（基础数学专业论文）rogersramanujan类型恒等式与部分theta函数公式.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 利用双边b a i l e y 引理及单双边级数变换公式，本文系统研究了基本超几何级数 领域中两类非常重要的恒等式：r o g e r s r a i i l a n u j a 3 ：l 类型恒等式和部分t h e t a 函数公 式作者不仅给出众多已有结果的新证明，而且还得到大批新的公式具体内容如下： 1 借助于q - p f a f f - s a a i s c h i i t z 公式和级数重排方法，作者建立了双边b a i l e y 引理，进 而推出一个从单边级数到双边级数的通用变换公式，并利用g - 级数理论中两个 经典的双边级数求和公式以及q - d o u g a l l 求和公式的变形，得到3 5 个从单边级 数到双边级数的变换公式 2 通过界定单双边级数变换公式中的自由参数，作者得到大批r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式，并精选出2 0 0 个这种类型的恒等式开列于文中，其中包含s l a t e r 在 1 9 5 2 年给出的1 3 0 个r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式中的大多数结果以及一些新 的公式此外，作者还详细对比了本文公式与s l a t e r 所得的公式 3 作为双边b a i l e y 引理的另一用途，通过适当选取单双边级数变换公式中的自由 参数，作者还获得大批部分t h e t a 函数公式，并在文中开列出4 0 0 个该类型的公 式，不仅给出由r o g e r s 【1 4 6 ，1 9 1 7 和r a m a n u j a n 【1 4 4 在其? 丢失的笔记本”中建 立的几乎所有这种类型公式的新证明，还发现大量新的部分t h e t a 函数公式 关键词：基本超几何级数；双边b a i l e y 引理；r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式；部分 t h e t a 函数公式 r o g e r s - r a m a n u j a nt y pei d e n t i ti e s a n df a l s et h e t af u n c t i o nf o r m u l a e a b s t r a c t b ym e a n so ft h eb i l a t e r a lb a i l e yl e m m aa n d t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ef r o mu n i l a t e r a l s e r i e st ob i l a t e r a lo n e s ，t h i st h e s i sw i l ls y s t e m a t i c a l l yi n v e s t i g a t er o g e r s a a i n a n u j a nt y p e i d e n t i t i e sa n df a l s et h e t af u n c t i o nf o r m u l a e m o s to ft h ek n o w ni d e n t i t i e so fb o t hk i n d s a r e r e v i e w e da n dn u m e r o u sn e wf o r m u l a ea r ed e r i v e d t h ec o n t e n ti ss u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 t h eb i l a t e r a lb a i l e yl e m m ai se s t a b i s h e db yc o m b i n i n gs e r i e sr e a r r a n g e m e n tw i t h t h e 口p f a f f - s a a l s c h f i t zf o r m u l a ，w h i c hl e a d sc o n s e q u e n t l yt oag e n e r a lt r a n s f o r m a t i o n f o r m u l ae x p r e s s i n gu n i l a t e r a ls e r i e si nt e r m so fb i l a t e r a lo n e b yu t i l i z i n gt w of u