（基础数学专业论文）关于coleman自同构的一些结果.pdf

摘要 c o l e m a n 自同构始于研究有限群g 在群环r g 的单位群u ( r g ) 中的正规化子在研究 这种正规化子过程中，特别要考虑霞是整数环的情况这就要涉及到带有正规化性质( n p ) ( 见 引言) 的群通过对c o l e m a n 自同构的研究，可以获得这种群的更多信息 e c d a d e 通过对有限群的c o l e m a n 自同构的大量研究得到了一系列开创性的结果，最 重要的是证明了c o l e m a n 外自同构群是幂零群最近，m h e r t w e c k 和w k i m m e r l e 又证明 了该群还是交换群，而且他们给出了c o l e m a n 外自同构群是p 7 一群的一些充分条件和该群为 平凡群的情况 本文首先对c o l e m a n 自同构做了更深入的研究，得到了c o l e m a n 自同构的一些性质然 后，根据这些性质得到了c o l e m a n 外自同构群何时为p 一群的一些充分条件，注意这些结果 与m h e r t w e c k 和w k i m m e r l e 所做出的结果是不同的通过前面的结果可以推出c o l e m a n 外自同构群为平凡群的一些结论这也通过文中的大量例子得以体现， 关键词：宜同构；类保持自同构；c o l e m a n 自同构；t i 集 a b s t r a c t 9 0 8 9 主 c o l e m a na u t o m o r p h i s mo c c u r r e df i r s ti nt h es t u d yo ft h en o r m a l i z e rn c , r c ) ( g ) o fgi n t h eu n i t su ( r g ) o fr g i nr e s e a r c ho ft h en o r m a l i z e r ，w h e nr z ，t h ec t l s cm u s tb cc o n s i d e r e d s p e c i a l l y t h u st h ec l & l 。；so fg r o u p sw i t h ( n p ) ( s e ei n t r o d u c t i o n ) n e e dt ob e r e s e a r c h e d t h r o u g h t h es t u d yo fc o l e m a na u t o m o r p h i s m jm o r ei n f o r m a t i o n so nt i mg r o u pm a yb eo b t a i n e d e c d a d eg l a d ee n o r m o u sr e s e a r c h e so nc o l e m a na u t o m o r p h i s mo faf i n i t eg r o u pa n d o b t a i n e dal o to fi n i t i a lr e s u l t s ，e s p e c i a l l yp r o v e dt h a tc o l e m a no u t e ra u t o m o r p h i s mg r o u pi s n i l p o t e n t r e c e n t l y , m ，h e r t w e c ka n dw k i m m e r l ep r o v e dt h a tc o l e m a no u t e ra u t o m o r p h i s m g r o u pi sa b e l i a na n dg a v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so it h eg r o u pb e i n gap 7 一g r o u pa n dt r i v i a l g r o u p i nt h ep a p e r ，c o l e m a na u t o m o r p h i s mi sf u r t h e rr e s e a r c h e da n ds o m ep r o p e r t i e so fc o l e m a n a u t o m o r p h i s ma r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，b yt h ep r o p e l t i e ss o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nc o l e m a no u t e ra u t o m o r p h i s mg r o u pb e