l + f _ 。k + l + 九； 反演通过反演技术得到了用初始变量写出的解伊和 ，。这种反演技术对 不同的孤子方程是很不一样的。( 2 + 1 ) 维s g 的一个显式解是： 血舢 护仲参器毒篆舞等帮川0 2 3 ， 这e ( o 是与代数曲线r 相伴的础锄锄雠t a 函数。 在文章当中，双曲正弦的情况( f = 一1 ) 也同时给予了处理。 1 1 代数s i n e - g o r d o n 方程族( a s g ) 前文提到s i n e - g o r d o n 方程是下面两个谱问题的相容条件： = 巧= 丑 一 w 2 l - - w 一一 2 = 烈i ( c 血o s ；兰跏； 这里 ，= 一吉纯。第一个方程的保谱方程形成了m k d v 族( 看下面的第二章) 。 而第二个方程的保谱方程则是纯微分代数形式，我们暂且叫它代数s g ( a s g ) 。 首先引入两个线性映射吒和以： y = 吒( ，) = 2 y 0 3 + 2 y 2 0 r + + ，仃一， ( 1 1 1 ) 矿= 六( f ) = 拶1 吒+ l 善2 0 r + + f 3 盯一， ( 1 1 2 ) 其中码，矿，盯一是满足矩阵换位子的变形的p a u l i 矩阵( 占= 1 ) ： 1 0 吧= ( ：o 叫盯一= ( 三： ， h ，盯+ 】= 2 0 - , h ，盯- 】= 2 盯+ ，【盯+ ，盯一】= - 2 c r 3 容易证明，对任意两个三维向量y 和6 有： a a r ) ，v 4 ( o ) - - - 2 c , t o , 2 占3 一，占2 ) 吒一2 2 ( y 3 j 。一，1 占3 ) o r + + 2 9 2 ( ，1 占2 一y 2 8 1 ) 仃一 ( 1 1 4 ) 考虑s i n e 和s i n h g o r d o n 族的辅谱问题： = 比吵；= 击( “吒+ 矿) = 圭允( 地v ，o ) ；2 + = 1 ( 1 1 5 ) 根据下面的定义，这里实际上只有一个独立的位势矿，且对任意变量f 有微分关 系： 材= c o s p ，v = s i n 伊，( f = + 1 ) ； 口= c o s h ，1 = s i n h 9 ； ( 6 = 一1 ) ；( 1 i 6 ) 坼2 嗍，h2 弘仍 方程( 1 i 5 ) 的保谱方程由它的l e n a r t 梯度他，j 决定，该梯度是“，v 以及它们的 导数，“，的多项式，且满足递归方程： 这里的l e n a r t 算子k ，j 是通过计算换位子【a ，一屹。，明得到，它等于一【，明。 性质1 1 1 ( 基本恒等式) 设贮。y 分别由( 1 1 5 ) 和( 1 1 1 ) 给出。则 对任何的光滑函数“( 力，v ( 力，0 ，) = l ，2 ，3 ，下面的等式成立： 一v - l ，v = a a - v ( r z 2 d ，) ， ( 1 1 8 ) 其中l e n a r t 算子k ，和辅助矩阵p 定义如下( 8 = 0 。) ： k = ( 三；三 ，j = ( - 苫v 8e u o ； ；p = i ； c - 9 ， 推论1 1 2 假定，满足( k 一五2 刀，= o ，则下面的表达式在方程( 1 1 5 ) 定 义的流的作用下不变： a - 2 d e t 钆( r ) = ( ，。) 2 一f ( ，2 ) 2 + e 且- 2 ( ，3 ) 2 = c o n s t ( 1 1 1 0 ) 证明 利用基本恒等式( 1 1 8 ) ，我们有= f e ，叼。这就意味着d 融y 是 y - 流的守恒积分。 推论1 1 3 零曲率方程： 或e i - a ，矿+ 【眨l ，v 】- o ( 1 1 1 1 ) 等价于演化方程： 圭( 仍，0 ，o ) r = - - ( k - , t 2 ，) f ( 1 1 1 2 ) 证明 因为屹i = 去向“v ，o ) 利用( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 和( 1 1 8 ) 我们有； 4 e i a ，y + 【虻1 ，明= 向 p ( 去( 仍，o o ) 7 + ( k a 2 ，) ，) ( 1 1 1 3 ) 二 因为线性映射六是单射：以( 善) = o 当且仅当f = o ，所以( 1 1 1 1 ) 和( 1 1 1 2 ) 等价。 l e n a r t 方程( 1 1 7 ) 存在微分多项式解绝不是明显的，它本质上是孤子方程 存在有显式形式，所以需要认真考虑。