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非线性有限元方法及其在石油矿场结构 分析中的应用 摘要 井架在工作中要承担所有钻柱和套( 油) 管的重量，如果其力学性能 不能满足工作要求，由此产生的后果将有可能造成重大财产损失。由于井 架高度较高，且承受的载荷较大，故井架的变形具有大变形、小应变的特 征。因此，要精确地研究井架力学特性，需按照非线性理论对其进行分析 研究。 本文首先建立了j j 9 0 0 3 1 一k 型修井井架有限元力学分析的力学模型； 通过a n s y s 结构分析程序对井架载荷及相应的静态强度、结构稳定性、 结构疲劳强度等指标进行了定量分析，具体内容包括： 1 分析推导了井架结构所受静载荷、工作载荷、自然环境载荷，并给 出公式。按修正的载荷增量迭代方法求解井架结构的线性或非线性变形、 应力。 2 采用“模块化”的软件设计方法，开发了与a n s y s 软件配套的载 荷输入前处理模块、结构疲劳分析模块等，解决了a n s y s 系统后处理数 据文件与外部模块程序的通讯连接。这一技术对有限元数值分析软件更便 捷应用于石油矿场设备具有重要意义。 3 最后通过对j j 9 0 0 3 1 k 井架的有限元数值分析，证明了本文理论和 数值算法的可靠性，褥到了一系列有意义的结论。 关键词：石油井架，非线性有限元，a n s y s 系统程序，结构强度，安 全与可靠性 n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n dt h ea p p l i c a t i o n st o s t r u c t u r a la n a l y s i si np e t r o l e u mi n d u s t r y a b s t r a c t t h ed e r r i c kw i l it a k et h ew e i g h ta n di c a do fa l id r i l ls t i n g sa n dc a s i n g s i ns e r v i c e i fj t sm e c h a n i c a lc a p a b i l i t i e sc a n n o ts a t i s f yt h ew o r k i n g r e q u i r e m e n t s t h er e s u l tm a yc a u s eag r e a ti o s st ot h ee c o n o m y a n d 峙 d e f o r m a t i o nh a st h ec h a r a c t e r i s t i co fl a r g ed e f o r m a t i o na n ds m a l ls t r a i n b e c a u s ej th a sah i g hh e i g h ta n di tt a k e sg r e a tj o a d s s o ，t h en o n l i n e a r t h e o r yi sn e e d e dt oa n a l y z ea n ds t u d yt h em e c h a n i c a ic a p a b i l i t i e so ft h e d e r r i c k f i r s to fa 1 1 t h em e c h a n i c a im o d a iu s e df o rt h ef i n i t ee l e m e n t a n a l y s i si ss e tu pi nt h i sp a p e r a n dt h ea n s y ss t r u c t u r a la n a l y z i n g p r o g r a mi su s e dt oq u a n t i t a t i v e l ya n a l y z et h ei n d e x e s ，s u c ha st h ei o a d s o fd e r r i c k ，t h es t a t i cs t r e n g t h ，t h es t r u c t u r es t a b i l i t y , s t r u c t u r ef a t i g u e s t r e n g t ha n ds oo n d e t a i l sa sf o i l o w s ： 1 t h es t a t i ci o a d s w o r k i n gi o a d sa n de n v i r o n m e n t a i | o a d st a k e nb yt h e d e r r i c ks t r u c t u r ea r ea n a l y z e da n dd e r i v e d ，a n dt h ef o r m u l ai s p r o p o s e di nt h i sp a p e r t h el i n e ro rn o n l i n e a rd