（应用数学专业论文）applications+of+the+auxiliary+principle+technique+for+strongly+mixed+variationallike+inequalities+and+nonlinear+generalized+parametric+quasi

a p p l i c a t i o n so ft h ea u x i l i a r yp 砌n c i p l e t e c h n i q u ef o rs t r o n g i m i x e dv a r i 崔n o n a l - l i k e i n e q u a l i t i e sa n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e d p a r a m e t r i cq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s p o s t g r a d u a t e ：j u h es u n s u p e r v i s o r ：z e q i n gl i u a b s t r a c ti n t h i sp a p e r ，t w on 州c l a s s e so fs t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n - e q u a l i t i e sa n dn o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa r ei n - t r o d u c e da n ds t u d i e du n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o 船舢e x i s t e n c et h e o r e m so fs o l u - t i o n sf o rt h en e wc l a s so fs t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sa r ep r o v e di n hj i b e r t8 d t c e sa n da ni t e r a t i r ea l g o r i t h mt oc o m p u t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n so ft h e s t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e si ss u g g e s t e da n da n a l y z e dt h es t a b i l i t y r e s u l t so fi t e r a t i v es e q 啪c og e n e r a t e db yt h i si t e r a t i v ea l g o r i t k ma r eg i v e nt h e b e h a v i o ra n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i so ft h es o l u t i o n 8o ft h ed 0 wc l a 韶o fn o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa 咒a i s os t u d i e d k e yw i r d sa n dp h r a s e s s t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t yn o n l i n e a r g e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cq u a d v a r i 砒i o n a li n e q u a l i t y , a u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e 、 s c l t a r d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，a l g o r i t h m s t a b i l i t y , s e l m i t i v l t y 1 i n t r o d u c t i o n v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sh a v eb e e nu s e di nal a r g ev a r i e t yo fp r o b l e m sa r i s i n gi n e l a s t i c i t y , e c o n o m i c s ，o p t i m i z a t i o n ，p h y s i c a la n de n g i n e e r i n gs c i e n c e s ，s e e 【2 - 7 】，【9 - 9 2 6 ，1 2 8 4 1 la n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n v a f i a t i o n a t - l i k ei n e q u a l i t i e sa n dq u a s i v a r i a - t i o a n li n e q u a l i t i e sa su s e f u la n di m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o no fv e r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s h a v ep o t e n t i a la n ds i g n i f i c a n ta p p h c a t i o l mi no p t i m i z a t i o nt h e o r y , s t r u c t u r a la n a l y s i sa n ds oo n t os o l v ev a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s tr e s e a r c h e r sh a v ed e v e l