（基础数学专业论文）一个由非局部源耦合的拟线性抛物系统.pdf

大连理工大学硬士学位论文 摘要 本论文主要研究了一个由非局部源耦合的拟线性抛物系统并带d i r i c h l e t 零边值 的解的性质，得到了系统古典解的局部存在性，解的整体存在和不存在性以及相关的 关于奇性解的渐近性分析；b l o w - u p 速率、n o w - u p 集等问题由于引入了和系统参 数有关的特征代数方程组，使得所有非线性指标之间的相互作用被简洁地描述出来 而且也清晰地刻画了这类问题的一个现象，即临界指标由来自系统的三种非线性项的 六个指标所决定，而爆破速率却与扩散项指标没有关系，从而说明了非局部源所起的 作用 作者在前言中主要介绍了本文所研究问题的实际背景及相关问题的发展现状并在 第二章中回顾了抛物型方程( 组) 的基本知识在9 9 - - 章中我们说明了退化抛物系统 古典解的局部存在性第四章引入与系统参数有关的特征代数方程组，清晰明确地刻 划出所研究问题的临界指标，得出了系统解的整体存在和有限时刻b l o w - u p 的判定准 则在第五章中我们对解进行更深入的研究，得到此抛物系统解的爆破速率，最后第 六章得出系统爆破集是整个区域 关键词：非局部非线性源；抛物系统；整体存在；爆破；临界指标 i 苏涵，个由非局部源耦合的拟线性抛物系统 aq u a s i l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mc o u p l e dv i a n o n 1 0 c a ls o u r c e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e raq u a s i l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mc o u p l e d v i an o n l o c a ls o u r c e s s u b j e c tt oh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tc o n d i t i o n sa n dn o n e g a t i v ei n i t i a l d a t a w jp r o v et h el o c a le x i s t e n c eo ft h ec l a s s i c a ls o l u t i o n sa sw e l la st h eg l o b a l e x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i np a r t i c u l a r ，w eg i v eap r e c i s ea n a l y s i so n t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s ：b l o w - u pr a t e ，b l o w - u ps e t ，a n ds oo n t w ok i n d s o fc h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e m sa r ei n t r o d u c e dt om a k ec l e a rt h ei n t e r a c t i o no fa l lt h e n o n l i n e a re x p o n e n t s a ni n t e r e s t i n gp h e n o m e n o ni so b s e r r e dt h a tt h ec r i t i c a le x p o n e n t i sd e t e r m i n e db yt h es i xn o n l i n e a re x p o n e n t sf r o ma l lt h et h r e en o n l i n e a r i t i e s ，w h i l e t h eb l o w - u pr a t ei si n d e p e n d e n to fn o n l i n e e xd i 骶i o ne x p o n e n t