（测试计量技术及仪器专业论文）基于cnc坐标测量机的螺旋曲面统一测量技术研究.pdf

摘要 摘要 螺旋曲面在实际工程中的应用非常广泛，并且在一定的领域中，它的性能 以及功能是无法被其它曲面所替代的，这就决定了，螺旋曲面的测量技术在几 何量的计算、测量技术中占有很重要的地位。随着科学技术的日益发展，在越 来越多的领域中都需要使用到螺旋曲面，并对其几何精度方面的要求也提出很 高的要求。本论文首先总结了在很长时间来各个领域的研究学者对于螺旋曲面 测量技术的研究状况及其成果，并也提出了自己在螺旋曲面测量技术上的观点， 并进行了实验给与验证。 本文以三坐标测量机为测量工具，对常见的蜗轮、蜗杆的尺形面进行了采 点测量。并基于最小二乘法的原理，使用m a t l a b ，v c ，v b 等软件进行编程，将 测量所得的数据进行处理。同时推导出了统一的螺旋曲面的理论模型，建立了 螺旋曲面的误差模型，最后编出一套软件，它能够很快地将所测量数据的误差 准确求出来，大大缩短了螺旋曲面的测量评定时间。 关键词：螺旋曲面；等距曲面；最小二乘法；三坐标测量机；蜗轮；蜗杆 a b s t r a c t t h eh e l i c o i d a ls u f f a c e i sb r o a d l yu s e di na p p l i c a t i o n o fa c t u a le n 9 1 m e r m g ， w h i c hm a k e si t sp e r f o 肌a n c ea n df u n c t i o nc o u l d n o tb es u b s t i t u t e db yo m e r s 眦a c e s i nc e n a i n 黼d t h e r e f o r ，t h et e c h n o l 。g y0 fm e a s u r e m e n t f o rh e l i d o i d a ls u r f a c ：s 詈 b e e nc 。n s e q u e n c ei nm ef i e l d 。f d i m e n s i o n a lm e a s u r e m e n t s t h e d e m a n d s 士o ： h e l i c o i d a ls u r f a c e sb e c o m em o r e i n c r e a s i n g l y a l o n gw i t h t h ed e v e l o p m e n to t t e c l l i l 。l 。g y a i l dt h er e q u i r e m e n tf o rg e 。m e r r yp r e c i s i 。n i sm o r e s t r i c t l v t h i s p a p ，e r ， f i r s t l vs 啪su pt h es t a t u sa n dr e s u l to ft e c h n 。l o g y o fm e a s u r e m e n tf o rh e l l c 。1 d a l 妇e sw h i c hs t u d i e db yo t h e rs c i e n t i s t f r o me a c hf i e l df o ra g e s 觚蝎? 8 0 警 i d e a sf o rt h et e c h n 0 1 0 9 yo f m e a s u r e m e n tf o rt h eh e l i c o i d a ls u r f a c e sa n d v a l l d a t e sh l s t h ec n ci su s e da si n e a s u r e m e n tt o o l si n 。u re x p e r i m e n t - a 1 1d a 协( ：j h e ? x s u r f a c e so nw o 衄a n dw 0 彻w h e e l a r em e 踟r e db yc n c t h i sp a p e r b u l l d st h e t h e 。r ym 。d a l a n qe r r o rm o d a l o f t h 科eh e l 锄i c o i w h i d a lc s h u r d e p f a c e e n d s b sa 。s n e d m o 批n t h e l v e a c s t ，- s v q u b a r i e s m e t h o dp r i n c i p l e ，ad a t ap r o c e s s i n gp r o 铲锄w 1 1 1 c nu c p c l l u 苫u l “”一 一。， g i v e n t h i sp r o 酎a mc a nb eu s e d i nc n ca n dd e c r e a s e st h ee r r o ra s s e s s t l m eo t k e yw 。