（基础数学专业论文）纤维拓扑的可数仿紧性.pdf

学位论文独创性声明 ；i i t l liil i i i i i i l l l l lu l i i i i i l l lill y 17 9 5 3 3 4 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名：二垒殛生牡 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名：企啤 指导教师签名： 签名日期： vl 。 年彭月( p 日 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 纤维拓扑是近代拓扑理论中发展较为迅速的一个分支，许多一般拓扑中的主要概念 与结论都有其纤维对应其中，可数仿紧性作为仿紧性的推广，在一般拓扑空间中占有 一定重要的地位，有一些有趣的性质；同样纤维可数仿紧性作为纤维仿紧性的推广，在 纤维拓扑空间中也具有一定重要的地位，相应的也有一些有趣的相关性质本文的主要 目的是结合一般拓扑中已有的可数仿紧性定义及其相关性质，进一步补充和完善其在纤 维拓扑中的定义及其性质 本文第一部分利用一般拓扑与纤维拓扑的联系，将纤维拓扑的底空间限定为一点， 给出了一种比较弱化的定义点式纤维可数仿紧空间但是这种定义不能深刻的体现 纤维拓扑的思想，纤维拓扑中基空间所起的作用是区分一般拓扑与纤维拓扑的重要标 志故本文第二部分不仅考虑到一般拓扑中可数仿紧性与每个纤维之间的联系，并进一 步考虑到它与底空间邻域的纤维的联系，给出了纤维可数仿紧空间的定义本文第三部 分利用i m j a r n e 对局部紧空间定义的方法，不仅考虑了基空间的局部性，而且对纤维拓 扑空间石也做了局部的限制，定义了纤维局部可数仿紧空间并且在各部分中把一般拓 扑中可数仿紧空间的一些重要性质也相应的过渡到了点式纤维可数仿紧空间，纤维可数 仿紧空间及纤维局部可数仿紧空间 本文最后一部分系统的讨论了不同基空间的广义纤维范畴t o p , ( 对象是不同基的纤 维拓扑空间，态射是不同底的保纤维映射( 厂，九1 ) 中的态射满足什么条件时仍能保持( 逆 保持) 点式纤维可数仿紧性，纤维可数仿紧性，纤维局部可数仿紧性 关键词：点式纤维可数仿紧性；纤维可数仿紧性；纤维局部可数仿紧性；纤维映射； t o p , 范畴 纤维拓扑的可数仿紧性 c o u n t a b l yp a r a c o m p a c t n e s so f f i b r e w i s et o p o l o g y a b s tr a c t f i b r e w i s et o p o l o g yi sab r a n c ho fm o d e r nt o p o l o g yt h e o r y , w h i c hd e v e l o p e dv e r y q u i c k l y t h e r ea r ef i b r e w i s ev e r s i o n so fm a n yo ft h ei m p o r t a n tc o n c e p t so ft o p o l o g y a m o n g t h e m ，t h ec o u n t a b l ep a r a c o m p a c t n e s s ，a sap a r a c o m p a c t n e s sp r o m o t i o n ，h o l d si m p o r t a n t s t a t u si ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e ，a n di th a ss o m ei n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s a l s o ，t h ef i b r e w i s e c o u n t a b l ep a r a c o m p a c t n e s s ，a saf i b r e w i s ep a r a c o m p a c t n e s sp r o m o t i o n , h o l d si m p o r t a n t s t a t u si nf i b r e w i s et o p o l o g i c a l s p a c e ，a c c o r d i n g l y i th a ss o m e i n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s c o m b i n e d 谢t l lt h ea n a l y s i so ft h ee x i s