（基础数学专业论文）加权laplacebeltrami算子及相关问题研究.pdf

摘要 本文考虑完备黎曼流形上加权l a p 【8 | c e i b e l t r a 诚算子，如权热方程以及相 关几个问题 利用加权l a p l a c i a n 比较定理讨论了加权体积的增长，特别，讨论了在 r i c h e s s h 一磊f b v h 固v 一( m 1 - + 1 r ) 2 k o ( 1 ) m n1 十r 的条件下加权体积增长：进一步，证明了关于c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解的一个结 果。 考虑了加权热核的梯度估计，h a r n a 文不等式，借助于体积增长的结果得 到了在( i ) 的条件下加权热核协变导数的积分估计，并证明了在此条件下加 权l r j e s z 变换的几乎有界性。 在加权线性热方程以及m o d 曲率张量有负下界的两种情况下定义了熵，得 到了熵的单调公式，在后一种情况下得到了相应的微分不等式，并借此估计热 核的下界，我们还指出熵与流形的几何性质之间的关系，证明了在熵有下界情 况下加权体积具有点态欧氏体积增长 最后估计了闭的黎曼流形上加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子第一非零特征值的 下界，讨论了谱隙与m 维b a k r y - e m e r y 曲率张量的关系，并证明了双曲空间上 热核加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的紧致分解性 关键词：加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算予，加权热方程，加权热核，r i e s z 变换，几 乎有界，c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解，体积增长，梯度估计，h a r n a c k 不等式，熵公 式，微分不等式，点态欧氏体积增长，谱隙。紧致分解 a b s t r a c t 黜p a p e r f o c u s e so nt h ew e i g h t e dl a p l a c o - b e l t t a m io p e r a t o r , w e i g h t e dh e a t e q u a t m na n dr e l a t e dp r o b l e m so nac o m p l e t em e m a u n i a nm a n i f o l d u s i n gw e i g h t e dl a p l a c i a nc o m p a r i s o nt h e o r e m ，w ed j s c u s sa b o u tw e i g h t e d v o l u m eg r o w t h ，i np a r t i c u l a r ，o nt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ： m c h e s s h 一熹v 危圆v 一1 ( m 干- 1 r ) k o ( 2 ) m n十r m o r e o v e r w ep r o v ear e s u l ta b o u tc a l d e r 6 n z y g m u n dd e c o m p o s i t i o n w ec o n s i d e rt h eg r a d i e n te s t i m a t e ，t h eh a r n a c ki n e q u a l i t yo fw e i g h t e dh e a t k e r n e l o nt h ec o n d i t i o no f ( 2 ) w eg e ti n t e g r a le s t i m a t eo fw e i g h t e dh e a tk e r n e l 8 c o v a r i a n td e r i v a t i v ew i t ht h er e s e to fw e i g h t e dv o l u m eg r o w t ha n dp r o v et h a t w e i g h t e dr i e s zt r a n s f o r m a t i o ni sa l m o s tb o u n d e d i nt e i sp a p e r 砚g i v et h ed e f i n i t i o no fe n t r o p yi nt h ef o l l o w i n gt w oc a s e s ： w e i g h t e dl i n e a rh e a te q u a t i o na n dr i c c ic u r v a t u r et e n s o rb o u n d e df r o mb e - l o w ，t h e nw eg e tt w om o n o t o n ef o r m u l a sa n dt h ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i 锣o nt h e l a t t e rc r c u m s t a n e e ，w i t ht h e s er e s u l t s ，w en o to n l ye s t i m a t et h el o w e rb o u n do f h e a tk e r n e la n dp o m to u tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h ee n t r o p ya n dt h eg e o m e t r i c p r o p e r t i e so ft h em a n i f o l d ，b u ta l s op r o v et h a tw e i g h t e dv o l u m eh a sp o i n t w i e e e u c l i d e a nv o l u m eg r o w t ho nt h ec o n d i t i o nt h a tt h ee n t r o p yi sb o u n d e df r o m b e l o w f i n a l l y , w ee s t i m a t et h el o w e rb o u n do fw e i g h t e dl a p l a c e - b e l t r a m io p e r a t o r s f i r s tn o n z e r oe i g e n v a l u eo nac l o s e dr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，d i s c u s st h er e l a t i o n b e t w e e nt h es p e c t r a lg a pa n dt h em - d i m e n s i o nb a k r y - e m e r yc u r v a t u r et e n s o r a n dp r o v et h a tt h eh e a tk e r n e lw e i g h t e dl a p l a c e - b e l t r a m io p e r a t o rh a sc o m p a c t r e s o l v e n t0 nt h eh y p e r b o l i cs p a c e k e y w o r d s ：w e i g h t e dl a p t a c e - b e l t r a m io p e r a t o r ，w e i g h t e dh e a te q u a t i o n ，w e i g h t e d h e a tk e r n e l ，r i e s zt r a n s f o r m a t i o n ，a l m o s tb o u n d e d ，c a l d e r d n - z y g m u n dd e c o m p o s i - t i o n ，v o l u m eg r o w t h ，g r a d i e n te s t i m a t e ，h s r n a c ki n e q u a l i t y , e n t r o p yf o r m u l a ，d i f f e r e n t i a l i n e q u a h 饥p o i n 柏豳ee u c l i d e a nv o l u m eg r o w t h ，s p e c t r a lg a p ，c o m p a c tr e s o l v e n t 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了 明确的说明并表示谢意 作者签名日期：! 