（基础数学专业论文）两不同部件并联可修系统的本征值分布.pdf

摘要 奉文给出两不同部件并联可修系统算子预解式特性，对任意给定的6 0 ，7 = n + 坟， 固定n l n 2 ( 一p 十6 0 a n d1 一“+ b ，l e t s 行xn la n dn 2 ，w h i c h i ss a t i s f y j n g t 。一p 十6 n i n 。2 t h e r p h ) r e w eg 砒ac 。n c h l s 5 。n k l 2 粤b | | r ( 7 ：a + e ) | | = o a n dt h ( mw e0 1 ) t m nt h a tj nt l l er i g h tp l a f eo f ，y n li sr o m p o s 吖lo ft h e 右n 计ei s o l a t e d e l g e n v 出u ec o r r e s p ( m ( n n g 印e c ”u mo fo p e t a t o r sa + e s y s t e m k e yw o r d s ：e i g e n v a l u e ，r e s o l v e l l t ，a n a l y t i c a lf u n c t i d l l 第一章引言 1 1 可靠性理论概述 可靠惟数学理论起源于2 0 世纪3 0 年代，最早研究的领域包括机器维修、设备魁陕和 材料疲劳寿命等问题现代技术的不断进步，推动了可靠性理论迅速发展，也促进可靠性 数学理 仑日趋完备当可靠性问题尚未明确提出之前，人们已经在很多场合使用耐久性、寿 命、稳定性安全性、维修性等概念来反映产品的质量。最早被研究的领域之一是机器维修问 题川“，另一个重要的研究工作是将更新理论应j f j 于更换问题川q 此外，在三十年代威布尔 ( e f 乩f f ) 【6 1 ，龚p i 尔( g n m 拒f ) 【7 】和爱泼斯坦( 却s 埘n ) 1 8 】等研究了材料的疲劳问题和有关 的极值理论然而作为单独的一门可靠性工程学，大量地、有组织的进行这方面的工作还是 第二次世界大战以后的事情当时，美军运往远东的设备，装置在运输和保管过程中。有半数 以上因不能使用而撤废这种不经使用就遭到重大损失的情况成为美圈投入力量进行可靠性 研究的开端德国也曾在y ，型火箭上开始进行可靠性数理，后因战争失败而终止美国从 1 9 4 3 年开始，由军队、学术界生产厂联合组成小组进行了各种研究活动，直到1 9 5 7 年，当 美国国防部电子设备可靠性咨询小组第二次世界大战期间由于研制使用复杂的军事装备和评 定改善系统可靠性的需要，可靠性理论得到重视和发展。它的应用已从军事部门扩展到国民 经济的许多领域现代可靠性理论是以产品的寿命特征作为主要研究对象的一门综合性和边 缘性科学，它涉及到基础科学和管理科学的许多领域 可靠性问题之所以受到重视，是因为系统，设备( 硬件、软件) 所承担的工作在质的方面 高级化了，它与人类生活密切相关；在量的方面复杂化了，因彼此相关的任意一部分失败而 导致整个系统发生故障的机会增加了；而整个系统的故障( 或失败) 将使国家安全受到威胁， 使军队、社会、人民生活遭到危害此外，由于人一机系统的日益庞大、复杂化；新技术的研 究、采用，新材料的应用等速度大大加快尚未注意到，没有研究开发的领域还很广阔，所有 这些都是产生不可靠、不安全的因素除此之外，由于机器设备的高精度，高性能致使由人 所担负的工作责任更加重大，因而就存在着由人为失误引起重大事故的可靠性对于航天事 业来说，产品的可靠性和质量是至关重要的大问题，震惊全世界的美国。