（基础数学专业论文）美式期权定价及其应用和隐含波动率的计算.pdf

摘要 本文研究了美式期权的定价及其应用和隐含波动率的计算问题。这里“美式 是指”a m e r i c a ns t y l e ”，即具有提前实施功能的期权，而不仅仅是指普通的美式期 权。本文主要研究数值计算方法，并从数值计算方法的角度入手，对金融模型进 行相应的理论分析。 我们首先讨论的是美式期权的b t m 方法。期权定价在金融研究中具有非常 重要的地位，自本世纪中叶以来一直是数理金融研究的重要课题。b t m 既是期权 定价的数值方法，又是期权定价问题的离散模型，它体现了期权定价问题的结构。 我们在b t m 的框架下，不仅得到了美式期权自由边界的存在性，单调性，终值 时刻的位置，上下界估计，以及永久美式期权的定价公式，尤其重要的是，我们 用b t m 直接证明了美式期权价格在自由边界上的一阶连续性( 自由边界条件) ， 这说明美式期权价格在自由边界上的一阶连续性是内涵于美式期权定价的b t m 结构之中的，而无需任何其他的附加条件。对于跳扩散模型下的美式期权，我们 同样用b t m 方法研究了自由边界的性质，得到了相应的结果： 我们研究的第二个问题是对金融中的跳扩散模型的计算方法和理论分析的 深入研究。我们非常感兴趣的问题是在一般的跳扩散模型下寻求永久美式期权的 最佳实施边界的显式表达式，这是一个很有金融意义的问题。现有的结论中，能 够得到显式公式的情形局限于股价只能发生正跳( 看跌期权) 或股价对数过程的 跳量分布为指数分布( 负跳) 的条件下。我们用偏微分方程的方法，对一般的跳 量分布函数给出了永久美式期权定价的显式表达式。我们还把它应用到保险领域 及信用风险领域，研究了保费带随机波动的保险公司的破产概率问题以及随机利 率下公司债券的定价以及发行债券公司的破产概率问题。 我们研究的第三个问题是期权市场隐含波动率的计算问题，即根据期权市场 的价格信息重构( r e c o v e r i n g ) 原生资产隐含波动率。隐含波动率的计算一直是 期权定价中的一个非常重要的问题，也是一个非常具有实际应用价值的问题。 d u p i r e 的研究将它化为了一个标准的反问题，但是d u p i r e 公式却由于涉及对实 测数据的数值微分等因素因而是不适定的。假定隐含波动率是原生资产价格和时 间的函数，我们用正则化方法通过变分问题得到了求解隐含波动率的由一个二阶 非散度型方程和一个完全非线性变分不等式耦合的定解问题。这个计算问题的难 点在于变分不等式的非齐次项中含有未知函数的二阶导数项，我们用惩罚方法处 理变分不等式，在用有限元离散时采用h e r m i t 插值和隐式方法，保证了计算的 精度和稳定性，并对离散后的非线性方程组定解问题采用迭代求解，给出了迭代 格式和相应的收敛性分析，并给出了数值试验的计算结果。 关键词：b t m 分析，永久美式期权，最佳实施边界，跳扩散模型，隐含波动率 2 ab s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r i c i n gt h e o r ya n dt h e a p p l i c a t i o no ft h ea m e r i c a no p t i o n s a n dt h en u m e r i c a la l g r i t h mt h a tr e c o v e r st h ei m p l i e dl o c a lv o l a t i l i t yf r o mt h eo p t i o n m a r k e tp r i c e h e r e a m e r i c a no p t i o n s m e a n s a m e r i c a ns t y l eo p t i o n s , t h a ti s ，o p t i o n s w h i c hc a nb ee x e r c i s e db e f o r em a t u r i t y t h ef i r s tm o d e lw es t u d yi sb i n o m i a lt r e e a n a l y s i so fe a r l ye x e r c i s ef o r a m e r i c a n o p t i o n s b i n o m i a lt r e em e t h o d( b t m )i sad i s c r e t e m o d e la n d n u m e r i c a l m e t h o do fo p t i o np r i c i n g t h i sp a p e ri sd e a l tw i t ht h ea n a l y