（工程力学专业论文）具有一个弹性对称面的各向异性介质椭圆夹杂反平面问题.pdf

摘要 摘要 对材料的各向异性的表征，除了完全各向异性情形外，最一般的情况就是分析具有 一个弹性对称面各向异性特性。本文求解了具有一个弹性对称面各向异性介质椭圆夹杂 受非均匀特征应变作用时的反平面问题的弹性应力、应变场。对于夹杂的特征应变为线 性分布的情况，基于多项式保守定理，运用复解析函数法、保角变换和最小势能原理， 获得了问题的封闭形式的解析解。通过验证夹杂和基体界面上的应力连续性，表明了结 果的正确性。对于特殊情况，解将退化为已有的经典结果。同时，进行了算例分析，给 出了椭圆夹杂内和夹杂基体界面上应力和应变的分布规律。进一步，针对二次多项式分 布的特征应变，导出了夹杂基体弹性系统的应变能和界面上应力分布的解析表达式， 这为最终确定该系统弹性场奠定了基础。 关键词：各向异性，椭圆夹杂，反平面问题，特征应变，复变函数法 a b s t r a c t a b s t r a c t t h em o s tg e n e r a ld e g r e eo fa n i s o t r o p yc h a r a c t e r i z i n ge l a s t i cm a t e r i a l si sa n i s o t r o w w i t has i n g l ep l a n eo fs y m m e t r ye x c e p tt h ec o m p l e t ea n i s o t r o p y t h i st h e s i sp r e s e n t s t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nf o ra n t i p l a n ep r o b l e mo fa l le l l i p t i c a li n h o m o g e n e i t yw i t h n o n u n i f o r m l yd i s t r i b u t e de i g e n s t a i n se m b e d d e di na n i s o t r o p i ce l a s t i cm e d i a 、v i t l la s i n g l ep l a n eo fs y m m e t r y f o rt h ec a s et h a tt h ee i g e n s t r a i n si si nt h ef o r mo fl i n e a r f u n c t i o no fc a r t e s i a nc o o r d i n a t e so ft h ep o i n t so ft h ei n h o m o g e n e i t y , t h es o l u t i o nf o r t h es t r e s sa n ds t r a i n f i e l d si s a n a l y t i c a l l y d e r i v e db a s e do nt h e p o l y n o m i a l c o n s e r v a t i o nt h e o r e m , t h ec o m p l e xf u n c t i o nm e t h o da n dc o n f o r m a lt r a n s f o r m a t i o n t o g e t h e rw i mt h ep r i n c i p l eo fm i n i m u ms t r a i ne n e r g y t h ei n d u c e de l a s t i cf i e l d sa r e v e r i f i e db yc h e c k i n gt h ec o n t i n u i t yc o n d i t i o nf o rt h es t r e s s a tt h ei n t e r f a c eb e t w e e n t h ei n h o m o g e n e i t ye n dm a t r i x e s p e c i a l l y ，t h ep r e s e n ts o l u t i o nw i l lr e d u c et ot h e k n o w nr e s u l tf o rs o m es p e c i a lc a s e s i na d d i t i o n ，n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e na n d t h ed i s t r i b u t i o n so fs t r e s se n ds t r a i ni n s i d et h ei n h o m o g e n e i t ya n da tt h ei n t e r f a c ea r e i l l u s t r a t e d f u r t