e f o r m a t i o na n ds t r e s s o ft h ed e r r i c ks t r u c t u r ea r es o l v e db yt h em o d i f i e di o a d s i n c r e m e n t i t e r a t e d 2 ，u s i n gt h em o d u l a rs o f t w a r ed e s i g nm e t h o d i o a d s - a n a l y s i sa n d f a t i g u ea n a l y s i sm o d u l a rp r o g r a m sw e r ed e v e l o p e d ，w h i c hs o l v et h e p r o b l e mo fc o m m u n i c a t i n gc o n n e c t i o nb e t w e e nt h ed a t af i l e i n p o s t - p r o c e s sa n dt h eo u t e rp r o g r a mm o d u l e a n dt h i st e c h n o l o g yi s v e r yi m p o r t a n tt om a k et h ef e ms o f t w a r em o r ec o n v e n i e n tf o r a n a l y z i n go i l - f i e l de q u i p m e n t s 3 f i n a l l y , t h ep r i n c i p l ea n dt h en u m e r i c a ia l g o r i t h mp r o p o s e di nt h i s p a p e ra r ep r o v e db ya n a l y z i n gt h ej j 9 0 0 3 1 - kd e r r i c k ，a n dg e ta s e r i e so fi m p o r t a n tc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：o i ld e r r i c k n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a n s y s s o f t w a r es y s t e m ，s t r u c t u r es t r e n g t h ，s a f e t ya n ds t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国石油大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名： 嗣汐艇 洲年加月加日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名 导师签名 阴影粜 社 纠心珲 仞月劢日一 珈一r 年，月，驴日一 中国石油大学( 华东) 硕士沦文 第1 章绪论 1 1 问题的提出 第1 章绪论 非线性有限元理论、方法经过近3 0 多年的发展，以计算机硬件、软件 和图形数字化技术的飞速发展为背景取得了相当大的进展“1 。与此同时， 国际上自6 0 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序系 统，对软件的功能、性能，用户界面和前、后处理能力，都进行了大幅度 的改进与扩充，逐渐形成了相对成熟、系列的c a e 商品化软件。这就使得 目前市场上知名的c a e 软件，在功能、性能、易用性、可靠性以及对运行 环境的适应性方面，基本上满足了用户的当前需求，从而帮助用户解决了 成千上万工程实际问题，同时也为科学技术的发展和工程应用做出了不可 磨灭的贡献。目前流行的c a e 分析软件主要有a d i n a 、a n s y s 、 n a s t r a n 、a b a q u s 、m a r c 、m a g s o f t 、c o s m o s 等，在机械、土 木、化工、航天航空和海洋结构工程等领域发挥着越来越大的作用，极大 地提高了相关领域的结构分析、设计水平”。 由于具体结构分析实践的过程中涉及到了一系列复杂的技术难点，如 非线性结构力学模型的复杂性、大型结构非线性分析的庞大计算量、与结 果收敛、稳定相关的网格离散与时步选择等，所有这些均需要针对具体结 构特点，通过大量数值分析实践探讨相关的可靠、高效的方法。 在众多石油钻采设备中，钻修并井架是最重要部件之一。它们是一 种高耸的空间钢结构，安装在井架底座上，高度在3 0 。5 3m 范围之间。其 主要作用是安放天车、悬挂游动系统；承受钻井作业时井内管柱的全部重 量：在钻进时，悬持钻柱，在起钻时，存放卸下的钻柱；在修井时，提升 和存放油管等。由于井架在工作中要承担所有钻柱和套管或油管的重量， 如果其力学性能不能满足工作要求，由此产生的后果将有可能造成重大财 产损失，甚至发生人身伤亡事故，给国家和个人带来不可弥补的损失。