（基础数学专业论文）3p2阶4度cayley图.pdf

摘要 设g 是有限群，s 为g 的不包含单位元1 的子集，定义群g 关于s 的 c a y l e y ( 有向) 图x = c a y ( c ，s ) 如下：y ( x ) = g ，e ( x ) = ( 9 ，s g ) t g g ，8 s c a y l e y 图x = c a y ( c ，s ) 说是正规的，如果r ( g ) 是a u t x 的正规子群令p 为 大于3 的素数，设群g = ( a ，6 ，c i 扩= c p b 3 1 【0 ，c 】，a b = c ，矿= a - i t _ 1 ) ， h = a ，6 1 扩= b 3 = 1 ，a b = 矿) ，其中r l ( m o dp 2 ) ，r 3el ( m o dp 2 ) ，3 1 ( p 一1 ) 本文 综合运用群论的和组合的方法证明了群g 和日的所有4 度c a y l e y 图都是正规 的，并且完成了对它们的分类同时，我们得到了一个3 护阶4 度1 一正则图的 无限类 关键词：c a y l e y 图；正规c a y l e y 图；1 正则图 a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dsas u b s e to fgs u c ht h a t1 叠s t h ec a y l e y ( d i ) g r a p h x = c a y ( g ，s ) o ngr e l a t i v et os i sd e f i n e dt oh a v ev e r t e xs e tv ( x ) 一ga n de d g es e t e ( x ) = 0 ，s g ) l g g ，8 s ) ac a y l e yg r a p hx = c a y ( g ，s ) i ss a i dt ob en o r m a li f r ( c ) i sn o r m a li na u t x l e tpb eap r i m ea n dp 3 ，g = ( a ，b ，c l 扩= 矿b 3 1 a ，c 】，a b = c ，护= a - l c 一1 ) ，a n d h = ( a ，6 i n p 2 = b 3 = 1 ，0 6 = a r ) ，w h e r er l ( m o d p 2 ) ，r 3 三 l ( m o dp 2 ) ，3 1 0 1 ) i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h a ta l lt e t r a v a l e n tc a y l e yg r a p h so fga n d ha r en o r m a lb yac o m b i n a t i o no fg r o u pt h e o r e t i c a la n dc o m b i n a t o r i a lm e t h o d a sa b y p r o d u c t ，w eo b t a i na l li n f i n i t ef a m i l yo f4 - v a l e n to n e - r e g u l a rg r a p h so fo r d e r3 矿 k e yw o r d s ： c a y l e yg r a p h ；n o r m a lc a y l e yg r a p h ；o n e - r e g u l a rg r a p h 2 引言 在本篇文章中，若没有特别声明，所有的图均为有限、简单、无向的连通 图，有关群论和图论的概念和记号，这里不再定义，请参考【1 , 2 ，3 ，4 1 给定一个图x ，我们用y 伍) ，e ( x ) 和a = a u t ( x ) 分别表示图x 的顶点 集，边集和全自同构群对于x 两个顶点u 和”，我们用a - 表示a 中固定单 位元1 的集合，用a 。表示a 中固定点1 ，钉的集合，用( “，口) 表示从乱到”的 弧，用x 。( ”) 表示。的邻点集合，五( 廿) 表示与移距离是l 的点的集合 设g 是一个有限群，s 为g 的不包含单位元1 的子集，我们如下定义群 g 关于其子集s 的c a y l e y 有向图x = c a y ( a ，s ) ：顶点集为v ( x ) = g ，边集为 e ( x ) = ( g ，s g ) l g g ，8 s ) c a y l e y 图c a y ( a ，s ) 叫做正规的，如果n ( a ) 旦a = h u t ( x ) 一个有限群g 有正规的c a y l e y 图，如果g 有子集s 使得群g 关于子 集s 的c a y l e y 图x = c a y ( a ，s ) 是正规的 c a y l e y 图由a c a y l e y 在1 8 7 8 