n d a - m e n t a lb i l a t e r a lq - s e r i e si d e n t i t i e sd u et or a m a n u j a na n db a i l e ya sw e l la sr e d u c e d f o r m so ft h e 口d o u g a l ls u m ，t h i r t y f i v et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a eb e t w e e nu n i l a t e r a l a n db i l a t e r a ls e r i e sa r ep r o v e d 2 b ys p e c i a l i z i n gt h ep a r a m e t e r sa p p e a r e di nt h et r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a e ，n u m e r o u s i d e n t i t i e so ft h er o g e r s r m n a n u j a nt y p ec a nb eo b t a i n e d a m o n gt h e m ，t w oh u n d r e d s e l e c t e do n e sa r ed i s p l a y e di nd e t a i l s ，i n c l u d i n gm o s to fs l a t e r sc o l l e c t i o no f1 3 0i d e n t i t i e sa n ds e v e r a ln e wi d e n t i t i e s c o n s i d e r i n gt h ei m p o r t a n c eo fs l a t e r sm o n u m e n t a l w o r k ac o m p a r i s o ni sm a d ef o rt h ei d e n t i t i e sb e t w e e nt h o s et r e a t e db ys l a t e ra n dt h e p r e s e n tw o r k 3 a p p l i c a t i o no ft h eb i l a t e r a lb a i l e yl e m m aa l o n ga n o t h e rd i r e c t i o ni ss y s t e m a t i c a l l y e x a m i n e d ，w h i c hr e s u l t si nal a r g en u m b e ro ff a l s et h e t af u n c t i o nf o r m u l a e ，c o n t a i n i n g m o s t 。ft h ek n o w no n e sd i s c o v e r e dm a i n l yb yr o g e r s ( 1 9 1 7 ) a n dr a m a n u j a n ( 1 9 2 0 ) i nh i s “l o s tn o t e b o o k ”f o u rh u n d r e df a l s et h e t af u n c t i o nf o r m u l a ea r ee x h i b i t e d w i t hm o s to ft h e mh a v i n gn o ta p p e a r e dp r e v i o u s l y k e y w o r d s ：b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；b i l a t e r a lb a i l e yl e m m a ；i d e n t i t i e so ft h er o g e r s r a m a n u ja nt y p e ；f a l s et h e t af u n c t i o nf o r m u l a e i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申 请学位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：掣竺蔓坠竺尊坠生j 鱼照竺笠暑f 蔓壁塑竺垒竺竺凡 作者签名：b 土一 魄爿年三月上日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：j 篓二坠竺氅乒堑皇i 壅红尘至 学t 生塑必 作者签名：2 丝i 至塑 、 导师签名= 