（基础数学专业论文）具有可换对合的流形的协边分类.pdf

中文摘要 本论文共分三章 第一章，讨论不动点集为有限个实射影空间r p ( 3 ) 与四元数射影空间h p ( k ) 乘积 的并的对合的协边分类 设( m ，t ) 是一个具有光滑对合t ：m 一+ m 的光滑闭流形，对合的不动点集为 f = 缸m t ( x ) = z 】当不动点集f = ur r ( 3 ) h 只( 七) 时，我们说明了对合的 存在性，并通过巧妙地构造合适的对称多项式和计算示性数等证明每一个对合协边 第二章，讨论不动点集为uc 只( 1 ) h 只( n ) 的对合的协边分类，其中c p ( 1 ) 和 h p ( n ) 分别表示1 维复射影空间和n 维四元数射影空间 设( m ，t ) 是个具有光滑对合t 的光滑闭流形，丁的不动点集为f = uc 只( 1 ) 日只( 佗) 在本章中，我们说明了对合的存在性，并通过巧妙地构造合适的对称多项式和 计算示性数等证明每一个以uc 只( 1 ) xh 只( n ) 为不动点集的对合协边 第三章，讨论不动点集为冗p ( 2 m + 1 ) ur p ( 2 n + 1 ) 的( 历) 2 作用 设圣：( 易) 2 m _ m 是群( 易) 2 = 正，死j 2 = 1 ( i = 1 ，2 ) ，互t 2 = 乃正) 在光滑闭流形m 上的作用令t 3 = 噩t 2 圣的不动点数据是( r ；l ，e 2 ，3 ) ，其中 r = z m i t i ( x ) = z ，i = 1 ，2 ，3 ) 是闭流形，幺是r 在黾= 【z m i 正( z ) = z 中 的法丛，i = 1 ，2 ，3 在本章中，我们证明如下结果：设( m ，西) 是具有( 易) 2 作用的光滑闭流形，西的不 动点集r = r p ( 2 m + 1 ) u r p ( 2 n + 1 ) ，其中r p ( 2 m + 1 ) 和r p ( 2 n + 1 ) 分别是2 m + 1 维和2 礼+ 1 维实射影空间令 ( 兄p ( 2 m + 1 ) ；p 1 ，p 2 ，p 3 ) u ( r p ( 2 n + 1 ) ；2 1 ，忱，魄) 是垂的不动点数据如果至少有两个地的维数大于2 m + 1 ，至少有个的维数大于 2 几+ 1 ，其中m 礼，那么( m ，圣) 等变协边 关键词：对合不动点集示性类协边类( 忍) 2 - 作用 m a b s t r a c t 。i h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ed i s c u s st h ei n v o l u t i o n sf i x i n gt h ed i s j o i n tu n i o no f p r o d u c to f r e a lp r o j e c t i v es p a c e 即( 3 ) w i t ht h eq u a t e m i o n i cp r o j e c t i v es p a c eh p ( k ) l e t ( m ，t ) b eas m o o t hc l o s e dm a n i f o l dw i t has m o o t hi n v o l u t i o nt ：m 叫m m w h o s ef i x e dp o i n ts e ti sf f o rf = u r 只( 3 ) x 日r ( ) ，w es h o wt h ee x i s t e n c eo fi n - v o l u t i o n sa n dp r o v et h a te v e r yi n v o l u t i o nb o u n d sb yc o n s 仃u c t i n gi n g e n i o u s l ys y m m e t r i c p o l y n o m i a la n dc o m p u t i n g c h a r a c t e r i s t i cn u m b e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ed i s c u s st h