（流体力学专业论文）物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量.pdf

# , 3 i t 理工大学硕士学位论文 摘要 经典的关于无穷域的附加质量问题的推导方法与结论很难直接推广到带自由表面 的非线性问题中去。本文发展了不同于经典方法的一种新的推导附加质量的方法，若将 其用于无穷域的问题中去，可以得到与经典结论完全相同的结果。本文将该方法直接推 广到带自由表面的非线性问题中去，给出了物体在带自由表面的流体中做任意运动、流 体运动是非线性的情况下的附加质量的计算方法及结论。 采用本文提出的方法，计算了方柱距离自由表面不同深度处及露出自由表面作任意 运动时的附加质量。当方柱在深水中时，计算得到的结果与i s a a c s o n 以及n e w m a n 当年 计算无穷域附加质量得到的结果十分吻合；当方柱逐渐靠近直至露出自由表面时，其计 算结果逐渐趋近与某一固定值，这与一般把自由表面当成固壁边界处理得到的结果截然 不同。本文的推导的结论可以认为是无穷域附加质量经典结论的直接推广。 关键词：附加质量；自由表面；非线性；流体 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 a d d e dr l a s sf o rb o d i e sm o v i n ga r b i t r a r i l yi nf l u i dw i t hf r e es u r f a c e a b s t r a c t ni sr a t h e rh a r df o rt h ea d d e dm a s so fn o n l i n e a rf l o ww i t h 宜e es u r f a c et ob ed e v e l o p e d f r o mt h et r a d i t i o n a ld e r i v a t i o na n dc o n c l u s i o 也i nt h i sp a p e r , ad e f i v i n gp r o c e s sf o ra d d e d m a s si sp r e s e n t e d , w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a l e ，a n dt h e yl e a dt ot h es a m er e s u l t a sc o m p u t i n gt h ea d d e dm a s si ni n f i n i t ed o m a i n t h en e wm e t h o di sa l s oe m p l o y e dt ot h e n o n l i n e a rf l o ww i 血f r e es u r f a c ei nt h i sp a p e r , w h i c hp r o v i d e sam e t h o da n dc o n c l u s i o nf o r a r b i t r a r ym o t i o no f b o d i e s i nt h en e wm e t h o d , a d d e dm a s so fb o t has q u a r ec o l u m ni nd i f f e r e n td e p t ha n dt h e c o l u m nw i t hp a r to u to ft h ef r e es u r f a c ei ss i m u l a t e d 佻r e s u l t so fac o l u m ni nd e 印w a t e r s h o wa ne x c e l l e n ta g r e e m e n tw i t ht h er e s u l t si ni n f i n i t ed o m a i n , t h a to b t a i n e db yi s a a c s o na n d n e v c t n a n a st h es q u a r ea p p r o a c h e st ot h ef r e es u r f a c ea n dc r o s so v e ri t , t h ea d d e dm a s st e n d s t oac o n s t a n t t h er e s u l ti st h o r o u g hd i f f e r e n tf r o mt h er e s u l tb yt r e a t i n gt h ef r e es u r f a c 圮鹤 w a l l n ec o n c l u s i o ni nt h i sp a p e rc a r lb ec o n s i d e r e da sd i r e c tg e n e r a l i z a t i o no f