理由是在求解方程( 1 1 7 ) 时，由( 1 1 9 ) 定义的算子，是不容易处理的。取 h o = = 1 ( 虬v ，o ) 7 ( 1 1 1 4 ) 作为出发点，我们将会找到一个显式递归公式，它仅仅包含代数和微分计算。把 方程( 1 1 7 ) 用分量的形式写出： 砖= 一v a 醚。i + 甜a 吃+ i ； ( 1 1 1 5 ) o = u o h l _ “+ 碱+ l ； ( 1 1 1 6 ) a 圮，= - v 也+ 屹； ( 1 1 1 7 ) 这里第一个方程对畦来讲已经是显式形式了。由此我们有： 圮= 一咧+ “孵= i 1 ( 一一+ ) = i 1 乃 ( 1 1 1 8 ) 为了得到硅，定。的显式形式，我们利用推论1 1 2 ，引入 那么方程( 1 1 7 ) 成为： 以= + - ，a ” j - l ( 1 1 1 9 ) ( k - 2 2 ，) 以= 0 ( 1 1 2 0 ) 根据推论1 1 2 ，d e t o a ( h a ) = c o n s t 我们强加一个条件： d e t o a h 。) = 一五2 【( 砖) 2 十占( 暖) 2 1 + 占( 瑶) 2 = 一手，( 1 1 2 1 ) 并且把红的分量代入上式： 圮= u + z 1 ，砖= 兰+ z 2 ，嵋= z 3 ， 掣= 虻，a ”，i = l ，2 ，3 j - l 通过比较五的同次幂的系数，我们有： ( 1 1 2 2 ) u h 一 i + f 艇l = 占( e ) 2 - - s , 埘十疥，砬= 一( 腱跹，+ 以码) + 占圮圮，号墨， 1 1 2 3 “，1 1 7 ，日l + 4 + l y 埘 这里七= z 3 ，4 。再利用( 1 1 1 7 ) ，就可以解出噬。和h i 。最后，我们有显式 公式： h i - , = 一y a 醚i + i + “a 畦 ( 1 1 2 4 ) 如= 删! 。+ 蝇， ( 1 1 2 5 ) 砬= “巩+ 嘎 ( 1 1 2 6 ) 另一方面，可以验证，由这些显式公式计算出来的序列确实解出了方程( 1 1 7 ) ： 性质1 1 4 通过显式公式( 1 1 2 3 ) ( 1 1 2 6 ) 计算出来的微分多项式 见 解出了l e n a r t 方程( 1 1 7 ) ；并且由方程( 1 1 1 9 ) 定义的函数也满足方程( 1 1 2 0 ) 和( 1 1 2 1 ) 。 证明假设对任何的正整数k 方程( 1 1 ，2 3 ) ( 1 1 2 6 ) 都成立。由于( 1 1 1 5 ) 和( 1 1 2 4 ) 是一样的，而( 1 1 1 7 ) 可以从( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 中消去最得 到，所以剩下来的是证明( 1 1 1 6 ) 。我们用归纳法。首先，当m = 1 时，我们有： 斛+ 硎= l a ( u + 删2 ) = 三a l = o 假定对m s 行时( 1 1 1 6 ) 成立，我们需要证明当m = n + l 时，它也成立，即： u o h l _ + 啦= o ( 1 1 2 7 ) 取k = 疗，将方程( 1 1 2 4 ) 和( 1 1 2 5 ) 关于y 求导数： 苎。鼍署跏劝锄卜蟛一； ( 1 1 2 8 ) a 匕= u ( a 2 矗i + 伊，s ) + “一印，a e + a 写) 我们得到： u o h + e v a h 2 _ 。= 一印，a 砣。+ a & ； ( 1 1 2 9 ) 一v a 心+ l f a 砖= a 2 j i ；! 乙+ 竹蜀 ( 1 1 ，3 0 ) 从方程( 1 1 2 3 ) 我们有 a s = - 2 ( 足a 圮+ 占定，呜) + 抬e 呜 ( 1 1 3 1 ) 根据归纳假设，方程( 1 1 1 5 ) 和( 1 1 1 6 ) 对m s 甩是成立的，或者说对 _ ，= m - 1 s n - 1 是成立的，这等价于： 雅，= 砜，a 呜= 耀h ( 1 1 3 2 ) 因此，利用方程( 1 1 1 7 ) ： 碰，砚，+ 彬2 。叽2 ，= “皑+ 昵) = 叫产。睨， ( 1 1 3 3 ) 注意，在( 1 1 3 1 ) 中第一个和号中的_ ，s n - l ，将( 1 1 3 3 ) 代进去得： 强= - 2 6 磅一。昵+ 2 s 圮胡，= 2 鲥。a e 最后，利用( 1 1 1 8 ) ，我们有 a s = a 瞳。， ( l 1 3 4 ) 这样，将上式代入到( 1 1 2 9 ) 即得( 1 1