r d s ：h e l i c 。i d a ls u r f a c e s ；l s 。m e t r y s u r f a c e ；l e a s t - s q u a r em e t h o d ；c n c ； w o r mw h e e l ；w o r m 学位论文版权使用授权书 本人完全了解北京机械工业学院关于收集、保存、使用学位论文 的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以 及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向 国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名：i 式劬手 砷年1 月8 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在少年解密后适用本 授权书。、 指导教师签名：亨z 掀 学位论文作者签名： 1 朋，7 年了月岁e t 年月曰 硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：闺亚p 二呐每年鸨 也b 第1 章引言 第1 章引言 螺旋曲面广泛的应用于各类工程中。我们常见的一些机械零件诸如：齿轮、 蜗杆、螺杆、螺钉、螺母、丝杠、螺旋叶片等，它们都是以螺旋曲面作为工作 机理的，也就是说所有这些零件的运动，啮合，以及工作时所传递的动力、位 移和能量都是由螺旋曲面的参数所决定的。螺旋曲面的测量技术在几何量精密 计算、测量中占有很重要的地位删。 1 1 螺旋曲面的研究现状及发展趋势 1 1 1 螺旋曲面的分类 众所周知曲面是由一条母线绕着一定轴做旋转运动而形成的。螺旋曲面是 曲面的一种，其形成过程也与曲面一样。螺旋曲面根据螺旋运动方式、母线以 及母线与定轴间的位置关系不同的，可以分成若干种类型。 根据运动方式的不同，螺旋曲面可以分为圆柱螺旋曲面、圆锥螺旋曲面和 球螺旋曲面三种。根据螺旋运动参数的变化与否，螺旋曲面还可以分为等导程 螺旋曲面与变导程螺旋曲面。等导程圆柱螺旋曲面的共同特点是同一个螺旋曲 面上的各条螺旋线具有相同的导程。根据母线的形状，螺旋曲面可分为直纹螺 旋曲面与曲纹螺旋曲面。直纹螺旋曲面又称为线性螺旋曲面，其特点是形成该 螺旋曲面的母线可以是一条直线：而曲纹螺旋曲面是非线性螺旋曲面，其特点 是母线是曲线而不可能是一条直线。根据母线与螺旋轴的位置关系，直纹螺旋 曲面又分为阿基米德螺旋面、渐开螺旋面和法向直廓螺旋面。常见的曲纹螺旋 曲面有c 齿廓螺旋面、k 齿廓螺旋面、x 齿廓螺旋面等。在所有螺旋曲面中，只 有渐开螺旋面是可展的，其它螺旋曲面均是不可展的。 1 1 2 螺旋曲面的参数 如果要研究螺旋曲面的测量技术，就需要先研究螺旋曲面的构成原理。我 们先从最基本的曲面入手，一般曲面的参数方程都可以由两个矢量参数来表示 ：广= ，( ) ( “，1 ，) d ( 1 1 ) 式中，u 与v 为参数，d 为变动域。 第1 章引言 图1 1 曲面的参数曲线 在曲面上取一点4 ，让v 变化，而“= “。保持不变，则可以得到一条曲面 上的以v 为参数的曲线，称为过点a 的v 线，( ，) 。同样，也有过点如的u 线 ；( 嘶) 。在参数曲面上每一点都有一条u 线与v 线，它们构成曲面上的参数曲线， 如图1 1 所示。( u ，v ) 是在区域d 内连续变化的参数变量，在曲面上有无限条， 曲面就由一族u 线和一族v 线“交织 而成，数学上它们能完整地描述曲面。 工程实际中，为简化问题，将曲面离散化，用有限条u 线与v 线来描述；并通 过测量这有限条的u 线与v 线，利用曲面在一定区域上的连续性，对未测量的u 线与v 线进行特征推断，从而得到该曲面的近似解析图像。 设 舻( 1 2 )设 二 ( 1 ) 【v 2 y ( 叫) 是光滑函数。如果有反函数 仁篡 且 d 既隆珊。 、l - 籼舢 ( 1 3 ) 贝0 ：，= rc 。，) = ，( 莳，审) ( 磊，铲) d ( 1 4 ) 由式( 1 4 ) 可知，同一曲面可以采用不同的参数方程来描述，因而构造该曲面 的参数曲线是多种多样的。通过上面的分析，我们知道，曲面上的任意两条不 重合的曲线都可以表征该曲面，但是为了使用上的方便和统一，我们都选择诸 如曲率线之类的具有特定物理意义的参数曲线，我们称其为特征线。特征线的 选取要受到工件的工作机理、设计原理、加工方法、使用状态、曲线可测性等 2 第1 章引言 诸多因素限制。 齿廓线与螺旋线是螺旋曲面的最基本的特征线，其中齿廓线又可以分为端 面齿廓线、轴向齿廓线和法向齿廓线，如图1 2 所示。 端面齿廓 图1 2 特征线 法向齿廓 对于具有螺旋曲面的零件来说，根据其应用场合的不同，对于齿廓线的选 取也是有所不同的。对渐开线螺旋面而言，有四种特征线：渐开线( 端面齿廓 线) ，接触线( 轴向齿廓线) ，法向啮合齿形，螺旋线。理论上，这四种特征线 中任意两种的组合都可以完整地描述该螺旋曲面，但实际中需要根据加工工艺 及测量效率来进行选择。具体的组合见表1 1 。 