s i so fb t mf o r a m e r i c a no p t i o n si n - d e p t h ，d i s c u s s i n gt h ep r o p e r t i e so ft h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y i ti sp r o v e dt h a tt h e r ee x i s t sa no p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r yw h i c hi sm o n o t o n ea n di t s v a l u ea tm a t u r i t ya sw e l la sa l lo p t i m a lu p p e ra n dl o w e rb o u n d a r eg i v e n m e a n w h i l e ， t h es o l u t i o ns t r u c t u r eo fp e r p e t u a la m e r i c a no p t i o n si s s t u d i e da n da ne x p l i c i t e x p r e s s i o no ft h es o l u t i o ni sg i v e n f o rt h ec o n t i n u o u st i m em o d e lo fa m e r i c a no p t i o n t h ec o n t i n u i t yo ft h ep r i c i n gv ( s ，r ) a n dt h ea = a v a so nt h e o p t i m a le x e r c i s e b o u n d a r ys = s ( t ) a r ep r o v e df r o mb t ma s f - - f f0 w ea l s os t u d i et h eb i n o m i a l t r e ea n a l y s i so fe a r l ye x e r c i s ef o ra m e r i c a no p t i o n si nj u m p d i f f u s i o nm o d e l t h es e c o n dp r o b l e mw e s t u d yi st h ep r i c i n go f t h ep e p e r t u a la m e r i c a n o p t i o n si n j u m p 。d i f f u s i o nm o d e l ，w h i c hi sv e r yi n t e r e s t i n gi nt h er e s e a r c ha e r o e so fq u a n t i t a t i v e f i n a n c e u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt h es t o c kp r i c ec a nj u m p o n l yu p w a r d ( p u to p t i o n s ) o rt h ed i s t r i b u t i o no ft h ej u m ps i z eo ft h el o g r i t h mp r o c e s so ft h es t o c kp r i c eh a s e x p o n e n t i a lf o r m ，t h e r ei sa l r e a d ye x p l i c i tf o r m u l af o rp r i c i n gt h ep e p e r t u a la m e r i c a n o p t i o n s h o w e v e r ，t h e s ec o n d i t i o n sa r eal i t t l et o os t r o n g w eg i v eac l o s e df o r m u l ao f t h ep r i c i n go ft h ep e r p e t u a lp u to p t i o n si nj u m p d i f f u s i o nm o d e li nt h ec o n d i t i o nt h a t t h es t o c kp r i c ec a nj u m pd o w n w a r d so ru p w a r d sa tr a n d o ma n