圭：! ：竺 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将 学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权 将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名导师签名：巡叁女 日 期：垒2 ：= 毕 日期 2 曲7 ，b ，甲 第一章引言和主要结果 对l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的研究一直是几何分析中的重要课题，l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的定义依赖于测度，我们常常考虑比r i e m a n n - l e b e s g u o 测度如 更为一般的测度劫= 动d ，其中h ( z ) 是流形上的光滑函数，这样的测度 称为加权测度，h ( x ) 为权函数有了加权测度，就有新的整体内积。在新的 整体内积下，可以定义外微分算子的伴随算子，于是会得到相应于加权测度 的l a p l a c e - b e l t r a m i 算子，称之为加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算予 研究加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的一个原因在于其与r i e m a n n - l e b e s g u e 测 度下的l a p l a c e - b e l t r a m i 算子具有很多类似的性质，例如在考虑算子的本性自 伴性，特征值估计，l a p l a c i a n 比较定理，加权体积比较定理，热核估计等等问 题的时候。都能看出它们之间的相似性。 研究加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的另一个原因是要考虑其与r i e m a n n - l e b e s g u e 测度下的l a p l a c e - b e l t r a m i 算子之间的不同处一方面，如果取好 的权函数，相应的加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子可能会具有更好的性质，比如，在 完备非紧黎曼流形上的谱隙，算子的紧致分解等等；另一方面，我们往往借助 于m 维( 一般m 大于流形的维数，可能为c o ) b a k r y - e m e r y 曲率张量条件来考 虑相应的问题，这就会涉及到“维数”的不同，在第三章我们将说明这一点 本文首先考虑了加权l a p l a c i a n 比较定理，借此研究了在m 维b a k r y - e m e r y 曲率张量满足各种条件下的加权体积增长，并证明了关于c a l d e r s n z y g m u n d 分解的一个结果；接着得到了加权热核协变导数积分的上界估计，借此证明 了加权p d e s z 变换的几乎有界性；文章还考虑了在加权线性热方程以及r i c c i 曲率张量有负下界的两种情况下的熵公式；最后在闭的黎曼流形上得到加 权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子特征值估计，非紧流形上的谱隙以及双曲流形上热核 加权l a p l a c e - b e k r a m i 算予的紧致分解性 以下具体介绍本文的主要结果。 1 1 加权体积增长 熟知的，在完备n 维黎曼流形上，如果r i c c i 曲率张量有下界，则有相应 第一章引言和主要结果 2 的l a p l a c i a n 比较定理以及体积比较定理，如果用、，o l ( 曰p ，r ) ) 表示2 为心，r 为 半径的测地球的体积，容易写出如下的体积增长： 如果r i c e i 曲率张量非负，则对任意的日 1 ，茁m ，r 0 ，有： v o l ( b ( x ，e r ) ) 扩v o l ( 占( z ，r ) )( 1 1 ) 如果硒c c i 曲率张量有负的下界( 例如一k ( k 0 ) 是其下界) ，则存在仅仅 依赖于n ，k 的常数q ，g ，对任意的口 i ，m ，r 0 ，有： v o i ( b ( x ，p r ) ) sc l d 鲫“o v o l ( b ( x ，r ) ) ( 1 2 ) 考虑加权测度d _ ( 。) = 驴( 甸如时，m 维b a k r y - e m e r y 曲率张量t i c h 嘲h - 杀；v ov h 的作用类似于r j e 咖一l e b g u e 测度下的r j c c i 曲率张量 0 m 是m 中固定的点，由此确定了距离函数r ：m 一【o ，) ： r ( z ) = d i s t ( z ，o ) 熟知，r ( z ) 是m 上的l i p s c h i t z 函数，并且在0 的割迹c u k o ) 外光滑，假 设k ( r ( z ) ) 是关于r ( z ) 的函数，并且有不小于n 的常数m 0 ，使得如下的不等 式成立： 1 ( r i c h e s s h 一主v h 固v h ) ( x ) ( ，n 1 ) j f p ( ) ( 1 3 ) m 一，i m = n 当且仅当h 兰c o n s t 在条件( 1 3 ) 下，使用加权l a p l a c i a n 比较定理以及体积比较定理的关键是 解一个与k ( k z ) 1 有关的r i c a t i 方程( 3 1 ) 用i j ( b ( x ，r ) ) 表示。