t e dc o u n t a b l ep a r a c o m p a c t n e s sd e f i n i t i o na n di t s c o r r e l a t i v ep r o p e r t i e si ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e ，t h ea i mo ft h ep a p e ri st os u p p l e m e n t f i b r e w i s ev e r s i o no ft h ed e f i t i t i o no fc o u n t a b l ep a r a c o m p a c t n e s sa n dt i sc o r r e l a t i v ep r o p e r t i e s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，p o i n t f i b r e w i s ep a r a c o m p a c tw h i c hi saw e a kd e f i n i t i o ni s g i v e nb yt h el i n kb e t w e e nf i b r e w i s et o p o l o g ya n dg e n e r a lt o p o l o g y ，w h e nt h et o p o l o g i c a lb a s e s p a c ei sl i m i t e dt oo n ep o i n ts p a c e b u tt h em a n n e ro ft h ed e f i n i t i o nc a l ln o tp r o f o u n d l yr e f l e c t t h ei d e a so ff i r e w i s et o p o l o g y ，b e c a u s et h er o l eo ft h eb a s es p a c ei st h em a i nd i f f e r e n c e b e t w e e nf i b r e w i s et o p o l o g ya n dg e n e r a lt o p o l o g y i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r , t h e f i b e r w i s ec o u n t a b l ep a r a e o m p a e ts p a c ed e f i n i t i o nw h i c hi sn o tn o to n l yt a k e ni n t oa c c o u n t t h el i n kb e t w e e nc o u n t a b l ep a r a c o m p a c to f g e n e r a lt o p o l o g ya n de a c hf i b e r ，b u ta l s ot a k e ni n t o a c c o u n tt h en e i g h b o r h o o do ft h eb a s eo ft h ef i b e r w i s es p a c ei sg i v e n e d i nt h et h i r dp a r to ft h e p a p e r ，t h ea u t h o rw o u l dl i k et oh a v eas y s t e m a t i cw a yo fp r o d u e t i n gf i b e r w i s el o c a l l y c o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c e ，w h i c hi sn o to n l yt a k e ni n t oa c c o u n tt h el o c a l i t yo ft h eb a s e s p a c e ，b u ta l s om a d e nf i b e r w i s et o p o l o g i c a ls p a c el i m i t m e a n w h i l e ，m a n yo ft h ei m p o r t a n t r e s u l t sw es h a l lb e p r o v i n gi np o i n t f i b r e w i s ec o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c