dt h ej u m ps i z e d i s t r i b u t i o ni sg e n e r a l w h a t sm o r e ，w ea p p l i e do u rm e t h o dt os t u d yt h ec l a s s i c a lr i s k p r o c e s st h a ti sp e r t u r b e db yd i f f u s i o na n dt h ep r i c i n go ft h ec o r p o r a t eb o n d s 3 t h et h i r dp r o b l e mw es t u d yi st h en u m e r i c a la l g r i t h r nt h a tr e c o v e r st h ei m p l i e d l o c a lv o l a t i l i t yf r o mt h eo p t i o nm a r k e tp r i c e d u p i r er e d u c ei n d i t i f i c a t i o no f v o l a t i l i t y t oas t a d a r di n v e r s ep a r a b o l i cp r o b l e m h o w e v e rt h ed u p i r ef o r m u l ai sn o ts t a b l e b e c a u s eo ft h en u m e r i c a ld i f f e r e n c et e r m so ft h eo p t i o nm a r k e tp r i c e a s s u m et h a tt h e l o c a lv o l a t i l i t yi st h ef u n c t i o no fs t r i k ep r i c ea n dt h em a t u r i t y ，a n di tt u r n so u tt h a tt h e u n k n o x v nv o l a t i l i t ys o l v e sa np a r a b o l i cv a r a t i o n a li n e q u a l i t yc o u p l e dw i t ha p a r a b o l i c e q u a t i o nw i t hn o n d i v e r g e n c ef o r mi nt h eo p t i m a lc o n t r o lf r a m w o r k i ti sn o te a s yt o g e tas t a b l ea l g r i t h mf o rt h i ss y s t e mb e c a u s ei nt h ev a r a t i o n a li n e q u a l i t yt h e r ei sa t e r mo ft h es e c o n dd e r i v a t i v e so ft h eu n k n o w nf u n c t i o n w eu s ep e n a l t yf u n c t i o nt o s o l v et h ev a r a t i o n a li n e q u a l i t ya n dd i s c r e t et h es y s t e mw i t hh e r m i t t ei n t e r p l a t i o nt og e t a c c u r a t er e s u l t t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wo u r a l g r i t h mi sv e r ys t a b l e k e y w o r d s ：b t m ，p e r p e t u a la m e r i c a no p t i o n s ，o p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r y ，j u m p d i f f u s i o n ，i m p l i e dv o l a t i l i t y 4 第一章引言 本文研究了美式期权的定价及其应用和隐含波动率的计算问题这里“美式”是指”a m e r i c a ns t y l e ”，即具有提前实施功能的期权，而不仅仅是指普通的美式期权本文主要研究数 值计算方法，并从数值计算方法的角度入手，对金融模型进行相应的理论分析 我们知道，实际金融市场上交易的期权，绝大多数都是美式的，即具有提前实施功能 的美式期权的定价是现代金融研究的一个热点，在金融市场上具有很重要的应用美式期 权定价的核心问胚，就是如何确定它的最佳实施边界，以使得期权持有人获得最佳回报本 文不仅研究了扩散模型，还研究了跳扩散模型，尤其是一般跳量分布下永久美式期权定价问 题这是一个金融领域非常感兴趣的问题。