为心，r 为半径的测地球的加权体积，我们证明了如下 的加权体积增长； 定理1 1 ( j ) 在假设( 1 3 ) 中，如果k = 0 ，则对任意的口 1 ，z m ，r 0 ， 有： p ( b 0 ，e r ) ) 口”p ( b 扛，r ) )( 1 4 ) ( 2 ) 在假设( j 中，如果耳是负常数，则存在仅仅依赖于m ，耳的常 数a ，岛。使得对任意的口 l ， 不r 0 ，有： p ( b ( z ，o r ) ) 5c l e 如。4 。1 ， p ( b ( 茹，r ) )( 1 5 ) 第一章引言和主要结果3 ( ，) 如果有某点d m ，莱个正常数g o ，使得在假设( j 中， 研( 砌一南 则存在仅仅依赖于娲，m 的常数g d ，使得对任意的卫m ，r 0 ，口 l ，都有： p ( b ( 。，口r ) ) c ( o m a x i ，r ) ) d p ( 且( 。，r ) )( 1 6 ) ( 1 4 ) ，( 1 - 5 ) 的证明是容易的，为了证明( 1 6 ) ，我们需要对各种情况进行 讨论，证明将在第三章第3 节中完成。 第三章的最后考虑 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解。 1 2 加权热核估计以及r i e s z 变换 热核估计是几何分析中重要的课题，对它研究的深入会带动许多方向的发 展，得到大量令人满意的结果。f l y 】中考虑r i c c i 曲率下有界的完备黎曼流形， 借助于梯度估计得到了热核的上下界估计 l i 】中研究加权热核，得到了在m 维b a k r y - e m e r y 曲率张量下有界的条件 下加权热核的梯度估计，h a m a c k 不等式，上界估计；同时， g 、) l ，】中应用随机测 度理论得到了加权热核的上下界估计。 特别地，如果有某点0 m ，某个正常数，使得： ( m c - - h e s s h 一熹v ，l 固v 一嘴 ( 1 7 ) m n j 十r l zj 则有如下的加权热核的梯度估计： 定理1 2 u ( x ，t ) 是加权热方程( 1 1 5 ) 的正解，假设( j 7 ) 满足，则对任意 的q 1 ，存在仅仅依赖于m ，口，娲的常数巴使得对任意的z m ，有： ( 1 v ，u 1 2 一a 等) ( 班南+ 鲁 由此易得h a r n a c k 不等式2 第一章引言和主要结果4 定理1 3 铭o ，) 是加权热方程j ，1 , 5 ) 的正解，假设( j 7 ) 满足，则对任需 的a l ，存在仅仅依赖于仇，a ，的常数g ，对任意的毛m ，0 2 ，存在仅仅依赖于，m ，d 的常数g = c ( m ，娲，d ) ，= d ，( m ，凰，d ) ，使得对任意的t 0 ，s o ，v m ，都有： 们lvl-11(x,v,8)j,- d p ( 盘) e 唧( 一毒) s im 戤( 1 ，( 问) (18)(z z l $ ，v ) 以 f s t l l 研究欧氏空间上的r i e s z 变换，指出其具有工尸有界性，并且有不少的 应用，事实上，紧致黎曼流形上r i e s z 交换也是p 有界的在完备非紧黎曼流形 上，r i e s z 变换的l p 有界性是复杂的，许多人正致力于这方面的研究 1 p 2 时 c 0 2 给出了m 髑z 变换l p 有界性和局部有界性的充分条件， 借助于这个结果，容易利用加权体积增长以及加权热核估计的讨论来证明当m 维b a k r y - e m e r y 曲率张量非负以及有负的下界时加权r i e s z 变换对1 0 ，1 0 是方程( 1 1 0 ) 的正熟核，同时【n i 】中指出。熵公式可作为流形的等周常数来刻 第一章引言和主要结果 6 划流形的几何性质，比如流形的体积，互径等等，我们将这些结果推厂到如f 加 权线性熟方程的情况： a ( 盖一一) t ( z ，) = 0 ( 1 m ) 给出了： 吼，m ( ，n = 厂( r i j mv 卯+ ，) 蒜缸 ( 1 1 6 ) hoj 。 其中7 0 以及( ， r ) 满足： 厶而e r , ) 警d p “0 1 7 ) i m ( ，r ) 沿着加权热方程( 1 1 5 ) 的单调公式如下： 定理1 7 m 是闭的黎曼流形，t = 焉寿是方程( j 1 5 ) 的正解，并且满 足厶u d j u = 1 ，7 = r ( t ) 满足鲁= j ，则我们有如下公式： 华拶= 一厶。