表1 1 特征线第一组 第二组第三组第四组 渐开线 0 0 接触线 -_ 法向啮合齿形 0 t 螺旋线 _心 x 从几何精度上讲，控制螺旋曲面的精度可通过控制特征线的精度来实现。 因此，螺旋曲面的测量也就是通过测量这些特征线来实现的n 3 1 。 3 第1 章引言 1 1 3 螺旋曲面参数的测量技术 这里所说的螺旋曲面的参数主要是它的特征线。对螺旋曲面特征线测量技 术的研究可以追溯到2 0 世纪初期，最初的工作侧重于探讨测量方法，最开始研 制出的是的机械展成式万能渐开线检查仪，后来经过研究人员的不断改进，长 度基准采用了光学玻璃线纹尺，测量精度进一步提高，开始了精密测量螺旋曲 面2 引。 螺旋曲面特征线测量技术的发展，可以从三个方面即测量原理、实现测量 原理使用的技术手段、测量结果的后期处理的发展来看到。这三方面是相辅相 成的，每一个的发展都会带动其它两个的发展，科学技术的发展使得测量技术 有了大大的提高。 1 、比较测量法及实现技术 早期的误差测量，由于实验条件的限制只要以比较测量为主，其实质是相 对测量。具体方式有两种：其一是将被测螺旋曲面与一个标准螺旋曲面进行实 物比较，从而得到齿廓误差或螺旋线误差；其二是所谓展成法，就是将仪器的 运动机构形成的标准齿廓线( 或螺旋线) 与被测量螺旋曲面的相应特征线作比 较，来确定齿廓误差( 或螺旋线误差) 。 与上面的测量原理相对应的就是直接比较测量技术，其实现方式有两种： 并联式和串联式。并联式测量原理就是说标准元件与被测量零件装在位于同一 水平面内的顶尖内，并同时随滑动工作台做直线移动，可在千分表上读出零件 的螺旋线误差。串联式测量原理如图1 4 ( b ) 所示。 ( a ) 并联式测量 4 第l 章引言 ( b ) 串联式测量 图1 4 比较测量技术 无论是并联式或是串联式，关键在于标准螺旋线元件的制造精度。因此， 直接比较法一般只适用于测量精度较低的螺旋曲面。一般对于齿廓误差测量而 言，该方法是最简单、最实用的方法。 千分表需要人工读取，这样获得的螺旋曲面的特征误差只是它的幅值，仅 仅能用来评判被检项目的合格与否。 2 、运动测量法及实现技术 经过了几十年的完善与推广之后，一种运动测量法被提出来了，这种起源 于渐开螺旋曲面测量的方法的基本思想是将被测对象作为一个刚性的功能元件 或传动元件与另一个标准元件作啮合运动，通过测量啮合运动误差来反求螺旋 曲面的特征线误差。 对螺旋线测量而言，标准螺旋线轨迹可用螺旋创成运动来获得。早期精确 的螺旋创成运动是借助一些精密机构来实现的诸如：杠杆加钢带圆盘及类似车 床的齿轮加丝杠、正弦尺等形式。国外的很多公司都已经生产出了基于这两种 形式的测量仪，在各国开发的螺旋展成机构中，p w f 2 5 0 3 0 0 最为典型，其测量 原理如图1 5 所示。测量螺旋线误差时，需要主轴回转与传感器的轴向移动两 种运动，仪器是通过采用直尺和滚动的圆盘以及正弦尺机构来实现这种标准螺 旋线运动的，其运动链由两部分组成：一是通过直尺2 和滚动圆盘1 使工件4 做旋转运动，二是通过正弦尺机构3 ，在工件旋转一周的同时，使传感器测头5 沿工件轴线相应地移动一个导程，从而实现对螺旋线误差的测量。 5 第1 章引言 图1 5 螺旋展成机构 展成法采用的是电动记录器记录，靠人工读曲线，使得工艺误差分析成为 可能。 3 、坐标测量法及实现技术 坐标测量法是一种相对比较先进，比较简单面的测量方法，主要是要将被 测量的零件模型化，也就是建立数学模型，然后通过与测量数据，从而确定螺 旋曲面的误差。本文在后面的研究中也主要是应用了这一测量方法。 对于零件的测量总是要有一个固定的参考位置，这就是坐标系，它可以分 为直角坐标系、极坐标坐标系和圆柱坐标系。相应的就有为直角坐标法、极坐 标坐标法和圆柱坐标法。螺旋曲面的c n c 测量技术起源于电子展成测量技术( 电 子展成技术实在机械展成技术之后兴起的一种新的测量技术方式) 。在科学技术 迅速发展的今天，一切的研究都不可避免的会需要学科的交叉，仅仅依靠某一 种学科是无法很好的实现我们所需功能的。目前的c n c 测量技术就是利用光、 机、电的相互结合了来实现的，能够实现一种控制作用。利用c n c 技术可以实 现系统测量的自动化，能够大大减少人为的干扰，这种展成系统可以由闭环控 制系统或混合型( 半闭环) 控制系统来实现。其工作原理如图1 6 所示。 坐标测量技术既能够测量相对比较简单的线性螺旋曲面，也能够测量复杂 的非线性螺旋曲面，是我们能够去探索非线性的混沌世界。 6 第1 章引言 图1 6 坐标测量法 1 2 课题的研究背景、来源及研究内容 以往对于螺旋曲面的研究都是针对具体的螺旋零件展开的，缺乏统一性。 本课题从整体上考虑各种螺旋体的共同特点，从一般意义上和研究螺旋曲面的 共同性测量问题，建立统一的理论模型和误差模型。三坐标测量机已经成为各 类零件的测量的工具，但是目前还没有开发出针对螺旋曲面评定的软件，本课 题基于上述的理论，开发基于c n c 坐标测量机的螺旋曲面测量软件，实现对各 类螺旋曲面的测量与评定。并将推导出来的理论应用到了实际的螺旋体零件上 加以验证。 本课题由国家自然基金资助。