t h et r a d i t i o n a l c o n c l u s i o no f a d d e dm a s si ni n f i n i t ed o m a i n k e yw o r d s ：a d d e dm 酆s ：f r e es u r f a c e ；n o n l i n e a r ；f l u i d 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其它人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其它单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：数日期： 都! ：竺 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国。家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：墨耋氐义 导师签名：盔窆丝 迎 年上月曰 大连理工大学硕士学位论文 引言 人们最初关于附加质量的研究是从无穷域开始的，即假设物体是在无穷的流体域中 运动的。被研究的流体域实际上只有两种边界，一种是无穷远边界，另一种是运动着的 物体的边界。关于各种形状物体在无穷域中运动的附加质量的计算结果被不断地给出， 早在上世纪三四十年代，m u n k 就给出了圆盘和各种不同长短轴比的椭圆盘的附加质量； 1 9 5 0 年，w c n d e l 对各种规则形状的物体的附加质量做了详尽的计算；1 9 6 0 年，n i e l s e n 给出了三角薄板的附加质量的求解公式；1 9 7 0 年，m e y e r h o f f 计算了各种不同长宽比的 长方形薄板的附加质量。现在几乎任何一本流体力学的教科书【1 】【2 1 1 3 1 1 1 1 都有关于无穷域 附加质量的经典的推导及结论。 关于无穷域附加质量的推导与结论可以很直接地推广到含有固壁边界的问题中去， 这方面的工作前人已做过大量的研究1 4 】【1 0 1 。1 9 7 1 年，f l a g g 和n e w m a n 计算了各种不同 长宽比的方柱在浅水中做垂直和水平两个方向运动的附加质量系数；1 9 7 7 年，b a i ，k j 计算了圆柱体在有限深水的附加质量；1 9 8 6 年，陈材侃计算了轴对称势流流场中圆球在 无界和半无限空间中的附加质量；1 9 9 0 年，宗智等人计算了贴近浅水水底矩形柱体的附 加质量和阻尼系数；2 0 0 1 年，d a v i dc l a r k e 对圆柱和椭圆柱在浅水中运动的附加质量的 求解给出了新的计算方法；2 0 0 3 年，d a v i d c l a r k e 又给出了带垂直机翼的椭球体在浅水 中运动时的附加质量；同年，李宝元、姜昱汐采用三维有限元方法，计算船在进出船厢 运动中的附加质量，并给出了一些相关结论；同年，林超友、朱军采用h e s s s m i t h 方法 计算了物体近边界运动时附加质量。他们的研究工作除了涉及到固壁边界外，还涉及到 自由表面边界，他们都把自由表面边界处理成物面边界。 关于无穷域附加质量的推导与结论无法直接推广到带自由表面的问题中去。实际上 人们研究附加质量时，经常是针对船或潜体在海域中运动的问题，不可避免地要遇到自 由表面边界。虽然当物体距离自由表面较远时，我们仍可以使用无穷域的结果，但当物 体距离自由表面较近或浮出自由表面，自由表面的影响不能被忽略时，无穷域的结果就 不能被使用了。这时，人们大都把自由表面当成固壁边界来处理。正如吴秀恒、冯学知 等人在船舶操纵性一书中所介绍的，“近水面潜艇低频运动的水动力系数的确定，应考 虑潜深影响，但在一定潜深航行时可视为定值。操纵运动方程中的水动力系数可取零频 时的数值。潜艇近水面运动的水动力系数中的惯性部分，即附加质量和附加惯量可采用 势流理论三维面元法计算，这时自由液面条件趋于固壁条件。如果说，水面状态的计算 相当于重叠艇体在深水中运动的势流计算，则近水面状态的计算相当于以自由水面为映 射面的艇体及其映射体在深水势流中的计算” 2 9 1 。 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 当研究的带自由表面的问题是线性的，并且物体及流体的运动都是简谐的时候，人 们通过分离时间变量，在频域里推导了物体作简谐运动时的受力，包含附加惯性力与波 浪阻力，进而给出了附加质量和附加阻尼的结果 3 0 1 1 3 1 1 1 3 2 1 。这种做法准确地考虑了自由 表面线性条件，推导应当是合理的。但它只能处理线性的简谐的运动问题，而我们知道， 物体在海域中的运动一般情况下并不是简谐的，流体的运动一般情况下也不是线性的。 当物体在带自由表面的流体中作一般运动时，人们也试图把它当作简谐运动的某类 极限问题来处理。物体作简谐运动的极限情况有两种，一种是频率为零，另一种是频率 趋近无穷大。振荡频率国一0 相当于假设自由表面法向速度为零，这样自由表面被处理 成固壁边界。