（基础数学专业论文）微分模上的fourier变换理论.pdf

摘要 在数学里面，傅立叶分析和傅立叶变换已经发展了很长一段时间。傅立叶分析有 很多的科学应用，例如在物理学，偏微分方程，数论，密码学，数值分析，光学， 几何以及其他的领域。稳定态逼近是渐进分析中常用的一种方法在一定条件下， 对振荡积分值做贡献的主要来自被积函数在临界点附近的小区间的积分值 上同调理论中的傅立叶变换的局部性质的研究最早由l a u m o n 在 5 0 】中给 出l a u m o n 发现了稳定态原则，并由此引出了- a d i c 局部傅立叶变换的定义 仿射直线上的微分模的整体傅立叶变换是由某个相对d er h a m 上同调所定 义的g a u s s - m a n i n 联络得到它等同于通过交换( 可能差一个正负号) 由局部坐 标给出的数乘和这个局部坐标相对应的微分算子得到的微分模 微分模上的局部傅立叶变换理论分别由l 6 p e z 在 5 2 】中，以及b l o c h 和 e s n a u l t 在 4 】中给出。在 5 2 中，l 6 p e z 通过微局部微分算子环给出了全纯微 分模上的局部傅立叶变换。l 6 p e z 证明了全纯微分模上的傅立叶变换的稳定态公 式即一个全纯微分模通过傅立叶变换后在无穷远点的局部性质只与该微分模在 奇点以及无穷远点的局部性质有关 局部傅立叶变换可以看作整体傅立叶变换在局部的限制。基于这个观点，b l o c h 和e s n a u l t 在 4 】中，运用联络的好格的办法定义了局部傅立叶变换。用这种办 法，他们也证明了稳定态公式即一个在仿射直线中的一个稠密开子概型上带有 联络的向量从通过傅立叶变换后在无穷远点的性质只与该向量从在奇点以及无穷 远点的性质有关。然而这个文章的证明有很多不严谨的地方和错误 在这样的基础之上，我的博士论文主要致力于完善微分模的局部傅立叶变换 理论本论文的结构是按如下章节安排的 第二章我们讨论联络的好格特别的，我们讨论定义在离散赋值域上的联络 的好格对于一个在形式l a u r e n t 级数域上具有纯斜率的联络，我们可以在上面 定义一个赋值使得微分算子是一个同等放缩算子 第三章我们通过由相对d er h a m 上同调给出的g a u s s - m a n i n 联络给出了带 有联络的向量从的整体傅立叶变换的定义取该向量从的某个合适的好格，我们 可以通过凝聚层来定义上述相对d er h a m 上同调运用基变换定理，我们证明了 稳定态原则 第四章我们讨论局部傅立叶变换的一些性质，并与l d p e z 所定义的局部傅立 叶变换做了一些比较 第五章，我们给出了从零点到无穷远点，从无穷远点到零点，以及无穷远点 到无穷远点的局部傅立叶变换的精确公式。这几个公式表明局部傅立叶变换和 i i i i v摘要 l e g e n d r e 变换有着非常密切的联系 关键词：稳定态l e g e n d r e 变换联络好格奇异度斜率n e w t o n 多边形g a u s s - m a n i n 联络局部极小微分算子完全微分模半同构f o u r i e r 变换局部f o u r i e r 变 换 学科分类号：1 4 f 4 0 a b s t r a c t i nm a t h e m a t i c s ，f o u r i e ra n a l y s i sa n df o u r i e rt r a n s f o r mh a v eb e e nd e v e l o p e df o r al o n gt i m e f o u r i e ra n a l y s i sa n df o u r i e rt r a n s f o r mh a v em a n ys c i e n t i f i ca p p l i c a - t i o n s ，s u c ha si np h y s i c s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n u m b e rt h e o r y , c r y p t o g r a - p h y , n u m e r i c a la n a l y s i s ，o p t i c s ，g e o m e t r y , a n do t h e ra l e a 8 t h es t a t i o n a r yp h a s e a p p r o x i m a t i o ni sab a s i cp r i n c i p l eo fas p e c i a lc l a s so fa s y m p t o t i cf o u r i e ra n a l y s i s ， s u c ha so s c i l l a t o r yi n t e g r a l s u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h em a j o rc o n t r i b u t i o nt o t h ev a l u eo fo s c i l l a t o r yi n t e g r a lc o m e sf r o mn e i g h b o r h o o d so ft h o s ec r i t i c a lp o i n t s o ft h ei n t e g r a n d t h et h e o r yo fl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r i i l si nc o h o m o l o g i c a lt h e o r yw a sf i r s ti n - t r o d u c e db yl a u m o n 【5 0 ，i no r d e rt os t u d yt h el o c a lb e h a v i o ro fg l o b a ll - a d i c f o u r i e rt r a n s f o r mw h i c hw a sf i r s ti n t r o d u c e db yd e l i g n e l a u m o n 5 0 d i s c o v e r e d t h es t a t i o n a r yp h a s ep r i n c i p l e t h eg l o b a lf o u r i e rt r a n s f o r mo fa ：d - m o d u l eo nt h ea f f i n el i n ei sd e f i n e d t ob et h et h eg a u s s - m a n i