晏红弋a 3 日期：珥年月土日 日期：珥年月卫日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本文系统研究g 一级数理论中两类比较重要的恒等式：r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒 等式和部分t h e t a 函数公式这两类恒等式在近代g 一级数发展中起着举足轻重的作 用，本章我们将介绍与之相关的历史背景，并简单概括本文的主要工作及重要性 1 1 基本超几何级数 基本超几何级数也称q - 级数，是超几何级数的g 一模拟首先给出口级数中一些 常用的记号假定n 为非负整数，定义z 以q 为基的扎次升阶乘为 ( z ；g ) o = l ，( z ；g ) 竹= ( 1 一z ) ( 1 一x q ) ( 1 一x q n - - l ， ， 当l q i 一( 一1 ) n q 6 n 2 “n = 1 一q 2 一q l o + q 1 6 + q 3 2 一， n = 一。c + q 6 矛+ 4 n = 1 + q 2 + q l o + q 1 6 + 9 3 2 + ； 部分t h e t a 函数 除了r o g e r s 的工作，a a m a n u j a n 1 4 4 也对部分t h e t a 函数进行了研究，在其“丢 失的笔记本”里记录着二十多个部分t h e t a 函数公式，例如下面几个这种类型的公 式： 争，仡器卜驴o o 舻k q 抑， 薹o o 丽( q ；q 2 丽) 2 n 批静门脚屉， 薹怒，+ 1 ) = 薹o o ( 1 - 尹+ 1 ) 口3 ( 孤， 鉴 矿：( 一i ) k 9 2 k ( k + 1 ) ， 名( _ g 9 2 ) 扎+ 1 q 急、 。 o。00 e ( q ；q 2 ) 佗q n = ( 一1 ) 惫( 1 + 9 2 m ) 9 3 冉拙， 【1 4 4 ，p 2 9 】 【1 4 4 ，p 1 3 【1 4 4 ，p 3 7 】 【1 4 4 ，p 1 3 】 【1 4 4 ，p 2 9 】 与r o g e r s r a r n a n u j a n 类型恒等式相比，部分t h e t a 函数公式的数量相对较少，并 且也不像r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式的研究那么系统，仅有一些零散的工作除 了r o g e r s 、r a m a n u j a n 的工作之外，b a i l e y 6 0 ，6 1 】在利用b a i l e y 变换研究r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式的同时，也给出几个这种类型的公式a n d r e w s 【3 6 ，c h a p t e r9 】 在1 9 8 6 年写的g 一级数小册子里面讨论了t h e t a 函数、部分t h e t a 函数以及伪t h e t a 函数之间的联系直到最近，b e r n d t 与a n d r e w s 4 7 ，4 8 】合作将r a m a n u j a n 的“丢失 的笔记本”整理成书之后，国内外一些学者也逐渐开始了对部分t h e t a 函数公式的研 究在r a m a n u j a n 的“丢失的笔记本”第一卷里【4 7 ，c h a p t e r9 ，b e r n d t 和a n d r e w s 5 一 g + 6 g 一 0 g + g 一1 _ i = +n g l n+ n 6 g 脚 r o g e r s p u n s l u j 8 i 类型恒等式与部分t h e t a 函数公式 利用r o g e r s - f i n e 恒等式给出一些部分t h e t a 函数公式的新证明此外，利用b a i l e y ” 变换，a n d r e w s 与w a r n a a r ( 5 3 】合作在2 0 0 7 年从另一角度也给出一些部分t h 6 t a 函数 公式的新证明m a c l a u g h t i n 、s i l l s 等人 1 3 4 ，1 3 6 】最近利用b a i l e y 引理对部分t h e t a 函数公式进行一些研究并得到几个新的公式，b e r n d t 和他的学生y e e 7 2 在2 0 0 3 年 从分拆理论方面给出r a l t l a r l u j a r l “丢失的笔记本，里出现的部分t h e t a 函数公式对应 的组合证明其他学者关于这方面的研究，有兴趣的读者可以参考 3 6 ，c h a p t e r9 以 及 1 ，2 ，2 0 ，3 0 ，3 1 ，4 3 ，5 2 ，7 1 ，1 2 2 ，1 3 2 ，1 6 5 ，1 7 0 ，1 7 5 1 5 