（基础数学专业论文）有限群素数幂阶子群的研究.pdf

1 燃 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有除已注明部分外论文中不包含其他人已经发表过的研究 成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容对本文的研究工作提供过重要帮 助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢 。m 劲一年f 月沁日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 。玩1 新签名铡7 孵慷。日 有限群素数幂阶子群的研究 摘要 研究有限群的结构和性质时，我们常常借助于其素数幂阶子群。例 如，s y l o w 子群的极大子群和p 群等等很明显，有限群的素数幂阶子群在 我们研究有限群理论过程中起着非常重要的作用本文的主要目的，是通 过研究数幂阶子群进一步研究群的结构和性质尤其是s y l o w 子群的极大子 群。 本文中我们主要研究有限群s y l o w 子群( 素数幂阶子群) 的极大子群满 足一定条件时群的结构和性质，并且到了一系列有关p 幂零。陛$ 1 p - 超可解的 充分必要条件全文分为以下四章： 第一章，介绍有限群的素数幂阶子群研究的历史背景，发展状况和研究 思想 第二章，通过对s s 拟正规子群t n c 补子群的结合研究群的结构和性 质，从而得到有限群p 一幂零，p 一超可解的一些充分必要条件，并推广到群 系。 第三章，拓展s s 拟正规子群和x s 置换子群的概念提出x s s 一置换子 群的概念，结合素数幂阶子群和x s s 一置换子群来研究有限群的结构和性 质 第四章，提出s 4 正规子群的概念，研究有限群s y l o w 子群的极大子 群( 素数幂阶子群) 在满足一定条件下对群结构和性质的影响。 关键词：f i t t i n g 子群c - k _ 规子群s 一拟正规s 拟正规嵌入子 群p 幂零群饱和群系超可解s d 拟正规极大子群 分类号：0 1 5 2 1 t h ei n v e s t i g a t i o nt o p r i m epo w e ro r d e rs u bg r o u p s o ff i n i t eg r o u ps a b s t r a c t w h e ns t u d y i n gt h ep r o p e r t ya n ds t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u p s ，w eo f t e nf a l lb a c ko n p r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p s f o re x a m p l e ，t h em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p a n dp - s u b g r o u p sa n ds oo n o b v i o u s l y t h ep r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p sp l a ya ni m p o 卜 t a n tp a r ti nt h ei n v e s t i g a t i o no ff i n i t eg r o u pt h e o r y t h em a i np u r p o s eo ft h i sa r t i c l e i st op a yf u r t h e ra t t e n t i o nt ot h es t r u c t u r ea n dt h ep r o p e r t yo ff i n r eg r o u p sb ym e a l l s o ft h ep r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p s s p e c i a l l y , t h em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo ff i n i t eg r o u p sw h i l et h e m a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u ps a t i s f yc e r t a i nc o n d i t i o n ，a n do b t a i nas e r i e so f n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so np - n i l p o t e n ta n dp - s u p e r s o l v a b l ep r o p o s i t i o n o ff i n i t e g r o u p s t h et h e s i si sd i v i d e di n t of o u rp a r t sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，i n t r o d u c i n gt h eb a c k g r o u n d s ，s t a t u so fd e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c h - i n gi d e a so fp r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s i nc h a p t e rt w o ，i n v e s t i g a t i n gt h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo ff i n i t eg r o u pb ym e a n s o ft h ec o m b i n a t i o no fs s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u pa n dc - s u p p l e m e n ts u b g r o u p ，a n ds o m e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fp - n i l p o t e n ta n dp - s u p e r s o l v a b l ea r eo b t a i n e d m o r e - o v e r ，c o u l db ee x t e n d e dt of o r m a t i o n i nc h a p t e rt h r e e g i v i n gaf u r t h e re x t e n s i o no ft h ec o n c e p t so fs s - q u a s i o r m a l i t y s u b g r o u pa n dx s - p e r m u t a b l es u b g r o u p w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fx s s p e r m u t a b l e s u b g r o u p i n v e s t i g a t i n gt h es t r u c t u r ea n dt h ep r o p e r t yo ff i n i t eg r o u p sb ym