删c h 嘲 一熹v 圆v 坝v ，v f ) u 毗 一厶怫2 卜秀1n i v 熹v m ，_ v 等) 2 】仳姐( 1 1 8 ) 特别的，如果m b a l c r y - e m e r y 曲率张量非负，即： 砒c h e s 8 h 一1 _ v h 圆v h 0 则由( j 1 8 ) 可以得到如下不等式： 塑鸣竽丑一厶警( 。，一爵, r l p , 凡舢 ( 1 1 9 ) a 一 ， f m 、一”。2 r 7 。 、。7 此时- 。( ，r ) 沿着加权热方程( j 1 5 ) 是单调的 如果r i c c i 曲率张量下有界，例如一k ，k 0 为其下界，也可以找到相应的 沿着热方程( 1 _ 1 0 ) 具有单调性的熵如下： w k ( f ，= 凡m 。2 k 2 k - - 1 啊卯+ ，+ 三( 1 0 9 未岛一等) 一川蓄斋血 ( 1 2 0 ) 其m ( f ，r ) 满足( 1 1 2 ) 第一章引言和主要结果 7 定理1 8 m 是闭的黎更流形，r i c c i 曲率张量以一k 0 为下界，一i ：e ；- ；汀 是方程( j 1 0 ) 的正解，满足l u d x = 1 ，r = r ( t ) 满足塞= j ，j l 有下面的不等 丸 警一凡me 2 k k r - - 1 册一器g 阢出( l 2 1 ) 特别的，w k ( lr ) 沿着热方程( j j 口) 是单调的 如下的微分不等式也是自然的： 定理1 9 m 是，l 维闭的黎曼流形，r i c c i 曲率张量以一置k 0 为下界，p 一 石e 丽- ! ，t o 是方程( j j d ) 的正热核，则： 等( 2 ，i v f 1 2 ) + ，+ 批是一( e 2 k t - 1 ) h o 0 2 2 ) 舻婀：厂l o g ( ( 4 n t ) p ) p d x 善l o g 褊(123)jm 芸z 热 ( - 、， 或： p ( 那捌) ( 丽南) 2 ( i 2 4 ) 考摩如f 的定义o ( 川= 刚f l j+ h ) 蒜t 舡 j l f 嗤7 l ，。 其中7 - 0 以及( ，7 - ) 满足凡孟务d p = 1 ( 7 - ) = i n f 仰i ( ，力；( 4 7 r 一2 e 一7d p = 1 ) 2 伽i n f 钆( f ) 纥可能等于- - 0 0 o k ( 7 ) 5 凡i n f n d z - ，, 1 坛( ，r ) w 膏( ，r ) 见( 1 2 0 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 s ) 第一章引言和主要结果8 定理1 1 0 。对完备黎曼流形，d = 矿d z 为加权剥度，如果心 一o 。，并 j - h ( z ，弘t ) 是相应于。的正热核，则我们有如下的热：坟g a u s s i a n 1 z j - # 计： 日( 训，t ) 筹e 一攀 ( 1 2 9 ) 其中d 4 ，r ( 。，y ) 是$ ，y 之间的测地距离。c c ( d ，n ，) 是仅仅依赖 于d ，n ，屹的常数；进一步，m 的虮体积点态至少具有欧氏增长，即：对任意 的z m ，存在仅仅依赖于诈，怯，霉的正常数a = 天( ，i t , ，z ) ，使得对任意的冗 0 有： 弘徊( ，勋) 入口( 1 3 0 ) 其中日( 为r ) 是以z 为心，r 为半径的测地球 如下的结果可以看成【n i 】中相应结果的推广 定理1 1 1 m 是闭的黎曼流形，俄。西曲率张量以一符，k 0 为下界，则： 熙眙( f ) 2 0 1 4 特征值估计和紧致分解 在紧致定向黎曼流形上，l a p l a c e - b e l t r a m i 算子具有紧致分解，因而具有谱 隙，由【b u 】知以上结论对加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子也成立。 l i c h n e r o w i c z 以及0 b a t a 【l i p 】证明了如果n 维完备流形上r i c c i 曲率张量 以n 一1 为下界，则l a p l a c e - b e l t r a m i 算子第一非零特征值不小于n ；同时，如果 紧致黎曼流形上r i c c i 曲率张量以一k ( k 0 ) 为下界，【l y 3 中利用流形的直径 来控制第一非零特征值的下界。 