（基础数学专业论文）关于模上赋值的拓展.pdf

摘要 摘要 2 0 0 6 年，曾广兴和杨谱【7 】针对交换环上的模引进了赋值的概念，并在此基 础上建立了模上赋值的一些基本结论在本文中，我们研究了交换环上模的赋值 的拓展问题。通过构造反例表明，一个模的赋值在该模的扩张上不定总存在 拓展。基于一些有关模上赋值的拓展的事实，模上赋值在扩模上存在拓展的两 个充分必要条件被获得。 本文一共分为三节。 第一节为引言部分，主要介绍本文工作的背景及目的 在第二节中，给出了模上赋值拓展的定义，并得到一些相关的结论。作为 本节的主要结论，我们得到了模上赋值在扩模上存在拓展的两个充分必要条件 在第三节中，我们研究了环上赋值关于同态的拓展以及模上赋值关于同态 偶的拓展。作为本节的主要结论，我们获得了对于一个给定的同态偶模上赋值 存在关于同态偶的拓展的一个充分必要条件。 关键词：模；模上赋值；m a n i s 赋值；赋值的拓展；张量积。 i i a b s t r a c t a b s t r a c t i n2 0 0 6 ， z e n gg u a n g x i n ga n dy a n gp u 【7 】i n t r o d u c e dt h en o t i o no fv a l u a t i o n s o nm o d u l e s ，a n do b t a i nm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h e p r o l o n g a t i o n o fv a l u a t i o n so n am o d u l eo v e ra c o m m u t a t i v er i n g b ya c o u n t e r e x a m p l e ， i ti si l l u s t r a t e dt h a tav a l u a t i o no n am o d u l en e e d n o tb e p r o l o n g a b l eo na ne x t e n s i o nm o d u l e b a s e do ns o m er e l e v a n tf a c t sa b o u tt h e p r o l o n g a t i o no fv a l u a t i o n so nam o d u l e ， w eo b t a i n st w on e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rav a l u a t i o no nam o d u l et oh a v ea p r o l o n g a t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h et h r e es e c t i o n sa sf o l l o w s ： s e c t i o n1i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r i nt h i ss e c t i o n ，w ed e s c r i b et h ec u r r e n t s t a t u so ft h er e s e a r c ho nv a l u a t i o n so fm o d u l e s i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no fp r o l o n g a t i o n so fv a l u a t i o n si n t h e c a t e g o r yo fm o d u l e so v e rc o m m u t a t i v er i n g s ，a n de s t a b l i s hs o m er e l e v a n tr e s u l t s a s m a i nr e s u l t si n t h i ss e c t i o n ，w eo b t a i nt w on e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra v a l u a t i o no nam o d u l et oh a v ea p r o l o n g a t i o n i ns e c