（基础数学专业论文）威腾猜想及其推广和物理中的弦对偶.pdf

中文摘要 近几十年来，理论物理，特别是弦理论，已经取得了巨大的进展，并且深刻 地影响着数学的发展。本论文的主要目的就是阐述近些年来，数学和物理相互交 织所产生的深刻结果。选择了两个当前数学物理最前沿的课题进行论述。 第一个课题是关于w i t t e n 猜想，对应于本论文的第一章。这一章主要阐述 了w i t t e n 猜想以及它的两种推广形式的历史发展和它们的解决情况。这一章各 个章节的主要内容是：第一节，回忆了w i t t e n 在物理上为什么提出该猜想以及 它在数学上的几种等价表述形式。第二节，主要讨论了现有的关于w i t t e n 猜想 的五种不同的证明，本人将它们分为三种类型，也就是，通过矩阵积分，h u r w i f z 数和w e i l - p e t e r s o n 体积的这三种方法。这一节给出了这些证明的主要思想。 第三节，主要讨论w i t t e n 猜想的两种推广形式，v i r a s o r o 猜想和w i t t e n 。sr - s p i n 猜想的表述，并且描述了后者的主要证明思路。最后第四节是本章的总结，提出 了作者对这个问题的一些看法。 第二个课题是讨论关于不同的物理理论之间的对偶性，以及由此所产生的数 学上的深刻结果，这部分内容对应于本论文的第二章。这章的主要内容是描述了 物理学家怎样从物理上提出这些猜想，接着给出它们在数学上的表述形式，以及 数学家在数学上提供的精确证明。第二章各节的主要内容是：第一节，首先给出 本章所要用到的关于拓扑弦的基本知识以及它跟超弦的联系。第二节给出了本章 需要涉及到的数学基础。第三节和第四节是本章的主体部分，将阐述拓扑弦之间 的对偶性理论，其中包括，拓扑a 一模型和拓扑b 模型之间的对偶性( 镜像对 称) ；大n 对偶( c h e r n - - s i m o n s 弦理论) 。然后简要给出了这些对偶所产生的 数学猜想和它们在数学上的证明，其中包括，镜像猜想，g o p a k u m a r - v a f a 猜 想，l a b a s t i d a - m a r i n o o o g u r i - v a f a 猜想，m a r i n o - v a f a 猜想。在本章的最 后一节，提到了本论文并未涉及到的关于拓扑弦的其他方面的内容，比如和四维 规范场的对偶性等。 a b s t r a c t t h el a s tt w od e c a d e s ，t h e o r e t i cp h y s i c s ，p a r t i c u l a r l yt h e8 t r i n gt h e o r y , h a sm a d eg r e a t p r o g r e s s e sa n di m p a c t e dt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c sd e e p l y t h eg o a lo ft h i st h e s i s i st op u r s u et h ei n t e r a c t i o n sb e t w e e nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s h e r e ic h o o s et w ot o p i c 8 w h i c hi sv e r yi m p o r t a n ti nt h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i cp h y s i c s t h ef i r s to n ei sa b o u tt h ew i t t e nc o n j e c t u r ew h i c hi sc h a p t e r1o ft h i st h e s i s t h i 8 c h a p t e ri sd e v o t e dt oi l l u s t r a t et h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n to ft h ew i t t e nc o n j e c t u r ea n d i t s g e n e r a l i z a t i o n s c h a p t e r1i sa r r a n g e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n1 w er e c a ut h ed e s c r i p t i o n s o ft h ew i t t e nc o n j e c t u r e i ns e c t i o n2 ，w ed i s e l l i st h ed i f f e r e n tp r o o f sf o rt h ew i t t e n c o n j e c t u r e id i 、r i d ea 1 1t h ep r o o f ss of a rw eh a v ek n o w nt ot h r e et y p e s a n ds h o wt h e i rm a i n i d e a st op r o v et h i sc o n j e c t u r e i ns e c t i o n3 ，w ed i s c l l 8 8t w og e n e r a l i z a t i o n so ft h ew i t t e n c o j e c t u r e ，i e v i r a s o r oc o n j e c t u r ea n dt h ew i t t e n sr - s p i nc o n j e c t u r e p a r t i c u l a r l y , 1w i l l s h o wt h ep r o o fo ft h ew i t t e n sr - s p i nc o n j e c t u r ep r e c i s e l y f i n a l l y , i ns e c t i o n4 ig i v et h e c o n c l u s i o nf o rt h i sc h a p t e r t h es e c o n do n ei st h ed u a l i t i e sb e t w e e nt h ed i f f e r e n tp h y s i c s t h et o p o l o g i c a ls t r i n g t h e o r yi st h es i m p l e s ts t r i n gt h e o r yw h i c hi sv e r yi m p o r t a n tb o t hi nm a t h e m a t i c sa n d p h y s i c s t h e i ri n t e r a c t i o n sh a v ep r o d u c e dm a n yg o o dm a t h e m a t i c s i nc h a p t e r2 1w i l l s h o wt h ed e v e l o p m e n t si nt h i sf i e l d im a i n l yf o c n so nt h ec o n j e c t u r e sp r o p o s e db yp h y s i c i s t t h r o u g hd u a l i t i e sa n dt h e i rm a t h