（基础数学专业论文）随机dirichlet级数和b值随机dirichlet级数的一些性质.pdf

随机d i r i c h le l 级数嗣fb 一值随机d i r i c h l e 【级数的些性质 摘要 内容摘要：水文运用复分析、概率论及随机级数的知识与研究方法，研究了 两类随机d i r i c h l e t 级数的( p ，q ) ( r ) 型和两类b 一值随机d ir i c h l e t 级数的 ( p ，q ) ( r ) 级和( p q ) ( r ) 型，全文共分三个部分： 第一章：简单介绍本研究方向的发展历史，研究现状以及一些必要的预备知 识及其记号 第二章：研究了两类一般的随机d i r i c h l e t 级数的( p ，q ) ( r ) 型，并得出这两 类随机d i r i c h l e t 级数在全平面上的( nq ) ( r ) 型a s ( 几乎必然) 等于相应的 d i r i c h l e t 级数在全平面上的( p ，q ) ( r ) 型，以及在水平直线上和水平带形上的 ( p ，q ) ( r ) 型也乱s 。等于相应的d i r i c h l e t 级数在全平面上的( p q ) ( r ) 型 第三章：研究了两类一般的b 一值随机d i r i c h l e t 级数在全平面上的( p q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 型，并得出这两类b 一值随机d i r i c h l e t 级数在全平面上的( p q ) ( r ) 级和( p q ) ( r ) 型a s 等于相应的d i r i c h l e t 级数在全平面上的( p ，q ) ( r ) 级和 ( p ，q ) ( r ) 型 关键词：随机o ir ；c h i e t 级数，b 值随机d ir i c h i e t 级数，( p q ) ( r ) 级， ( p q ) ( r ) 型 随机d i ii 【h 1el 级数年i 值随机d i ljc h i 。l 级数的些性质 a b s t r a c t c o n t e n t ：i nt h j sp a p e r ，w ei n v c s t g a t c d h c ( p ，q ) ( r ) t y p co ft w o “n d so fr a n d o m d i r i c h l e ts e r i e sa n dt h e ( p ，q ) ( r ) o r d e ra n dt h e ( p ，q ) ( r ) t y p eo ft w ok i n d so fb - v a l u e d r a n d o md i r i c h l e ts e “e sb yu s et h em e t h o d so fc o m p l e xa n a l y s i s ，p m b a b j l i t ya n d r a n d o ms e r i e s t 1 1 et h e s i sc o n s 豳o ft h r e ep a n s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c e dt h eb r i e f h i s t o r y ，t h ep r e s e n tr e s e a r c h j n gs i t u a t i o no f m i sr e s e a r c hd i r c c t j o n ，a n ds o m ee s s e n t j a lp r e p a r a t i o nk n o w l e d g ea n ds y m b o l i n c h a p t e r2 ，w es t u d i e dt h e ( p ，q ) ( r ) t y p eo ft w ok i n d so fg e n e r a lr a n d o m d