h e r , f o rt h ec a s eo fe i g e n s t r a i n sh a v i n gt h ef o r mo faq u a d r a t i c p o l y n o m i a lf u n c t i o n ，s o m ea n a l y t i c a le x p r e s s i o n sf o rt h es t r a i ne n e r g yo ft h e i n h o m o g e n e i t y m a t r i xs y s t e ma n ds t r e s sa tt h ei n t e r f a c eo ft h ee l l i p s ea l eo b t a i n e d ， a n dt h e s ef o r m u l a ec a r lb eu s e dt od e t e r m i n ef i n a l l yt h ee l a s t i cf i e l df o rt h es y s t e m k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i c ，a n t i p l a n e ，e l l i p t i c a li n h o m o g e n e i t y , p o l y n o m i a l c o n s e r v a t i o nt h e o r e m , c o m p l e xf u n c t i o nm e t h o d n 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：喝萄 扣毋1 其f1 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：留雨 出g 年1 月1 j | 7 日 第1 章绪论 1 1 复合材料的发展概况 第1 章绪论 复合材料是由两种或多种不同性质的材料用物理或化学方法制成的具有新 性能的材料，一般复合材料的性能优于其组分材料的性能，并且有些性能是原来 组分材料所没有的，复合材料可能改善组分材料的刚度、强度、热学等性能。 复合材料的优点： 1 比强度高，尤其是高强碳纤维、芳纶纤维复合材料； 2 比模量高，除玻璃纤维环氧外其余复合材料比模量值比金属高很多，特 别是高模量碳纤维复合构料最为突出； 3 材料具有可设计性。这是复合材料与金属材料很大的不同点，复合材料 的性能除了决定于纤维和基体材料本身的性能外，还决定于纤维的含量和铺设方 式。因此，可以根据荷载条件和结构构件形状，将复合材料内纤维设计成适当含 量并合理铺设，以使用最少材料满足设计要求，最有效地发挥材料的作用： 4 制造工艺简单、成本饺低，复合材料构件的制造一般不需要许多复杂的 机械加工设备，生产工序较少，它可以制造形状复杂的薄壁结构，消耗材料、工 时较少。 5 某些复合材料热稳定性好，如碳纤维和芳纶纤维具有负的热膨胀系数， 因此，当与具有正膨胀系数的基体材料组合时，可制成熟膨胀系数极小的复合材 料，当环境温度变化时结构只有极小的热应力和热变形。 此外，各种复合材料还具有各种不同的优良性能，例如抗疲劳性、抗冲击性、 电绝缘性、导热性或隔热性、耐高温或低温性、透电磁波性，减振阻尼性，耐腐 蚀性等。 复合材料的缺点： 1 材料各向异性严重，垂直于纤维方向的性能主要取决于基体材料性能和 基体与纤维间的结合能力。因此一般性能铰低，特别是层问剪切强度很低； 2 材料性能的分散度较大，质量控制和检测较困难； 3 材料成本较高，目前硼纤维复合材料最贵，碳纤维及金属基复合材料也 比金属成本商很多。 4 有些复合材料韧性较差机械连接较团难， 以上缺点除各向异性是固有之外，有些可以设法改近，如改进工艺提高性能、 第l 章绪论 降低成本。总之复合材料优点远多于缺点，今后大有广泛使用的领域和发展前景。 人类使用复合材料的历史已经很久了，中国古代使用的土坯砖是由粘土和稻 草( 或麦杆) 两种材料组成的，稻草起增强粘土的作用。古代的宝剑也是用复合 浇铸技术得到的包层金属复合材料，它具有锋利、韧性好、耐腐蚀的优点。现在 复合材料已广泛应用于航空航天工程、船舶工程、建筑工程、兵器工程、化学工 程等方面和日常生活，如2 0 世纪4 0 年代初，由于航空工业和其他工业的要求， 在设计制造高性能复合材料方面有相当大的进展。玻璃钢最早于1 9 4 2 年在美国 生产和应用于军用飞机雷达天线罩，它必须承受飞行时空气动力载荷、耐气候变 化、在使用温度范围内制品尺寸稳定，同时特别要求能透过雷达波，铝材可满足 强度要求，但不能满足电讯要求，陶瓷材料则相反，而玻璃钢两方面都满足要求， 因此在飞机制造方面得到应用。后来又逐步应用于其他方面，由于玻璃钢弹性模 量不高，不能满足飞行器刚度的高要求。上世纪6 0 年代，美、英等国先后研制 硼纤维、碳纤维、石墨纤维、芳纶纤维等增强的先进复合材料，并很快在航天、 航空方面得到应用。 随着材料科学技术的发展，由多相物质组成的复合材料作为先进材料有许多 传统材料所无法比拟的优越性，它的研究和应用得到迅速发展。