nc o n n e c t i o no ns o m er e l a t i v ed er h a mc o h o m o l o g y t h eg l o b a lf o u r i e rt r a n s f o r mc a na l s ob eo b t a i n e db ys w i t c h i n g ( u pt os i g n ) t h e m u l t i p l i c a t i o nb ya c o o r d i n a t eo ft h ea f f i n el i n ea n dt h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o rw i t h r e s p e c tt ot h i sc o o r d i n a t e t h et h e o r yo fl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m sf o rd m o d u l e sw e r er e s p e c t i v e l yi n - t r o d u c e db yl 6 p e z 5 2 】a n db yb l o c ha n de s n a u l t 4 i n 5 2 ，l 6 p e zd e f i n e d l o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m so fh o l o n o m i c 惫陆，a t 卜m o d u l e su s i n gr i n g so ff o r m a lm i c r o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s l 6 p e zp r o v e das t a t i o n a r yp h a s ef o r m u l ae x p r e s s i n gt h e f o r m a lg e r ma ti n f i n i t yo ft h ef o u r i e rt r a n s f o r mo fah o l o n o m i c 尼瞄，侥卜m o d u l em i nt e r m so ft h ef o r m a lg e r m so fma ti t ss i n g u l a rp o i n t sa n da ti n f i n i t y l o c a lf o u r i e rt r a n s f o r r l l sc a nb ev i e w e da st h er e s t r i c t i o no fg l o b a lf o u r i e r t r a n s f o r m f r o mt h i sp o i n to fv i e w ，b l o c ha n de s n a u l t 4 d e f i n e dt h e1 0 c a lf o u r i e r t r a n s f o r m sb yt h et e c h n i c a lt 0 0 1o fg o o dl a t t i c e sp a i r so fc o n n e c t i o n s u s i n gt h i s m e t h o d ，t h e yp r o v e das t a t i o n a r yp h a s ef o r m u l a t h a ti s ，t h ef o r m a lg e r ma t i n f i n i t yo ft h ef o u r i e rt r a n s f o r mo fav e c t o rb u n d l ew i t hac o n n e c t i o no na no p e n d e n s es u b s c h e m eo ft h ea f f i n el i n e ，i st h ed i r e c ts u mo fl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m so f t h ev e c t o rb u n d l ef r o mi t ss i n g u l a rp o i n t st oi n f i n i t y h o w e v e r ，t h e r ew e r em a n y e r r o r si nt h ep a p e r o nt h eb a s i so ft h e s eb a c k g r o u n d m yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd e - v o t e dt oc o m p l e t i n gt h et h e o r yo fl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m sf o r ：d - m o d u l e s t h e d i s s e r t a t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s i i a b s t r a c t i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yd i s c u s sg o o dl a t t i c e sp a i r so fc o n n e c t i o n s p a r t i c u - l a x l y , w ed i s c u s sg o o dl a t t i c e sp a i r so fc o n n e c t i o n so nad i s c r e t ev a l u a t i o nf i e l d f o rac o n n e c t i o no naf i e l do ff o r m a ll a u r e n ts e r i e sw i t hp u r es l o p e ，w ed e f i n ea v a l u a t i o no nt h i sc o n n e c t i o ns u c ht h a tt h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri sp u r e i nc h a p t e r3 ，w ed e f i n et h eg l o b a