挑战者”号航天飞 机的失事直截r 当地说明了这个事实，它是【打于后侧助推火箭密封圈的不可靠引起的吼而 美国向火星发射的“水手”1 号火箭，就是仅仅因为电子计算机的程序系统脱离了一个字符而 宣告失败，这是属于软件方面的可靠性问题因此，在航天工程中，可靠性工作已成为最重 要的技术指标之一系统、产品的可话性不足孤立存在的，可靠性的概念及技术与以往在其 它工程技术领域里发展起来的概念及技术有密切联系换句话说，离开了，系统工程学、安全 1 硕士学位毕业论文 工程学，质量管理q c ( u n f 甜! ，g o n r d f ) 、生产组织技术，e ( ，n 如“r t n ! e n 9 轨e e r 讥9 ) 、运筹 学0 r ( d p e r n f mr e s e c ) 、价值工程学矿e ( v n l “ee n 9 伽e e r i 咖) 工程心理学、环境工 程学、电子计斧饥技术及其他一般的管理技术，离开了概率论、统计论，物理学、化学、机械 学等，讨论可靠性问题是根本不可能的而可靠性工程足包括上述科学技术的综合性工程技 术 可靠性数学是可靠性理论的最重要的基础理论之一，在解决可靠性问题中所用到的数学 模型大体可分为两类【1 q ：概率模型和统计模型概率模型足从系统的结构及部件的寿命分 布、修理时间分布等有关信息出发，推断出与系统寿命有关的可靠性数量指标如可靠度与失 效率，修复率与有效度等，进步可讨论系统的最优设计，使用维修策略等统计模型是从观 察数据出发，对部件或系统的寿命等进行估计与检验等因此它既是应尉概率与统计的一个 分支，又是运筹学的一个分支 1 2 模型的介绍 所谓可修系统就是指当构成系统的部件故障或劣化时能够通过各种维修手段使其恢复功 能的一类系统它足可靠性理论中研究的一个重要内容文献f l l l 中作者用增补变量的方法建 立并描述丁两不i 廿1 部件并联可修系统的模型。并在 1 ) 此模型存在唯一的非负解，) ( 一) 2 ) 极限l i l i lp ( z ，) = p ( o ) 存在 这里p ( z ，) = ( 舶( ) ，n ( ) ，m ( ) ，p 3 ( ) ，m ( z ，) ，m ( z ，) ) ，p ( 。) = ( 加，p l ，m ，p 3 ( z ) ，p 4 ( z ) ) 的假设之下，研究- r 此模型的稳态解文献【1 2 】利用算子半群斤法，讨论文献i l l 模型的适 应性阿题，证明假设1 ) ，2 ) 都是合理的，文献 1 】1 所建立的模型( 见下面系统( 1 1 ) 一( 1 7 ) ) 确 定了一个正岛压缩半群，从丽系统存在唯一的非负的动态解，进一步通过研究相应算子的 谱特征，得到系统的稳定性，文献1 1 3 i 通过该系统修复率t ( z ) 0 3 ，4 ) 进行初等函数逼近， 给出r 系统半离散化模型 该模型即时所处的状态，细分如下几种： 状态0 ：两个部件都在正常工作； 状态1 ：部件a 故障但部件口在正常工作； 状态2 ：部件b 故障但部件a 在正常工作 状态3 ：两部件同时故障； 状态4 ：两部件由共凶故障引起系统故障； 2 硕士学位毕业论文 各状态问的转换关系如图 3 两不同部件并联可修系统的模型可用积分微分方程组描述为 掣叫 ，m 讹州讣批柳妾州地州) 掣= 也+ b 俄) 删代础) ( 1 2 ) 掣= 七n “捌) + 概 ( 1 3 ) 皇堕； 旦十翌堕；堕：一地( 功风 ，) ， ：3 ，4 a za p 4 、“7 n “。7 。1 p 3 ( o ，) 二a 6 p l ( ) + a 。p 2 “) p q ( o ，) = a ，l 蛳( ) + a 积p 1 ( ) + a 以p 2 ( ) p o ( o ) = 1 ，p l ( o ) = p 2 ( o ) = p ( z ，o ) = o ，i = 3 ，4 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 其中( ) 【o ，) 【o ，o 。) ，m ( ) 表示两个部件都在工作的慨率；玑( ) 表示部件4 故障 但部件口在工作的慨率；阮( ) 表示部件口故障但部件l 在工作的概率；p 3 ( z ，) 如表示在 陋，z + 出】内两部件同时故障的概率；砌( z ，) d z 表示在kz + 如 内由共因故障引起的系统 故障的概率；a 。表示部件一的故障率；九表示部件口的故障率；a 。