i n gap 7 9 r o u pa r ca l s oo b t a i n e d ，w h e r et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed i f f e r e n tf r o mt h er e s u l t so fmh e r t w e c ka n dw k i m m e r l e b yt h ef o r e g o i n gr e - s u l t s ，s o m ec o n c l u s i o n so nc o l e m a no u t e ra u t o m o r p h i s mg r o u pb e i n gt r i v i a la r ed r a m e n o r m o u s e x a m p l e si n c a r n a t et h er e s u l t s k e y w o r d s ：a u t o m o r p h i s m ；c l a s s p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s m ；c o l e m a na u t o m o r p h i s m t is e t 1 引言 设g 是一个有限群，我们有f 面几个g 的自同掏群的特征子群： a u t c ( g ) 表示g 的类保持自同构群； a u t g d i ( g ) 表示g 的c o l e m a n 自同构群；其中每个自同构限制在g 的任意一个s y l o w 子群上都等于某个g 的内自同构在它上的限制； a u t 只( g ) 表示其中每个元素都能诱导群环r g 的一个内自同构 我们令o u t c ( g ) = 4 t 。( g ) ，n n ( g ) o u t c 。f ( g ) 一a u t o 。f ( g ) ，n n ( g t ) ， 0 u t r ( g ) = a “r ( g ) ，n n ( g ) 我们知道下面的这个著名引理； c o l e m a n 引理令p 是g 的一个p 一子群，兄是一个交换环而且p r r 则矿f n o ) ( p ) = 0 ( p ) ( r g ) ( p ) c o l e m a n 自同构始于研究g 在r g 的单位群u ( r g ) 中的正规化子这个研究课题是在 1 ，3 7 和 2 ，p r o b l e m4 3 的问题中首次提出的我们知道r 是个g a d a p t e d 环即指冗的特征 为零且i g2 的素因子在r 中均是不可逆元对于交换环只，注意到a u t r ( g ) 曼a u t o ( g ) 为了 把群理论和环理论有机的结合起来，从现在开始我们总假设冠是g a d a p t e d 环 c o l e m a n 的结果表明a u t r ( g ) sa u t c o t ( g ) 显然z 是一个g a d a p t e d 环，令r = z ，那么o u t z ( c ) o u t o o , ( o ) 我们说一个群g 有正规化性质( n p ) ，如果o u t z ( g ) = 1 ，也就是说，n u ( z g ) ( g ) = g z ( u ( z g ) ) 因此，如果我们在某些条件下能得到o u t c 。l ( g ) = l ，那么o u t z ( g ) = 1 ，即g 在这些条件下有正规化性质( n p ) 这就激发许多数学工作者去研究c o l e m a n 自同构例如，在 【2 7 中，e c d a d e 关于有限群的c o l e m a n 自同构做了大量的研究并且证明了o u t c 。l ( g ) 是幂 零群最近，m + h e r t w e c k 和w k i m m e r l e 8 】证明了o u t c o t ( g ) 是交换群，并给出了o u t c o t ( g ) 是p ，一群和o u t c d f ( g ) = 1 的一些充分条件 由于( n p ) 性质不能完全通过群理论来获得它的全部信息而且关于这方面的研究也不多， 青岛人学硕一学位论文 这就给我们的研究带来了一定的挑战性在这篇文章中，通过对有限群的c o l e m a n 自同构更 深入的研究以企图获得带有( n p ) 性质的群的更多信息在本文的第二节的预备知识里，主要 总结和归纳了c o l e m a n 自同构的一些重要的性质在第三节里主要以六个结论来深入的刻画 o u t c 。f ( g ) 足p 一群的情况，在m h c r t w e c k 和w k i m m e r c 的文章中，他们对s y l o wp 一子 群进行探讨，来研究o u t c 。f ( g ) 是p l 群的情况，而在本文中则只考虑s y l o wp 一子群的极 大子群，结果也很好的说明了( ) “f 。