ei n v o l u t i o n sf i x i n gu c 只( 1 ) x 日只( 礼) ，w h e r e c p ( 1 ) a n dh p ( n ) d e n o t et h e1 - d i m e n s i o n a lc o m p l e xp r o j e c t i v es p a c ea n d 礼一d i m e n s i o n a l q u a t e r n i o n i cp r o j e c t i v es p a c er e s p e c t i v e l y , l e t ( m ，t ) b ea s m o o t hc l o s e dm a n i f o l d 诵t 1 1as m o o t hi n v o l u t i o ntw h o s e 戗e dp o i n t s e ti sf = u c 只( 1 ) h 只( 礼) i nt h i sc h a p t e r , w es h o wt h ee x i s t e n c eo f i n v o l u t i o n sf i x i n g i - - - - 1 m uc 只( 1 ) xh 只( n ) a n dp r o v et h a te v e r yi n v o l u t i o nb o u n d sb yc o n s t r u c t i n gi n g e n i o u s l y s y m m e t r i cp o l y n o m i a la n dc o m p u t i n gc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r i nt h et h i r dc h a p t e r , w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fc o m m u t i n gi n v o l u t i o n sw i t hf i x e dp o i n t s e t r p ( 2 m + 1 ) u r p ( 2 n + 1 ) l e t 西：( z 2 ) 2xm _mb cas m o o t ha c t i o no ft h eg r o u p ( 忍) 2 = 丑，死i 砰= 1 ，五t 2 = 乃丑】o nas m o o t hc l o s e dm a n i f o l dm l e tt 3 = 五t 2 砧ef i x e dp o i n td a t ao f 圣i s ( ，k ；8 1 ，5 2 ，e 3 ) ，w h e r ej k = z m i 正( z ) = z ，i = l ，2 ，3 ) i sac l o s e dm a n i f o l d ，e ii s t h en o r m a lb u n d l eo f f li nj k = 1 ) ，那么 ( m 4 k + a 竹，t ) 协边 1 2 预备知识 为了证明定理，我们先回忆文 3 8 ， 4 7 和 3 】中已有的一些结果 设m ，n 是两个正数由文 4 7 】知( ：) 三1 ( m o d2 ) 当且仅当礼的二进制分解项是 m 的二进制分解项 为了分析以u 冗最( 3 ) 且r ( 七) 为不动点集的对合的法丛的可能情况，首要的问 题就是研究r 只( 3 ) 日只( 七) 上向量丛的全s t i e f e l w h i t n e y 类为此，李京艳博士在文 3 8 】中给出了以下结论： 引理1 2 11 3 8 】每个即( ) h p ( k ) 上向量丛f 的全s t i e f e l w h i t n e y 类有下列 形式 ( f ) = ( 1 + 口) 口( 1 + 卢) 矿( 1 + 口4 + p ) ( 1 + p 华) 5 ， 7 其中q 1 - 1 1 ( r p ( 九) ；邑) ，p h 4 ( h p ( k ) ；易) 是生成元e = o 或1 若e = 1 ，必有 ii = 2 j ( 2 9 + 1 ) ， j 2 ， h = ( 勾- 4 - 1 ) + 。