lf o u r i e rt r a n s f o r mo fav e c t o rb u n d l ew i t h ac o n n e c t i o no na no p e nd e n s es u b s c h e m eo ft h ea f f i n el i n e ，b yt h eg u a s s - m a r l i n c o n n e c t i o no ns o m er e l a t i v ed er h a mc o h o m o l o g y c h o o s eas u i t a b l eg o o dl a t t i c e sp a i ro ft h ev e c t o rb u n d l e ，w er e w r i t et h er e l a t i v ed er h a mc o h o m o l o g yb y c o h e r e n tm o d u l e s u s i n gg r o t h e n d i e c k sp r o p e rb a s ec h a n g et h e o r e m ，w ep r o v e t h es t a t i o n a r yp h a s ef o r m u l a i nc h a p t e r4 w es t u d yp r o p e r t i e so f1 0 c a lf o u r i e rt r a n s f o r m s i nt h e1 a s tp a r t o ft h i sc h a p t e r ，w ec o m p a r et h e s ed e f i n i t i o n so fl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m sw i t ht h a t d e f i n e db yl 6 p e z i nc h a p t e r5 ，w eg i v e se x p l i c i tf o r m u l a sf o rl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m sf r o m0t o i n f i n i t y , f o r mi n f i n i t yt o0 ，a n df r o mi n f i n i t yt oi n f i n i t y , r e s p e c t i v e l y i ti n d i c a t e s t h er e l a t i o nb e t w e e nl o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m sa n dl e g e n d r et r a n s f o r m s k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：s t a t i o n a r yp h a s e ；l e g e n d r et r a n s f o r m ；c o n n e c t i o n ； g o o dl a t t i c e sp a i r ；i r r e g u l a r i t y ；s l o p e ；n e w t o np o l y g o n ；g a u s s - m a n i nc o n n e c - t i o n s ；m i c r o - l o c a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ；h o l o n o m i cd m o d u l e ；q u a s i i s o m o r p h i s m ； f o u r i e rt r a n s f o r m s ；l o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m s a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n s ：1 4 f 4 0 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：亩考 叫年5 月多j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：亏多墨- 手 一年彳月多j 日 1i n t r o d u c t i o n 1 1 c l a s s i c a lf o u r i e ra n a l y s i s t h et h e o r yo ff o u r i e ra n a l y s i sa n df o u r i e rt r a n s f o r mh a v em a n ys c i e n t i f i ca p p l i - c a t i o n s p a r t i c u l a r l y , t h e yh a v em a n ya p p l i c a t i o n si nm a n ye m b r a n c h m e n t so f m a t h e m a t i c s f o re x a m p l e ，l a u m o ng a v ean e wp r o o fo fw b i li ib yag e o m e t r i ca n a l o g u eo ft h ef o u r i e rt r a n s f o r m i nt h ep - a d i cc a s e ，k e d l a y ae s t a b l i s h e d t h ef o u r i e rt r a n s f o r mf o ro v e r c o n v e r g e n tf - i s o c r y s t a l so nt h ea f f i n el i n e u s i n g l a u m o n sm e t h o d k e d l a y ag a v eap u r ep - a d i cp r o o fo fw 色i li i l e tf ( t ) b eaf u n c t i o ni nl 1 ( r 1 ) w ed e f i n et h ef o u r i e rt r a n s f o r m ，o f ，b y 氕z ) 2 而1 ，m e i t x 砒 一 ，i t h e nw eh a v e 鬈= i t f a n dz 