课题研究期间完成的研究内容包括以下几个方 面： 1 、蜗杆的螺旋曲面的统一理论模型； 2 、蜗杆的螺旋曲面的的误差模型； 3 、坐测量机测头的选择及其半径补偿； 4 、基于c n c 的误差测量评定软件。 7 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 本章从几何学理论入手，给出了螺旋曲面的一般方程。同时给出了等距曲 面的原理，并以此为理论基础，建立了螺旋曲面的误差模型脚。 2 1 螺旋曲面的数学理论模型 2 1 1 螺旋曲面的一般方程 图2 1 螺旋曲面的形成 如图2 1 所示，空间坐标系( 0 一x ，y ，z ) 下有一条曲线r ，其单参数方程为 r ( f ) = ( 1 ) ，甄( 1 ) ，z o ( f ) 】r ( 2 1 ) 其中，f f 1 ，f ：】为参数，将r 作为母线，绕z 轴作螺旋运动，所形成的螺旋曲面 h 的双参数方程为 8 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 h ( f ，护) 5 x ( i ，口) y ( t ，们 z ( f ，口) x o ( f ) c o s 0 一y o f ) s i n 0 x o ( t ) s i n0 + y o ( f ) c o s 0 z 0 ( f ) + p o ( 2 2 ) 式中，0 1 9 1 ，眈】为参数，表示母线r 从起始位置绕z 轴转过的角度，顺着z 轴 看去，以顺时针方向转动为正。p 为螺旋参数，当p 非常数时，h 是变导程螺旋 曲面；当p 是常数时，h 是等导程螺旋曲面，此时，p = p ：2 万，p ：为螺旋曲面 的导程。本文只研究工程中应用广泛的等导程螺旋曲面，此外，本论文的研究 只考虑螺旋运动是右旋的情况，对于左旋形式的讨论完全类似。 改变母线r 的形状与位置，能得到各种不同的螺旋曲面： 1 、对于渐开螺旋面，其直母线的方程为 r ( f ) = r h ，p t r 6 】丁 ( 2 3 ) 式中，渐开螺旋面的基圆半径。引。 利用式( 2 2 ) ，得 一 r bc o s 0 一s i n 0 日( f ，口) = fr bs i n 0 + t c o s ol ( 2 4 ) p t r o + p 秒 l 2 、对于阿基米德螺旋面，其直母线的方程为 f ( o = 0 ，t ，f t a n a 。 ( 2 5 ) 式中，口直母线与端截面的夹角。 利用式( 2 2 ) ，得 一 一t s i n 0 日( 佃) = lt c o s 秒 ( 2 6 ) lf t a j l 口+ p 乡l 螺旋曲面上任意一点m ( 佃) 的单位法矢量为 缸耥，一h t 竺o t ，砒丽o h - oh ，z = t = = = i ， = ，爿 = = _ lf 日日l d 将式( 2 2 ) 代入式( j 7 ) ，可i 求得 丢蚓= 黟羔窦吕 9 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模犁 式中 z = ( p a 衍y _ z o x 。- 鲁t ) d i 纠p 百d x o 枷 ( 2 9 ) 六却。百d x o 慨警炒1 d _ ( p d 讲y - - - q - 。砘鲁) 2 + ( p 鲁鲁) 2 + ( 鲁慨a 讲y o ) 2 1 、对于渐开螺旋面，将式( 2 4 ) 代入式( 2 9 ) ，可求得 l 石= 0 l l 厶= p ( p 2 + 0 ) 2 i i i 六= r b ( p 2 + 芬) 1 将上式代入式( 2 8 ) 得到渐开螺旋面的单位法矢量 ( 2 1 0 ) ll1 4 n = p ( p 2 + 孝) 一js i n 0 ，一p c p 2 + 砰) 一jc o s 9 ，r b ( p 2 + 孑) 一j 】7 1 ( 2 1 1 ) 由上式可知，法矢量胛与z 轴的央角保持不变。 2 、对于阿基米德螺旋面，将式( 2 6 ) 代入式( 2 9 ) ，可求得 z = p p 2 + ( ) 2 】2 c o s “ 。 i 厶= l t a nc z 【p 2 + ( l ) 2 】2 ( 2 1 2 ) o u 5 ( 石 。 l = 和2 + ( l ) 2 l i 将上式代入式( 2 8 ) 便可求出阿基米德螺旋面的单位法矢量。 2 1 3 螺旋曲面特征线方程 螺旋曲面轮廓误差全面地反映了实际螺旋曲面的几何精度，但测量与评定 较为复杂。工程实践中，螺旋曲面的测量常常是通过测量螺旋曲面上的一些特 征线来实现的。在上节中，已经详细地讨论了特征线的种类及其选择。这里给 出特征线的方程。 1 、螺旋线 方程( 2 2 ) 中令f = c ，( 常数) ，得到螺旋线厶的方程 印仁= i 0 亿 1 0 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 式中对应c ，螺旋线所在圆柱面的半径。 实际中，螺旋线的测量一般在一个特定的r ( 如分圆柱) 上进行。将式( 2 1 3 ) 写成增量形式，便得到了螺旋线的基本方程： a z = p 口 ( 2 1 4 ) 2 、齿廓线 螺旋曲面的齿廓线是指螺旋曲面被既定方向的平面所截得的截线。