本文还把美式期权定价的思想，应用到确定保险 公司破产概率，随机利率下公司债券定价和破产概率研究以及抵押贷款计算等现代金融研 究的重要领域 隐含波动率的计算问题来源干实际市场可以说金融资产的波动率几乎是市场人士最为 关心的问题虽然波动率无法直接观测，但是期权市场蕴含了原生资产未来波动率的信息。 我们可以通过不同敲定价格和不同到期日的期权的报价，来反求原生资产价格的波动率这 是期权定价理论中很有实际应用价值的问题之一 1 1美式期权提前实施的二叉树分析 我们知道，美式期权是一张具有提前实旅条款的合约由于拥有提前实施的获利机会， 一般而言它比欧式期权更贵持有人花了更多的期权金，能否取得相应回报，取决于持有人 是否能抓住有利时机，适时的实施这张合约从数学上看，美式期权的定价问题是个自由 边界问题，这条自由边界是一条需要确定的交界线，它将区域 oss 0 ，p = 1q - r a t ，t 7 三1 - - q a t ，u 1 t d = 1 , a t = 丙t ，i 。= n ，岛= 3 4 令 妒j = ( 1 一岛) + ，哆= v ( s j ，i n ) ：= 0 ：e l ，：e 2 ， ：0 n n 定义测度q ： p r o b q ( s t + a t = s u i s f - s ) ；p = i p l t i i - d p r 。b q ( s t + t = s d l s c = s ) = 卜p = i 2 , - i p , 7 可以证明，q 为等价鞅测度( f 9 1 f 2 6 1 ) 故： 三矾1 阢) = 岛) = 刍暗噶1 ”刊噶1 】 因此美式看跌期权定价的二叉树方法为： 第一章引言 墨5i ：懿 i 1r f ”：v n + l + ( 1 一纠噶1 1 矧 ( 1 “) 【= ( 1 一s j ) + = 咖 ”7 1 9 9 4 年a m i na n dk h a n n a ( 2 ) 采用概率方法最先证明了美式期权b t m 方法的收敛性； 因为b t m 方法等价于一类显示差分格式，1 9 9 5 年b a r l e se ta l ( 【4 1 【5 1 ) ，借助于粘性解，证明 了期权定价中的抛物方程差分格式的收敛性；1 9 9 9 年j i a n g ，l d a i ，m ( 2 8 ) 讨论了美式 期权的二叉树方法的收敛性。同时他们还把b t m 方法推广到亚式期权( 【2 9 1 ) 本文在b t m 的框架下，主要讨论了美式期权价格的性质尤其是最佳实施边界的性质， 包括最佳实施边界的存在性，单调性，终值时刻的位置以及它的上下界估计，用b t m 直接 分析了永久美式期权定价的解的结构，给出了期权价格和最佳实施边界的显示表达式尤其 重要的是，我们用b t m 直接证明了当f 一0 时美式期权价格在自由边界上的一阶连续性 ( 自由边界条件) ，即证明了在最佳实施边界上a = 鬻的连续性，这说明美式期权价格在自 由边界上的一阶连续性是内涵于美式期权定价的b t m 结构之中的，而无需任何其他的附加 条件 1 2跳扩散模型中的美式期权提前实施的二又树分析 由于b s 模型中的许多假设不符合实际市场，许多学者在b - s 模型的基础上对b s 模型进行了修正，如假设原生资产的价格过程不是一个扩散过程，而是一个跳扩散( j u m p - d i f f u s i o n ) 过程跳扩散模型假设金融市场上资产的价格过程同时受到布朗运动和泊松过程 的控制布朗运动刻划价格的随机波动，而复合泊松过程则刻划突发事件所导致的金融市场 上资产价格的剧烈变化( 跳跃) 跳跃发生的时间 t 】t o 服从泊松分布，跃度以是独立同 分布的随机变量对于强度( 平均发生率) 是入的复合泊松过程，在出时间内，跳跃发生 的概率为入d t a m i n ( 2 ) 首先将期权定价的b t m 推广至跳扩散模型中在跳扩散假设下，基础资产 的价格可能发生非局部的跳跃，此时市场是不完全的，因此等价鞅测度不唯一，每一个等价 鞅测度都定义了未定权益的个可容许价格 以看跌期权为例，记非负常数k ，t 分别为期权的敲定价格和到期时间，非负常数q ，p ，盯 分别为基础资产的红利率，期望收益率和波动率，r 为无风险利率t 是密度为入的泊松 j 2 跳扩散模型中的美式期权提前实施的二又树分析 5 过程，跳量是取值于( 一1 ，o c _ ) 的平方可积，独立同分布的随机变量序列泊松过程与基 础资产的价格过程相互独立 无妨假设k = 1 ，q 0 ，设p = 1 + r a t ，叩= 1 + q a t ，t 1 且u d = 1 ，a t = 斋，t 。