（基础数学专业论文）局部化局部源的相互作用与奇性解的渐近行为.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文研究几类具有局部与局部化源的非线性抛物方程( 组) 奇性解的渐近行为，具 体涉及五个同时具有局部源和局部化源的模型。我们的兴趣在于这两类源相互作用对 解的奇性的产生与传播的影响，重点讨论b l o w - u p 集首先考虑两类分别由局部化源和 局部源耦合的热方程组解的全局与单点b l o w - u p 问题，通过比较发现这两类耦合源对解 的b l o w - u p 集等性质的影响有本质性区别；接着我们讨论局部化源与局部源相互作用对 非线性扩散闯题解的b l o w - u p 速率，b l o w - u pp r o f i l e ，b l o w - u p 集的影晌；最后，我们通过研 究局部化源项对抛物型方程( 组) 解f u j i t a 指标的影响发现：与通常的局部源情形不同， 局部化源的存在可以使相关模型具有无限f u j i t a 指标( 亦即，排除解对大初值b l o w - u p 、 小初值整体存在的指标情形) 本文的主要结果概述如下： ( i ) 关于全局与单点b l o w - u p 第二章考虑具有局部源和耦合局部化源的热方程组毗= “+ u r n + 俨( 0 ，t ) ， 忱= a v + 泸+ u q ( o ，亡) ，0 ，亡) q ( 0 ，t ) 的齐次d i r i c h l e t 问题，解的性质依赖于局部 源、耦合局部化源，以及扩散和零边值之间的相互作用我们得到关于非整体解全局与 单点b l o w - u p 的完全的指标分类讨论还涉及不同占优机制所导致的解的同时与非同 时b l o w - u p ，以及解的多重b l o w - u p 速率顺便指出，此前的已有文献中未曾发现有人讨 论过方程组情形解的全局与单点b l o w - u p 问题 第三章研究具有局部化源和耦合局部源的热方程组u t = a u + 俨( 0 ，t ) + v p ， v t = 口+ 俨( 0 ，t ) + 俨，( z ，t ) q ( 0 ，t ) 的齐次d i r i c h l e t 问题，进行了与第二章模型的 平行讨论，亦即奇性解的全局与单点b l o w - u p ，同时与非同时b l o w - u p 等特别地，将本章 与上一章的结果进行比较，可以看出这两类不周的耦合关系所造成的关于解的奇性产生 与传播的某些本质不同例如，第二章模型指标分类中解的一个分量全局b l o w - u p 而另一 个分量单点b l o w - u p 的现象对本章所讨论的模型却没有出现 在第四章，我们研究具有齐次d i r i c h l e t 边界条件的局部非线性扩散问题撕= 牡m + a l u p + a 2 u q ( 0 ，) ，其中p ，q 0 ，m a x p ，g m 1 ，且a l ，a 2 0 我们通过研究 局部化源、局部源、非线性扩散以及齐次d i r i c h l e t 边界条件之间的相互作用给出解在 不同占优机制下的b l o w - u p 速率和一致b l o w - u pp r o f i l e s 关于解的b l o w - u p 集，我们发现 非线性扩散对解的全局与单点b l o w - u p 无影响 ( i i ) 关于f u j i t a 指标 第五章考虑非线性扩散模型毗= u m + a 1 俨，( z ，亡) + a 2 u p 2 ( x + ( ) ，) 的c a u c h y 问题， 局部化局部源的相互作用与奇性解的渐近行为 其中m 1 ，p i ，九0 ( i = 1 ，2 ) 并且x + ( 亡) h s l d e r 连续我们发现这样一个新现象：当 入2 0 时该模型的临界f u j i t a 指标p c = + o 。也就是说，只要p = m a x p t ，p 2 ) 1 ，则解 对非平凡非负初值必发生b l o w - u p 我们进一步证明，这一结果对于其他形式的局部化源 情形( 哪怕是衰减的) 以及具有局部化源的耦合组均成立 第六章研究具有局部化源与局部源耦合的反应扩散方程组u t = a u + v p ( x ( ) ，亡) ， 饥= a v + 俨为了研究局部源与局部化源间的相互作用，我们分别考虑c a u c h y 问题以 及具有齐次d i r i c h l e t 边界的初边值问题对于初边值问题我们证明了解在整个区域内处 处b l o w - u p ，并具有一致的b l o w u pp r o f i l e s 对于c a u c h y 问题，我们给出一个有趣的结 论：它所对应的f u j i t a 指标为无穷大，亦即，只要p q 1 ，则解对于任意非平凡非负初值 都b l o w - u p 关键词：局部化源；非线性扩散；全局b l o w - u p ；单点b l o w - u p ；b l o w u p 速率；b l o w u p 集； b l o w - u pp r o f i l e s ；f u j i t a 指标；代数特征方程组；同时b l o w - u p ；非同时b l o w - u p 大连理工大学博士学位论文 i n t e r a c t i o n sb e t w e e nl o c a l i z e d - l o c a ls o u r c e sa n da s y m p t o t i c b e h a v i o ro fs i n g u l a rs o l u t i o n s