e a n so ft h e c o m b i n a t i o no ft h ep r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p sa n dx - s s - p e r m u t a b l es u b g r o u p s i nc h a p t e rf o u r ，i n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fs 一n o r m a ls u b g r o u pa n di n v e s t i g a t i n g t h es t r u c t u r ea n dp r o p o s i t i o no ff i n i t eg r o u p sw h i l et h em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o w s u b g r o u p s ( p r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p s ) s a t i s f ys o m ec o n d i t i o n k e y w o r d s ：f i t t i n gs u b g r o u p c - n o r m a ls u b g r o u p s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s - q u a s i n o r m a le m b e d d e ds u b g r o u pp - n i l p o t e n ts u b g r o u ps a t u r a t e df o r m a t i o n s u p e r s o l v a - b l e s s q u a s i n o r m a lm a x i m a ls u b g r o u p m s c ：0 1 5 2 1 c o n t e n t s 摘要 a b s t r a c ti i i n o t a t i o nv i i c h a p t e ro n ep r e f a c e - 1 1 1i n t r o d u c t i o n 1 2p r e l i m i n a r i e s 5 c h a p t e rt w oc - s u p p l e m e n t e da n ds s q u a s i n o r m a ls u b g r o u p so ff i n i t e g r o u p - 1 1 c h a p t e rt h r e ex - s s - p e r m u t a b l es u b g r o u po ff i n i t eg r o u p1 4 c h a p t e rf o u ro ns 4 - n o r m a ls u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s2 1 r e f e r e n c e s2 5 致谢2 8 攻读学位期间发表论文情况2 9 g ，h ， 歹“ a g a g a 璺g h 兰g c g ( h ) ，g ( 日) h go rc o r e g ( h ) lg ：h i a u t ( g ) x 儿( i = 1 ，2 ， g = 【h k 仉( g ) 朋( p ) z ( g ) f ( g ) f ( g ) 垂( g ) ( 口，b ) n o t a t i o n g r o u p s c l a s s e so fg r o u p s ai sas u b g r o u po ft h eg r o u pg ai sap r o p e rs u b g r o u po ft h eg r o u pg ai san o r m a ls u b g r o u po fg hi si s o m o r p h i cw i t hg c e n t r a l i z e r ，n o r m a l i z e ro fh i ng c o r eo f 日i ng i n d e xo ft h es u b g r o u ph i nt h eg r o u pg a u t o m o r p h i s mg r o u po fg d i r e c tp r o d u c t s s e m i d i r e c tp r o d u c to fh a n dk ，w h e r ehi sn o r m a li ng m a x i m a ln o r m a l7 r s u b g r o u po fg t h es e to fa l lm a x i m a ls u b g r o u p so ft h ep - g r o u p 尸 c e n t e ro fg f i t t i n gs u b g r o u po fg g e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u po fg f r a t t i n is u b g r o u po fg g r o u pg e n e r a l i z e db yg e n e r a t o r soa n d b c h a p t e ro n e p r e f a c e i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dt h ep r e s e n ti n v e s t i g a t i o n s o ft h ep r o b l e m ，a n dt h e nr e c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t sa n dm a i nl e m m a sw h i c h a r en e e d e d i nt h es e q u e l 1 1i n t r o d u c t i o n i t i sa l li m p o r t a n tm e t h o do fs t u d y i n gf i n i t eg r o u p sb ym e a n so fp r i m ep o w e r o r d e r s u b g r o u p s f o re x a m p l e ，m i n i m a ls u b g r o u p s ，t h em a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o l l p ， p - s u b g r o u p sa n ds oo n t h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p si sc l o s e l yr e l a t e dt ot h ep r o p e r t i e s o rp m m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p s ，a n dt h e r ea r em a n y p r o b l e m sw h i c hc a db es o l v e do n l y b yad e t a i l e de x a m i n a t i o no ft h er e l e v a n tp r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p