（基础数学专业论文）着色李超代数的构造.pdf

摘要 y 7 3 8 毒3 8 摘要 李超代数是李代数的一种推广，这一数学概念有着很强的物理背景。近年来， 关于李超代数的研究在物理学界和数学界都引起极大关注，相关的研究也取得了很 大进展。李超代数也称为乙一阶化李代数，如果把二阶群z 换成一般的交换群，将 得到着色李超代数的概念。 本文的主要目的就是研究着色李超代数，对这种代数结构进行一系列讨论。首 先根据有限交换群上对称双特征标的概念，给出着色李超代数的定义，并介绍关于 着色李超代数的一些基本概念与基础知识。 在第二部分中，我们主要讨论一个等价条件，通过这个等价条件可以把着色李 超代数的研究归结为一般李代数及其表示理论的研究。然后根据这个等价条件，构 造了几种形式的着色李超代数。 最后一部分中，我们讨论左对称代数和李代数上的左对称结构在着色李超代数 中进一步的推广。通过对着色李超代数的两种仿射表示的研究，给出了着色李超代 数上存在左着色对称结构的几个充分或充要条件。并验证了对某种着色李超代数， 如果它上面存在左着色对称结构，那么其】一l 同调群是非平凡的。 关键字：有限交换群；对称双特征标；着色李超代数；左着色对称代数； 左着色对称结构 青岛大学硕士学位论文 a b s t r a c t l i es u p e r a l g e b r a sa r et h eg e n e r a l i z a t i o no fl i ea l g e b r a s a n dt h e ya r ec l o s e l yr e l a t e d w i t h p h y s i c s d u r i n gt h el a s t f e wy e a r s ，t h et h e o r yo fl i es u p e r a l g e b r a sh a ss e e na r e m a r k a b l ee v o l u t i o n ，b o t hi nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s l i es u p e r a l g e b r a sc a nb ec a l l e d z 2 一g r a d e d l i e a l g e b r a s i fw er e p l a c et h e t w o g r a d e dg r o u pz 2w i t h t h e g e n e r a l c o m m u t a t i v eg r o u p ，w ew i l lo b t a i nt h ed e f i n i t i o no fl i ec o l o rs u p e r a l g e b r a s i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yl i ec o l o ra l g e b r a s ；d i s c u s st h ea l g e b r a i c a ls t r u c t u r eo f l i ec o l o ra l g e b r a s f i r s t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fl i ec o l o rs u p e r a l g e b r a su s i n gt h e s y m m e t r i cb i c h a r a c t e r o naf i n i t ec o m m u t a t i v e g r o u p ，a n d a s ow ei n t r o d u c es o m e f i m d a n a e n t a ln o t i o n sa b o u tl i ec o l o r s u p e r a l g e b r a s ， i nt h es e c o n dp a r t ，w ep r o v ea ne q u i v a l e n tc o n d i t i o n i nu s eo ft h i sc o n d i t i o nt h e s t u d yo t l i ec o l o rs u p e r a l g e b r a s c a nb er e d u c e di n t ot h es t u d yo f g e n e r a ll i ea l g e b r a sa n d t h e i rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r i e s a c c o r d i n gt ot h i s e q u i v a l e n tc o n d i t i o nw ec o n s t r u c ts o l n e k i n d so fl i ec o l o rs u p e r a l g e b r a ss u b s e q u e n t l y i nt h el a s t p a r t ，w e f u r t h e rg e n e r a l i z el e f t s y m m e t r i ca l g e b r aa n dl e f ts y n u n e t r i c s t r u c t u r eo i ll i ea l g e b r a si n t ol i ec o l o ra l g e b r a s b yt h es t u d yo ft w ok i n d so fa f f i n e r e p r e s e n t a t i o n s o fl i ec o l o r a l g e b r a s ，w eg i v e s o m en e c e s s a r ya n d ( o r ) s u f f i c i e n t c o n d i t i o n st ot h eq u e s t i o nw h e t h e rt h e r ei sa n yl e f tc o l o rs y m m e t r i cs t r u c t u r eo nag i v e n i 。i ec o l o ra l g e b r a f i n a l l y , w ep r o v et h a ti ft h e r ee x i tl e f tc o l o rs y m m e t r i cs t r u c t u r eo n s o m ek i n do fl i ec o l o r a l g e b r a ，t h e ni t sf i r s tc o h o m o l o g yg r o u p i sn o tv a n i s h i n g k e y w o r d s ： s u p e r a l g e b r a ； f i n i t ec o m m u t a t i v e g r o u p ；s y m m e t r i c b i c h a r a c t e r ；l i c c o l o r l e f tc o l o r s y m m e t r i ca l g e b r a ；l e f t c o l o rs y m m e t r i es t r u c t u r e 2 一一一。重量盔兰曼圭兰垒篷奎 引言 本课题将要讨论酌主要内容楚李超代数、蓿色李趣代数及其稻荚闷题，这些捕 象数学壤念戆实醛鹜豢是超对称 生一逅代物理学磅究中的个重要领域。刭趣对拣 性的研究，所使用的数学方法主要是代数学巾的李越群、李超代数及其相关方法。 因此，本课题所研究的内容有实际意义。另外，从纯粹数学研究的角度来看，李超 代数也可阻看成怒李 弋数概念鹃种自然延伸与攉广，与之稻对应的研究将避一步 丰富该领域戆磅究内容，其凑理论馀蠖。 关于经典李代数理论的研究，现在已缝比较成熟，所锝结果已经系统化，尤其 是复半单李代数的结构及其有限维表示的研究，取得了相当究整的结果。完备李代 数作为阮半荦李代数更为广泛静类代数结构，对它的研究也取得了缀多成粱。作 走一秘 毛数维擒，李熬代数霹娃番残是李代数熬一秘自然推广，它蜒缀多缍聚霹羲 作是李代数结果的直接推广，当然也有许多结论是不平凡的，需要引进新的方法。 v g k a c 对李超代数的研究做出了很大贡献，他绘出了有限维李超代数一烘比较 系统的理论。关予李怒代数更详鳐的内容，可参看文献 l j 、翻等。 李超代数也称为互一阶化李代数，其定义为：设g = g 【，o q 是超代数，且带有 括积运算： ，】，如果该运算满足下列两个等式：v a ，6 五= l ，一i ( i ) 【墨】= - ( 一1 ) “k z 】，z 皖，y g ， ( i i ) x ，【舻】 = 卧y 】，刁+ ( 一1 ) “m 即nx e 瓯，y q 则称g 为李超代数。如果把二阶群乙换成一般的交换群，、z ，1 0 本文的主要概念： 着色李超代数。 