a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ha s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs i n g u l a rs o l u t i o n sf o rm u l t i n o n h n e a r p a r a b o h ce q u a t i o n ( s y s t e m ) w i t hl o c a la n dl o c a l i z e ds o u r c e s f i v em o d e l sw i t hl o c a la n d l o c a l i z e ds o u r c e so ft h es u mf o r m sa r ei n v o l v e d w ew i l ls t u d yi n t e r a c t i o n sb e t w e e nt h e t w ok i n d so fs o u r c e sa n dt h e i ri n f l u e n c e st ot h eo c c u r r e n c ea n dp r o p a g a t i o no fs i n g u l a r i t i e s o fs o l u t i o n s ，a n dp a ym o r ea t t e n t i o n st ot h et o p i co fb l o w - u ps e t s a tf i r s t ，w ec o n s i d e r g l o b a lv e r s u ss i n g l ep o i n tb l o w u po fs o l u t i o n st ot w om o d e l sw i t hc o u p l i n gl o c a l i z e d a n dl o c a ls o u r c e sr e s p e c t i v e l y c o m p a r i n gt h et w om o d e l s ，w ef i n ds u b s t a n t i a ld i f f e r e n t i n f l u e n c e so ft h et w ok i n d so fc o u p l i n g st ot h eb l o w - u ps e t so fs o l u t i o n s t h e n ，w es t u d y i nw h a tw a yt h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nl o c a l i z e da n dl o c a ls o u r c e sa f f e c tt h eb l o w - u pr a t e ， b l o w - u pp r o f i l e ，a n db l o w - u ps e ti nan o n l i n e a rd i f f u s i o np r o b l e m f i n a l l y , w ew i l ls h o w v i am o d e l sh o wt h el o c a h z e ds o u r c e ss u b s t a n t i a l l yi n f l u e n c et h ec r i t i c a lf u j i t ae x p o n e n t s i ti si n t e r e s t i n gt of i n dt h e ym a ya d m i ta ni n f i n i t ef u j i t ae x p o n e n tb e c a u s eo ft h el o c a l i z e d s o u r c e s t h i se x c l u d e st h es i t u a t i o nw h e r et h es o l u t i o n sa r en o n - g l o b a lf o rl a r g ei n i t i a l d a t aa n dg l o b a lw i t hs m a l li n i t i a ld a t a t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( i ) t o t a la n ds i n g l ep o i n tb l o w - u p c h a p t e r2c o n s i d e r sh e a te q u a t i o n sw i t hl o c a la n dc o u p l i n gl o c a h z e ds o u r c e su t = a u + 俨+ v p ( o ，) ，仇= a v + 扩+ u q ( 0 ，亡) ， ，t ) q ( 0 ，t ) s u b j e c tt on u l ld i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h eb e h a v i o ro fs o l u t i o n sd e p e n d so nt h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h e l o c a la n dl o c a l i z e ds o u r c e sa sw e l la st h ed i f f u s i o n