从航空航天、国 防推广到民用产业，从主要是结构材料转到既是结构又兼有某种功能的综合性材 料，是材料、工程和力学工作者十分感兴趣的研究领域。 1 2 国内外研究现状 复合材料本身有强烈的结构特征，它是一种多相体( 基体、增强或增韧相、 界面相等) 材料。但由于复合材料加工工艺的限制，复合材料结构在受载之前往 往就具有各种各样的初始缺陷及损伤。这些缺陷导致应力集中，协同残余应力， 会产生更大的裂缝。当这些裂缝充满一种材料的时候，其内部的微结构特征很复 杂，包括纤维、颗粒、晶须、孔洞和裂纹等，就称之为夹杂。因为夹杂和周围的 基体的弹性模量不同，这就破坏了弹性介质的均匀性。夹杂由于各种各样的原因 可能会产生非弹性应变，如不均匀受热、塑性变形、体积膨胀、撕裂等，这种非 弹性应变称之为特征应变。夹杂问题在力学和材料等领域受到广泛关注，由于椭 圆夹杂能够较好的模拟材料中的缺陷，因此国内外的学者对于椭圆夹杂问题都作 了一定的研究。 e s h e l b y 【1 - 3 】关于无限大体内含有椭球夹杂弹性场问题，针对含本征应变的椭 球颗粒，给出了椭球内外弹性场的一般解，并利用应力等效的方法( 后来发展为 等效夹杂理论) 得到了非均匀椭球颗粒的内外弹性场。等效夹杂法的基本思路是， 考虑在一个各向同性的无穷大体积( 基体) 矿中，存在一个夹杂，夹杂所占区域 2 第l 章绪论 为q 【4 】。在未受外力作用的情况下该夹杂区域q 存在下列情形：( 1 ) 夹杂q 与基 体v 的弹性模量不同；( 2 ) 夹杂q 与基体d 具有相同的弹性模量，但夹杂q 上存 在非弹性应变；( 3 ) 夹杂q 与基体矿的弹性模量不同，且夹杂q 上还存在非弹性 应变。这些情况都可以看成夹杂问题。根据e s h e l b y 理论，在无外力作用时，假 想把这个夹杂q 从基体v 中移出，用基体材料将夹杂区域填充，使整个区域y 为 均匀材质。同时必须在原来夹杂区域q 范围内作用一个与外力无关的特征应变场 5 ；，这个特征应变占：是像原来的夹杂物一样对周围基体的应力和应变产生相同 的扰动。夹杂区域q 的弹性应变是s ；+ 白，司是外载引起的应变，s f 是夹杂引 起的扰动应变。引入特征应变后，夹杂区域q 的弹性应变表示为s ：+ 占。一占：。 根据经典弹性力学理论，在夹杂区域q 中有： c ；：( + s 。) = c 品( 以+ 一) ( 1 1 ) 其中，c 函是夹杂的弹性系数，c 函是基体的弹性系数。上式称为夹杂q 的等效 方程，它的意义在于把夹杂问题转换成特征应变问题。特征应变的积分形式解： ， 占肼= i n g 矿嗣占盯d v ( 1 2 ) 其中，g ，月是格林函数。当q 为椭球时，e s h e l b y 得到简化形式： 占材= j 棚占材 ( 1 3 ) 式中，瓯。称为e s h e l b y 四阶张量。e s h e l b y 的一个重要结论是当特征应变均匀时 ( 对特征应变颗粒) 或外载均匀时( 对非均匀颗粒) ，椭球颗粒内部的弹性场也 是均匀的，并可用椭圆积分的形式表示出来，这个解后来就成为等效弹性模量计 算的基础。 对于热应变问题，上述特征应变可以表示成占：= 口。a 0 ，嘞是热膨胀系数， p 是温度变化：对于塑性问题，特征应变即为塑性应变s ：= s f 。 j a s w o n 和b h a r g a v a 5 】提出用经典弹性力学中的最小势能原理，并结合复变函 数解析法确定球夹杂和圆形夹杂的弹性场。b h a r g a v a 和r a d h a k r i s h n a t 6 j 采用同样 的方法求出各向同性介质中异质椭圆夹杂受非弹性变形引起的弹性场；与 e s h e l b y 不同的是，没有使用等效夹杂理论，而是利用弹性力学平面问题的复解 析函数解法，根据基体夹杂位移相等求出复变函数，进而求出基体夹杂体系的应 变能，再利用最小势能原理求出弹性场，最后通过验证基体夹杂交界面处法向和 剪切应力的连续性检验结果的正确性。c h e n t 7 l 研究了有一个弹性对称面的情况。 这些夹杂问题都局限于平面应变或平面应力，都是建立在经典的弹性平面公式的 基础上，但这些方法都运用了e s h e l b y 建立的一般平面问题的格林公式。y a n g 第1 章绪论 和c h o u $ , 9 提出了解决器肉异性介璇实俸孛夹杂鳃平露闯题的一般勰法。m u r a t 州 裰摆等效夹杂理论，鼹出了一释交窝藏加戆方法确定基体内点静弹性场。先获褥 夹杂内点的弹性场，用响颐) 表示；再假设夹杂魑窳心的，将夹杂内的应力表承 为作用农基体的外力( i n ) ) ，可得到基体内点的威力场e i j ( o u t ) ；则基体内点的 瘟力场鹱是粕鞋鸯+ + r l j ( o u 0 。m u r a 磺窕了多边影必杂( 罄鼗积蒸髂稳圈) 受均匀 本征应畿时的弹性场，得到：当多边形的边数是奇数时，弹性场楚均匀的，并得 到实验的验证。h n n i l q 绘出了在任意远端载荷作用下，包含异质体夹杂的无限介 质的平麟的弹性场盼诂算方法。该方法对于缺陷阁的耀互作用和广泛使用的伪零l 力方法一样精确窝篱肇，徨蔓逶麓，阂秀簸酪霹渡番作缀弱静菇爱髂。