= n a t s ，= o 令 咖= ( 1 一岛) 十，叩= y ( s j ：t n ) ，j = o ，4 - 1 ，4 - 2 ，) ，0 n n 由a m i n ，假设基础资产价格在时段后在一个离散集合s t 。，f z 中取值，扩散过 程使雪产生局部变化：s u 和s d 而当泊松跳发生时，s 跳到集合中任何可能值，即跳过 程使s 产生非局部变化由此对2 z ，记 p t = p r o b ( 1 n ( 1 + u 1 ) 【( z 一1 2 ) l n u ，( z + 1 2 ) l i l t 】) 如下定义测度q ：无跳发生时，p r o b q s t + t = s u l s t = s ) = p ，其中 型! 二苎垒! 圣! 墨! 丝一d p = j 二坠l - _ 二 t 一口 且p r o b q s t + a t = s d s t = s ) = 1 一p ；跳发生的概率以及由跳引起的基础资产的价格 分布与市场中的客观概率相同可以证明( 2 1 ) ，q 为等价鞅测度，且此时必有p = r 一从， 其中七= e u l 因此 昙伊( v - + l i s ( t n ) = 岛) = ( 1 - - a a t ) ( p 喁1 + ( 1 一p ) 巧3 1 ) + a t i e z 嘴1 p f l 所以，跳扩散模型下美式看跌期权的b t m 为 j 吁= 蚴【 ； ( 1 一入t ) ( p 瞄1 + ( 1 一p ) v - 土1 ) + a l z 嘴1 见】，叻 【= ( 1 一s j ) + 1 9 7 6 年m e r t o n ( 3 5 ) 在假设跳风险是非系统可分散的条件下给出了欧式期权的个显 式公式1 9 9 3 年a j i l i n ( 2 1 ) 讨论了带跳扩散的期权定价模型的b t m 方法2 0 0 3 年，x u c ，q i a nx 和j i a n gl ( 4 2 1 ) 讨论了跳扩散模型欧式期权二叉树方法的数值分析，给出了误 差估计2 0 0 3 年，y a n g ，c ，b i a nb ，j i a n gl ( 4 3 1 ) 在粘性解的框架下研究了美式期权 的二叉树方法的收敛性p h a m ( 3 6 3 7 ) 用粘性解的方法研究了带跳扩散的美式期权 我们知道，由于复合泊松过程的影响使得期权价格成为一个非局部的问题，那么，复合 泊松过程将如何影响期权的最佳实施边界呢? 我们通过b t m 对跳扩散模型下美式期权最 佳实施边界的性质进行分析，研究了最佳实施边界的存在性，单调性，终值时刻的位置以及 它的上下界估计，用b t m 直接分析了永久美式期权定价的解的结构，并证明了当t 一0 时美式期权定价及其导数在最佳实施边界上的连续性 值得注意的是，在跳扩散模型下，要在一般的跳量分布假设下对永久美式期权的价格和 自由边界给出个显示的定价公式，比扩散模型下要困难得多了在b t m 框架下，我们给 出当跳量分布满足一定条件时永久美式期权的定价公式借助于连续模型，我们可以通过分 析的方法，对于一般的跳量分布，给出永久美式期权价格及其自由边界的- 个显式的公式 6 1 3一般跳量分布下永久美式期权定价 第一章引言 虽然可以通过b t m 算法对永久美式期权定价，但寻求永久美式期权自由边界的显示表 达式仍然是一个人们非常感兴趣的问题这不仅因为它是美式期权自由边界的一个下界估 计，在金融上，人们更加希望能够得到永久美式期权自由边界的一个显式表达式，而不仅仅 只是一个数值算法 z h a n gx i a o l a n ( 4 4 1 1 4 5 4 6 1 ) 研究了美式期权的数值计算方法和永久美式期权，得出了只 有正跳时永久美式看跌期权的最佳实施边界的显式表达式她研究的跳扩散过程是： 警= c r 一出+ 口挑+ d 薹乃：乃印删 3 m 条件z j ( 0 ，) 表示股票只能向更高的价格跳跃，即只能从继续持有区域跳入继续持有区 域此时永久美式期权的定价是： 氏= 普哪，= 临g - - s ；至芝 其中叩是方程 ；南。+ ( r - a k - i a 2 ) t 7 - ( r + a ) + 恻e 畅) = 。 