因 此，井架安全可靠地工作在整个钻井及修井过程中是至关重要的。 不管是研制新井架，还是对旧井架进行改造，都必须使井架具有良好 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章绪沦 的静、动力特性，才能保证其安全可靠地长时间工作。由于井架高度较高， 且承受的载荷较大，故井架的变形具有大变形、小应变的特征“。困此， 要精确地研究井架力学特性，需按照非线性理论对其进行分析研究。 由于油田勘探开发的需要，打井的深度也日益增加。目前世界上最大 的钻机钻井深度达1 5 0 0 0m ，井架最高有7 4m ，而我国国产钻机的最大钻 井深度仅为6 0 0 0m ，井架高度只有5 4 m ，与国外相比尚有一定差距。因此， 为满足我国油田勘探丌发的需要，研制钻井深度更深的钻机势在必行，从 而也对超高井架的力学特性定量分析提出了更高的要求”1 。 日臻完善的非线性有限元分析模拟技术与模型前后处理c a d 图形技术 相结合，为大型复杂结构的数值分析提供了坚实的技术手段。本文以 j j 9 0 0 3 1 一k 型修井井架的力学特性分析为例，目的在于探讨非线性有限元 在石油矿场结构分析应用过程中的相关问题。 1 2 非线性有限元分析方法概述 从本质上讲，所有固体力学问题都是非线性的，很少有解析解，线性 弹性力学问题只是实际问题的一种简化假定。在有限元分析中，线性化假 设通常包含以下内容： 节点位移为微小量； 材料是线性弹性的； 物体运动或变形过程中，边界条件的性质保持不变。 上述三个假设中的任何一个不满足，都属于非线性问题。有鉴于此， 我们通常把固体力学非线性问题分成三大类，即材料非线性、几何非线性 和边晃条件非线性。 材料非线性 材料非线性是指材料的物理定律是非线性的，即材料的应力应变关系 是非线性的。通常，位移分量仍假设为无限小量，即应变位移间满足线性 关系。 材料非线性问题一般分成两大类：第一类是非线性弹性问题，橡皮、 塑料、岩石等材料的应力应变关系在很小的应变下就表现出明显的非线性 2 中国石油大学( 华东) 硕+ 论立第1 章结论 的静、动力特性，才能保证其安全可靠地长时间工作。由于井架高度较高， 且承受的载荷较大，故井架的变形具有大变形、小应变的特征”。幽此， 耍精确地研究井架力学特性，需按照非线性理论对其进行分析研究。 由于油田勘探开发的需要，打芽的深度也同益增加。目前世界上最大 的钻机钻井深度达1 5 0 0 0m ，井架最高有7 4i t i ，向我国国产钻机的最大钻 升深度仅为6 0 0 0 m ，井架高度只有5 4 m ，与国外相比尚有一定差距。凼此， 为满足我国油田勘探开发的需要，研制钻井深度更深的钻机势在必行，从 而也对超高井架的力学特性定量分析提出了更高的要求。1 。 日臻完善的非线性有限元分析模拟技术与模型前后处理c a d 图形技术 相结合，为大型复杂结构的数值分析提供r 坚实的技术手段。本文以 j j 9 0 0 3 1 - k 型修井井架的力学特性分析为例，目的在于探讨非线性有限元 在石油矿场结构分析应用过程中的相关问题。 1 2 非线性有限元分析方法概述 从本质上讲，所有固体力学问题都是非线性的，很少有解析解，线性 弹性力学问题只是实际问题的一种简化假定。在有限元分析中，线性化假 设通常包含以下内容： 节点位移为微小量； 材料是线性弹性的： 物体运动或变形过程中，边界条件的性质保持不变。 上述三个假设中的任何一个不满足，都属于非线性问题。有鉴于此， 我们通常把固体力学非线性问题分成三大类，即材料非线性、几何非线性 和边界条件非线性。 材料非线性 材料非线性是指材料的物理定律足非线性的，即材料的应力应变关系 是非线性的。通常，位移分量仍假设为无限小量，即应变位移间满足线性 关系。 材料非线性问题一般分成两大类：第一类是非线性弹性问题，橡皮、 塑料、岩石等材料的应力应变关系在很小的应变下就表现出明显的1 r 线性 塑料、岩石等材料的应力应变关系在很小的应变下就表现出明显的非线性 ! 里亘苎查兰! 兰查! 堡主堡奎 誊 性质。 第l 章绪论 非线性弹性问题的一个重要特点是所有变形卸载后都是可以恢复的； 第二类是具有不可逆的塑性变形的材料非线性问题，如弹塑性问题、粘弹 塑性问题等，岩土工程中的软粘土就属于这类材料。 几何非线性 几何非线性问题一般指的是大位移问题，或者结构内部的应变较大， 或者结构经历了较大的刚体位移( 如平动或转动) 但应变分量仍假设为微 小，此时假定应力应变关系仍然是线性的。大多数的大位移问题都属于 后者，只有在材料出现塑性变形时，以及类似橡皮这样的材料才会遇到大 的应变。一般的，几何非线性问题的应变和位移间不再满足线性关系。 几何非线性问题的另一个表现是，平衡方程必须相对于预先未知的变 形后的几何位置给出。实际上，所有问题的平衡都是在变形后的位置上达 到的，因此必须用已变形的位置写出它的平衡方程。在弹性力学中，由于 假设位移很小，且假定问题的基本特征不因变形而改变，因此不需要严格 区分平衡方程是基于变形前还是变形后的位置写出的。必须理解，位移的 大小并不是区分几何线性和非线性的惟一标准。考虑一块很大的具有小曲 率的板在所受压力下的“突然翻转”，平板的刚度在变形时会发生剧烈变 化。