sd u et ot h en o n l o c a l s o u r c e sc o n t a i n e di nt h er e a c t i o nt e r m s w eg i v et h eb a c k g r o u n do ft h ep a r a b o l i cs y s t e mi nt h ei n t r o d u c t i o n a n dr e v i e w s o m eb a s i ck n o w l e d g eo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ( s y s t e m ) i nc h a p t e r2 i nc h a p t e r 3 ，w et r e a tt h el o c a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ep a r a b o h cs y s t e m i nc h a p t e r4 ， w ee s t a b l i s ht h ec r i t i c a le x p o n e n t so ft h em o d e la n dg e tt h eb l o w - u pc r i t e r i af o rt h e s o l u t i o n s i nc h a p t e r s5a n d6 ，w es t u d yt h es i n g u a r i t ym o r ed e e p l yt og e tt h eb l o w - u p r a t ea n db l o w - u ps e t ，r e s p e c t i v e l y t h eb l o w - u ps e tc o n s i s t so ft h ew h o l ed o m a i n k e yw o r d s ：n o n - l o c a ln o n l i n e a rs o u r c e ；p a r a b o l i cs y s t e m ；g l o b a le x i s - t e n c e ；b l o w - u p ；c r i t i c a le x p o n e n t i i 独创性说明 作者郑重声明一本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并 表示了谢意 作者签名，盈幺日期；迦：星 苏涵t 个由非局部源耦合的拟线性抛物系统 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索。也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名 导师签名， 五趔年 1 前言 本章主要通过列举若干实际模型来介绍本文所研究问题的实际背景， 并阐述了相关问题的发展现状，最后对本文的结构安排加以概述 1 1 引言 偏微分方程的兴起已经有两百多年的历史了，它作为个多侧面，多应用的学科， 描述许多物体的物理或是机械的行为因此在二十世纪以前，人们多是直接联系着具 体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线性的) 早在1 9 0 0 年， h i l b e r t 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、2 0 、2 3 问 题均涉及了如何系统地研究偏微分方程的边值问题这就形成了现代偏微分方程理论 的萌芽现今偏微分方程已经成为一个与数学其他分支联系紧密的学科，微分几何、 复分析、调和分析、代数理论等学科都与其有密切的关系，它f f 】也成为研究偏微分方 程的工具现在，偏微分方程特别是非线性偏微分方程，已成为数学乃至整个自然科 学中活跃而重要的研究领域数学工作者及其他学科工作者各显其能充分利用现代数 学工具解决复杂的非线性问题 近些年来，在生物学、生态学、生物化学及物理、工程等传统学科的研究领域中， 各种非线性抛物型和椭圆型偏微分方程( 组) 得到了很广泛的应用，尤其是二阶非线 性抛物型和椭圆型偏微分方程( 组) ，通常都有明确的实际背景，其研究日益受到科学 工作者的重视并逐渐取得了许多有价值的成果其中人们对抛物型方程( 组) 解的爆 破性理论产生了极大的兴趣，爆破理论与其它各个领域之间的关系( 例如；化学反应 堆、量子力学、流体力学、湍流流量等) 越来越受到广大学者的关注 1 2 模型举例 为进一步介绍抛物方程( 组) 的实际背景，下面列举若干经典模型 1 苏涵：个由非局部源耦合的拟线性抛物系统 1 生态方程( 粹体增长，传染精，病皿罾寺) 象v - = a u + u m ( u ， ) + 。