定义1 2 1 有限交换群r 上的一个对称双特征标是指双变量映射口：r r 斗世 ( 域k 的乘法群) ，且满足下列等式： ( 1 ) f l ( a b ，c ) = f l ( a ，c ) f l ( b ，c ) ( 2 ) 1 3 ( a ，b c ) = f l ( a ，b ) f l ( a ，c ) ( 3 ) f l ( a ，b ) f l ( b ，盯) = l ，v a ，b 1 1 定义1 2 2 设卢是有限交换群r 上一个给定的对称双特征标，g 是域上r 一 阶化的代数，g = o 。g 。括积【，】：g g g 是k 一双线性映射，且定义为g 上的 葶| 言 运算，并满足下列等式，则称三元组( g ，f ，) 为着色李超代数： ( 1 ) i g o ，j 篡 ( 2 ) 【工，y 】= - , c o ，d ) p ，算】， ( 3 ) m 妒的= 队y 】，。 + ( 6 ，甜) ，陋1 ， v x g 。，y 9 6 ，z g ，v a ，b f 。 鹜前，对着色李超代数的研究成为李理论研究中的一个热点问题之，许多研 究经典李代数黢方法拔移檀过来，劳褥戮了一些深入黔结暴。当然，关于蒜色李趣 代数的研究还是李理论研究中的一个比较新的方向，其很多结果还是不成熟的，但 着色李超代数有很多和一般李代数类似的性质，这样对着色李超代数的研究就可以 使用研究一般李代数和李超代数的一些壤论和方法。着色李超代数作为李代数和李 越代数熬一耱推广，有着缀多炎 菇靛结论，觅文献3 1 f 。铡翔，李代数积李超弋数 中重要的p b w 定理和a d o 定理在蛰色李超代数中都有相应的推广形式。 设( 厶r ，芦) 是羞住李越代数，r ( 三) 慰其张量代数，是r ) 的双边理想，洼l 下 列形式的元素 x 圆y f l ( a ，b ) y o x _ x ，y 】，x 厶，y 厶 生成，则【，( ) = t ( l ) ，也称为上的普遍包络代数，它有和李代数及李超代数中的 概念类似的泛性质。又设是由下列形式的元素 x o y 一( 口，6 ) y o x ，x 厶，y e l b 生成的理想，则s ( l ) = t ( l ) i i 称为l 的对称代数。设 u ”( 上) ，月z ) 是其典范滤过， 记g 。( 三) = u ”u ”，g ( 三) = o g 。，n 蛾t s ( l ) 斗g ( 三) 是同构，即广义的p b w 定理 成立：由上的基可以确定u ( l ) 的基，且映射工_ u ( 三) 是单射。在李代数和李超代 数中，通过a d o 定理可得到任何一个有限维李( 超) 代数同构于一个由矩阵构成的李 ( 超) 代数，在着色李超代数中，浚定理仍然成立：任何一个有限维着色李超代数都 有一个忠实的有限维表示。当然，关于着色李超代数的研究还有许多基本问题没有 完全解决，像前面提到的关于李代数、李超代数的些结构和表示问题等，对着色 李超代数还需要进一步探讨。 本文将利用有限交换群上对称双特征标的概念，给出着色李超代数的定义。然 后讨论它的一个等价条件，这样就把着色李超代数的研究归结为一般李代数及其表 露蕊丈学骧士学垃论交 示理论的秘究。撮摄这个等徐条 串构造了凡穆形式数着色李超代数。最后一秘撼逑 是文献i 6 j 中相应结论的自然推广。 夺文献”中，l 乍者把左对称代数积李代数上的左对称结构的磺究推广到李超代 数中，本文将讨论左对称结构在着色李超代数中的爱迸一步的推广，进而得出与着 色李超代数舂关的结论。将首先介绍左着色对称代数和左麓色对称结构的概念，然 后通过着色李超代数的着甑仿射表示和e t a l c 着色仿射表示得出骜色李超代数上存 在左着色对称结构的几个等价条件。最后，由可邋导子的讨论得到不存在左着色对 称结构的一个条件；如果卜上嗣调群h ( g ，v ) = 0 ，则g 上不存在左着色对称结构， 其中；，= g 爱揍g 一模。 第一章着色攀超代数的基本概念 第一章着色李超代数的基本概念 在这一章，我们将介绍一些关于着色李超代数的基本概念和相关基础。苗先， 我们对一些符号作一些特殊约定，用k 表示任意一个特征为零的域，r 表示有限交换 群，目一有单位元l ，并且我们约定以下所讨论的所有向量空间和代数结构都是域上 的。、 第一节阶化代数 先介绍几个关于阶化向量空间的定义。 定义1 1 1 设v 是一个向量空间，称r 是r 一阶化的，如果矿有如下形式的子空 间直和的分解式：v = o 。圪。 如果v 中元素v 满足：存在a r 使得v e 屹，则称v 是a 次齐次元。需要注意的 是，非零元素的次数是唯一确定的，但零元素的次数却是任意的，即任意取“e r ， 都有0 屹成立。 设k 是矿的子空间，称k 是r 一阶化的，如果k 有子空问的直和分解： k = o 。