当板突然翻转时，刚度变成负的。这样，尽管位移的量值相对于板的 尺寸很小，但具有明显的几何非线性。外载荷不大时，图( a ) 所示结构 近似为线性结构是合理的，但图( b ) 所示结构必须由变形后的几何位置 中国砸油大学( 华东) 硕士论文 第1 犟绪论 写出。 边界非线性 边界非线性问题的菲线性效应是由予边界条件随物体的运动发生变 化所引起的。其中最典型的例子是接触问题和随动荷载问题。实际上，几 乎所有力学问题都或多或少遗存在边界菲线性，特别是在支座连接处，只 是大部分情况下，由于这种非线性对结构的内力和变形影响很小而被忽略 了。而机械加工过程中的边界非线性效应往往是不可忽略的。 关于非线性问题的分类，有两点是必须注意的： l 、不可能存在一个骥确、不变的定量标准可以作为材料、几何或边 界非线性的判断依据。分析人员必须依据实际的工程问题进行判断。 2 、实际的非线性问题很难简单地归纳为某一类非线性，一般的情况 是，物体的位移和应变都不是无限小量，本构关系也是非线性的，同时边 界条件也可能随变形的发展而改变，这就大大地增加了问题分析的困难。 为简化分析，抓住主要的非线性影响因素，将一些对物体运动和变形影响 不大的非线性因素线性简化是必需的。 1 3 本文主要内容 为满足油田修井井架更新换代的要求，2 0 0 1 年中原石油勘探局特种车 辆修造厂开发了j j 9 0 0 3 1 - k 修井井架。该井架具有性能好、承载能力强、 单位承载负荷质量小等特性，近年来陆续在国内油田投入使用。由于设计 时力学定量计算与强度评价工作欠缺，在使用过程中出现了个别部位刚度 弱的问题。此外，这1 2 年来，随着开发野外修井作业市场的需要，用该 井架能满足2 0 0 0 m 井深的修井作业要求，其强度及力学特性如何，如何迸 一步提高其承载能力等已经成为现场急需解决的问题，必须从理论和实践 上予以解决。因此，开展j j 9 0 0 3 1 - k 修井机强度及力学特性及承载能力评 定研究，具有重要的理论意义和实用价值。 本论文在对非线性有限元理、方法的基础上，以j j 9 0 0 3 1 k 修井井架 的力学特性分析为例，应用限元分析软件a n s y s 对井架进行了静力、模态、 瞬态动力、稳定性等分析，得到了该井架主要的力学特性指标，为井架及 中国石油太学( 华东) 顶士论文 第1 章绪论 新井架承载能力和可靠性评估及实际井架的应力变形测量提供了重要参 考。 总结起来，本文的丰要研究工作有： 简要回顾与总结了非线性有限元理论、方法的基本概念，探时了 在井架结构数值分析中的应用技术： j j 9 0 0 1 3 1 - k 型井架结构的静力分析 用i d e a s 大型有限元程序对该井架进行静力分析，主要包括井架结构 强度、刚度分析，找出井架在设计中可能存在的刚度不足部位，并给出具 体的解决办法与方案： j j 9 0 0 1 3 1 - k 型井架大腿截面的优化设计 从强度、稳定性方面对现有的井架进行承载能力研究，通过优化设计 井架大腿截面尺寸，提高该井架的承载力： j j 9 0 0 1 3 1 - k 型井架承载力的安全评定 对该型井架进行现场动态应力测试，并用a n s y s 软件对井架结构计算 仿真，并进行承载力的安全评定。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架议计分析方法 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 2 1 坐标描述及相关的应力、变形概念 物体的变形和运动是绝对的，但对物体运动的认识和描述只能是稻对 的，即只能从一定的参考坐标系来描述。采用不同的坐标参考系，对变形 前后的各力学量，就有不同的表达方式。 图2 1 拉格朗日坐标和欧拉坐标 2 1 1 拉格朗日坐标和欧拉坐标 1 两种坐标描述方法 在本文随后的内容中，按连续介质力学的习惯写法，通常拉格朗日坐 ( l a g r a n g i a nc o o r d i n a t e s ) 简记为l 坐标，而将欧拉坐标( e u l e r j a n c o o r d i n a t e s ) 简记为e 坐标。 垫整鳢旦煎逵； 物体是质点的集合，简称为质点系。每个质点可用一大写矢量牙或其 分量x ，来识别和标记。最简单的是选该质点的初始位置为x ，称为拉格 朗同坐标，也叫物质坐标或随体坐标。不同质点有不同的物质坐标，不同 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 的物质坐标代表着不同的质点。 如把物体开始变形和运动的时刻称为初始时刻，那么拉格朗日坐标就 是变形和运动开始之前质点的坐标，所以拉格朗日坐标具有原位( 原时) 的特点。 以拉格朗日坐标作为自变量，把各个物理量表示为拉格朗f j 坐标的函 数，并研究这些函数变化的规律，称之为拉格朗日描述。 墼撞描述： 质点置因物体变形和运动，不同时刻将占据空间不同位置。用小写的 矢量囊或其分量x 。来表示这空间位置，称之为欧拉坐标，也叫空间坐标。 所以欧拉坐标表示的是变形和运动过程之中质点的坐标，因此具有现位 ( 即时) 的特点。 