最常用 的齿廓有：端面齿廓、轴向齿廓或轴平面齿廓等。 对端面齿廓z = o 成立，故由式( 2 2 ) 中的第3 式得 乡：一z ( t ) ( 2 1 5 ) p 将( 2 1 5 ) 、( 2 2 ) 两式联立，即求出端面齿廓方程，记为 l 2 ：，( f ) = i x ( f ) ，y ( f ) ，o 】7 ( 2 1 6 ) 对轴向齿廓有y = a ( 常数) 成立，故由式( 2 2 ) 中的第2 式得 0 = 六，) ( 2 1 7 ) 将( 2 1 7 ) 、( 2 2 ) 两式联立，即求出轴向齿廓方程，记为 3 ：= i x ( ，) ，口，z f f ) 】7 ( 2 1 8 ) 对轴平面齿廓有y = o 成立，故由式( 2 2 ) 中的第2 式得 秒= t a n 。( 一y 0 “) x ) ) ( 2 1 9 ) 将( 2 1 9 ) 、( 2 2 ) 两式联立，即求出轴平面齿廓方程，记为 l 4 ：，( f ) = x “) ，0 ，z ( 0 】7 ( 2 2 0 ) 对渐开螺旋曲面，当x = 时，式( 2 1 8 ) 是一个线形方程，其轴向齿廓线是 直线。对于阿基米德螺旋曲面，式( 2 2 0 ) 是一个线性方程，所对应的齿廓线是 一条直线。而对于非阿基米德螺旋曲面，式( 2 2 0 ) 是一个非线性方程，对应的 轴平面齿廓线是一条曲线。大多数情况下，齿廓方程( 2 1 6 ) 、( 2 1 8 ) 和( 2 2 0 ) 是不能以显式给出的。实际测量中，通常给出一系列x ，或y ，用计算机求解式 ( 2 1 6 ) 、式( 2 1 8 ) 和式( 2 2 0 ) ，得到相应的y ，或z ，的值。齿廓线是一系列点的 集合 对应三2 ：q 2 = ( x ，y f ) i f ：l 2 - ，) ( 2 2 1 ) 对应l 3 ：q 3 = ( x f ，z ，) b 2 ( 2 2 2 ) 对应l 4 ：q 4 = ( x ，z ，) i f ；1 2 一 ，) ( 2 2 3 ) 2 2 等距曲面 如果需要更加深入的研究曲面几何，就遇到等距曲面的问题。例如我们在 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模犁 使用三坐标测量机对零件进行采点测量时，需要将测量头与被测曲面相接触， 测量的结果是测量头球心的坐标，被测曲面是这些球面的包络面。再比如我们 现在想要研究的螺旋曲面的误差模型，如何建立这个模型，这也需要利用到等 距曲面了。下面我们先来看看什么是等距曲面n 引。 定义如下：设曲面s 上的每一点p ，沿着s 在这点的法线的正( 负) 方向移 动一段距离旯，则得到点尸的轨迹s ，称为s 的等距曲面瞄4 j 。 简单来说如果已知曲面s 的方程 ，= r ( u ，1 ，) ( 2 2 4 ) 则等距曲面s ，的方程为 ，= r ( u ，1 ，) + c , t , n ( u ，v ) ( 2 2 5 ) 这里，n 是曲面s 的单位法向量，旯是一正常的常数且兄0 ，s = 1 。曲面与其 等距曲面在对应点的法矢量平行。 前面我们给出了等距曲面的一般方程，螺旋曲面也有等距曲面，其具体的推 导过程如下 螺旋曲面h 的等距曲面疗其方程为 h 、= h ( f ，口) + p 厅 ( 2 2 6 ) 式中，p 为日与疗之间的法向距离。p 的选取必须满足p 一 尼意( k m 积是螺旋曲 面h 的最大法曲率) ，以保证詹不产生非正则点，即曲面詹无脊线、无曲面自交 情形。其实际意义为：在测量凹性螺旋曲面( 如c 型蜗杆) 时，测量头半径应 小于被测曲面的最小曲率半径，否则因曲率干涉而使所对应的区域是不可测的。 将式( 2 2 ) 和式( 2 8 ) 代入式( 2 2 6 ) ，得到螺旋曲面的等距曲面日的方程 式中 h ( ，口) = x ( f ，口) y ( t ，口) x o ( f ) c o s l 9 一y o ( f ) s i n o xo ( t ) s i n o + 甄( f ) c o s 0 o ( ，) + p o = x o ( f ) + 崩 = y o ( f ) 一历 一iz o ( r ) + 厉 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 用球形测量头测量螺旋曲面时，式( 2 2 7 ) 是决定测量头的运动轨迹的依据引。 通过比较可以看出，詹方程符合螺旋曲面的一般方程，因此，螺旋曲面日的 等距曲面疗仍是螺旋曲面，且日与膏有相同的螺旋参数p 。由此得出如下结论： 在螺旋曲面h 上，作任意一条曲线r ，沿r 作日的法向上的等距曲线f ，距离 为p ，则f 必落在距离日为p 的等距曲面上。 1 2 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 虽然詹是螺旋曲面，但一般来说，百与h 不是同一类螺旋曲面，并且疗远 比日复杂。微分几何业已证明，对日而言，若式( 2 9 ) 满足 2 + 厅0 且 一厶= 0 ，则疗与h 是同一类螺旋曲面。由式( 2 1 0 ) 可知，渐开螺旋面的正= 0 ， 满足上述条件，因此，渐开螺旋面的等距曲面仍是渐开螺旋面，它们属于同一 类。