o p e da l o to “e c h n i q u e s 锄t do n eo ft h ei n o s te f f e c t i v en u m e r i e a lt e c h n i q u e si 8t h ea u x i l i a r y p r i n c i p l et e c h n i q u ew h i c hd o e sn o td e p e n do nt h ep r o j e c t i o nd i n g 睁7 a n dl i u 【1 1 ，1 9 ，2 3 】e x t e n d e dt h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e t os u g g e s ts e v e r a li t e r a t i v e a l g o r i t h m st oc o m p u t ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sf o rs o m ec l a s s e so fg e n e r a ln o i l l i n e a r m i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s 2 0 0 0m a t h e m a t i c 8 轧b j e c t 翻a s s i f i c a t i o n4 7 j 2 0 4 9 j 4 0 1 t y p e s e tb y s t h 洋 2 j u h es u n i nh i l b e r ts p a c e s ，b yu s i n gt h ep r o j e c t i o nt e c h n i q u e ，d o n g ，l e ea n dh u a n g 【8 】i s a l a h u d d i n 3 5 1a n dl i u 1 5 ，27 1o b t a i n e dt h eb e h a v i o ra n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i s o fs o l u t i o n sf o rac l a s so fp a r a m e t r i cg e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sb y m a k i n gu s eo ft h ei m p l i c i tr e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，a g a r w a l ，c h oa n dh u a n g f 1 g a v et h es e n s i t i v i t yp r o p e r t yo fs o l u t i o n so fap a r a m e t r i cg e n e r a l i z e ds t r o n g l 3 ， n o n l i n e a rm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n c l u s i o n i nt h i sp a p e r w ei n t r o d u e ea n ds t u d yan e wc l a s so fs t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e sa n dan e wc l a s so fn o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cq u a s i v a r i a - t i o n a li n e q u a l i t i e s b ya p p l y i n gar e s u l td u et oc h a n g 【2 ，w ep r o v et h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o n sf o rt h ec l e s so fs t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s u s i n gt h e a u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e ，w es u g g e s ta n da n a l y z ean e wt h r e e - s t e pi t e r a t i v e a l g o r i t h mf o rs o l v i n gt h ec l a s so fs t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s t h e c o n v e r g e n c ec r i t e r i aa n dt h es t a b i l i t yr e s u l t so ft h es e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ei t - e r a t i v ea l g o r i t h ma r eg i v e n 、 ，ea l s os t u d yt h eb e h a v i o ra n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i s o ft h es o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rg e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y i nh i l b e r ts p a c e sb ya p p l y i n gt h ea u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u e 2 p r e l i m i n a r i e s l e thb ear e a lh i l b e r ts p a c ee n d o w e dw i t ha ni n n e rp r o d u c t ( ，) a n dn o r m ” l ，r e s p e c t i v e l y l e tkb