年提出的，当时是为了解释群的生成元和定 义关系但由于它构造的简单性、高度的对称性和品种的多样性，越来越受到 图论学者的重视，成为代数图论中群与图方向的一个重要研究领域近年来， 由于计算机的发展，人们发现c a y l e y 图还是构造与设计互联网的很好的数学 原型，因而又获得了实际的应用，它的重要性日益增加给定一个有限群g ， 决定g 的所有正规和非正规的c a y l e y ( 有向) 图许多学者在这一方面作了大量 工作素数阶循环群和印( p 为素数) 阶群的任意度数的c a y l e y 图已完全确定 ( 【5 ，6 ) 在文献【7 , 8 ，9 ，l o l 中，作者证明了交换群上大多数连通小度数c a y l e y 图， 非交换单群上3 度连通边传递图和大多数非交换单群上3 度连通图都是正规 的w a n gcq 等在【1 1 】中给出二面体群所有非正规的4 度1 一正则c a y l e y 图， 在 1 2 】中对二面体群以乏为点稳定子的4 度正规c a y l e y 图进行分类，在【1 3 】 中决定了所有不连通的正规c a y l e y 图l uzp 等在【1 4 】中决定了阶为两个不 同奇素数c a y l e y 图的正规性f e n gyq 等在 1 5 】中决定了p 3 0 为奇素数) 阶群 的4 度c a y l e y 图的正规性，在【1 6 】中分类了正则矿群上2 度连通非正规c a y l e y 图在文献【1 7 ，1 8 ，1 9 j 中，作者分别确定了2 矿p 为素数) 阶群的所有2 度、3 度c a y l e y 有向图和4 度1 一正则c a y l e y 图的正规性本文研究了两类印2 阶4 度 c a y l e y 图的正规性，主要结果如下t 定理1 设x = c a y ( c ，s ) 是群g 关于子集s 的4 度c a y l e y 图，其中 g = ( a ，b ，c a p = 矽b 3 1 陋，c 】，a 6 = c ，c b = a - l c - 1 ) ，这里p 为大于3 的素 数，则x 是正规c a y l e y 图，且同构于下列图之一； ( 1 ) c a y ( c ，五) ，其中丑= 口，a ，b ，b - 1 ) ，且a 1 掣乏在乃上非传递作用； ( 2 ) c a y ( g ，t 2 ) ，其中t 2 = 6 b ，n 6 ，c - - 1 b - 1 ) ，且a 1 型z i 在马上正则作用 注记由定理1 ( 2 ) 知c a y ( g ，t 2 ) 是1 正则图，其中t 2 = ( 6 ，b - l ，a b ，c - - i b - 1 ) 定理2 设x = c a y ( h ，s ) 是群日关于子集s 的4 度c a y l e y 图，其中 h = ( o 扣l 扩= b 3 = 1 ，a b = 0 r ) ，r l ( m o dp 2 ) ，r 3 三l ( m o dp 2 ) ，3 i ( p 一1 ) ，p 为大于3 的 素数，则x 是正规c a y l e y 图，且同构于下列图之一： ( 1 ) c a y ( h ，死) ，其中t 3 = 8 ，a ，b ，b - 1 ) ，且a 1 兰z 2 ； ( 2 ) c a y ( h ，噩) ，其中t 4 = 6 ，b - 1 ，口6 ，a - r b - 1 ) ，且a 1 垡z 2 2 预备知识 1 1基本概念和命题 本节我们将介绍群的c a y l e y 图及c a y l e y 图正规性的概念，并且给出一些 基本结论，这是研究c a y l e y 图的正规性所必需的 定义1 1 1 设g 是有限群，s 为g 的不包含单位元1 的子集，我们如下 定义群g 关于其子集s 的c a y l e y ( 有向) 图x = c a y ( a ，s ) ： v ( x ) = g ， e ( x ) = ( 9 ，s g ) l g g ，8 研 c a y l e y 图是一类重要的点传递图关于c a y l e y 图有以下基本事实： 命题1 1 2 ( 【2 】) x c a y ( a ，s ) 是群g 关于子集s 的c a y l e y ( 有向) 图，则 ( 1 ) a u t ( x ) 包含g 的右正则表示r ( g ) ，因而x 是点传递的 ( 2 ) x ( 作为有向图) 连通当且仅当x 强连通，当且仅当g = ( s ) ( 3 ) x 是无向图当且仅当s - 1 一s ，这里我们把一条无向边 ，可) 等同于两条 有向边( 仳，口) 和( 口，u ) 设x = c a y ( a ，s ) 是有限群g 关于子集s 的c a y l e y 图设a = a u t x ，由命题 1 1 2 有a r ( g ) ，又设a u t ( g ，s ) = a a u t ( g ) is 。