（基础数学专业论文）某些半群的同余.pdf

独创声明 y5 9 8 1 2 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者馘科邑瓦 铷纷移碎 签字日期：2 0 0 4 年牛月2 日签字日期：2 0 0 4 年月彤日 采缀纬磐、i “。，毹 蕾食文公霜 某些半群的同余 邢建民 ( 山东师范大学数学系，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究某些半群的同余，其主要思想是把核和迹的定义推广，再加上某 些条件，给定了同余对的概念，我们的目的是找到同余和同余对之间的一一对应 全文共分两章。 第一章主要对正则半群的l r - 正规o r t h o g r o u p 同余进行了构造和描述在这 一章里，先定义了正则半群s 的工_ r 一正规o r t h o g r o u p 同余对( 6k ) ，它是由s 的 一个正规子半群及曰( s ) ) 上的l r 一正规带同余f 组成的对，并且对v a ，b s 一矿( 口) ，茹( e ( s ) ) ，游吼睦 ( a ) x a k ，( $ ，凸0 ，) f = = a k ( b ) a b k ，( d ，b b ) f 爿a x b k ( c ) a k = = 争( 口。d ，o n z ) f ，或( o z n ，z d o ) ( d ) v a s 3 a 一1 v ( a ) ；有( o a 一1 ，a - l a ) f 利用这样的同余对( f ，k ) ，我们可以定义s 上的关系p ( f ，k ) ( 8 ，p ( ，耳) = = a - l b k 且( o n 一1 ，b b 一1 ) f( ) 还证明了正则半群s 的任意l r - 正规o r t h o g r o u p 同余p 的k e r p 和超迹h t r p ( = 卢1 ( 曰( s ) ) ) 组成的对( h t r p ，k e r p ) 是它的l r 一正规o r t h o g r o u p 同余对，并且p = p ( h t r p , k w ) 进而得到：正则半群上的l r - 正规o r t h o g r o u p 同余的集合到l r 一正规 o r t h o g r o u p 同余对的集合之间的一一对应 第二章主要对万一纯正半群的r 一半索矩形群同余进行了构造和描述，在这一 章里，先定义了丌一纯正半群s 的r 一半索矩形群同余对( f ，耳) ，它是由s 的一个正 规子半群k 及e ( s ) 上的矩形带同余组成的对，v 口，b 鼠a y ( r ( o ) ) ，e e ( s ) 2 ( a ) v a r e g s ，a y ( n ) ，e e ( s ) ，由e n k 且( e ，口8 7 ) f = = n k ( b ) v a ，b r e g s ，e e ( s ) ，由n 6 k 哥a e b k ( o ) v a 只a t y ( 虹) ，由r ( a ) k = = 寺o ，口k ( d ) 、f t ，y ，a ，b 墨若j ( r ( z ) r ( 弘) ) 7 矿( r ( ) r ( ) ) ，使( r ( z ) r ( f ) ) r ( 8 ) r ( 6 ) ) k 贝， j ( r ( ) ) y ( r ( 。) ) ，使得( r ( z ) ) r ( a b ) k ( e ) jr ( a b ) y ( r ( n 6 ) ) ，( r ( o ) r ( 6 ) ) 7 y ( r ( 口) r ( 6 ) ) ，使得r ( a b ) r ( a b ) 7fr ( n ) r ( 6 ) ( r ( a ) r ( 6 ) ) 7 设( ，k ) 是如上定义的r 一半素矩形群同余对，在”一纯正半群s 上定义关系p ( e 耳) 如下 ( 口，6 ) p ( ) = = ( 3 a y ( r ( 口) ) ) ( j y ( r ( 6 ) ) ) a r ( b ) k ( r ( g ) g ，r t b ) b r ( a ) a ) f ( 6 ，r ( 6 ) ，b l r ( b ) a ，r ( d ) ) f 还证明了”一纯正半群s 的任意r 一半素矩形群同余p 的核k e r p 和迹t r p 组成 的对( t r p ，k e r p ) 是它的r 一半素矩形群同余对。