e ，f i b e r w i s e c o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c ea n 、df i b e r w i s el o c a l l yc o u n t a b l ep a r a c o m p a c ts p a c ea r ef i r e w i s e v e r s i o n so fr e s u l t sw h i c hw i l lp r o b a b l yb ew e l lk n o w e nt ot h er e a d e ri ng e n e r a lt o p o l o g y s p a c e i nt h el a s t p a r to ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s s e st h a t ：b e s i d e st h ee o d i t i o n sw h i c ht h e m o r p h i s m s h o u l d s a t i s f y t o p r e s e r v e ( i n v e r s e l yp r e s e r v e ) p o i n t - f i b r e w i s ec o u n t a b l e p a r a c o m p a c t n e s s ，f i b r e w i s e c o u n t a b l e p a r a c o m p a c t n e s s，f i b r e w i s el o c a l l y c o u n t a b l e p a r a c o m p a c m e s si nt h et o p , c a t e g o r y ( t h eo b j e c t sa r et h ef i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e so v e r d i f f e r e n tb a s es p a c e s ，m o r p h i s mf r o mxt oy i sap a i r ( f ，a ) ) 一i i 辽宁师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：p o i n t - f i b r e w i s e c o u n t a b l e p a r a c o m p a c t n e s s ；f i b r e w i s e c o u n t a b l e p a r a c o m p a c t n c s s ； f i b r e w i s e l o c a l l y c o u n t a b l e p a r a c o m p a c t n e 鼹； f i r e w i s e i i i 纤维拓扑的可数仿紧性 目录 挠要：i a b s t r a c t 】：【 l 绪论。1 1 1 问题提出1 1 2 文章结构与内容简介。2 2 预备知识3 3 点式纤维可数仿紧空间6 3 1 点式纤维可数仿紧定义6 3 2 点式纤维可数仿紧空间的性质一8 4 纤维可数仿紧空间1 3 4 1 纤维可数仿紧定义1 3 4 2 纤维可数仿紧空间的性质1 5 5 纤维局部可数仿紧空间2 0 5 1 纤维局部可数仿紧定义2 0 5 2 纤维局部可数仿紧空间的性质2 0 6 范畴t o p , 中的纤维可数仿紧性的讨论2 3 6 1 范畴t o p , 中的点式纤维可数仿紧住的讨论2 3 6 2 范畴t o p 中的纤维可数仿紧性的讨论2 4 6 3 范畴t o p , 中的纤维局部可数仿紧性的讨论2 6 参考文献2 8 致 射2 9 辽宁师范大学硕士学位论文 1绪论 1 1 问题提出 纤维拓扑是近代拓扑理论中较为重要的一个分支早在一个世纪前r i e m a n n 就提出 了纤维拓扑的思想然而直到上个世纪3 0 年代初，在h u r e w i e z 研究的纤维空间和稍晚 一些w h i t n e y 研究的纤维丛理论的基础上才产生了现代纤维拓扑理论纤维拓扑空间是 以某一拓扑空间为基的，如以拓扑空间b 为基的纤维拓扑空间是一偶( x ，p 1 ，由拓扑空 间x 和连续映射p ：x b 组成，x 上的拓扑是使p 连续的任意拓扑最粗的拓扑是由 p 导出的，即z 中的开集是召中开集的逆象口中任意单点的逆象称为x 的纤维，故 当底空间只有一点时，纤维拓扑空间理论就是一般拓扑空间理论了纤维拓扑的思想源 于一般拓扑，同时也是对一般拓扑理论的深化，基于这样的思路，一般拓扑中的许多重 要概念与结论都有了其纤维对应w h y b u r e 是第一个采用纤维观点的拓扑学家c a i n t l 】 和其它人在w h i t n e y 前面工作的基础上又做了一些工作，包括p a s y n k o v t 2 】和他的前苏联 学生同时发展的还有范畴拓扑，例如d y c k h o f f t 3 卅和j o h l l s t o n e 5 - 6 】的工作b o o t h 和 b r o w n 。