胃戳萼簪莛 拓展到任意形状、方向、位置和弹性模量的多个椭圆异质体。c h e m l l 2 1 在s a v i n 解法的慕础上提出了种解法，要求远端刚体转动必须为零。这种解法能准确的 计算出食糖圆孑l 涸静强艇芷交各自菇性板，受到任侮远端蟊内威力玎：、口；及f ： 幸# 焉辩生的应力、威变场和位移场。在国凑，俺菠辉等f l 司研究了球面各翔弱 性颗粒增强复合材料膨胀系数与体积模量的精确必系。王旭和沈亚鹏1 1 4 研究了 各向异憾线弹性固体筏远场均匀反平面剪切应力作用下，内外两椭圆夹杂的威力 场，绩繁袈疆运场均篙疲力鞠均匀穆糕痤交终震下凌壤睡夹杂侮肉邦餐会傈掩沟 匀应力场，并运用1 3 s h c l b y 等效夹杂法研究了复合材料的等效弹性模量。贺鹏飞 等1 1 5 】利用等效夹杂法研究了单向层裔板在面内均布剪切外载作用下复合材料内 部的细蹴应力分布。蔗敏中1 1 6 1 运用s t r o h 理论讨论器向异性复含材料中的边值间 殛襄夹杂瓣题。鞠元太瑟7 鞫矮s t r o f f 方法骚究了岔 戆嚣夹杂豹癸褴箨在多矮式蘅 载作用下的二维变彤问题，获得了介质和夹杂中的弹性场，证明了夹杂内部的应 力应变场以荷载的同除多项式形式出现，而介质中的弹性场也能用椭圆坐标的多 瑷式形式表示出来。刘又文等1 1 s 明逡蹋复变函数方法，求磐了金剐健横圆夹杂的 无限弹憔平面在任意像鬻作用集中力和集中力偶的闯题，导密了界覆应力公式， 并且获得了纵向剪切下弹性椭圆夹杂问题的精确解。对于两种备向异性材料焊接 晃面含共线刚性线夹杂的反平面河联，导出了一般闯题的公式和几个典型闯联的 羹惩形式解，求氆7 鬻缝线尖臻黪藏力势毒，壹接簿壅各离冠魏耱辩赛蘑与筠驾 各向异性介质中相瘦嗣题的公式与结果。刘又文笔j ；( 2 0 , 2 1 l 研究了程反平面集中力和 无穷远纵向剪切作用下，不同弹性材料圆形界筒上有多条刚性线夹杂，运用 r i e m a n n s c h w a r z 解柝婚妊技术与复势匾数奇性主部分析方法，获得了该问题的 一般解，求出了死舞焚鍪情况静封 l l 解，并绘鑫了躅往线夹杂炙矮瓣瘟力场分褥。 结果表明，在反平面加载的情况下圆形界面刚性线夹杂尖端应力舆有平方根奇异 性，无衡异性应力振荡，且应力场与刚性线夹杂的形状，加载方式和材料性质褥 关。 4 第l 章绪论 各向异性介质中的椭圆夹杂问题，弹性场的确定可通过保角变换运用复变函 数法来求解。但由于各向异性材料的复杂性，一些相关复解析函数很难确定，目 前一般的解法是将其展开成级数，如l a u r e n t 级数、f a b e r 级数等，再采用配点 法和最小二乘法根据连续条件和边界条件确定复解析函数的系数，最终求得夹杂 产生的弹性场。近年，r o y 等 2 2 , 2 3 1 运用最小势能原理研究了正交各向异性介质中 椭圆夹杂受非弹性正应变引起的弹性场的确定。并在此基础上建立了计算复合结 构中已有裂缝由于活动水分的相变引起的应力强度因子的理论模型，并且对解析 预测模型和模型的应用做作出检验。随后，n i e 等幽1 进一步研究了正交各向异性 复合材料中矩形裂缝问题，获得相应的应力场分布。计算得到应力强度因子墨， 大于材料的疲劳强度因子墨。，从而引起裂缝边缘基体开裂，解释了裂缝内湿气 结冰引起复合材料起裂的实验现象。最近，n i e 等 2 5 1 获得了正交各向异性介质中 椭圆夹杂内非均匀特征应变引起的弹性场的解析解。n i e 等【”1 还给出了任意正交 各向异性介质中椭圆夹杂受均匀非弹性正应变和剪切变形引起的弹性场的完整 解。 第1 章绪论 1 3 本文的主要辩究工终 本文针对非均匀分布的特征应变，主要是其具有线性和= 次多项式形式的特 征应变形式，根据多项式保守定理，将夹杂中各点的应力场表示成相应的多项式 形式，遴过诗算夹剡蒸俸系绞戆势缝，运爱最夺势能骧理，黪攒礁定多项炎孛 的未知震系数，从而获得闯题的封闭解。主要研究内容如下： ( 1 ) 研究了具有一个弹性对称嘶备向异性介质中的椭圆夹杂受线性分布的 特征应变作用弓l 起的反平躐弹性应力、殿变场，获得棚成的解析解。避 过验证夹杂秘蒸薅在雾嚣t 戆痤力连续蒙绛，来表骥绥莱静歪确毪。聋擎 别地，对于均匀应变的内食物问题，本文解将退化为已肖的结果。同时， 进行算例分析，阐明夹杂内和界面上的剪应力和应变的分布规律。 ( 2 )慰于撩匿夹杂受非线性( ：次多项形式) 分毒豹特征敷变作矮下弹经场 作丽润题，裰据基律夹杂势箍上位移豹逐续往，求出蠢褐应特征应受秘 待定应变场袭示的基体的簸解析函数，由此获得夹杂熬体界面应力。然 后利用界面的应力和位移，求出基体应变能的解析表达式，这为最终确 定夹杂应力场葵定了基磷。 6 第2 章问题的基本方程 第2 章问题的基本方程 2 1 复合材料性能简介 各向异性材料在现在工程技术中得到了广泛使用，其可按制件不同部位的强 度要求设计纤维的排列。如以碳纤维或碳化硅纤维增强的铝基复合材料，在摄氏 5 0 0 度时仍能保持足够的强度，比未增强的铝好得多；碳化硅纤维与钛复合，不 但钛的耐热性提高，且耐磨损，可用作发动机风扇叶片；碳化硅纤维与氮化硅陶 瓷复合，使用温度可达1 5 0 0 c ，比超合金涡轮叶片的使用温度高很多。 