表示两部件的功能正常 时的共凶故障率；a c 2 表示部件b 故障但部件a 功能正常时的共因故障率；b 表示部件a 硕士学位毕业论文 故障但部件b 功能正常时的共因故障率；表示部件a 的修复率；m 表示部件口的修复 率；，。，( z ) 表示故障系统在状态i 的修复率( i = 3 ，4 ) ，且满足 o o ， ( ) d ( j 4 ) 和u ( ) 在= o 连续，所以对于z d ( a ) ，( ) 不可能有 解如果l 是一个g 半群t ( ) 的无穷小生成元，则对于a 和每一z d ( a ) 抽象c n 批切 问题有一个解，即“( ) = t ( ) z 不难证明对z d ( i ) ，“( ) = t ( ) z 是( + ) 的唯一的解 引理：设u ( ) 是【o ，卅上的一个连续的x 值函数，如果 | | e ”“( s ) 以l i m 对于n 一1 ，2 成立，则在【o ，7 1 】上，“( ) eo 证明：设矿x + 和妒( ) = ( 矿，“( ) ) ，则显然妒在 o ，丁1 上连续和 i r ) d s 排+ ，产叫枷s ) 悱川m 州 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 对于n = l ，2 成立( 2 2 ) 蕴涵在【0 ，1 j 上p ( ) i0 凼为矿| x + 是任恿的，所以在【0 j ，j 上( ) i0 考虑级数 妻掣伊r = t 一酬卅 这个级数在有界区间上关于r 一致收敛，因此 i 厂喜等砂( c - t 川胁i 耋扣”，l p 俐叫k = l 。” 硕士学位毕业论文6 m ( e z p e ( h ) 一1 ) ( 2 ，3 ) 对于 o 考虑函数 一r ( a ；a ) “( ) 因为z z ( ) 是( + ) 的一个解，我们有 羞r ( a ；a ) “( ) = r ( a ；月) a “( ) = a 兄( a ；a ) “( ) 一u ( ) 这就推出 r ( a ；一) “( ) = 一e 1 “一7 ) 一) d 7 -( 2 6 ) 由假设( 2 5 ) ，对每一 0 有 - l i me ”1 i | r ( a ；a ) l i = 0 因此由( 26 ) 得 3 i m e 一7 ) n ( 7 - ) 打 ( 2 7 ) j 0 由引理推出n ( r ) = 0 对于o r t j 成立因为和口是任意的，所以u ( ) = 0 对 于0 成立 硕士学位毕业论文 存在性 如果a 足一个g 半群7 1 ( ) 的无穷小，成元，对每一z d ( 4 ) ，t ( ) z 足( ) 具有初值 z d ( a ) 的唯一解而且丁( ) z 对于o 。是连续可微的。 另一方面，如果( + ) 对每一初值z d ( a ) 在【0 ，o 。 上有唯一的连续可微解，则a 是一 个a 】半群的无穷小生成元假设对每一z d ( 月) ，初值问题在( + ) 在【o ，o 。】上有唯一的连 续可微的解，用“( ；z ) 表示 对于z d ( 1 ) ，定义图像范数i z i “= i i + l | 1 驯l ，因为p ( 一) o ，所以l 是闭的因 此赋r 图像范数的z 圳一) 是一个占“”“c 空间，以f d ( 1 ) 表示设x 。是映f o ，z 【j j 到 fj i = ) ( a ) 1 内的连续函数具有上确界范数的b n n n 曲空间考虑对于o o ，由s z = “( ；z ) 定义的映像s ：【d ( 月) 】一x 小由( t ) 的线性性和解的唯性s 显然足定义在整个【d ( a ) 】上 的线性算子算子s 是闭的如果在p ( 4 ) 】中。一z 和在。砬。中s z 。一口，则由a 的闭 性和 ，。 ( ；。) = z 。+ a u ( 丁；。) d 下 j 0 当n o 。