本文主要工作简介 利用经典b a i l e y 引理来证明r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式过程中关键的一步是 把级数变换公式中一端的单边级数转化为双边级数，然后特定参数使其能够利用j a - c o b i 三重积或者五重积恒等式进行化简如果将经典的b a i l e y 引理转化为双边b a i l e y 引理，然后结合g 一级数理论中几个著名的双边级数求和公式来建立级数变换公式，参 数特殊化之后直接利用j a c o b i 三重积或者五重积恒等式来证明r o g e r s r a i i l a n u j a l l 类型恒等式将会显得更为自然据此我们可以系统地发现和证明这种类型的恒等式， 同时也能附带发现大量部分t h e t a 函数公式 我们将在下一章借助于q - p f a f f - s a a l s c h f i t z 公式，建立双边b a i l e y 引理，进而得 到一个从单边级数到双边级数的通用变换公式，进一步利用g _ 级数理论中两个经典 的双边级数求和公式以及q - d o u g a l l 求和公式的变形建立3 5 个从单边级数到双边 级数的变换公式通过特定变换公式里的参数，使其能够直接利用j a c o b i 三重积或 者五重积恒等式来计算，我们在第三章得到一大批r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式， 涵盖了目前为止g 级数理论中大部分的r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式。此外，通过 适当选取变换公式中的参数，我们在第四章得到4 0 0 个部分t h e t a 函数公式，其中 包含了几乎所有已知的同类型公式由此证明双边b a i l e y 引理确实是发现和证明 r o g e r s r 2 x n a n u j a l l 类型恒等式及部分t h e t a 函数公式的有效工具 本文不仅给出许多新的r o g e r s a a n 2 a n u j a n 类型恒等式，同时还发现数量更多的 部分t h e t a 函数公式到目前为止，组合学界普遍认为r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式 远多于部分t h e t a 函数公式本文的工作表明，事实恰好相反我们不但系统地建立 了大批这两种类型的恒等式，还对与所有公式相关的历史性文献进行了认真细致的 搜索，为每二个公式提供全面而准确的参考数据相信本文对于r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式和部分t h e t a 函数公式的文献性工作将会为之后从事这方面的研究提供 可靠的背景性材料。 6 大连理工大学博士学位论文 2 双边b a i l e y 引理与级数变换公式 借助于q - p f a f f - s a a l s c h f i t z 公式，我们将在这一章中建立双边b a i l e y 引理，据此获 得一个从单边级数到双边级数的通用变换公式然后利用q 级数理论中两个经典的 双边级数求和公式以及q - d o u g a l l 求和公式的变形，我们给出3 5 个从单边级数到双 边级数的变换公式在后面两章中，将详细讨论这些变换公式的具体应用 2 1 双边b a i l e y 引理 最近，a n d r e w s 和w a r n a a x 【5 3 通过把单边b a i l e y 变换扩展为双边b a i l e y 变换， 给出一些已有的部分t h e t a 函数公式的新证明，并建立了几个新的同类型公式类似 地，我们建立下面比较一般的双边b a i l e y 引理 引理2 1 ( 双边b a i l e y 引理) ：对任意一个非负整数入，双边序列( q 惫) 惫z 和单边序列 风) 礼n 0 ，如果它们满足关系 舻七塞a 譬爿赢， ， 且有变换 q i k = o c k 叫，3 删七( 等) 七， 璐= 鑫仇铅而紫( 等) 七； ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) 则下面关系式成立 风慨= 。薹融n - k 州j 上( q ；q ) a + 2 n ，(23)a心= 一n 一 。 