州( g ) 是p 群的情况而且他们还用p 约束条件得到了 o u t c 1 。f ( g ) 是p l 群，在本文中则对该条件进行弱化，结果也得到o u t c 。f ( g ) 是p 7 一群在文 献9 1 中，m a e u r 证明了如果有限群g 的s y l o w2 一子群的阶是2 ，则o u t c ( g ) no u t c o l ( g ) 是奇阶群在文献 1 0 】里，m h e r t w e c k 证明了如果有限群g 的s y l o w2 一子群是循环群，则 o u t c ( g ) no u t c o l ( g ) 是奇阶群在本文中，假设g 的所有s y i o w 子群均足循环群，再借助 于类保持自同构可得o u t c 。f ( g ) 是p l 群在本文第四节里，通过前面的定理和推论获得了 o u t g 。f ( g ) 等于1 的情况，即这些群都满足( n p ) 性质为r 说明我们得到的结论是否真的有 意义，在本文第5 节里，列举了几个例子通过这些例子我们将看到o u t g 。z ( g ) 等于1 确实存 在而且这样的群还是很多的 首先，我们给出一些概念和记号，令x g 是一个子集，那么x 是一个t i 集( 平凡交 集) 如果对于每个g g ，或者x 9 = x 或者x 9 nx 1 在整个文章中，令g 是一个有 限群，p ( g ) 表示g 的广义f i t t i n g 子群，g 表示阶是p 的循环群对于群中元素z ，y ，用 c o n j ( ) ，我们表示形如z 一矽的同态a 诱导了矿上的自同构，我们用o - i u 来表示，其 中口a u t ( g ) ，u 是g 的一个子群或是商群n ，z 分别表示自然数集和整数集其它记号都 是标准的，可以参考 8 和 1 1 2 ! 塑鱼塑塑 2 预备知识 引理2 1 设p 是一个素数，。是g 的一个p 一方幂阶自同构假设仔在1 7 v 笪g 使得 c r ( = 纪f 和口f c n = i df c n 对于某个尸s y ) ，如果莎 p = z dh 那么口i n n ( c ) 证明：设9 g ，那么存在某个凡n 使得g o 二- = n 9 ，口重复作用于前面的等式就能得到对 于任意i n 满足9 一= 9 由于口是p 方幂阶的，所以札是个p 一元素而且，m n 我 们有9 - 1 m 9 一( 97 r z 9 ) “= 9 - 1 n 。7 7 z n 口因此n 在n 的中心里故此，。诱导了m = o p ( z ( ) ) 和c a ，上的恒等映射由 1 l ，i1 71j 可知，盯相对应丁z ( g m ，m ) 中的p 一元素川而且对于 任意9 g ，口扫 ，) 。j = 9 。因为h 口1 ( g ”，m ) 当且仅当口i n r z ( c ) ，我们只需证明m _ 日1 ( g m ，m ) 即可由 1 1 ，i1 6 ，2 1j 可知，h 1 ( e l m ，m ) 的任意s y l o w p 一群同构于h 1 ( p m ，m ) 的一个子群我们不妨假设 盯 b 1 ( g m ，m ) r ，其中冗是月1 ( g m ，m ) 的某个s y o wp 子群，那么r 同构日1 ( 尸胂，m ) 的一个子群，我们用1 来表示这个同构映射( 事实上，对于 任意归 b 1 ( g 几，m ) 口1 ( g m ，m ) ) 都有( 矧口1 ( c m ，m ) ) 7 = = 旧l p b 1 ( f m ，m ) ) 因为o - j p = i d p ，所以，任意9 p ：我们都有9 0 m ) 纠一9 。= g 从而对任意9 尸，可得 ( 9 m ) h = 1 ，即纠l p mb 1 ( p m ，m ) 但是( h b l ( c m ，m ) ) = o - p 埘b 1 ( p m ，m ) ) = 1 ， 因此 o - b 1 ( g n f ，肘) 引理2 2 设口是g 的一个p 一方幂阶非内自同构如果存在u g ，。g 使得o - l u = c d 嘶( 。) u ，那么就有，y i n n ( g ) 使得a 7 u = i dj u 而且a 7 仍然是一个p 一方幂阶的非内自 同构 证明；假设o ( o ) = p 。，其中t n ，令p = c o 礼j ( z ) 因此盯j u = pi v , 即卢- 1 仃l ，= t di u 那么存在n n 使得( 口_ 1 盯) ”是卢。盯的p 部分，而且( 佗，p ) = 1 因此存在s ，f z 使得 s n + t p 。