ean o n e m p t yc l o s e dc o n v e xs u b s e to fh ，a ，b g 只g ： _ 日，n ：日日h ha n d 卵：k k 一日b e m a p p i n g s a s s u m e t h a t p i san a n e m p t yo p e ns u b s e to fhi nw h i c ht h ep a r a m e t e r t a k e sv a l u e s s u p p o s e t h a to ：hxh _ ( 一o o ，+ o 。) i sac o e r c i v ec o n t i n u o u sb i l i n e a rf o r m ，t h a ti s ，t h e r e e x i s tp o s i t i v ec o n s t a n t sca n dds u c ht h a t ( i ) a ( v ， ) o l l v l l 2 ，v 日； ( ) n ( u ，u ) d l l n l 口队v u ， h c l e a r l y , c 0s a t i s f y i n g 1 6 ( u ，t 川圳u 洲m i ，v u ，v h ( d ) b ( u ， ) 一6 ( u ，w ) 6 ( “， 一 ) ，v u ， ， h l e tu sr e c a ut h ef o l l o w i n gu s e f u ld e f i n i t i o n s d e f i n i t i o n2 1 l e t a ，b ，c ：k h ，n ：h h h _ h a n d 叶：k k _ 日 b em a p p m g s f 1 1ai ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u sw i t hc o n s t a n tai f t h e r ee 耐s t sac o n s t a n t 盘 0s u c h t h a t i l u 一 | | a l 卜一口mv u ， k ； v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l l t i e sa n dq u a s y c a r i a t i o n a li n e q u a l i t y3 ( 2 ) ni ss a i dt ob el i p s c h i t zc o n t i n u o u sw i t hc o n s t a n t 口i nt h et h i r da r g u n l e n c i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t 口 0s u c ht h a t ( 叫，z ，“) 一n ( w ，。，u ) | | 卢i l “一u mv u ，u ，w ，z h ( 3 ) ai ss a i dt ob es t r o n g l ym o n o t o n ew i t hc o n s t a n t1 i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t 10s u c h t h a t ( u a v ，n 一 ) 7 l j u 一 1 1 2 ，v u ，u k ( 4 ) ni ss a i dt ob e 口- s t r o n g l ym o n o t o n ew i t hc o n s t a n tfw i t hr e s p e c tt oai n t h ef i r s ta r g u i n e n ti ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t 0s u c ht h a t ( n ( a u ，w ，z ) 一n ( a v ， ，z ) ，1 ( “， ) ) | | u v i i 2 ，v u ， k ， ，z h ( 5 ) ni s s a i dt ob eo - r e l a x e dm o n o t o n ew i t hc o n s t a n t w i t hr e s p e c tt oai n t h es e c o n da r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sac o n s t a n te 0s u c ht h a t ( n ( a u ， ，2 ) 一n ( a v ，“j ，z ) ，印( “，t ，) ) 一e | | 一t j | | 2 ，v u ， k ，u j ，z 日 ( 6 ) ni ss a i dt ob 87 - m o n o t o n ew i t hr e s p e c tt oa i nt h es e c o n da r g u m e n ti f ( n ( a u ，州，；) 一n ( a v ， ，z ) ，卵， ) ) 0 ，v u ， j 训，= 日 ( 7 ) 目i ss a i dt ob el i p s e h i t zc o n t i n u o u sw i t hc o n s t a n t6i ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t d 0s u c h t h a t 怕( “，口) | i s 刮一圳，v u ，v k ； ( 8 ) qi ss a i dt ob es t r o n g l ym o n o t o n ew i t hc o n s t a n tui ft h e r ee x i s t sac o n s t a n t “j 0s u c h t h a t ( 一 ，q ( ， ) ) u l l “一 | | 2 ， v u ，u k ( 9 ) t h em a p p i n gn ( a ，b ，c ) ：耳_ hi ss a i dt ob eq h e m i c o n t i n u o u so nk ，i f f o ra l l ，u k ，t h e f u n c t i o n t h n ( a ( u + t 扣一“) ) ，b 扣+ t ( v 一) ) c ( u + t ( v 一 ) ) ) ，q ( 弘) ) i sc o n t i n u o u so n 【0 ，1 d e f i n i t i o