f ( u ( 。，s ) ，口( 。，s ) ) d s o 。v a v + v n ( u ， ) + f 0 。g ( u ( z ，s ) ，口( z ，s ) ) 如 2 神经传导的h o d g l d n - h u x l e y 方程 钍t = t k + ，叫1 ，1 1 ) 2 ，叫 ) 叫t = 购o ) 叫j + 吼( t ) o = 1 ，2 ，一，q j 兰1 3 燃烧方程 箬= k 1 a t + q n 唧( 一刍) 鲁= 肠n - - n 唧( 一刍) 4 b e l o u s o v - z h a b o t i n s l d i 反应的n o y e s - f i e l d 方程 瓦0 u = l r v + u ( - - u - - r ) + 象 窑= 协一阮钉+ 象 5 b r u s s l a t o r 方程 害= 8 乱+ a 一( 日+ 1 ) u + u 2 u 警= 幽+ b u 刈2 钉 其他例如渗透方程、液晶方程、反应器动力学方程、超导方程，反映生命现象的 众多数学模型，污染问题中出现的对流扩散方程等等，也都可以归于更复杂的抛物方 程( 绡) 1 3 目前发展状况 当今，为了解决复杂的非线性问题，各种现代数学工具各显其能然而，人们发 现，对非线性问题的研究不存在一劳永逸的统一工具和方法，非线性问题的极端复杂 性，直接反映了自然现象的极端复杂性倒如，对非线性抛物方程组来说，非线性可 以来自反应项、对流项、扩散项( 高阶项) 、边界项，以及经由它们所形成的各种不同 的耦合关系所有这些各不相同的非线性项都有可能导致解的奇性的产生解在有限 时刻内的b l o w - u p 、e x t i n c t i o n 、q u e n c h i n g ( 导数b l o w - u p ) 等，分别对应于( 固体 2 大连理工大学硕士学位论文 燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等现象上述四种非线性问的相互作用， 加之各分量之间的非线性耦合作用( 竞争、互惠、交叉扩散等) ，使得产生( 或消除) 奇性的规律性极其复杂( 通常还和空间维数及区域的几何性质有关系) 本论文的目 的，就是研究当抛物系统中具有的反应项是耦合的并且非局部( 反应项与位置z 无关 只与时间t 有关) 的情况下，多重非线性机制之间相互作用以及反应项的非局部性对 解的奇性的影响为此，需要多种数学技巧的结合，需要现代分析与古典分析工具的 结合，甚至还需要相当的物理洞察力 我们知道，对于一致抛物的方程( 组) 来讲关于时间变量总是存在局部解的，但 如果方程( 组) 出现退化我们就要先考虑古典解的存在性问题，若解存在接下来很自 然就应提到解是否关于时间整体存在；如果解不整体存在，判断的条件是什么，最大 存在条件是什么，最大存在时间如何估计；解在最大存在时刻附近的状态如何等等问 题对于非线性问题而言，很难给出一个统一的答案随着人们对事物的迸一步认识 及物理和化学现象的研究，人们发现了某些模型的内在本质，得到了一些较为深刻的 结果，提出了解的整体存在、有限时刻b l o w - u p 及临界指标等概念 近些年来，关于具有非局部源的抛物方程( 组) 问题已经引起了许多学者关注和 研究，下面我们就简述一下关于这类问题已有的部分结果 方程形式为讹= a u + 9 ( t ) ，其中9 ( t ) 可与u 有关这类问题的模型是在文献 4 ，27 】中提出的此后，数学工作者对此类问题的性质进行了研究 j m c h a d a m ，a p e i r c e 和h m y i n 在文献 5 中讨论了带有局部化反应项的 单个方程啦= a u + ，( u ( 黝，t ) ) ，得出了其初值问题及初边值问题相应的有限时刻爆破 的结论，还证出爆破集为整个区域及其爆破速率；并最终将结论推广到如下的带非局 部源的反应扩散方程饥= u + f o ，( u ) 出 王立文等人则在文献【3 5 】中考虑了一类带d i r i c h l e t 齐边值的特殊问题钍。