时得 厂芒 ( ) = z + 以“盯) 打 j 0 由此推出，m ) = u ( ；z ) 和s 是闭的因此由闭图像定理，s 是有界的和 7 s u pi u ( ；z ) i g g i z l g ( 2 8 ) 0 s 曼o 现在我们用丁( ) z = t t ( f ；z ) 定义一个映像7 1 ( ) ：【d ( 一) 】一【j r ) ( j 4 ) 】从( + ) 的解的唯性立 刻推出7 1 ( ) 有半群性质而从，得知，( ) 对于0 ( ，是一致有界的，这就推出t ( ) 能 通过丁( ) z = r ( 7 1 ( 幻) 。z ，7 e “ u ，d ( 1 2 ) 由和a 1 ) l 得 e 一1 a r ( ) 可= e 一 t ( ) a l 可 ( 21 4 ) 从0 到o 。对( 2 1 4 ) 积分得 a 尺( a ；a 1 ) ”= r ( a ；1 1 ) a l ( 2 1 5 ) 但l l r ( a ；以1 ) y = r ( a ；一1 ) 以l ! ，因此一r ( a ；i l ) ! ，= l r ( a ；a 1 ) 掣，对每一可d ( ) 成立因 为a i r ( a ；月。) 是一致有界的，a 是闭的和，) ( j 4 2 ) 在中稠密，所以对每一! ，x ，月r ( a ；a 1 ) = a 。r ( a ；月1 ) 可由此推出d ( a ) r ( a ；一1 ) 的f 卣域= d ( 肖1 ) 和a 月1 因此a = a 1 下面我们在b n n “c 空阃中用抽象的g n u c ，w 问题形式来描述这个系统，为简单起见， 记 n o = a d + + a c l ，n l = p n + a c 3 + a 6 ，0 2 = m + a n + a c 2 a = 出n 9 ( - n 0 ，_ n 1 ，咄，一乏叫。( z ) ，差一川z ) ) 硕士学位毕业论文 o mf 出( z ) 墙f m ( z ) 如 e ：i 之： ： ie = ik o ooo l i ： ： ： j 取状态空间x = 歹伊l 1 【o ，o 。) l 1 【o ，o 。) l 司l = f 蜘f + 胁i + i 2 1 十l 胁i i l - i o ，m ) + l 帆l t f 。，。) ) ，显然( x ，| i ) 是一个曰n n n c ，l 空间，取算子爿的定义域d ( 4 ) = ( 矿2 ( m ，肌，阮，m ( z ) ，m ( z ) ) x l 号挚l 1 ( ) ) o 。) ，n ( 。) 足绝对连续函数，i = 3 ，4 且船( o ) 2 a b ? 山十k p 2 ，p j ( o ) = a c l z ) 0 + a c 3 p l + a c 2 p 2 则系统( 1 1 ) ( 1 7 ) 可描述为一个抽象的c o “c 切问题： 由文献【1 4 】【1 5 】的方法知，该系统的强解存在且唯一，由文献【1 2 1 知在x 中，a + e 产生 “，- 半群7 1 ( ) ；系统的解卢( ) = t ( ) 识) 弱解和强解足一致的，为了进一步研究系统特性， 本文给山算子1 + f 的本征值分布，首先讨论算子的预解式 9 t 喜磊 第三章预解式的表达式 考虑方程( 7 j 一 一e ) f = f ，寻价十 n + 咖) m p 。p l p 6 抛一p l ( z ) 胁扛) d = 帅 q ，0 0 # 3 j 0 一a n p o + ( 7 + n 1 ) p l = 可1 二k 瑚+ ( ，y + n 2 ) p 2 = 9 2 型：1 2 + 7 + p ( z ) p ( z ) ： ，t ：3 ，4 d z “、7 p 3 ( o ) = a p 1 + a 8 p 2 p 4 ( o ) = a c l 斗o + a 。3 p 1 + a 。