s t h eh i s t o r vo f f i n i t eg r o u pt h e o r ys h o w st h a tt h ei n v e s t i g a t i o no f p r i m ep o w e ro r d e rs u b g r o u p si so n eo f t h em o s tp o w e r f u lm e t h o d st os t u d yt h ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r e so ft h ef i n i t eg r o u d s 一 a l lg r o u p sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e rw i l lb ef i n i t e as u b g r o u ph o fgi sc a l l e ds q u a s i n o r m a li ngp r o v i d e dhp e r m u t e sw i t ha l ls y l o ws u b g r o u p so fg ，i e ，日s ：9 日f o r a n ys y l o ws u b g r o u pso fg hi sc a l l e ds - q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di ng p r o v i d e de v e r 、r s y l o ws u b g r o u po fhi sas y l o ws u b g r o u po fs o m es q u a s i n o r m a ls u b g r o u pko fg hi s c a l l e dc s u p p l e m e n t e di ngi ft h e r ee x i s t sas u b g r o u pn o fgs u c ht h a tg ：日a n d 日f n h c = c o r e a ( h ) h i ss a i dt ob es s q u a s i n o r m a li ng i fhh a sas u p p l e m e n tb s u c ht h a thp e r m u t e sw i t ha l is y l o ws u b g r o u p so fb g u o ，s h u ma n ds k i b ai n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fx - p e r m u t a b l es u b g r o u p l e th ，t b es u b g r o u p so fag r o u pga n dxan o n e m p t ys u b s e to fg r o u pg ，t h e nh i ss 2 l i dt ob e x - p e r m u t a b l ew i t hti ft h e r ee x i s t ss o m ez xs u c ht h a th t = = t = h r e c e n t l v ，i n 1 0 ， l s h ia n dw g u oe x t e n d e dt h i sc o n c e p tt ox sp e r m u t a b l es u b g r o u p l e tg b eag r o u d a n dxan o n e m p t ys u b s e to fg ，as u b g r o u ph o fgi ss a i dt ob ex - s p e r m u t a b l ei ng i f f o re v e r ys y l o ws u b g r o u pto fg it h e r ee x i s t sa ne l e m e n tz xs u c ht h a t 日2 屯：p 日 a sa n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no fn o r m a l i t y , w a n gi n t r o d u c e dt h e f o l l o w i n gc o n c e p t ：hi s c a l l e dc - n o r m a li ngi ft h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u pk o fgs u c ht h a tg ：h ka n d 日n n h a = c o r e a ( h ) r e c e n t l y , i n 【8 ，h w e ia n dy w a n gi n t r o d u c e dt h ec o n c e p t o fc - n o r m a ls u b g r o u p as u b g r o u ph o fgi ss a i dt ob ec * - n o r m a li ng i ft h e r ee x i s t sa n o r m a ls u b g r o u pko fgs u c ht h a tg = h k a n dhnki ss - q u a s i n o r m a l l ve m b e d d e di n g t h e ys h o w e dt h a tg 厂i ft h e r ei sas o l v a b l en o r m a ls u b g r o u ph s u c ht h a tg h ， _ 。1 。_ _ - _ _ _ _ _ - 。_ _ _ - 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ _ 。_ 。1 。1 。1 1 。1 。 里查兰竺主兰竺望查窒堡竺墨竺! 竺量登竺! 墨 a n da l lm a x i m a ls u b g r o u p so fa l ls y l o ws u b g r o u p so ff ( 日) a r ee + 一n o r m a li ng i n1 9 8 0 ，s r i n i v a s a ne s t a b l i s h e da l l e x a m p l e ，l e tm ( a ) d e n o t et h ef a m i l y i n t e r e s t i n gt h e o r e mo ns u p e r s o l v a b l eg r o u p s f o r o fm a x i m a ls u b g r o u p so fa l ls y l o ws u b g r o u p so f g i n 【2 4 ，s r i n i v a s a np r o v e dt h a taf i n i t eg r o u pg i ss u p e r s o l v a b l ei fe v e r ym e m b e ro f m ( g ) i ss - q u a s i n o r m a li ng t h i sl e daf a m o u st o p i co ng r o u pt h e o r y i n 吼b a l l e s t e r - b o l i n c h e sa n dp e d r a z a - a g u i l e r as h o w e dt h a ti fe v e r ys