表1 1 和表1 2 列举了三种典型纤维增强复合材料的弹性常数数据。单向复 合材料的纤维方向有效拉伸模量与其他方向各种弹性常数模量比值的数值范围； e e 为2 “1 8 ，e 巨为3 3 0 ，e l g l ，为6 - , , 3 7 3 ，巨g t ，为6 - - 8 0 。对于正交 增强复合材料，上述比值范围：e l ，e ：为1 1 8 ，e 1 ，e ，为3 1 5 ，e 。i g 。：为 2 4 - - 2 2 2 ，e l g l ，为1 0 - 4 5 。 表1l 单向复合材料 n 料 玻璃环氧 碳，环氧 硼，环氧 性靠 e 玻璃s 玻璃 e 、f e 2 3 02 61 8 o9 7 e g 1 2 6 08 72 lo 3 7 3 y 1 2 o 0 8 30 0 9 60 0 1 5o 0 1 8 y 2 1 o 2 5o 2 5o 2 70 1 7 e i | e 3 3 82 0 0 08 _ 1 2 e j g j 3 6 之52 m v 8 0 3 0 - 6 0 表中数值和其他各向同性材料( e l 岛= 日e 3 = l ，e g = 2 ( 1 十d * 2 6 ) 比较，显示了很强的各向异性和很低的层间剪切模量的特性，因此，经典的各向 同性体弹性力学已不能适用，必须根据各项异性体弹性理论，才能对这种复合材 料进行有效的分析和计算。 第2 章问题的基本方程 表1 2 正交复合材料 n 料 性藤 玻璃，聚合物碳，聚合物硼，聚合物 巨易 l0 1 8 1 0 巨g , 2 2 42 2 21 9 2 v j 2 0 1 50 ，0 3 50 0 5 5 v 2 1 0 1 50 ，0 3 4 o 0 5 e e 3 3 ol5 五c , 3 l 口也02 0 - 4 5 还需指出，各向异性弹性体按各点弹性性质的变化形式，可区分为均匀的与 非均匀的；均匀体是指物体各点的弹性性质是相同的；而非均匀体又可区分为连 续变化与非连续变化的，后者非连续的非均匀体主要是指多相弹性体，其相邻两 种均匀介质之间存在着一个性质突变的界面。此外根据弹性体中具有等值弹性性 质的方向，一般又可分为两种类型：如果等值弹性方向是沿着平行的平面，则为 直线型各向异性；而等值弹性方向是沿着平行的曲面，则为曲线型各向异性。 2 2 几何关系与平衡方程 由于几何关系和平衡条件都与物性无关，所以连续介质力学的几何方程和平 衡( 运动) 方程，对各向异性弹性体仍然适用。在线性各向异性弹性力学中，一般 引入下列基本假设： ( 1 ) 研究对象是连续的弹性固体( 介质) ； ( 2 ) 位移与应变是微小的，其几何关系是线性的； ( 3 ) 材料是理想的、不存在初始应力； ( 4 ) 应力与应变关系是线性的，服从广义虎克定律。 上述假设中第4 项是关于物性的，它仅与本构方程有关，将在下一节中讨 论。根据前三项假设则可直接引用线弹性连续介质力学的结果。物体任一点的应 力( 6 个分量) 、应变( 6 个分量) 和位移( 3 个分量) 可以用变形前质点坐标描 述，它们必须满足下列几何关系与平衡( 运动) 方程。 几何方程： 第2 章问题的基本方程 加加却 2 瓦占，2 面5 z2 瓦 砒加却却却抛 岛。万+ 瓦2 瓦+ 万。瓦+ 瓦 平衡方程： ( 2 1 ) ( 2 2 ) 式中，x ，z 分别表示在直角坐标系中沿x 一，y 一和z 一三个方向的体力分量。 2 3 应力应变关系 各向异性弹性体中应力与应变的弹性关系，可写为下列形式： c t 3c i 4 c 趋c 2 4 c 3 3 屯 c 4 3c “ c 臼c s 4 式中的c 。称为刚度系数上式可简写成 p ) = l c ，忙) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 这里p 和p 分别为应力列阵与应变列阵，ki 为刚度矩阵。 绝大多数工程材料具有对称的内部结构，因此材料具有弹性对称性，例如纤 维增强复合材料、木材等。如果物体内每一点都有这样一个平面，在这个平面的 对称点上弹性性能相同，这样的材料就具有一个弹性对称面。例如取工一y 坐标 面与弹性对称面平行，z 轴与弹性对称面垂直，过0 点按坐标方向取一个微单元 体，如图2 1 所示。 9 0 o o = i = x y z 丝昆笠c；堕瑟 可堡钞笠砂 + + + 峨卜毽翌缸眈卜毽 毛勺巳 印彩印“彩印印印印却印印“以o “彩靠“办以印行锄 第2 章问题的基本方程 图2 1 具有一个弹性对称平面的微元体 过o 点用x o 坐标面切开微单元体，由弹性对称面定义可知，任一点4 和a 弹性性能相同，即将z 轴转到z 轴，应力应变关系不变。为了保证具有一个弹 性对称面材料的应变势能密度不变，这样得到； q 4 = q s = c “= c 2 5 = c 3 4 = q 5 = c 4 6 = c = 0 ( 2 5 ) 刚度系数减少8 个，剩下1 3 个，刚度矩阵变成 0 c 1 6 0 c 2 6 0 c 3 6 c 4 5 0 c ”0 0 对于具有一个弹性对称面的材料，刚度系数只有1 3 个是独立的。 