的负根，c = 赞 但是，股票价格只能发生正跳是一个比较强的条件，更让人感兴趣的应该是负跳在实 际市场上，我们更关心的可能是价格出现暴跌的情形而且在存在负跳的情况下，股价可能 在瞬间从继续持有区域跳入停止实施区域，从而影响期权的实施下图显示了殷价发生正跳 和发生负跳的区别1 是正跳，2 是负跳假设股票价格的对数过程为跳扩散过程，且跳量 分布函数为指数形式时， e r n e s t om o r d e c k i ( 1 4 ) 给出了永久美式看跌期权的一个封闭解 在这种情况下，永久美式期权的价格也具有指数形式【1 4 】的方法不能解决一般的负跳 正跳和负跳 最早将期权定价问题与保险理论联系在一起的是g e r b e r 和s h i u 保险公司资产过程 中的理赔一项正是复合p o i s s o n 过程( 跳) 对于只有跳没有扩散的情况，1 9 9 7 年g e r b e r 和 s h i n 借用破产理论( r u i nt h e o r y ) 研究破产概率的方法( 2 1 】【2 0 】 2 2 】) ，得到了永久美式期权 j 4 美式期双定价的若干应用 的最佳实施边界的一个显式表达式g e r b e r 和s h i u 研究的两种股票过程为： d s s , ：c 出一d 1 v t 乙( c 。) = c r i z 一，l z 二i r 、i i l & “刍叩卜7 鲁：捌+ d 量孙 。) = 一r 仃r + ， ，：f ，、i i i & 刍幻卜7 7 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 这里乃( 0 ：o o ) 是股票发生跳跃的幅度( 1 3 2 ) 表示股票只发生负跳，( 1 3 3 ) 表示股票只 发生正跳，因此并不是普遍的可正可负的跳分布，而且，由于没有扩散项，纯跳过程的永久 美式期权价格满足的是一阶微分积分方程，而我们研究的是股票服从跳扩散过程的情况： d 讲s - - 3 t = ( r - a k ) d t + a d 肌+ 噻乃承c ， 3 q 条件z j ( - 1 ，o o ) 表示股票的价格即可以发生正跳，也可以发生负跳此时永久美式期权 满足的方程是两阶的： f 叮2 s 2 翥+ ( ，一址) s 器一( r + a ) y + a 伫y ( s ( 1 + 可) ) p ( ! ，) 曲= o y ( 如) = 1 一s o o ，v ( 如) = 一1 ( 1 3 5 ) 【v ( o o ) = 0 这是一个两阶的微分积分方程的自由边界问题我们假设 伫v ( u ) d u = 1 伫卯( 可) 妇= 七 o o i p ( ) i c ( 1 + ) ，0 , 81 ，+ 一1 ， 通过变量变换将求解区域化为固定区域，并将自由边界化到方程的非齐次项中，并引入格林 函数( g r e e nf u n c t i o n ) ，得到方程的解用自由边界表达的个级数表达式，再通过自由边界 条件得到自由边界的显式表达式这样我们就对一般的跳量分布得到了永久美式期权的定 价公式 事实上，我们求解这个问题的方法，不仅仅可以应用在期权定价领域我们将它应用到 保险领域和信用风险领域，得到了保费带随机波动的保险公司有限时间和无限时间破产概 率的求解公式，以及公司资产服从跳扩散过程时，公司债券定价和它的破产概率公式在许 多场合下，假设基础资产服从跳扩散过程是更符合市场实际，更为合理的可以看到，我们 的方法对于处理跳扩散的问题。是具有很普遍的应用的 1 4 美式期权定价的若干应用 1 4 1保费带随机波动的保险公司的破产概率研究 我们研究了非寿险领域的个重要模型一一保费带随机波动的保险公司的破产概率问 题这个模型是g e r b e r 首先提出的，之后得到了广泛的研究( g e r b e r ( 1 9 7 0 ) ，d u f r e s n ea n d 8 第一章引言 g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ( 1 2 ) ，v e r a v e r b e k e ( 1 9 9 3 ) ，f 、a r r e ra n ds c h m i d l i ( 1 9 9 4 ) ，s c h m i d l i ( 1 9 9 5 ) ， z h a n g ( 1 9 9 7 ) ，w a n ga n dw u ( 2 0 0 0 ) ( 1 3 9 4 0 ) ) 对于无限时间的破产概率的正则性，( 【3 9 1 ) 采用概率方法给出了破产概率二次可微的一个证明事实上，我们证明了在一定条件下无限 时间的破产概率是无穷次可微的对有限时间的破产概率的正则性，用概率方法是不容易证 明的 考虑保险公司的风险资产过程： ( 1 4 1 ) 这里，忍是保险公司t 时刻的资产盈余，t 为其初始资产，c 为保费率，w ；表示由于随 机干扰造成的保费收入的不确定性t 是强度为a 的时齐p o i s s o n 过程，它表示累积到t 时刻总的理赔次数，z 1 ，历：为每一次理赔的金额，它们是独立同分布的正的随机变量， 与t 相互独立，具有概率密度函数r e ( z ) ，z ( 0 o o ) 假设e 历= k 0 定义破产时间r = i n f t ：r t o ) ，我们关，l - 的问题是：保险公司t 时刻前破产的概率 和最终破产概率是多少? 