振荡频率寸。相当于假设自由表面速度势为零。朱林生等人给出了无限 深水和有限深水中浮体水动力系数的渐近特性【8 1 1 9 1 ，讨论了无限深水和有限深水域中振 荡频率专0 和寸o o 时的附加质量和阻尼系数，并分别就垂荡和横荡两种情况给出了 水动力系数的近似公式。文献 1 2 1 给出了在这两种极限情况下的圆柱体、球体以及椭球 体的附加质量的计算结果，结果表明这两种极限情况下求得的附加质量是不同的。究竟 哪一种极限可以代表物体做一般运动的情况，还是两种极限均不能代表物体做一般运动 的情况，至今没有定论。 综上所述，经典的关于无穷域的附加质量问题的推导方法与结论很难直接推广到带 自由表面的非线性问题中去。本文发展了不同于经典方法的一种新的推导附加质量的方 法，若将其用于无穷域的问题中去，可以得到与经典结论完全相同的结果。本文将该方 法直接推广到带自由表面的非线性问题中去，给出了物体在带自由表面的流体中做任意 运动、流体运动是非线性的情况下的附加质量的计算方法及结论。以方柱为算例，计算 了其距离自由表面不同深度处及露出自由表面作任意运动时的附加质量，并将本文的计 算结果与传统算法的结果作了分析比较，说明了当物体靠近自由表面时本文的结果相对 于传统的结果更为合理。 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 1 基本概念 1 1 流体运动基本方程 本文所讨论的问题都基于以下假设： ( 1 ) 流体介质是均匀、不可压缩、无粘性的理想流体； ( 2 ) 流体运动无旋。 基于上述的假设，物体在流体中运动的i a - j 题可以在势流理论的基础上加以处理。在 均匀、不可压缩理想流体的流场中，基本守恒定律为连续性方程 v 哥= 0 ( 1 - 1 ) 以及欧拉方程 ( 昙一) 哥= 一v 睁髟) c - 国 应用向量关系 v f 半l = p ) 哥+ 哥( v 可) 则欧拉方程( 1 - 2 ) 变为兰姆方程 詈+ v ( 詈 一哥c v 哥，= 一v ( 詈+ g z c 一s ， 若流动是无旋的，即流场中旋度或涡量为零，即 壶=vxi=0(1-4、 存在速度势满足 哥= v q , ( x ，y ，z ，1 ( 1 - 5 ) 上式结合( 1 1 ) 连续性方程，速度势必须满足拉普拉斯方程 v 2 妒( x ，y ，z ，r ) = 00 - 6 ) 将( 1 - 4 ) 及( 1 5 ) 代入兰姆方程( 1 3 ) ，得 v 争c o t 24 p 髟 一o ( 1 - 7 ) i口j 、7 积分上式可以得到拉格朗日积分式 譬+生p+gz=c(f)0-8)2西d 、7 若流动定常，上式变为 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 +p+gz=c(f)2 p 、7 ( 1 9 ) 其中c ( t 、为待定的时间函数。 综上所述，对均匀的、不可压缩的、理想流体的无旋运动，制约流动的基本方程为拉普 拉斯方程( 1 6 ) 和拉格朗日积分式( 1 8 ) 。拉普拉斯方程决定流场中的速度分布，而拉格朗 日积分决定了流场中的压力分布。所以只要求得场内的速度势妒，然后按拉格朗日积分 式求得整个流场的压力分布，从而就能够确定在流场中的物体所受的流体的作用力。 1 2 边界条件和初始条件 作为物体在流体中运动时的附加质量问题，关键是求流场中的速度势。在流体运动 无旋的假设下，求解速度势的基本方程就是拉普拉斯方程。求解拉普拉斯方程需要确定 边界条件，可以说，只有给定正确的边界条件，方程才能得到物理上需要的正确解。一 般情况下的边界条件和初始条件大致有以下几类： ( 1 ) 固体壁面上的运动学边界条件 物体在流体中运动而受到的流体的作用力一般是沿物体湿表面压力积分。物体表面 是不可穿透的固体壁面，构成了流体域的边界。在物体湿表面最上应满足 ( 詈) s = 圪 ( 1 一l o ) 该条件保证了物体表面上任意点的法向速度等于紧挨着该点流体质点的法向速度，既没 有流体流进物体，也没有流体从物体内部流出，此式即为固体壁面上的运动学边界条件。 对于固定壁面s ，有 f 鲤1 ：o( 1 1 1 ) 却5 上式即为固定壁面的不可穿越边界条件。 ( 2 ) 自由表面上的边界条件 自由表面的运动学边界条件 设自由表面的方程为 f = t ( x , y ，) 一：= 0( 1 1 2 ) 其中，7 为自由表面上质点的位移，求其质点导数有 譬+ 譬譬+ 譬粤一誓：0 ( 1 - 1 3 ) 西缸缸却却昆 上式即为自由表面的运动学边界方程。 一4 大连理工大学硕士学位论文 自由表面的动力学边界条件 在拉格朗日积分式e p 詈+ g ，l + 詈+ 詈- c ( r ) ( 1 - 1 4 ) 盖+ g ，l + i + 蓄- c ( ) 【l - 1 4 ) 若令 矿= 妒+ f c ( t ) a t 一望 ( 1 1 5 ) 并把( 1 - 1 5 ) 带入( 1 - 1 4 ) ，得 学= 啷一善一掣(1-16)2o t口 若把( 1 1 5 ) 式代入( 1 5 ) ，( 1 6 ) ，( 1 - 1 0 ) ，( 1 - 11 ) ，( 1 1 3 ) 可得关于妒的方程，它们在形式上与原 有的关于妒的方程完全一样。