i r i c h l e ts e r i e s ，a i l do b t a i n e dt h e ( p ，q ) ( r ) t y p ei nw h o l ep l a n eo ft h e s et w ok i i l d so f r a n d o md j r i c h l e ts e r i e si sa l m o s ts u r e l ye q u a l f ot h e ( p ，q ) ( r ) i nw h o l ep l a n eo ft h e c o e s p o n d i n gd i r i c h l e ts e r i e s ，a sw e ua st h e ( p ，q ) ( r ) t y p ei nh o r i z o n t a ll i n ea n di n h o r i z o n t a lz o n ei sa l m o s ts u r e l ye q u a lt ot h e ( p ，q ) ( r ) t y p eo fm ec o r r e s p o n d i n g d c h l e ts e r j e si nw h o l ep l a n er e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r3 ，w es t u d i e dt h e ( p ，q ) ( r ) o r d e ra n dt h e ( p ，q ) ( r ) t y p ei nw h o l ep l a n eo f t w ok i n d so fg e n e r a lb v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ，孤do b t a i n e dt h e ( p ，q ) ( r ) o r d e ra n dt h e ( p ，q ) ( r ) t y p eo ft h e s et w ok i n d so fb v a l u e dr a n d o md i “c h l e ts e r j e si n w h o l ep l a n ei sa l m o s ts u r e l ye q u a l t ot h a to fc o r r e s p o n d i n gd i r i c h l e ts e r i e s k e yw o r d s ：f a n d o md i r j c h i e ts e f i e s ；b - v a l u e dr a n d o md i “c h i e ts e r i e s ；( p ，q ) ( r ) o r d e r ；( p ，q ) ( r ) t y p e 2 随机) | 【ic e l 级数硐ii jf j ! f 随机d i ic 1 1el 绒数的 些陀质 第一章引言与预备知识 随机级数最早足由e m ii el j o r e 【在1 8 9 6 勺：提出，但作为理论”究则始- j 二 l 世纪三 j 年代i l ，s t e i n h a u s ，r e a c 1 1 a j e y 及a z y g m u n d 发表的儿篇论文( 文 献 1 ) ，此后，存二十世纪血十年代至匕十年代，中外学者对随机级数作了许多 研究，并取得许多重要成果，这些成果对调和分析、复分析、分形几何等已产生 重要影响而对于随机d i r i c h l e t 级数的研究，是余家荣在1 9 7 8 年丌始的，他在 论文( 文献 2 ) 中系统地研究了随机d i r i c h l e t 级数表示的随机解析函数的增长 性和值分布，得到一系列经典的结果，并由此开始了收敛半平面内的研究二十 世纪七十年代至九十年代来，余家荣、孙道椿等国内数学专家对随机d i r i c h l e t 级数的收敛性、增长性、值分布作了大量的研究( 文献 2 卜 1 3 ) ，并得到一系列 创造性的结果此外，田范基等人还研究了系数和指数都是随机变量的双随机 d i r i c h l e t 级数( 文献 1 0 ， 1 4 ) 以及二重随机d i r i c h l e t 级数( 文献 1 5 ) 在 二十世纪末，田范基首先将d i r i c h l e t 级数的收敛性和增长性的+ 些成果推广到 b 一值脏r i c h l e t 级数及b 一值随机d i r h c l e t 级数上去( 文献 1 6 卜 1 8 ) ，并得 到许多重要成果由此开始了b 一值d i r i c h l e t 级数和b 一值随机d i r i c h l e t 级数 的研究 对于一般的d i r i c h l e t 级数 ，( s ) 。篆4 一e 一5 ， ( 1 - o ) 其中，o 九t + o 。， 口) c c ，s ；仃+ 疋口，f r 记q ，吒为级数( 1 o ) 的收敛 横坐标和绝对收敛横坐标，并记 f ( 口，) = s u 州，p + 蚓) p ，吼) ， m p ，) 1 1 搿蚓e “。) p ，4 ) ， 分别称为级数( 1 o ) 的最大模和最大项 对于非常数整函数( 1 o ) ，令 御( m ) ；甄锴( m 为整数，嗍圳 其中，e x p 。1 石哥l o g 叫x = z ， e x + 1 1 x = e x p e x p t ) ，l o g m l 工= l o 酣l o 矿1 工 ， e x p h 】x = l o g 【- 州工 定义11 ”如果p ( p 一1 ，q 一1 ) = 0 或+ m ( p2 口1 ) ，而6cp ( p ，q ) c + o 。( 这 里p = q 时，6 = 1 ：p ，q 时，6 = 0 ) ，则称整函数厂( s ) 有指数对：如果，( s ) 有 指数对( p ，q ) ，则称p = p ( p ，口) 为，( 5 ) 的( p ，q ) ( 1 ) 级 定义12 。“ 若整函数厂( 5 ) f j ( p ，们( r ) 绒p ：p ( p q ) ( 6 ，j o l ( ) ) ， 日 州( 盯，o ，) ) ；r ：笋q n 。j l z 。( ) e 一。) ( 口，盯。( ) ) 咖) ；甄业紫 丁c 咖亘等辫 对级数( 1 3 ) 可以类似定义其最大模m p ，凡( s ) ) ，最大项p ，九o ) ) ，( p ，q ) ( r ) 级几和( p ，q ) ( r ) 型瓦 52 _ 2 级数厂( s ，。) 2 乏n z 。( m ) e - 如的( p ，q ) ( r ) 型 2 2 1 引理 目l 理2 1 3 若z 。( ) 满足：j a o ，口 o ，f 乒得 随机d iji 曲】el 级数嗣lb 值随机d i r l ch 】级数的些性质 s u p e | z ，l “) m a x 兰， ，。，e ( ) 为数学期望 o口 见文 2 2 p 1 2 7 引理6 6 1 注：记号a s 表示几乎必然 引理2 2 呲1 设级数( 1 2 ) 满足条件( 1 1 ) 和( 2 1 ) ，则q ( ) = 吼一。a _ s 见文 2 2 p 1 2 8 定理6 6 1 引理2 3 m 3 设级数( 1 2 ) 满足条件( 1 1 ) 和条件( 2 1 ) ，则，o ，) a s 与，( 5 ) 有相同的( p ，q ) ( r ) 级，即 p ( ) = p a s 见文 2 2 p 1 3 3 定理6 6 4 引理2 4 嘲( p a l e y z y g m u n d 不等式) 设 乞) ) 是概率空间( q ，一4 ，尸) 上独 立同分布的复随机变量序列，且它们的数学期望彪。= o ，方差e 阮1 2 = 吼2 ) - o ， 则v 日a ，存在b b 旧，盯2 ) o ，k 五( 日， z 。) ) ，使得对任何序列 口。) c c ，v k 有 i 1 2 一 吼薹。邸叫尸。