= 乜。+ i s 9 ( 0 ，t ) 1 ) ，推得了有限时刻爆破及相应的爆破速率、边界层结论 i f u l m d a 等 人在文献【1 7 1 ，m p e d e r s o n 等人在【3 1 】中，讨论了相应的方程组问题，得出了有限时 刻爆破和爆破速率、边界p r o f i l e 等结果此外，对于具有退化性的局部化问题，陈有 朋在文献 7 】中考虑了第齐边值的方程仇= 铲斗口俨z 口- ( 跏，t ) ( m 1 ，口 0 ，p 1 0 ，q l o ) ，给出整体存在和整体不存在的条件刘其林等人在 2 5 】中研究了带吸收项 的问题u = a u “+ i s 9 ( 2 ：0 ，t ) 一k i s q ( z ，t ) q 0 ，p 1 ，0 0 ) 的解的性质，得到了解整体存在与b l o w - u p 的条件 王明新等人在【3 6 中研究了具有d i r i c h l e t 齐边值的单个方程啦= a u + 厂n 妒如一 舰a ，得出了解整体存在和整体不存在的条件，给出了爆破集是整个区域的结论刘其 林等人则在 2 4 中则对 l z t = 俨+ 厶u p d x k u q 也做了讨论，获得了解整体存在和 有限时刻爆破的条件，并进一步对解的整体爆破和爆破速率作了估计 陈有朋在【6 】6 中对如下方程组做了研究 地2 u + 厶矿如一m ， ( 茁，。) q r 出v t = ，归a v + 。茁 籼u q d x - 扩篱x , t ) 西e q t * 建立了解整体存在和有限时刻爆破的结果，得出了爆破速率和整体爆破的部分结果 段志文等人则考虑了没有吸收项情况的方程组，也得出了相应的爆破结果 通过上面这些工作的介绍，我们看出具有非局部源和局部化反应项的抛物方程 ( 组) 解的整体存在与b l o w - u p 的性质已成为微分方程领域的研究热点之一一些知 名的数学家在这方面作了许多工作 另外还要特别指出的是郑斯宁在前人研究成果的基础上，结合自己在研究中遇到 的和解决的问题，综合考虑提出了“特征代数方程组”的概念在研究尤其是f u j i t a 型的非线性反应扩散方程组解的整体存在性和有限爆破性时，往往整体存在条件和爆 破速率估计都与特征代数方程组的解密切相关对于许多研究过的方程组，其结论也 均可用特征代数方程组的解加以统一和清晰地描述，由此可见特征代数方程组确实起 到很大作用在讨论本文的问题时，一些结果正是受到特征代数方程组的启发做出来 的 1 4 本文内容介绍 本文的研究对象是如下由非局部源耦合的拟线性撼物系统。 ：三善般- f - ：i 巢妄函籍婶， ( 。，7 - ) q t ( z ，7 _ ) q p ( z ，下) s 札1 ( z ，0 ) = u l o ( z ) ， 1 ( z ，0 ) = 口l o ( z ) ，茁最， 其中n r ( n 1 ) 为有界域，具有光滑边界a n ，方程组中的参数p 0 ，q o ，r o ，8 0 ，n ，b 0 ，m ，n 1 ，记q r = n ( 0 ，j p ) ，s = a q ( 0 ，t ) 4 大连理工大学硕士学位论文 本文研究了上述系统解的存在性、临界指标、爆破速率以及爆破集等问题通过 对临界指标的讨论我们得到了系统解的整体存在和有限时刻b l o w - u p 的字4 别准则，并 进一步得到了解的爆破速率以及爆破集。从而揭示了反应项中非局部源所起的重要作 用我们还特别引进了和系统参数有关的特征代数方程组，它刻画了所有非线性指标 之间的相互作用，并对临界指标和爆破速率进行了简洁清晰的描述下面介绍一下本 文内容安排 在第二章中我们就所研究问题的相关知识以及理论基础( 最大值原理以及比较法 则) 不加证明得给予介绍，并且引入几个在以后章节中可以直接应用的比较定理的具 体形式，从而保证了本文在某种意义下的自封性和完整性 在第三章中我们研究了系统古典解的存在性问题，利用正则化方法，得出方程组 的退化是非本质的，进而古典解是局部存在的 在第四章中我们建立了解的整体存在和有限时刻b l o w - u p 的判别准则，并且在引 