厂= 主( 粉 a z 口艺 s ou n d e rf o u r i e rt r a n s f o r m ，t h em u l t i p l i c a t i v eb yta n dt h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r 爰c o r r e s p o n dt o t 丢a n d i x ，r e s p e c t i v e l y i nm a t h e m a t i c s ，t h es t a t i o n a r yp h a s ea p p r o x i m a t i o ni sab a s i cp r i n c i p l eo f a s y m p t o t i ca n a l y s i s ，a p p l y i n gt ot h ef o l l o w i n go s c i l l a t o r yi n t e g r a l ，( 入) = f 9 ( z ) e t a m ) 如 i ft h ed e r i v a t i v eo f ，( z ) d o e sn o tv a n i s ha ta n yp o i n ti ns u p p ( f ) ，t h e n ，( 入) i s r a p i d l yd e c r e a s i n ga to 。i ff ( x ) h a so n l yf i n i t e l ym a n yc r i t i c a lp o i n t si ns u p p ( f ) ， t h em a j o rc o n t r i b u t i o nt ot h ev a l u eo ft h ei n t e g r a l ，( 入) f o rl a r g e 入c o m e sf r o m n e i g h b o r h o o d so ft h o s ec r i t i c a lp o i n t s a g e n e r a lc l a s so fi n t e g r a l sw a ss t u d i e db yx s u n c o n s i d e rt h ef o f i o w i n g i n t e g r a l ， f ( 入) = 9 ( z ，x ) e i f ( x , ) d z ， a l lt h e s ef u n c t i o n sa r er e a lv a l u e d x s u np r o v e st h a t ：u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ， a n df o r 入_ 。o m ) = 0 ( z ， 尼0 ，a ) = 0 e t ，( 茁 a ) + 孥s g n ( z 磊( 善a ) ) + 。c 揣，) 2j 2f o u r i e rt r a n s f o r mo f2 一a d i cs h e a v e s e x a m p l e1 1 c o n s i d e ras m o o t hf u n c t i o n ，( z ) t h el e g e n d r et r a n s f o r mo ff ( x ) i sd e f i n e da sf o l l o w s ：f i r s tc o n s i d e rt h ef u n c t i o n s o l v et h ef o l l o w i n ge q u a t i o n f ( x ，入) = f ( x ) + z 入 篆叫( 卅入= o f o rza saf u n c t i o no f 入a n dw r i t et h es o l u t i o na sz = 9 ( 入) t h el e g e n d r et r a n s f o r m 己，o ff i sd e f i n e dt ob e l ，( 入) = f ( 夕( 入) ，入) = 厂( 9 ( a ) ) + 夕( 入) 入 u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n so nf ( x ，入) ，a s 入一o 。， t h i se x a m p l ei n d i c a t e st h er e l a t i o nb e t w e e nf o u r i e rt r a n s f o r ma n dl e g e n d r e t r a n s f o r m 1 2 f o u r i e rt r a n s f o r mo f - a d i cs h e a v e s t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w eu s et h ef o l l o w i n gn o t a t i o n s n o t a t i o n1 ：f o ra n yf i e l dk 1 e t a ：= s p e ck i t ，g 仇，七= s p e ck i t ，l t ，p ：= p r o jk t o ，t 1 n o t a t i o n2 ：f o ra n yz k ，l e tt z = t z ，t o o = 1 t ，砭= t 7 一za n dt - = 1 t 7 n o t a t i o n3 ：l e t 叩= s p e ck ( t ) a n d7 7 7 = s p e ck ( t 7 ) f o ra n yz k u o o ，l e t = s p e c k ( ( t 口) ) ，吃= s p e c k ( ( t ：) ) f o ra n yz ，y ku ) ，l e t ( ( k ，；) ) b et h ef i e l d o ff o r m a ll a u r e n t s e r i e s t ，j 一o 。a 。手。