u b g r o u po fm ( a ) i ss - q u a s i n o r m a l l y e m b e d d e di ng ，t h e ngi ss u p e r s o l v a b l e m a s a a da n da a h e l i e ls h o w e dt h a tag r o u pg i sp - n i l p o t e n tf o rt h es m a l l e s tp r i m epd i v i d i n gt h eo r d e ro fgi fa n do n l yi fa l lm e m b e r so f m ( g p ) a r es - q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di ng r e c e n t l y , i n 1 】，s l ia n dz s h e ni n t r o d u c e d t h ec o n c e p to fm d ( p ) l e tdb et h es m a l l e s tg e n e r a t o rn u m b e ro fap - g r o u ppa n d m d ( p ) = 【p 1 ，p d ) b ea s e to fm a x i m a ls u b g r o u p so fps u c ht h a tn ：l ( 只) = 圣( p ) ac l a s s 手o ff i n i t eg r o u p si sc a l l e d 氆f o r m a t i o ni fi th a st h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： ( i ) i fg 厂a n dn 里gt h e ng i n 芦 ( i i ) i fc n , ( i = 1 ，2 ) 厂t h e ng ln 2 厂 i f ，i na d d i t i o n ，g , f ( g ) 厂i m p l i e sg 尸，t h e n 厂i sc a l l e ds a t u r a t e d a ni n t e r e s t i n g e x a m p l eo fas a t u r a t e df o r m a t i o ni st h ec l a s so fa l ls u p e r s o l v a b l eg r o u p s ，w h i c hi sd e n o t e d b y “a sw e l lk n o w nr e s u l t s ，甜，厂a r es a t u r a t e df o r m a t i o n s l e t 芦b eas a t u r a t e df o r m a t i o na n dn 璺g ni ss a i dt ob ew - h y p e r c e n t r a li ng p r o v i d e dn h a sac h a i no fs u b g r o u p s1 = n o 司1 司q r = ns u c ht h a tm + 1 批i sa n 子一c e n t r a lc h i e ff a c t o ro fg t h ep r o d u c to fa l l 一h y p e r c e n t r a ls u b g r o u p so fgi sa g a i n a n 歹 - h y p e r c e n t r a ls u b g r o u po fg i ti sd e n o t e db yz 多( g ) a n dc a l l e dt h e t - h y p e r c e n t e r o fg f o raf o r m a t i o n 芦e a c hg r o u ph a sas m a l l e s tn o r m a ls u b g r o u pns u c ht h a tg ni s i n ，t h i su n i q u e l yd e t e r m i n e dn o r m a ls u b g r o u po fgi sc a l l e dt h ew - r e s i d u a ls u b g r o u p 0 fga n di sd e n o t e db yg ， i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w ew i l li n t r o d u c et h ef o l l o w i n gn e wt w oc o n c e p t s ： d e f i n i t i o n1 ( c h a p t e r3 ，d e f i n i t i o n3 1 】) l e tgb eag r o u pa n dxan o n e m p t y s u b s e to fg as u b g r o u pho gi ss a i dt o b ex - s s p e r m u t a b l ei ng 毽hi sx - p e r m u t a b l e 埘饶a l ls y l o ws u b g r o u p so fs o m es u p p l e m e n tto yhi ng d e f i n i t i o n2 ( c h a p t e r4 ，d e f i n i t i o n4 1 】) l e tgb eag r o u p as u b g r o u p 日o fgi s s a i dt ob e 口礼s + 一n o r m a ls u b g r o u po fg 矿t h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u pko ygs u c h t h a tg = 日ka n dhnki se i t h e rs s q u a s i n o r m a lo rs q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e di ng 2 r e c e n t l y ，w g u o ，a ns k i b aa n dk p 。s h u mi n t r o d u c e dt h ef o l l o w i n gt w o d e f i n i t i o n s ： d e f i n i t i o n3 ( 2 7 ，d e f i n i t i o n1 1 】) t a k et w os u b g r o u p saa n dbo fga n do x g s a yt h a t ( 1 ) ai sas u b g r o u px - p e r m u t a b l ew i t hbi fa b 2 = b z a f o rs o m ez x ； ( 2 ) ai sns u b g r o u ph e r e d i t a r i l yx p e r m u t a b l ew i t hbi ，a b z = b z af o rs o m ez x n ( a ，b ) d e f i n i t i o n4 ( 【2 7 ，d e f i n i t i o n1 2 】) as u b g r o u p 日o fg i sc a l l e d ( h e r e d i t a r i l y ) x - q u a s i n o r m a li ngi fhi s ( h e r e d i