（基础数学专业论文）markov链的游程理论.pdf

摘要 在m ”k o v 过程的一般理论中，游程理论是刻画轨道结构的 强有力工具，但游程理论要求过程的轨道有“左极右连”性质， 而含瞬态的m ”k o v 链不满足这种要求因此，为了研究含瞬态的 m ”k o v 链的轨道结构，在本文中我建立了m ”k o v 链的游程理论 本文第一部分是引言，介绍了m ”k o v 链的q - 矩阵、q 过程、 拟q 矩阵 第二部分是m ”b v 链的游程理论，介绍了m ”h 链 托) 舢在 。状态的局部时和逆局部时，由此引入了游程和游程测度的概 念，揭示了游程测度与q 一矩阵、极小过程的联系 关键词：m a r k o v 链，q 一矩阵，局部时，逆局部时，游程，游 程测度 a b s t r a c t k e yw o r d s ：m 盯k o vc h a j i l 8 ，qm a 七r i x ，l o c a lt i m e ，i i l v e r 8 el o c a lt i m e ，e x c u r s i a n e x c u r s i o nm e a s u r e i nt h et h e o r yo fm a r k o vp r o c e s s e s l t h et h e o r yo fe x c u r 8 i o ni sa8 t r o n gt o o lt od e 8 c r i b e t h ec o n s t r u c t i o no ft h es 砌p l ep a t h so fm 缸k o vp r o c e s 日e s s oi nt h i sc a s e ，t h es 蛳p l ep a t l l s 0 fp r o c e s 8 酷s h o u l db er i g h t c o n t i n u o u 8a n dh a el e f t l i m i t ，h o w e v e rm a r k o vc h a i n sw h i c h h a v ei n s t a n t a n e o i i sp o i n t sd o n th a v et h i sp r o p e r t 弘s oi no r d e rt os t u d yt h ec o n s t r u c t i o no f t h e8 啪p l ep a t l l 8o fm a r k o vc h 出n sw h i c hh a v ei n s t a n t a n e o l l sp o i n t s ，i nt h i st e x tie 8 t a b l i s h t h et h e o r yo fe x c u r 8 i o n so fm a r i e h a i n s h e r ei sas h o r td e s c r i p t i o o ft h ec o n t e n t s e c t i o no n ei sap r e l i m i n a r y l w h i c hi s d e v o t e dt ot h es t u d yo fqm a t r i x ，qp r o c e 8 s e sa n dp s e u d oq m a t r i 】【s e c t i o nt ，oi st h e e x c u r s i o nt h e o r yo fm 缸i 【o vc 王l a i n s i nt h i ss e c t i o n ，i6 r s td e s c r i b et h e1 0 c 8 lt i m ea n di n v e r s e 1 0 c a lt i m eo fm a r k o vc h a i 璐 置) t oa to ，t h e nii n t r o d u c et h ec o n c e p t so fe x c u r s i o na n d e x c l l r s i o nm e a s u r e ，a n dt h et e x tr e n e c t st h er e l a t i o n 啪0 n ge x c u r s i o nm e a s u r e ，q m a t r i x a n dm i n i m a ld r o c e s s 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位 论文没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为， 否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特 此郑重声明 学位论文作者：馍管敏 2 0 0 6 年0 4 月2 2 日 一引言 设 五k o 是定义在完备概率空间( n ，兀p ) 上的m ”k o v 链，其状态空 间为刀= o ，1 ，) ，其转移概率为( t ) ，i ，j e ，t o ，它们是一组满足下列条 件的实值函数： p l ( 20 a j ( ) 茎1 j e m ( 咖幻( s ) = 0 + s ) 舰p ，( t ) 2 ( o ) = ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中如= 1 ，= o0 j ) 熟知，这时存在极限 i 琮华： ( 1 5 ) _ 0t 、 而且os o 的 j o 密度矩阵，而 咒k o 则称为q 过程，以表示 托k o 与q 有( 1 5 ) 式的关 系如果两个q 一过程有相同的转移矩阵，我们把它们看作同一个q 过 程故在下面也称满足( 1 1 ) 一一( 15 ) 式的( ( t ) ) 及其拉氏变换都称为q 一 过程 定义1 1 ：称定义在e e 上的矩阵q = ( q 。