以欧拉坐标作为自变量，把各物理量表示为欧拉坐标茸和时间t 的函 数来研究它们变化规律的，称之为欧拉描述。 2 两种坐标的关系 同一时刻，不同质点占据空间的不同位置，反之，不同位置( 由连续 性假设) 都有不同质点占据。因此，拉格朗日坐标和欧拉坐标之间有确定 的对应关系： x = x 辑，f ) ，x ，= x 。( x l ，x 2 ，x 3 ，f ) r 2 - 1 、 牙= 膏( 工，f ) ，x i = x a x a ，x 2 ，x 3 ，t ) 前式表示在时n t 位于空问位置r 处的是哪一个质点，后式表示在时刻f 质 点牙占据着空间的那一位置。 取，= 0 时质点的空间坐标为物质坐标，即 x = 并( 贾，o ) ，x i = x i ( 一，x 2 ，x 3 ，0 ) ( 2 - 2 ) 由于固体变形前质点有明确的位置，因此固体力学一般都采用拉格朗 日坐标，但流体要以变形和运动之前质点的位置作为参考坐标就很不方 便，因此流体力学中般都采用欧拉坐标。 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 3 质点的位移和运动 不同质点的位移一般不同，形成位移场。以。代表质点x 。的位移，显 然，在置坐标，位移表示为 砖( ，x 2 ，x 3 ，f ) = x i x i ( x l ，x 2 ，x 3 ，t ) 而在坐标位移表示为 u i ( 工1 ，x 2 ，工3 ，f ) = ( 五，x 2 ，x s ，f ) 一置 即在毋坐标、脞标下分别有： 五( 一，x 2 ，x 3 , t ) = x i 一“i ( x i ，x 2 ，x 3 ，) ( 2 3 ) 坼( 五，恐，为，t ) = 而( 五，x 2 ，玛，t ) 一五 式中i = ，2 , 3 ，所以上面每个式子都代表着3 个方程。u ，是石，在时刻啪对 于t = 0 时的位移。由于研究变形的几何性质时总是在固定瞬时r 进行分析， 因此f 只是一个参数，为简单起见，可将，略去。 质点贾的速度荦和加速度a 是函数量( 贾，f ) 在足固定的情况下对时间f 的一阶和二阶导数，即 寸= 面d 2 = 昙i 承，t ) l 又 ( 2 _ 4 ) d fa ，、。“ 扣案= 鲁娥t ) l t 又 z - d ) a = 7 = i x l ，o kj 动& 2 、。“ 式中符号d d t 称为物质导数。 以表示与质点贾相对应的一个物理量，例如速度、应力等等。庐可 以写成= 厂( j ，f ) = g ( i ，r ) 。函数厂和g 分别称为物理量庐的物质描述和空 闻描述。 物理量庐对时间f 的导数应等于 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 鲁= - 未f ( 2 ，f ) k ( 2 - e ) 当以的空间描述g ( 王，f ) 代入时， 告= 鲁脯也+ 警掣 ：塑+ 矿堡 a ta i 式中a 西表示空间几何点x 保持不变时对时间的导数，它称为空间导数， 由此得 丝；塑+ 寸塑( 2 7 ) d f研穰 上式表达了质点牙的物理量在两种坐标系中分别描述时，物质导数与空 间导数之间的关系。 以中表示物体某一部分的物理量，并设它是矽的体积分，即 中； d y 。 = l 似，f ) d r ( 2 - 8 ) = l g ( 雾，t ) d v 式中积分限表示物体在物质坐标系( 或参考构形上) 的体积；v 表示在 空间坐标系中的体积，显然k 是变化着的。 m 对时间的导数可写为 主= 告l 朋，r ) d r = 哟d 肪y d 矿 ( 2 _ 。) 也可写为 中国石油大学 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 毒= 旦d tl 腑) d 矿 ( 2 _ 1 0 ) 。、。 考虑到体积v 的变化，当时间由r 增至f + 出时，y 相应地变为v + a v ， 则 茜胁即砂 2 l i m 0 f _ l f ，g ( 量，f + f ) d 矿一l g ( 量，f 砂】( 2 - 1 1 ) 2 牌古e 【g ( 量, t + a t ) d v 一撕，f ) l a y + 鹄玄j i ，施h 出) d r 此式右端第一项积分即i , ( o g o t ) d v 。第二项积分中y 是物体的边界面s 在f 时间内扫过的体积。以嬲表示s 上的微小面元，n j ( j = 1 ，2 ，3 ) 表示订 的外法线分量，v ，为d s 的速度分量则有 d v = a g n j d t d s 于是得 l ；i m 。1 f 。f ，g ( 贾，f + f ) d 矿= 量g ，f ) v n i d s 再将散度定理代k ，得 孵嘶船= 专c 舶炒= l 鹏考+ g 考炒 式中用了求和约定。最后得到 告胁删矿 = j ，尝+ 谤+ g 筹炒= f 尝+ 脚砂 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 式中讲，腼表示速度矢量口的散度。所以 盂= l 丝d t 肌l ( 堡d t + 妒加矽矿 ( 2 1 2 ) 、 77 此式称为输运公式。它表达了物体某一部分物理量。的导数在两种坐标系 中的关系。 