此后，我们仍使用9 ，不过它的含义已如( 1 - 1 5 ) 中的妒所示。 自由表面压力为大气压力，把p = p o 带入( 1 - 1 6 ) ，可得 朋+ 1 2 + 丝o t = o 1 7 ) ( 1 - 1 7 )朋+ 一+ 1 2 u 上式为自由表面的动力学边界条件。 由于自由表面条件的非线性，造成了整个速度势的定解问题成了非线性问题；而且 自由表面的形状和位置是随时间和空间而变化的，它们本身是未知量，所以这给速度势 的求解造成了很大的麻烦。对于微振幅波，常将自由表面条件线性化。可将自由表面的 动力学边界条件( 1 1 7 ) 及自由表面运动学边界条件( 1 1 3 ) 简化为 绷+ 譬：0(118)0绷+ = 【卜 警i-一or(1-19)z-oo t包 一 并且自由表面条件被认为是在平均水平面上成立。 由式( 1 1 9 ) 和( 1 - 1 9 ) 消去波高7 ，可得关于妒的自由表面条件 ( 害+ g 老 。= 。 c ，之 ( 3 ) 无穷远处边界条件 对于物体在流体中运动的问题，还需要处理无穷远处的边界条件，从而使拉普拉斯 方程具有唯一解。对于物体在无穷域中运动的问题，无穷远可以认为速度为零，用速度 势表达可以记为 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 ( v 矿) = o 。(1-21) 其中r 为无穷远点到物体的距离。 ，若流场中有自由面存在，那么局部的扰动必然形成波动。若自由表面在水平方向是 无限延伸的，则波动向外传播以至无限远，此时应使用辐射边界条件。对于线性单色波 的辐射问题，s o m m e r f e l d 给出的辐射边界条件为 熙石( 詈一柳) = o ( 1 - 2 2 ) 其中西为复速度势，k 为波数，f 为4 - 1 。 对于一般波动问题，无穷远辐射边界条件可以记为 譬+ c 譬= 0 ( 1 - 2 3 ) 其中c 为当地波速。 ( 4 ) 初始条件 上面介绍了常见的边乔条件，但对于非定常的流体动力学问题，还需要给出t = 0 时 的初始条件。对于浮体静水扰动问题，初始条件可以记作 9 ( 五弘z ，t ) = 0 ，r l ( x , y ，f ) = 开( 墨y ，o ) ( 1 - 2 4 ) 其中开( x ，y ，0 ) 系因扰动而形成的初始自由表面。 1 3 物体在无穷域及物体在带自由表面流体中运动引起的流体运动的数学 方程 重申流体是理想的，流动是不可压缩且是无旋的。 物体在无穷域中运动引起的流体的运动的数学方程用速度势妒可以表达为 f v 2 9 = 0( 域内) 鲁= k ( 物面) i v 妒= 0( 无穷勘 告+ 髟+ 罢+ 詈锄， ( 1 - 2 5 ) ( 1 - 2 6 ) 其中k 为物面的法向速度。 物体在带自由表面流体中运动引起的流体运动的数学方程用速度势妒可以表达为 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 v 2 口= 0 鲤o t + 2 + 明= o a 塑+ 鲤塑+ 塑盟一鲤：o a出良o y 砂岔 塑：矿 o n 4 盟：o o n 鲤+ c 塑：o ( 哟 ( z ；町) ( z = 叼) ， ( 1 2 7 ) ( 墨) ( 瓯) ( s o ) v 2 m = 0 宴+ g 鲤；0 蒂+ g 蔷5 丝：矿 o n ” 丝：o o n 鲤+ c 鲤：o ( q ) ( ：= o ) ( 瓯) ( & ) ( & ) ，7 ：一三挈( 1 - 3 0 ) 叩一；蔷 卫：立一譬一g z ( 1 3 1 ) pp a 、 1 4 小结 讨论了求解附加质量问题时流体的几个基本假设以及求解该类问题时常见的几类 边界条件，并给出了一般情况下速度势满足的控制方程。 大连理工大学硕士学位论文 2 物体在无穷域中运动的附加质量 物体在流体中做加速运动时，物体周边的流体由于受物体的扰动也产生了加速度， 那么使流体加速的这部分力必然反作用于物体上。这部分反作用力可以形象的用附加惯 性力或附加质量力来描述，从而产生了具有质量量纲的“附加质量”。有时候“附加质量” 的量级与物体本身质量的量级相当，所以其对物体运动的影响是不可忽略的。为了能精 确地对水下运动物体进行动特性分析，那么“附加质量”的研究就必不可少了。 如图2 1 所示，物体在无穷域中作一般运动的示意图。假设物体做刚体运动，那么 物体运动有六个方向的自由度，其中驴表示平动的三个方向上的速度；壶表示转动的三 个方向速度；_ i i 在这里表示流体的外法线，对物体而言为内法线；& 表示物体外表面； & 表示无穷远处边界。 图2 1 物体在无穷域中作一般运动的示意图 f i g 2 1m o t i o no f b o d i v si ni n f i n i t ed o m a i n 2 1 速度及速度势的分解 假设物体做刚体运动，物面上任一点的速度可以记作 v 一= u 一+ c 西x f ( 2 1 ) 其中口表示物体的平动速度，面表示物体围绕某一点旋转的角速度。