，0 。 ， i4 k = 2 一2 j ( 2 9 + 1 ) + 暑，o 可 m 叛( ，七，i 2 ，如) ，我们有( 1 + 口) 2 = ( 1 - 1 - 卢) 2 = 1 由口 胪 r p ( h ) x h p ( k ) 】= 1 知 西i 【冗p ( 危) 日p ( 七) 】= 洁罄釜铲【r p ( ) 日尸( 七) 】 = 口- ( 1 + a ) 2 一。z ( 1 - 4 - p ) 2 咖【r p ( ) h p ( k ) 】 = ( 訾) ( 哿) 引理1 2 7 设p 【仇，t 】表示历上m m 矩阵，它的第i 行第歹列的元素是二项式 系数叼：f2 + i + j ，一2 ) ( 1 i m ，1 j m ) 那么尸m ，司是非奇异的 j j 证明当t = 0 时， p m ，0 】= 0 0 1 0 2 0 1 1 2 1 3 1 2 2 3 2 4 2 m 一1 仇一1 m m 一1 m + 1 m 一1 ” ( 2 譬) 对于1 4 k + 3 ) 是个以f = ur 只( 3 ) h n ( k ) 为不动点集的 对合，由文 3 知此对合协边 1 0 如果r = 4 k - i - 3 ，e h 文 3 】知( 俨七+ 斯，t ) = ( f f it w i s t ) 因此对合存在且协逝 如果8 r 4 k + 3 ，我们将证明以u 冗只( 3 ) x - 只( 七) 为不动点集的对合存在且 协边证明分两种情况：回危= 2 a 一2 ，四k = 2 a 一1 回七= 2 a 一2 ( 8 r 4 k + 3 ) 的情况 这一节中，我们将主要利用引理1 2 3 和引理1 2 5 去证明以ur 只( 3 ) xh r ( 后) 为不动点集的对合存在且协边 根据引理1 2 3 ，我们可得 ( ) 弛) m = ( 以曩。踹+ ( q ，踹【列 + ( 以，聂。商猕 只】+ ( q ，豪d 面旷( 1 + i 【l v 例z ) 一r f , 一1( o t ，银0 3 ( 1 + 口) q ( 1 + 硝卜。( o ，银d ( 1 + a j - i 【l 例” + ，三矗黼吼 。“，银d 5 ( 1 + 口) b ( 1 + 卢) 叭q r 如果( 啦，玩) 0 5 ，那么加( 巧) = ( 1 + q ) q ( 1 + p ) h ，w ( r p ( 3 ) x i i p ( ( k ) ) = ( 1 + p ) 知“ 由于每一个a i 是偶数，t ( 嵋) 只包含口的偶次幂，因此嵋的所有示性数是零，巧协逝 对于任何对称多项式，都有 ，。斋崭吲一o “磊d 5 ( 1 + 口) q ( 1 + p ) 副q 1 “ 为了得到定理，下面我们将证明o l = 0 2 = 0 3 = 0 4 = d 命题1 3 10 1 = d 证明若0 1 d 令6 = m a x b , l ( o ，6 i ) o i 我们将推得矛盾由于每个是偶 数且6 2 a 一1 ，因此玩s2 a 一2 ：七因为+ 3 ( 嵋) ：口3f 仇l 眇o ，且6 七， 6 i 我们有d i m ( 巧) = r 4 b , + 3 由于r 4 k - i - 3 ，所以每个岛满足0 6 t 后 令以( 。) = u i ( x ) 一 g c z ，= 畦c z ，一( r ：1 ) 卜 ( ：) ，呓c 。，= 眈c z ，一( c r i ( z ) ，l ( z ) = 以( z ) 一t - 1 1 卜卜 i 4 p一砰 一、， 动 心 “ 一2 口 r = 功 卜 ， 口 礤 纶 、-、， 由引理1 2 4 得 c 嵋_ 唧邶酬= 尝三蒎 其中表达式是用( 嵋) 和哟( 口- r ) 的s d e f d - w h i m o v 类来代替基本对称多项式o - j ( y ) 和乃( z ) 。 