t i o n3 ，w ei n v e s t i g a t et h ep r o l o n g a t i o no fm a i n sv a l u a t i o n sw i t hr e s p e c tt o ah o m o m o r p h i s ma n dt h ep r o l o n g a t i o no fv a l u a t i o n so n am o d u l ew i t hr e s p e c tt oa p a i ro fh o m o m o r p h i s m s a sam a i nr e s u l ti nt h i ss e c t i o n ，w eo b t a i nan e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rav a l u a t i o no nam o d u l et oh a v ea p r o l o n g a t i o nw i t hr e s p e c t t oag i v e np a i ro fh o m o m o r p h i s m s ，一 k e yw o r d s ：m o d u l e ；v a l u a t i o no nam o d u l e ；m a n i sv a l u a t i o n ；p r o l o n g a t i o no fa v a l u a t i o n ，t e n s o rp r o d u c t i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌盔堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：弛鑫签字日期： 。孑年l 工月2 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 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年，张的根【1 2 】在交换坏范畴中引进了一个更为一般的赋值，即所谓的 m 一赋值此m 一赋值的概念蕴涵了m a n i s 赋值和形式有限的y 一赋值m 一赋 值的一般性体现在它的值集只需要求为序幺半群。 根据文献【1 2 】，一个三要素组( r ，+ ，s ) 称为序幺半群，如果下列条件成立： ( 1 ) ( r ，+ ) 是一个带有零元o 的交换幺半群； ( 2 ) s 是r 的一个序； ( 3 ) 对于任意口，卢，) ，e f ，由as 可推出口+ ys 卢+ y 由于模是与环密切相关的一个代数系统，人们自然期望在模范畴中开展有关 第一节引言 赋值的研究。2 0 0 6 年，曾广兴和杨谱【刁在模上引入了赋值的如下概念： 定义1 2 设m 是一个尺模， 个含最大元但不等于 的序集。 值，如果下列条件成立： 其中尺是一个有单位元的交换环，是一 从m 到的一个满射，称作m 上的一个赋 ( 1 ) 对于任意x ，ye m ，v ( x + y ) r a i n p g ) ，( y ) ； ( 2 ) o n 果，0 ) s ，( y ) ，其中z ，y e m ，n v ( a x ) s v ( a y ) 对于所有n e r 都成 l 卫； ( 3 ) 记，以( ) ：= 扛ml ，o ) ；】。若v ( a z ) s ，( 比) ， 其中a ，be r ， z e m ，。1 ( ) ，贝j l v ( a x ) s v ( b x ) 对于所有x m 都成立； ( 4 ) 对于任意a e r 。1 ( ) ：m ) ，存在一个a7 e r ，使得对于每个x e m ， v ( a a x ) ；v ( x ) 。 此时， 称为1 ，的值集，称 ，。1 ( ) 为，的核。 关模上赋值的性质可参考文献【7 】和【1 5 】。 本文将在文献f 7 1 的基础上，进一步研究关于模的赋值的拓展问题，从而建立 模上赋值可以拓展的充要条件以及其它的相关结论。 在本文中，“环”均指“含单位元1 的交换环”，“环上的赋值”均指“m a n i s 赋值”。有关环上m a n i s 赋值和赋值对的基本结论，可参见文献 6 1 幂1 1 1 7 。至于模 的赋值，可参见文献【7 】。