而其它螺旋曲面不满足上述条件。基于此，用球形测量头测量渐开螺旋面 时，不需要进行测量头半径补偿；而其它螺旋曲面的测量，若用球形测头，均 存在测量头半径补偿问题。 2 3 螺旋曲面的误差模型 因加工误差、热处理变形以及安装误差等众多因素的影响，实际零件的轮廓 表面日+ 偏离了理想螺旋曲面h ，而偏离程度用轮廓法向误差来衡量，即实际螺 旋曲面的误差在理想螺旋曲面日的法线方向进行度量。婚1 。 如图2 2 所示，h + 上任一点b 处的轮廓法向误差4 。、定义为 艿( 口) = ( 豆一j ) 元 ( 2 2 9 ) 式中，雪为b 点的位矢量，彳为h 上与b 点相对应的a 点的位矢量，元为h 在a 处的单位法矢量，通常规定由实体指向空域为正方向。当( 召一爿) 与元方向一致 时，哦b ) 为正；当( 雪一彳) 与历方向相反时，哦口) 为负；当b 在h 上时，4 b ) = 0 。 实际上，1 4 。、i 为b 点到螺旋曲面h 的最短距离口副。 图2 2 轮廓法向误差 e h 式( 2 2 9 ) 可知，理想螺旋曲面h 上每一点均有唯一的一个占( 8 ) 与之对应， 因此，哦占) 是曲面上点的函数，即曲线坐标( f ，乡) 的函数。于是，万( b ) 可写为哦棚) 。 1 3 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 ， 对万( 柚) 求微分，得 d d = 6 t d t + 6 e d o 式中，色= a ，屯= a 臼 ( 2 3 0 ) 2 3 1 实际螺旋曲面的描述 函数万( f ，口) 是螺旋曲面的法向误差，于是真实螺旋曲面h 可表示为 h + = h + 万( ，元 ( 2 3 1 ) 对上式求微分，得 d 厅：d 厅+ 元d 8 + 万d h( 2 3 2 ) 由微分几何可知 招= h t 砌+ h e d o( 2 3 3 ) l d h = h f 缈1 + h 口国2 式中，国、功，为法矢量历的无穷小回转角速度，是衍与d o 的一次微分形式。 将式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 0 ) 代入式( 2 3 2 ) ，得 d h = ( 日r + 6 i n ) d t + ( h a + 西n ) d o + 6 l 。日f + 6 幻2 h o 在上式中，彻与8 0 ) ，是二阶小量，可忽略不计，而得 d h = ( 日r + 西n ) d t + ( h e + 以n ) d o ( 2 3 4 ) 将右端d t 、d o 的因子矢量作矢积，便可求得+ 的单位法矢量为 元：墨兰丛盟塑鱼乏 ( 2 3 5 ) i ( h ，+ 4 元) ( 日目+ 以乃) i 式( 2 3 5 ) 与式( 2 7 ) 的比较表明，轮廓法向误差的存在，改变了实际螺旋曲 面法线的方向( 参见图2 3 ) ，这对螺旋曲面测量产生影响，成为测量误差的来 源之一川32 j 。 由式( 2 3 1 ) 与式( 2 。3 5 ) 可求出实际螺旋曲面h + 的等距曲面厅+ ，其方程为 h = 豆+ + p n 一 ( 2 3 6 ) 2 3 2 螺旋曲面误差的一般模型 上面介绍了两对曲面：日与疗、日与疗+ 。采用坐标法测量螺旋曲面时， 测球中心的轨迹面即为詹。为求螺旋曲面的轮廓误差，一般不能直接采用式 ( 2 2 9 ) ，而是将詹与疗作比较。由式( 2 3 6 ) 、( 2 2 6 ) 可得 二二 一 日一h = h + 一日+ p ( 历一元) 将式( 2 3 1 ) 代入，得 日+ 一h = 万( 。，元+ d ( 元+ 一五) ( 2 3 7 ) 1 4 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误筹模型 将上式两边与元作点积，并作适当变换，得 万( f 们= ( 詹一疗) 元一p ( c o s t 一1 ) ( 2 3 8 ) f 为元与菇的夹角，也即螺旋曲面法矢量因轮廓法向误差的影响而在空间转 过的角度，如图2 3 所示。一般说来，f 较小，将c o sz 展开为级数并略去高次 项，得 氏= ( 詹+ 一膏) 元+ 去p f 2 ( 2 3 9 ) 式( 2 ，3 9 ) 即为适合各类螺旋曲面的轮廓误差的通用模型。事实上，它也适用 于其它复杂曲面n 引 z 3 j 。 一， ， 图2 3 实际曲面的法矢量 i 酉 、 、 l | 实际应用中，考虑到r 很小，近似认为元= 丙，常常将式( 2 3 9 ) 简化为 哦娜) ( 日+ 一日) 历 ( 2 4 0 ) 上述简化模型的基本含义是：对于实际螺旋曲面，可以认为球心的实际轨 迹相对于球心理想轨迹曲面日的误差就是螺旋曲面在相应点的误差。该模型带 来的原理误差a s 为 占= 一一1p r 2 ( 2 4 1 ) 2 f 2 是二阶小量，因而占也就较小甚至可以忽略不计。例如，若测量头半 径为l m m ，f = l 。，则a 6 = 一o 1 5 朋。但当测量头半径p 较大或r 较大时，占便 成为了测量中一项重要的误差源。