e m a t i c a lp r o o f s t h i sc h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，i ns e c t i o n1 is h o wt h eb a s i sf o rt h et o p o l o g i c a ls t r i n ga n di t sr e l a t i o nt ot h e s u p e r s t r i n g t h e n ，8 0 m er e l a t e dm a t h e m a t i c sn e e d e di nt h i sc h a p t e ra r eg i y e ni ns e c t i o n 2 s e c t i o n3a n ds e c t i o n4a r et h em a i nb o d yo ft h i sc h a p t e r 1w i l ld e s c r i b et h ed u a l i t i e s b e t w e e nt h ed i f f e r e n tt o p o l o g i c a ls t r i n g s ( a - m o d e la n db - m o d e l ) a n dt h el a r g en - d u a l i t i e s h e r ew em a i n l y 出e c n s 8t h ec o n j e c t u r e sa n di t ss o l u t i o n si n c l u d i n gt h em i r r o rs y m m e t r y , g o p a k u m a r - v a f ac o n j e c t u r e ，l a b a s t i d a - m a r i f i o - o o g u r i - v a f ac o n j e c t u r ea n dm a r i f i o - v a f a c o n j e c t u r e i nt h el a s ts e c t i o n ，1w i l lr e f e rt os o m eo t h e rr e l a t i o n sw h i c hh a v en o tm e n t i o n e d h e r e t h ea p p l i c a t i o n so ft o p o l o g i c a ls t r i n ga r es h o w e di nf n 1 a c k n o w l e d g e m e n t s i ti sv e r yh a p p yf o rm et oe x p r e 韶m y p e r s o n a lg r a t i t u d et ot h o s ep e r s o n sw h o h a v eh e l p e d m ed u r i n gm yt h r e ey e a r si nz h e j i a n gu n i v e r s i t y a tf i r s t 1w o u l dl i k et ot h a n km ys u p e r v i s o r sp r o f e s s o rk e f e n gl i ua n dp r o f e s s o r h o n g w e ix uf o rt h e i ri n v a l u a b l eh e l p sb o t hi nm ys t u d ya n dl i f e p a r t i c l l l a r l y , f o rp r o f e s s o r k e f e n g “ul e a d i n gm et ot h i sb e a u t i f u lr e a r c h 右e l dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ia l s ot h a n k s t oe n d ac h e u n gf o ri n t r o d u c i n gm et h es t r i n gt h e o r ya n da n t o m om c c of o rt e a c h i n gm e t h et o r i cg e o m e t r ya n dt o p o l o g i c a ls t r i n g t h a n k st om yp a r e n t sf o rt h e i re n c o l e r a g i n gm et oc h o o s et h el i f ew h i c hil o v ea n d a l w a y ss u p p o r t i n gm ew h e n1w a ss t u n ki nt h em u d t h a n k st om ys i s t e rs h e n g z h iz h u f o rh e re n c o u r a g e m e n ta n df r i e n d s h i p s p e c i a l l yt h a n k st om yg i r l f r i e n dl i nx i af o rh e r l o v ea n dp a t i e n c e f i n a l l y , 1w o n l dl i k et ot h a n ka l lm yf r i e n d sa tc m s y il i h a ox u a n dw j il u o ，t h a n k y o uf o rd i s c u s s i n gw i t hm ea b o u tt h ei n t e r s e c t i o nt h e o r yo nt h em o d u l is p a c eo fr i e m a l l n s u r f a c e s ；t h a n k st ox i a o k u iy a n ga n df a n g l i a n gy i nf o rt e l l i n gs o m e t h i n ga b o u tc o m p l e x g e o m e t r y ：t h a n k st oe n t a oz h a oa n dh a i p i n gf uf o ro u rd i s c u s s i o na b o t i tt h ed i f f e r e n t i a l g e o m e t r yi nm ys e c o n dy e a ra tc m s 1w o u l da l s ot h a n k st oh o n g c h o n gc h e n ，s h o u w e n f a n ga n dm i nd a ie t c f o ry o u rh i e n d s h i p sw i t hm e c h a p t e r1 w i t t e nc o n j e c t u r ea n di t s j 11 i j e n e r a n z a t l o n s 1 1i n t r o d u c t i o n i n1 9 9 0 ，e w i t t e n w i 4 ，w i 5 】p r o p o s e daf a m o u sc o n j e c t u r et h a tc e r t a i ng e n e r a t i n gf u n c t i o