= 1 显然( 卢一1 口) 8 ”是p 一方幂阶的，而且( 卢_ 1 口) “j u = 记b 注意到i n n ( g ) 塑4 u t ( g ) 因此存在，y i n n ( g ) 使得( p - 1 “= 盯“，y = c r l - t p 2 = 盯7 故此，7 就是所要的 引理2 3 设o - 是g 的一个p 一方幂阶非内自同构如果存在n 笪g 而且a = 使得o - 诱导了c n 上的一个内自同构，那么存在7 i n n ( c ) 使得口7j g = i df g u 而且0 - 7 仍然 是p 方幂阶的非内自同构 证明：这个引理可以类似于引理2 , 2 的证明 引理2 4 8 ，c o r o l l a r y3 】设n 旦g ，p 是一个素数而且它不整除g 的阶那么下面的结 3 青岛人学硕士学位论文 论成立： ( i ) 如果o a u ( c ) 是g 的一个p 一方幂阶的c o l e m a n 自同构，那么j 诱导了的一 个c o l e m a n 自同构 ( i i ) 如果0 u t c o z ( n ) 是一个p l 群，那么o u t e 州( g ) 也是个p 一群 引理2 5 如果m 翼g ，口a u t c o l ( g ) ，那么m 。= ， ， 证明：假设f1 1 4bp ；1 p ；2 瑶1 ，j s y t p ，( m ) ，其中n ，s 。n 并且p ：是素数， i l ，2 ，n j 从而可得m = 任取i 1 ，2 ，：n 因为口a u t c o l ( c ) ， 所以存在乜g 使得f1 只= c 觎j ( ) j 野显然口= 劈7 ( 注意到一塑g ) 因此a i 。= l ， 命题2 6 设p s y l p ( g ) ，其中p 是一个素数如果p 司司g ，那么o u t g o f ( g ) 是一个p 7 一 群 证明：l 习为pqq g ，我们可得p 翼g ，显然p 不整除a p 的阶根据 8 , c o r o l l a r y1 6 可 知，o u t c 。 ( p ) = = 1 再由引理2 4 可知o u t c o j ( g ) 是一个p l 群 推论2 7 设p s y l p ( g ) ，其中p 是一个素数如果p 是一个t i 集并且c f + ( g ) 无主 因子同构于g ，那么o u t c o f ( c ) 是一个p 7 一群 证明：如果p 里g ，那么由命题2 6 可知推论成立因此我们不妨设尸不正规于g 由于 p 是一个t i 集，显然0 p ( g ) = 1 因此由【8 ，t h e o r e m2 1 可知推论仍成立 引理2 8 设口a u t ( a ) ，n 里g 和c r g n = i d g i n 如果。( 口j j v ) 的素因子在7 r ( ) 中， 其中”( ) 表示f i 的素因子集合，那么。( 的素因子也在7 r ( ) 中 证明：令o ( o1 ) = m 则m 的索因子在”( ) 中显然，口“i w = i d _ v由于 o - i g = i dj c n ，所以口”l g t = i di a n 任意g g ，存在x n 使得g 一= g x 令i n i = 礼 可得g 扩“= 9 x ”= g 故此o ( c r ) fm n 那么。( a ) 的素因子也在丌( ) 中 引理2 9 设盯a u t ( a ) 是p 一方幂阶的，其中p 是一个素数，n g 如果存在z g 使得o - = c o n jx ) f n ，则存在一个p 一元素y g 使得o - j = c o n j ( y ) i n 证明：令。( 盯) = p ，o ( x ) = 矿，其中 ，j ，t n ，并且( p ，t ) = 1 令k = m a x i ，j 由于 ( p 。，) = 1 ，则存在u ，v z 使得“矿+ v t = 1 显然o ( x “) = 矿令y = z “，即y 是一个p 一 元素对于任意n n ，扎= 扎，“矿= 凡。“因此矿= r t x = n z “一州= ( 礼z “铲) z w = n z 优= 矿， 故此o - j = c o n j ( 可) k 4 2 预备知识 引理2 1 0 设o - a u ( g ) 是p 一方幂阶，其中p 是一个素数，n 塑g 如果o - 诱导了 g n 的一个内自同构，则存在p 一元素x g 使得f | g n = c o n j ( x ) i c n 证明：这个引理可以类似于引理2 9 的证明 引理2 儿假设g 有一个交换的s y l o wp 子群，并且a a u t ( g ) 是p 方幂阶的满足 o - l p = ，y p ，其中 ，彻( g ) 如果o - 诱导了a o p ( g ) 上的内自同构，则口i n n ( g ) 证明：不失一般性，可以设盯诱导了a o ，( g ) 上的恒等映射因为盯是p 方幂阶的并且 p 被盯固定，则不妨设存在z 是p 方幂阶元满足口i p = c o n j ( z ) k 结果有2 2 p 又因为p 足交换群，所以盯l p = i dk 根据引理21 可得，口，佗n ( g ) 引理2 1 2 设口ea u t ( g ) 是p 方幂阶的，其中p 是个素数假设存在n 望g 使得 n g = ，并且口诱导了c n 上的恒等映射令f 是g 的一个子群则如果对所有9 u ， 存在h g 使得g e t = g “，那么对所有9 u ，存在扎 n 使得g 盯一扩b ，其中k 表示h 的p 部分 证明：令q 是p 的方幂满足f f q = i d 且 。