sw i t ht h en u l lb o u n d a r yc o n d i t i o n si n t h em o d e l w eo b t a i nac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no fp a r a m e t e r st od i s t i n g u i s ht o t a la n d s i n g l ep o i n tb l o w - u pf o rt h en o n g l o b a ls o l u t i o n s i na d d i t i o n ，s i m u l t a n e o u sv e r s u sn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u po fs o l u t i o n su n d e rd i f f e r e n td o m i n a t i o n sa r ed e t e r m i n e da l s ow i t h f o u rp o s s i b l es i m u l t a n e o u sb l o w - u pr a t e s 。t oo u rk n o w l e d g e ，t h i si st h ef i r s ts t u d yo n t o t a lv e r s u ss i n g l ep o i n tb l o w u pf o rt h ec a s eo fc o u p l e ds y s t e m s c h a p t e r3t r e a t sh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tp r o b l e mt oh e a ts y s t e mw i t hl o c a l i z e da n d c o u p h n gl o c a ls o u r c e s 地= a u + u 仇( o ，t ) + v p ，v t = u + v n ( o ，t ) + u q ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) i i i 局部化局部源的相互作用与奇性解的渐近行为 w i t ha p a r a l l e ld i s c u s s i o na st h a ti nc h a p t e r2 ，i e ，t o t a lv e r s u ss i n g l ep o i n tb l o w - u p ， s i m u l t a n e o u sv e r s u sn o n s i m u l t a n e o u sb l o w - u pe t c i np a r t i c u l a r ，c o m p a r i n gw i t ht h e r e s u l t so fc h a p t e r2 ，w ef i n ds o m es u b s t a n t i a ld i f f e r e n c e so no c c u r r e n c ea n dp r o p a g a t i o n o fs i n g u l a r i t i e so fs o l u t i o n sd u et ot h et w ok i n d so fc o u p l i n g s f o re x a m p l e ，t h es i t u a t i o n o fg l o b a la n ds i n g l eb l o w - u pf o rt h et w oc o m p o n e n t sr e s p e c t i v e l y , i n c l u d e di nt h ec l a s s i - f i c a t i o nt ot h em o d e li nc h a p t e r2 ，d o e sn o ta p p e a ri nt h ec l a s s i f i c a t i o nt ot h ep r e s e n t m o d e l c h a p t e r4s t u d i e sal o c a l i z e dn o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nu t = a u m + a 1 矿+ a 2 u q ( 0 ，t ) s u b j e c tt on u l ld i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o nw i t hp ，g 0 ，m a x p ，口 m 1 ，a n d 入l ，a 2 0 b yi n v e s t i g a t i n gt h ei n t e r a c t i o n sa m o n gt h el o c a l i z e da n dl o c a ls o u r c e s ，t h e n o n l i n e a rd i f f u s i o nw i t ht h ez e r ob o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n ，w ee s t a b l i s hb l o w - u pr a t e s a n du n i f o r mb l o w u