n o ft h eh e d g ei n t e g r a l sw a sd e t e r m i n e db y8s e r i e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i e t h ek d v e q u a t i o n sg o v e r n e dt h ei n t e r s e c t i o nt h e o r yo f m i n1 9 9 2 ，m k o n t s e v i c h k o p r o v i d e da m a t h e m a t i c a lc o n n e c t i o nb e t w e e nt h ei n t e r s e c t i o nt h e o r yo fm 口na n dt h em a t r i xm o d e l ， a n dt h e ng a v et h ep r o o fo ft h ew i t t e nc o n j e c t u r e ( t h i sp r o o fw i l lb ed i s c u s s e di ns e c t i o n 1 2 1 i ti sac e l e b r a t e dw o r ki nt h a tt i m e a st h ed e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，m a n yn e wt h e o r i e sh a v ea p p e a r e d a n du n c o v e r e dt h em o r es u r p r i s i n gr e s u l t si nb o t hm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s p a r t i c u l a r l y , t h e s en e wr e s u l t sp r o v i d en e wv i e w st od e t e c tt h en e wp r o p e r t i e so fm o d u l is p a c em ” f o re x a m p l e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eh u i w t i z en u m b e r sa n dh o d g ei n t e g r a l sw h i c h i sn o wc a l l e dt h ee l s vf o r m u l a ；t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nw e i l - p e t e r s o nv o l u m e so ft h e m o d u l ls p a c eo ft h eh y p e r b o l l cr i e m a n ns u r f a c ew i t hb o u n d a r i e sa n dt h eh o d g ei n t e g r a l s ； t h en e wi d e n t i t i e so ft h eh o d g ei n t e g r a l st h r o u g ht h ed u a l i t i e sf r o mt h ep h y s i c s ( t h i sa s p e c t w i l lb ed i s c u s s e di nt h en e x tc h a p t e r ) i ti sn a t u r a lt oc o n s i d e rw h e t h e rt h e s en e wr e l a t i o n s c a ng i v et h en e wp r o o f so ft h ew i t t e nc o n j e c t u r e t h ea n s w e ri sy e s , m a n yn o wm e t h o d s t op r o v ew i t t e nc o n j e c t u r eh a v eb e e nd i s c o v e r e da f t e rk o n t s e v i c h 8o r i g i n a lp r o o ft h r o u g h t h em a t r i xi n t e g r a l s t h e a i m o f t h i sc h a p t e r i s t o g i v e a s u r g e r y f o r t h e d e v e l o p m e n t o f t h e w i t t e n c o n j e c t u r e a n di t sg e n e r a l i z a t i o n s t h er e s to ft h i sc h a p t e ri sa r r a n g e da sf o u o w 8 ：i ns e c t i o n1 w er e c a l lt h ed e s e r i p t i o n s f o rt h ew i t t e nc o n i e c t u r e i ns e c t i o n2 ，w ed i s c u s st h ep r o o f sf o rt h ew i t t e nc o n j e c t u r e ， id i 、r i d ea l lt h ep r o o f ss of a rw eh a v ek n o w nt ot h r e et y p e s a n ds h o wt h e i rm a i ni d e u st o p r o v et h i sc o n j e c t u r e i ns e c t i o n3 ，w ed l s c u t w og e n e r a l i z a t i o n so ft h ew i t t e nc o n j e c t u r e ， i e v i r a s o r oc o n j e c t u r ea n dw i t t e nr - s p i nc o n j e c t u r e p a r t i c u l a r l y , 1w i l ls h o wt h ep r o o f o ft h ew i t t a nr - s p i nc o n j e c t u r ep r e c i s e l y f i n a l l y , i ns e c t i o n4 ，ig i v et h ec o n c l u s i o nf o r 1 2w i t t e nc o n j e c t u r ea n di t sg e n e r a l i z a t i o n s t h i sc h a p t e r 1 2w i t t e nc o n j e c t u r e f r o mt h ev i e w so fp h y m c s ，t h ew i t t e nc o n j e c t u r eg i v e 8t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w o d i m e n s i o nt o p o l o g i c a lg r a v i t ye n dt h em a t r i xm o d e l p