为方便应用，我们将常用的文 6 e p 命题1 1 叙述如下： 命题1 3设m 是环r 上的一个尺模，且，：m _ a 是m 的一个赋值，则 下面事实成立： ( 1 ) 如果v ( x ) = ，( ) ，) ，其中x ，y e m ，则对于所有的口e r ，v ( a x ) - v ( a y ) 。 ( 2 ) 对于所有x m ，( 一x ) = ，0 ) 。 ( 3 ) 若，o ) ，( y ) ，则 ，伍+ ) ，) = m i n p o ) ，( y ) 。 ( 4 ) 若v ( a z ) ；v ( b z ) ，其中a ，b e r ，z e m ，。1 p ) ，则对于所有的x m ， v ( a x ) z v ( b x ) 。 ( 5 ) 若v ( a z ) 1 ，o ) ，对于所有工m ，q ( ) 。 ( 7 ) ，的核，一一) 是m 的一个素子模。 由命题1 3 ( 6 ) 知，对于r 一模m 的一个赋值，我们将获得1 ，在r 上诱导 的赋值对，) 。在下文中，赋值对( 彳，只) 所对应的r 上m a n i s 赋值将称作1 ， 2 第一节引言 在r 上诱导的赋值。显然，在m a r u s 赋值的等价意义下，在r 上诱导的赋值 是由1 ，唯一确定的。 根据文献【8 】，m 的一个子模称为素的，若对于口e r 幂 i x e m ，由a x g n 可推出a m n 或xe n 。 藉助于定义1 2 和上面命题，容易获得如下进一步事实： 命题1 4设m 是环r 上的一个r 模，且 ，：m _ 是m 的一个赋值。若 似，只) 是，在r 上诱导的赋值对，则4 一 口e ri ，( 甜) 乏，o ) ，对于某个 x e m 1 ，。1 ( ) ，且i 和e rl ，( 纵) ，o ) ，对于某个xe m ，。( ) 。 由命题1 4 ，我们立即获得下面的对应命题： 命题1 4 7 设m 是环尺上的一个j r 模，且，：m 一是m 的一个赋值。若 m 是，在r 上诱导的赋值，则对亏：x e m ，。1 p ) 以及口e r ，v ( a x ) 2 ，o ) ，只要 u ( a ) 0 ；而，( 戤) ，o ) ，只要“ ) 0 。 对于环尺上的一个模m ， 将采用如下记号：a n ：。 a x l a e a ，且x 1 - ， ( ：彳) ：一x e mi 对于所有ae a ，a x ，其中a 为r 的一个非空子集，为 肘的非空子集。对于m 的两个非空子集和b ，规定( ：b ) ：ip e r l 对于 所有x b ，r x 。特别地，当a = 口 ，b = x 时，分别用a n ，( ：口) 和( ：z ) 来代替a n ，( ：彳) 和( ：b ) 。当n = 阱且口为m 的子模时，记 a n n ( b ) 一( 0 ：b ) 。显然，如果是m 的一个子模，则( ：彳) 是m 的一个子模， 且( ：b ) 是尺的一个理想。另外，对于集合s 的两个子集a ，b ，将用彳b 表 示b 在a 中的补集，即a b ：一缸sl x a 但x 隹曰】。 无论是域上还是环上，在定义了赋值后，再考虑有关赋值拓展的问题，都 能得到了一些很好的结果。在模上已定义了序和赋值后，自然会问这样的问题： 模上的赋值是否存在拓展? 若拓展是有条件的，则模上赋值存在拓展的充分必 要条件是什么? 这是一个值得研究的问题。 在本文中，我们研究了交换环上模的赋值的拓展问题。通过构造反例表明， 一个模的赋值在该模的扩张上不一定总存在拓展。基于一些有关模上赋值的事 实，模上赋值在扩模上存在拓展的两个充分必要条件被获得。 3 第二符模上赋值的拓展 第二节模上赋值的拓展 在本节中，我们将考虑模上赋值的拓展问题。为此，我们需要下面的定义： 定义2 1 设r 和都为有最大元的序集。r 到的一个映射秽称作保序 的，如果秽( 0 0 ) 一，且对于任意a ，6 r ，由as b n - - 推出0 ( a ) so ( b ) 。 定义2 2 设肘和都是环rl z 的冗模，m ，和1 0 分别为m 和 的赋值，且和r 分别为，和的值集。若存在一个到r 的保序单射0 ，使得 对于每个x e m ，缈o ) 一毋( v o ”，则称o 是，在n 上的拓展。 一般情况下，模上赋值在扩模上不一定存在拓展，参见下面的例子。 例设。，即是有理数加法群q 关于整数子群z 的商群。此时，n 可以看成是一个z 模。 对于取定的素数p ，令m = 三+ zik 为整数) ，则m 是z 一模j 、r 的一个子模。 再令：z o ， ，且规定集合a 的一个序s ，使得0 弓专r u 【) 则称是，关于西在s 上的一个拓展。 