= 研，显然也有a a u t ( a ，s ) ， 于是a r ( g ) a u t ( g ，s ) ，进一步有： 命题1 1 3 ( 【2 】) 设a u t ( g ，s ) = o a u t ( g ) i 铲= s ) ，则有 ( 1 ) ，a ( r ( g ) ) = r ( a ) a u t ( a ，s ) ； ( 2 ) a = r ( g ) a u t ( g ，s ) 等价于r ( g ) 塑a 定义1 1 4c a y l e y 图c a y ( a ，s ) 说是正规的，如果r ( g ) 鱼a = a u t ( x ) 有限 群g 说有正规的c a y l e y 图，如果g 有子集s 使得群g 关于子集s 的c a y l e y 图 x = c a y ( a ，s ) 是正规的 由命题1 1 3 和上述定义可知，正规c a y l e y 图具有最小可能的自同构群， 即满足a u t x = r ( a ) a u t ( a ，s ) ，并且我们有： 3 命题1 1 5 ( 2 1 ) 设x = c a y ( g ，s ) 是群g 关于子集s 的c a y l e y ( 有向) 图，设 a 。是单位元1 在a 中的点稳定子群，则x 正规当且仅当a ，的每个元素都是 群g 的自同构 命题1 1 6 ( 【1 0 】) 设x = c a y ( g ，s ) 是群g 关于生成子集s 的c a y l e y 图，x 是正规的，若以下条件成立： ( 1 ) 对任意妒a l ，妒i s = 1 s ，则有妒i 铲= 1 n 即妒= 1 c ； ( 2 ) 对任意妒a 1 ，则存在a a u t g ，使得妒i s = 盯k 1 2群g 的一些性质 设群g = ( a ，b ，c l a p = 矿b 3 1 【o ，c 】，a b = c ，矿= a - l c - 1 ) ，其中p 为大于3 的 素数要讨论群g 的c a y l e y 图的正规性，首先求出g 的自同构，然后确定满 足j s z = s 且g = ( s ) 的s 在a u t g 作用下的轨道下面的内容解决了以上问 题 引理1 2 1 设群g = ( o ，6 ，c l a p = c p b 3 1 k ，e l ，o kc ，c b = a - i c 1 ) ，其中 p 为大于3 的素数，则群g 的全自同构群a u t g 中元素只能为： _ 矿一。， lb _ a s 泸 i ，j z p 且i ，j 不同时为零，s ，t 磊，蠡忍，且l a u t g | _ 2 p 2 ( p 2 1 ) 证明易知g = ( ( o ) c ) ) ：( 6 ) ，从而有：g 中p 阶元形如a i d ，其中l ，j 磊 且，j 不同时为零；g 中3 阶元形如a c t b k ，其中s ，t 名，k 召故g 的自同 构的形状只可能为： n - 矿一 ，i ，j 磊且 ，j 不同时为零，s ，t ez p ，k 忍 1b _ a d b k 由于当k = 1 时， ( ) c 6 ) 一= a s c t b a 一6 1 a 一8 c 一= a s c t a 一c 一a j a 一4 c 一= 一c 一， ( 一) 一1 【( o ) 一1 】矿一6 = 【( ) 一1 】4 嘭6 ( ) 一1 = a - c - j ( a 一c 一) 6 = a - i c - j c a j c i = a j c 一 当k = 2 时， f a i c ) ( 矿。旷1 ) = a s c 。b 一1 n 6 口一8 c = a s c t c i a - j c - j a 一3 c 一2 = a - j c i - j ， ( o 一) 一1 【( o t ) 一1 】一6 = 【( o ) 一1 】一。6 - 1 ( o 一) 一1 = a - i c - j ( a 一c 一) 扩1 ：口一i c - j a i c i a - j = a - i c i j 故对于满足上述条件的l ，j ，s ，t ，k 都有 ( 8 ) ( n c t 矿) = ( a i d ) 一1 【( ) 一1 】矿一铲= 【( ) 一1 】4 5 一矿a ) 一1 故g 的自同构的形状只可能为盯： 。，其中 ，j 不同时为零，i ，j 磊， _ n 4n ，v 【b 。a , d b s ，t z p ，召容易验证这些盯的确都是g 的自同构因此l a u t g l = 2 矿扩- x ) 证毕 由引理1 2 1 可得如下推论 推论1 2 2 在群g 的全自同构群a u t g 的作用下，g 的元素有如下3 个轨 道： ( 1 ) g 的所有p 阶元构成一个轨道 a i d i ，j 磊，i ，j 不同时为零 ； ( 2 ) g 的所有3 阶元构成一个轨道 矿c b l s ，t 乙，k 忍) ； ( 3 ) g 的单位元为一个轨道 证明注意群g 的自同构不改变g 中元素的阶数 ( 1 ) 任取g 的p 阶元a i d ，i ，j 不同时为零，且 ，j 磊，则存在g 自同构 n ：j 。