2 4 能量原理 ( 2 6 ) 对于一个弹性体平衡问题，求其精确解一般是很困难的，因此通常需要应用 变分原理求得近似解。这些都是以虚功原理或虚位移原理为基础的。 根据变形连续体的虚功原理，对于满足弹性体边界上几何约束条件的虚位 移，那些能满足弹性体平衡条件的位移，使外力所做的总功等于弹性体所增加的 总虚变形能。其表达式为 i j l ( x s u + y d v + z s w ) d v + d ( 以8 u + r s v + z 。8 w ) d s 一子u = 0 ( 2 7 ) 式中，s 。为力边界，v 为介质体积，石、】，、z 为体积分量；x 。、l 、z 。为表 面力分量；【，为弹性应变能，可由应变能密度积分求得： o o oo o o o o o o 第2 章问题的基本方程 u = j 臃矿 ( 2 8 ) 式( 2 ，7 ) 通常写成 6 1 - 1 = 0( 2 9 ) 这里兀称作弹性体的总势能函数，它的表达式为： 仃= 矿b ) d y 一( 肋+ r v + 加) d y 可( 以“+ l v + z w ) d s ( 2 ，1 0 ) 1 ip 对于小变形弹性体的稳定平衡状态总势能为极小值，故式( 2 9 ) 称作最小 势能原理。 2 5 反平面问题的基本控制方程 2 5 1 平衡方程 对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，若取坐标轴平面x o y 为其弹性对 称面，z 轴与弹性对称平面垂直。沿x 一，j ，一和z 一三个方向的位移分量设为u ， v ，w ，反平面应变状态下的位移场可表示成： “= o ，v = o ，w = w ( x ，力 ( 2 1 0 ) 应变分量为 = 祟，如= 祟 ( 2 1 1 ) 2 面，如2 面 。2 。 6 28y = 8 | = 7 口= 0 由式上述关系，由式( 2 4 ) 、式( 2 6 ) 可得写出应力分量 和 a r = op = o z = t q = 0 = q 5 比+ = c 4 5 尝+ 考 ( 2 1 2 ) 2 q 5 比+ 2c 4 5 瓦+ 面 2 1 2 r = = c s s 心嘞岛鸭尝+ 考 眩 对于不计体力的情况，平衡方程( 2 2 ) 除下式外，其它均自动满足。 旦! 芝+ 堡：o ( 2 1 4 ) 缸 砂 第2 章问题的基本方程 将反平面剪应力式( 2 1 2 ) 和式( 21 3 ) 代入上式，可得到下面用位移表示 的平衡方程 害也，高岷雾= 。 娩 反平面问题的微元体受力情况可用图2 2 所示。 圆圆q 圆 图2 2 反平面问题的微元体受力图 2 5 2 问题的特征方程和位移和应力的复函数表示 方程( 2 1 7 ) 的解为x 十，的某个函数的形式，即可假定w = ，0 + ，) ，为 复参数。将它代入上面方程，可得到确定复参数的特征方程 c 卅2 + 2 c 4 5 + c 蠢= 0 ( 2 ，1 6 ) 对于理想各向异性材料，恒有 c 4 4 - c 4 5 2 0 ( 2 1 7 ) 特征方程( 21 8 ) 的解由此可写出 “：- c 4 5 + i 厩2( 2 1 8 ) 记 口；! 鲨( 2 1 9 ) 第2 章问题的基本方程 口： c 4 4 c 5 5 - - c 4 5 ( 2 2 0 ) “ 则有 = 口+ 妒 ( 2 2 1 ) 特别地，对于各向同性材料，口= 0 ，= 1 。引入复函数庐( z 。) ( z 。= x + t y ) ， 位移可进一步表示为： w = r e 移“) 】 ( 2 2 2 ) 其中，r e 代表一个复函数的实部。进一步，将式( 2 2 2 ) 代入式( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ， 可得用复函数表示应力分量如下 f ，= c 4 4 r e a , ( 毛) 】+ q 5 r “( 而) 1 ( 2 2 3 ) ，= c 4 5r e 【( z 1 ) 1 + 岛5r e 【庐( 毛) 】 ( 2 2 4 ) 式中，( z ) ：掣，毛：工+ 。 2 6 本章小结 本章给出了具有一个弹性对称面的各向异性介质反平面问题的基本方程。反 平面位移和应力的求解将可归结为复函数矿( z ) 的确定。下一章将针对具体问题， 给出该函数的解析求解方法和结果。 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 3 1 引言 由于制造工艺过程各种各样的原因，复合材料压层板会包含一些缺陷如基体 裂缝和空心。包括纤维、颗粒、晶须、空洞和裂纹等，这些可以统称为夹杂。这 些夹杂破坏弹性材料的均匀性，使夹杂和周围的基体的弹性模量不同。若没有基 体的存在，夹杂会产生变形，达到平衡位置，可称作自由面；但由予基体的存在， 将会在夹杂内部以及周围的基体中产生应力。在物理、冶金以及工程等经常发生 这种问题的领域，对该应力的计算非常重要。 图3 1 椭圆夹杂示意图 3 2 椭圆夹杂内的弹性场和应变能 假设在椭圆夹杂中作用有非均匀分布的特征剪应变为庀g ，y ) 和庀r 力。