卜8 】第一次在纤维映射空间中构造了令人满意的纤维拓扑学直到1 9 8 7 年， i m j a m e 对纤维拓扑空间理论进行了系统的整理并得到了很多有价值的结论最近， l e w i e 刿使b o o t h b r o w n 的拓扑学理论再次兴起 i m j a m e 在著作 1 0 中通过研究纤维拓扑空间和基空间的拓扑结构之间的内在联 系，给出了一般拓扑中许多重要概念与命题在纤维拓扑理论中的刻画在纤维拓扑中许 多概念都是一般拓扑中重要概念的纤维对应在某些情况下，纤维拓扑空间具有的特殊 性质等价于它的每个纤维具有这些性质但大多数情况下，这种等价性是不存在的，其 中基空间起到了一定的作用例如：以b 为基的纤维拓扑空间是纤维紧的，不仅要满足 空间x 的纤维是紧的，并且还要满足p 为闭映射 本文采用i m j a m e 的这种研究方法，进一步补充完善了纤维拓扑中其它没给出的一 般拓扑的定义纤维可数仿紧性i m j a m e 在著作 1 0 中详尽的阐述了纤维拓扑空间 的来源，给出了纤维拓扑空间中紧性质和局部紧性质的定义和许多相关的重要性质而 在一般拓扑空间中，作为对紧性的进一步推广，数学家d o w k e r 和k a t e v 互相独立的引 进了可数仿紧的性质可数仿紧空间作为仿紧空间在可数覆盖情况的推广，相当于可数 紧空间作为紧空间的推广，是一般拓扑中的重要组成部分，并且具有很多的重要性质那 么我们自然会想到，在纤维拓扑中可数仿紧性也会有其相应的定义和性质等待我们去讨 论而且大多数数学家给出的纤维拓扑空间的定义及性质的保持性和逆保持性往往都是 纤维拓扑的可数仿紧性 在同底纤维拓扑空间讨论的，那么我们又自然会想到不同底的纤维拓扑空间性质的保持 性与逆保持性又怎样呢? 这就是本文要讨论的一些问题 1 2 文章结构与内容简介 除绪论外，文章分成五部分第一部分介绍了正文中一些符号的含义以及必要的预 备知识本文主要是讨论纤维拓扑范畴中的可数仿紧性，所以第二，三，四部分分别讨 论了在同底纤维拓扑空间范畴中点式纤维可数仿紧性，纤维可数仿紧性，纤维局部可数 仿紧性的定义及其相关性质第五部分进一步讨论了在不同底纤维拓扑空间范畴中态射 满足什么条件时仍能保持( 逆保持) 点式纤维可数仿紧性，纤维可数仿紧性和纤维局部 可数仿紧性 辽宁师范大学硕士学位论文 2 预备知识 令口为基集，以召为基的纤维集是一偶( x ，p ) ，p ：xjb 称为投射任意b b ， 五= p - 1 ( b ) 称为b 点的纤维由于不要求p 是满射，所以纤维可以是空集任意b 7c b ， x = p - l b 7 看作是以口为基的纤维集若曰是一个拓扑空间，z 是曰上的纤维集，若x 上的拓扑使得p 是连续的，则称x 上的拓扑为纤维拓扑【1 0 1 x ，】，是口上的纤维拓扑空间，相应的投射分别为p ，q 如果f ：x 一】，满足： g 。f = p ( 即下图可交换) ，则称厂是石到】，的纤维映射【l o 】 y j 】， 拶 从范畴的角度来看，以召为基空间的纤维拓扑空间( x ，p ) 为对象，连续的纤维映射 为态射构成了一个范畴，称之为纤维拓扑范畴，记为t o p 丑目前，绝大多数的纤维性质 都是在范畴t o p 占中讨论的具体细节内容参见文献d o 如无特殊声明本文所讨论的空间都是指拓扑空间，映射都是连续的，邻域都是开邻 域 设 墨) 是b 上的一族纤维集，n b 墨是b 上的纤维乘积，若对于一族纤维投射 乃：l - i 占五一鼍，使得b 上的任意的纤维集x 与每个纤维函数族诈：x 寸墨，存在唯 一的纤维函数 妒：x n 占墨 使得对每个，满足办= 乃矽 设 墨) 是召上的一族纤维集，占x r 是b 上的纤维余积，若对于一族纤维嵌入映 射q ：墨一u b 墨，使得曰上的任意的纤维集x 与每个纤维函数族体：x j 墨，存在 唯一的纤维函数 9 ：u 占墨一x 使得对每个，满足仍= 缈q 纤维拓扑的可数仿紧性 注意：纤维乘积兀口鼍是一般拓扑乘积1 - i 五的子集，纤维余积b 鼍是一般拓扑余 积墨的商集 2 1 定义【l o 】：x ，y 是b 上的纤维拓扑空间，相应的投射分别为p ，q 如果厂：x y 满足g 。