在这个模型中，有两种引起保险公司破产的因素：当保险公司的资产位于0 边界附近， 即保险公司资产很小时，由于随机波动的影响将导致其迅速破产；当保险公司的资产达到一 定的数量，导致其破产的主要因素则是由于理赔事件的发生 我们运用偏微分方程的理论和方法，通过引入格林函数，将微分积分方程化为等价的积 分方程，再用迭代过程给出了有限时间的破产概率的级数形式的解析解，得到了它的正则 性我们还研究了当t o o 时破产概率的解析解和正则性并给出了相应的数值计算结果 1 4 2 随机利率下公司债券定价及公司破产概率研究 无息票公司债券是指一份债券持有者在到期时得到$ 1 偿付的企业债券由于存在因公 司破产导致的违约可能，因此公司债券的收益率要高于无风险债券的收益率 最早m e r t o n ( 3 4 ) 在违约不能在债券到期前发生，利率为常数等假设下用结构化模型 ( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 为公司债定价b l a c ka n dc o x ( 6 】) 最早刻划了当公司资产降低到某 一特定的破产边界时公司违约这之后的一个重要的工作是l o n g s t a f fa n ds c h w a r t z ( f 3 2 】) 模 型：它假设公司资产服从几何布朗运动 短期利率模型为v a s i c e k 模型： 等：7 出+ 盯d m 瓦2 7 出+ 盯d w l ( 1 4 2 ) d r t = ( ( 一b r t ) d t4 - 卵d i ( 1 4 3 ) 其中c o v ( d w l ，d w 2 ) = p d t ( i p l 1 ) 并假设破产边界为常数k 我们知道，个公司破产常常是由于突发事件导致的，因此在用结构化模型给公司债券 定价时，假设公司的资产服从跳扩散过程是合理的我们假设在风险中性的意义下公司资产 服从跳扩散过程： u = r 乃 m 芦 d一 眠 d盯+甜 f |rd j 5 金融反问题：隐含波动率计算 d v t = r d t + a d 薹乙 9 ( 1 4 4 ) 短期利率模型为( 1 4 3 ) ，并假设破产边界为k d ( r ，f t ) ，其中k 为常数，d ( r ，t ) 为无风险零息债券的价格如果公司资产在到期日丁前达到或低于k d ( r ，t ：t ) ，则破产发 生，此时债券持有人只能得到到期日偿付的( 1 一u ) 倍，常数1 一u ( 0 u 1 ) 表示破产后 的回收率此时，在风险中性的意义下公司债券满足的方程是一个两维抛物型的微分积分方 程我们通过引入相对价格体系将它化为一维问题，并引入具有吸收边界的格林函数( g r e e n f u n c t i o n ) ，得到了公司债券价格和破产概率的级数形式的表达式 1 4 3 基于期权定价理论的抵押贷款计算 抵押贷款是指借款人以房产，股票等风险资产作抵押向金融机构贷款的一种借贷合约 固定支付利率的抵押贷款( f i x e d r a t e - m o r t g a g e ，f r m ) 是指在整个贷款期限内，支付利率不 随时间变化，即借款人每月支付固定的款额( 包括当月利息和部分本金) 贷款合约允许借 款人提前支付和违约 基于期权原理的抵押贷款定价理论是由h e n d e r s h o t t 和v a no r d e r 以及k a u 和k e e n a n 等人将b l a c k - s c h o l e s 的期权定价理论应用到抵押贷款问题上而发展起来的我们将抵押贷 款看作被抵押风险资产和随机利率的衍生物，考虑抵押贷款的市场价格 假设v ( t ) 表示t 时刻抵押贷款的市场价格，h ( t ) 表示被抵押风险资产的价格，m ( t ) 表示未来将获得的现金流在时刻的贴现值，p ( t ) 表示t 时刻借款人的提前支付权益，d c t ) 表示借款人t 时刻的违约权益，l ( t ) 表示t 时刻剩余的贷款额( 包括当月应付利息) ，则由于 抵押贷款价格等于借款人的借款成本，因此当利率下调到一定程度，使得v ( t ) l ( t ) 时， 借款人应理性的提前支付；当风险资产价格下降到h ( t ) v ( t ) ，借款人应理性的违约因 此，抵押贷款存在两条自由边界：提前支付边界和违约边界 由于借款人一般都在支付日考虑是否需要提前支付和违约，对一张固定支付利率的抵 押贷款，我们考虑仅允许借款人在支付日0 = t o t l t i t n = t 实施提前 支付或违约的权利时，抵押贷款的定价问题假设被抵押的风险资产的价格服从几何布朗运 动，短期利率为v a