入与系统参数相关的特征代数方程组的概念后，生动地帮画了系统的临界指标等关键 特征 在第五章中我们进一步讨论了该模型的爆破速率问题，得出了爆破速率的幂指标 是由非局部源的指标唯一确定，进而揭示了模型中各非线性指标特别是反应项的非局 部性对爆破结论所起的作用， 在第六章中我们在前一章的基础上继续讨论系统解的爆破集问题，由于反应项中 非局部源的作用，起了一定的拉平效果，从而爆破是在整个区域上发生 5 2 抛物型方程( 组) 的预备知识 本章介绍了抛物型方程( 组) 的基础知识以及本文所凭借的主要理论工具：最 大值原理和比较法则 2 1 基本概念 本文主要介绍抛物型方程组的爆破理论以及奇性传播问题下面我们不加证明地 给出其相关的基本概念。 首先引入具有如下初边值条件的二阶抛物型方程； m + 工u = ，( 茹，t ) ，( z ，t ) 1 2 t ， b u = g ( z ，t ) ，( z ，t ) s ，( 2 1 1 ) “( 。，0 ) = ( z ) ， 士q ， 其中l u = 一0 ：l ( 霸t ) 。勺+ ：1b i ( x ，t ) u + c ( 露，t ) u ，b u = n ( z ，t ) 舞+ 6 ( 。，t ) “， 系数口( z ，t ) 6 ( z ，t ) 0 ，且口( z ，t ) + b ( x ，t ) 0 于q ? ，记q t = q ( 0 ，t ) ，昂= 8 q ( 0 ，t ) 定义2 1 一致抛物如果存在常数日 0 ，使得对任意的( z ，t ) q ，和所有的实向量 e = ( 6 ，厶) 尼。，都有 a o ( z ，t ) 矗白o l 1 2 i j = l 则称算子岳+ l 在q r 上是一致抛物的 定义2 2 退化抛物方程如果( 。，t ) 是非负定的，即对任意的( z ，t ) 翰和所有的 实向量e = ( a ，厶) 酽有 ( 。，t ) 6 白0 t j = 1 则称方程( 2 1 1 ) 是退化抛物的 定义2 3 爆破若存在常数t ( 0 0 ，口 0 范围内的实值函数，g 为连续函数，那么我 们在g 1 空间内对于u 0 ， 0 ，考虑弱耦合系统： 啦= u + ，( u ，勘) ， 仇= + 9 ( u ，口) 若满足 ( u ，口) 0 ，且乳( u ， ) 0 ，则我们称此系统为完全耦合的；反之则称之为完 全非耦合的 定义2 7 非局部在如下抛物系统中： u f = a u + ，( t 正，廿) ，仉= 钉+ g ， ) 若实值连续函数，g 满足v ，= v 9 = o ( 即f , g 与z 无关只与t 有关) ，则我们称 ，i 口为非局部的，也称此系统为具有非局部反应项的抛物系统 2 2 基于最大值原理的比较原理以及上、下解方法 本节我们给出在抛物型方程( 组) 中经常使用的一些基本原理和方法 2 2 1 最大值原理和比较原理 最大值原理和比较原理是抛物方程( 组) 的理论基础，通过这些原理可以引出研 究抛物方程( 组) 解的有效工具一上、下解方法，也可以对解的上下界进行估计 由于这些原理在研究问题时经常使用，故在此我们不加证明的给出最大值原理和比较 原理的几种形式 假定( 2 1 1 ) 中，击+ l 是一致抛物的，且满足，6 ，c e ( q t ) ，一t ，( i ，j = i ，礼) 则有如下极值原理成立 ( 1 ) 弱极值原理 定理2 1 假设让( 。，t ) 俨，1 ( q r ) r lg ( 雹 ) ， 倒当c 兰0 ，啦+ l u o ( 20 ) 时，有m a x u = m a x 岛u ( m i n o t t 上= m m s t u ) 一砂当c 0 ，也+ l u o ( 0 ) 时，有m a x 锄u m a x s t u ( m i n 口t7 1 , 一m q s r 札) 8 大连理工大学硬士学位论文 ( 2 ) 强极值原理 定理2 2 假设u ( z ，t ) 0 2 , 1 ( q t ) ng ( 国r ) ，q 是连通区域， 俐当c 三0 ，饥4 - l uso ( 20 ) 且存在( 霉o ，t o ) q t 使u ( x o ，t o ) = m a x o r u ( n l i n 。t u ) ， 则兰c 于q 如。 