并且p = p ( 打p ，栅p ) 进而得到： ” 纯正半群的r 一半素矩形群同余的集合到r 一半素矩形群同余对的集合之间的一一 对应 关键词：工兄一正规o r t h o g r o u p ，口一纯正半群，r 一半索，矩形群 分类号：0 1 5 2 7 3 c o n g r e n c e so ns o m es e m i g r o u p s x i n g j i a nm i n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed e s c r i b ec o n g r u e n c e so ns o m es e m i g r o u p t h em a i ni d e a l i st oe x t e n dt h ec o n c e p t so fk e r n e la n dt r a c e w eg i v et h ec o n c e p to fc o n g r u e n c ep a i r ，a d d i n gu p t os o m ec o n d i t i o n s f i n a l l y ，w ef i n do u tab i j e c t i o nb e t w e e n c o n g r u e n c ep a i r s a n dc o n g r u e n c e s t h e r ea r et w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed e a lw i t ht h el r - n o r m a lo r t h o g r o u pc o n g r u e n c eo nr e g u - l a rs e m i g r o u p s f i r s t l y , w eg i v et h ed e f i n t i o no fl r n o r m a lo r t h o g r o u pc o n g r u e n c ep a i r ( ，耳) ，c o m p o s e do f an o r m a l s u b s e m i g r o u pk o fsa n dal r - n o r m a lh a n dc o n g r u e n c e o n ( e ( 鄙) ka n dfs a r i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sv a ，b s8 ，y ( 8 ) ，2 ( e ( s ) ) ， ( a ) x a k ，( $ ，a a ) f 茸a k ( b ) a b k ，( a a ，b b ) ja x b k ( g ) n k = 毒( a x a ，a a z ) ，o r ( 口7 z n ，茹n 口) ( d ) v a s 了一1 v ( a ) t h a t ( a a 一1 ，a - l a ) f g i v e ns u c ha p a i r ( 毛耳】，w ed e f i n ea r a l a t i o nn f ，) o ns b y ( o ，b ) p ( f 】仁 a - 1 b k 且( a a ，b b 一1 ) f ( ) m o r e o v e r ，w es h o wt h a t ( h t r p ，k e r p ) i sl r - n o r m a lo r t h o g r o u pc o n g r u e n c ep a i ro f sa n dt h a tp = n f r p ， e 叩) f o ra l ll r n o r m a lo r t h o g r o u pc o n g r u e n c epo ni t s ow e h a v et h i sr e s u l tt h a tt h e r ei sab i j e c t i o nb e t w e e nt h es e to fa l ll r - n o r m a l o r t h o g r o u p c o n g r u e n c ep a i ro fs a n ds e to fa l ll r - n o r m a l o r t h o g r o u pc o n g r u e n c e so fs i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w e g i v et h ed e s c r i p t i o no f t h e r - s e m i p r i m er e c t a n g u l a rg r o u p c o n g r u e n c e so n ，r o r t h o d o x f i r s i ：l y , w eg i v et h ed e f i n i t i o no fr - s e m i p r i m er e c t a n g u - l a xg r o u pc o n g r u e n c ep a i r ( ，k ) ，c o m p o s e do fan o r m a ls u b s e m i g r o u pko fsa n d ar e c t a n g u l a rb a n dc o n g r u e n c efo ne ( s ) ka n dfs a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 4 v a ，6 只o y ( r ( n ) ) ，e e ( s ) ( a ) v a r e g s ，o y ( o ) ，e e ( s ) ，e a k ，a n d ( e ，a a t ) f = = = = a k ( b ) v a ，b r e 9 s e e ( s ) ，t h e na b k 哥a e b k ( c ) v a s ，一y ( d ) ，t h e nr ( a ) k ：= = = n ，o k ( d ) 比，y ，o ，b s ，i fj ( r ( 。) r ( g ) ) 矿( r ( 。) r ( ) ) ，a n d ( r ( x ) r ( y ) ) r ( o ) r ( 6 ) ) k j t h e n j ( r ( 。) ) 7 y ( r ( z ) ) ，t h a t ( r ( z ) ) 7 r ( a b ) k ( e ) 3r ( a b ) 7 y ( r ( o 吼( r ( n ) r ( 6 ) ) y ( r ( o ) r ( 6 ) ) ，a n dr ( a b ) r ( a b ) fr ( 口) r ( 6 ) ( r ( ) r ( 6 ) ) g i v e ns u c hap a i r ( f ，k ) ，w ed e f i n ear a l a t i o np ( f ，) o nsb y a ，b ) 他) 甘( 3 a y ( r ( n ) ) ) ( j 6 7 y ( r ( 6 ) ) ) d 7 r ( 6 ) k ( r ( a ) a ，r ( 6 ) 扩r ( o ) d 7 ) ( 6 ，r ( 6 ) ，b r ( b ) a r ( d ) ) f k e y w o r d s ：l r - n o r m a l o r t h o g r o u p ， 7 r o r t h o d o x ，r s e m i p r i m e ， g r o u p c l a s s i f l c a t i o n ：0 1 5 2 7 5 第一章正则半群上的己r 一正规o r t h o g r o u p 同余 1 1引言与预备知识 在这部分我们主要描述已知的概念和结果 定义1 1 1 【1 】设e 为带，如果满足 ( v e e ) 【( v ，e ) e l e = e ，或( v f e ) e l e = ，e 】 我们称之为l r 一正则带这样的带显然是正则的，并且每个左正则带和右正则带 显然是工r 一正则带 定义1 1 2 2 1 半群s 称为l r g 半群，如果s 是正则的并且满足 ( v e e ( s ) ) e s s e 或e s 引理1 1 3 1 2 设s 为半群。则下列条件等价 ( i ) s 为l r g 半群 ( i i ) s 是完全正则的且 ( v e e ) 【( v ，e ) e l e = e ，或( v ，e ) e i e = f e ( i i i ) s 是完全正则的且e ( s ) 是l r 一正则带，即s 是l r - 正则o r t h o g r o u p 显然。每个l r 一正则带都是l r 一正则o r t h o g r o u p 我们把五r 一正则o r t h o g r o u p 类记为l r 一1 = 1 0 定义1 1 4 【1 1 半群s 称为二r 一正规o r t h o g r o u p ，如果s 是l r 一正则o r t h o g r o u p 且 e ( s ) 是正规带 引理1 1 5 1 1 ls 为l r 一正规o r t h o g r o u p 当且仅当 ( e e ( s ) ) 【( ，e ( s ) ) e ，9 = e 9 ，或( 坳，e ( s ) ) 9 ，e = ，9 e 】 且s 是完全正则的 6 对任意半群s ，我们定义 岛( s ) = e6e ( s ) i ( v a ，f6e ( s ) ) e s g e g y 日( s ) = e 6e ( s ) l ( v g ，e ( s ) ) g f e = f g e 显然，若非空局( 印与日( 研都是带； 当s 为l r - 正规o r t h o g r o u p 时，显然有毋( s ) u 日( s ) = e ( s ) 引理1 1 6 q 若s 为l r 一正规o r t h o g r o u p ，则s 满足 ( y e 蜀( s ) 与v ，耳( s ) ) e ，g ( s ) ) 引理1 1 7 f 4 l 在正则半群占中，设n ，y 扣) ，6 ，v ( b ) 且g s ( 0 ，o ，彬) 则6 ，g d ，v ( a b ) 半群s 的子半群k 称为s 的正规子半群，如果k 是正则的且满足以下条件： ( 1 ) 曰( 研k ( 即是满的) ( 2 ) 她s ，n y ( d ) ，满足o k 一托( 即k 是自共轭的) 半群s 的正规子半群置显然是s 的整体正则子半群，即对v 8 6 瓦有y ( 8 ) k s 的子半群( s ) ) 上的同余称为正规同余，如果对地，耖 曾( s ) ) ，8 s ，一y ( n ) ， 有 ( 霉，l ，) = = = 0 一j 嘲，a y a ) 此时a z a ，n n6 ( 口( 印) 1 2l r 一正规o r t h o g r o u p 同余 定义1 2 1 设s 为正则半群，为e ( s ) ) 上的五j 卜正规带同余，耳为s 的 正规子半群，则我们称( ，k ) 为s 的l a 一正规o r t h o g r o u p 同余对，如果v n ，b 只n ，y ( n ) ，$ ( e ( s ) ) ，满足 ( a ) z a 冠( $ ，n 一) f 姊口k ( b ) a b 噩( 8 一，b b ) 芒4a z b k ( g ) b k = = 争( a z o , ! ，n d ，神亭，或( o j 茹b ，i m n ) 7 ( d ) v a s ，3 a 一1 v ( a ) 有( 口。一1 ，a - l e t ) f ， 利用这样的同余对( ，k ) ，我们可以定义s 上的关系p ( f ，k ) ( o ，b ) p ( e 。k ) = = 争a - l b k 且( n o 一1 ，b b 一1 ) ( ) 我们用l r n c ( 回表示f 的l r - 正规o r t h o g r o u p 同余的集合，用l r n c p ( s 】 表示s 的l r 一正规o r t h o g r o u p 同余对的集合为了方便，我们记p = 肌，耳) ， e l = e l ( ( e ( s ) ) ) ，耳= 日( ( e ( s ) ) ) 引理1 2 2 设( ，k ) l r n c p ( s ) ，a ，b s 满足( o ，b ) p 则对y a 矿( o ) ，b 矿( 6 ) ，a * b k ，有a * b k ，且( n n ，b b * ) f 或( 矿皿b * b ) 证明：f 是工月一正规带同余，则o n 1 f 目或耳 由于( o ，b ) p ，则a - l b k ，且( a a 一，b b - 1 ) ，( a - i n ，6 1 b ) ( 由定义1 2 1 ( d ) ) ( i ) 若a a _ 1 f 目，则 a a = o n 一1 a a + fn n 一1 0 d 。一1 = o d 一1 同理 岫6 6 1 所以 0 矿，b b + ) f ( i i ) 若口d 一1 f 马，则 口n = a * a a 一1 口fa * a a a 一1f 口口一1 口+ a a a 一1fa - 1 8 口+ 必一1 口= a - l a 同理 b * b 釉一1 b 所以 ( a * a ，b * b ) f 由因为a - l b k ，且( a - l o , ，b b - 1 ) f 则由定义1 2 1 的条件( b ) 得a - 1 0 d 4 b k 。 由因为k 是s 的满子半群，因此有 o b = o + o n l n n 6 k 8 由此引理我们可得p 的定义与以下定义等价； ( o ，6 ) p ( ) = = 争( 3 a y ( o ) ，6 ，y ( 6 ) ) b k 且( o 一，b b ) f 或 ( a r i a ，6 ，6 ) f( ) 引理1 2 3 设( ，k ) l r n c p ( s ) ，o ，b s 满足( o ，6 ) p 则存在0 7 y ( o ) ，b y ( 6 ) ) 有 ( i ) b a k 且( b ，a ) j d ( f ，) ( i i ) ( 6 j 6 ，b b a 7 0 ) ，( n 7 ，a a b b ) f 或( b b ，a g b b ) ，( 口，b b a a 7 ) 证明( i ) 设g s ( b b ，n ，) ，则a g b y ( 6 ，o ) ，因为a b k 且g f ( s ) 由定义1 2 - 1 ( b ) 知n ，9 b k 又因为k 是s 的正规子半群，则b a k 又由于f 是对称的，所 以有( b ，t 2 ) p ( f ，) ( i i ) 若b b 一1 e f ，则由引理1 2 2 得( a a ，b b ) 所以 6 6 ，：6 6 矿b b a a = b b - g a a f 6 6 ，g b b 再由f 的正规性，故 6 b b ，b b b b g b b - b 即 b b f b g b 现在a g b y ( 6 ，o ) ，则由定义1 2 1 ( c ) 得 6 ，6 fb g b = b 7 0 口o 9 6 6 ，o n 9 6 o n = b g b 0 7 0 6 ，6 o n 同理，交换a 和b ，我们可得到 ( o d ，a a b b ) f 若的一1 日，则( 0 ，n ，如) f ，由引理1 2 2 得0 7 d o 一1 0 设g s ( b b ，n n ) 则 6 = 6 ，6 b b b b a a = b b g a 7 0 b b g b b 再由f 的正规性得， b b b 矿fb b b g b b 6 ， 即 b b fb g b 9 因此 b 矿fb g b = b 0 7 0 g b = b a t a a t a g 6 ， a a b a g 矿( 由定义1 2 1 ( c ) ) = a a b g b a 0 7 b b 同理，( o o ，b b a a ) e 目i 理1 , 2 4 设( ，k ) 6l r n c p ( 鄙，o ，b ，c sa 一1 y ( 4 ) ，b 一1 y ( b ) ，c 1 y ( c ) 若a a 一1 蜀，9 s ( o 一1 0 ，c c 一1 ) ，h s ( b 一1 b ，c c 一1 ) 贝4 ( a a 1 ，b b 一1 ) a - l b k 哥( a g a 一1 ，b h b 一1 ) f 证明设z s ( a a ，b b 一1 ) 则b - * 。口ev ( a 一1 6 ) ，设t s ( n b b 一1 z o ，9 ) ，则g t a 一1 b v ( b 一1 x a g ) 且6 1 z o t o 一1 b = b - 1 z o g t a - l b = b - 1 x a g g t a 一1 b e ( s ) 另一方面我们可得到b - 1 x a k ，因为它的逆a - l b k 。又由( ，k ) l r n c p ( s ) 及定义1 2 1 ( c ) ，则 ( b - 1 。o t 。a - l b ，b - 1 z g t a - l b t ) f 即 ( b - 1 。o f a - l b ，b - 1 2 6 f ) e( 1 ) 因为f 是同余且( a a 一，b b - 1 ) 6 我们可得 砧一1 x b b 一1 f 凸口一1 x b b = 8 8 1 b b 一1 f 拈一1 b b 一1 = b b 一1 又因为b - 1 x b e ( s ) 且是正规同余，故 ( b b b 一1 z b b b ，b b b b ) f 即p 一1 x b , b - t b ) f 同理 ( a - 1 o ，a - l a ) 由( 1 ) 和( 2 ) 及f 为同余，我们可证得 ( b - t x a t a 一1 b ，b - 1 b o 1 0 ( 3 ) 下证 ( b b 一1 x a t a 一1 b b ，a t a 一1 ) f ( 5 ) 5 事实上t a 一1 e ( s ) ，因为f - n 1 0 = - 一1 b b 一1 z o o 一1 d = t a 一1 b b 一1 z o = 又因为 ( b b ，g 口一1 ) 故 b b 一1 卫口a l b b 一1 a a 1 石a t a 一1 n o 一1 = n n 1 岱n t n l = a t 2 1 z o a 1 a t a 一1 fn d 1 z b b 1 a t a 一1 = a a 一1 b b l a t a l fa o 一1 - a l l 一1 a t a 一12 a t a 一1 注意到a 9 a 一1 e ( s ) ，因为9 s ( n 一1 口，c c 一1 ) 且9 a 一1 0 = 9 ，下面我们证明 ( a t a ，a g a 一1 ) ( 6 ) 由茁s ( a a ，b b “) 可得 a - l b b - 1 正d = a - 1 z 口e ( s 1 又由于t s ( 一g g a ，g ) ，我们可证得 利用( 3 ) 有 ( o , - 1 z d - t g ，a - l a # g ) f 再利用( 3 ) ，我们可得到 又由a - - 1 0 目 再根据f 的正规性， t - 1 0 幻f t - 1 a g t = a - 1 a t ( 0 a - 1 a t 口一，o a - 1 a 9 口一1 ) f f g tn o 9 口z m 此因 即 ( a t a ，a g a 一1 ) 下面我们证明 ( b - 1 b t ，b - 1 b h ) ( 7 ) 事实上，我们有 b - l b t b - 1 b t b - l b b - 1 蛔f b - l b = b - l b c c g t b 一1 b 所以 b - 1 b tfb - i b c c g t - b - l b b - l b a - l a c c g t b - l b ( 引理1 2 3 ) b - i b - a - l a g t c c b - t b ( a a 一1 f 目) fb - l b 口一1 姆c c b - l b ( a a 一1 f 岛) fb - l b a - - 1 z 口蛔- c c b - 1 b ( 由( 3 ) ) = b - 1 b a - 1 x a 9 c c 一1 b - t b ( t s ( n 一1 z a ，g ) ) fb - l b a - l a g c c b - l b ( 由( 3 ) ) = b - 1 b a - l a c c 一1 b - l b ( g s ( n 一1 0 ，c c 一1 ) ) f6 b a - l a c c 一1 ( 6 1 蜒毋) fb - l b c c 一1 = 6 i b ，h 。c c 一1 fb - l b h c c 一1 h = b - t b h 最后由( 4 ) 和( 7 ) ，得到( b - 1 z n t 凸- 1 6 ，b - 1 b h ) f 。再由f 的正规性 ( b b - t x a t a 一1 b 6 1 ，b b 一1 b h b 一1 ) 即 ( b 6 1 z g 把一1 6 - b ib h b 一1 ) 注意到b b _ 1 x a t a b b ，b h b - 1 曰( s ) ) 再根据f 的传递性及( 5 ) 和( 6 ) ，故有 ( a g a ，b h b 一1 ) f 到此为止我们完成了此引理的证明 s i 理1 2 5 设( ，嚣) l r n c p ，o ，b ，c s ，a 一1 y ( d ) ，b 一1 v ( 6 ) ，c 一1 y ( c ) 若o 1 e ；，9 s ( c 一1 c ，a a 一1 ) ，h s ( c 一1 c ，6 6 1 ) 贝0 ( o 一1 口，b - 1 砷，a - l b k = = = ( a - 1 9 a ，b - 1 h b ) ef 证明设$ s ( o 一1 0 ，b - l b ) ，则b x a 一1ev ( a b 一1 ) ，设t s c g ，a b 一1 b x a 一1 ) ， 口一1 t a e ( s ) ，事实上 a a l t = n 口一1 n 6 1 b x a 一1 t = d b - l b x a - 1 t ：t ，因此 ( a - 1 t 0 ) ( o - 1 t a ) = 口_ 1 t a 因为。口_ 1 t a 怛( s ) ) ，b b - 1 k ，由定义1 2 1 ( b ) ，可得 b x a l t a b 一1 k 再由定义1 2 1 ( c ) ， ( b x a 一1 t a b 一，t b x a 一1 a b 一1 ) f 即 ( b x a 一1 t 6 1 ，t b x b 一1 ) f 又由f 是同余及( a - 1 a ，b - l b ) f 因此 b - t b z b 一1 b a - 1 a x b 一1 b = a - 1 口6 1 b b - 1 b 再根据b x b - 1 ( e ( s ) ) 及的正规性 ( b b 一1 b x b 一1 b b 一1 ，b b 一1 b b 一1 ) 即 ( b x b ，b b 一1 ) f 同理 ( 8 ，n n 一1 ) f 由( 8 ) ，( 9 ) 及是同余。我们得到 ( b x a - 1 9 a b ，t 6 6 1 ) f 下证 ( 6 1 b x a 一1 t a b 一1 b ，a - 1 口) 1 3 我们有 ( 8 ) ( 1 0 ) ( 1 2 ) b - 1 b x a 一1 t a b 1 b a - 1 口$ a 一1 t a a 1 a2 a - 1 a x a 一1 t a 2 n l a x a i a a l t a fa - 1 a x b 一1 b a 一1 t a = a - 1 a b 一1 b a 一1 t a fa - 1 a a 一1 0 a 一1 t 口 我们要证 ( d t a ，a - 1 9 a ) ( 1 3 ) 因为卫s ( o 一1 0 ，b 一1 6 ) ，则a b 一1 b x a 一1 = a x a 一1 e ( s ) ，又因为t s ( g ，a x a 。) 