( k n 圪) 若髋定妊= k ，渐当订f ( 0 1 薛、亍，令疋= ( 0 1 ，鲻域k 本身龟可黻看作是f 阶化的维向量空问。 定义1 1 2 设f ，分翔是f 一阶亿静向量空闯，g ：v w 是线往酸躯，船莱g 满足g ( ) c w 对任意6 r 成立，则称g 怒口次齐次线性映射。 i 殳l ( v ，) 表示y 到的所有线性映射构成的向量空间，而l g r ( v ，) 。表示v 到 鲍所有a 次齐次线性映射构成的向量子空间。现在定义l r r ( v ，w ) 为所有这些予空 翊躲和，显然这个秘是直霹，即z g r ( v ，w ) = o m l g r ( v ，) 。这样，l g r ( v ，) 裁是 f 阶亿的向量空闯。注意，女n 莱所有的k ，嘭中均只有有限壤不为 0 ，那么就有 l ( v ，彬) = l g r ( v ，缈) 。特别的，当v = w 且对每一个f 都有屹= 睨时，则可以把 青岛大学矮士学垃论文 l ( v ，) ，l g r ( v ，w ) 简记为五( y ) ，l g r ( v ) 。 当w = k 时，l g r ( v ，k ) = v ”髂必v 蛉除他的对偶向量空闻。 设u 。v 。w 是任意的三个f 一跨纯瓣弱繁空潮，著显h ：u o v ，g ：v 一分剐是 线悔映射。如果h 是c t 次齐次的，而髫是b 次齐次的，那么合成go h ：u _ w 楚a + b 次齐次的。 在代数中也有类似的阶化性定义。 定义1 1 3 设s 是一个代数，称s 是r 一阶化的，如果满足：s 作为向量空间 是r 一阶化的，s = o 。咒，且与乘积相容，即，对s 中乘法运算：满足疋疋c 咒+ 。对 任意a ，b f 成立。 如果s 中有单位元8 ，则e s ，这里1 是群中的单位元。s 的子代数，称为阶 化子代数，是指它作为s 的子空间是阶化的。 设r 是另个r 一阶化的代数，且有映射p ：s 斗，则p 是r 一阶化的代数同态 是指p 满足：( 1 ) p ：s - - + t 是代数同态，( 2 ) p 是零次齐次的。 设，是s 的一个阶化的双边理想，那么商空间s ，上存在唯一的r 一阶化空间结 构，使得典范映射s 斗s i 是零次齐次的。这样，剐，也是r 一阶化的代数，且典范 映射s o 酬，是阶化的代数同态。 例1 1 - l 设v 是r 一阶化的向量空间，则l g r ( v ) 也是r 一阶化的向量空间。设 譬，h l g r ( v ) ，定义g hgh ，即定义l g r ( v ) 中乘法为映射的合成。这样，上( y ) 是r 一阶化的代数。 第一章着色率超代数的基率概念 第二节着色挛超代数的定义 本节中，我们首先介绍有限交换群上对称双特征标的概念，在此基础上给出着 色李超代数的定义。 定义1 2 1 有限交换群f 上的。+ 个对称双特征标是指双变量映射：f f 叶k + ( k 的乘法群) ，且满足下列等式： ( 1 ) p ( a b ，c ) = 卢( 日，c ) p ( b ，c ) ( 2 ) p ( a ，b c ) = p ( a ，b ) p ( a ，c ) ( 3 ) p ( a ，b ) p ( b ，珂) = 1 ，v a ，b f 注：根据此定义，若在( 1 ) 中取a = 1 ，则有p ( 1 ，c ) = 1 ；若在( 2 ) 中取6 ：l ， 则有p ( a ，】) = 1 。因此，筘 句= p ( a ，1 ) = l ，对任意癣，b e f 成立。 定义l ，2 ，2 设是套耀交换群r 土一个绘定熬对称双特缝橛，g 是域k 上f 一 除他的代数，g = o 一瓯a 括秘f ， ：g x g _ g 是鬣一殛线性映菇，舞巢g 上乘法定 义为该括积运算，而髓满足下列等式，贝h 称( g ，f ，) 为着色李超代数： ( 1 ) 【g 。，g h 】q 。， ( ) k y j b ( b ，d ) 防z j ， ( 3 ) m 炉肚盼y 】，。 + ( 6 ，d ) p ，n v x ( ，y g ，z 嵌g ，v a ，b 1 1 。 注：1 如果g 只满足祭件( 1 ) ( 3 ) ，则称其为着色菜布尼兹超代数。由定义可 眺验谣：着色莱布尼兹超代数是着色李超代数当且仅当( 觅文献 1 3 】) 【x ，y + f l ( b ，口) 【j ，x 】= o ，垤，y 繇。 2 ，可以验证：定义中等式( 3 ) 等价于 ( 6 ，口) 【y ，z 】，x l + p ( a , c ) 卧y 旧+ ( c ，秘盼- 1 ，y l ：o 。 例1 2 ，1 如果为平凡对称双特征标，即p ( a ，b ) = 1 v a ，b f ，则r 一阶化的着 色李趣代数就是通常的r 一阶化李代数。 