在这里用l 表示圪； u 2 表示巧；蚝表示屹；u 4 表示q ；u 5 表示q ；u 6 表示q ，那么物面上的法向速度可 以表达如下 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 k = 加= 珥( 2 - 2 ) 其中m 为物体运动的广义速度，吩为物面广义方向数，鸭( i = 1 ，2 ，3 ) 分别表示q ，b ，； n j ( f = 4 ，5 ，6 ) 分别表示 1 1 4 = o n , 一朋。) ； n 5 = ( a n x 一砚) ； n 6 - - ( x n y 一炒，) 考虑拉普拉斯方程的线性可叠加性，对速度势在6 个运动方向上进行分解，得 妒= m 识 ( 2 _ 3 ) 其中仍表示f 方向上物体以单位速度运动引起水的运动的速度势，每个识都满足拉普拉 斯方程。顺便提一下，速度势妒的量纲是口r 一，而速度驴和盎的量纲分别为l t 1 和r - 1 ， 所以仍o - - 1 ，2 ，3 ) 的量纲为三，识( f = 4 ，5 ，6 ) 的量纲为寥。 2 2 流体运动问题的分解 前提假设：物体做刚体运动；流体理想、不可压缩；运动无旋。那么剐体运动引起 的速度势在无穷域中必然满足下面方程组 f v 匆= 0( 域内囝 譬：k ( 物面墨) ( 2 - 4 ) 【品：0 ( ，刊 将式( 2 - 2 ) 和( 2 3 ) 代入式( 2 - 4 ) ，得 式( 2 5 ) 又可记作 v 2 哮哪 景( 喜嘲 v f 壹q d m ( 域内q ) ( 物面s ) ( 2 5 ) ( ，一叫 大连理工大学硕士学位论文 ( 她v 确) = o 喜( 鲁一嘎) = 。 ( 珥v 识) = o ( 域内回 ( 物面s )。( 2 - 6 ) ( ， 叫 取z = 1 ，吩= o ( f ，) ，那么速度势在单位方向，单位速度上也必然满足下面方程 v 2 仍= o 挚：啊 硼 v 仍= 0 ( 域l q o ) ( 物面瓯) ( 2 7 ) ( ，斗o o ) 其中o = 1 ，2 ，6 ) 。通过方程组( 2 7 ) 可以求得单位方向上单位速度引起的速度势，下面 将利用求得的速度势来求解附加质量。 2 3 附加质量的求解 2 3 1 能量守恒方程 能量守恒方程表达：作用在理想流体质量体上的外界功率等于流场总动能的增长率 其表达式为 旦j呜y=孵p疗脚(2-8)dt2 0 ，嚣一 其中q o ) 表示整个流体域，元表示物体的外法线方向，对流体而言为内法线方向。p 为 压强。s o ) 包括两部分：一部分是物体表面最；还有一部分是半径无穷大的封闭曲面 ( f ) 。由于无源、无旋、不可压缩流场中速度势极限l i i i l 矿一d ( r 4 ) ，l i m v 9 一o ( r 。3 ) ， 半径无穷大的曲面面积s - y r 2 ，所以前，( 哥氪皿4 - o ( r - 1 ) 。所以方程( 2 8 ) 变成 彬 降s t ， 由于加速度趋于无穷大，故上式受力中所含附加惯性力也必趋于无穷大。因此上式 右端被积函数必含有趋近无穷大的项。将上式两端分别乘以研，并将右端分成两部分得 弘f = 弘驴詈倒+ 孙甄p 詈+ 脬一p o n f l a p s 2 ， 上式右端第二项中的被积函数是有限量，故当西趋近于零时，该项应等于零。而上式右 端第一项中的被积函数趋于无穷大，当研趋近于零时的极限为 黜l i r a ! j p 詈吩址箩脚倒 所以当6 t 趋近于零时，公式件3 2 ) 变为 8 t 只= i l 脚喇d ( 4 - 3 4 ) 大连理工大学硕士学位论文 物体受力f 实际上除了包含附加惯性力外，还将包含其它受力成分，如兴波阻力、 浮力、升力等。现将这些力分成两部分，一部分是附加惯性力，记作z ，另一部分是其 它成分的力，记作f ，即 ， f=z+z(4-35) 由于附加惯性力z 与物体加速度有线性关系，当加速度趋近无穷大时，也趋近无穷大； 其它成分的力，与加速度无关，而与物体其它的特征量有关，如兴波阻力与物体运动速 度有关，浮力与物体排水体积有关等。因此在物体运动速度，体积等有限的情况下，f 必然为有限值。将洚3 5 ) 代入( 4 3 4 ) 得 8 t f + 艿r 啊= f f p 却吩幽( 4 - 3 6 ) i 根据上述分析，当研一0 ，上式左端第二项将消失，变为 8 t f , = f 加卵彬 ( 4 3 7 ) i 上式中的，就仅为附加惯性力。 再将速度势的分解表达式睁2 4 ) 代入上式得 跏，：f f p f 圭占甜舰 珥删 ( 4 - 3 8 ) 两端同除以8 t ，上式亦可记作 z 2 骞( 肛一幽 鲁 上式左端为附加惯性力，右端鲁是物体运动的在- ，方向的加速度，括号内的线性系数 阵即为所求的附加质量，记附加质量为，则有下式 2j j p 晚啊姒( 4 - 4 0 ) 根据式睁2 7 ) ，上式又可记为 = 蜘挚( 厶? 