2 p 2 解( 3 4 ) 【l t j l 得 n ( z ) = n ( o ) e 一 产( 7 + p ( ) ) 碰+ e 一片n + “t ) ) 碰玑( 下) c 打 ，z j 0 其中 q = e 一盯( 1 十m ( 钏出，g ( ! ) = e r ( 7 + m ( ) ) 武可；( r ) 打 ，$ j 0 将( 3 7 1 代入( 3 1 ) 得 ( 3 8 ) 式可化为 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 35 ) ( 3 6 ) ( 37 ) ( 7 + n o ) p o 一，l n p l p 6 p 2 妾肛c 稍卅水) ) 十产职m 心”哳妙m 如肛珈 s ， ( m 叫肭咄m 一篆j ( m 扛) z8 叫h 仲“酗泼以n 打妇 ，z 妾小以咖坼时“钏止如= 珈 ( 3 9 ) 其中 硕士学位毕业论文 z m 扛) p 印) e 喵n 竹“日坎如 2 争( 。吃胁扛) e 喵n “。溅如 = f n ( o ) 9 。 = a 。1 9 4 舶十( 九蚰十a 。3 啦) p 1 + ( a 。卯十a c 2 卯) 沈 l l 吼= 卜e 啊时“钏，：妻小产肋机肚删叫划，aj 0 t = 3j u ou ( 3 9 ) 与( 3 2 ) 一( 3 ，3 ) 联立 。= ( 7 + 三三1 c i 虮一p 。_ 孚ja 玑一p 6 + 二曼，a c 2 9 4 ) 的行列式 d ，y + n o k l m 一( p 。+ a 6 卯+ a 。3 蚰) 一( m + a 。啦+ a c 2 蚰) 一a n，y + n 1 o a 6 0 一y + n 2 ( 39 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) = 一f a 。a 6 ( ，y + 0 2 ) + a 。a 6 ( 一y + 。1 ) 】9 b 一【a 。l n + 虮) ( 7 + 0 2 ) 十a c 3 a 。( ，y + n 2 ) 十a c 2 a b ( ，y 十n 1 ) 】9 4 + ( ，y + n o ) ( 7 + n 1 ) ( 7 + 0 2 ) 一a 。p 。( 7 + 。2 ) 一a b p 6 ( 7 + n 1 ) 由文献【1 2 【1 8 】知，当，y o 时d e d o ，方程组( 3 9 ) 一( 3 3 ) 有唯一解，那么方程( 3 1 ) 一( 36 ) 硕士学位毕业论文 有唯一解，从而有r ( 1 ，一以一e ) = x 足闭算子，由史献【1 4 j ( 2 0 】知，( 1 j a e ) 一1 存 在且有界 1 ，) 是由船，m 线肜表示，当7 o 时 o 圳= i 肛。( z ) e 一露1 1 + m ( f ) | 武妇i m ( z ) ”f 臂“ ) 鹰如 上，( z ) e j 苫m ( ) 出d z = z 。从州一志皿喵m 虬 即o i m l 0 ，7 = o + 6 z ，固定“1 ，n 2 ，使一p + 6 n ls “眈，因a 。，a b ，a 。l ，a c 2 ，a c 3 ，肛。，m 均为正常数，所以n o ，蜘，0 2 均为正常数 故下列式子娃然成立 考虑 对于 概带= i 段高= i 糕南= 。 l 糨塑蒜产 = i 娅而芸篙群等羰崩裂茜尝高掣赫雨 1 p 。，y + 卢。n 2 1( a b 9 3 + a ( 3 9 4 ) 。， ( a 。9 3 + a e “) 0 2 2 ，牌_ 丽+ 出要刁两一十岛氅弋矿 由文献【2 1 】知 所以 即 ，糨蒜， l t e z 。m 如= 。 j 哦，y ( 7 ) o ， 哦口( 7 ) o l i m 差乓：o 州一叶o 。卢( 1 ) 1 6 =o+0+0=o 一 二至” 同理 对于 考虑 硕士学位毕业论文 同上 因此 即 于是 对于 i 糨堕铲 8 l l + z 1 卯+ z 1 卯+ 雹2 肌 2 尚巴7 丽一 口1 2 + z 1 9 3 + z 产m 2 i 1 恐 丽_ 厂一 = i 溉坠铲 一l i i 。墅鸳粤；丝堑：o 一尚氅可万一 ，b 【m j ( 蜘) 尚氅可 = l i m 川呻 ! ! 丝( 丝! f ! ! 生! ! 丝f 坐2 ! ! ! ! 丝! 塑1 7 ，( 7 ) = i 坪竖嗡铲+ _ 哦堕铲+ i 辟巴专制 i 糨箫= 1 器盟继焉堂丝 j 糨帮= 。 