2 1 2 连续介质变形、应变与应力 1 变形描述 以户( 霄，t ) 表示变形梯度，它定义为 f ( 牙，f ) = 望d x ( 2 1 3 ) 由此式可以看出，它表示了物体运动和变形过程中任意质点贾与其相邻质 点在空间位置上的差异。户的分量为f ，为 乃吲砧) = 幽筹必( 2 - = 而，( f ，= 1 ，2 ，3 ) 式中符劫表示对x 。的偏导数。变形梯度户是一个二阶张量。 2 应变张量 物体不论何种形形态，都有一个共同点，就是质点间距离改变，所以 可用质点间距离的变化来度量变形。 考察物体在两个时刻的位置，一是初始时刻，这时拉格朗日和欧拉坐 标重合，另一个是给定时刻，例如变形结束时。由于时阃给定了，因此f 不 再是变量，于是取笛卡尔坐标时 五= 以( x l ，x 2 ，x 3 ) ( 2 1 5 ) x i = x d x l ，也，玛) ( 2 1 6 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 考虑初始时物体内相邻的两个质点尸( x ) 和q ( x + d x ) ，这两点l 司的距离 ( 即线段冠的长度) 用d s 。表示，在时刻t ，p ( 贾) 变到了尸( 牙) 。q ( x 一+ d x 一) 变到了q ( 牙+ 新) ，变形后两点间的距离( 即线段可的长度) 用出表示。 下面分别用拉格朗日坐标和欧拉坐标来描述变形。 擅搓鳇旦虐变韭量塑墼控廑銮韭量： 在矬标下， 鼍( 墨，局，玛) = 墨+ u i ( 置，也，玛) ( 2 1 7 ) 而在占坐标下， 置( 均，娩，恐) = x i u i ( x l ，x 2 ，x 3 ) ( 2 1 8 ) 设上述函数连续可微，则在唑标下， 蛤急d x j = 熹( 五蚺) 吗 = ( 呀+ 瓦o u i ) 吗 因此有关系： 毒o x = 屯告 i o a x ； 在脞标下， 峨。考呜 。， 2 毒。一一，) d x j 2 ( o 一摹) 钙 类似有关系： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理遥型架设计缝! 壁! ! 堕 坚：瓯一亟 o x j= 呶j 所以，线段面的长度变化在厶脞标下可分别表示为： d s 2 = 出i d c i = 庙c 盘j = 嘞c 惫吸，c 善嘶， 屹1 8 = 堕o x k 熹呶码竭“ 螭t 锻趟i = 6 i i d x 趟i 吲等如譬嘶， 。2 岫 ：磐笋呶嘲 为明显对比和区别两种描述，可将下标也分为大写和小写，但一般无 需对比时仍一律用小写，于是在三坐标下， d s 2 一商 = ( 堕瓦a x i o x k 一) 趔置啦 2 删 、毗。 =(瑟嫠一jij)dxldxjoxo x 、 ， 而在正举标下， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 d s 2 一d s ； ：( 勃一o x e 2 2 2 6 n o 凳l _ ) d x k d x t v kv t = ( 吩一警墼o ) 嘶呜x7 融； i 7 定义：在锉标f d s 2 一凼；= 2 勤妈妈 ( 2 2 3 a ) 在脞标下 d s 2 一幽；= 2 r l o d x i d x j ( 2 2 3 b ) 令 知= 三c 薏薏瑚 z a ， r l o = 三c 岛一警警) 协z s ， 2 j 嗡一蔷蔷) “ 于是有 知= 三+ 静( + 翔刊。， = l ( u j , l + u l , j + u x j u x j ) 同理可得 酽弦c 醅一警蝓一釉。， = l ( u j , i + u i , j + ，f ，j ) 因为出2 一商是标量，鹕d l 和如吼都是二阶张量，因此，根据商法则， 可以判断易和j 7 ：f ，都是二阶张量。 1 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 厶叫格林有限应变张量( g r e e n ) ，叫阿尔曼希有限应变张量 ( a l m a n s i ) 。可以把知和分别分解为线性和非线性两部分，即： 在三坐标p ， 知；f o + 委甜k ，“k ，l ， ( 2 2 8 ) 在脞标下， f l u ：勺一委u k , i ( 2 _ 2 9 ) 其中线性部分为 白：i 1 ( 幻，+ “，) ( 2 3 0 ) 勺= 丢( “u + ”) ( 2 _ 3 1 ) 交换下标即可知 白= 勃，白= 勃 ( 2 3 2 ) q 0 2 t l j i s 目5s j i 以小写希腊字母 表示分量为如的二阶张量；t 1 表示分量为r l ) 的二阶张量； 表示其分量为“的二阶张量，6 表示分量为岛的二阶张量，则有 善7 = 量，= f ，r r = r ，7 = s ( 2 3 3 ) 因此它们全都是二阶对称张量，并非只有线性部分才是对称张量。 应变张量的对称性纯粹是一个几何结论，在得出这一结论的过程中， 并未要求小变形。更未涉及应力张量。 如果物体无变形，只有刚性运动，则西= d s o ，因此，这时毛和巩全 都为零。 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 小变形 如果对所有的t _ 都有i u i , j i 。