f = p 且厂是开( 闭) 映射，则称厂是x 到】，的开( 闭) 纤维映射 2 2 定义 1 0 】：x 是b 上的纤维拓扑空间，对于任意的x ，托，b b ，rx x ，若 x ，x 7 在咒中分别存在一个邻域不包含另外一个点，则称x 是纤维互空间 2 3 定义【1 0 】：x 是曰上的纤维拓扑空间，对于任意的x ，x 7 以，b b ，且x ，若 工，x 在五中存在不相交的邻域，则称x 是纤维h a u s d o r f f 空间 2 4 定义【1 0 】：x 是召上的纤维拓扑空间，若对于任意的x 墨，b b 和x 的邻域矿， 存在b 的邻域形和x 的邻域u ，u c ，满足瓦r 、u c v ，则称x 是纤维正则空间 2 5 定义【l o 】：x 是召上的纤维拓扑空间，若对任意点b b ，h ，k 是x 的两个不交 闭子集，存在b 的邻域形与n 日，昂厂、k 的两个不交邻域u ，y ，则称x 是纤维正规 的 2 6 命题【1 3 】：x 是b 上的纤维正规拓扑空间，当且仅当任意点b b ，x 的闭子集么 和彳的邻域y ，存在b 的邻域形和么的邻域u ，uc 昂，满足瓦n uc v 2 7 定义1 4 1 ： 4 ) 础是空间x 的一个子集族，若v x ex ，3 ue n ( x ) 使得 s s ：un a , o ) 是有限的，则称 4 ) 触是局部有限的 2 8 定义【1 5 】：如果拓扑空x 的任意可数开覆盖r ，都存在局部有限开覆盖r 加细r ， 则称x 是可数仿紧空间 2 9 定义【”】：x 是b 上的纤维拓扑空间，x 是点式纤维仿紧空间，如果任意的 瓦，b b ，对于托的每个由石的开集组成的覆盖r ，都存在局部有限覆盖r 7 加细r ， 使得r 覆盖咒 2 1 0 定义【1 3 】：x 是召上的纤维拓扑空间，x 是纤维仿紧空间，如果任意以，b b ， 对于墨的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在b 的邻域w 与局部有限开覆盖r 加 细r ，使得r 覆盖瓦 2 1 1 定义【1 0 】：x 是曰上的纤维拓扑空间，拓扑空间x 是纤维局部紧空间，如果任 意五，b b ，存在b 的邻域形和x 的邻域u ，使得u 在昂中的闭包er 、u 在矽上是纤 维紧的 辽宁师范大学硕士学位论文 2 1 2 命题【1 5 】：x 是正规空间， 有可数局部有限闭加细覆盖 2 1 3 命题【1 5 】：石是正规空间， 有可数闭包保持闭加细覆盖 x 是可数仿紧空间当且仅当x 的每个可数开覆盖具 z 是可数仿紧空间当且仅当x 的每个可数开覆盖具 2 1 4 命题h 5 1 ：闭集族 4 ) ，e ，是闭包保持的当且仅当对于任意的厶ci ，都有u4 f 是 j 毫如 闭集 “ 2 1 5 命题瞰1 ：设2 【是局部有限覆盖( 集族) ，2 【7c 2 【则u 万：u - - 0 瓦i 丽 2 1 6 定理【1 5 】：设厂是拓扑空间x 到拓扑空间y 的连续满射，则下列论断等价： ( i ) f 是闭映射 ( i i ) 对每一子集ec 】，及x 中的开集u3f - 1 e ，存在x 中的开集y 使 厂。1 e 】cy c u 及矿= 厂1 厂 矿】 ，s i d er 中的开集 ( i i i ) 对每一y y 及x 中的开集u3 f - 1 ( y ) ，存在x 中的开集矿使厂一陟 c v c u k v = f - 1 厂 矿】 ，川y 】是y 中的开集 2 1 7 定义 1 5 】：x ，y 是两个拓扑空间，若映射厂：x 一】，是闭的，且对每一个 y y ，f - 1 ( y ) 是紧( 可数紧) 集，则称厂是完全( 准完全) 映射 2 1 8 定义【1 0 】：x 是b 上的纤维拓扑空间，】，是d 上的纤维拓扑空间，相应的投影分 别为p ，q ，如果f ：x y ，旯：bjd 满足下图可交换，且对任意瓦，b b 使得 s x j = u 吲，则称厂是x 到】，的不同底的保纤维映射 x j y p 00q b 专d ， 同样，以不同底的纤维拓扑( x ，p ) 为对象，以不同底保纤维映射为态射也构成了一个范 畴，我们称之为广义纤维拓扑范畴，记为t o p , 当b = d ，旯= i d 时，范畴t o p , 就是t o p 曰， 所以t o p , 范畴：是t o p s 的推广由于是不同底空间，t o p , 范畴的对象一般写为( x ，p ，b ) 的 形式，态射记为( f ，旯) h o m ( x ，y ) ，其中厂是纤维拓扑空间之间的映射，a 是两个不 同底空间的映射 纤维拓扑的可数仿紧性 3 点式纤维可数仿紧空间 3 1 点式纤维可数仿紧定义 在一般拓扑中，可数仿紧性具有重要的作用通过文献 1 0 ，我们了解到一般拓扑中 的许多重要的概念和性质都可以过渡到纤维拓扑空间中纤维拓扑是以某一拓扑空间为 底的，当底空间只有一点时，纤维拓扑空间理论就是一般拓扑理论了这就给我们一种 思路，要想从一般拓扑过渡到纤维拓扑必须考虑该概念和性质与每个纤维之间的关 