6 青岛大学硕士学位论文 例1 2 2 设f = z 2 = i , - l ，f l ( a ，b ) = ( 一1 ) ”，v a ，b f ，那么z 2 一阶化的着色李超 代数即为通常的李超代数。 例1 2 3 设s 是r 一阶化的结合代数，是对称双特征标，在s ( 作为阶化的向 量空间) 中，定义新的乘法运算【，】：【s ，r 】= j 卜卢( ，s ) “，s ，s ( 约定f l ( ，s ) 中的，j 同 时分别表示s ，t 的次数) 。易证u 满足定义1 2 2 中等式( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ，即( ，l ) 是 着色李超代数，称为与s 相关的着色李超代数。进一步，如果b ，f 】_ o ，v s ，s ，则 称s 是可换的。 例1 2 4 设y 是r 一阶化的向量空间，由例1 1 1 知，l g r ( v ) 是r 一阶化的结合代 数，则与l g r ( v ) 相关的着色李超代数称为r 一阶化向量空间v 的一般线性着色李超 代数，记为g l ( v ) 。 铡1 2 。5 没于是f 一除饯爨代数，对任豢g f ，遮 d ( 7 、) 。一 d g t ( y ) id ( s t ) 一d ( 5 弦+ f l ( b ，a ) s d ( t ) ，s 嚣，t t 易知，廖( f ) = o w d ( 7 ) 。是g l ( t ) 豹除纯予代数，d ( t ) 中元素称隽j ! ) ( 7 ) 豹蓑色超导 孑。 絮聚f 怒薹1 一除琵豹，鲻跌骞重：f 一 ，】是f 到d ( ) 约除佬代数嗣态。 “般地，对任意着色李趋代数( g ，f ，国来说，浃射x 斗i x ，lv xg 楚g 到p ( g ) 的阶化代数丽态。 注：任意着截李超代数( 三f ! 彩有一个自然豹z 。一除讫。 设有映射妒：f 哼k ，a _ f l ( a ，口) ，a f 。可以验证：矿最群同态。 事实上没妒) = f l ( a ，“) ，伊( 6 ) = f l ( b ，6 ) ，1 7 1 , b f ，则有 e ( a 十6 ) = f l ( a + 6 ，d + b ) = f l ( a + 6 ，a ) f l ( a + 6 ，b ) = f l ( a ，a ) f l ( b ，a ) f l ( a ，b ) f l ( b ，b ) = f l ( a ，a ) f l ( b ，6 ) 即，妒保持运算，从面是群同态。进一步，出f l ( a ，a ) = 1 ，v a f ，定义 7 第一章若色李超代数的基本概念 r o = d r 声( 球，以) = 1 ，r l = 盘皇r t f l ( 娃、d ) = 一1 ) ， 霹以骏 正，f 。楚f 驰予群。因照，鼓者有f 。一f ( 此时，f ，蹩空集) ，绶者有瓦蹩f 瓣子群，羹在r 中静指数为2 ，l r 1 为蔟两个剩余类。据魏定义 百。= o 。乞，i = 0 ，1 ，0 ，1 为模2 的剩余类， 则有l = 0 。o f ”是三的z ：一阶化，这一点可直接验证。我们只验证情形： 0 1 匕0 ”a 任意取kc 0 ”，厶亡0 ”，根据定义有p ( d ，d ) ：l ，f l ( b ，6 ) = 一1 ， 而且f l ( a + 6 ，口+ 6 ) = p ( a ，a ) f l ( b ，a ) f l ( a ，b ) f l ( b ，6 ) = 一1 ，再由三的f 一阶化性即可得出 乞厶 乞“c z ”。根据直和的定义，又有( 。l ) ( o 。厶) c 。憎l h ，也即 0 0 0 1 匕髟”。其他情形的验证类似。 由此可知，着色李超代数( ，r ，f 1 ) 也是z ：一阶化的代数。 青岛大学硕士学位论文 第三节着色李超代数的表示 按通常的方式，首先定义着色李超代数的模如下。 定义l _ 3 1 设( 厶f ，卢) 是着色李超代数，矿是r 一阶化的向量空间，则l 在v 中 的表示是指r 一阶化的代数同态p ：l _ g l ( v ) ( 这罩显然p 是零次齐次的) 。此时， 称v 是阶化的三一模。 以下l 均表示上述由f 上对称双特征标卢定义的着色李超代数。 对强意五一模扩，设x 互tn x 在y 中熬表示逶霉 已为x ，。若v v ，x 。v 氇霞 篱记为算v 。 下锺绘出模网态的定义。 定义1 ，3 ，2 设矿和妒分别是阶化的一模，如果线性映射驴：v - - w 满足：( 1 ) 妒楚零次齐次的，( 2 ) x ，。妒= 。x ，v x 8l ，则称妒是玲化五一模数阕惑。 