i 手0 ，ka n dl e t ，= s p e c k ( ( t x ，t ；) ) n o t a t i o n4 ：t h ei n c l u s i o n s 砟】q 南( 亡) ，k i t 】q 后( ( 如) ) ，k i t ，t 7 q 忌( ( 乞，亡；) ) i n d u c e sm o r p h i s m s 叩一a ：，_ a ：，l ，一a ：xa ： c h a p t e rj i n t r o d u c t i o n3 m o d u l e so n 毗c a db er e s t r i c t e dt o ，7a n d t h r o u g ht h e s em o r p h i s m s n o t a t i o n5 ：f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rr ，d e n o t eb y 叫t h ek u m m e re x t e n s i o no f f i e l d s 七( ( 亡) ) q 七( ( 饥) ) t h eg l o b a l ( g e o m e t r i c ) 1 - a d i cf o u r i e rt r a n s f o r mw a sf i r s ti n t r o d u c e db yd e l i g n e s u p p o s eki sa na l g e b r a i cc l o s u r eo faf i n i t ef i e l df qo fc h a r a c t e r i s t i cpw i t h qe l e m e n t s c h o o s eap r i m en u m b e r1 p s u p p o s ec 妒i st h er a n ko n ea r t i n - s c h r e i e rl i s s eq l - s h e a fo i la ：a s s o c i a t e dw i t han o n t r i v i a lc h a r a c t e r 妒：f p _ q ； f o ra n ym o r p h i s m ，：x a 1o fs c h e m e s ，i e f o ra n y ，o x ( x ) ，s e tc ，= ，+ ( 妒) t h eg l o b a lf o u r i e rt r a n s f o r mo fa n - a d i cs h e a fm o na 1i sd e f i n e dt ob e 厂( 朋) = r p ：! ( p t m lc 彬) ， w h e r ep l ，p 2a r et h ep r o j e c t i o n s s p e c 科亡，t 7 】_ a 1 a 1 一a 1 i no r d e rt os t u d yt h el o c a lb e h a v i o ro fg l o b a ll - a d i cf o u r i e rt r a n s f o r m ，l a u m o n 5 0 d i s c o v e r e dt h es t a t i o n a r yp h a s ep r i n c i p l ea n di n t r o d u c e dl o c a l - a d i c f o u r i e rt r a n s f o r m s s u p p o s emi sl i s s eo nan o n e m p t yo p e ns u b s c h e m euo fa 1 l a u m o n 5 0 d i s c o v e r e dt h a t ，( 朋) l ，如d e p e n d so n l yo nt h o s e 朋i 啦f o rz a 1 一u a n dm i m o r ep r e c i s e l y , 厂( 朋) i 叱= o 厂z ( 朋i 伽) x e p - u t h i sp r o p e r t yi sa n a l o g o u st ot h es t a t i o n a r yp h a s ep r i n c i p l ei nc l a s s i c a la n a l y s i s t h e s el o c a lf o u r i e rt r a n s f o r m sa r ed e f i n e db yc o h o m o l o g i c a lf u n c t o r sa n da r e n o te a s yt oc a l c u l a t e h o w e v e r ， 5 0 ，2 6 3 ，l a u m o ng a v ec o n j e c t u r a lf o r m u l a s o fl o c a lf o u r i e rt r a n s f o f i n sf o rac l a s so f - a d i cs h e a v e s ，s u g g e s t e db ym a l g r a n g e f r o mt h ec l a s s i c a lc a l c u l a t i o no fa s y m p t o t i ce x p a n s i o n c o n s i d e rq ( 亡) = a _ s t 一暑+ a l - 8 半十，af o r m a ll a u r e n ts e r i e si n 古w i t ha 一8 0 l e tz ( t 7 ) b et h e l e g e n d r et r a n s f o r mo fq t h e np i saf o r m a ll a u r e n ts e r i e si n 而1o fo r d e r - - 8 l a u m o nc o n j e c t u r e df o rp r 8 ， 厂( o ，o o ( p 】，c a ) 一p + s 。( c p ) t h i sc o n j e c t u r ew a sp r o v e db yf u ，l e ii n 2 9 i tt u r n so u tt h a tt og e tt h e c o r r e c tr e s u l t ，t h ec o n j e c t u r a lf o r m u l a so fl a u m o na n dm a l g r a n g eh a v et ob e s l i g h t e dm o d i f i e d a c t u a l l y , f uc a l c u l a t e da m o r eg e n e r a l l yc l a s so f - a d i cs h e a v e s f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rn p r i m et op ，l e tu n ( k ) = ( 忌i ( = 1 ) l e tj | | c 之b e 4j 3g l o b a lf o u r i e rt r a n s f o r mo 勿一m o d u l e s t h er a n ko n el i s s e 砭一s h e a fo ng ma s s o c i a t e dt oac h a r a c t e rx ：肛( 后) 一砭f u p r o v e dt h a ti fp s a n dpi sp r i m et o2 r s ( r + s ) ，t h e n 厂( 。 