类似地，我们有 和 4 ( 1 + t , 名) ( 嵋_ r p i ( 3 ) 日最( 七) ) rr 一1 、口+ 口2 ， 汜 |i 1 j 池，b i ) 0 1u0 2 ， ( o i ，b 1 ) 0 3 u 0 4 ， 0 t 3 + 卢，( q ，玩) 0 1 ， 扩， “，6 ) 0 2 ，c z ，= 0 3 3 1 1 r r + + 酗 衅 =、lj，、一、 一 2 2 r r 日、)， + + 口 口 瓤、l_、 ，f兄 1 + 一 3 3 一 r r 嵋 z，、【 玑 + 1 ，l k 以 取 如果池，6 ) 0 2u0 3u0 4 ，那么，( 1 + 矽，名) ( 嵋_ 冠r ( 3 ) n p , c k ) ) = 0 ，因此 妇蒹如面篷赢簪万+ h 蒹。音辚吲+ h 毳仉亡糯= 。 利用公式( 木) 和引理1 2 6 ，我们有 ，( z ) m 。m ，。，稿赫阱h ，豪。，案崭茅【r 】 。q ，采。，( f3 ) ( 2 n - l 扩+ 6 一玩) = 。由最。( 2 一1 ：矿一饥) 因为，( z ) 的次数是2 + 4 ( 七一6 ) + 4 ( 6 一1 ) = 4 k 一2 0 因此6 的二进制分解式中存在一项不在6 - b i - 1 的二进制分解式中出现所以 ( 2 一1 ：6 一6 ) = ( 矿一：一1 ) = 。 当玩= 6 时，6 的二进制分解式中每一项都出现在2 一1 + 6 一b i 的二进制分解 式中因此 ( 2 一1 ：6 一巩) = ( 2 乞i - 1 ) = 1 从而 。= ，c 2 ，c m = h 蒹。币i 黼t f , l - - 瓴z ，。( 2 一1 ：矿一玩) = 1 从而导致矛盾 ( 2 ) b = 0 如果6 = 0 ，那么0 1 = ( 3 ，o ) ) 由于，( z ) 的次数是2 + 4 k 4 k + 3 + ，故 ，( z ) 【m = 0 由引理1 2 3 可得 吲阶h 蒹。，龋吲= 帮= 为艄 从而产生矛盾综上所述，命题1 3 1 得证 命题1 3 2d 2 证明将0 2 分 0 2 l 0 2 2 以下证明0 2 1 = d 沈 ( 1 ) 0 2 l = d = 0 ；三三：三乏茎；二sj：言1) ii - - i i 跏 对于( 啦，玩) 0 2 1 ，由于七= 2 一2 ， k = 4 l + 2 ( j 是一个非负整耋妁由于 8 r 4 k + 3 ，故存在奇数j 满足七一i j i 七且 其中c 是正整数 从而 1 4 ( 主) = o ，从而可令j = 4 c c 一1 ，+ 1 ， 且6 t 2 一1 ，因此玩2 a 一2 1 = 0 ，故撕+ 3 r ，0 b i i 我们可令 ( 6 ：三：2 ) = ( 4 笔三二：) 2 ) = ( c 之兰：2 ) ， 瓴毛。+ j - 12 卜, h ) e o ，。对 集 如 驰 刊 瓴 刚 池 以 聊 h 玑以、_、，一，r、一_， = 成 = = 嘶 巩 ，i ，j 1li，、rij 1 【 盾 拿 耱 聆 蛩 孜 劁 撤 将 1 避 = 论) 下七2 以厂一 过 匕 澉 批 吣 因 l 仇卜 果1 如+ 2 玩2，么 氏玩那足戴粕0 戡 = 正 个 棚 咦 删 蒯帐 f 1 k 汗 “ 蚴 由 d ，fl ， 州 k 邶 令b 表示个方阵，它的第q 行第吗列元素是二项式系数f c + 吗一2 1 ，其中 吗一1 七一i 4 ( c 一1 ) + 1 k 且0 4 ( d j 一1 ) + 1 i 由于k 一三 j k 且0 巩 i ， 根据引理1 2 7 ，可适当选择仇和t 使得r i m ，胡= b ，且b 为非奇异矩阵这样，口的列 向量线性无关，它的全体列向量相加的和向量是非零向量，从而必存在和向量的某个8 坐标不为零，即 h ，毫，：2 ) = 妇岳。：2 ) = 1 - 令j = 4 c s 一。1 ，+ 1 嵋c z ，= c r s c z ，一( 7 8 ) ，9 p ，= 吒c z ，一( 7 ：1 ) 匠c z ，取 ，c 。，= 夕c z ， c z ，一( 7 ；1 ) 匠c 2 ，一( r ：2 ) 砰c z ，一( r ：3 ) 口p c z ) 七一， d e gf ( x ) = s ( k j ) + 2 = 4 ( k j ) + 4 ( k - j ) + 2 一斗 由于0 1 - - d 且h 豪d 5 面高等蜂知陬】= o ，利用( 宰) 式可得下列等式 o = f ( x ) m2 阻，豪。器 2 佃，簇仍，矗糯限】+ 他磊矗端【矧 如果( 皿，b i ) 0 = 2 ，利用引理1 2 6 可得 = h ，黾孽岷，毳锄r 七y ) = 瓴，) = 0 1 刽j 叱 o = ，扛) m = h ，蒹仍。