系下面讨论由一般拓扑中的可数仿紧空间过渡而来的点式纤维可数仿紧空间及其等价 刻画 3 1 1 定义：x 是b 上的纤维拓扑空间，x 是点式纤维可数仿紧空间，如果任意的 鼍，b b ，对于的每个由x 的可数开集组成的覆盖r ，都存在局部有限覆盖r 加细 r ，使得r 覆盖五 显然，点式纤维可数仿紧空间是点式纤维仿紧空间，点式纤维可数紧空间是点式纤 维可数仿紧空间 3 1 2 定理：下列论断等价： ( i ) x 是b 上的点式纤维可数仿紧空间 ( i i ) 对，6 召的每个由x 的开集组成的可数开覆盖 坼) ，“，存在局部有限的可数 开覆盖 h ) 渤使mc 吩，f ( i i i ) 对也，b b 的每个由x 的开集组成的递增的开覆盖 w ) 洲，存在托的闭集序 列 ) 训使丘c 形( f ) 且u i n t 互= 瓦 f ( i v ) 对咒，6 b 的每一递减闭集序列 巧) 洲，满足n 互= a ，存在五的开集序列 j e w ) ，；使巧c 形o ) 且n 可= a f e 证明：( i ) j ( i i ) 任意五，b 召，设u = 也) 洲为讫的由x 的开集组成的可数开覆盖，则由点式纤 维可数仿紧的定义，存在局部有限集y = ，) 加细u 对每个v v ，选定一个自然数z ( 1 ，) 使v “咖) ，令m = u v ：v 矿，f ( v ) = 书则 哆) 仍是局部有限的，显然加细u 且有 vcu ii n 伍) ( i i i ) 辽宁师范大学硕士学位论文 设 w ) ，；是五，6 b 的递增开覆盖，由( i i ) 知存在局部有限开覆盖 b ) 删，mc z w ，f 令只= 五一u _ ，则互是讫的闭集且互cu _ 由于 j i j 鱼 u _ cu 吩= 咩，所以互cm ，f 因 b ) 则是局部有限的，t & v x x b ，存在 j gj 鬣 u ( x ) n ( x ) ，使“( 工) 仅包含在有限个吩的并内，设这些的阶标最大者为i ，则 u ( x ) c 名，u 越互= 五 i g ( i i i ) ( i v ) 由d em o r g o n 公式可得 3 1 3 命题：x 是召上的纤维正规拓扑空间，当且仅当对任意点b b ，x 的闭子 集么和彳的邻域，存在b 的邻域w 和彳的邻域u ，ucx w 满足 么n l c “c 乙c1 ，r 、瓦c1 ， 3 1 4 引理：x 是召上的纤维正规拓扑空间，设u = “口) 口。一是x 的点有限开覆盖， 则存在开覆盖矿= 屹) 口e 4 使屹cu a ( a 么) 证明：考察所有满足下列条件的开覆盖孵= k ) 口。彳，存在域c 么使 口风，以c 虬；口霉风，瓦= 设这些覆盖吼所成集为不是空的，因可 把2 【= ) 口。一记作孵。= ) 口。彳，这里的。是 ) 口。一中一些既开又闭的的下标 口所成集( 如这种不存在，则。= a ) 在集在定义序“ ”：设 贸= 以) 刚，孵- x 7 ) 刚，规定孵 i 互cu 吩由于u _ cu = w ，所以巧cw ，ien 因 u ) ，“是局部有限的，故觇x 。 j i，fs f 存在“( 工) n ( x ) ，使甜( x ) 仅包含在有限个的并内，设这些的阶标最大者为f ，则 u ( x ) c 巧，u i n t f , = x w f e ( i i i ) ( i v ) 由d em o r g o n 公式得到 下面证( i i i ) ( i i ) 设 ) ，“是鼍，b e b 的可数开覆盖令w - - u u ，则 w ) ，“是k 的递增开覆盖由 j 臼 ( i i i ) 存在w ( 6 ) 及瓦的闭集序列 巧) ；“使互c 心( f ) 且u 血曩= k 显然 l e n ， u w , 3l t e 令m = 吩一u 弓，开集mc u t ，i n j i 由于 u 弓cu 叶= u “， j ij ij t 从而 v j = 吩一u cu i u 一= 吩- u u ， |础j ij j e n 时，石的开邻域i n t c 与所有的m 不相交，故 ) 删是局部有限的，且mc u i ，i e 9 2 u _ = x w 1 4 辽宁师范大学硕士学位论文 4 1 3 命题：x 是b 上的纤维正规空间，x 是纤维可数仿紧空间则v 邑，b b ，对 的每个由x 的开集组成的可数开覆盖r ，都存在b 的邻域w 与可数局部有限闭覆盖r 加 细r ，使得r 覆盖以 证明：v x b ，b 曰，设观= ) 。