pp r o f i l e so fs o l u t i o n su n d e rd i f f e r e n td o m i n a t i o n s i na d d i t i o n ，a sf o r t h eb l o w - u ps e t so fs o l u t i o n s ，w ef i n dt h a tn o n l i n e a rd i f f u s i o nh a sn oc o n t r i b u t i o n st ot h e t o t a la n ds i n g l ep o i n tb l o w - u po fs o l u t i o n s ( i i ) f u j i t ae x p o n e n t s c h a p t e r5d e a l sw i t hc a u c h yp r o b l e mt on o n l i n e a rd i f f u s i o nm o d e l 饥= a u m + a l u p l ( z ，t ) + a 2 让p 2 ( z ( ) ，t ) w i t hm 1 ，a ，入i 0 ( i = 1 ，2 ) a n dz ( t ) h s l d e rc o n t i n u o u s an e wp h e n o m e n o ni so b s e r v e dt h a tt h ec r i t i c a lf u ji t ae x p o n e n tp e = + o 。w h e n e v e r a 2 0 m o r ep r e c i s e l y , t h es o l u t i o nb l o w su pu n d e ra n yn o n t r i v i a la n dn o n n e g a t i v e i n i t i a ld a t aw h e n e v e rp = m a x p 1 p 2 1 t h i sr e s u l ti st h e ne x t e n d e dt oac o u p l e d s y s t e mw i t hl o c a l i z e ds o u r c e sa sw e l la st h ec a s e sw i t ho t h e rn o n l i n e a r i t i e s ( e v e nt h ed e c a y o n e s ) c h a p t e r6f o c u s e so nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a - t i o n sc o u p l e dv i al o c a l i z e da n dl o c a ls o u r c e s ：地= u + 矿( z ( t ) ，) ，v t = u + 俨b o t ht h e i n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e mw i t hn u l ld i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h ec a n c h yp r o b - l e ma r ec o n s i d e r e dt os t u d yt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h el o c a l i z e da n dt h el o c a ls o u r c e s 。 f o rt h ei n i t i a l - b o u n d a r yp r o b l e mw ep r o v et h a tt h es o l u t i o n sb l o wu pe v e r y w h e r ei nt h e d o m a i nw i t hu n i f o r mb l o w u pp r o f i l e s i na d d i t i o n ，i ti si n t e r e s t i n gt os h o wt h a tt h e c a u c h yp r o b l e ma d m i t sa ni n f i n i t yf u j i t ae x p o n e n t ，n a m e l y ，t h es o l u t i o n sb l o wu pu n d e r a n yn o n t r i v i a la n dn o n n e g a t i v ei n i t i a ld a t aw h e n e v e r 粥 1 k e yw o r d s ：l o c a l i z e ds o u r c e s ；n o n l i n e a rd i f f u s i o n ；t o t a lb l o w - u p ；s i n g l ep o i n tb l o w - u p ；b l o w u pr a t e ；b l o w - u ps e t ；b l o w u pp r o f i l e ；f u j i t ae x p o n e n t s ；c h a r a c t e r i s t i ca i g e b r m c s y s t e m ；s i m u l t a n e o u sb l o w - u p ；n o n s i m u l t