在上述定义中，若j r s ，且取为环尺到环s 的恒等嵌入，便得文献【6 】 中所定义的环上m a n i s 赋值拓展的定义。 为方便应用，我们将文献 6 1 d e 命题7 叙述如下： 引理3 1 1 6 j 设，) 是环r 的一个非浅显赋值，s 是尺的一个扩环。， ) 在s 上有拓展的充要条件是rn 矽s 一矽，其中矽= v - i ( ) 。 设厂是环尺到环s 的一个同态，矽是尺中一个理想。根据文献【1 8 】，s 的 子集厂仞) 在s 中生成的理想叫作理想矽的扩理想，并记为矽。对于环s 中一个 理想q ，q 的原象，。1 国) 总是r 中理想。该理想，。1 国) 叫作理想q 的局限理想， 并记为q 。 藉助于引理3 1 ，我们可以类似地得到环上赋值关于同态的拓展存在的充要 条件。 定理3 1 设是环尺到环s 的一个同态，o ，) 是环尺的一个赋值。则1 ，在 s 上存在一个关于驴的拓展，当且仅当矽“一g o ，其中g o = ，。 ) 。 证明必要性。设，在s 上存在一个关于爹的拓展，且令a 和r 分别为，和 的值群。则存在到r 的一个保序嵌入0 ，使得对于每个x g r ， 第= 节赋值关丁i 司态偶的拓展 o ) ) = 眈p 0 ”都成立。 由交换代数中熟知事实知( 参见文献1 1 8 中命题1 1 7 ) ，矽矽押。设x e o “， 则有驴o ) 矽。= 驴汐) s ，从而有妒o ) ；罗( p 。溉，其中m 为j 下整数，p i 矽， 面 b i e s ，i 一1 ，2 ，肼。这时有 以o ) ) 一o ) ) = ( 罗庐( p ，溉) 苫m i n o g ( b ( p 。弘；) i 1s f m = m i n w ( 驴( p j ) ) + ( 阮) l1s fs 肌 = m i n o 。p p j ”+ ) 1 1 墨fs 所】一。 由眈的规定知，伍) 一，即x e g a 。由x 的任意性知，矽“矽。从而有矽钟= 矽。 再证充分性。设矽“= 矽，则显然有k e r 驴矽一矽。设妒( 口) a 妒p ) ，其中 a ，b e r ，则有a b e k e r 妒矽。从而v ( a 一6 ) = ，由此有 v ( a ) = v ( b + ( 口一6 ”一，p ) 。这表明，可规定妒似) 到u ) 的一个映射，使得 对于任意口e r ，静( 口) ) 一，( 口) 。显然，是一个满射。由于，是尺上的赋值， 从而易证匕是驴( 尺) 上的一个赋值且，。的核为妒仞) 。显然，驴( r ) 是环s 的子环。 下面证明： ，。在s 上存在拓展。由引理3 1 知，只需证明驴 ) n 妒p ) s = 舻) 。 显然有驴p ) 妒俾) n 驴汐芦。设ye d k ( g a ) sn 妒职) ，从而存在a 尺，使得 驴( 口) = y 仞) s - - g a 。则有a 矽卵= 矽。因此y = ) 妒汐) 。由y 的任意性知， 驴俾) n 妒仞) sg 驴p ) 。综上讨论，有驴俾) n 妒舻涔= 驴仞) 。 因此，。，) 在s 上存在拓展( ，r ) 。于是存在一个到r 的一个单一的保 序同态0 ，使得对于所有的y 妒僻) ，( ) ，) 一8 。( y ) ) 都成立。这时对于任意 x u _ r ，有 o ) ) ；0 。0 ) ) ) = 氏 ) ) 。 由定义3 1 知，是，关于妒在s 上的一个拓展。证毕。 现设口：r _ s 是环r 到环s 的一个同态，膨是一个尺一模，且是一个s 一 模，则通过“纯量局限 ( 参见文献【1 8 】中第二章) ， n 可看作一个尺一模。进 一步设厂是r 一模m 到尺一模的一个同态。为表达简明起见，在下面讨论中， 这些所设始终保持不变。 定义3 2 所设同上，再设，和分别为r 一模m 和s 一模的赋值，且 和r 分别为，和的值集。称是1 ，在上关于同态偶 ，厂) 的一个拓展，若存 在到f 的一个保序单射口，使得对于每个x m ，都有( 厂o ”。p o ) ) 成立。 由定义3 2 ，我们首先可获得下面的结论。 命题3 2 所设同定义3 2 ，若0 2 是，在上关于 ，) 的一个拓展，且记“。 1 2 第三节赋值关丁：同态偶的拓展 为t o 在环s 上所诱导的m a i n s 赋值，而“，为 ，在环尺上所诱导的m a i n s 赋值， n u 。，是h ，在s 上关于同态口的一个拓展。 证明令和r 分别为 ，和t o 的值集。由于t o 是1 ，在上关于似，厂) 的一个 拓展，则由定义3 2 知，存到r 的一个保序单射0 ，使得对于每个x e m ，都 有t o ( f ( x ) ) 一o o , o ) ) 成立。