是h 的p 。一部分对于所有9 u ，9 = g a q = 9 其中k h ( h c r ) ( h a 2 ) ( h a q 。) 因为口诱导了a n 上的恒等映射，则存在n n 使得 k = h q n 一结果对于所有的g u 满足9 0 - = g m ，= f ( - 1 ) ( “，) = g 。( “b ) = 9 n h p 5 青岛大学硕士学位论文 3o z t t c d ( g ) 是p 7 一群 定理3 1 设p 是g 的任意一个s y l o w p 一子群，其中p 是一个素数，而且m 是p 的一 个极大子群如果m 旦g 并且g p ( g ) 无主因子同构于q ，则o u t c 0 2 ( g ) 是一个p 7 一群 证明：设c r a u t 洲( g ) 是p 一方幂阶的我们只需证明盯h z r l ( g ) 即可如果m = 1 ， 则p 屉一个循环群由 8 ，c o r o l l a r y2 2 可知，该定理成立如果p 鱼g ，由命题2 6 可知，该结 论仍成立因此我们不妨假设m 1 并且p 不正规于g 显然，m = o 。( g ) p 首先证明 o u t c 。, ( g m ) 是一个p l 群事实l ：，由 8 ，t h e o r e m2 1 可知，我们不妨假设z ( r + ( c m ) ) 不 是p l 群( 注意到f 4 ( g m ) = f + ( g ) m i 令p 1 m s 屿( z ( f + ( g m ) ) ) 因此p 1 m 1 由于p l m c h a r z ( f + ( a m ) ) 望c m ，所以p 1 m 翼c m ，故此l p 1 m o p ( g m ) = 1 ， 得出矛盾由引理2 5 可知，盯诱导a m 的个c o l e m a n 自同构，即口j c m ea u t c o t ( g m ) 并且o - 【c m 仍是p 一方幂阶的因为o u t c 。f ( g m ) 是一个p l 群，所以盯l c m e ，佗扎( g m ) 由引理2 3 可知，我们不妨假设盯j c m = i d1 g 肿因为口a u l u o l ( g ) ，故此由引理2 9 可知， 存在一个p 一元素9 g 使得o - f 尸= c o n j ( ) f p 根据 8 ，l e m m a1 9 可知，存在y 1 m 使得 o - j m = c o n j ( y 1 ) l m 因此c o n j ( 可) l m = c rj = c o 可( f 1 ) j m ，即c o n j ( y y f l ) l m = i di m 这就表 明口盯1 g b ( m ) 显然o - l p m = i df p m ，对于任意。p ，存在m m 使得z 9 = z m p 因此p 4 = p 因为口 p = c o n j ( y ) l p ，所以p = p = p 故此y g ( p ) 结果有p 因此可订1 p 如果y y f l 彰m ，则p = ( 注意到m 是p 的极大子群) 因 此y y i - 1 z ( p ) 那么口c d 阿( 玎1 ) i g 似= i di c m ，口c 咖( 盯1 ) i p = c o n j ( y y f l ) l _ d = i di p 由 引理2 1 可知，仃c o n j ( y f l ) i n n ( g ) ，即盯i n n ( c ) 如果y y f l m ，则y m 因此 a e o r l j ( _ 1 ) i c m = i di g 卅并且o - c o n j ( _ 1 ) i p = i di p 根据引理2 ，1 我们可得到口礼n ( g ) 推论3 2 设p 是g 的任意一个s y l o wp 一子群，其中p 是个素数，m 是尸的一个极大 子群如果mqq g 而且g 无主因子同构于q ，则o u t c o l ( g ) 是p l 群 证明：因为mqq g ，所以存在从m 到g 的次正规群列，不妨设该群列的长度为扎，即 m = m oq 尬司司螈= g 下面我们对n 进行归纳如果亿= 1 ，则m = m oqm 1 = g 根据定理1 1 可知，o u t c 。f ( g ) 是一个p 一群假设当礼= k 时结论成立我们考虑佗= k + 1 时如果pj 氟i i mr ，则m 也是 靠的某个s y l o wp 一子群的极大子群而且 靠无主因子同 构于q 由归纳假设可知，0 g 耐( 靠) 是一个p l 群由于p 不整除 蟊+ z 靠的阶，根据 6 3o u t c o l ( g ) 是p 一群 引理2 4 町知o u t c 。