一砂当c 0 ，地+ l uso ( 0 ) 且存在( 跏，幻) q t 使u ( x o ，t o ) = m a x u2 o ( m i n a ，u o ) ，则u 三e 于q 如 有了强极值原理作为基础，我们就可以给出解决实际问题时常常用到的比较原 理 ( 1 ) 单个方程的比较原理 考虑如下的方程 p u = 啦+ 己= ，( z ，) ，( 茗，t ) 1 0 t ， b u = g ( z ，t ) ，( z ，t ) - 野，( 2 2 1 ) u ( x ，0 ) = 咖( z ) ，z 囝， 其中三u = 一：1 ( z ，t ) q + kb i ( z ，亡) u 。，= 吩，( i ，j = 1 ，死) ，l 一致椭 圆，关于u 是g 1 的，关于z ，t 是h s l d e r 连续的 定理2 3 假设口， g 2 , 1 ( q r ) ng ( 国r ) ，若满足 _ p u z ( x ，t ，u ) p 口一，( z ，t ，u ) ，( z ，o ) q t ， b u b y ， ( z ，t ) s ， u ( z ，0 ) 口( 石，o ) ， z q ， 则有u ( z ，t ) 口( 墨t ) 干q r 又若u ( z ，0 ) 口( z ，0 ) 于n ，则( z ，t ) v ( x ，t ) 于q t ( 2 ) 方程组的比较原理 考虑如下方程组 等+ l v 4 = ( 孔t ，“1 ，u 2 ) ， ( z ，t ) q t ， e u t _ 虫( z ，t ) ，( z ，t ) ， ( 2 2 2 ) u ( o ，0 ) = 如( z ) ，z q ， 其中l i u = 一；。：。壤( z ，) 。+ 冬。哆( z ，t ) u x ，厶是一致椭圆的，且= a i 筹+ ，五关于嘞( j i ) 是g 1 的，关于z ，t 是h s l d e r 连续的，( i ，j = l ，2 ) 定理2 4 假设五关于q 0 ) 拟单调增，且满足 等+ 一饰，慨蚴2 豢“耽一施忱) 鼠u t 鼠让， ( z ，0 ) 仇( 。，o ) ， 9 如，) q r ( z ，t ) 岛 z q ， 苏涵t 个由非局部源耦合的拟线性抛物系统 则有t “( z ，t ) 地( z ，t ) 于0 t 又若q ( z ，o ) 仇( z ，0 ) 于n ，则地( z ，t ) 他( z ，) 于 q t 五为拟单调减的情况类似可得，( t ，j = 1 ，2 ) 注：以上所讨论的极大值原理和比较原理都是在方程一致抛物假设的基础上，然而对 于带有齐次d i l i c h l e t 边界条件的抛物方程( 组) ，上述正性引理的一致抛物条件可以 替换为乏x f _ 1 ( z ，t ) 0 白0 结论仍然成立即，对于退化的齐次d i l i c h l e t 边界条件 的抛物方程( 组) 也存在正性引理( 参见f 4 7 1 定理8 1 5 ) 2 2 2 上、下解方法 下面我们引入上、下解的基本概念和解决问题常用的方法 ( 1 ) 单个方程情况 定义2 8 假设面( z ，t ) ，墅( z ，t ) c 2 , 1 ( q r ) n c ( 国t ) ，若满足 p 豇一，( z ，t ，面) 0 p 宣一，( z ，t ，型) ，( 。，t ) 日t ， b 面一9 ( z ，t ) 20 b u g ( z ，亡) ，( z ，) s r ， 面( z ，o ) 一t 正0 ( z ) o 坠( 。，o ) 一“o ( z ) ，z 矗， 则称面( o ，t ) ，笪( z ，t ) 分别为( 2 2 1 ) 的上解和下解 根据最大值原理和比较原理，我们容易得到如下定理； 定理2 5 设面( z ，) ，型( 。，t ) 分别是( 2 2 1 ) 的上、下解，且，关于u 是g 1 的，关于z ， 是h s i d e r 连续的，则( 2 2 1 ) 存在唯一的解u ( z ，t ) ，且满足面( z ，t ) “0 ，) 墅( z ，) ， 于q r ( 2 ) 方程组情况 定义2 9 假设豇( z ，t ) = ( f i l ( x ，t ) ，奶( z ，t ) ) ，型( 。，t ) = ( 些1 ( z ，t ) ，勘( z ，t ) ) ，若 关于 嘶d i ) 拟单调增，且满足 等+ 厶卧m 虬蚴o 警+ 厶堕一脚 鲰站 ( 。