为了估计加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的第一非零特征值的下界，和前面所 说类似，我们也来考虑m 维b a k r y - e m e r y 曲率张量有正的以及非负下界两种情 况，可得如下结果： 定理1 1 2 m 是一个n 维完备无边黎更流形，带有加权测度d “= 驴扛d 霸h c o o ( 蚴，m 罪，mh $ b a k r y - e r n e r y 曲率张量不小于研一】，刖肘上加权如加弘 b e l t r a m i 算子。的第一非零特征值a 不小于m 。进一步，如果a = m ，则流形 的直径r ；丌 第一章引言和主要结果 9 定理1 1 3 m 是一个n 维闭黎更流形。带有加权测t 曼d 1 t = 驴( 2 ) 出，h c ”( m ) ，m ( m ，；) 雏b a k r y - e m e r y 曲率张量不小于一( 巩一1 ) k ( k o ) ，刖m l j 敞l a p l a c e b e z r 8 删算子。的第一非零特征值a 不j 卜于a r 一2 唧( 一q r 、，7 莉。 其中r 是流形的直径，c 1 ，c 2 是仅仅依赖于m 的常数 在完备非紧黎曼流形上l a p l e - b a l t r a m i 算子不一定具有紧致分解，比 如：n 维欧氏空间谱集为【o ，o o ) ，竹维双曲空间上谱集为【也，o 。) 【b u l 考虑加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的紧致分解，谱隙与权函数的关系， 证明了完备非紧黎曼流形上如果m c c i 曲率张量有下界，则热核加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子有谱隙 我们利用关于函数的加权热核来控制一形式的加权热核，由这个结果得 到【b u 】中关于谱隙结果的一个推广： 定理1 1 4 m 是完备黎曼流形，如( z ) ；e h ( z ) d x 是加权测皮，满足 r i c h e s s h 一k ( k 0 ) 并且日( 。，y ，t ) 是相应予加权热方程( j j 5 ) 的正热核，则对任意的，c 铲( m ) ， 有如下的不等戈 厶九v ) ( 刎，t ) 舢( ) ( 厶m ) h ( z m 邺p ( 训2 + c 厶i v 尥) 1 2 圩( z m t ) d 肛( ! ，) ( l 3 1 ) 其中c = k 一1 ( e 2 价一1 ) ，2 ，t 都固定 尽管欧氏空间_ h l a p l a c b e l t r a m i 算子不具有紧致分解性，但是热核加 权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子具有紧致分解性，我们可以证明双曲空间上热核加 权l a p l a e e - b e l t r a m i 算子也具有紧致分解性，即如下的： 定理1 1 5 在l , t 维双曲空间上，相应于加权测度舡( z ) = p ( o ，2 ，t ) 血的 加权l a p l a c e b e l t r a m i 算子具有紧致分解，其中d 是双曲空问上固定的一 点，p ( d ，z ，t ) 表示双曲空问上的热核 第二章基本概念 这一章首先写, | l l a p l a c e - b e l t r a m i 算子，加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子，加 权s c h r s d i n g e r 算子的定义，然后考虑加权线性热方程及其相应的热半群，热核 的定义和基本性质，最后简单讨论了加权热核的短时渐进性。 2 1 l a p l a c e - b e l t r a m i 算子 ( m “，g ) 是连通的定向完备无边黎曼流形，其上的光滑p 一次外微分形式 空间记为a p ( m ) ，用a g ( m ) 表示带紧致支撑p 一次外微分形式空间，d 是作用 在舻( m ) 上的外微分，在局部坐标系( 配矿) 中，r i e m a n n - l e b e s g u e 测度d z 为： ( i x = v d e t ( g i ) d x l a ( i x 2 a a d x “ 其中d e t ( ) 为度量矩阵的行列式 关于l a p l a c e - b e l t r a m i 算子的定义可以参见【、列，【c q ，【c h l 】以及 w s y 。 定义2 1 定义h o d g e - s t a r 算子：a p ( m ) 一a “1 ( m ) 如下：对于u 舻( m ) ， 如果局部有： u = 咄l 幻p 如“ d x 产a d x p i l i 2 0 则： 榭= d e t ( 助) 碹：乙夕“h 9 如b b 血1a a d x k + l kt l 为其对偶余切标架场，v 表示由黎曼 度量决定的l e v i - c i v i t a 联络，同时内积运算i x w 定义为： i x w ( x l ，尥，砧1 ) = u ( x ，x 1 ，恐，昂1 ) 对任意的向量场五，i = 1 ，一，p 一1 都成立。 