2 ( m + 1 ) 是一个p 7 群如果p 不整除l m kj i m i ，则m s y l v ( m ) ，其中 i = 1 ，2 ，一，七因此m c h a r m k 里m k + 1 ，即m 宴 缸+ l 根据定理1 1 町知，o u t g d f ( n 靠+ 1 ) 是 一个p ，一群因此我们可得到o u t c 。i ( g ) 也是一个p l 群 定理3 3 设p 是g 的任意。个s y l o wp 一子群，其中p 是个素数如果任意g g 都有 c a ( pnp g ) s ，np g 并且c f + ( g ) 无主因子同构于q ，则o u t c 。2 ( g ) 是一群 证明：假设盯a u t c 。! ( g ) 是p 一方幂阶的我们只需证明o - i n n ( g ) 令m 。o f ( g ) 如果m = 1 ，则z ( f + ( g ) ) 是一个p l 群根据 8 , 1 1 h c o r c m2 1 叮知，该定理成立因此我 们不妨假设m 1 如果m = p ，则p 鱼g 由命题2 6 可知，定理仍然成立因此我们不 妨假设1 m p 由于对所有9 g ，都有c g ( pnp 9 ) 茎pn 尸9 ，故此令9 = l 可得 c c ( p ) p 从而p 是g 的极大幂零子群如果f ( g ) 是一个p 一群，则f ( g ) 曼p ，否则任 取口( p ) 丌( f ( g ) ) ，其中7 r ( f ( g ) ) 是j f ( g ) f 的所有素因子的集合任取尼0 。( g ) 又由于 p n p ，k _ 1 】p n o q ( g ) = 1 从而可得k _ 1 g 台( p n p ) p n p ，即0 。( g ) 茎p ，得出矛 盾因此m = = f ( g ) 令k = c a ( f ( a ) ) 和百= c z ( k ) 那么f ( 耳) 一1 令z = z ( 一p ) n k 假设k 令虿= o 靠( fn 歹) 和c 是刁在g 里的原像那么 pnp ，q z ( k ) 并且c 茎k ，从而【pnp 2 ，c ，c = 1 又 c ，pnp 2 ，c 1 = 1 因此由三子群引理可得， c ，c ，p n p 】= 1 我们归纳可得c 茎c c ( p n p ) p n p 。并且虿墨z ( 口) 特别口是幂零 的现在有 s 口，因为七是任意的，从而我们根据b a e r - s u z u k i 定理f 1 2 ，t h e o r e m 3 8 2 】可得，z f ( 耳) 但是f ( _ ) = 1 其中z ( y ) n 万= 1 现在由于p n 耳塑f 和f 是幂零 的，因此我们可得f n 耳= 1 结果有p n z ( ) 因此c p ( m ) 茎z ( g 台( m ) ) 由【8 , t h e o r e m 2 1 】可知，o u t c o t ( g m ) 是一个p 7 一群根据引理2 5 显然o - c m 6a u t c 。l ( g m ) ，而且o - j g m 仍是p 一方幂阶的因为o u t c o t ( g m ) 是一个p ，_ 群，所以o - f a m i n n ( g m ) 根据引理2 3 我们不妨假设盯l g m = i di g m 因为盯a u o f ( g ) ，再由引理2 9 可知，存在一个p 一元素 y g 使得口l 尸= c o n j ( ) i p 根据 8 , l e r n m a1 9 可知，存在f 1 m 使得口f m = c o n j ( y 1 ) i m 因此c o n j ( y ) j m z 口l m = c o n j ( y 1 ) i m ，即c o n j ( y y f l ) i m ：i dl 们这表明y y f l c a ( m ) 显然 p 。= p 则y 盯1 p 结果有y y f l c p ( m ) 我们可得到y y f l 是z ( c g ( m ) ) 的一个p 一元 素因此y y f l o f ( z ( c a ( m ) ) ) 因为o v ( z ( c a ( m ) ) ) c h a r z ( c c ( m ) ) c h a r c c ( m ) 塑g ，所以 q ( z ( ( m ) ) ) 塑g 这表明y m 因此a e o n j ( y _ 1 ) l g 脚= i dl g m , a c o n j ( y _ 1 ) p = i di p 根 7 青岛人。学硕士学位论文 据引理2 1 可知( 9 - s m l ( g ) 定理3 4 设p 是g 的任意一个s y l o w p 一子群，其中p 是个素数如果f ( o p ( g ) ) s0 ，( a ) 并且g f + ( g ) 无主因子同构于g ，则o a t c 。f ( g ) 足一个p t 群 证明：设o - a u t o 。