l ，从而可以忽略其平方项和乘积项以及 二阶以上的偏导数，这时，线元的伸长率和两线元之间夹角的变化( 即线 元的旋转) 都很小，故称为小变形。 在小变形时两种描述方法没有差别。 因为 x t = x i4 - 钍i o u k ：一o u k 堕 叛ia ) c i 毅i = 警毒( 置训 融la x i ”“ = 警即簧) ( 2 _ 3 4 ) 豳7 烈7 ：鳖 一o u k o u i 缸j 瓠ia x j = 筹+ 警喏每， a x j a ) c i 、瓠ia x j o u k 融i 同时，因略去二阶小量，有关系 专u 锚毛u lt u 锱s q 所以小变形时 芎u “q q “u 8 q 由 巧嗍名当 得 j q 口* 去y i 1 6 中宴石油大鬯( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 所以小变形有 专l j4 鼍y 口q n t 二3 5 ) 也就是说，d , 变n n 格林有限应变张量和阿尔曼希有限应变张量的线性部 分当i _ ，时都代表角变形的半。 3 应力张量 在小变形情况下，通常我们定义；= 鲁= 慨箬为总应力矢量，其 中a 尹为作用在变形体表面“上的压力。由于是小变形小应变，在研究应 力时，并没有考虑到变形前后形态( 面积) 的变化，也没有考虑到内力作 用方向，在变形前后是不同的。因为这种变化很微小，可以略去不计，即 d f ：d f o( 2 3 6 ) d 4 飙 式中d 芦o ，d 芦和刎分别为变形前后内力和微元面积。 但是在大变形( 大应变) 之下，变形前后，微面积飙、d a 的变化不能 不予以考虑，而且d o 、d 的方向也不相同。应力张量一般采用三种不同 的定义，即柯西应力张量( c a u c h y ) ，拉格朗日应力张量( l a g r a n g e ) 和第 二比奥雷一克希霍夫( s e c o n d p i o l a k i r c h h o f f ) 应力张量，以下仅对前两 者分别说明之。 担酉廛左壅量： 采用变形后的微面积d a 和变形后的内力d f 来定义微面上的应力，同时 是以变形后的坐标作为基准，即定义应力矢量为d 髟。 ， 根据微元体的平衡，显然d 尹在三个坐标方向上的分量办：与平行于坐 标方向微元面上的应力分量盯。之间，应有关系； 中国石油火学( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 奶= 町，呜 ( 2 - 3 7 ) 此式通常称为柯西应力公式，其中剃，为任意斜面d 4 在三个坐标轴；6 - n 上 的投影。 由上述定义得到的应力张量，称为柯西应力张量，也称为欧拉应 力张量。 控揸塑旦廛左送量： 假设变形前作用在微面上的内力峨，与交形后作用在它上面的应力 d 矿，大小方向都相同，并采用变形前的微面积飙和变形前的( 也就是变 形后的) 内力d 一0 ( = d f ) 来定义应力矢量，即应力矢量为 最| 氓= d _ m 。 考虑锾元体的平衡，若任意斜面上钓内力沿坐标被方向的分量为瓯， 垂直坐标轴微面砜，上的应力为巧，厦有 蜗。= 奶= 巧弛， ( 2 _ 3 8 ) 我们称l 为拉格朗日应力张量，有时也称为第一比奥雷克希霍夫 应力张量。 2 2 几何非线性有限元处理方法。” 如上所述，在几何非线性有限元法中可以按e u l e r 描述，用c a t h y 应 力与a l m m s i 应变表示的几何方程、本构方程和虚功( 率) 方程；也可以 按l a g r a n g e 描述，用p i o l a k i r c h h o f f 应力与g r e e n 应变表示的几何方程、 本构方程和虚功( 率) 方程。 首先，在此只研究固体力学问题中的非线性有限元法，所以只限于 l a g r a n g e 描述。对于所建立的几何非线性有限元方程，一般用混合法求解。 中国夏油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 如果我们把求解过程中的每一增量步看成是变形过程中的每一增量时间， 并让l ，2 ，3 ，i ，i + l 增量步的初始时间与0 ，a t ，2 a t ，f ，+ f 时刻一一对应， 那么每时刻都对应一个构形，从而每一增量步都对应两个相邻构形。由混 合法逐步求解过程可知，求解到第i + 1 增量步时，已有了】，2 ，3 ，i 增量步 的结果，也就是说求解，+ f 时刻的构形时，o ，a t ，2 a t ，r 时刻是已知的。 因此这些已知的每一构形都可以作为l a g r a n g e 描述的参考构形。显然，把 未变形的初始时刻( 0 时刻) 构形和前一时刻( t 时刻) 构形作为参考构形 最方便。在l a g r a n g e 几何非线性有限元法中，若以初始构形为参考构形， 则称为全l a g r a n g e 法( t o t a ll a g r a n g e ) ，简称z 三法：若以前个相邻构 形为参考构形，则称为修正的l a g r a n g e ( u p d a t el a g r a n g e ) 法，简称u l 法。 