n2 2 【2 2 】l e ttb eas e l f - m a p p i n go f 甘，, t o ha n dz n + 1 = ，( tz n ) d e f i n ea d i t e r a t i v ep r o c e d u r et h a ty i e l d sas e q u e n c eo fp o i n t s z n ) 嚣oi nh s u p - p o s et h a t z 日：z = 弛) 哂a n d x n ) 是oc o n v e r g e st oaf i x e dp o i n tpo f tl e t 嚣ob ema r b i t r a r ys e q u e n c ei n 日a n dh = i i + 1 一，) i f l i r a s n = 0i m p l i e st h a tl l m n ，坼l = p ，t h e nt h ei t e r a t i v ep r o c e d u r ed e f i n e d b y $ n + l = f ( t ，z n ) i ss a i dt ob e ? s t a b l eo rs t a b l ew i t hr e s p e c tt ot j u h es u n d e f i n i t i o n2 3 a m a p p i n g n ：h p _ h i ss a i d t ob e ( 1 ) l i p s c h i t zc o n t i n u o u sw i t hc o n s t a n tsw i t hr e s p e c tt ot h ef i r s ta r g u m e n ti f t h e r ee x i s t sac o n s t a n ts 0s u c l lt h a t i i n ( u ， ) 一n ( v ，a ) i s | | “一 队v u ，u 日a n d p ( 2 ) r e l a x e dl i p s c h i t zw i t hc o n s t a n ttw i t hr e s p e c tt oa ：h p _ a n dt h e f i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sac o n s t a n tt 0s u c ht h a t ( n ( a ( u ， ) ， ) 一n ( a ( v ， ) ， ) ，“一 ) 一t i n v i i 2 ，v u ，。日a n d p i nas i m i l a rw a y , w ec a nd e f i n et h el i p s c h i t zc o n t i n u i t yo fnw i t hr e s p e c tt o t h es e c o n da r g u m e n t ， d e f i n i t i o n2 4 a m a p p i n g m ：hxhx p _ h i ss a i d t ob e ( 1 ) l i p e c h i t zc o n t i n u o u sw i t hc o n s t a n ttw i t hr e s p e c tt ot h ef i r s ta r g u m e n t ，i f t h e r ee x i s t sac o n s t a n tt 0s u c ht h a t | | m ( ，“j ， ) 一 口扣，t i j ，a ) | | t l i 一v i i ，v u ， a n d a p ； ( 2 ) s t r o n g l ym o n o t o n ew i t hc o n s t a n tsw i t hr e s p e c tt oa ：h p _ ha n dt h e f i r s ta r g u m e n ti ft h e r ee x i s t sac o n s t a n ts0s u c ht h a t ( m ( a ( u ， ) ，w ， ) 一m ( a ( v ， ) s | | 一v i i 2 ，v u ，t ，蚶h 埘， ) ，“一 ) a n da 尸： f 3 1m o n o t o n ew i t hr e s p e c tt ob ：h p _ ha n dt h es e c o n da r g u m e n ti f ( m ( w ，b ( u ，a ) ， ) 一m ( ，b ( v ， ) ，a ) ，一u ) 0 ，v n ，”，w h a n d p i nas i m i l a rw a yw ec a d e f i n et h el i p s c h i t zc o n t i n u i t yo fmw i t hr e s p e c tt o t h es e c o n do rt h i r da r g u m e n t l e m m a2 1 【2 ，3 】l e txb ean o n e m p t yc l o s e d n s u b s e to fah a u s d o ，：f f l i n e a rt o p o l o g i c a ls p a c ee ，a n d ，妒：xxx_rb em a p p i n g ss a t 妇f y i n gt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( i ) 妒( o ，材) 曲( g ，掣) ，比，y x ，a n d 妒( z ，z ) 0 ，v x x ； ( i i ) f o re a c h 茹x ，毋( z ，) i su p p e rs e m i c o n t i n u o u so nx ； 傅) ，o re a c hy x ，t h es e t 扛x ：妒( $ ，) o 船ac o n ? 3 e ts e t ； ( 协) t h e r ee x i s t san o n e m p t yc o m p a c ts e tkcxa n d 知ks u c ht h a t 妒( o o ，y ) 0 ，x k t h e n t h e r ee x i s t s 雪ks u c h t h a t 曲( z ，雪) 0 ，x v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sa n dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y 5 l e m m a2 2 【1 2 】l e t d 。) 