f ( g ) 是p 一方幂阶的我们只需证明o - i n n ( g ) 如果q ( q = 1 ， 则p = 1 ，结论成立如果0 ，( g ) = p ，根据推论2 6 可知，该定理成立f 习此我们不妨设 q ( g ) 1 并且p 不正规于g 为了方便，令m = 0 p ( g ) 如果z ( f + ( g ，) ) 不足一个p l 群( 注意到f + ( g m ) = f + ( g ) m ) 令日 ，s y l p ( z ( f + ( g a ，) ) ) 因此p l m 1 因为 p l m c h a r z ( f + ( g m ) ) 里g m ，所以p 1 m 翼c m 故此l p u m o p ( g m ) 一l ，得出 矛盾因此z ( f + ( g m ) ) 是一个p 7 一群而且o u t c o z ( g m ) 也是一个p 7 一群根据引理2 5 可 知，口l a i m ea u t c 。f ( c m ) 并且口l g m 仍是p 一方幂阶的因为o u t c o t ( g m ) 是一个p 7 一 群，所以fi c l , z ei n n ( g m ) 由引理2 3 可知，不妨设口g a s = i d g 胁因为o - a u t g 。f ( g ) ， 所以根据引理2 9 可知，存在一个p 一元素y g 使得o - p = c o n j ( ) i p 由 8 ，l e m m a1 9 1 可知，存在玑m 使得口f m = c o n j ( 可1 ) k 因此c o n j ( y ) k = ff = c o r z j ( y 1 ) i ，即 e o n j ( y y f l ) i = i dl m 这表明y y f l c 台( m ) ：显然口l p m = i dl p ，对于任意z p ，存在 m m 使得z 4 = z m p 故此p 。= p 因为o - i _ d = c o n j ( ) k 所以p = p 7 = p v 那么 y g c ( p ) 结果有y p 因此y y f l p 因为c p ( s s ) sm ，所以g 酊1 m 而且y l m ， 故此y m 那么c r c o n j ( y _ 1 ) i g m = i d a m 并且t r c o n j ( y 啊1 ) i p = i dr p 根据引理2 1 可知， 盯i n n ( g ) 推论3 5 设n 塑g 并且p 是一个不整除g n 阶的素数如果存在的一个s y l o wp 一 子群p 使得g 尸( o p ( ) ) o p ( ) 而且g 无主因子同构于q ，则o u t c d ( g ) 是一个p l 群 证明：根据定理3 4 和引理2 4 可知，推论成立 定理3 6 设g 的所有s y l o w 子群均是循环群，对于g 阶的素因子p ，如果g 的p 方幂阶 c o l e m a n 自同构还是类保持自同构，则o u t g 。f ( g ) 是p 一群 证明：设g 是极小反例，令”( g ) 是i g f 的全部素因子的集合设p ”( g ) ，取盯a u t g 。! ( g ) 是p - 方幂阶的非内自同构由已知条件可知，盯a u t g o l ( g ) na u t o ( g ) 由于g 的所有s y l o w 子群均是循环群，则g 是可解群 假设q ( g ) 1 ，显然对于g 0 ，( g ) 阶的素因子p ，g o p ( g ) 的p 方幂阶c o l e m a n 自 8 3o u t ( 。，( g ) 是p 一群 同构是类保持自同构，从而口i a o ，( g ) a u t c 酬( “c ) ，( a ) ) na u t o ( g d p ( 6 t ) ) ，再由g 的极小 性可知，口f c o p ( c ) = i dj c l o ，( g ) ( 必要时可用内自同构修改口) ，那么根据引理2 1 1 可得， 口h n ( g ) ，得出矛盾故此0 ，( g ) = 1 假设中( g ) 1 ，显然对于c e ( c ) 阶的素因子p c e ( c ) 的p 方幂阶c o l e r n a n 自同构 足类保持自同构，从而口i g m ( g ) a u t o 。2 ( c e ( c ) ) n a u t c ( g o ( g ) ) ，再由g 的极小性可知， 口j g 。