种一1 2 2 2 2 定理及其证明 定理21 在引理2 3 和定理b 的条件下，级数( 1 2 ) 所确定的整函数 ，( s ，“) a s 与级数( 1 0 ) 所确定的整函数，( s ) 有相同的( p ，q ) ( r ) 型，即 证明： 龇城引1 1 溅町缶日匦挈一，再由定理b 7 ( ) = 朋( ) y ( ) ，其中， 堕! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 丝垫型! ! 二堕堕型! 堕! ! ! ! ! ! 坐丝塑堕二竺型塑l 一 矿( 。) ：而j 鲨塑 _ 一， ( 1 0 k z ，( m ) f ) 附。 m ) 。 ；_ _ ， 当p ：1 ，q ：o 时 p p ( ) 中”1 。 巡喾，邬：删时； p ( m ) “叫 11 1 ，当2 s q p 时； 由引理2 3 ，p ( ) = pa s ，则 p = 叮= 1 其他 y ( 。) ：而j 壁兰乞一。且，m ( 。) ：m a s ， ( 1 0 9 川k z 。( ) 医) 州 由( 2 2 ) 式及d ；0 可得 m 净甄慧2 囊蒜斋一s ，( 1 0 ( 训h ) y “ ( 1 0 ) 一 m 净甄慧。甄嵩斋一_ s ( 1 0 9 9 1 ( 1 拉。l 圯一。) ) 9 一。 【l o g i 口一l - ) 。1 故y ( ) = 矿a s 所以，丁( ) = j 】l ，( 少( ) = = r a s 定理2 2 设级数( 1 2 ) 满足引理2 3 和引理2 4 的条件，d = 0 ，且有 ( p ，q ) ( r ) 级p ( 甜) 和( p jq ) ( r ) 型r ( ) ，则对v f 月，有 甄筹鬻拶= 丁躺 其中，m 。p + 打，m ) = s u p 目，扛+ 站，m ) ，这表明，( s ，) 在任何水平线上的( p q ) ( r ) m 型a s 与厂( s ，) 、，( s ) 在全平面上的( p ，q ) ( r ) 型相同 证明：当p ；1 ，q = o 时，即证 厘堕攀筹型：丁a s n 口”， 显然，m 。p + f f ，) s m p ，( 5 ，甜) ) 再由( p q ) ( r ) 型的定义和定理2 1 ，有 面生丝黑竺型；面生丝亟掣；丁( 。) ：r 。s n 。 p 一【“j 一。 p 一_ “) 、7 随机1 ) i li c | 1 l “级数年b 值随机i j i tich l “级数的 “j 陡顾 令g 书：甄型掣c 7 1 ， 口口o 、 尸( g ) ，0 ，墩瓦t 丁ro ，盯。 一。， g = u u 和 因此存在一固定m 。，女。，使得 ，则g 所以 需证明j p ( g ) = 0 设 则 堕掣掣。t ，口。吒 口一印( ) 女。 p ( 甜：堕攀筹型c 瓦。小吒。 ) o 令h 昌扣：卫鲤鲁掣 k ，v h ， 当一盯充分大时 b 。薹。i n 。1 2 e - 2 凡。s j ：l 薹，n 。z 。( 。) e 一- 扣+ i f ，1 2 p ( d 。- ) 令一m ，则 口。孙n p 印sj ：= r l 他+ 一磊n z 扣芦删| p ” k l s 砺l 础硝删咖碥黔z 和矽，卜删 北e x p 甄p ”扣) ) + 玑| 荟4 n z 和) e “扣“| p 。 而玑良引妒，1 2 p s 强( 扣啦一z 删m ) s 2 ( k 滕酬扣却) 2 正( 耋陬m ) | ) 2 ：p ( m ) 由2 _ 2 式可知，丘( 荟陬) 1 ) 2 尸沏) ( + ，所以 k1 2 玑t z 川e 也扣”f 蹦小d ( e x p 2 v m ”m p m ) 所以，存存常数c 使得 o 随机d ir ic h le t 绒数干b 一佰| 8 1 机d jr ic h l c l 级数的砦忡质 剖n n p 和蚂e x p 甄e q 因此，级数。善。k f 2 e 。2 ”的( p ，q ) ( r ) 型 。；而! ! ! 坠竺氅! 型：里 m ”口一十j 但另方面，由定理a ，级数艺k 1 2 e 。2 巾的( p ，q ) ( r ) 级 h k + 1 b = 甄贽一匦亡耳：p 瓦1 0 8 耵万1 0 9 阳 再由定理b ，级数罗k 1 2 p 。