任取x e m ，。1 ( ) ，令，置 ，( 触) ) ， r ，( ，) 一c o ( s f o ) ) p ) 。由参考文献1 7 亡p 命题1 2 及其证明知，可以在，和r 似) 上分别定义加法如下： v ( a x ) + ，( k ) 一v ( a b x ) ，v a ，be r q ( ) ：m ) ； ( 口，( z ”+ ( 可( x ) ) = t o ( a b f ( x ”，v a ，be s ( 。1 ( ) ：) 。 使得。和r m 、分别在和r 所遗传的序下成为有序的群。则可以分别得到环尺 和环s 上的赋值1 ，。和m 、如下： ，( 口) i v ( a x ) ，v ae r ；f o r ( x ) ( 6 ) 一t o ( b f ( z ) ) ，v b e s 。 且1 ，。和，的值群分别为，和r ，并分别与赋值“，和“。等价。由，和r ，( 。) 上 所定义的加法，易证秒l 。是，到r ，的一个单一的保序同态，其中圳6 ，为秽在 ，上的限制映射。这时我们令0 = 伊i 。，则以是1 ，在。u 上的限制映射， 从而对于每个a e r ，都有 眈， ) ) i 以p ( 甜) ) = 她( 甜) ) 一t o ( f ( a x ) ) it o ( a fx ”； 0 ) 厂x ) ) tt o f ( x ) ) ) 由定理3 1 知，“) 是 ，在s 上关于同态a 的一个拓展。由于赋值，和，( ，) 分 别与赋值“，和n 。等价，因此“。是比，在s 上关于同态口的一个拓展。证毕。 由上面所设可知，通过“纯量局限”，环s 可看作一个尺一模。由此可得尺一 模m 和r 一模s 的张量积m rs 。此时，可得m 到m 膏s 的如下典范的尺一 模同态： 谢0 1 ： zhz 1 ， v x m ， 这里1 是s 中的单位元。 将m ，s 和都看作尺一模，并作笛卡儿积集m s 到的如下映射： 妒，：x ，s ) i - - - - ) s f o ) ， 坛m ，v s s 。 容易验证，妒，是一个尺一双线性映射。由张量积的泛性质可知，存在尺一模 m o rs 到r 一模的( 唯一) 同态凡，使得氏 s ) 一矽， ，s ) = s f ( x ) ，其 中x m ，se s 。 注意到，mo rs 同时是一个s 一模。对于任意s ，te s ，石m ， f 固s ( f o s ) ) = 厂毋 船) = s t f o ) 一o o s ) 。 因此，凡实际上也是一个s 一模m rs 到的一个同态。 使用上面的记号，我们可以建立下面的结果： 定理3 3 设口：r 呻s 是环尺到环s 的一个同态，m 是一个尺一模，是 第三节赋值关丁- 同态偶的拓展 一个s 一模，厂是r 一模m 到尺一模的一个同态，且相应地使用上述记号。若 ，是尺一模m 的一个赋值，则，在上存在一个关于同态偶( a ，) 的拓展，当且 仅当 ，在s 一模m 。s 上有一个关于同态偶 ，d0 1 ) 的拓展，使得 怠( 矽n ) ，_ 1 ( ) ，这里矽毒f 1 ( ) ：mo rs ) 。 证明必要性。设1 ，在上存在一个关于同态偶 ，) 的拓展，且和r 分 别为，和的值集。藉助于s 一模同态k ，我们可作mo rs 到r 的如下映射： ，： 考卜( 厶s ( ；) ) ，v ；e m r s 。 由定义1 2 容易验证，。是s 一模m 尼s 上一个赋值，且是 ，在上一 个关于同态凡的拓展。由定理2 8 知，怎仞。n ) y _ 1 p ) ，其中 矽8 1d f l ( ) ：m 露s ) 。 由于缈是，在上关于同态偶似，厂) 的一个拓展，从而存在到r 的一个保 序单射口，使得对于每个x m ，都有甜( ，o ) ) = 毋( y ( x ”成立。这样，对于每个 x m ， 舯x ) ) 一( 厂o ) ) = ，o 1 ”= 以尼，o 1 ) ) a ，“ 1 ) = ，( 耐。地) ) 。 这表明， ，。是，在s 一模mo 行s 上关于同态偶缸，d 1 ) 的一个拓展。此时，必 要性获证。 下证充分性。设，在s 一模mo rs 上有一个关于 ，d 1 ) 的拓展，。，使得 感仞。) ，f l p ) ，这里矽兰f 1 ( ) ：mo 曰s ) 。注意到，是s 一模m 月s 上一个赋值。由所设和定理2 8 知，。在上存在一个关于同态凡的拓展。 设，a 和r 分别是 ，。和的值集，则存在到。的一个保序嵌入谚和 到r 的一个保序嵌入哦，使得对于每个x m ， ，( 耐 1 ) ) i 侥 ) ) ，且 对于每个；e m rs ，( 厂。