r m ( x ，y ) 一v x v y v y v x v ，1 表示黎曼曲率算子。 如果用r i c 表示r i e c i 曲率张量，即对任意的向量场x ，y ，有： m c ( x , y ) = 第二章基本概念 则当p = 1 时，( 2 2 ) 变为： 扫u 1 2 = + l v 。u 1 2 + r i c ( ，u + ) 其中扩是u 的对偶向量场 如下的公式我们也常用，对光滑函数，： ；a ( i v f l 2 ) ； + l h 髑s f 1 2 + m c ( v f ，v f ) 其中h e 黯，称为，的h e s s i a n ，由下式决定，即对任意的光滑向量场x ，y ： h e s s f ( x ，y ) = x y f 一( 乳y ) f 定义2 4 r _ 0 u g h - l a p l a c e 算子= g o v , v j 是作用在张量上的二阶共变微分。 当作用在外形式上时，l a p l a c e - b e l t r a m i 算子与r o u g h - l a p l a c e 算子由下面 的关系式相联系q w u l ， w u 2 ， b d 】) ： a = + l ( 勺) r m ( 白，勺) t j 如果作用在函数上，：厶，如果作用在一形式“，上，有： ( a w ) i = ( a “，) 一吣( 2 3 ) 定义2 5 v 是m 上的函数，s c h r s d i u g e r 算子一y ，通常是指作用在带紧致 支撑光滑函数空间c 矿( 吖) 上的算子，对任意的，锑。( m ) ，有： ( 一v ) f = a f y ， 对于作用在p 形式空间上的s c h r b d i a g e r 算子一y t 此时的y 不一定是函 数，我们常常从广义的意义下来理解，参见【w i 】，【c h e 】，【b q ，【e f 】或者【b u 】，当 然，如果y 是m 上的函数，这时的y 是一个数乘算子 第二章基本概念 2 2 加权l a p l a c e - b e l t r a m i 算子 现在考虑m 上加权测度d a ( x ) = e h ( 4 i d x ，其中 c 。( m ) 定义2 6 对u 端( f ) ，定义： 以u = d u i 可 u 命题2 2 凡是外微分算子d 相应于加权测度舡的伴随算子 证明：对任意的u l 坞( m ) ，地a o1 ( 吖) ， 厶 毗= 厶 如 再利用： j ( ，u ) = f 6 u j i v l w 所以有： 以“，= e - h 6 ( e “u ) = 缸一f 审 u 由此容易看出命题成立。 口 定义2 7 定义加权l 印l 妇嵋e - b e l t r 眦i 算子：为：对任意的u a o ( m ) = 岛端( m ) ，有： ：u = 一( d 缸+ 矗d ) u 记：d 。= d + 丘，由【b u j ： 一p = d ：= 一一l 审 ( 2 4 ) 其中l x 表示沿着方向x 的l i e 导数。 若，是肘上的光滑函数，由( 2 4 ) 有： 。，= a f + ( 2 5 ) 仿照定义2 4 ，定义加权勋u g h - l 印l a c e 算子。如下： 第二章基本概念 1 4 定义2 。8 。 a “= 9 甜e 一6 v i ( e “码) 如果作用在函数上，。= p 命题2 3 u 煺( 肘) ，在局部坐标系( 以一) 下： ( 一u ) = ( 。“，h 一一七“( r 哦一v k v , h )( 2 6 ) 证明：由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，可以作如下计算： ( “u x = ( a t + ( l 守 u k = ( 厶。h 一扩甓f “+ ( l v 。k ( k 柚t = v h ( 蝴一u n 杀) = 扩差筹一哟蹦( 丽o h 丽，杀1 ) = 扩筹筹+ 吩刍。筹) 假设在一点取法坐标系，在这一点，对一形式“j ： v 。咄= 筹；筹= o 因此我们有： ( l 铲 u ) i = g k v z h v k w i + 少“o v f v l 磊 因此，( 2 6 ) 正确。 l ：( a ( m ) ) 表示m 上l 三一可积的形式的集合，即： l ：( a ( f ) ) ； u a ( m ) ：p 1 2 d p 0 ，z m ，有： ( h t ，) ( 善) = = 日( z ，扩，g ) f ( y ) d p ( ! ，) j m 则称h ( x ，y ，t ) 是相应于。算子的热核。 