啦，6 ) ) 至此，我们可以得到如下结论：为求附加质量，应先求解方程( 4 - 2 5 ) 至( 4 - 2 9 ) ，求得 速度势之差却。，然后利用( 4 4 1 ) 式在物面上积分求得附加质量。 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 下面我们来考虑在有自由表面存在的情况下，物体作一股运动时附加质重对f 标的 对称性是否成立。 。 因为妒在流场中是处处调和的，由格林公式可得 蚋蚶吼掣一她掣卜 其中在水底面瓯上有丛婴：墨宴l ：o ，所以 叫晚华一却，掣b = 。 在无穷远处边界& 上有( 却) ，= ( 却) ，= 0 ，所以 剜峨挚一鲰华p = 。 在自由表面墨上有( 却) ，= ( 却) ，= 0 ，所以 纠啊掣一觏掣卜 这样( 4 - 4 2 ) 就只剩下岛上的积分 扣掣一鲰掣卜：。 上式也可写成 蜘挚= 脚挚 根据( 4 - 4 1 ) 的假设，可知 m o 引 这样证明了在有自由表面存在的情况下，物体作一般运动时附加质量对下标的对称性依 然成立。 大连理工大学硕士学位论文 4 3 小结 对于求解物体在带自由表面流体中作一般运动的附加质量的问题，本章提出了一种 新的求解方法，将该方法直接推广到带自由表面的非线性问题中去，给出了物体在带自 由表面的流体中做任意运动、流体运动是非线性的情况下的附加质量的计算方法及结 论。 大连理工大学硕士学位论文 5 算例及分析 本文采用有限元方法，单元选用二十节点等参元，编制了求解程序。本算例中的问 题是二维的，但计算时本质上是按三维处理的。 边长为d 的正方柱体水平放在水深为h 的水域中。方柱上表面至平均水平面的距离 为鼠在计算中取d 为1 0 ，取h 分别为2 0 0 ，1 0 0 ，5 0 ，4 2 ，3 6 ，2 2 ，1 4 ，1 1 。本 文图表均给出了附加质量系数的结果，附加质量系数记为，为计算所得的附加质 量佩，除以物体排水的广义质量( 包含排水的质量和排水的转动惯量) 所得的商。后面图中 除了给出本文方法求得的附加质量系数的结果，还给出了对照的附加质量系数结果。所 谓对照结果，是指计算中，自由表面采用法向速度为零的条件，( 即频率0 3 - - h0 的极限情 况) 。 5 1h = 2 0 0 时的正方柱体的附加质量 当h = 2 0 0 ，本文计算得到的附加质量系数q 1 ，a 3 3 ，a 5 5 ，a 5 1 随王的变化被列在 表5 1 中，并分别表示在图5 1 至图5 4 中。 表5 1 附加质量系数q l ，口b ，a 5 5 ，a 5 l 随h d 的变化( 胁2 0 0 ) t a b l e5 1 v a r i a t i o no f l h ea d d e d m a s sc o e f f i c i o n t s a t 1 ，a 3 3 ，a s 5 ，a s l v i a h d ( 脚0 0 ) 且搿 a na 3 3a s sa s l 1 1 0 01 1 9 1 4 11 1 9 3 1 70 2 6 9 5 42 6 6 e - 0 6 7 0 01 1 8 6 8 61 1 9 2 0 60 2 6 9 5 42 4 8 e - - 0 6 3 0 01 1 7 2 7 81 1 8 1 7 90 2 6 9 5 51 1 4 e - 0 5 1 0 01 】0 9 11 1 1 3 4 60 2 6 9 50 0 0 1 3 0 8 01 0 8 5 8 61 0 8 6 0 50 2 6 9 4 20 0 0 2 4 9 0 4 00 9 9 8 4 90 9 7 3 80 2 6 7 5 1o 0 1 0 7 o 2 00 9 1 3 4 30 8 5 6 9 5 0 2 5 7 9 1 0 0 1 7 0 0 80 8 3 3 2 80 7 5 4 9 30 2 3 4 4 24 5 6 e - 0 4 0 0 4 0 7 9 6 70 7 1 4 9 3o 2 1 8 5 90 0 2 o 0 20 7 7 5 0 60 6 9 3 7 60 2 0 7 7 4- 0 0 3 6 7 o o l0 7 6 2 9 80 6 8 2 8 70 2 0 1 1 3- 0 0 4 7 7 00 7 4 9 7 40 6 7 1 80 1 9 3 3 7o 0 6 1 4 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 ” 2 1 抽 j j 17 j 1 j ，1 。 1 2 ，i j o 盯 图5 1 , 7 1 1 随h d 的变化图( = 2 0 o ) f i g 5 1t h ec i u v oo fa l lv i ah d - 2 0 o ) ： 0 9 孑： ： 图5 3 岛5 随- d 的变化图( b = 2 0 o ) f i g 5 3t h ec u t v eo fo a lv i ah d ( 肛2 0 o ) 图5 2a 3 3 随h d 的变化图( = 2 0 o ) f i g 5 2 t h e c u l c e o fa 3 3 v i a h d - 2 0 o ) 图5 4a 5 l 随h d 的变化图( = 2 0 0 ) f i g 5 4t h ec u r v eo fa 3 3v i a 删 吃0 o ) 本算例中取水深h = 2 0 0 ，物体从点芦1 1 o 开始逐渐靠近自由面。