2 枷的( p ，q ) ( r ) 型 。瓤1 r ：士匦与：上面与；土而三生；2 r 8 岛吒) 费8 。p d i z ) 薏e p ：戈k 斥“ 这与( 2 3 ) 式矛盾。所以p ( g ) = o ，即 毫塑掣。丁蛐 一 n ， 当p ；q 1 时，即证 甄堕掣；丁a s 一” f 一盯1 p ( 。j 一 显然，m ，p + f f ，m ) m p ，( s ，) ) 再由( p q ) ( r ) 型的定义和定理2 1 ，有 甄警s 厘等等掣叫小h s 令g 啪：亘等等掣c m 帅所以只需证帅g 设 j p ( g ) 0 ，取五tr ，o ，4 一* ，则 g = 0 鱼 m ：生鲨号掣。瓦，仃。) 1 m 。li 一口j j 、 ”。 随机r ic h le t 绒数干| 3 _ 值随机d i r ic h lc 【级数的一些性j 贞 因此存缸一到定”k ，k 。，使得 尸( m ：坚堡訾c i 矿。c ) ，。 令h = ：里堡掣c 瓦 盯c 盯。) ，那么v m h ，v 。c 仃。，有 肘1 ( 口+ 打，) o ，k = k ( h ， z 。) ) ，对v k ，v h ， 当一口充分大时 口。薹，1 n 。1 2e 一2 。s j ：，i 。薹，n 。z 。c 。，e 一- ( 口+ n ，1 2 p c d n ， 令一。，则 嚷，k 卜馘i 他砌川一缸孙矿“1 泌甜， s 砺i 他砌，酬2 州咖强静引咖一n ，| 2 p 蹦x p z 瓦( 训咖) ) + 诅良孙芦r 卜甜) x i k 而矾| 荟。n 乙 ) e “沁“1p 甜) 玑( 荟k z 。( 甜) 忙“。) 2 尸似m ) 2 似滕蚓扣吨。) 2 正( 荟陬彬p ( ) 由2 2 式可知，上( 磊l z “( ) 1 ) 2 p ( m ) j v ，v 甜舟， 当一j 充分大时 口。种肛2 _ 5 n 弘五( 咖咄扣“”l 删毗 令一。，则 占。蠢，k 卜4 扣s l i ，p + 以甜) 一囊n 。乙( m ) e 吨p 州1 2 尸( d ) 诅l 旭“酬2 删咖玑z 咖“忙“l 删m ) i 石i o 观c x p 2 e x 刚矿”( 可俨协+ 弧i 乏略知矽“”叫卜) l 耳l 利用( 2 2 ) 式，对玑l 囊n 。乞 ) e k ( 叩1 2p 似) 估计有 玑j 羹巳乙) e 一( 盯+ 哪1 2 p ( d m ) = 。( e x p 2 e x p 1 ， 气( 1 。扩。】( _ 盯) ) m ，) ) ) 所以，存在常数c 1 ，使得 剁n n p 。sc 1e x p 2 e x ( 1 。矿叫( 一删舢 ) 因此，级数。蒌，k 1 2 e 2 扣的( p j q ) ( r ) 型 rs 愿型坠篙搿黑筹塑吨。丁j ) 一。( 1 0 矿1 ( 一盯) ) 小1 。一 但另方面由定理“ 级数，蒌，k i ! e 。扣的( p ，c i ) ( f ) 绒 陛盟! ! ! ! ! ! ! ! ! 丝垫型鳖篁堕! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 丝塑塑些壁! 堕 再由定理b ，级数yk 1 2e 。巾的( p ，q ) ( r ) 型 j 。：丽! 竺建当三冬! ；而生竺! 三弛；而生兰 卜；r 。且 ”( 1 0 9 蚓嚣) “( 1 0 9 川云) 一( 蚓- 1 川吾) 9 这与( 2 5 ) 式矛盾所以尸( g ) = 0 ，即 甄描笔拶= 丁a s 综合0 ，知定理成立 取r 中稠密的可数集p ( 例如p 。 为有理数集) ，这样就有 推论在定理2 2 的条件下，存在e 满足p ( e ) = 1 ，对v e 及任何实数卢 及y ，p 的任何子序列 z 。 有 p 哂( z 等) _ 1 它表明 i 乙。 ) 中有无穷项不小于要口。 见文 2 2 p 1 3 4 引理6 7 1 引理2 6 “设级数( 1 3 ) 满足： 而挈；d 。坞面墼：一。