下面以三维大变形为例，分别建立与两种方法相对应的有限元分析公 式，最后加以比较。 2 2 1z 上法有限元公式 1 应变增量及其分解 由混合法逐步求解公式可知，在第f 增量步，若用 、 占) 和 “ 、 e ) 以及 a “ 、 e 分别表示f 时刻和f + f 时刻的位移、应变以及位移增量、 应变增量，则已知 、 f ，并求得 ” 、 e 后便得 m = m + 甜) ( 2 - 3 9 ) e = + 舡) 式中， 1 9 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 e ) = 【岛1 岛2 e 3 3 2 e 1 2 2 局3 2 e 3 1 】7 e ) = 【s l l 龟2 岛3 2 白2 2 龟3 2 白1 】r a e ) = 【蝎l e 2 2 a e 3 3 2 蝎2 2 屿3 2 蝎1 】7 若用e 表示初始构形任一点的l a g r a n g e 坐标，则： e i l 。e i l s n 这里i i 不求和，i 或i = 1 ，2 ，3 。 = 陪+ 薏等m 业o r 2la 巧巧a 巧j2 lj f 2 4 0 ) 2 a e u = 2 一2 e l s ：f 垫+ o a u _ _ _ z i + 盟垫+ 业鲤1 2 4 1 la 巧 a 巧a 巧a 巧 a 耳a 】= ，j + 瞪瓦o a u k ) 忙加 上两式中第一个括号内为线性项，第二个括号内为非线性项。用峨和 础分别表示线性和非线性应变增量，则 进一步 式中， a e i j = 觇l j + 址甚 龃l j = 缱恐+ 龃静 ( 2 - 4 2 ) ( 2 4 3 ) 盗) 丝奶罄 中困石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 上式的矩阵形式为 世 = a e ) + 世 ( 2 _ 4 4 ) 此q - m “ ( 2 4 5 ) 世也 - 】 臼) ( 2 4 6 ) 2 有限元方程的形成 按形函数插值，单元应变及其增量为： = 【 。 a u _ 】 “ 8 相应的应变矩阵为 a e = 【b 】 甜 8 ( 2 4 7 ) 式中 【b 】- 【既h 爵i 设单元应力及其增量为 丁) = ( s ) + r ) 又设连续介质的物理本构关系为 s ) = d ( 2 4 8 ) 则应力增量与应变增量的关系为 ( r = 【d 】 衄 f 2 4 9 ) = d 】( 【吃】+ 碥 ) “ 8 单元增量刚度方程： ( 蚶+ 针“t 厅) 8f 2 _ 5 0 ) = ， 8 + 。- d 8 式中， 。】。为线弹性刚度矩阵， k o 8 为几何刚度矩阵，【岛】8 为大位移刚度 2 巾国石油大学( 毕东) 硕士论文 第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 矩阵， g 。为体面力节点载荷， r 9 为初应力节点力。最终得到总体增量 刚度方程： 【足】 “) = 尸) 一 尺 ( 2 5 1 ) 2 2 2 鼓l 法有限元公式 1 应变增量及其分解 用乙表示t 时刻构形任一点l a g r m a g e 坐标，则仿丁- 三法，只需将r 换 为z ，即可。 2 有限元方程的形成 与7 1 上法不同的是t 时刻单元应变为零，所以f + 出时刻单元应变就是 单元应变增量，第二p i o l a k i r c h h o f f 应力就是c a u c h y 应力。于是 e ) = a e ) = “ 。 ( 2 - 5 2 ) 应力张量相应表示为 t = 仃) + 7 t ) ( 2 - 5 3 ) 其它同r 工法。 3 7 = l 崴与髓法的比较 两者都是以已知构形为参考构形的l a g r a n g e 描述方法，都是由第二 p i o l a - k i r c h h o f f 应力和g r e e n 应变变量形成有限元方程的，所以二者在本 质上没有区别。丁上法以初始构形为参考构形，u 法以前一个相邻构形 为参考构形。在求解过程中，初始构形始终不变，相邻构形却不断改变。 2 2 3 非线有限元方程求解方法” 非线性有限元分析最终都会得到与方程式( 2 5 1 ) * h 类似的非线性代数 方程组，代数逐步递增载荷和平衡迭代作为两种高效的数值分析方法得到 了日益广泛的应用。 一种近似的非线性求解是将载荷分成一系列的载荷增量。在几个载荷 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章非线性有限元理论与井架设计分析方法 荷步内或者在一个载步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的求解 完成后，继续进行下一个载荷增量之前程序调整刚度矩阵以反映结构刚度 的非线性变化。 f 图2 _ 2 ( a ) 增量载荷求解 f u 图2 2 ( b ) 全牛顿一拉普森迭代求解 遗憾的是，纯粹的增量近似不可避免地随着每一个载荷增量积累误 差，导致结果最终失去平衡。如图2 2 ( a ) 所示。 牛顿一拉普森平衡迭代克服了这种困难，它迫使在每一个载荷增量的 末端解达到