矿矽，使得a r a ：一，从而得g 的所有p 阶元构成一个轨道 【6 一 f ( 2 ) 任取g 的3 阶元a s 泸，8 ，f 乙，七召，则存在g 自同构乃： n 。， ib - a s 6 七 使得护= a , c t b k ，从而得g 的所有3 阶元构成一个轨道 ( 3 ) 显然成立证毕 引理1 2 3 设g = ( o ，b ，c i 矿= c v = b 3 = 1 = b ，c l ，a b = c ，p = 旷1 c - 1 ) ，其中p 为大于3 的素数，s 为g 中不包含单位元1 的子集，且满足s = s 一，g = ( s ) ， 则在g 的全自同构群a u t g 的作用下，这样的s 仅有两个轨道，其代表元分别 为： a = 峨o ，b ，b - 1 ) t 2 = 6 ，b ，a b ，c - l b 一) 5 证明设s = 托z _ ，y ，y - t ) ，以下分3 种情况分别讨论： ( 1 ) o ( x ) = o o ) = p 这时有( s ) ( 口，c ) = ( n ) ( c ) g 此时s 不能生成整个群，故这样的s 不 存在 ( 2 ) o ( x ) = p ，o ( y ) = 3 由推论1 2 2 ，不妨设s = n 口，a s c t b ，( a s c t 6 ) 。) 则存在g 的自同构t 3 ： 8 。n，使得 a , a - 16 6 一n ：s 因此在a u t g 作用下，这样的s 只有一个 【b 。矿d b 轨道，以丑= “a ，b ，b - 1 ) 为代表元 对o ( z ) = 3 ，o ( y ) = p 的情况类似也有s 只有一个轨道，同样以噩= o ，a _ 。，b ，b - 1 为代表元 ( 3 ) o ( z ) = o ( y ) = 3 由推论1 2 2 ，不妨设s = b ，b - 1 , n 6 ，( a i b ) 一1 ，则存在g 的自同构： n 。一，使得p ，6 - - 1 ，a 6c - 1 6 一) n ：s 因此在a u t g 作用下，这样的s 只有一 【b 。b 个轨道，以t 2 = 6 ，b ，a b ，c - l b - 1 为代表元 证毕 1 3群日的一些性质 设群h = ( a ，6 i = 6 3 = 1 ，a b = 0 r ) ，其中r l ( m o d 矿) ，r 3 三l ( m o d 矿) ，3 1 ( p 一1 ) ， p 为大于3 的素数要讨论群h 的c a y l e y 图的正规性，首先求出h 的自同构 群，然后确定满足s _ 1 = s 且h = ( s ) 的s 在a u t h 作用下的轨道下面的内 容解决了以上问题 引理1 3 1 设群h = ( 口，6 1 扩2 = b 3 = 1 ，a b = 0 r ) ，这里r l ( m o dp 2 ) ，r 3 三 l ( m o dp 2 ) ，3 l ( p 1 ) ，p 为大于3 的素数，则a u t h = ( q ) ：( 卢) 皇z ：乙( p 一1 ) ，其中 q ： ：二二，p ： ：二- 如，= 簪 证明易知h = ( n ) ：( 6 ) ，且h 中元素形式为：a i b k ，i 勿，k 历，进一步可 知：h 中p 2 阶元形如a i ，其中i z ；h 中3 阶元形如a j b k ，其中j 磊z ，k 召 从而可知a u t h 的元素形如： 1 酽， 肇 由于 i b a j b k ，j 磊：且k 忍 ( a i ) 枷= ( a i ) 6 = a 押= ( a i ) ， ( a i ) a b 一= ( 8 ) 扩1 = ( ) 一= ( o ) r 2 ( n ) r ， 故a u t 日中元素只能为： n _ 以 往辱，且i a u t 日i ：p 3 ( p 1 ) i b _ a 3 b ，j af - 屁y 取口： ：二二，卢： ：二：8 ，其中c s ，= 琴，则一1 ：i a - - - + a t ，其中 t 为8 在z 中的逆元显然o ( q ) = 护，o ( 卢) = p 佃一1 ) 由于( a ) 是h 的特 征子群，则h 的任意自同构妒都导出( a ) 的一个自同构= 妒l 定义口： 妒一_ ，则d 为a u t h 到a u t ( a ) 的映射，易证谚为满同态设同态核为k e r o ，而 k e r 口= 妒e a u t h l a 9 = o ) = ( n ) 兰勿由同态基本定理知 a u t h k e r 0 = a u t 日( a ) - 型a u t ( a ) a u t ( a ) = ( p ) 掣名( p 1 ) ， a 扩= 。叩= ( a t ) a # = ( a t ) 9 = a “= a a 垆4 = 护。