表5 1 中e 附司表示方 柱上表面与自由表面刚好重合，方柱处于漂浮状态。从图表中可以看出，漂浮状态下的 计算结果是物体无限靠近自由表面的极限情况。本算例中，当物体在z 降1 1 处做加速运动 时，由于计算区域范围相对方柱尺寸是足够大的，所以在该处得到的计算结果可以认为 是物体在无穷域中作任意运动时的附加质量的计算结果，其结果与n e w m a n , j n 的结果 十分吻厶1 2 7 1 。随着物体逐渐靠近自由面，其附加质量都将趋近某一固定值，这与对照结 果是截然不一样的。 大连理工大学硕士学位论文 5 2h = 1 0 0 时的正方柱体的附加质量 当h = - 1 0 0 ，附加质量系数q l ，a 3 3 ，a s 5 ，a 5 。随e 附的变化被列在表5 2 中，并分别表 示在图5 5 至图5 8 中。 表5 2 附加质量系数q 1 ，a 3 3 ，a 5 5 ，口5 1 随h d 的变化( 皓1 0 o ) t a b l e5 2 v a r i a t i o n o f t h ea d d e d m a $ c o e f f i c i e n t s a l l ，a 3 3 ，a 5 5 ，a 5 1 v i a h d 舻l o 0 ) 冠材 a n 4 ” a s ja s l 7 0 0 1 2 1 5 0 6 1 2 1 8 5 5 0 2 6 9 5 41 1 6 e - 0 4 5 0 01 1 9 0 0 7 1 1 9 5 7 50 。2 6 9 5 4 1 2 9 e - 0 5 3 0 01 1 7 4 8 81 1 8 3 5 9o 2 6 9 5 41 7 4 e 0 5 1 o o1 1 0 9 饵11 1 1 4 2 40 2 6 9 4 9o 0 0 1 3 0 8 01 0 8 6 0 91 0 8 6 7 7o 2 6 9 4 10 0 0 2 5 0 4 00 9 9 8 5 9 0 9 7 4 4 0 2 6 7 5o 0 1 0 6 9 0 2 0o 9 1 3 4 90 8 5 7 4 60 2 5 7 9 10 0 1 7 0 2 o 0 80 8 3 3 3 20 7 5 5 3 80 2 3 4 4 24 5 7 e 0 4 0 0 40 7 9 6 7 30 7 1 5 3 5o 2 1 8 5 8- 0 0 1 9 9 7 0 0 2o 7 7 5 0 90 6 9 4 1 70 2 0 7 7 4- 0 0 3 6 6 5 o 0 1 0 7 6 3 0 6 8 3 2 80 2 0 1 1 2- o 0 4 7 7 2 i - i d 7 孑s 4 ， 2 1 i i d 图5 5q l 随h d 的变化图( 肛1 0 o ) 图5 6a 3 3 随h d 的变化图( 枷l o o ) f i g 5 5 t h ec u r v e o fq i v i a h d ( j 产1 0 0 )f i g 5 6 t h ec u n ，e o fa 3 3 v i a - d ( 肛l o o ) 一3 3 圈 一 。，。，。，。，。，；。，。，l 呈一 ：”艺” 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 h d 图5 7 口5 5 随h d 的变化图( 庐l o o ) f i g s 7t h ec u r v eo fa 5 ，v i ah d ( 枷1 0 0 ) 5 。3h = 5 0 时的正方柱体的附加质量 圈5 84 5 l 随h d 的变化图( 枷l o o ) f i g 5 8t h ec t l f v c ：o fa 5 1v i ah d ( 枷1 0 0 ) 当_ l f _ 5 0 ，附加质量系数q i ，a 3 3 ，a s 5 ，吩1 随五谢的变化被列在表5 3 中，并分别表 示在图5 9 至图5 1 2 中。 表5 3 附加质量系数q 1 ，a 3 3 ，a s l 随- d 的变化( h f f i 5 o ) t a b l e5 3 v a r i a t i o n o f t h ea d d e d m a s sc o e f f i c i e n t s a t l ，a 3 3 ，a s 5 ，a s l v i a h d ( 糨0 ) 屈搿 口na ：1 5锄4 s l 。 3 2 01 2 6 9 7 21 3 0 9 40 2 6 9 6 60 0 0 2 8 2 2 。