， ( 2 9 ) 则吼( ) = 吒( ) = 吼( 珊) = 一。a s 见文 2 2 p 1 3 7 定理6 7 1 引理2 7 。”若级数( 1 3 ) 满足条件( 2 7 ) 和条件( 2 9 ) ，则级数( 1 3 ) a s 与 级数( 2 6 ) 有相同的( p ，q ) ( r ) 级，即 p 。；p = p ( 工) a s 其中，p 0 ) 定义同定理a ， l 叫m ) = 甄热( 删胆1 ，g 锄 l o ( l o g 三) 见文 2 2 p 1 4 5 定理6 7 5 引理28 “ ( p a l e y z y g m u n d ) 设 z 。) 是概率空间( q ，爿，p ) 上独立的随机变 彭盯它们的数学期她，o 助赴阱咆2 o 拈i n f 似卧叫弘o ， 则对v h 月，p ) ) 0 ，存在t f 数b ；b ( d ，h ) ，k = ， z 。) ) ，使得对任 何复数列住：) ，及任何自然数口与q ，p ，q k ，恒自 随机d j i l c h l e t 级数剌b 一值随机) “l c h lel 级数的一! j 性质 l i 艺瞩( m ) 1 删小口龇阿 3 q”2 9 见文 2 2 1 3 9 引理6 7 4 2 3 2 定理及其证明 定理2 3 在引理2 7 的条件下，d = o ，级数( 1 3 ) 所确定的整函数凡( 5 ) a s 与级数( 2 6 ) 所确定的整函数g ( s ) 有相同的( p ，q ) ( r ) 型，即 瓦= 丁= m y a s 其中， 肚甄意专一s 霖， ( 1 0 扩吒) ”“ o m ； 三，黝：1 ，口：时 11 。4 掣，邬。g ：埘； 0 1 p ? j p q 一1 1 ， 当2 5 日s p 时； 证明：的s 吣。腻碱燕掣一，再由定理e 瓦一j 】l f 。屹，其中， 圪一厦忘薏拓一忙瓣， ( 1 0 9 j z 。( m ) 岳) 一”一。 一其他 m 。= 由引理2 7 ，几= p a s ，则 ，当j 口。1 ，口：o 时 e 成 剐”q “”1 掣，邬：q ：埘： p ”? 一f 、 1 当2 qs p 时； 圪= 匦堡= a s ，m 。= m ，a s 一2 ( 1 0 9 i z 。( ) 府) ，。一 “ 由( 2 8 ) 式及d = 0 ，可得 随机d “i 。h l el 级数年b 值随机d lr i c h l c t 级数的些性质 另设 1 i m 屹；匦业等一：匦 ( 1 0 9 1 4 1 ( ，) ) ”。 l o 扩一”。 ( 1 0 q ：) 9 “ o 。 。l o 一1 2 受二 ( 1 0 口。) ” 由引理2 5 ， i z 。( ) 含有一子列 i z ，( 甜) 满足 p ( 画概，卜鲁， ) _ ， 所以 k ：面土竺驾一：而 小船i 高叫鳃。( 1 0 9 h l k ，( m ) f ) 9 。4 。 ：而鲨：墨：圳m = l l m ：= 一= j l m j一二l i _ ( 1 0 吒。一4 l o 旷1 1 ， ( 1 。g 每，) 石) 小 l o g 九 i y a s 故圪= y a s 所以，l ；m 。圪。m y = r a s 定理2 4 设级数( 1 3 ) 满足引理2 7 和引理2 8 的条件，d ：0 ，且有 ( p ，q ) ( r ) 级几和( p ，q ) ( r ) 型l ，则对v f r ，有 匿篆簿掣叫a s 其中，m ：p + n ，m ) ，s u p d 丘o + 刮 ，这表明l ( 5 ) 在任何水平线上的( p ，q ) ( r ) 型a s 与丸( s ) 、占o ) 在全平面上的( p ，q ) ( r ) 型相同 证明： 当p q 2 时，显然，m 2 p + 豇，) s m ( 盯，无o ) ) 再由( p ，q ) ( r ) 型的定义和定理2 3 ，有 甄毪薄铲s 甄 令g 却：甄辫c ，肿乩所以只需证嬲g 设 p ( g ) 0 ，取正t7 。，o ，q j 一* ，则 堕! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 丝塑型! ：堕堕翌! ! ! 生! ! ! ! ! 丝塑塑竺壁堕二一 g = 姒川锩簿铲c 瓦女= l m = l 、1 ”旨、， 因此存在一固定m 。，。，使得 p ( m ：生菁芝糌c 瓦。，盯c 。) ) ，。 令日；佃：号意筹c 氏，仃c 吒。_ 那么v m ，v 仃c 。，有 肘2 ( 仃+ 打，) k + 1 ，当一盯充分 大时，恒有 口。蚤。乖。2 扣“荟。z 和弦以扣“l 以幽) 令k 一o 。，则 b 。塞，吼2 e 铂。sj ：= r i 凡p + 一薹z 。和妒 1 2 p ， 。5 诅纵川圳2 p + 珥i 弘( 妒，1 2 尸 北e x p 2 c x w ( 1 时。卜嗍+ 碥j 磊z 和) e “扣“。| p q 利用引理2 - 5 的结果及定理2 2 的方法，对玩l 磊z n ( 弦“1 f p ( d ) 进行估计 xi o 则存在常数e ，使得 罗仃。2 p - 2 凡。sge x p 2 e x p 9 - 1 1 瓦( 1 0 9 4 - 1 1 ( 一盯) ) 儿 。毒昨1 ” 因此，级数罗吼2 e 。和的( p ，q ) ( r ) 型 ”：矗1 。；面壁塑竺粤墼掣坐型：业：瓦，。7 _ “( 2 i o ) f 儿f n 7 = = ? 一= 。 o l ( 甜) ) ， m ( 盯， o ，) ) 一- ：紫钏n 。工。( ) l l e 一。) ( 盯，。( 甜) ) ， 咖，；厘警辫， 即，= 厘辫 其中，为b 中的范数 类似可以定义级数( 1 5 ) 的最大模m p ， 。o ) ) ，最大项m p ，心o ) ) ，( p ，q ) ( r ) 级几和( p ，q ) ( r ) 型l 3 - 2 级数 ( 5 ，“) = 以x 。( m ) e 瑚的( p ，q ) ( r ) 级和( p q ) ( r ) 型 在这节我们将讨论级数( 1 4 ) ，其中 x ，( ) 是定义在某一概率空问 随机d i r l 曲le t 级数用i j 们随机d ir l c 1 l 。t 级数的些陛质 f q ，4 ，p ) 卜嫩值于复b a n ；t c h 宅问b 的独立同分布的随机变量序列 引入辅助级数 w ( s ) 2 沙肛和， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 其中， 九) ，同前，c b ，并记级数( 3 1 ) 的最大模和最大项分别为m p ，v ) 和 m p ，v ) ，( p ，q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 型分别为凤和l 记级数( 3 2 ) 的最大模和最大 项分别为m p ，w ) 和肌p ，w ) ，( p ，q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 型分别为n 和l 显然，由 最大项定义有m p ，v ) = 棚p ，w ) 3 2 1 引理 引理3 p 1 若级数( 3 1 ) 满足条件： 面罂。d 。+ 。，面坚必一。， ( 3 3 ) 。” 且有( p ，q ) ( r ) 级n ，则“一p 。) 其中p ( q ) 定义同前 扣匦岛 l o g 抽1 ( l o g 志) 引理3 2 ”若j 口，卢，o ，使得b 一值随机元序列 z 。( ) ) 满足： s u p e i 以( 甜) c 。，s u p e l 以( 珊) 扩4tm ， ( 3 4 ) 则v qa s ，耕( ) o 及常数k 。 o ，使得v ( ) 有h “。x 。( 叻1 f ，l h 引理3 3 若级数( 1 4 ) 满足条件( 1 1 ) ，且 x 。( ) 满足条件( 3 4 ) ，那么 q ( ) = q = 一。a s 证明由引理3 2 和瞻“r d n 公式， q ( 。) ；际劂掣+ 而罂 一。 随机l j i r i c h le t 级数引b 一值随机u l n c h l ec 级数的些性质 ；丽坚鲥+ 丽( 女。