记 弹性应变为o 、x ，y ) 和圮g y ) ，夹杂中的总应变，：，g ，y ) 和 ，g ，y ) 可表示为： ，”= 砖+ ，二 ( 3 1 ) 3 = r o + ，二 考虑到夹杂中的材料常数和弹性场不同于基体的，与夹杂有关的量上标注 “0 ”，以示区别。设特征应变是关于x 和y 的线性函数，即： 名= d o + d l x + d 2 y ( 32 ) 庀= e o + 岛工+ p 2 y 1 4 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 然后，根据多项式保守定理咧，椭圆夹杂内总应变坨和几的分布与特征应 变分布具有相似性，也可以表示成如下线性函数的形式： 如。d o + d l 工+ d 2 y ( 3 3 ) 7 t ，= e o + e t x + e 2 y 式中，六个实系数d o ，吐，d ：，q ，为给定参数，而实系数d o ，d 1 ，d 2 ， e o ，臣，e 2 为待定参数。 由式( 3 1 ) ，椭圆夹杂内的弹性应变，：和坨可表示为： 砖2 ( d o 一九) + ( d 1 一d 1 ) x + ( d 2 一d 2 ) y ( 3 4 ) r o = ( e o e o ) + ( 巨一e 1 ) z + ( 易一e 2 抄 夹杂中的应力分量由式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 可写出； f 月0 = c 4 4 0 ，弦0 + c 4 0 5 r o ( 3 5 ) f 格0 = c 4 5 0 r o + c 品坨 ( 3 6 ) 或 盼c o 嚣0 黝0 ( 3 7 ) 椭圆夹杂的弹性应交能司由f 歹u 确定： = ( f 品砖+ f 。0 厂。0 ) 西砂 ( 3 8 ) 式中，n 代表半轴长分别为口和b 的椭圆夹杂域。将式( 3 5 ) 和( 3 6 ) 代入上 式，利用式( 3 4 ) ，积分可得夹杂内的弹性应变能： ：；【c ：4 ( d j d 。) ：+ 2 c o ( d o d 。) ( e o - e o ) + c 晏( e o - e o ) ：k h 6 + 三k ( d i 一反) 2 + 2 以( d l 一4 ) 喝咱) + c 曼( e l q ) 2 肇3 6 ( 3 9 ) + ；k ( d ：一啪2 + 2 c 袅( d 2 一啪 心) + c 墨( 易一巳) 2 坛如 或 彤= 圭徽6 ( 厶+ 百1n 2 4 + 三6 2 彳：) ( 3 1 。) 其中： a o = c 蠹( d o d o ) 2 + 2 c 0 5 ( d o d o ) ( 磊一e o ) + 9 0 5 ( e o e o ) 2 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 4 = c “o ( d l 一4 ) 。+ 2 c 巍( d l 一4 巨一岛) + c 羔( 巨一e t ) 。 4 = c l ( 0 2 一d 2 ) 2 + 2 c 墨( d 2 一d 2 ) ( e 2 一p 2 ) + o ( 如一e 2 ) 2 椭圆夹杂中的位移分量为w o ，总应变肠、 ，满足几何关系： ，。：型( 3 1 1 ) ，2 0 3 , ) h ：堂 ( 3 1 2 ) ，1 32 = 一 l 土1 2j 运用式( 3 3 ) 。对式( 3 i i ) 和( 31 2 ) 关于x 和y 分别进行积分，可得： w 。= d o y + d i x y + j 1d 2 y 2 + z g ) ( 3 1 3 ) w 。= e o x + 三e , x 2 + 易砂+ 五p ) ( 3 1 4 ) 上两式表明 7 12 哪 十d o y 甲i ：y 2 舶) + 1 ) i 一易砂- 。 对于各点要满足上式，须有 z g ) 一2 x - - 即= ； d o y + 三1 也，2 一以p ) = 一： d = e 2 ( 3 1 6 ) 式中，；为某个实常数，位移分量由此可进一步表达为： 扩= e o x + 圭e t x 2 + d o y + 互1d ：y 2 + d , x y + ： ( 3 1 7 ) 从上式可知，除刚体位移外，位移分量是可由5 个未知的独立参数d 0 ，d l ， d 2 ，e o ，巨来确定。 3 3 基体应变能 3 3 1 界面应力 首先，通过下式的保角变换可以将椭圆夹杂外的基体在z 平面上( 即x y 面上) 所占区域变换成为( 平面上的一个单位圆面内的区域 1 6 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 妒喾+ 半 式中，川c l ，在单位圆的边界上f = 盯= ，因此，i f l 2 = h 2 = l ，孑2 吉 在复平面内z = x + ，z 的实部与虚部分别为x = a c o s o ，y = - b s i n 0 。根据位移 的连续性条件，界面上基体一侧的位移分量 w = w o ( 3 1 9 ) 由于x = 0 + i ) ，2 j ，= ( z 一三) “2 f ) ，位移分量可用仃表示为： w = 墨+ 毛仃+ 巧盯2 + e 吉+ 毛吉 ( 32 0 ) 其中： 足。