i 慨笔铲= 。菡氅 丽广引 i 段掣：l 糨帮= 1 溉掣= i 思掣= i 糨掣= 。 眠= e 一詹h + p t 出 硕：b 学位毕业 包文 是有界函数且 故 对于f ( 7 ) - g ( 胁) 那么可知 l i m 。：1 i me 一“片n ( ) = 0 一o 。 i i 巴端钮 l 溉错= 。 1 i l n 掣：l i mg ( 玑) ：o l a 罢匕f i = i i 一21 4 竺匕b 玑j 2 ” i 溉尚= i 敉高一一i 段高= 。i 器丽。i 器而一2i 器而 a 5 】 ， a 5 2 z 氅而2 尚戮丽。 l i m 集：o 一一，n j 综上所述，i j 骢i i r n ：a + e ) i i 2 i j 嗯l 高j ! 。i i r ( 7 ：a + e ) | i = o ，故系统算子预解式的 极点就是原问题的本征值，且在一肛+ 6 n 的右半平面上是由有限个孤立的本征值组成的 谱点 致谢 本文是在张玉峰教授的精心指导下完成的，从论文的开题写作，修改到定稿，期间的几 次修改，无不凝结着张老师的大量心血在研究生阶段，张老师一直给于本人无微不至的关 怀，张老师笃实严谨的治学精神、一丝不苟的科学态度一直影响着我，造就了我务实，求真的 求学准则，令我受益终身在此向张老师表示衷心的感谢! 另外，向所有关心、帮助我的延边大学数学系的老师和同学表示诚挚的谢意1 1 9 参考文献 1j 曹晋华，程佩可靠性数学引沧f m 】北京：科学出舨社，1 9 8 6 2 1 p a l i nc a r b e l s k r a f t e n sf o r l e l l l l n gv i db e t j a l l i n ga va u t o i n a t c k i i i e r 1 1 1 l u s t r i t i d n j n g e nn o r - d e n1 9 4 7 ，7 5 ：7 5 8 0 ，9 0 _ 9 4 ，1 1 9 1 2 3 3 1x h ( 1 m h a 舅m a l 【 e m a t m q e c k a h i b o p m 丑c t 姐o i a p h o 访o e p e 且h m a r c 6 0 p h 1 9 3 2 3 9 ：7 3 8 4 【4 jc 龇n p i j e i lm r t l l er e p l a c e l n e n to fp e r i s i l a b i e e l b e r 8o fac o n t i l l l l a l l yo p e r a t i n gs y s t e l l l jr o 弘s t 乱i s ls o c 1 0 4 l ，7 ：1 1 0 一1 3 0 ， j 5 】l o l k aa j ac 咖t r i b u t i o nt o 恤et l l e o r yo f8 e l f _ r e n e w i n g 矩g r e g a t e sw i t hs p e c 瑚r e f e r e n c e t oi n ( i i l s a i r e p l a c e m e n t a n n m a 山s l a c i s t 1 蚴9 ，1 0 ：l 一2 5 6 1w e i b u l lw as t a t i s t j c ot l l e o r yo ft h es t r e l l g t ho fm a t e r i a 】s i n g v e t e l l s l c a p sa l 【a d h a n d l 1 9 3 7 1 5 l ：l 一4 5 7 lg m n b e le j l 鹤v a l u e se x t r e m e 8d c sd i s t r i b u t i o n gs t a t i s t i q l l e s a n n a j e sd e 矗n s t