赫蚓口，d j u 2 l = “，毒仍。( 2 歹玩) 佃未。一氏卜毫，冷 如果( 2 歹6 ) = 1 ，那么氏一1 的二进制分解式中不舍有j 一1 的二进制分解 制分解式中出现，因此(玩一：二u一1)=1，即(玩玩+一j-1 12 ) = 1 魂一 ， 玩一 ， 类似地，如果( 2 一于6 ) = 。，则有( 玩：三：2 ) = 。故 吲阶妇，邑。+ j - 12 卜。：2 ) = 1 - ( 动= d 假设伤2 瓯我们也将推得矛盾令 a it , - - 吗l 呜= k 一+ 1 ，( 叼，) 如 由于( 后：1 ) = ( ：) = 1 ，3 七+ 1 ，所以。而七一2 令嵋c z ，= 吼c z ，一( 三) ，夕c z ，= 呓c 。，一( ：1 ) 一c z ，选择对称多项式 ，p ，= 夕c z ， 吒c z ，一( r 一71 ) 以c 功一( 7 一62 ) 砰c z ，一( r ：3 ) 盯p c z ) k 一1 好蛳叫“咖扩( 乏二：卜1 舢且虬因州m r 且 d e g f ( x ) = 2 - i - 8 ( 6 一1 ) 三2 + 4 ( 6 一1 ) + 4 ( 6 一1 ) 2 + 4 k + r 一 + + 、l ， ， 、r一 、 和 f ( 1 + ，z ) ( 嵋一肥( 3 ) h p , c k ) ) ( 1 + p ) 矿一1 p 扣矿， 胪， 0 ， ( q ，玩) 0 3 ，扩 0 ， ( 啦，6 ) 0 3 ，扩= 0 ， ( m ，b 1 ) 0 4 ( 1 ) 6 0 f ( x ) 的次数是4 ( 6 一1 ) + 4 ( k 一6 ) = 4 k 一4 4 k + 3 + ，因此，( z ) 【m = 0 利 用( 阜) 式和引理1 2 6 可得 0 = ，( z ) 【m 。q ，器陆【r 1 + “，业( 1 - i - a ) ( 1 - 1 - , 8 ) n mts 1 j 类似于命题1 3 1 的证明得到 。纵妻b i 二) e o a ( 2 一_ ；_ 一1 、= 1 ( 口t u 从而产生矛盾 ( 2 ) b = 0 如果b = o ，那么0 3 = 【( 1 ，o ) ) 由于，( z ) 次数是4 k 下面将用反证法证明0 4 i = 0 和d 让= 0 如果d 4 1 d ，类似于命题1 3 2 的证明，我们可取奇数j 满足k 一三 j k ，选择 对称多项式 ，c 茁，= c z ，一( ：) 一( r 一71 ) ( 以c z ，一( ：) ) 蠹一 通过计算可得 ；二r-1；三二三+伊， h ，6 ) 0 4 1 ， ，6 i ) d 让， ，c 1 + z ，z ，c 嵋_ r 只c 3 ，日只c 功，= 笤：名，七叫卢。叫， ：乏；茎2 ： f ( x ) 的次数是s ( k - j ) = 4 ( k - j ) + 4 ( k - j ) 4 i + 4 k = 4 k + r ，、【 = 、l ，、l ， 后 ，f 只 日 、l ， 3 ，i r r_ 嵋，f 、l ， 名 玑 + 1 ，f 观 和 而 类似于d 2 l = d 的证明可得 0 = ，( z ) 【m = 从而产生矛盾 ( 2 ) 0 4 2 = d 如果0 4 2 d ，令 r 二一一 ( o 6 ) d 以 ( 口，h ) c k = 0 薹；歹j 一魂) ，毒。器豫【捌2h ，毒。高斋吲 。m ，窖毳。( 2 歹玩) = 。q ，蒹。( 巩：三：2 ) = 1 a 1 = d j i d j = 七一- t - 1 ，( ，吗) d 4 2 由于( 七：1 ) = ( ：) = 1 ，3 毛后+ l ，从而。