a p = 6 叩= ( d 6 ) 4 = a s b = 垆 故有= ，即证得( p ) 正规化( o ) 又因为( n ) n ( 卢) = 1 ，故a u t h 是( o ) 与( p ) 的半直积，即a u t h = ( o ) ：( p ) 兰z ：z p ( p 一1 ) 证毕 由引理1 3 1 可得如下推论 推论1 3 2 在群h 的全自同构群a u t h 作用下，h 的元素有如下5 个轨 道： ( 1 ) 日的所有矿阶元构成一个轨道f k 绍) ； ( 2 ) h 的所有p 阶元构成一个轨道 8 卸 南z ) ； ( 3 ) h 的所有3 阶元有两个轨道，它们分别为 n 眯勿 ， 6 _ 1 i j 匆) ； ( 4 ) 日的单位元为一个轨道 引理1 3 3 设h = ( n ，6 1 0 p 2 = b 3 = 1 ，a b = ) ，其中r l ( m o dp 2 ) ，r 3 兰 l ( m o d 矿) ，3 i ( p 一1 ) ，s 为甘中不包含单位元1 的子集且满足s = s ，h = ( s ) ，则 在a u t h 作用下s 有两个轨道，其代表元分别为： t 3 = ，a ，b ，b - 1 ) ， t 4 = 地b - 1 ，a b ，a - r b - 1 ) 证明 设s = z ，x - 1y ，y - 1 ) ，由于( a ) 是日的特征子群，要使h = ( s ) ，则 z ，y 中一定有3 阶元，不妨设o ( y ) = 3 下面我们分3 种情况进行讨论： ( i ) o ( z ) = p ，o ( y ) = 3 由推论1 3 2 ，不妨设s = 6 ，b ，a k p ，a - k p k 露而( s ) = ( b ，a k p ) ( b ，a p ) 5 1 0 图2 ，此时p = 5 1 1 如图1 、2 所示，因为过a 有唯一的三角形( a ，a - l c b ，c b - - 1 口) 所以妒固定这个 三角形，从而妒固定点2 ，进而妒稳定集合 n - 1 c b ，c b _ 1 若存在r a 。，使得( a - l c - 1 6 ) 7 = 西因为过1 ，a ，a - i t b 有唯一的昏圈 ( 1 ，a ，a - l c b ，c - l b ，a - l b _ 。，b - 1 ，1 ) ，过1 ，a ，c b - 1 有唯一的6 - 圈( 1 ，a ，c b ，a c b ，a - a b ，b ，1 ) ， 从而f 互换这两个6 - 圈，从而旷1 ) f = b ，出现矛盾故妒点型固定集合 _ 1 c - 1 b ， 西_ 1 ) ，即证妒点型固定集合 n 2 ，a - i v b ，c b _ 1 ) 同理可证妒点型固定集合 o ， c - 1 b - i , 础) 因为过点1 ，a ，b 有唯一的6 - 圈( 1 ，a ，c b ，a c b 一，a - l b ，b ，1 ) ，所以妒固定这个6 - 圈，从而妒固定点a - l b ，进而妒点型固定集合 a b ，a - 1 ”同理可证妒点型固定 集合 a b - 1 ，a - 1 b - 1 ) 因此妒点型固定集合 x 2 ( 1 ) = a 2 ，a - l c 一1 b ，c b 一1 ，a b ，a - l b ，n 6 - 1a 一1 b 一1 ，a c b ，c - 1 b - i , a 一2 由c a y ( g ，丑) 的连通性和点传递性知妒= 1 ( 2 ) 其次证明对任意妒a 1 ，存在盯e a u t g ，使得妒i t l = 仃1 n 因为过1 有唯一的三角形( 1 ，b ，b 一，1 ) ，所以妒固定这个三角形，从而妒稳 定集合 b ，b - 1 ) 关于妒分以下4 种情形分别讨论： ( i ) 若妒固定点b ，b ，a ，a ，则取7 - 1 1 = 1 ，显然有妒i n = n 。i t , ( i i ) 若p 固定点6 ，6 一，互换a , a - 1 即妒l n ：( a , a - 1 ) ，取7 1 2 ： 口_ 。1 ，则 【b 。b n 2e a u t g ，且妒i n = ( o ，a 一1 ) = n 2 l n ( i i i ) 若妒互换6 ，6 ，固定点。，口，即妒i n ：( 6 ，6 - 1 ) ，取n 3 ： 。- 8 ，则 【b b v i a a u t g 且妒i 豇= ( b ，b 一1 ) = n 3 l n ( i v ) 若妒互换b ，b ，且妒互换a ，a ，即妒i n = ( a ，a - 1 ) ( 6 ，b - 1 ) ，取 州 。，则t 1 4 a u t g ，且妒i n ：( a ，a - 1 ) ( 6 ，6 1 ) ：n 4 h i b 。b 1 综合( 1 ) ，( 2 ) ，由命题1 1 6 知x = c a y ( g ，孔) 是正规c a y l e y 图，且a - 垒z i 在 1 2 噩上作用不传递证毕 引理2 1 2 设x = c a y ( g ，t 2 ) 且群g 关于子集乃的c a y l e y 图， g = o ，6 ，c l a p = 矿b 3 1 【n ，c 】，a b = c ，一= a - 1 c - 1 ) ，其中p 为大于3 的素数， t 2 = 6 b ，o 玩c - l b - 1 ) ，则x = c a y ( c ，t 2 ) 是正规c a y l e y 图，且a 1 掣霹在乃上 正则作用 证明( 1 ) 首先证明a 1 在乃上忠实作用，即对任意妒a 。