“是五的由x 的开集组成的可数开覆盖因为x 是 b 上的纤维可数仿紧空间，则由命题4 1 2 ( i i ) 知，存在w n ( b ) 及局部有限可数开覆 盖 b ) ，“，使得 m ) 删覆盖l 并且mc ，f n 由引理3 1 4 存在开加细覆盖 只) ，“，耳c m ，z n ，则 写) ，“即为2 【的局部有限闭加细且覆盖k 4 1 4 命题：x 是曰上的纤维正规空间，工是纤维可数仿紧空间当且仅当对 v x b ，b b ，五的每个由x 的开集组成的可数开覆盖r ，都存在b 的邻域w 与可数闭 包保持闭覆盖1 1 7 加细r ，使得r 覆盖瓦 证明：由命题4 1 3 及局部有限族即为闭包保持族，命题得证 4 2 纤维可数仿紧空间的性质 在一般拓扑中，作为仿紧空间的推广，可数仿紧空间很大程度上保持了仿紧空间的 许多很好的性质，那么在纤维拓扑中，纤维可数仿紧是否也保持了纤维仿紧的一些好的 性质呢? 这就是本节要讨论的内容 4 2 1 命题：纤维可数仿紧空间的每个闭子空间也是纤维可数仿紧空间 证明：设x 是b 上的纤维可数仿紧空间，么为x 的闭子空间对任意的4 ，b b ， 则存在五，b b 使得4 = 瓦n a 设 4 ) 删为4 的由a 的开集组成的可数开覆盖，则 存在x 的可数开集 “杰。使得4 = an u ，则 厂、 u 吩lu 4 。3 瓦 k i e n 由x 是纤维可数仿紧空间，则存在6 的邻域w 及局部有限加细 q ) 埘覆盖l ，即 u c fjl ，则有 i e l ( u q ) n a3 瓦n a f e ， 得 u ( q 厂、彳) 3 以 纤维拓扑的可数仿紧性 即 4 ) 删存在关于空间么的局部有限开加细覆盖 c r 、彳) j d ，使得 c i 厂、彳) ；d 覆盖4 r ，故 彳也是纤维可数仿紧空间 4 2 2 命题： 五) 础，俐k 。是召上一族互不相交的纤维拓扑空间，则纤维拓扑和 口墨是纤维可数仿紧的当且仅当 墨) 础是纤维可数仿紧空间 证明：对任意的k ，b 曰，设 ) 则是k 的由k 的开集组成的可数开覆盖， 则uu 构成了k = u k 的可数开覆盖因为雪鼍是纤维可数仿紧空间，则存在6 j e s f e s g 5 的邻域w 与 ，f ，s s ) 的局部有限开加细 飞，i ，s s ) 使得 u u 飞3k j e 5 i i 则 得 u 飞3 鼍。 f e 所以 墨) 础是b 上的纤维可数仿紧空间 仁任意五cu 口墨，be 曰，设 ) ，。为的由u 曰墨的开集组成的可数开覆盖， 则对任意的s s u ( 咋厂、五) 为k 的由五的开集组成的可数开覆盖因为墨，j s 是纤维可数仿空间，则存在6 的 邻域嵋与局部有限开加细覆盖h ) 矧使得 u k3 蕾。 所以存在6 的邻域w = n 及咒的局部有限加细覆盖u u 、使得 u u 飞3u kx w 是l 的局部有限开覆盖，所以纤维拓扑和1 1 口五是纤维可数仿紧的 4 2 3 命题：石是b 上的纤维可数仿紧空间，y 是b 上的纤维紧空间，则x x 口y 是曰 e 的纤维可数仿紧空间 辽宁师范大学硕士学位论文 证明：4 芏意x x bl 6 曰，设 吩m ) ，e 是x y 的可数开覆盖因为y 是纤维紧空 间，则任意 工) 6 】，x 五是纤维紧的，则存在的有限集虬与6 的邻域叱使 x x y c u u lx 丑b ) ， i g n 若令“( x ) = n 吩，则 石) y cu u ( x ) x 口m ) i t n xi t n l 因为x 是纤维可数仿紧空间，故存在6 的邻域w ，与 甜( 工) ，z 五) 的局部有限加细 覆盖记为 d ( x ) ，x 五) ，则 d ( x ) x j m ：f 札，x 鼍) ，、 为 u t m ) 洲的局部有限开加细又因为w = 厂、iu 心l 是6 的邻域，则 、。5 恐 x x 。】，cu d ( x ) 占m ) f e k 所以x 口】，是b 上的纤维可数仿紧空间 4 2 4 命题：x 是b 上的纤维可数仿紧且纤维正规空间，若纤维映射f ：x y 是闭 纤维满射，则】，也是曰上的纤维可数仿紧正规空间 证明：首先证明】，是纤维正规空间v b b ，设日，k 为】，的两个闭集且 h o k = a 由于厂为连续满映射，故厂- 1 【日 ，厂- 1 k 为x 的不交闭集因为x 是纤维 正规的，3 wn ( b ) 及不交开集材，y 使得 以n 厂1 h c “，瓦n 厂1 k c v 又因为厂为闭的，则存在y 中的不交开集匕一“l - u ，匕一厂 瓦一v 】 使得 ln 日c 匕一厂【瓦一“ ， 匕厂、kc 匕一厂 瓦一y 】 得证】，是纤维正规空间 任取巧，b 曰，设 “f ) f 。是的由y 的开集组成的可数开覆盖因为厂为连续满射， 则 厂- 1 ) ，。为咒= 厂一【艺】，6 艿的可数开覆盖由于x 是纤维可数仿紧的，故存在 b 的邻域w 与可数闭包保持闭覆盖 互) 。“加细 厂_ 1 【u i 】) 删，并且有u 3 x 。