挈) + d 一。 ， 一。 s 一+ 七，、d + d = 一a s i 园此口。( ) = 一o 。a s 引理3 4 。”在条件( 3 3 ) 下，级数( 3 1 ) 与级数( 3 2 ) 有相同的( p q ) ( r ) 级 即： 风钒= 厘帮= 甄帮 引理3 5 ”7 1 设级数( 3 1 ) 满足条件( 3 3 ) ，则对v s ，0 ，有 m ( 口，v ) sm ( 口，v ) 蔓k ( ) 卅( 一一，p ) m ( 仃，v ) 王朋7 ( 口，w ) s k 0 ) m ( d e 一，v ) 其中k ( 8 ) 是与有关的常数 引理3 6 若级数( 3 1 ) 满足条件( 3 3 ) ，且有( p ，q ) ( r ) 级a 和( p ，q ) ( r ) 型 瓦，而且d ；o ，则瓦= 肘。k 其中， 彘= 厩蒜一忙嚣。1 ( 1 0 9 君) 纠 【o 具他 m = 土， 当p ：1 羽：o b 寸，j p 一v 一 e p 。 哮，酆，州时； n n 叫。呵 ”u 1 ，当2 s qe p 时； 证明由定理b ，l = m 。k ，其中 圪= 甄慧一恼嚣卅 ( 1 0 9 忆喃”。 【o 其他 随机d i r l c h i e t 缏数剌j 卜值随机u i f ic l l e t 级数的u 讣l 质 m 。= 已p 。 ( 几一1 ) “ p p 1 “牺= 1 ，q = o 时 当p ；q = 1 时； 当2 s qsp 时； 由引理3 4 ，n = 以，所以k = k ，肘。= m 。再由定理b ，则有 l ；肘。屹；m ，k ( 3 5 ) 另由nz 以和引理3 5 以及( p ，q ) ( r ) 型的定义易得互；l 再由( 3 5 ) ，则 定理3 1 若级数( 1 4 ) 满足条件( 1 1 ) 和条件( 3 4 ) ，那么级数( 1 4 ) 所确定 的整函数 o ，) a s 与级数( 1 0 ) 所确定的整函数，( s ) 有相同的( p ，q ) ( r ) 级，即 其中，p 犯) 定义同定理a 证明 由引理3 3 ，级数( 3 3 ) 在全平面上收敛，所以由引理3 2 ， 川诬蒜咂莓茜蛐， h m ) ；i i i ： 禹2 三a f s 匕“p ) i 五j ：；i ；耘苫i 戛i ：i 专奄2 三a s 另外，由引理3 2 和条件( 1 1 ) 易得，而掣= 一所以由引珲3 1 可 堕塑! ! ! ! ! ! ! ! ! 丝墼型! ：堕些! ! 堕! ! ! ! ! ! ! 丝垫塑：些垡堕 得，j d ( ) = p q 。) ，再由( 3 6 ) 式便可得 p ( ( 【j ) = p ( l m 叭) = p ( ) 罩f ) a s 定理3 2 在定理3 1 的条件下，且d = o ，则级数( 1 4 ) 所确定的整函灵数 ，l ( 5 ，m ) a s 与级数( 1 o ) 所确定的整函数，( s ) 有相同的( p ，q ) ( r ) 型，即 证明蚓般z 滁籼，) 勰甄掣一，所以蚓船e ， 丁( 甜) = 朋( ) y ( ) ，其中， 咐，。匦面赫一尽鬟，”( 1 0 9 慨x 。( 圳i i ) 附m 【”别融 m ) = ，兰争s 1 ，q = 0 日寸； p p ( ) 。 继喾，勘；g ：耐 p ( ) 9 ( 叫 41 1 ， 当2 g p 时 由定理3 1 ，p ( 甜) 一pa s ，则 y ( 珊) ：面j 壁兰一。，m ( ) 。m 。矗， ( 1 0 9 9 1l i o 。x 。( m ) l 若) 一4 由引理3 2 及d t o 可得 脚) s 匦型斗 ( 1 0 9 9 1 ( 1 口。l ，l 如) ) 9 一。 ：丽：! ! 坐坚；y 。矗 ( 1 0 川i ) 州 y ( 咖而芝廷广：面j 鲨擎：y 。 ”4 ”( 1 。g 【- 1 ( k 。 ，l h ) i ) 一一一( 1 。g 9 1 f 4 。j i ) 9 一“ 故矿( ) = 矿a s 所以，r ( 甜) 盘m ( 甜少( m ) = m