a n e o u sb l o w - u p i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：至金鲻：日期：业 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：至 垒垒刍二 导师签名： 卫l 年月l 日 一8 9 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章首先概述本文所研究问题的物理背景以及目前国内外的发展现状，然后简要介 绍本文的主要内容 1 1 问题的背景及发展现状 1 1 1基本背景 众所周知，偏微分方程，特别是非线性偏微分方程对于物理、化学、生物学、工程 科学、数理经济学等的发展都具有重要的意义近几十年来，为适应各个学科领域研究 的需要，作为非线性偏微分方程的一个重要分支，非线性抛物方程得到了深入、广泛的 研究和发展非线性抛物方程自身的复杂性与多样性，使得它们比线性方程更能真实地 刻画许多实际问题例如本文所关注的关于非线性抛物方程b l o w - u p 理论( 解的奇性的 产生与传播) 的研究便是在化学反应理论、量子力学以及流体力学等领域的实际问题研 究的推动下发展起来的如今，研究各种初边值问题及c a u c h y 问题解的奇性已经成为 抛物型方程研究的基本问题之一而作为奇性理论的一支一一解的b l o w - u p 理论首先是 在上世纪四、五十年代s e m e n o v 链式反应、绝热燃烧和爆炸理论的研究中提出的，自七 十年代起，随着气体动力学、激光核聚变和燃烧等领域的深入研究，非线性发展方程解 的b l o w - u p 理论引起了研究者的极大兴趣通常，在研究解的b l o w - u p 现象时会考虑到以 下几方面问题：( i ) b l o w u p 条件；( i i ) b l o w - u p 时间；( i i i ) b l o w - u p 点集；( i v ) b l o w - u p 速率， 以及v 1b l o w - u pp r o f i l e s 如今，虽然关于解的b l o w - u p 仍然没有完整的一般化理论，但是 对许多典型模型都有了深入的研究，不断得到丰富而深刻的结果本文研究非线性抛物 方程( 组) 中局部化源与局部源的相互作用及其对解的奇性的产生与传播的影响，着重研 究b l o w - u p 点集，特别是分析在不同的占优条件下解的单点与全局b l o w - u p 问题 1 1 2 b l o w - u p 点集及临界f u j i t a 指标问题发展概况 目前，随着非线性抛物型方程研究的发展，关于b l o w - u p 点集的研究内容也不断丰 富上世纪八十年代初人们主要研究的是单点b l o w - u p 问题，后来才逐渐发展到研究区 域b l o w - u p 和全局b l o w - u p 等问题研究对象也从单个方程逐步推广到方程组近几年， s o u p l e t 等人关于局部化和非局部抛物型问题的开创性工作给b l o w - u p 问题的研究带来 新的气象，陆续得到一系列有意义的结果【卜3 6 1 以下为与本文相关的b l o w - u p 理论研究 进展的简单介绍 ib l o w - u p 点集问题 1 局部化局部源的相互作用与奇性解的渐近行为 w e i s s l e r l 3 7 】于1 9 8 4 年率先考虑了初边值问题： i 撕= u + 矿， ( z ，t ) q ( 0 ，丁) ， 钍= 0 ，( z ，t ) 0 n ( 0 ，t ) ， 【u ( z ，o ) = u 0 ( x ) ，z q ， 就一维情形得到p 1 条件下的解单点b l o w - u p 结论接着，1 9 8 5 1 9 8 8 年间，f u - j i t a 和c h e n 3 & 3 9 1 ，f r i e d m a n 4 0 1 将此结论推广t u n 维情形g i g a 4 1 】等人分析了解在b l o w u d 附近的渐近行为 c h a c l a m l l 等人研究了局部化源模型 t t = 乱+ 扩( 。，亡) ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) ，( 1 1 ) 的c a u c h y 问题，n e u m a n n 问题和d i r i c h l e t 问题给出b l o w - u p 必为全局的结论继而， s o u p l e t s l 将他们的结果扩展到移动局部化源z + = 矿( 亡) 情形，在d i r i c h l e t 边界条件下获 得解为全局b l o w - u p 的结论 对于两种源同时作用的半线性抛物型方程 l 毗= 让十a l u p + a 2 u q ( x ，) ，( z ，t ) q ( 0 ，丁) ， u ( 。