式( 2 4 1 ) 也说明，采用小直径测量头可以减 小测量误差；但测球误差或磨损均将1 ：1 地代入测量中。 实际上，式( 2 4 0 ) 可写成另一种形式 氏口) = 噍c ) 一p ( 2 4 2 ) 1 5 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 式中 d ( c ) = 历a c ( 2 4 3 ) 如图2 4 所示，几何上，d t n 表示测球中心c 到理想螺旋曲面h 的距离心引。 测量螺旋曲面时，测头球心的实际轨迹坐标的测得值为( f ，y i ，乏) 。，而 理想螺旋曲面h 的方程由式( 2 2 ) 以双参数形式给出。如图2 4 所示，对应 c ( f ，并，薯) ，在h 上总可找到某一点4 ，4 点处的法矢历通过c 。 图2 4 点到螺旋曲面的距离 f 曼2j + d 元， j 而锚( f 鲫+ 砌( 2 4 4 ) l y i 5 y ( i ，日) i + d n y f 【z f 。2 ( t ，e ) i + d n z i 式中六乡螺旋曲面的参数； d 测头球心与理想螺旋曲面沿法矢元的距离。 式( 2 4 4 ) 可以写为 兰_ 二垫型：生二苎：型：墨二塑kd ( 2 4 5 ) 一= = = 二= l ，4 n 即x l 刀y f 刀z f 由式( 2 4 5 ) 有 j 咒( 譬1 7 一x ( ，口) ，) - - x i ( 并一y ( r ，口) f ) = o ( 2 4 6 ) l n z j ( 万一y ( ，一) f ) 一n y i ( 乏一z ( ，f ) = 0 求解式( 2 4 6 ) 可得螺旋曲面上各点的参数，p ) ，代入式( 2 4 5 ) 可求出对应 于么+ ( i + ，剪，彳) 点的d 。 1 6 第2 章螺旋曲面的理论模型及其误差模型 2 3 3 螺旋曲面轮廓误差 由于实际螺旋曲面的测量基准与理想螺旋曲面的基准存在偏差，因此在进行 轮廓误差评定时测量基准与理想基准之间应作适量调整。这就是曲面匹配问题。 对一般曲面而言，基准调整通常包括( 。，：) 三个轴向移动调整和 够，口。口，) 三个绕各轴的转动调整。但对螺旋曲面而言，其调整自由度要根据零 件的实际结构以及测量定位方式而定：并且由式( 2 2 ) 可知，螺旋曲面的回转运 动曰，与其轴向平移，是相关联的，因此这两个参数的调整是等价的心铂口引。 工程实践中，对以轴为工作基准的螺旋曲面类零件( 如蜗杆、齿轮等) ，其调 整一般只在或口，上进行。这罩以平移为例进行论述。 由式( 2 2 ) 可知，螺旋曲面h 平移三后，其方程为 日舌，口) = i x ( f ，印y ( f 即z ( f 一) + 三r ( 2 4 7 ) 在h 平移三后，实测点到理想螺旋曲面的距离发生了变化，相应地其法向齿 廓误差哦绷) 也发生了变化，很显然万( 删) 也是的上函数，因此可汜为万( 。，8 ，l ) 。 螺旋曲面的匹配应遵循一定的准则。满足最小条件的匹配便是最佳匹配。按 最小条件评定螺旋曲面轮廓误差的数学模型为 鼻l 1 = m i n l m a x ( d ，) f 小j v m i n ( 8 a - l l ( 2 4 8 ) 上式的基本意义为：对于测量点集( f ，彳) 剖与螺旋曲面h ，找到满足上式 的l ；其实质是消除测量基准对测量数据的影响，找出基准调整量三，使包容区 域最小。 f ，、为一维优化问题，可用一些常见的优化算法去求解。 实际螺旋曲面日在测量区域内的轮廓误差f 为 廿= e 们= f m a x ( 8 + ) l + l m a x ( d 一) i ( 2 4 9 ) 式中，万与万一分别为日+ 的j 下轮廓法向误差与负轮廓法向误差。螺旋曲面的特 征线误差模型与测头半径补偿。 2 4 本章小结 在这一章中，我们介绍了不同的螺旋曲面具有不同的特征线，并研究了螺 旋曲面的单位法矢量。给出了螺旋曲面统一的理论模型，该模型是基于圆柱螺 旋面的理论方程。同时提出了等距曲面的理论，依据等距曲面的原理建立了螺 旋曲面的统一误差模型。也相应的给出了螺旋曲面的轮廓误差模型。 1 7 第3 章具体螺旋曲面零件的误差模型 第3 章具体螺旋曲面零件的误差模型 前面一章，我们从螺旋曲面统一的方面研究了它的数学模型以及误差模型， 并对螺旋曲面误差模型的建立过程，有了一个初步的认识。本章将在前一章的 理论基础上，结合现有的测量工具以及合理的数学方法，研究具体螺旋曲面零 件( 蜗轮、蜗杆、弧齿锥齿轮) 的数学理论模型和误差模型。7 ”“。 31 蜗杆的螺旋曲面方程 蜗杆是螺旋曲面零件的一种，根据第一章的分类方法，可知它属于渐开线 螺旋曲面，是圆柱螺旋曲面。根据前面我们所研究的建立螺旋曲面数学方程的 理论方法，我们就具体的求取这种特殊螺旋曲面的数学方程。 首先，需要找到该螺旋曲面零件的的特征线方程。下图是我们在这次试验 中使用到的蜗杆零件，它的特征线是渐开线，该渐开线绕着母线螺旋上升就形 成了蜗杆的螺旋曲而。 图3 1 蜗杆、蜗轮图片 第3 章具体螺旋曲面零件的误差模型 3 1 1 渐开线 由于蜗轮、蜗杆的母线是渐开线，这就需要从渐开线开始研究，先来看渐 开线的定义：一条直线在一个圆周上做纯滚动时，直线上任意一点的轨迹成为 渐丌线。