，拈 b 啦一鲰( z ，t ) 三0 且笪t 一仇( z ，t ) ， ( z ，t ) 5 ， 面i ( z ，0 ) 一曲t ( z ) 0 2 丝( 茁，0 ) 一九( z ) ，茁囝 则称百，型是( 2 2 1 ) 的上解和下解 为拟单调减的情况类似， ( t ，j = 1 ，2 ) 根据比较原理，我们容易得銎i 如下定理； 定理2 6 设 ，2 ) 在壳 霹是拟单调增的， 关于q 0 i ) 是g 1 的，又 设豇( z ，t ) = ( 面1 ，) ，面2 ( z ，嘲，笪( z ，) = ( 蛳( z ，t ) ，勤0 ，) ) 分别是( 2 2 1 ) 的非负上、 下解，则( 2 2 1 ) 存在唯一正解u ( 茁，t ) = ( u l ( z ，) ，札2 ( z ，t ) ) ，满足试( z ，) ( 。，t ) 监( z ，t ) 于q t ，( i ，j = 1 ，2 ) 1 0 大连理工大学硕士学位论文 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献 2 8 中第一章和第二章内容，或【4 6 中第三章第四节以及第五章第二节的有关内容 在局部古典解存在时，解的最大存在时间是有限的还是无限的( 即解是在有限时 刻b l o w - u p 还是整体存在) ，在最大存在时间t 0 ，m ，礼 1 ，记q t = n ( 0 ，t ) ，- = a q ( 0 ，t + ) 该系统模拟了两种混合 固体物质的温度或生物种群的密度之间的相互影响和相互作用在很多情况下，带有 非局部增长项的系统反应了人口动力学的现实模型 3 2 存在性定理证明 首先，为了便于讨论，我们对( 3 1 1 ) 作个变换，以后我们主要对变换后的模型 进行讨论令u = u r ，口= ，t = m 1 - ，则系统变为 讹：矿，f u + 竹 仇= 兰”1f a v 聊t “= 口= 0 ( z ，舌) q t ， ( z ，t ) q t ，( 3 2 1 ) ( z ，t ) ， u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，u ( z ，0 ) = t d ( 茹) ，x 晓， 其中r l = 1 一击，r 2 = 1 一，p = p 。o ，q = q 。o ，r = 票，s = a 。o ，咖( 茁) = “器( z ) ，v o ( x ) = w 南( z ) 通过应用正则化方法，我f 1 i 正明了( 3 2 1 ) 解的存在性 1 3 ，、 八舻 口 一 一 z ” 叼 洲小 厂厶十。 苏涵t 个由非局部源耦合的拟线性抛物系统 在这篇文章中，我们还假设初值满足 ( h 1 ) u o ，c 2 + a ( 蟊) ，q ( 0 ，1 ) ； 厂广 ( h 2 ) u o = v o = a u o + 瞎d x o t 5 = a v o - 4 - u 3 d 。一粥= o ，茁a q ； o 擘 ( h 3 ) u o ，u 0 0 ，a u o + 谓d 。一n 嵋，咖+ “3 如一0 ，。q j nj 0 由于在边界“= u = 0 并且m ，仉 1 ，因此系统不是一致抛物的，标准的抛物理 论不能直接使用我们考虑如下的正则化问题 “= 1 ( 让。+ 上嵋如一。+ 工，) ，( 。，t ) 铌， 篙垂n ( + 上啦出一蜞叫；嚣2 2 ) 其中8 ( 0 ，1 ) 并且三充分大易知上述问题存在定义在亩孔上的唯一的古典解 ( ，) ，这里正是解的最大存在时间若“o ，如0 2 + c , ( 磊) ( 0 s 2 ，( h i ) 一( h 3 ) 成立设( l ，。) 和( u 。，。) 是( 3 2 2 ) 的解，相应的解的最大存在时间是正，和霹。那么，u 陇。于 国t 0 ，= 正。正。 = 蝎+ ( t 1 一：) ( 。+ 上吃出+ 三) + ：上( 嚷一吃) 出 一口( ；竹一皑”) + l ( s ：一为) ： 喑+ n ( 。+ 上呓如+ l 晶) z 1 i r ，+ ( 一r ) u 。： 7 1 - 1 打 一。( r - + r ) z 1 i r 。+ ( 一下) 2 】( “押_ 1 ，打) + 叫：上m 1 ，+ ( 1 一r ) 叫产1 叫z 如，( 州) q 而， 互兰 咯z + r 。( 。+ 上毛如+ l s ；) f o 【m 。+ ( t r ) j 2 。1 打 一+ 引f l h ，+ ( 1 一下) 蚓沁如。