显然，我饲远哥以定义除亿予模，除纯亵摸及除化三一模豹直秘等，其定义过 程类似于通常的情形。 关于着包李超代数的模，我们可以举池下面几个例予。 例1 3 1 伴随模。映射x _ a d x = b ，lx l 是上本身作为f 一阶化的向囊空间 中的表示，此时，称三为伴随三一模。 例1 3 2 设v 是r 阶化向羹空间，任取x 茌l ，定义昂= 0 ，可醵验证：在忿 作用下，v 魑五一模。此时，称v 是平凡的三一模。域也可以看作是阶化一模， 鲡柒没寄特剐说嚼，该穰结鞫憨楚指平凡匏模缭褐。 铡l + 3 3 设v 是r 除伍向爨空间。任绘b 芒f ，由v 掏造个新的盼化肉量空 间，翅记号v 6 表示。设嘭= v o 。v a 芒f ，但v ，v 6 整体上作为向羹空间结构是相 同瀚，这时，我稻称秒是毒矿逶过壬1 一除纯的一个平移( s h i f t ) 瑟愿到豹。要然， l g r ( v ，y xl g r ( v 5 , v 6 ) 作为r 一阶亿的代数建一致静，g t ( v ) 和g t ( v 6 ) 也溺样怒一致 的，而鼠三在y 中的任意阶化表示也是三猖矿6 中的阶化表示，但一般说来，这两个 表示是不同构的。 第一章着色李超代数的基本概念 例1 3 4 设y 和矿分别是阶化的三一模，那么l g r ( v ，w ) 上存在唯。的上一模结 构：x g = x w g f l ( g ，x ) g x ，其中齐次元x 厶g l g r ( v ，r v ) 。 下面给出一种特殊情形。设w = k ( k 作为平凡阶化上一模) ，已知v 。”是与向 量空问矿对偶的向量空问，则v ”上存在唯一的 一模结构： x v g = 一f l ( g ，x ) g x ，x l ，g v + ， 称矿”为阶化三一模r 的阶化对偶l 一模。 最后，我们介绍一下黄色李超代数中着色超迹的概念。 设r 是有限维的向量空间，d i m v = n ，任给g g l g r ( v ) ，设 v ，i = 1 ，2 ， 是p 的由齐次元索构成的一组基， v ：) ，= 1 ，2 ，n 为相应的对偶基，即有 哆( 1 0 ) = 岛，1 f ，茎n ，而且设v f 是q 次齐次的，对应的v s + 是一哆次齐次的。此时， 可以表示残如下形式：g 一：，g o g q 。 定义西j ( g ) = ：f l ( a , ，g ) 霄( g - ) ) 。 定义1 3 3 上面定义的吼( g ) 称为是g 的着色超迹。 青辩大学硕士学位论交 第四节着色攀超代数的普遍包络代数 没三，f ，f 1 ) 是羲莰李超l 弋数，? ( 三) 是五佟为f 一除优奠鬟 空阉缮到熬张蕊代数， 易知7 ( ) 有一个自然的z r 一阶化：对于元素 x o x n ，z ，鼍l o , ，a ，r ，1 s i 篓n ， 其次数就是( ”，碣+ + 。) 。r d 的所有包含n 次齐次张量瀚予空淘记为t ( 五x 并萤 l ( ) = 0 ， 一l 时。 设，( 上) 是丁( 三) 的双边理想，由下列形式的元素生成： x y f l ( b ，a ) y x i x ，y 】，x 乞，y l b ， 由上的阶化知，这种形式的元素是“+ 6 次齐次的。 定义1 4 1 商代数u ( o = t ( l ) j ( l ) 称为l 的普遍包络代数。 显然，u ( l ) 是结合代数，且有单位元1 。掀嵌入映射三一t ( l ) 和典范映射 t ( l ) 寸t ( l ) j ( l ) = u ( 五) 合成，缮到下述典范映射盯：l _ u ( l ) 。由定义有 盯( f x ，y 】) = d ( x ) 玎( 岁) 一z ( b ，挤) 芦( ，) 秽( 盖) ，善磊，芦毫厶，a ，务f 并且u ( ) 继镦了疆) 的f 一阶亿，茵j 毙u ( l ) 也是f 一阶他的代数。舅一方面，一般 来说，由r ( e ) 的z 阶化可以得出u ( l ) 的一个滤过：v n z ，设r ( 五) = 国瓦，( ) ， 而u ”( 上) 是典范映射下r ”( 三) 在( d 中的像，则 u ”( 五) 。称为u ( l ) 的典范滤过。 可以验诚： ( 1 ) u ”( l ) cu “( )( 2 ) u ( ) = u 。u ”( 三) ( 3 ) u ”( o u ( 占) cu ”+ ( 五) ，胛，煳z ( ( ) ，玎) 喜下列标准泛牲度： 命磁1 4 1 设( 三，r ，国楚着德李趣彳弋数，u ( 三) 怒静普遍链络代数， 盯：上哼盯化) 是典范映射。