4 01 1 9 4 5l - 2 2 1 1 20 2 6 9 5 43 2 6 e 讲 1 6 01 1 5 6 1 31 1 7 9 7 90 2 6 9 5 43 ，2 l b _ 0 4 o 8 01 0 8 8 8 21 1 0 2 5 80 2 6 9 4 l0 0 0 2 5 2 0 4 00 9 9 9 7 30 9 8 7 0 9o 2 6 7 5 0 0 1 0 7 0 2 00 9 1 4 1 20 8 6 8 2 70 2 5 7 90 0 1 7 0 2 0 1 00 8 4 9 6 60 7 8 3 9 60 2 4 0 3 3o 0 0 6 5 6 o 0 80 8 3 3 7 30 7 6 4 8 7 0 2 3 4 4 2 4 4 7 e - 0 4 0 0 40 7 9 7 0 80 7 2 4 3 7o 2 1 8 5 9- 0 0 1 9 9 7 0 0 20 7 7 5 4 lo 7 0 2 9 4o 2 0 7 7 4- 0 0 3 6 6 7 o 0 10 7 6 3 3 l0 6 9 1 9 30 2 0 1 1 2- 0 0 4 7 7 4 3 4 大趣工大学硕士学位论文 1 jt 5 2 0拍 i - g d 1 1 j拍“ h d 图5 9q 1 随h d 的变化图( b = 5 o )图5 1 0a 3 3 随h d 的变化图( 巧o ) f i g 5 9 t h ec u r v e o fa t t v i a d ( 枉5 o ) f i g 5 1 0 t h e 伽v e o fa 3 3 v i a - d ( 括5 o ) h d 图5 1 1a 5 5 随h d 的变化图( _ i 产5 o )图5 1 2a 5 l 随 d 的变4 l n ( h = - 5 o ) f i g 5 1 1t h ec u r v e o fa 5 5 v i a h d ( _ 5 o )f i g 5 1 2 t h ec u r v e o fa 5 1 v i a h d - 5 o ) 5 4j i i = 4 2 时的正方柱体的附加质量 当知= 4 2 ，附加质量系数q l ，a s l 随王谢茸9 变化被列在表5 4 中，并分别表示 在图5 1 3 至图5 1 6 中。 一3 5 圈 一 二 一 mmm荆嘲q罨三遥 物体在带自由表面的流体中作任意运动的附加质量 表5 4 附加质量系数q l ，a 3 3 ，a 5 5 ，a 5 l 随删的变化伽e 4 2 ) t a b l e5 4 v a r i a t i o n o f t h e a d d e d m a s sc o e f f i c i e n t s o l l ，a 3 3 ，a 5 5 ，a 5 l 、d a i t d 舻4 2 ) 丘甜 口”a 3 3a 5 5n 钉 2 2 01 2 2 4 4 41 2 6 8 1 60 2 6 9 5 7o 0 0 1 4 9 1 2 01 1 3 8 0 41 1 6 9 7 30 2 6 9 5 38 4 7 e 0 4 o 8 01 0 9 2 0 8 1 1 1 5 5 9 0 2 6 9 4 1 o 0 0 2 5 5 0 4 01 ，0 0 1 0 2o 9 9 6 8 80 2 6 7 50 0 1 0 7 o 2 0o 9 1 4 8 40 8 7 6 4 50 2 5 7 9 10 0 1 7 0 1 00 8 5 0 1 60 7 9 1 2 5 0 2 4 0 3 30 0 0 6 5 5 0 0 80 8 3 4 1 90 7 7 1 9 70 2 3 4 4 24 3 7 e - 0 4 0 0 40 7 9 7 4 70 7 3 1 lo 2 1 8 5 9- 0 0 2 o 0 20 7 7 5 7 70 7 0 9 4 9 0 2 0 7 7 4- 0 0 3 6 7 0 0 1 0 7 6 3 6 50 6 9 8 3 80 2 0 1 1 2- o 0 4 7 8 图5 1 3q l 随h d 的变化m ( r - 4 2 ) f i g 5 1 3t h ec u i v eo fq 1v i a - d ( 叫2 ) 图5 1 5a 5 5 随l t d 的变化图( h 叫2 ) f i g 5 1 5t h ec ；1 t l d eo fa 5 5v i ah d ( = 4 2 ) ” 1 0 7 ，： 。 2 3 6 一 图5 1 4 a 3 3 随d 的变化图( h - - - 4 2 ) f i g 5 1 4t h e o fa 3 3v i ah d , ( 槲2 ) 图5 1 6a s 随h d 的变化图( ：4 2 ) f i g 5 1 6t h eg u l v eo fa 5 1v i a h d q 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 5 5h = 3 6 时的正方柱体的附加质量 当h = - 3 6 ，附加质量系数q 1 ，o - 3 3 ，a 5 5 ，a 5 1 随五砌的变化被列在表5 5 中，并分别表示 在图5 1 7 至图5 2 0 中。 表5 5 附加质量系数q l ，o 3 3 t 口”，如1 随h d 的变化归3 6 ) t a b l e5 5 v a r i a t i o n o f