，且妒l n = 1 乃，则 有i p = 1 对任意妒a l ，且妒l t 2 = 1 t 2 ，则有妒分别固定点b ，b - 1 a b ，c - 1 b - 1 及它们的邻 域 1 ，b 一，a b - 1c 。1 ) ， 1 ，6 ，a ，c - 1 6 ) ， 1 ，c - l b ，a - l c b ，c ， 1 ，a b ，口，础) ， 从而妒稳定集合 a b - 1 ，c - 1 ) ， a ，c - 1 b ) ， a - 1 c - 1 b - 1 ，c ) ， n - 1a c b 如图3 所示，因为过点b ，1 ，c - 1 b _ 1 有唯一的6 圈( 1 ，b ，a b ，a - i v ，a c b ，c - l b ，1 ) ，所 以妒固定这个6 - 圈，从而妒固定点a b ，a c b ，进而妒固定点c ，a ，即得妒点型 固定集合 a b ，c - 1 ) ， a ，a c b 同理可证妒点型固定集合 a ，c - 1 b ) ， a - l c 1 b 一，c ) 综上可证妒点型固定集合x 2 ( 1 ) = a b - 1 , c - 1 ，a ，c - 1 b ，a - i v 1 b - 1 ，c ，a ，a c b 由 c a y ( g ，t 2 ) 的连通性和点传递性知妒= 1 ( 2 ) 其次证明a 1 = a u t ( g ，t 2 ) 垡砺 设乃l ： n _ ，饧： d _ 口，容易验证丁2 。，饧a u t ( g ，乃) a 。，且 【b 。b 。【b 。a b t 2 1 ，t 2 2 可换故有死l ，1 2 2 ) a 1 且( 亿l ，t 2 2 ) 在正上正则作用任取妒a 1 ，且妒 固定点b ，则妒固定集合 6 ，b 一，0 6 ，c - l b - 1 如图3 所示，因为过点1 , b 有唯一的三 角形( 1 ，b ，b ，1 ) ，所以妒固定这个三角形，从而有妒固定点旷1 又过点b ，1 ，c - l b ， 有唯一的6 - 圈( 1 ，b ，b 6 一，a - 1 c - 1 ，a c b ，c - l b 一，1 ) ，因此妒固定这个6 - 圈，从而妒固 定点c - l b ，进而妒固定点口6 ，即证妒点型固定集合正。由( 1 ) 可知妒= 1 同 理可证，任取妒a l ，茹t 2 ，且妒固定点z ，则妒= l ，即a l 。= 1 ，z t 2 由 i a l ：a 1 。i = j x a ，l 可知f a l l 4 又吃1 ，死2 ) a 1 ，故a 1 = a u t ( c ，死) = ( 仡l ，t 2 2 ) 鲁盈 】3 在乃上正则作用 图3 综合( 1 ) ，( 2 ) 可知x = c a y ( c ，死) 是正规c a y l e y 图，且a 。呈露在乃上正则 作用证毕 1 4 定理1 的证明由引理1 2 3 ，在a u t g 作用下，满足s = s 一1 且g = ( | s ) 的s 只有两个轨道，以五，死为代表元，易知对于同一轨道的任意两个s ，相 应的c a y l e y 图是同构的，故只需考虑矗，乃即可由引理2 1 1 ，引理2 1 2 知 c a y ( a ，t 1 ) ，c a y ( a ，t 2 ) 都是正规c a y l e y 图显然这两个图不同构，故定理1 成 立 证毕 1 5 2 2定理2 的证明 设h = ( a ，b a p 2 = b 3 = 1 ，a 6 = 0 7 ) ，其中r l ( m o d 矿) ，r 3 三l ( m o d 矿) ，3 l ( p 一1 ) ， 本节综合运用群论与组合技巧讨论了群日的4 度c a y l e y 图，得到如下结果： 定理2 设x = c a y ( h ，s ) 是群日关于子集s 的4 度c a y l e y 图，其中 h = ( a ，b a p 2 = 6 3 = 1 ，a 6 = 矿) ，r l ( m o dp 2 ) ，r 3 三l ( m o dp 2 ) ，3 1 ( p 1 ) ，p 为大于3 的 素数，则x 是正规c a y l e y 图，且同构于下列图之一t ( 1 ) c a y ( h ，死) ，其中t 3 = ，a ，b ，b - 1 ，且a 1 竺z 2 ； ( 2 ) c a y ( h ，乃) ，其中乃= ( 6 ，b ，a b ，a - r b - 1 ) ，且a 1 型历 下面引理2 2 1 ，引理2 2 2 是定理2 的主要证明 引理2 2 1 设x = c a y ( h ，t 3 ) 是群日关于乃的c a y l e y 图，其中 h = ( a ，b a r 3 = b 3 = 1 ，a 6 = 矿) ，r l ( m o dp 2 ) ，r 3 三l ( m o dp 2 ) ，3 1 ( p 一1 ) ，p 为大于3 的 素数，乃= o ，a ，b ，b - 1 ) ，则x = c a y ( h ，t 3 ) 是正规c a y l e y 图，且a 1 型易 证明( 1 ) 首先证明a 在乃上忠实作用，即对任意妒a 。