甚o ， 风 甚oa n d ) 墨ob en o n n e g a t i v es e q u e n c e s s a t i s f y i n g 0 。+ 】s ( 1 d 。) d 十如风+ ，v n , 0 ， w h e r e 如) 墨oc 【o ，l 】，巽o “= 。一l i m 岛= 0a n d 是o 卢+ j p ，t h e nt h es t r o n g l ym i x e dv a r i a t i o n a l - l i k e i n e q u a l i t yf 31 1h a sas o l u t i o nu 轨托 p r o o f w ef i r s tp r o v et h a tf o re a c hf i x e dn 皿t h e r ee x i s t sa 曲k s u c ht h a t ( 3 2 ) ( ( 且西，b 啼，c 5 7 ) + f 也，叶扣，曲) ) + 口( 曲，t ， 西) b 扫( 曲) ，而) 一6 0 ( 西) ，口) ， v v k d e f i n e t h e f u n c t i o n a l s a n d 妒：k k _ rb y 曲扣，叫) = n ( a v ，b y ，c v ) + 黝，叩扣，叫) ) + o ，v 一) + 6 ( 9 ( ) ，u ) 一6 ( 9 ( 口) ，) a n 0 地删) = ( ( a 叫，b w ，g 叫) + 凡，札钏) ) + d ( 叫，u 一删) + 6 0 ( 柚) ，v ) 一b b ( “j ) ，伽) t 研a l lu 、 k w ec h e c kt h a tt h ef u n c t i o n a l s a n d 妒s a t i s f ya l lt h ec o n d i t i o n s o fl e m m a2 1i nt h ew e a kt o p o l o g y i ti se a s yt os e ef o ra l l7 3 ，w k ， 曲( 弘 ) 一妒( 弘 ) ( n ( a v ，b y ，c v ) 一n ( a w ，b v ，g ) ，叩( ，叫) ) + ( n ( a w ，b y ，c 7 3 ) 一n ( a w ，b w ，c 7 3 ) ，q ( ， ) ) + f n ( a w ，b w ，c v ) 一n ( a w ，b w ，c w ) ，q ( u ， ) ) + n ( u 一州，口一u ，) 一6 0 ( 口) 一9 ( 删) ，州一u ) ( c + n p 一1 , ) 1 1 7 3 一叫l 2 0 ， w h i c hy i e l d st h a t 口a n d 母s a r i s f yt h ec o n d i t i o n ( i ) o fl e m m a2 1 n o t et h a tb i se o a v e xa n dl o w e rs e m i c o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt ot h es e c o n da r g u m e n ta n df o r g i v e n $ ，y ，z 口j 叫，u k ，t h e m a p p i n g 卜_ ( n ( x ，y ，# ) + f 铀，叩( ”，“) ) i sc o n c a v e a n du p p e rs e m i e o n t i n u o u s i tf o u a w st h a t ( 口， ) i sw e a k l yu p p e rs e m i c o n t i n u o u s w i t hr e s p e c tt o 叫a n d t h es e tf k ：妒( u ，叫) 0 i sc o n v e xf o r 屺h 训k t h e r e f o r et h ec o n d i t i o n s ( i ) a n d 懈) o fl e m m a21h o l d l e t 矿b ei nk p u t d = ( c + 口一一z p ) 一1 s i i n ( a ? 3 4 ，b y * c v + ) + f n | | + ( d + , u ) l l ? 3 + t = f k ：i i 钟一矿ls d ) v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e sa n dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y 7 c l e a r l y , t i sa w e a k l yc o m p a c ts u b s e to f k a n d f o ra n y w k t 妒( + ， ) 一一( n ( a w ，b w ，c w ) 一n ( a v + ，b w ，c w ) ，q ( ”， + ) ) 一( n ( a v + ，b w ，c w ) 一n ( a v + ，b v + ，c w ) ，q ( w ， + ) ) 一( n ( a v + ，b y + ，c w ) 一n ( a v + ，b y 8 ，c v + ) ，q ( ， + ) ) 一( n ( a v + ，b v + ，c v ) + f e z ，q ( ，矿) ) 一n ( 矿一w ， + 一w ) + 。