嘞七一2 ( i ) 如果a 1 只包含一个元素，我们把它表示为五那么也= 七一6 - i - 1 ，0 4 2 = ( 1 ，6 ) ) 选择对称多项式 ，c z ，= a r 8 c 等，一( ：) 一( r ；1 ) ( 吼c z ，一( ：) ) 6 一1 因为w 4 ( b - z ) + 3 c 嵋，= a 3 ( k b , - 一1 1 ) 卢k 一1 o ，且k 一1 所以4 c k 一1 ，+ 3 r ，从 而d e g f ( x ) = 8 ( 6 一1 ) = 4 ( b 一1 ) d - 4 ( 6 一1 ) 4 kd - r 4 k + 3 - i - r ，故，( z ) 卅= 0 由引理1 2 3 可得 0 = ，( z ) 【删 r z 一 ，b , ) 0 4 1 r z k ) c - o , , a 2 , v 凼黯 列+ 他, 0 三d e o 一让横赫阱惝 崭= 等群 b 。+ 6 一 七一6 + 1 j f 1 引“ 从而产生矛盾 ( 坳如果以1 至少包含两个元素，类似于仇2 = d 的证明，构造满足下列关系的子集 列 a i3a 2 ) ) 厶= 以) ， 其中也= 七一6 + 1 且( 1 ，6 ) 0 选择对称多项式 ，c z ，= 观c z ，一( ：) 一( r 一71 ) ( 吼c z ，一( ：) ) k 一1 根据引理1 2 3 可得 0 = ，( 2 ) 【m = ( m ，蒹再f 叭l - t - p , z ) p i f ；1 _ ( q ，曩岳g 若斋【明 2 “，b d e 。柚错f 只】 = 妇，- b i + b , 1 - 1 ) 2 汹毳。也( 2 一1 三：画一以) = 1 从而产生矛盾命题1 3 4 得证 综合命题1 3 1 1 3 4 ，我们得到( a i ，k ) o s 命题1 3 5 如果池，玩) 仇，则( m 4 k + 3 + f ，t ) 存在且协边 证明若( a i ，6 ) 0 5 ，我们可构造向量丛嵋一r r ( 3 ) x 胃只( 七) 使得叫( 嵋) = ( 1 + 口) 口( 1 + p ) 6 例如，考虑w h i t n e ym ) k i o b + a a _ r p , ( 3 ) 日只( 七) ，其中k l 和如 分另0 是r p i ( 3 ) 和- z p t ( 七) 上典范线丛的拉回，我们有t l j h 1 0 玩如) = ( 1 + 口) q ( 1 + p ) h 因为每个a d 是偶数，t ，( 嵋) 只包含口的偶次幂，从而( f ，旷) 的所有示性数是零对于任 何对称多项式都有 ，毳n 群崭一o “象0 5 ( 1 + q ) 岫( 1 + p ) u 1 ” 由引理1 2 5 和 【2 】，定理2 5 2 】，( 朋锨+ 柳，t ) 存在且协边 t i t ) 七= 2 a 一1 ( 8 r 4 k - i - 3 ) 的情况 若池，6 ) 0 1 u 0 3 ，对于每个嵋_ 肥( 3 ) x 日只( 七) ，叫( 嵋) = ( 1 + 口) 赳( 1 + p ) 6 ， t l ，( 肥( 3 ) 日只( 后) ) = ( 1 + p ) 七+ 1 由于玩是偶数，伽( 嵋) 只包含p 的偶次幂，从而( f 旷) 的所有示性数是零对于任何对称多项式都有 。q 蒹。揣吲2h 蒹。踹- o 类似于七= 2 a 一2 的情况，对于池，6 ) o s ，我们有 ，。n 群嚣一o h , 厶b d ) e o 。( 1 + 口) q ( 1 + p ) 如p 副“ 由引理1 2 3 可得 m ，m 2h 蒹国丌黼吲+ “蒹仇矗黼 命题1 3 60 2 = d 证明假设d 2 0 令6 = m 畎【6 i h ，玩) o d 每个饥是奇数且氏2 a - 1 = 七 下面的论证将导致矛盾 令匠c z ，= 矿c z ，一( ：) ，以c z ，= 9 c z ，= 吒c z ，一( rj1 ) 以c z ， c 。，= 吒c ( r ：3 ) 卵c z x 选择对称多项式 ，( z ) = 夕( z ) ( 1 + ( z ) ) b * - i ( ( z ) ) 七一6 2 , 4 ， 卜卜 r 4 缸厂一砰 一、， 妨 2 “ 卜2 = 功 卜 ，、 b “ 绺 ， 口 、l-、一、 r 2 l 一 3 一 ，r 、卜， 一 由引理1 2 4 可得 以( 14 - y ，z ) ( 嵋一肥( 3 ) x t p , ( k ) ) = ( a i ，6 ) 0 2 ， ( a i ，乜) 0 4 以c 1 + 秒，z ，c 嵋一r 只c 3 ，日b c 功，= t - 1 ) a + ( r ：2 ) 矿+ ( r ：3 ) 口3 + 卢， 因此 f ( 1 + y , z ) ( v ；- - * r p i ( 3 ) xh p i ( k ) ) - - 荽q + p 矿以p 七一扩 ：乏；茎三： f ( x ) 的次数是2 + 4 ( 6 一1 ) + 4 ( k - b o ) = 4 k 一2 4 k + 3 + r ，因此，( z ) 【m = 0 类似 0 = ，( z ) m ，三，、矗蒲辣吲 “，银0 2 ( 1 + a ) 3 ( 1 + 研卜副 ，三爷辨【剐 h ，银0 2 ( 1 + 口) 3 ( 1 + 口) 瓦 卜副 毒仍( 2 _ 苫) 从而产生矛盾命题1 3 6 得证 命题1 3 70 4 = 0 证明如果0 4 0 ，令b o = m 酞 玩l ( q ，6 ) 0 4 每个6 i 是奇数且6 2 一1 = 七 选择对称多项式 f ( x ) = ( 14 - h ( x ) ) b - i ( ( z ) ) 七一矿， 其中h ( z ) = 吼( 。) 一 算可得 ( ：) 一(r ：1 垆卜啪，髓计 吼c 1 + y ，名，c 嵋一r 只c 3 ，日只c 砷，= ( 二) + ( r ：1 ) q + p ， 2 口+ ， 口 口 、llj，、lij， 1 工1 工 一 1 1 i r 、)， ，( 1 + 掣，z ) ( 嵋一r p l ( 3 ) x 日只( 七) ) = ( 1 + 卢) b * - l 卢扣6 d e g f ( x ) = 4 ( 6 一1 ) + 4 ( k - 6 ) = 4 k 一4 1 ) ，那么 ( 脚2 + 七，t ) 协边 2 3 预备知识 类似于第茕为了证明定理2 1 1 ，除了需要运用第一章中提到的引理1 2 3 ，1 2 4 1 2 5 ，1 2 7 之夕卜还需要下面的引理 引理2 2 1 1 4 1 , 】每个c p ( j ) h p ( n ) 上向量丛f 的全s t i e f e l - w h i t n e y 类有下列 形式 t t j ( ) = ( 1 + 口) 。( 1 + 6 ) c ( 1 + 口2 + b ) d ( 1 + 6 产厂， 其中口h 2 ( c p ( j ) ；邑) ，b h 4 ( h p ( n ) ；z 2 ) 是生成元= 0 或1 若e = 1 ，必有 ii - - m 2 h ( 2 9 + 1 ) ，h 1 ， 歹= 2 h ( 2 9 + 1 ) + z ，0 冬正 ， b = ( s ，气) 1 8 = 1 ，岛为奇数) ， c = 【( 乳，岛) 1 8 i - o ) 与第一章的讨论类似，根据【2 】，要证明定理2 1 1 ，我们只需证明( 只，7 ) 协边 假设( m 4 舯一2 帕，( 4 n + 2 ) 是个以f = uc 只( 1 ) h 只( n ) 为不动点集的 对合，由文【3 】知此对合协边 如果七= 4 n + 2 ，由文【3 】知( 产+ 2 + 七，= ( f 只t w i s t ) 因此对合存在且协边 如果8 七 4 n + 2 ，我们将证明以ug 只( 1 ) 日r 伽) 为不动点集的对合存在 且协边证明分两种情况：回n = 汐一2 ，( i i ) n = 2 p 一1 n = 2 e 一2 ( 8 后 0 如果( 民，t ) b ，那么f ( 1 + 可，名) ( 前一c a ( z ) 日只( n ) ) = 0 ，因此 。蒹日揣吲一o 如吲八 足， 满 一 岛 动 补卜 2 2 2 2 七 七 + + 、li、ll 七 4 七 4 ， _ 、) ，、 ( x ) 【m 2 “蒜a 焉排2 瓴靠 u ( - - 榔：( 1 + 舳b y ) t t - 1 【列 2 赢 i - i ) ( 1 矿一1 ) = 瓴赢 i 。，1 ( i ，“) 、 矿 因为f ( x ) 的次数是4 一1 ) + 4 ( n 一矿) = 4 n 一4 0 因此扩的二进制分解式中存在一项不在r t i i 的二进制分解式中出现所以 ( 2 一l ；矿一如) = ( 矿一；一1 ) = 。 当t = 矿时，p 的二进制分解式中每一项都出现在2 一1 + t 一气的二进制分解 ( 2 一1 ；扩一岛) = ( 2 ? 1 ) = 1 o = ，阶。蒹 凼蹄阱。