假设给定结合代数8 ，s 有单位元1 ，褥给定线性映射 1 1 j 竖董篓窆望垡墼整蓬奎塑查 g ：叶s 馒褥下透等戴成立： g ( 【z ，娶= g ( x ) g ( y ) - f l ( b ，拜) g ( ，) g ( 。) ，v x e 幺，y 毛，娃，b f 那么存在唯一的1 一个从代数u ( e ) 到代数s 的阉态；满足：否( 1 ) = 1 ，g i 。盯。 同时，如果s 是r 一阶化的，g 是零次齐次的，则g 也是零次齐次的。 设y 是r 一阶髻二瀚商量空间，定义【v ，w 】= o ，v v ，w v ，搬据定义( 矿，f ，f 1 ) 是着 色李超代数，娃y 是可换的，此时，y 的普遍包络代数稼为r 阶化的向量空闽v 的 ， 着色对称代数，记为s ( v ) 。那么，s ( v ) = r ( v ) l ，( 矿) ，j ( 矿) 怒由v 列形式的元素生 成的玎n 豹齐次双边壤怒： x o y 一( 方，以) y o x ，x 厶，y l h ，a ，b f 。 于是s ( v ) 也有一个自然的z x f 一阶化结构，s ( v ) 也是结合代数，有单位元，而且 是可换的。 通过下面的讨论，我们将给出广义的p b w 定理。 漫( 厶f ，两是着色李超代数，( 三) 怒三静普遍包络代数，n ( d 。为u ( d 静 魏范滤过。定义 瓯( o ) = u ”( 三) 乏，8 。( 三) ，v 摊车z ， 设g ( ) = o 一瓯( 三) ，显然，对任意聆z ，( i ( 三) 建f 一阶傀的向量空间，g ( 三) 是 z x f 一阶化的向量空间。 下面完给崮g ( 三) 的代数结构。g z u 8 0 ) ”( l ) c u 8 十”( j ，聍，m z ，( ) 中的乘 积映辩定义了一个双线性陵射 u ”( l ) x u ”( 三) 一u ”“( 三) ，7 ，m z ， 该映辩诱寻了双线经淤鸯垂 q + ( 三) g j ( 五) 瓯+ 。( 王) ， 进而得到双线性映射g ( 三) g ( 五) 。g ( 三) ，也即g ) 中的乘积映射。这样，g 江) 是 一- i 结# n z f 一阶化的代数，且有单位元，g ( ) 称为与滤过一( 上) k 。相关的阶 毒鹞大学硕圣攀毽论文 化代数。 另一方面，对任给的”匹z ，存在典范映射蛾：瓦( ) 一g o ( l ) 该映射娥 f ，( 五) - - + u ”( l ) 与u ”( d - - - 瓯( 三) 的合成映射。再浚 妒：t ( l ) _ g ( l ) 是由 ) 。定义的线性映射，易证，妒是z r 一阶化代数的满同态，且 妒( ，( 上) ) = 0 ，因此，妒定义了一个典范满同态： ：s ( l 1 - - - g ( l 1 。 现在，我们可以叙述广义的p b w 定理，即 定理1 4 1 设( l f ，声) 是着色李超代数，则典范同态：0 9 ：s ( l ) _ g ( ) 是z f 一 阶化代数同构。 由该定理不难得出下列重要推论。 推论1 4 1 设( 三，r ，) 是着色李超代数， 巨b 是向量空间l 的一组基，是全 序集，设元素e i ，f i 是齐次的，且巨的次数是q f ，如果( ，i z ，) 取遍，中所 有的有限序列，使得当l s 兰r 一1 时，有。；而且如果f l ( a ，a ，) 1 ，则 魄o ) * 妒( 心 ) + ( 6 ，“) 妒( 鲰固吃) 十n 屯6 = + 嬲= 0 l 霹魅默d 一0 。疑薅虫国的定义殿r 是交换嚣褥 零( 镄( n g o o 。妒( ( 0 0 圆) + f 幽 零嗽恕魂) 移琏* 烈轳恕魂) 恕十艇名 o ( 蛰( 嚏恕) 堍) ；妒 ，五最。， 国i ( ( t o o + ) o ( ”+ ) ) = 卿( 厂( r o d o ，、( ”耘) ) ， 这里 ，l = ( 删。+ n 。) 圆( m + 蚪 ) + f l ( b ，档) ( ，卵 + 肘6 ) ( “+ 打。) ，酷m 。，胛。 乞， m ，f i t , 氓。为方便，| 三l 筒将f ，p 、q ，h 的下标省撺。 ( 彝) 瓤鬃擎游足赋厂( 女览) 羲) 兵蚝x 薮艺o ，毒毛势主f ( 鸯兹) ，基 娥歹鑫炙) o 曩 磊) ) = o ，艇虬) o 宰( 致) ) = o ，v a ，b r ，那么( g 1 ，r ，) 也构成糟色 李超代数。相应模同态为o ：( h 。o h ) ，。一矾。， m ：( ( ”屯+ ) 酗( + ) ) = p 妒( 厂( ) 固( 阮) ) 十舯国( ) 兵埘6 ) ) 这里矗 o ( m r , + 巩) 声( 6 ，口) ( 挣和十礴) ( 黠屯十n o ) ) 一审1 ( ( + n o ) ( 十嘞) ) + 多( 6 ，a ) o ，( ( + ) 圆f + ) ) 一p q f ( m 。) o ，。