，t ) = 0 ， ( z ，t ) 0 n ( o ，丁) ， ( 1 2 ) lu ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ， z q 其中入1 ，a 2 , p ，q 0 ，q = b rcr 在p ，q 1 ，a l ，a 2 = 1 的条件下，o k a d a - f u k u d a 2 6 】于 2 0 0 3 年研究了在矿= 0 时径向对称解的b l o w u p 集，得到单点与全局b l o w - u p 的完全分 类其主要结果是：在一定初值下，若p 口+ 1 ，则所有b l o w - u p 都是全局的；若p 口+ l ， 则所有b l o w u p 都单点2 0 0 5 年，f u k u d a - s u z u k i ( 2 8 1 在同样条件下研究了方程( 1 2 ) 中 矿0 时的b l o w - u p 集2 0 0 7 年，l i u ，l i 和g a o 在文献f 3 0 】中给出了问题( 1 2 ) 解的一 致b l o w - u pp r o f i l e s ，所采用的是s o u p l e t 在文献【8 】中提供的新方法 在非线性扩散问题 毗2 a u m + u p , ( 州) r ( o ，t ) ， ( 1 3 ) 【u ( z ，o ) = u o ( x ) z r 中( 其中m ，p 1 ) ，解的b l o w - u p 性质取决于非线性扩散u m 与局部源矿间的相互作 用g a l a k t i o n o v a 2 ，4 3 l 证明：当p m 时，解单点b l o w - u p 对于p = m 的情 形，g u i 4 4 l 给出了方程( 1 3 ) b l o w u p 集对称性质的分析最近，d u 和x i a n g 4 5 1 考虑了有 界区域上非线性扩散方程u t = 仳m + a u p u q ( x o ，t ) 的齐次d i r i c h l e t 问题，分析解的渐近 行为，并给出b l o w u p 集的部分结果 一2 大连理工大学博士学位论文 关于方程组情形b l o w - u p 集问题的研究，f r i e d m a n 和g i g a l 4 6 】于1 9 8 7 年开创性地讨 论了如下半线性抛物组 崔 = q ( u ) 站+ ，( ) ， = p ( 口) 。z + 夕( u ) ， ( z ，t ) ( 一o ，a ) x ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) ( 一n ，a ) x ( o ，? ) ， 士o ，t ) = 0 ，u ( 士口，t ) = 0 ，t 0 ， z ，0 ) = ( z ) ，v ( x ，0 ) = 妒 ) ，z f o ，口】 解的b l o w - u p 集他们证明当反应项和初值满足一定条件时解为单点b l o w - u p 另外， p e d e r s e n 和l i n 在文献【4 7 】中证明具有齐次d i r i c h l e t 边界的耦合局部化源模型 讹= a u + 矿( o ，t ) ，仇= a v + 缸。( o ，t ) ，( x ，t ) qx ( 0 ，t ) 的b l o w - u p 解为全局b l o w - u p 随后，文献f 1 1 ，1 5 】研究了带有耦合幂型局部化源 的d i r i c h l e t 问题u t = a u + u 应( x o ，t ) v p ( z o ，) ，仇= a v + u q ( = o ，t ) 伊( 跏，t ) ，以及具有耦合 指数型局部化源的d i r i c h l e t 问题u t = a u + e p l u ( z o t ) + q a t ，t 1 ，仇= a v + e p 2 u ，t ) + 9 2 ”( 卸，t 1 ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) 。他们证明上述两个局部化问题的解若b l o w - u p 必全局近几年， d u 和w a n g 分别在文献【4 8 】和 7 ，4 9 】中研究了具有局部源与局部化源乘积形式的抛物 方程组，主要考虑解的一致b l o w - u pp r o f i l e s ，并给出关于b l o w - u p 集的部分结论 根据上述关于b l o w - u p 集研究工作进展情况，本文拟研究以下问题： 1 具有局部与局部化源加和形式反应项的抛物组的解具有怎样的b l o w - u p 集性质? 不同耦合形式将对b l o w - u p 集产生怎样的影响? 2 具有局部与局部化源加和形式反应项的非线性扩散模型具有怎样的单点与全 局b l o w - u p 性，局部化源和非线性扩散对解的奇性会有怎样的影响? i i f u j i t a 指标问题 在开创性的工作【5 0 】中，f u j i t a 考虑了c a u c h y 问题 f t 正= 乱+ u p ， ( z ，t ) r r + ， ，、 【t 正( z ，0 ) = u o ( z ) ，z 酞， 、。 得到了临界指标纯= l + 2 n ，即当1 q 1 对问题( 1 5 ) ，他证明：只要u 0 非平凡非负，当p p o = l 时( 1 5 ) 的解都 是非整体的，即p c = + o 。对问题( 1 6 ) ，他得到：p o = 1 ，p c = l + 斋g a l a k t i o n o v 等人在 文献 4 2 】中考虑了非线性扩散方程饥= a u m + u p 的c a u c h y 问题，给出：当1 m + 2 解只对大初值b l o w - u p 换 言之，对该问题p 0 = 1 且p c = m + 2 从中可清楚地看出非线性扩散指标m 对问 题f u j i t a 指标的本质影响 对于方程组情形的f u j i t a 指标，e s c o b e d o h e r r e r o1 5 s 考虑了耦合局部源问题 f 饥= u + v p ，v t = a v + 乱口， 【u ( z ，0 ) = 锄( z ) ，u ( z ，0 ) = v o ( x ) ， ( z ，亡：乏n ( o ，丁) ( 1 7 ) z r n 、7 并证明了a 0 = 1 ，人c = 斋( r + 1 ) + 1 ，其中r = m a x p ，口) 换言之，如果l 斋( r + 1 ) + 1 时， 解对大初值b l o w - u p ，对小初值整体存在 由上述关于f u j i t a 指标研究工作的发展，我们提出这样问题：如果将局部源与局部 化源的加和形式的反应项引入非线性扩散方程或方程组中，这两类源相互作用对相应问 题的f u j i t a 指标会有怎样的影响呢? 