s ( ；) ) ；嘎。( ；) ) 。令侈= 晓。谚，则秽显然是a 到r 的一个保序嵌入。此时，对于每个x e m ，有 ( ，x ”一( k 0 0 1 ) ) = 晓o o 1 ) ) 一谚q d 1 0 ) ”一谚( 谚 ) ”一舯o ”。 这表明，是，在上一个关于同态偶( a ，) 的拓展。证毕。 下面例子表明：在上面定理中，若条件减弱为：厂。舻) c _ v _ 1 p ) ，其中 矽= 。1 p ) ：m ) ，则，在上并不一定存在一个关于同态偶 ，厂) 的拓展。 例设u 是有理数域q 上2 一进指数赋值( 参见文献【1 】中1 2 和2 7 ) ，则 整数加群z 是u 的值群。记z 。：= zu 】，且令z 。z ； ( 口，6 ) ia ，6 zu 。 根据z 。的序s ，可在z 上规定如下字典序s ： ( 口，6 ) ( c ，d ) ，当且仅当a c ，或者a ；c 且6 = r a i n p ( 口，6 ) ， v ( c ，d ) ) 。 当a = 0 ，c 一0 时， ，( ( 口，6 ) + ( c ，d ) ) = v ( a + c , b + d ) 一( “( c ) ，o o ) 一 ，( c ，d ) 乏r a i n pa ，6 ) ，v ( c ，d ) 。 同理可得，当a 0 ，c 。0 时，有，( ( 口，b ) + ( c ，d ”苫m i n v ( a ，6 ) ，v ( c ，d ) 。 当a 0 ，c 乒0 时，这时若a + c 0 ，则有 ，( ( 口，6 ) + ( c ，d ) ) 一v ( a + c , b + d ) = ( 口+ c ) ，) m i n 0 ( 口) ，) ，0 ( c ) ，) ；r a i n p ( 口，易) ， ，( c ，d ) ) 。 若a + c ；0 ，贝0 有，( ( 口，b ) + ( c ，d ) ) = v ( a + c ，b + d ) = ( ，u ( b + d ) ) m i n ( u 0 ) ，) ，o ( c ) ，) 。r a i n 0 ，6 ) ， v ( c ，d ) 。 ( 2 ) 所设同( 1 ) ，且设v ( a ，6 ) s ，( c ，d ) 。当。o 时，则有( o o ，“p ) ) sp ，“似”， 即u ( b ) s “( d ) 。从而对于每个，e q ，u ( r b ) su ( r d ) ，即有v ( r ( a ，6 ) ) s ，( ，( c ，d ) ) 。 当a = 0 ，c 乒0 时，则有( ，u p ) ) s ( c ) ，) ，这是不可能的，因此这种情况不 存在。当a 一0 ，c 。0 时，显然对于每个，q ，都有v ( r ( a ，易”sv ( r ( c ，d ) ) 成立。 当a 乒0 ，c 0 时，则有 0 ) ，) s ( c ) ，) ，即“ ) “( c ) 。从而对于每个，q ， u ( r a ) s “( ，c ) ，即有v ( r ( a ，6 ) ) sv ( r ( c ，d ) ) 。 ( 3 ) 显然v - i ( ) = ( 0 0 ) 】- ，若v ( r l ( a ，6 ) ) s 1 ，( 厂2 ( 口，6 ) ) ，其中厂l ，r 2 q ， ( 口，6 ) q 2 ，- 1 ) 。从而有v ( r l a ，q b ) o ，从而 h 。( 2 ) 0 。由命题1 47 ，有珊( 2 1 ) 御( 1 ) ，即( 厂 0 ) ) ( 厂( 0 ，1 ) ) 。于是 有o ( v ( 1 ，0 ) ) t g ( v ( 0 , 1 ) ) ，这里毋是y 的值集到的值集的一个保序单射。因而有 v ( t o ) v ( o 1 ) ，即( o ，c o ) ，0 ) ，矛盾! 因此1 ，在q ( 2 ) 一模c 上不存在关于同 态偶，厂) 的拓展。 1 6 致谢 致谢 本文是在导师曾广兴教授的指导下完成的从导师那里，本人不仅学到了专 业方面的具体知识和方法，而且领会了做人做学问的正确态度，这些都将使我 受益终生在此，我衷心地感谢导师，并向他致以最崇高的敬意1 1 7 姓名：刘露 2 0 0 8 年1 1 月 参考文献 参考文献 【1 】戴执中赋值论概要【m 】北京：人比教育出版社，1 9 8 1 【2 】e n d l e ro v a l u a t i o nt h e o r yfm 】n e wy o r k ：s p r i n g e r -