及( 1 0 ) ，我们可证得 ( 9 t a x a ，g t a a 一1 ) f 即 ( g a x a ，9 t a a 一1 ) 再根据( 1 0 ) ，我们有( g a a ，g t a a 。) f 因此 g t m 口一1ft g n 8 1 = t a a 一1 即 故 现在我们证明 ( 9 a a ，t a a 一1 ) f ( a - 1 t ，a - 1 9 a ) ( 幻6 1 ，h b b 一1 ) f t b b 一1fb b 一1 渤一1 = b b 一1 t g b b 一1 = b b 一1 幻c 一1 c b b 一1 1 4 ( 1 4 ) 因此 t 6 6 1 b b 一1 t y c - - 1 c b b 一1 b b 一1 t g ，c - 1 c 0 8 1 b b 一1 fb b 一1 c 1 c 幻a a b b 一1 b b 一1 - c 1 c 9 t d o 一1 b b 一1 b b c - - 1 c g t o $ o b b 一1 = 拍c 1 c g n z 口一蚰一1 ( 引理1 2 3 ) ( a a 以f 目) ( o n 一1 f 目) ( 由( 1 0 ) ) b b 一- c c g a a b b 一1( 由( 1 0 ) ) = b b 一1 c 1 c o n 1 b b l fc - 1 c n 一1 b b 一1( b b 一1 e ；) fc - c b b 一1 = c - 1 c h b b 一1 c 一1 c h b b 一1 h b b 一1 由( 1 1 ) ，0 4 ) ，故有 ( b x a 一1 f 曲一，h b b 一1 ) f 因此 ( b - i b x a 一1 t a b 一1 b ，b - 1 h b b 一1 b ) f 即 ( b - 1 b x a 一1 t a b 一1 b ，b - 1 6 ) 再由( 1 2 ) ，( 1 3 ) 得 ( 口g a ，b - 1 h b ) f 弓f 理1 2 6 设e 为l r 一正规带，e 局( 研，日( 印或e 耳( ，e t ( s ) 设 g s ( e ，) ，则9 g ( e ( s ) ) 证明我们只证第一种情况 若口e f ( 占) ，则9 ，= 鲫，g i gg gg ，因为g e 陋p ) ) ，则g c 旧( s ) ) 若g 日( s ) ，则e g 嚣e g g g e gg gg ，又因为e g d ( f ( s ) ) ，即g g 旧( s ) ) 下面我们给出本文的主要定理 定理1 2 7 设( ，k ) l r n c p ( s ) ，贝0p ( 毛耳) 三r p ( s ) ，及h t r p = 6k e r p = k 1 5 反之，若p l r n p ( s ) ，则( h t r p ，k e r p ) l r n c p ( s ) 及p = p ( h t r p ，枷p ) 证明设( ，耳) l m v c p ( s ) ，p ( f ，) 如定义1 2 1 所确定，我们记为p = p ( f ，耳) 因为 e ( s ) k 且f 是自反的，所以p 是自反的再由引理1 2 3 知p 是对称的下证p 是传递的，设( o ，b ) p ，( b ，c ) p ，且一1 y ( o ) ，b 一1 y ( 6 ) ，c - 1 矿( c ) ，即 ( a a 一1 ，b b 一1 ) f ，( - - 1 b k ( b b ，c c 1 ) ，b - * c k 由于是传递的，则( 。，c c - 1 ) f 我们只需证明n 。c k 即可由引理1 2 3 可得只需证明c - 1 n k 即可，由引理1 2 3 得b - l a k ，c - 1 b k 又由于k 是s 的子半群，则 c l b b 4 1 k 设g s ( c c 一1 ，b b 一1 ) ，h s ( c c - 1 , 8 g 一1 ) ，贝g c c 一1 ( 四( s ) ) 且b b 一1 9 c y ( c 一1 b b 一1 ) ，贝0 b b 一1 9 c c - 1 b b 一1 = b b 一1 9 b b 一1 f c c 一1 9 6 6 1 = c c 一1 b b 一1 f n 口一1 a a 一1 = a a 一1 由定义1 2 1 ( b ) 可得 c - - 1 b b l g c c 一1 0 k 现在c - 1 b b 一1 9 c e ( s ) ( 凹( s ) ) ，因为b - 1 9 c y ( c _ 1 6 ) ，因此由定义1 2 1 ( a ) ，只要 证明( c 一1 b b g c ，c - 1 0 0 一1 h c ) ，我们就证明了c 一1 0 k 事实上， c c 一1fc c 一1 c c 一1fc c 一1 b b = c c 一1 9 6 6 1 c c 一1 9 c c 一1 = c c 一1 9 由的正规性可得 ( c - i c c 一1 c ，c 1 c c 一1 9 c ) f 即 ( c - ! c ，c 一1 9 c ) f 同理，我们可以证明( c - i c ，c - - 1 h c ) f 所以， c 一1 6 6 1 9 c = c - 1 9 c 一1 h c = c - 1 g a 一1 h c 1 6 到此我们证明了p 是等价关系下证p 是同余 设( a ，b ) p ，d 一1 矿( o ) ，b 一1 矿( 砷，贝有( d 8 1 ，b b 一1 ) f ，a - t b k ，设c s ， c 一1 y ( c 1 ( 1 ) 若c 一1 目，a 。一f 蜀 设g s ( c 一1 c ，a a 一1 ) ，h f 0 1 c ，b b 一1 ) ，则a - 1 9 c 一1 y ( ) ，b - h c 一1 y ( c 砩且 c a a - i g c 一1 = c g c 一1 四( s ) ，c 6 b - i h c 一1 = c h c 一1 e ( s ) c - 1 凹2c - 1 c o l g c 一1 c b b 一1 9 = c - i c h b b 一1 g( h s ( c 一1 c ，b b 一1 ) ) fc - 1 c h a a 一1 9 c 一1 c n o 一1 9 h ( c - i c j 口口一f h ) c - 1 c g - a a h = c - 1 c - a a 一- h ( c - 1 西岛) fc - 1 c b b 一1 h = c - 1 c h 再由f 的正规性，故 ( c c c g c ，c c c h c 一1 ) e 即( c g c ，c h c 一1 ) f 最后，由于a - i b k ，g c _ 1 c 俾( s ) ) ，由定义1 2 i ( b ) 可得 a - t g c c b 2a 9 c 1 c b k 因此由定义( ”) ，可得 ( c a ，c 6 ) 下证p 是右同余，即( a c ，b c ) n 设9 s ( o a ，c c _ 1 ) ，h s ( b b ，c c 一1 ) ，则c - i g a 一1 矿( 口c ) ，c - 1 肋一1 y ( b c ) ，且由引理1 2 4 得 d c c 一1 9 a 一1 = a g a 一1fb h b 一1 = b c c 一1 h b 1 因为k 是自共轭的且d ，6 k ，g e ( s ) 耳，故 c - 1 9 a - 16 c = c - l , g a 1 b c k 因此 ( a c ，b c ) p 1 7 ( 2 ) 若c - 1 c 马，口口一1 f b 设9 s ( c 1 c ，a a 一1 ) ，h s ( c 一1 c ，蚰一1 ) ，贝0a - 1 9 c 一1 y ( c 口) ，b - 1 h c 一1 v ( c b ) ， 且a - 1 9 c - 1 c a = a - t g a ，b - 1 h c c 6 = b - 1 h b 由引理1 2 5 ，故有 ( o g a ，b - 1 h b ) 又因为a - 1 9 c c b k ，因此 ( c a ，c b ) p 为证明右同余，设g s ( a a ，_ 1 ) ，h s ( b b ，c c - 1 ) 则c 一1 9 a 一1 y ( o c ) ，c - 1 h b 一1 y ( b c ) ，c - 1 9 a - 1 a c = c - 1 9 c ，c 一1 6 1 b c = c - 1 h c g c c 一1 = g a 一1 0 c c 一1 g b 一1 b c c 一1 = g b 一1 b h c c l f9 a 一1 h - c c 一1 f g d 一1 口c c 1 ( c c 一1 f 日a a 1 f 日) h ，a - l a g c c - 1( c c 一1 e r ) = h 口一1 a c c 一1 h b - t b c c 一1 = h c c 一1 再由的正规性，我们有c _ 1 9 c f c _ 1 h c 又因为a - l b eg e ( s ) k ，c - - 1 c k 且k 是自共轭的，故 c - 1 9 a 一1 b c = c 1