，且妒i 码= 1 码，则 有l p = 1 对任意妒a 1 ，且妒l 乃= 1 死，则有妒分别固定点a ，a ，b ，b 。及其邻点集合 l ，n 2 ，a 一( r + 1 ) 6 ，a * b 一1 ) ，( 1 ，o 一2 ，a - r b 一1 ，a t + 1 6 ) ， 1 ，b - 1 ，a b ，a - 1 6 ) ，f 1 ，b ，a b 一1 ，a - l b 一1 ) ， 从而妒分别稳定集合 0 2 ，a - ( r + 1 ) 6 ，a * b _ 1 ) ， n - ，a - r b - 1 ，a r + 1 6 ) ， 曲，n _ 1 6 ) ， 0 6 ，口_ 1 b - 1 如图4 所示，因为过点a 有唯一的三角形( n ，a - ( r + 1 ) 6 ，a * b 一，n ) ，所以妒固定这个 三角形，从而妒固定点a 2 ，妒也稳定集合 8 一( r + 1 ) 6 ，a * b 一 若存在，y a 1 ，且7 i 乃= 1 t 3 ，使得( a - ( 州协) 1 = a * b ，那么7 互换这两个顶 点如图4 所示，因为过点1 ，a ，a - ( r + 1 ) 6 有唯一的6 - 圈( 1 ，a ，a - ( r + 1 ) 6 ，a - r b ，a - l b 一，b ， 1 ) ，且过点1 ，a ，a * b _ 1 有唯一的6 _ 圈( 1 ，a ，a * b ，a t + 1 b ，a - l b ，b ，1 ) ，因此，y 互换这两 个6 - 圈，从而( 6 - 1 y = b ，出现矛盾，故妒点型固定集合 o 一( 件1 ) 6 ，a * b - 1 ) ，从而妒 1 6 图4 1 7 点型固定集合 a 2 ，a - ( r + 1 ) 6 ，a b 一1 同理可证妒也点型固定集合 o ，a - r b ，a r + 1 ” 因为过点a ，1 ，b 有唯一的6 - 圈( 1 ，a ，8 7 6 ，a t + 1 b ，a - l b ，b ，1 ) ，所以妒固定这个 昏圈，从而妒固定点a - l b ，进而妒点型固定集合 a b ，a _ 1 ”同理可证妒点型固 定集合 口6 ，a - l b _ 1 综上即证妒点型固定集合 x 2 ( 1 ) = a 2 ，a - ( r + 1 ) b ，矿6 - 1 ，a b ，a b ，a b - 1 ，a - 1 b - 1 ，矿+ 1 b ，n 一，n 一2 ) 由c a y ( h ，t 3 ) 的连通性和点传递性可知妒= 1 这就说明了a t 在乃上忠实作 用 ( 2 ) 其次证明a 1 兰彩 设饥： a _ ，易知1 1 a u t ( e 死) a 1 ，且。( 7 1 ) ：2 对任意妒a 1 ， 【b 。b 有妒稳定集合t 3 = o ，a ，b ，b - 1 ) ，如图4 所示，因为过点1 有唯一的三角形 ( 1 ，b ，b ，1 ) ，所以妒固定这个三角形，从而妒稳定集合 6 6 1 ) 过点1 ，a 或者 1 ，a q 没有三角形，因此集合 o ，a - 1 ) 与 6 ，6 _ 1 ) 不可能在妒作用下从一个变为 另一个，所以a ，在死上非传递作用，从而a ，中不含3 阶元和4 阶元由( 1 ) 可得a ，同构于4 次对称群的子群 综上可知a 。只能同构于易或名，下面分别讨论： ( i ) 若a 1 竺z 2 ，则a = r ( h ) a 1 ，从而可知r ( h ) 鱼a ，即证x 是正规c a y l e y 图 ( i i ) 若a 1 型乏，则存在加l 乃= ( b ，b - 1 ) ，从而a 。= ( 7 - ) 怖) 由a = r ( h ) a 1 知i a l = 1 驴令n = a ( ( r ( a ) ) ) ，则有r ( h ) ：( ，y 1 ) n ，从而有i n l 6 p 2 ，下面分 两种情况进行讨论： 情形1 若i n i = 6 p 2 ，此时俾( n ) ) 塑n 且( 6 ，p 2 ) ；1 ，所以( 兄( o ) ) 是的特征 子群由l a ：n i = 2 可知n 璺a ，故有( r ( n ) ) 璺a ，出现矛盾，故l n i 6 p 2 情形2 若i nj = 1 2 p 2 ，则有( r ( o ) ) 宴a ，那么r ( p = r ( 口) ，i z 由于 x l ( b ) = 1 ，b 一，a b ，a - 1 6 ， 1 r x l ( b - 1 ) ； l ，b ，a b ，a - l b - 1 ， 由于7 2 互换b ，b ，所以x l ( b ) 7 ，= x l ( b - 1 ) ，即有 a b ，a - 1 6 ) 能= a b ，a - 1 b - 1 ) 此时我们断言：( n 6 ) 他= 0 6 一 事实上，若( 0 6 p a - l b 因为过点1 ，b ，曲有唯一的6 - 圈 ( 1 ，b ，曲，a 一( 件1 ) b - 1 ，a - r b ，a ，1 ) 过点1 ，b ，a - l b _ 1 有唯一的昏圈 ( 1 ，b ，a - l b ，a - , b ，a - ( r + 1 ) 6 ，a ，1 ) ， 所以蚀一定交换这两个6 _ 圈，从而( 口_ 1 p = a ，出现矛盾，故( 口6 p a - l b 设曲= b a 。