t a r i l y ) x - p e r m u t a b l ew i t ha l ls u b g r o u p so fg h e r ew es i m p l ys k i p p i n gt ot h em o s tr e c e n tr e s u l t s t h e o r e m1 1 1 ( 【2 ，t h e o r e m3 1 】) l e tpb enp r i m ed i v i d i n gt h eo r d e ro fga n d pi sas y l o ws u b g r o u po fg 1 | e v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fpi se i t h e rs - q u a s i n o r m a l l y e m b e d d e do rc - s u p p l e m e n t e di nga n d ( i a l ，p 一1 ) = l ，t h e ngi sp - n i l p o t e n t t h e o r e m1 1 2 ( t h e o r e m s5a n d6i n 【4 】) l e t 厂b eas a t u r a t e df o r m a t i o nc o n t a i n i n g 议。gi sag r o u pw i t han o r m a ls u b g r o u phs u c ht h a tg h f ，t h e ng i fo n eo l t h ef o l l o w i n gh o l d s ： ( 1 ) a l lm a x i m a ls u b g r o u p so fa l ls y l o ws u b g r o u p so fh a r ee i t h e rs - q u a s i n o r m a lo r c - s u p p l e m e n t e d 讥g ( 2 ) a l lm a x i m a ls u b g r o u p so fa l ls y l o w o rc - s u p p l e m e n t e di ng s u b g r o u p so ff ( 日) a r ee i t h e rs - q u a s i n o r m a l t h e o r e m1 1 3 ( 1 ，t h e o r e m1 5 】) l e t 厂b eas a t u r a t e df o r m a t i o nc o n t a i n i n gl ta n d l e tgb eag r o u p t h e nt h ef o l l o w i n gt w os t a t e m e n t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) a 厂 ( 2 ) t h e r ee x i s t s an o r m a ls u b g r o u pho fgs u c ht h a tg h 厂，l o te v e r yp r i m ep d i v i d i n gt h eo r d e ro fep s y l p ( h ) a n de v e r ym e m b e ro f 朋( p ) i s 船一q u a s i n o r m a li n g i fmi sam a x i m a ls u b g o u po fga n dhi sam a x i m a ls u b g r o u po fm ，t h e nw ec a l l ha2 - m a x i m a ls u b g r o u po fg gi sc a l l e da 4 一f r e ei ft h e r e8 j ：en os u b g r o u p so fg f o r w h i c ha 4i sa l li s o m o r p h i ci m a g e t h e o r e m1 1 4 ( 【1 ，t h e o r e m1 7 】) l e tp 眈es m a l l e s tp r i m ed i v i d i n gt h eo r d e r 3 广西大掌硕士掌位论文 有限群素数幂阶子群的研究 o yag r o u pga n dpa & l o wp - s u b g r o u po yg i ye v e r y2 m a x i m a ls u b g r o u po ypi ss s - q u a s i n o r m a li ng a n dgi si sa 4 一f r e e ，t h e ngi sp n i l p o t e n t i n 【1 4 b h u p p e r ts h o w e dt h ef o l l o w i n gt w oi m p o r t a n tt h e o r e m s t h e o r e m 1 1 5 ( 1 4 ，i v ，5 4 ，p 4 3 4 ) s u p p o s et h a tgi s ag r o u pw h i c hi sn o t p - n i l p o t e n tb u tw h o s ep r o p e rs u b g r o u p sa r ea l lp - n i l p o t e n t t h e ngi sag r o u pw h i c hi s n o tn i l p o t e n tb u tw h o s ep r o p e rs u b g r o u p sa r ea l ln i l p o t e n t t h e o r e m 1 1 6 ( 1 4 ，i i i ，5 2 ，p 2 s 1 ) s u p p o s et h a tg i sag r o u pw h i c hi sn o t n i l p o t e n tb u tw h o s ep r o p e rs u b g r o u p sa r ea l ln i l p o t e n t t h e n ( i ) gh a san o r m a ls y l o wp - s u b g r o u ppy o rs o m ep r i m epa n dg = p q ，w h e r eqi s an o n n o r m a lc y c l i cq - s u b g r o u p o l rs o m ep r i m ep q ； ( i i ) p ( b ( p ) i sam i n i m a ln o r m a ls u b g r o u p 巧g 圣( p ) j 似t ) 巧pi sn o n a b e l i a na n d p 2 ，t h e nt h ee x p o n e n to y pi sp j ( 锄) 可p i sn o n a b e l i a na n d p = 2 ，t h e nt h ee x p o n e n to y p i s 彳i l | pi sa b e l i a n ，t h e np i so le x p o n e n tp ， i n2 0 0 3 7a s a a da n dh e l i e li n 【2 5 】i n t r o d u c e dan e we m b e d d i n gp r o p e r t y , n a m e l yt h e 6 - 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