蒹ar1 如) = 1 从而导致矛盾 ( 2 ) 矿= 0 如果矿= 0 ，那么a = ( 1 ，0 ) 由于， ) 的次数是饥 4 n + 2 + k ，故，( z ) 【m = 0 由引理1 2 3 可得 0 = ，( z ) 【删= ，萎虿料【只】= 冬箨铲【e 】 ( | ，t 1 ) a 。一一 一 = p ( 1 + a + 口2 + ) 【最】= 口扩【最】= 1 从而得到矛盾命题2 3 1 得证 命题2 3 2b = 0 证明将b 分成以下两个子集 小斗 = o ) ， 弘 1 ) 协i 。h l 明u 1 一j a 2 一v ( 1 ) b 1 = o 加里日o 历：番甘l ! f 1 = 诊 正! i 氲俎萄l 二茹后对千r 口士、；r ， 由平们= 2 1 p 一2 ) = 1 ，乩故聆n ? c z 聊赖鳓榔纵4 棚， 故存在奇数歹满足n 一冬 歹 n 且( 主) = 。，从而可令歹= 4 c c l ，+ 1 ，其中c 是 对c s t ，毛，日，每个岛满足( ：) = 。且如2 p 一1 ，因此如矽一2 1 = n 一1 n 由于叫他+ 2 c 访，= a ( 耄) 6 “。，故缸t + 2 。 白 ；我们可令 ( 厶：三：2 ) = ( 4 笔三二- ) 2 ) = ( c ：二：2 ) ， 从而 。巩聂b ，( 白：三：2 ) = 。以蒹所( c ：二：2 ) 令。表示一姚行第吗揣是二麟数竺玲舯 3 2 、li，、lij，、li，、li， 缸2 如2 岛2 岛2 ) 且 且 且 且 b b b b 、l，、l，、l，、l， 缸 缸 缸 雕 影 影 取 ，i，i，i，f、l，、l，、l，、-， 缸 缸 缸 雕 鳓 影 廓 ，j，j，fi、，j r t r t r t r t = = = = 岛 玩 n 一考 4 ( q 一1 ) + 1 n 且0 4 ( d j 一1 ) + 1 由于n 一考 j ，l 且0 如 鲁， 根据引理1 2 7 ，可适当选择m 和t 使得pm ，胡= d ，且d 为非奇异矩阵这样，d 的列 向量线性无关，它的全体列向量相加的和向量是非零向量从而必存在和向量的某个8 坐标不为零，即 。毳历( 如如+ 一j - 12 ) = 蒹历( s ：二：2 ) = 1 令j = 4 ( 8 1 ) + 1 取 ，c z ，= t a r 8 c z ，一( 耋) 一( 七：2 ) x( c r 2 c z ，一( ：) ) ，n 叫， 则d e g f ( x ) = 8 一j ) = 4 ( n - j ) + 4 ( n - j ) 4x 考+ 4 n = 4 n + k 4 n + k + 2 ，因此 ，( z ) 【m = 0 由引理1 2 4 知 因此 乏茎；二二；三；三二二+6，：二：；三三： ，c 1 + 矽，名，c 前_ c 只c 1 ，日只c 凡，= ：j 6 ，n j 铲。，( 。魂s , ，, t i ) e 岛b i , 由于a = o 且( 巩赢g 百岛寄铬f 暇】= o 利用( 母) 式可得下列等式 0 = ，( $ ) 【m = ( 1 赢日两f ( 1 - t + - 州y , z ) r r l 曩口。砖昧吲+ 沁曩岛器赫【列。 因此 如果( 8 i ，岛) b 2 ，利用引理2 2 3 可得 曩两苦踹踟限】2 。曩岛篙揣限】 = 陬，豪励( 2 + 了j 一) = 曩而) = o - 0 = ，( z ) 【明 。以毳b 。( 2 歹岛) = 。以蒹岛( 厶如+ 一j - 12 ) 。= ，c z ，【卅= 。以蒹夙( 厶屯+ 一j - 12 ) = 。以蒹历( s ：二：2 ) = 1 产生矛盾 ( 2 ) b 2 = 0 假设b 2 d ，我们也将推得矛盾令 a 1 = a j l a j = n 一巧+ 1 ，( 彤，t j ) 岛 由于( n ：1 ) = ( 2 ) = 1 ，3 如佗+ 1 ，所以。岛仃一2 c i ) 如果a 1 只包含一个元素，我们把它表示为正那么五= n t + 1 且岛= ( 1 ，t ) ) 选择对称多项式 ，c z ，= h c z ，一( 耋) 一( 七一22 ) 0 c z ，一( 耋) ) ，厶一1 日、一、 一 - j 一+ 一 ，0 ， 而 玩 研 冰 冰 瓴 瓴 = = 由