，打) z + 嘴上睁”叫计1 d r 1w d x ) ( z ，t ) q 而 并且， w = z = s 1 一s 2 0 ，z s 矗u n t = o ) ) 由引理3 1 ，有u 。，。，。，于囝如 口 根据引理3 2 ，3 3 ，我们知道“。，有下界并且关于e 单调对于任意( z ，t ) 国五， 取极限得 札( z tt ) 2 觋u e ( z ，t ) ，v ( x ，t ) 2 她( z ，t ) ( 3 2 - 3 ) e + ue + u 1 5 苏涵：一个由非局部源耦合的拟线性抛物系统 通过标准推理，可得当e 一0 时，( ，) 关于z 二阶导，t 一阶导一致地趋于( 乱，t ，) 并且正一t = s u p 。( o ，1 ) 正又因为 0 2 当( u ( z ，t ) ， ( z ，t ) ) 二骧( ( z t t ) ，( z ，t ) ) 2e ， 贝有对于( z ，t ) 毋，u ，口是连续的因此，我们得出( 3 2 1 ) 的古典解的存在性定理 定理3 1 t 假定( 日1 ) 一( h 3 ) 成立。则由( 3 。2 3 ) 定义的解( 乜，蛰) 是方程组( 3 2 1 ) 的古典 解，解的最大存在时间是t 其中t = + 或者l i r a s u p t r ( 忆( ，t ) | j 。+ ( ，t ) | j o 。) = + 。t 1 时，系统不是一致抛物的。在区域边界出现退化现 象，标准的抛物理论不能直接运用，因而本章研究了古典解的存在性同题 通过对系统进行正则化，讨论正则化方程解的性质，利用单调有界性定理最终得 出了古典界确实是存在的具体结论如下z 若初值满足( h 1 ) 一( h 3 ) ，则由( 3 2 3 ) 定义的解是系统( 3 2 2 ) 的一对古典解，且 最大存在时间是t 1 6 4 系统的临界指标 4 1 问题简介 有了上一章系统( 3 2 1 ) 古典解存在性的基础，这一章我们将对解的奇性进行讨 论，得到了解整体存在和有限时间内爆破的条件通过特征代数方程组的 f 入，用它 的解简洁清晰地刻画丁临界指标 近年来，很多人对于带有非局部源的抛物系统作了研究在第二章中我们对带非 局部源抛物系统的目前发展状况作了详细介绍，在本章讨论中我们主要参考了 6 】和 【1 3 】的结果 4 2 研究结果 为了描述临界指标和系统( 3 2 1 ) 的解的性质，我们引入与系统指标有关的参数 ( o t ，卢) ，满足特征代数方程组 即 ( 1 一弓) ( 晷) 一( ) 高里! p q 一肛，y 日= ! 些 p q 一卢7 ( 4 , 2 1 ) ( 4 2 2 ) 其中 p = m a x ( r ，1 ) ，7 = m a x ( s ，1 ) 并设女满足 一士= 1z n ，西= 0z a n ，鼍# = d ( 4 2 3 ) 易见1 a ，1 芦有相同的符号 我们主要的结论如下： 定理4 1 设d ，卢满足( 4 2 2 ) ，满足( 4 2 3 ) ( i ) 著1 加，1 p 0 ，则( 3 2 1 ) 存在对小初值整体存在，夫初值爆破的解 ( i i ) 若1 a ，1 口 0 ，则( 3 21 ) 存在对小初值整体存在，大初值爆破的解 1 7 苏涵：一个由非局部源耦合的拟线性糖物系统 ( i i i ) 若( 1 加，l 伊) = ( 0 ，0 ) ( a ) 假定r is 1 若a q b r i c 2 1 。押，则解是整体有界的；若矗西i d x n 口，厶妒q d x b c 8 ，则解对大初值爆破 ( b ) 假定r ，s 1 ，矗妒如 1 ，则解对大初值爆破 ( c ) 假定r 1 ，s a 伊，厶c q d x 1 ，则解对大初值爆破 ( d ) 假定r 6 俨，矗曲p d x 1 ，则解对大初值爆破 注，从定理4 1 中，我们得出系统( 3 , 2 1 ) 的临界指标可以简单地描述成( 1 a ，1 伊) = ( 0 ，0 ) 的形式 4 3 临界指标定理证明 在以下部分中，我们将逐一证明定理内容主要利用了构造整体有界的上解和爆 破的下解来证明定理内容 ( i ) 的证明 本部分主要利用了构造整体有界的上解来证明解的整体存在性 证明由1 a ，1 伊 0 可以得出p q 卢，y 下面对r ，墨分情况进行讨论 当r ，8 1 ，则有p q r 5 ，因此存在常数a ，日满足a 0 咖，b l i