具体如下图所示啪1 k 图3 2 渐开线形成示意图 线 弧线a k 称为渐开线，直线b k 为发生线，圆0 为基圆，为基圆半径，以为渐 开线a k 的展角。 渐开线具有以下特性 1 、弧a k = a b ，发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度； 2 、b k 为渐开线在k 点的法线，且为k 点的曲率半径。渐开线上任意一点的法 线必须与基圆相切； 3 、渐开线的形状取决于基圆的大小。当基圆半径为无穷大时，渐开线将变成一 条斜直线即齿条的齿廓曲线； 4 、基圆内无渐开线。 1 9 第3 章具体螺旋曲面零件的误差模犁 3 1 2 蜗杆的螺旋曲面理论模型 jy - 厂 巳ln 。 1v i 一- l 0 n 7 l x 图3 3 渐开线模型 y ) x 图3 4 螺旋曲面的形成过程 根据渐开线的上述性质，我们可以利用几何学的理论，并按照螺旋曲面的 形成机理来推导出蜗杆的螺旋曲面方程n 。 首先来推导空间渐开线的方程如下 2 0 第3 章具体螺旋曲面零件的误筹模型 尺c ，j ，2 ，毒c 。s ( 吾) + ， s i n ( 吾) ( 3 1 ) z ：，幸s i n ( 三) 一f , c o s ( t ) 式中r ( ) = 2 + 少2 ，为基圆半径，为发生线沿着基圆滚过的长度。 渐开螺旋面可以由o x y 平面上的渐开线，绕z 轴做螺旋上升运动形成，如上图3 4 所示。其中彳q 为基圆螺旋线，其所在的圆柱为基圆柱，基圆螺旋线的切线妒称 为直母线，三角形q 尸丁称为渐开三角形。 由此推导出，螺旋曲面的方程的柱面坐标表达式如下 f x = r c o s ( l ) + ，母s i n ( l ) 球c o s o y ： r * c o s ( 三) + f 木s i n ( 三) 】木s i n 0 ( 3 2 ) z ：厂母s i n ( 三) 一，木c o s ( - t ) + p 木0 其中p 为螺旋参数，即为螺旋曲面的导程的坛。_ r 为基圆半径，0 为蜗杆的 旋转角度，在这里取为弧度值。 对于参数已知的蜗杆而言，我们可以直接将各个参数值代入到上面的方程 组中去，就得到了对应于该蜗杆的螺旋曲面理论模型。但是在实际试验中的零 件已经没有具体的参数介绍了，只能够依靠实验室的各种测量工具( 千分尺等) 先来测量，同时需要与机械设计手册旱所给出的标准值相比对，来找到理想的 匹配参数值。 表3 1 头数轴向齿 齿形角模数直径系数分度圆直导程角 距径 z = 1p = 9 8 9a = 2 0 。 m = 3 1 5 q = 1 7 7 7 8d = 5 6 m m 7 = 3 2 1 9 5 表3 1 是该蜗杆的具体参数值， 分度圆直径，通过这几个关键参数， 围，简化了以后的计算过程。 其中关键的几个是直径系数、轴向齿距和 我们就可估算出该蜗杆零件的基圆半径范 在求取蜗杆的数学理论模型之前，我们先来确定其基圆半径的值。在这里 我们使用到了数值分析中的迭代法理论，并将其实际化，通过多次求解、逐次 逼近，迭代过程中，需要将每次的步长设定在0 0 5 所聊以内，以保证所求出的， 值能更加接近我们的真实值，同时还要观察每一步的计算是否向着收敛的方向 2 1 第3 章具体螺旋曲面零件的误差模型 进行，如果不是，就立即停止程序运行，修改步长，多次进行计算，最终确定 了基圆半径，= 1 7 9 8 5 3 8m m 。 将所求得的厂值代入式( 3 2 ) 中，就求出了实验室中所使用的零件蜗杆 的数学模型 x = 1 7 9 8 5 木c 。s i 弓：去) + ，木s i n i 弓：去) 】宰c 。s 秒 y = 0 7 9 8 5 坳s ( 志) + i n ( 志) m i n 矽 ( 3 3 z = 1 7 粥5 槭n ( 志) - t * c o s l 79 8 5( 志1 79 8 5 ) + p 掌乡 、 ，、 ， 该蜗杆零件的数学模型的求取过程与前面一章的理论基础是相近的，但是 求取的模型却是有差异的。这也就说明了，统一理论模型是个很广泛的数学模 型，不可能任何具体的零件都必须按照它所给出的样子进行求取，对于不同的 零件，需要变通，只要不背离统一模型的理论基础就是正确的。这里给出的只 是一种求取螺旋曲面数学方程的过程，不仅仅对于蜗杆这种特殊零件有效，任 何一种具有螺旋曲面的零件都可以使用。该方法将一般的理论研究拓展开来， 与实际的零件相结合，既证明了理论的正确性，又给出了求取具体零件的齿面 方程的方法步骤，理论联系实际，加深了大家对于螺旋曲面模型的认识。 同时有必要提醒一般零件在出售时，厂商都能够提供该零件的一些必要的 参数值，这就不需要我们再去求取它们，可以大大减少不必要的误差，对于后 续的误差处理也是很有帮助的。如果是做纯数学研究，应该是要找参数比较全 的零件，这对结果的不利影响会比较小。 3 2 蜗杆的误差模型建立 研究具体的螺旋曲面零件，不是只要知道它是如何形成的就行了，主要目 的是为了检测该零件是否标准，在经过若干次的使用后磨损有多少，使用不同 的测量工具进行测量时，误差又会是多少。所以在前面给出的蜗杆的理论