= j 伍口2 + d 2 6 2 ) + ： 足：= ；慨口+ i d o b ) k s = l e n a 2 - 1 8 d ：62 + 警- ( e 2 + d 1 ) k 。= 三皈口一蛾6 ) 耻e j a - i d z b 2 一警( e 2 + d 1 ) 由式( 2 2 2 ) ，上式可表示为： w ( 仃) = r e 4 ( 盯) ( 3 2 1 ) 这里，彳p ) 为函数矿( z ) 的等价转换形式，而函数4 g ) 通过如下s c h w a r t z 公式 2 6 1 确定： w ) = 去弘) 等等帆 o 2 2 式中，函数x ) 在单位圆f 里是正则的，y p ) 是其在单位圆边界上的实部的值， y p ) = r e 够) 】i 知，矗是个实常数结合式( 3 2 1 ) ，应用c a u d a y 公式，可以 得到： 4 9 ) = f 她) + f ， ( 3 2 3 ) 式中，为实常数，对应力分量无影响，且 赋f ) = k 1 + 2 k ：f + 2 k ，f 2 ( 3 2 4 ) 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 根据式( 3 2 3 ) ，a ( o - ) 由此可进一步表达为： 4 p ) = q p ) + f ， 式中， f 如) = k l + 2 k 2 盯+ 2 k 2 d 4 ( o - 儿1 ) - 掣= 昔 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) r e 盹) 】2 i 面1 【1 9 l p ) + ：g ：p ) + ，9 3 ( 0 ) + a 4 9 4 ( 0 ) + a s 9 5 p ) ( 3 2 7 ) + 6 9 。p ) + a 7 9 ，p ) 】 i 咄俐= 丽1 【- n - 删一n ：g ：p ) + ，删+ g p ) + n ，删( 3 2 8 ) 一n 6 9 。p ) + 7 9 ，p ) 】 式中，系数，n ，( f = 1 , 2 ，3 ，4 567 ) 和函数曩p ) ，g i p ) ( f = l ，2 , 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ) 表达如下 a l = r d o a 一岛 2 = r d o + r e o a + r 2 d o p 3 = ( - b r d 2 口+ b & c t + 2 r b d l f l + 2 b d i ) a 4 = 一j 己d 2 口+ e l 口+ 2 r d l p a s = - b r d 2 + a e i 6 = b r d 2 一a e t + 2 r b d l 口+ 职2 d 2 p - b e , p a 7 = 晶 l - i l = r d o f l + e o a n 2 = e o + r e o f l r 2 d o a 1 1 3 = _ l b r d + 2 b r d l 瑾十r b d 2 p b e i p a e 1 8 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 h 4 = i r d 2 一e j p + 2 r d t a + 尬2 l 5 = - l b r 2 d 2 口+ b d t n 6 = 2 b d i + 6 日口+ 2 r b d l f l 一6 尺2 。2 口一l b r 2 d 2 口 h ，= r d o l b r d 巧p ) = b 2 q 2 + 户2c o s 2 8 + 2 a b a c o s b s i n o + a 2 s i n 2 0 g t p ) = r c o s 2 0 9 2 p ) = c o s o s i n 0 ， 9 3 = i 1 c o s 2 占s i n 口， g 。p ) = 争口， 9 5 p ) = c o s b ， g 。p ) = 三c 。s 2 汹s 口， 9 7 p ) = s i n 2 0 ， r = 鱼 利用式( 3 2 7 ) 和式( 3 2 8 ) ，并结合式( 2 2 1 ) ，从式( 2 2 3 ) 和式( 22 4 ) ， 最后可得到界面e 慕体一侧应力分茸表达式如下： ( 3 2 9 ) 式中，函数只和q j ( f _ l ，- ，2 ，5 ) 的表达式见附录a 。 对于基体内的应力，仍可根据式( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 确定。其中 幽g ) 几。) = 掣= 等 ( 3 ，o ) 珏乙圮 虬 式中，爿g ) 的表达式见式( 32 3 ) ，且z 1 的表达式为： 1 9 肪磊口晶肪 只级只幺只gq墨c 5 i南 r 脂妒 第3 章椭圆夹杂内具有线性分布特征应变的反平面问题 式中，f = o 。 毛= 帕= 警+ 譬学 瞧s ， 3 3 2 基体应变能 根据c l a p e y r o