o 。( h ，( c a c x i 啪) ) = p + s 。( pq 瓦x i q s 】8 | | | c x ：i 叱) ， w h e r e 咒x 2i s t h ek u m m e rs h e a fa s s o c i a t e dt ot h eu n i q u en o n t r i v i a lc h a r a c t e r x 2 ：p 2 ( 尼) _ 砑o fo r d e r2 l a t e r ，a b b e sa n ds a i t op r o v e dm o r eg e n e r a lr e s u l t s 1 3 g l o b a lf o u r i e rt r a n s f o r mo f 刃- m o d u l e s f r o mn o wo n a l lf i e l d ska r ea s s u m e dt ob eo fc h a r a c t e r i s t i c0 d e n o t eb y t h er a n ko n ec o n n e c t i o n ( o a t 。d + d t ) h o r i z o n t a ls e c t i o no f i se 一( s o i s as u b s t i t u t eo fe 托i nc l a s s i c a lf o u r i e ra n a l y s i s ) t h eg l o b a l ( g e o m e t r i c ) f o u r i e r t r a n s f o r mo fa 口一m o d u l e 朋o na ：i s 厂( 朋) = r 1 p 2 。( p ；j t 4o ) t h i sd e f i n i t i o ni sa n a l o g o u st o 酃，) _ 邢矽 m o r ep r e c i s e l y , c o n s i d e rak i t ，a 卜m o d u l em f o u r i e rt r a n s f o r m7 ( m ) o fm i sd e f i n e db yt h eg a u s s - m a n i nc o n n e c t i o no nt h er e l a t i v ed er h a me o h o m o l o g y 日1 ( m 圆詹七吲当m 七k t ，】) ( 1 1 ) t oc o m p u t et h i sg a u s s m a n i nc o n n e c t i o n ，c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc o m m u t a t i v e d i a g r a m m o 免七吲 6 。a j ， 三m o 七k i t 7 j o 如7 l a 上 m o 七k i t 7 】3m 南k i t 7 】omo 七k i t 7 三mo _ i ck t 7 】 一a 上 m 瓯k i t 7 三 - 0 + 5i 山 m q 七k e ( 1 2 ) w h e r e w h e r eii st h ee m b e d d i n g k i t 7 】a n dw h e r e7 r i st h e 忌旺7 】日mq 忌池7 】t h e n b o u n d a r ym a p6 0 = a + a n d6 = 巩+ t ， o n t ot h ef i r s td i r e c ts u m m a n do fm 圆七科卅o m 瓯 p r o j e c t i o ni n d u c e db yt h es e c o n ds u m m a n do fm o 七 t h eg a u s s - m a n i nc o n n e c t i o no nh 1i sg i v e nb yt h e s of o ra n yk i t ，剀一m o d u l em ，( m ) i st h ec o n n e c t i o no nt h e 七。m o d u l e ( 1 1 ) d e f i n e db y 侥，十t t h en a t u r a lc o m p o s i t i o no fm a p s m q m 吼科亡 神厂( m ) i sa ni s o m o r p h i s mo fk - v e c t o rs p a c e s s ot h ef o u r i e rt r a n s f o r m 厂( m ) d e f i n e d a b o v ec a nb ev i e w e da st h es a m ek - v e c t o rs p a c eme q u i p p e dw i t ha 砟7 ，统，】- s t r u c t u r eb ys e t t i n g = 一aa n d0 t ，= 亡 l 4s t a t i o n a r yp h a s ep r i n c i p l e f o ra n yz p ：( 忌) ，d e n o t eb yp ： 【亡：】t h ef o r m a lc o m p l e t i o no f1 p d ：p la l o n g p ： z ) f o ra n yc o h e r e n ts h e a fv o i lp ：，d e n o t eb y1 夕 ：】t h ec o m p l e t i o no fp ：v a l o n g 觋 z ) n o wl e tm b eal o c a l l yf i n i t ef r e e si saf i n i t ec o l l e c t i o no fp o i n t s s e t 仇一s m o d u l ew i t ha c o n n e c t i o nv ，w h e r e 主：a ：一sqa ：，歹：a ：一sqi c d ：，p ：a ：a ：qp