u r e l yi nm a t h e m a t i c a lt e r m ，t o p o - l o g i c a lg r a v i t ya m o u n t st ot h es t u d yo fs t a b l ei n t e r s e c t i o nt h e o r yo nt h em o d u l is p a c eo f f l j e m a n ns u r f a c e s i ti sn a t u r a ls i n c et h a tt h ee q u i v a l e n tc o n f o r m a ls t r u c t u r eo fas u r f a c e w i t hg i y e ng e n u si se q u a lt oi t se q u i v a l e n tc o m p l e xs t m c t u r ei nd i m e n s i o n2 ，t h u st h et e p o - l o g i c a lq u a n t u mg r a v i t yg i v e nb yt h ep a t hi n t e g r a lo na l lt h ee q u i v a l e n tm e t r i c si se q u a l t ot h ep a t hi n t e g r a lo na l lt h ee q u i v a l e n tc o m p l e xs t r u c t u r e s 。w h i c hi sj u s tt h ei n t e r s e c t i o n n u m b e rf o rt h em o d u l i8 p a c eo fr i e m a u ns u r f a c e sw i t hg i v e ng e n u s o nt h eo t h e rh a n d ， t h em a t r i xm o d e ld e s c r i p t i o no ft h et w od i m e u s i o nq u a n t u mg r a v i t yi sr e l a t e dt ot h ek d v h i e r a r c h y d i l l t h u s t h ee q u i v a l e n td e s c r i p t i o nf o rt h ec o n j e c t u r ei 8t h a tt h ek d vh i e r a r - c b yg o v e r n st h es t a b l ei n t e r s e c t i o nt h e o r yo nt h em o d u l is p a c e 嘲w i t t e n sf a m o u sp a p e r p r o m o t e dt h i sc o n j e c t u r e w i 5 i nt h i ss e c t i o n 1w i l ls h o wa l lt h ed e s c r i p t i o n sf o rw i t t e n c o n j e c t u r em a t h e m a t i c a l l y 1 2 1i n t e r s e c t i o nt h e o r yo ft h es t a b l em o d u l is p a c em 。 t h ei n t e r s e c t i o nt h e o r yo fm 9 ，nm u s tb es t u d i e di nt h ec a t e g o r yo fd e l l g n e - m u m f o r ds t a c k s o ri nt h ec a t e g o r yo fo r b i f o l da l t e r n a t i v e l y m 口。ni 8ac o m p l e t e ，i r r e d u c i b l e ，n o n s i n g a l a r d e l i g n e - m u m f o r ds t a c kw i t hc o m p l e xd i m e n s i o n3 9 一3 + 佗t h em o r ed e t a i l sw i l lb e f o u n di nf d m i t h ei n t e r s e c t i o nt h e o r yf o rm w a sf i r s td e v e l o p e da l s oi n 【d m 】，t h e n b ym u m f o r d m u t h et a u t o l o g i c a lc l a s s 妒俨( j 【乙mq ) i sd e f i n e da sf o l l o w f o re a c h m a r k i n gt ，t h e r ee x i s t sac a n o n i c a ll i n eb u n d i e 厶o nm d e t e r m i n e db yt h ef o l l o w i n g p r e s c r i p t i o n ：t h ef i b e ro fc a tt h es t a b l ep o i n t e dc u r v e ( c ，z l ，z 2 ，z n ) i st h ec o t a n g e n t s p a c e2 善( 翰) 0 fg8 t 墨l e t 他d e n o t et h ef i r s tc h e mc l a s so fc t t t l es o - c a u e dw i t t e nc o n j e c t u r ei 8a b o u tt h ec o m p l e t es e to fe v a l u a t i o n so fi n t e r s e c t i o n s o ft h e 曲c l a s si nt h ef o l l o w i n gf o r m 瓦。p t h es y m m e t r i cg r o u p & a c t so nm b y p e r m u t i n gt h em a r k i n g s s i n c et h e 妒c l a s s e s a r ep e r m u t e db yt h i s & a c t i o n ，t h ea b o v ei n t e g r a li su n c h a n g e db yap e r m u t a t i o no f t h ee x p o n e n t s 也t h u sac o n c i s en o t a t i o nf o rt h e s ei n t e r s e c t i o n sw h i c hi ss i m i l a rt ot h e v e v ( v a c n u l i le x p e c t a t i o nv a l u e ) i np h y s i c sw h i c h i sg i v e nb y ， 噍，7 如) 9 = 妒 1 毋 ( 1 2 1 ) j m i s u c hp r o d u c t sa r ew e l ld e f i n e dw h e nt h ed la r en o n - 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