其中纠错项贝a ( 几) 为 a 一1m i n k ，a 州炉苫萨靠 一斛 g i 2 _ t a 口 ( g ；q ) k i ( g ；口) a 7 一七一t ( g ( q z + a z y ；g ) n + i g ) n + t q x ，q y ；q 】 ( 2 4 ) r o g e r s m s f l k l l u j 8 1 1 类型恒等式与部分t h e t a 蓬墼坌茎 这里我们称满足关系式( 2 1 ) 的序列对( q n ，风) 为一个双边b a i l e y 偶仔细脱祭叫 知，当入= 0 ，1 时，纠错项吼( n ) 等于0 此时，该引理可推出最近由g u oe ta 1 1 1 9 ， c o r o l l a r i e s2 2 2 3 】得到的两个终止的级数变换公式 证明：将关系式( 2 j 1 ) 代入( 2 2 b ) 中，然后交换求和次序，则有下面的表达式： 威=喜锴即篇巫丽(望y惫圭川2j叫+a(q训kql+ay；xy 焉 一他一毛二( g ；g ) n j 9 1 + a z ，口】礼 ，惫刍0 【j 一j ( g ；g ) a + 勿 一 竺生 鲨兰型! ! 喧f 2 j i + 入1 堡：竺垫( q l + a j 一r 竺生f ! 兰! ：= ：生二! p 十 j 竺：竺坚 一皇a 【q 1 + 训1 + a y ；q n 细叔毹小a ) ( g g ) 州l j “j ( q ；q ) a + 2 j 可 根据求和流标j ，将上式的内部和改写成下面两个和式之差 j = i n 互n ，一细互- 1m ， 訾骷雌( q ；q 川) a + b 2 j 似k - 面1 + - - y 、一同 在第一个和式中每歹：n i ，并利用g p f a g - s a a l s c h t i t z 定理 1 1 2 ，i i - 1 2 3 毋。卜g t 咒c | q ；g = 心l a , c n c b 邢 n ， 则有下面的封闭公式 溅罡琳等) 竹3 吖产x y 啪, q k g i - n 叫q k 可- - 舻k ：勰陛a(望)竹r+如kxql+k x y可抖w i 蹦( 芷x y r n ( g ；g ) a + 2 乱ln j l g “z ，9 6 可 1 j 死一七 =!：二挚2n+ag-+a三：善+a秒lg忌、qzl+ya)七 将该封闭公式代入到露的双重和表送击中，消去多余的因子，我们便络出关系式 ( 2 3 ) 的主要部分 对于表达式( 2 5 ) 中的第二个和式，不难看出它仅仅当久2 且= 一1 ，一2 ，l a 时不等于零因此，可以把纠错项表达为下面的双重和式 甄( n ) - 。三、耵赢硫 x 二垂；势b 二爿黑q ) a + 2 j ( 等) _ oi ，l7 i l - ，：m 意七一入) ( 口；q ) n j 【歹一七j ( g ； z 将求和流标七，j 分别用一惫，一i 来代替，化简之后，我们便得到定理中所述的纠错项 表沃式f 2 4 1 8 大连理工大学博士学位论文 将关系式( 2 3 ) 中的q ：和西分别用变换( 2 2 a ) 和( 2 2 b ) 来代替，则有下面的有 限和变换公式： 州+ 萎砖铅 i i - - 而嚣q ( 型x y ) 奄 毒= ： 【g ；g ， 惫i 9 1 7 “z ，1 “y ；g j n 气皇、丽a k 卜2 n + 扎a q ) a + 2 n o 愚g ，3 y l l q 凫( 芷x y ) 七 = 一 ii、，、。、1门li l 七幺入( g ； ln 一七儿q 什 z ，9 1 + 1 j 凫、 在上面等式中令礼一，我们得到一个从单边级数到双边级数的通用变换公式 定理2 2f 非终止级数变换公式) ：对任意两个序列( q 缸) 凫z 和 尻) n ，如果它们满 足关系式( 2 1 ) ，则有下面的非终止级数变换公式成立 蝌薹撕矧n ( 等) n 仁6 a ， = k 磁m 。薹q 七训孙 七( 等) 南，泣6 b ， 其中纠错项贸a 为 ( 2 6 c ) p a u l ef 1 4 1 ，t h e o r e m2 1 ：r e m a r k 最早注意到该定理对应于a = 0 ，l 的特殊情 况，b e r k o v i c h m c c o y - s c h i l l i n g 【6 7 ，s e c t i o n4 1 建立了该定理的完全双边形式( 参考 d e k a - s c h f i l i n gf 1 0 4 ，t h e o r e m2 1 】) ，a n d r e w s 4 1 ，t h e o r e m1 】给出完全双边形式的多重 推广根据定理2 2 ，任意给出一个序列对( o l n ，风) ，如果它们满足关系式( 2 1 ) ，则由 式子( 2 6 a - 2 6 b ) ，就可以立即得到一个从单边级数到双边级数的非终止级数变换公 式为了寻找这样的双边b a i l e y 偶，我们主要借助于g 级数理论中两个最基本也是 最重要的双边级数求和公式，它们是r a m a n u j a n 的1 矽1 级数恒等式 1 1 2 ，i i 一2 9 】 - 砂t 三i g ；z = q c ，, g c a 。, ，a z z ，q c 8 a z zl g 。