，则有 k r 2 兰l ( m o d 矿) 由( 0 6 ) = 0 6 - 1 得 ( 0 6 ) 1 2 = ( b a 七) 加= 泸( 一) = ( b - 1 ) 似r ( 扩卜住= ( b - 1 ) 且( 。塘) = b - 1 a i k = 口让6 1 = a b 一1 由上式得 i k r 兰l ( m o dp 2 ) 又 a 7 2 = 1 r ( 。) 7 2 = t 1 2 r ( 。，= 1 r ( a 1 ) = a i = a 从而有注l ( m o d p 2 ) 由以上求得r 三l ( m o d p 2 ) ，出现矛盾，故l nj 1 2 p 2 ，即证a 。与霉不同构 综合( 1 ) ，( 2 ) 可知x = c a y ( h ，t 3 ) 是正规c a y l e y 图，且a 1 型z 2 证毕 引理2 2 2 设x = c a y ( h , t 4 ) 是群日关于子集乃的c a y l e y 图，其中 h = ( o ，b l a , = b 3 = 1 ，驴= r ) ，r 1 ( r o o d 矿) ，r 3 三1 ( r o o d 矿) ，3 i 扫一1 ) ，且p 为大于3 的素数，t 4 = 6 ，b - l , a b ，a - r b 一1 ) ，则x = c a y ( s ，t 4 ) 是正规c a y l e y 图，且a 1 鲁z 2 证明( 1 ) 首先证明a - 在五上忠实作用，即对任意妒a 。，且妒k = 1 死， 则有妒= 1 对任意妒a 1 ，且妒i 乃= 1 乃，则有妒分别固定点b ，b ，a b ，a - r b 一1 及其邻点集 合 1 9 l ，b - 1a b - 1 口1 ) ， 1 ，6 ，口，a r 6 ， l ，n 一b - 1 , a 一( r + 1 ) b - 1 , 矿， 1 ，a b ，o ，口州6 图5 从而妒分别稳定集合 如图5 所示，因为过点b ，1 ，a l b 一1 有唯一的6 - 圈( 1 ，b ，n 6 ，a - ( 件，a r + 1 b ，a - r b 一，1 ) ， 所以妒固定这个6 圈，从而妒固定点0 6 ，a r + l b ，进而妒点型固定集合 a b - 1 , a 1 ) ， 口，a r + 1 6 ) 同理可证妒点型固定集合 n ，a - r b ) ， n 一( 川) 6 一，a r ) 以上即证i p 点型固定集合x 2 ( 1 ) = a b - 1 ，a - - 7 ，口，a - r b ，a - ( r + 1 ) b - 1 ，矿，o ，a r + 1 b 由c a y ( h ，丑) 的连通性和点传递性知i p = 1 这就说明了a 。在乃上忠实作用 ( 2 ) 其次证明a 1 竺汤 设柏： 。，易知h u t ( g ，乃) a 1 ，且。h ) ：2 对任意妒a l ，z l b 。a b 噩，且妒固定点z 当z = b 时，首先妒稳定1 的邻点集合 6 ，b ，a b ，a - r b _ ，因 为过点1 ，b 有唯一的三角形( 1 ，b ，b - ，1 ) ，所以妒固定这个三角形，因而妒固定点 b 又因为过点b ，1 ，a - r b - 1 有唯一的6 _ 圈( 1 ，b ，口6 ，a - ( r + 1 ) ，a r + 1 b ，a - r b ，1 ) ，所以 妒固定这个6 - 圈，因而妒固定点a - r b - - ，进而妒也固定点0 6 ，即证妒点型固定 集合乃，由( 1 ) 可知妒= 1 同理可证当x = b ，凸6 ，a - r b - 1 时，同样有妒= 1 ，从而 有a ，。= 1 ，那么就有l a 。i 4 由( 1 ) 可知a ，同构于4 次对称群的一个子群又 协) a - ，故a - 只能同构于z 2 ，乏，历 下面分别讨论： ( i ) 若a 1 型z 2 ，由a = r ( h ) a 1 ，可得r ( h ) 旦a ，即证x 是正规c a y l e y 图 ( i i ) 若a 1 垒z l ，则存在讥l 乃= ( b ，b - 1 ) ( d 6 ，a - r b - 1 ) ，使得a 1 = ) 锄) 由 a = r ( h ) a 1 知i a i = 1 2 矿令n = 毗( ( r ( o ) ) ) ，则有r ( h ) ：) n ，从而有 i n f 6 p 2 以