( t o o ) + 声( 6 ，疗) p 赕f ( m o 苁) ) = 瑚，( ( ，( ) o 厂( 豫) ) + f l b ，拜) ( 厂( ) o ，) ) ) 一0 ， ，( ) e 圪，f ( m o k 掰潋蚤，确怒g ，一模目态。 ( i i i ) 蒋证明m ，满足( 女) 式 设工= m 。+ h 。，y = m + ，：= m 。+ n 。分别是。，皿中元素，日，6 ，c f 青岛大学硕士学位论文 中，( m ( y o z ) x ) = 0 1 ( ( p 伊( ，( ) 厂( 幔) ) ) o x ) = p q p ( j 1 ( p p ( f ( m 。) o - 厂( m 。) ) ) f ( m 。) ) 而由妒( ，( m 。) 圆，( m 。) ) g 厂( m 。) 知 m b 。m 。，使得妒( f ( m 一) o ( m 。) ) = f ( m * ) 所以上式中，( 西l ( y 圆z ) x ) = p 妒( 加( - 厂( 脚k ) ) ，( m 。) ) = p o ( j ( m 托) of ( m 。) ) = p 妒( 妒( f ( m 。) o 厂( ，) ) o ，( 用。) ) 类似的 m ( m l 协o y ) z ) = c b l ( ( p 烈f ( m 。) o ，( 卅6 ) ) ) 0 2 ) = p o ( f ( p o ( j ( m 。) o 厂( ) ) ) 圆厂( 。) ) = p 妒( 妒( ，( m 。) 圆，( 删一) ) f ( m 。) ) 巾，( 巾( z o x ) 0 y ) = 巾。( ( p 妒( ，( h t ) o 厂( ，) ) ) o y ) = p 矿( ，( p 妒( ，( 埘。) o ，( 州。) ) ) o 厂( ，) ) = p 妒( 妒( ，( m 。) o ( 埘。) ) o l ，( 卅一) ) p ( b ，a ) 0 1 ( o ( y 圆暑) 够x ) 十扣，c ) o l ( 中1 0 圆，) o 。) + 1 3 ( c ，6 ) 中l ( m 1 ( z 圆x ) o y ) = ( 轧a ) p q f f c p ( f ( m o o f ( m 。) ) o 厂( 州。) ) + f l ( a ，c ) p f p ( ( f ( m 。) o 厂( ”) ) o ，( 埘。) + ( c ，6 妒劬( 厂( ) o 厂( ) ) o f ( m 。) ) = p ( p ( 5 ，甜) 妒( 妒( 厂( ) o 厂( 他) ) o 厂( ) ) + ( 日，c ) 伊( 妒( ，( ) s 厂( ) ) 圆厂( ) ) + 声( c ，6 ) 烈烈厂( t ) 移厂( 鸭 j ) o ( ”) ” = p ( o ) = 0 ，f ( m o ) v ，f ( m h ) k ，、f ( m c ) k 邵( i ) 、( f i ) 及( i i i ) 成立。所以定璞2 ，3 i ( a ) 成立。 露迁明结论( b ) 也是成立的。 首先为是李代数。先说明o ：定义楚合理的。假设还有挖：圪，2 i 毫满足 h ( n 2 ) = h a ，矗( 哦) = r i p , ，则砖一牮( ) j ( m 。) ，商一g ( ) f ( m b ) ，那么由 妒( 厂( 九) o 厂( a 瓦) ) = 0 可以得 尹烈( 岛) 9 ( ) ) 一声审( ，( 掰。) o 域) = p 妒( ，( 棚。) o ( 譬( 臻) 一嚆) ) = 0 ， 第二章着色李超代数的构造 所以p p ( f ( m 。) q ( ) ) = p 伊( f ( m 。) o ) 类似可得p ( p ( q ( n 。) o ，( ) ) = p c p ( n 。 厂( ) ) 。这说明中：的定义是合理的。其 线性性也是显然的。同样取x oeg ， m 2 ( x 0 ( ( + 。，) ( m h + ) ) ) = 中2 ( ( 工o ( 州。+ 门。) ) o ( 川 + 伟) ) + 中2 ( ( m 。+ n 。) o x o 。( m + n ) ) = p o ( f ( x a m 。) p q ( n ”+ p c p ( q ( x o ) f ( m 6 ) ) + p 妒( 厂( ，) o q ( x o ) ) + p q f f q ( n 。) 圆f ( x o ) ) = p q ( x o f ( m 。) 圆g ( ) ) + p 妒( ，( 朋。) o q ( ) ) + p ( p ( x