( 矿，u + 一叫) + 6 ( 9 ( 狮) ， + ) 一6 ( g ( 叫) ，w ) l l 一u + m ( c + o 一口一t u ) l l w 一 + 0 5 n ( a v ，b y 8 ，c v ) + f d 一( d + 2 p ) | | 4 m 0 w h i c hm e a n st h a tt h ec o n d i t i o n ( 旬) o fl e n m l a2 1h o l d st h u sl e m m a2 1e n s u r e s t h a t t h e r ee x i s t sa 曲ks u c h t h a t 母和，曲) 0 f o ra l l k ，t h a t i s ， ( 3 3 ) ( n ( a v ，b y ，c v ) + f f i ，v ( v ，c o ) ) + a ( v ，”一曲) 6 0 扣) ，”) 一6 0 ( ”) ，西) ，”k ， l e ttb ei n ( 0 ，1 la n d b ei nkr e p l a c i n g b y 地= t v + ( 1 一t ) 曲i n ( 3 3 ) ，w e k n o wt h a t ( 34 ) ( n ( a v f ，_ 日饥，g 仇) + f 血，卵( 地，面) ) + o ( 饥，饥一t 白) 6 ( 9 ( 仇) ，地) 一6 ( 9 ( 仇) ，曲) n o t i c et h a tbi sc o , v e xw i t hr e s p e c t 协t h es e c o n da r g u m e n t f r o m ( 3 4 ) w ed e d u c e t h a t ( n ( a v , ，b v t ，c w ) + 珊，叼扣，西) ) + n ( 地，u 一妨) b ( g ( v t ) ，u ) 一6 ( 9 ( 仇) ，曲) ，k l e t t i n gt _ 呻0 + i nt h ea b o v ei n e q u a l i t y , w ec o n c l u d et h a t ( n ( a d j ，b d o ，g 由) + 鳓，町( ，由) ) + o ( 面， 一曲) 6 0 ( 曲) ，西) 一6 ( 9 ( 而) ， ) ，j k t h a t i s ，西i sas o l u t i o no f ( 32 ) n o ww ep r o v et h a tf o re a c hf i x e d 砬k 、t h e r ee x i s t sau n i q u e 而ks u c ht h a t ( 3 2 ) l e t , t 0 1 ，w 2 kb et w os o l u t i o n so f ( 3 2 ) f o rf i x e dn k ，w ek n o wt h a t ( 3 5 ) ( n ( a w l ，b w l ，c w l ) + f 矗，叩扣，叫1 ) ) + p a ( w l ， 一w 1 ) 6 扫( 铷。) ，”) 6 0 ( 叫。) ，纠- ) 8 a n d r 3 6 ) j u h es u n ( n ( a w 2 ，b w 2 ，c w 2 ) + f n ，q 扣，”2 ) ) + a ( w 2 ， 一 t 0 2 ) b ( g ( w 2 ) ，口) 一6 国( 2 ) ，w 2 ) f o ra l l 口k t a k i n g ”= w 2 i n ( 3 5 ) a n d = w l i n ( 3 ，6 ) ，w eg e t t h a t ( n ( a w l ，b w l ，c w l ) + f n ，v ( w 2 ，”1 ) ) + a ( w l ，1 0 2 一w 1 ) b ( g ( w 1 ) ，w 2 ) 一b ( g ( w x ) ，w 1 ) a n d ( n ( a w 2 ，b w 2 ，c w 2 ) + f e z ，v ( w l ， 2 ) ) + o ( 2 ，w x w 2 ) 6 ( g ( 毗) ，1 ) 一6 ( g ( 地) ，忱) a d d i n gt h e s ei n e q u a l i t i e s ，w ed e d u c et h a t ( c + d 一芦一z 肛) l i 叫l w 2 胪 ( n ( a w i ，b w l ，c w l ) 一n ( a w 2 ，b ”l ，c 钳i ) ，r l ( w 1 ，毗) ) + ( n ( a w 2 ，b w l ，c w l ) 一( a w 2 ，b w 2 ，g 1 ) ，卵( 】，u 毪) ) + ( n ( a w 2 ，b w z ，c w t ) 一n ( a w 2 ，b w 2 ，g 2 ) ，v ( w l ，2 ) ) + o ( 叫1 一埘2 ，w l w 2 ) 一6 ( 9 ( 1 ) 一g ( ”2 ) ，w 2 一叫1 ) 所占+ z 胁t h e n t h es t r o n g l y m i x e d 口口r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i 坷( 3 1 ) h a sas o 轧t i o nu k p r o o f p u t d = ( c + 口一p d 一2 p ) 一1 6 i i n ( a v 4 ，b y + ，c v + ) + f o | | + ( d + t u ) l l 口m t = k ：| | 叫一矿0 曼d ) 1 0j u h bs u n a si nt h ep r o o fo ft h e o r e m3 1 ，w ec o n c l u d et h a t 母( + ，w ) = 一 n ( a w ，b w ，c w ) 一n ( a v + ，b w ，c w ) ，”( ， + ) ) 一( n ( a v + ，b w ，c w ) 一n ( a v ，b v + ，c w ) ，q ( ，u + ) ) 一( n ( a v + ，b y + ，c w ) 一n ( a v + ，b v 8 ，c v 4 ) ，q ( ， 4 ) ) 一( n ( a v + ，b y + ，c v + ) + f ，q ( ，旷) ) 一a ( v 4 一划，矿一训) + o ( u + ，v + 一叫) + b ( 9 ( t ，) ，v + ) 一6 0 ( 叫) ，w ) 一| | 叫 + | | 【( c + n 一所6 一z p ) | 叫一u 4 j i f i l i n ( a v + ，b v + ，c v + ) + f 砬| | 一( d + m ) m 0 f o ra n y k tt h er e s to ft h ea r g u m e n ti sn o we s s e n t i a l l yt h es a i n ea si nt h e p r o o fo ft h e o r e m3 1a n dt h e r e f o r ei so m i t t e d r e m a r k3 2 t h e o r e m s3 1a n d3 2e x t e n dt h e o r e m s2a n d3o fc h a n g 3 1 t h e o r e m3 3 l e ta ，b ，a ，b ，c ，g ，na n d 口b eu si nt h e o r e m3 1 s u p p o s