其中l c n l l z i 1 ( 2 7 ) 和b a i l e y 的6 幽一级数求和公式【5 8 ( 参考【1 1 2 ，i i - 3 3 ) 6 砂6 陋髦g 易易钏孑“驰磊 =q,qa,，qa,q，abc,，qabd，,qa，be,q，acd，,qa，ce,zqadeqab q a cq a dq a eq b q cq dq eq a b c d el 司。，一i ， ， ， 2 h 9 ( 2 8 a ) ( 2 ，8 b ) 一( 瞅 一 = 一c0，f(_q；q)百n(q3；q3)ng ( “言1 ) 名( g ；q ) 2 n + l ( q ；g ) n 1 赫 q 1 8 , q 6 , q 1 2 ；q 1 8 k 例3 1 4 0 ( p 2 2 4 z = 一l ，y = - q 1 2q _ q 2 ：【6 1 ，9 5 】) ： 一1 + 6 n 叫, o - q 2 n 瓣批甓 g i s qg,q9；q18qq 2 ；q 2 ) q ) 2 k 。一f 1 m u (n ( q ； n y ( g ；g ) 一 脚 例3 1 4 1 ( p 2 2 4 z = - 1 ，y _ 。：【6 0 ，6 9 ，【1 6 3 ，e q7 8 1 ) ： o o n = 0丽1+5n,o-q2n絮蒜警，+1)=赫q18,q9,q9；q18q q ) 2 】。 1 + 如，o 一3 n ( 口；g ) n ( g ；n 1 ( g ；g ) 1 。 3 1 3 g 一指数为2 0 的r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式 例3 1 4 2 ( p 2 1 4 z = 一q u 2 ，秽_ 。，c _ ig 9 2 ) ： = 甓器 q 2 0 q s , q 1 2 ；q 2 0 】。 t 参考文献 3 ，1 0 ，1 4 ，1 5 ，3 9 ，6 3 ，1 0 0 ，1 1 4 ，1 3 0 ，1 4 5 ，1 6 1 “1 6 3 ，e q7 9 】及专著【3 6 ，1 6 j 和【1 6 4 ，7 3 】 例3 1 4 3 ( p 2 1 6 z = 一q 3 2 ：y 一。，c _ o 。iq _ 口2 ) ： 滁【q 2 0 , q 4q 1 6 ；q 2 0 。 t 参考文献【1 0 ，1 4 ，1 5 ，3 9 ，6 3 ，1 0 0 ，1 1 4 ，1 3 0 】及专著 3 6 ，1 6 】 例3 1 4 4 ( p 2 4 z = 一g ，y _ 0 0 ，b = g 玎，d _ 0 0 ，6 = 1 ：【1 3 7 ，e q2 7 ) ： 煮y-黥=镳q20,qs,q15；q20q2 q 2 q 2 k 。一n ( g ；) n + 1 ( 9 4 ；9 4 ) n ( ；) o o 。 网 一 n o b矿一一 脚 器 脚 大连理工大学博士学位论文 3 1 4 毒一指数为2 7 的r o g e r s - r a m a n u j a n 类型恒等式 例3 1 4 5 ( p 2 2 6 】z ，秒_ 。，w o o ：f 6 0 ，7 5 ，1 0 5 ， 1 6 3 ，e q9 0 ，【1 6 4 ，7 3 ) ： 子( q 3 ；q 3 ) n q n ( n + 3 ) ： q 2 7q 3q24；q27c。 等兰孟( g ；g ) 2 n + 2 ( g ；g ) n ( g ；q ) o 。 例3 1 4 6 ( p 2 2 6 。，y 一。，叫= o ： 6 0 ，7 5 ， 1 6 3 ，e q9 l 】， 1 6 4 ，7 3 ) ： 虽( q 3 ；q 3 ) 钆q n ( 删) q 2 7 ，q 6 ，q 2 1 ；q 2 7 o o 夤兰磊( q ；q ) 2 n + 2 ( g ；g ) n ( g ；g ) 例3 1 4 7 ( i f 2 2 5 】z ，y _ c o ：【6 0 ，6 1 ，7 5 】 1 6 3 ，e q9 2 ，【1 6 4 ，7 3 】) ： o ( q 3 ；q 3 ) 几q n ( 1 ) 【9 2 7 ，q 9 ，9 1 8 ；q 2 7 。o 、 一 =一 。z 一- o , ( g ；q ) 2 n + 1 ( 口j 口) n ( g ；q ) 例3 1 4 8 ( p 2 2 4 】z ，耖一o 。：【6 0 ，7 5 ，【1 6 3 ，e q9 3 ，【1 6 4 ，7 3 ) ： o 1 + 矗，o q 2 凡( q 3 ；q 3 ) nq n 2【9 2 7 ，q 1 2 ，q 1 5 ；q 2 7 】o o 幺l + 如，o q 3 n ( g ；g ) 2 n ( g ；q ) n ( 口；q ) o o 3 1 5 q 一指数为3 6 的r o g e r s r a m a n u j a n 类型恒等式 三oo而(_q；q丽2)n+l(q6；q6)n一州)=骶q36,q3,q33；q36q2