，则 厂 巧】) 洲覆盖匕，显然是 吩) 删的闭加细覆盖下面只需证 厂【】) 洲是闭包保持的因 为是闭映射，则有 广 u 厂【互】= 厂lu r , i ，( ，o n ) i e j l f e ，j 是闭集，故由命题2 1 4 知 厂 e ) 洲是闭包保持的所以】，也是召上的纤维可数仿紧正 规空间 4 2 5 命题：空间x 是b 上的纤维可数仿紧空间，当且仅当x 在准完全纤维映射下 的像】，是纤维可数仿紧空间 证明：设厂是纤维拓扑空间x 到纤维拓扑空间y 上的准完全纤维映射 任取瓦，6 刀，设观= ) 为k 的由y 的开集组成的可数开覆盖由于厂为连 续满射， 厂- 1 吩】) ，。为五的可数开覆盖由于x 是纤维可数仿紧空间，故存在6 的邻 域w 及局部有限开覆盖y 加细 厂- 1 ) ，“并且覆盖瓦对每一y l ，每一工厂一( y ) 存在x 的邻域“( x ) 与有限个v v 相交因s _ 1 ( y ) 是可数紧的，故有有限个甜( z ) 覆盖了 f 1 ( y ) 设这有限个“( 石) 的并为e ，则乃3f _ 1 ( y ) ，又因为厂是纤维闭映射，由定理 2 1 6 知存在开集使 e 3 k 3 f 一( 少) 且厂 u 是】，中的开集，= s i s 一1 k ，与有限多个v y 相交 与某个 厂 v 】相交当且仅当与这一v 相交，故点y 匕的邻域厂 与有限多个厂【v 相交， 所以 厂 v ：v v ) 是级= 吩) 洲的局部有限加细，并且覆盖l 故】，是纤维可数仿紧的 仁设9 1 = ) ，。是，6 b 的由x 的开集组成的可数开覆盖y 是有限个自然数 所成集，r 是所有y 所成集，显然r 是可数集族对每一个y r ，令“，= u 对每一 f e y y 写，b b 由于厂- 1 ( y ) 的可数紧性，f - 1 ( y ) 包含于某个内令 弓= y e ，f 。1 ( y ) cu r ，y r 则u 弓= ，3 厂一1 ( 易) 由于厂是闭映射，故存在x 的开集哆使厂一1 髟 c c = u y 及 y e i = 厂1 厂 _ 且厂 _ 是y 中开集，从而 厂 哆 ) 时是匕的可数开覆盖由y 的可数 辽宁师范大学硕士学位论文 仿紧性，故存在w ( 6 ) 及局部有限开覆盖 ) ，盯加细 厂 _ ) 埘( 不失一般性，作为 具有相同指标集) 使每个y rm c 厂 _ 并且世3 匕，易知 厂 w ， ) 埘是e 的局 ， 部有限开覆盖且 厂- 1 m c 厂卅 厂 _ = _ c 哆 令g = 厂1 w ， 厂、吃( f y ) ，则 q j ) 蝌。，e r 是2 【的局部有限加细，并且覆盖瓦，故x 县纤维可粒仿紧卒问 5 纤维局部可数仿紧空间 5 1 纤维局部可数仿紧定义 i m j a m e 在著作 1 0 】中详尽的阐述了纤维拓扑的来源，在给出纤维拓扑空间中紧性 质的定义后，又进一步给出了局部紧空间的定义和许多重要的性质其中提到，纤维局 部紧空间定义为：x 是b 上的纤维拓扑空间，拓扑空间石是纤维局部紧空间如果任意 也，b b ，存在b 的邻域形和石的邻域u ，使得u 在岛中的闭包l 厂、u 在形上是纤维 紧的【l 们因此我们有必要进一步讨论可数局部仿紧空间过渡到纤维拓扑中的概念及其等 价刻画 5 1 1 定义：x 是b 上的纤维拓扑空间，x 是纤维局部可数仿紧空间如果 帆咒，b b ，存在we ( 6 ) ，“l v ( x ) 并且“sk 使得u 在e 中的闭包kn “在w 上 是纤维可数仿紧的 注：每个纤维可数仿紧空间都是纤维局部可数仿紧空间这是因为纤维可数仿紧空 间本身是它的任意一点的纤维可数仿紧邻域反之则不成立 5 。2 纤维局部可数仿紧空间的性质 在纤维拓扑中，纤维局部可数仿紧性作为纤维可数仿紧性的推广，不仅考虑了底空 间的局部性，而且对纤维拓扑空间x 也做了局部的限制，那么它是否还能保持可数仿紧 的一些好的性质呢? 这就是本节所要讨论的内容 5 2 1 命题：纤维局部可数仿紧空间的每个闭子空间也是纤维局部可数仿紧空间 证明tx 是b 上的纤维局部可数仿紧空间，么为x 的闭子空间对任意的 x 4 ，b b ，则存在鼍，b b 使得4 = n a ，故x 托由于x 是纤维局部可数仿 紧空间，故= 1 w n 。( b ) ( 不妨取b 的闭邻域) ，u n ( x ) 并_ r u k ，使得u 在x 。中的 闭包x wn “在w 上是纤维可数仿紧的令d = ur 、4 ，d 为x 在4 中的邻域，则 d n 4 = ( 甜n 瓦) n 彳 又因为d n 以作为u n k 的子集是闭的，故由命题4 2 1 知d r 、4 在w 上是纤维可数仿 紧的，故彳是纤维局部可数仿紧的 5 2 2 命题：x 是b 上的纤维局部可数仿紧空间，】厂是曰上的纤维局部紧空间，则 x 。y 是纤维局部可数仿紧空间 辽宁师范大学硕士学位论文 证明：v ( x ，y ) x x 6 】，b b ，则有工鼍，y 写由于x 是纤维局部可数仿紧空间， y 是纤维局部紧空间，i 故3 we ( 6