s i c e k 模型，我们得到了抵押贷款价格满足一个两维的偏微分方程模型 从期权定价的角度看，这是一个百慕大( b u r m u d a n ) 期权，虽然可以通过变换计价单位 求出它的用多重积分表示的解析表达式，但这个表达式形式复杂，难以应用我们通过引入 特征线差分方法，沿利率特征线方向差分偏微分方程建立问题的b t m 方法，并给出了数值 计算的结果和风险分析 1 5金融反问题：隐含波动率计算 隐含波动率，是指由单个期权价格所导出的原生资产的波动率隐含波动率的计算，即 根据期权市场的价格信息重构( r e c o v e r i n g ) 原生资产隐含波动率这是期权定价中的一个 非常重要，也是非常具有实际应用价值的问题 根据b l a c k - s c h o l e s 公式的假设，波动率即是常数，但事实并非如此，由不同敲定价格 和不同期限的期权报价得到的原生资产的波动率，是k ，t 的二元函数，即唧= 唧( e t ) 1 0 第一章引言 因此在推导b s 公式时，关于原生资产波动率唧的更为合理的假设应该认为它是时间t 和 原生资产价格s 的函数，即唧= a p ( s ，) 因此我们的问题是： 若v = v ( s ，f ；唧，k t ) 是看涨期权的定价，即它适合 i 謇+ ；审( s ，o s 2 怒+ ( r q ) s 筹一r v = 0 ( 0 s 0 0 ，0 t ) iv ( s ，t ) = ( s k ) + ( oss o o ) 问如何确定o p = 即( 只t ) ，( 0 茎s 0 0 ，t o 乃) ? 根据d u p i r e ( 1 3 ) 解法或共轭方法，可以把原来b - s 方程中的参数k ，丁转化为变量， 从而d u p i r e 的研究将它化为了一个标准的反问题，并得到d u p i r e 公式： a p ( k ，t ) = 但是d u p i r e 公式却由于涉及对实测数据的数值微分等因素因而是不适定的d u p i r e 解法的 意义在于把确定隐含波动率的问题转化为了一个抛物方程的终端控制问题 假设隐含波动率只是原生资产价格的函数，而与时间无关，l i s h a n gj i a n g ，q i h o n gc h e n ，l i j u n w a n g ，j i nz h a n g ( 3 0 ) 2 0 0 3 年用控制方法得到了求解隐含波动率的一个适定算法此时问题 的提法为： 假设t = t o ，s = s o 时，已知 y ( 岛，t o ；唧，k ，t ) = v o ( k ) ( 0 k o o ) 问如何确定= 即( s ) ，( 0 s t o 的期权报价，在一个短时段【t o ，噩】内，并无市场报价，因此应该定义 唧c s ，t ，= ： 喜? 。，死t o t 。 0 ，p = 1 + r a t ，t 7 = 1 - t - 口，t 1 t d = l ，= 丙t ，。= 几，岛= 兮 叻= ( 1 一岛) + ，哼= y ( 岛，t n ) ，j = o ，4 - 1 ，4 - 2 ，- - ，0 n n 定义测度q ： n 。6 q ( & + t _ 剐鼠= s ) = p = p i , 7 - 丁d p r 。b q ( s t + t = s d l b t = s ) = 1 一p = 百札- p l o 可以证明，q 为等价鞅测度( 【9 】【2 5 】) 故： 丢e q ( v “陬) = 岛) = 去 p 噶1 + ( 1 刊喁1 】 因此美式看跌期权定价的二叉树方法为： l n 一_ 、石1 旷? n + + ，l + ( 1 刊噶1 ) ( 2 1 - 1 ) i = ( 1 一s j ) + = 叻 r 7 2 2 最佳实施边界的性质 这一节我们研究最佳实施边界的性质首先 定理2 2 1 ( 期权价格的单调性) ：对任意礼= 1 ，2 ，和歹z ，有 ( 1 ) 甲- 1 吁 ( 2 ) 吁睇1 ， 由倒向归纳过程容易证明 1 3 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 且 第二章美式期权提前实施的b t m 分析 定理2 2 2 ( 最佳实施边界的存在性) ：对任意n = 1 2 ，n 一1 ，存在j 。，使得 歹 j 之j 。+ 2 j 一，= m i n - 1 , f 里丛二i n 翌u 咝j ) ，( f z j = m a x n j n 伽 当j 仍，岛 批一 ( 2 2 6 ) n叻 叻 n l l 一吁吁，-i，、 2 2 最佳实施边界的性质 一1 当r 口 1 l n u 一1 当r 町。+ 。+ l 吆+ 。= 仍川i e 靠= j k + 1 嗡+ l + ii e - 靠= 靠+ l 一1 定义j n =