以下性质参i c h ，【d o l ，【g r 5 命题2 5 在带有加权测度缸的完备黎曼流形上，存在唯一的热核珏 ，y ，f ) ，它 作为m m ( 0 ，o o ) 上的光滑函数满足如下性质： ( j ) 日( 。，f ，) 是( 1 1 5 ) 的正基本解，且满足： h ( x ，t ) 舡( z ) 1 j m ( 露) ( z ，掣，t ) = h ( v ，z ，t ) ( 日( ，t + 8 ) = = 日( 霉，：，t ) 日( ：，可，8 ) d “( 。) d m 其中，s 0 下面是关于p 一形式的加权熟方程： ( 嘉一) 础，t ) = o ( 2 9 ) 关于p 一形式有如下的结果，参i c h 】或者【p a 】： 第二章基本概念 1 7 命题2 。6 。方程( 最9 ) 允许唯一的基本解俨国，y ，) ，其在每一点( z ，鼽t ) em x m ( 0 ，0 0 ) 的取值是从可点的余切空间a p 毛到2 点的余切空间舻 红的线性 映射，如果通过黎曼度量等同切空间和余切空问，那么也可以把上p ( z ，三，t ) 看成 是 毛。舻 缸中的一个双形式它光滑的依赖于( z ，v ，t ) m m ( o ，o o ) ， 是方程( 2 9 ) 的解，并且当一0 + 时，对任意的光滑p 一形式u ，有： h p ( z 为) a 划鼬一“国) j 肼 证明热核的存在性有几种经典的办法，可以借助于拟基本解构造【m p j ；或 者借助于s o b o l e v 嵌入定理i d 卅；也可以利用相对紧开集来逼近流形，第六章 我们将利用相对紧开集的办法来考虑一形式的热核控制，简单介绍如下【d 0 】： 定义2 1 0 称m 中的一族相对紧开集 n ，) 为m 的一个逼近，如果： q c n + 1 ，u i n = m q d 为m 的一个相对紧逼近，风( z ，y ，t ) 是如下d i r i c h l e t 问题的解： j ( 袅一，) t 扛，t ) = 0 【“扛，0 1 。e 鲫。= 0 可以把玩仕，暑，t ) 看成定义在m m ( 0 ，o o ) 上，如果空间变量落在n i 外， 就令其为0 ，同【d o 】，利用极大值原理得到的 鼠( 。，z ，) ) 对于固定的( 卫，暑，t ) m m ( 0 ，。) 关于i 是单调递增的，因而将点态收敛到日( z ，玑) ，这个收敛 在每一个膨的紧致子集上是一致的，并且其关于空闻的各阶导数在每一个m 的紧致子集上也是一致收敛的 我们往往要考虑加权s c h r 6 d i n g e r 算子。一y 的基本解以及热核的问题。关 于s c h r 6 d i n g e r 算子一y 的基本解的估计有许多的结果，参【d s 】，【i 吲， l y 2 ，【z 明 以及其中的参考文献。 用日y ( z ，y ，0 表示p 一矿的基本解记r i e m a u - l e b e s d g e 测度如下相应 于l a p l a c e - b e l t r a m i 算子和s c h r 6 d i n g e r 算子a - - v 的热核分别为p ( 石，弘亡) 0 ，暑，t ) 加权热核与s c h r 6 d i n g e r 热核关系如下【g r 5 l 。 第二章基本概念 命题2 7 己i y ( z ) = ；j v ( 茹) 1 2 + z x h ( $ ) j l h ( x ，f ，) 与p 矿( $ ，| ，t ) 关系如下： p y ( z ，l ，t ) = ；日( z ，t ) 唧( 寺( ( 。) + ( 掣) ) ) ( 2 1 0 ) 定义2 1 1 ( 热核的对角上界估计条件) 对任意的z mt 0 ，某常数c 有： 一 日( ，) 丽盖而 ( 2 m ) 如果( 2 1 1 ) 对任意的z m 以及t ( 0 ，1 】成立，则称热核的短时间对角上界估 计条件满足。 2 4 加权热核的短时渐进性 引理2 8 m 是闭的黎曼流形，y 0 ) 是m 上的光滑函数，则存在光滑函 数( 玑。) c * ( 彳x m ) ，使得当t 一0 + 时，在mx m 上一致的有： p y ( 茹。，f ) 。( 4 7 r t ) _ e 一驾归妒( 知，z ) ( 2 1 2 ) 其中r ( 玑z ) 表示玑z m 之间的测地距离，且： 咖( z o ，2 ：0 ) = 1( 2 1 3 ) 证明：对闭的流形，有光滑函数幽( 玑z ) c ”( m m ) ，使得当一o + 时， 在m m 上一致的有( 【s m 或【m 0 】) ： p ( z ，t ) 一( 4 丌t ) - 2 e - = = 譬生焱( 卫) o 并且粕( z o ，o ) = 1 容易看出，存在正常数c 使得对任意的( 霉，玑t ) m m ( o ，o 。) ： e - c t p ( 茁，t ) p v ( 为y ，t ) e a p ( x ，