1 2 本文主要内容介绍 围绕上面提出的三个问题，本文研究了几类具有局部与局部化源的非线性抛物模型 奇性解的渐近行为，涉及五个同时具有局部源和局部化源的抛物模型我们将讨论这两 种源的相互作用对解的b l o w - u p 性质的影响我们讨论的模型具有明确的物理意义，例如 描述具有两种混合燃料中的热传导、某些化学反应过程，以及某些生物酶在有界区域中 的相互作用等( 参见f 5 9 - 6 2 1 ) 本文所涉及的几类半线性抛物型方程( 组) 都是一致抛物的， 从而有古典解的局部存在性及比较原理成立而对于所涉及的非线性扩散问题，古典解 一般不存在可通过选取试验函数定义弱解( 参见文献【4 2 1p p 2 3 2 4 ) ，对于弱解也有相 应的比较原理成立( 见文献f 4 2 1 定理3 ，p 2 4 ，也可见f 6 3 1 ) 本文内容安排如下： 4 大连理工大学博士学位论文 第2 章考虑经由局部化源耦合的局部化局部源抛物方程组 f = a u + u m ( x ，t ) + v p ( o ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， u 2a v + u q ( o ，) + 秽n ( z ，) ， ( z ，t ) q ( o ，t ) ， ( 1 8 ) i 让= t ，= 0 ， ( x ，t ) a qx ( 0 ，丁) ， 、 【u ( z ，0 ) = 乱o ( z ) ，口( z ，0 ) = v o ( x ) ，z q ， 其中q = b = z r ：i x l 1 ，初值u 0 ，v 0 c 2 ( q ) nc ( f i ) 为非 平凡非负函数，且满足相容性条件我们引入特征代数方程组 ( 。0 1 1 m 一- 1 0 2 ) q 乞：竺1 p ) ( ；) = ( ：) c 1 9 ， ( 1 一 如佗一 p 1 ， 、7 其中p 1 ，如 o ，1 ) ，亦即 ( q ，p ) = ( 8 川= ( 再p + l ，筹) ( & 2 剧= ( 而1 ，嗉字) ( o r 3 岛) = ( 等字，熹) ( q 4 ，反) = ( 忑1 ，击) 借助于( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) ，我们可以清晰描述模型中多重非线性机制间的相互作用，并给出 不同占优机制下的b l o w - u p 速率从b l o w - u p 速率出发又可以搞清楚局部源与局部化源 间相互作用对模型b l o w - u p 集的影响这里我们根据对非线性参数m ，佗，p ，q 的完全分类 给出关于奇性解单点与全局b l o w - u p 分析的完整结果据我们所知，已有文献未曾讨论过 方程组情形的单点与全局b l o w - u p 问题 第3 章研究具有局部化源和耦合局部源的热方程组 fu t = a u + “m ( o ，t ) + 矿， 0 ，) q ( 0 ，? ) ， l l 仇= 砂+ 俨+ v n ( o ，t ) ， p ，亡) qx ( 0 ，t ) ， ， ( 1 1 1 ) iu = u = 0 ，( x ，t ) a q ( 0 ，t ) ， 1 lu ( z ，0 ) = 钆o ( z ) ，u ( z ，0 ) = t 帕( z ) ，z q ， 其中q = b = z r ： 0 ，p ，q l ；u o ，v 0 c 2 ( q ) nc ( f i ) 非平凡非 负且满足相容性条件我们依然研究解的全局与单点b l o w - u p 特别地，将本章与上一章 的结果进行比较，可以看出这两类不同耦合关系所导致的关于解的奇性产生与传播的某 些本质不同例如，第2 章模型指标分类中解的一个分量全局b l o w - u p 而另一个分量单 点b l o w - u p 的现象对本章所讨论的模型却得不到 5 一 o1 l ，f i 、 0 o 1 l = = = i i 如 如 如 如 o 1 o 1 = l l i l l l 1 l 1 l p p 8 p r r r r 幻 佑 缸 硒 局部化一局部源的相互作用与奇性解的渐近行为 f 地= 矿+ 入1 u p + a 2 伊( o ，) ，( 。，三) q ( o ，t ) ， u ( x ，亡) = 0 ， ( z ，) 0 f l ( o ，t ) ， ( 1 1 2 ) 【让( z ，o ) = 咖( z ) ， z q ， 其中p ，q20 ，a l ，a 2 0 ，并且m a x p ，g ) m 1 ，q = b 1 为r 中以原点 z = o ) 为球心的单位球本章的主要目的是研究局部源，局部化源以及非线性扩散之间相 互作用对问题( 1 1 2 ) 解的b l o w - u p 性质的影响我们得到解的b l o w - u p 速率估计，以及 局部化源占优( 即q p ) 时解的一致b l o w - u pp r o f i l e s 进一步，我们证明了关于解 的全局与单点b l o w - u p 结论：若p q + 1 ，则问题( 1 1 2 ) 的解的b l o w - u p 为全局的；若 p q + l 且n = 1 ，则有单点b l o w u p 发生可见，在这个模型的条件下，