( g j i dl c o ( c ) ( 必要时可用内自同构修改口) 如果p j 中( g ) j ，则设h 勖0 ( 中( g j ) 因 为中( g ) 是幂零群，故p t c h a r 垂( g ) 塑g 即日里g ，从而啡( g ) 1 ，得出矛盾因此，中( g ) 是p 群由 1 1 , i i i ，3 1 8 可得，口= i d 又得矛盾那么中( g ) = 1 显然f ( g ) 是p 一群，根据 1 1 , i i i ，45 可得，f ( g ) 是g 的阿贝尔极小正规子群的积 从而f ( c ) 可以写成g 的某些阿贝尔极小正规子群的直积 如果g 中仅有一个极小正规子群，由于g 是可解群，则c b ( f ( g ) ) 茎f ( g ) 又由于 0 台( f ( g ) ) 包含了g 的每个极小正规子群，故此不妨设f 屉g 的唯一极小正规子群显然，t 是q 一群，其中p q ( g ) ，且f ( g ) = 0 q ( g ) 可用内自同构修改。使得o - i f ( g ) 一i d f ( g 显然对于c f ( c ) 阶的素因子p ，c f ( c ) 的p 方幂阶c o l e m a n 自同构是类保持自同构，从 而仃i c f ( c ) ea u t c 。z ( g f ( g ) ) r 3a u t c ( o f ( g ) ) 再由g 的极小性和c c ( f ( g ) ) sf ( c ) 可 知，口】e l f ( g ) = i di g f ( g ) ，设p s y l p ( g ) 任取。p ，则存在y f ( c ) 使得z 4 = x y 令 他= 。( 口) 为p 一方幂的那么x = x 矿。= x y “从而y “= 1 即。( ) j n ，又y 是p 一元素，故此 y = 1 因此盯i p = i dl p ，由引理2 1 可知a = i d 矛盾因此，g 至少包含两个极小正规子群 且都在f ( c ) 内 任取g 的一个极小正规子群a ，则a f ( g ) 显然对于g a 阶的素因子p ，g a 的p 方 幂阶c o l e m a n 自同构是类保持自同构，从而g rl c a ea u t c o d g a ) na u t c ( g a ) 再由g 的 极小性可知，一f g a = i dl c a ( 必要时可用内自同构修改盯) 任取a g - ( 盯) ，g g ，则存在g l a 使得g 。= 9 9 1 且( 口9 ) 。= ( f f a - 1a 。( 旷) = ( 9 9 1 ) _ 1 a ( 9 9 1 ) = 万1 ( g - 1 a g ) 9 1 = a g c a ( 口) 由于a 是g 的极小正规子群，故此c _ ( 盯) = 1 或a 如果c a ( a ) = a ，则al a = 甜k 因此aj 尸= i dj p ，由引理2 1 可知o - = i d 矛盾 如果c - ( o ) = 1 ，由于a = c a ( 一) x 陋，。 ，故a = a ，a - 由引理2 1 2 可知，存在p 元素 9 青岛人学硕士学位沦文 7 g 使得( 丁i = 二- c o r d ( r ) k 从而有a = a ，r 】因此c a ( 7 ) = 1 由于g 的s y l o wp 一子群足 循环群，不妨设pes y l p ( g ) 且p = 和r p 任取s 且 茎 ，那么 c a ( 8 ) c a ( r ) = ，故此，下设“ ，则存在i n 使得u = 一显然矿l g a ：i dl g a 任取n a ，贝4n 一2 = ( 。r ) 。2 1 一( r1 。r ) 。1 = ( ( 7 ，a ) 1 “一r a ) 一22 = ( r f l r 一1 。r 7 - 1 ) 一。2 = ( n 一) “= = 口“，其中r 。= 1 且7 l a 从而，仃j 4 = c 0 7 7 j ( 4 ) k 任取b c a ( 口2 ) ，h g ( 6 “) 一= ( h1 b a ) ”一( h “) _ 1 b “妒。= i l h _ 1 b h h l = b “，其中 = h h l 且h 1 a 从而c a ( 矿) 望g 由于l 是g 的极小正规于群，则 ( 盯7 ) 一l 或c _ ( 0 1 ) = a 从而g i ( “) = 1 或 g _ ( “) = a 也就是说p 巾任意元素平凡或无不动点的作用在g 的每个极小正规子群上因 此g 的任意p 阶元平凡或无不动点作用在g 的每个极小正规子群上 如果存在g 的某个极小正规子群a 使得c p ( a = 1 则存在g 的另一个极小正规子群 b 使得a 1 口z1 不失一般性可设口i g 月= i d g 佃，则( 乃( 。) = 1 即b = b ，卅显然 口】a i dk 任取u a 一 1 ) ， b 1 ) ，存在p 元素z g 使得( u v ) o - = 7 i x v 。故此 z g 台( u ) 且z 不属于c 舀( ”) 故z c d a ) ，故此( j 4 ) 1 ，矛盾因此对于g 的任意一个 极小正规子群a 均有c p ( a ) l ， 由于p 是循环群，从而f ( g ) c | ( f ( g ) ) = m a e r q ) l ，其中r 是f ( g ) 的直积项 中g 的极小正规子群的集合这与0 ，( g ) = 1 矛盾 注定理3 6