j ) 为拟q 。矩阵，如果q 满足 o q 巧 。( j ) ，os 吼三吼iso o ，口 js 吼0 ，j e ) 4 e 中的每个元素都称为q 的状态如果吼 0 然，首中时和逸出时都是关于滤子忻) t o 的停时由 1 】的3 3 的定理l ， 五k o 是相对于阢 l o 的强m ”k o v 过程仍) i o 称为 五k o 的自然滤 子 在【2 】中，b l m e n t h 甜对于取值于p o l i s h 空间且具有左极右连轨道的 齐次强m ”k o v 过程引入了游程理论尽管m ”k o v 链的轨道不一定是左极 右连的轨道，但仿照 2 】，我们也可以对于m ”k o v 链引入游程理论由于 m ”k o v 链的轨道不一定是左极右连的轨道，所以m a r k o v 链的游程理论与 具有左极右连轨道的齐次强m ”k o v 过程的游程理论有很大差别下面我 们就来引入m ”k o v 链的游程理论 为了讨论的方便，我们引入一些记号令： n = 扣；u 是【o ，o 。) 到e 中的映射并且具有性质a ) 五( u ) = u ( t ) ，v t o ； 元= n 口 兄；“s + e ) ，v t 三o ； o ，= 口 咒；t o ) ； 吼( ) = u ( + t ) ，v t o ； p 。( b ) = p x b i 甄= i ， v b ，i e 吼称为推移算子， 藏) 。称为坐标过程 由于 咒) 舢的所有轨道都是满足条件a 的轨道，所以对于任意的 i e ， 咒k o 的分布p “弱= t 是n 上的概率测度根据 冠k o 与p 的 定义， 托) c o 的分布p 川x o = t ) 与 蜀) o 的分布p ) 相同，所以 托k o 在p 凰= i 下的概率性质与 豆) 伽在p ) 下的概率性质完全相同因 此，我们认为 毫) f o 即为 孔) 御，尹= ，元= 五，p ) = p 弱= i ) ，m ”k o v 链x = ( n ，f ，五，托，巩，p z ) 即为上文给定的m a r k o v 链 托) c 0 显然鼽，( ) = p 托= jj 凰= ) = p 五= 讣这种表述方式与一般m ”k o v 过程的表述方式相同 命题2 1 ：设x 为给定的m ”k o v 链则e 中所有的状态都是正则态 = u 在( o ，r | 上恒不等于毋) = 船p x 在( o ，r 】上恒不等于曲 s 瓣p 隅田 船( 1 一鼽t ( ”) ) 国= 雕蚓 1 i 。鱼塑二亟：o 所以生掣兰生掣 茎掣令t io ，得 茎t 令t i o ，侍 1 i 辨掣：吼：咖 t i 0 t 当吼= 一= 。o 时，如果船! 盥 。的稳态，是 托k o 的瞬态由 1 】5 3 1 定理，p j o ，x 在 o ，叫恒等于i ) = o ，但是 1 = p j o ，克在 o ，胡恒等于“岛= ) = p j t o ，x 在 o ，甜恒等于“硒= i ) = p jt o ，x 在 o ，t 】恒等于吐 得到一个矛盾所以精l 雩迎= 。 而 ( i i ) 对于任意的t o ，j e ，j ，当j o 时，显然 z ”e m 鼽，( 疵= z 。e m p 。 盈= j 如 = j ( 。e 州州耻如 岫+ z 。e 刈p 蜀乇一纠出 = e 一卅p 。 x = 五盯 t ) d 亡+ e 一埘p 2 蜀一工矿t ) 出 j 0 j u = z 。0e 。硒( 洳t + z 0 。e 。p 五= 工a 茎t 皿 f 0 。e 诚p t 陋乇一鲥斑= e z 。e 埘叱) ( 撕洲t ) d t ) j 0 j u = 口 e 。 ( 凰) 出) r = p 4 唑z 。e 圳) ( 五) 出 = p e 一1 4 e 枷p 町( t ) 砒 r 。 ，n 因此z 。e 枷肌j ( 出= z 。e 圳勃( 出+ 口 e 一 。) z o 。e “撕( t ) 班两边同时乘以 2 ，令 。o ，由控制收敛定理，j i mf 托1 。 = o ，再由【3 1 p 2 9 定理2 ， l i “ l i m 1 0 0 碍e - 2 z 。 。( t ) 拈! 鸳掣= 蚴 。祧) 出= 脚掣= 7 当j ：o 时，采用上面的方法可以证明r 。砘m ( t ) 出：p 。一 a ) 。0 。枷p o o ( t ) 出 j 00 令f ( t ) = p 一s ) ，由分部积分公式得： 脚勘) = z 。e 砒唧h j ( 。e 枷邢) 出 = e 一1 p 口曼t 疵 = a e 一1 p 。o ( t ) d t 所以f 。e 一 鼽o ( t ) 出：f o oe 一 。a 。( t ) 出a f o 。e 一 t p 0 。( t ) 班 j oj oj n 两边同时乘以a 2 ，令a o 。，可以得到舰掣盟= 嘶 综合( i ) ，( i i ) 可知， 寇) f o 的q 。矩阵为国 口 定理2 4 设x 为给定的m ”k o v 链则存在关于 五) t o 的唯一的可加 泛函 丑) m ，使得e ， 口 e ) = 口 e 。d 厶) 厶) f o 称为x 的在。状态的局部时，简称局部时 对于任意的u q ，令： l 爿( u ) = l i k o ，l ( u ) o ，l 一。( u ) o ，使得对于任意的i e ，p 一几乎必然成立：m 产d 厶，v t o 证明：显然 m 。 l o 是x 的连续可加泛函并且v u n ，m ( u ) 的l e b s e g u e - s t i e u e s 测度的支撑为 t ；置( u ) = o ) _ 由命题2 3 ，必存在d o ，使得对于任意 的t e ，p 一几乎必然成立：m fd 也，v t o 如果d = o ，则 r ，o 。 上e 。p 0 0 ( 幻出= 上e “。 ( 五) ) 出，j 0j 0 。 = e o e 。d m ) = d - 妒 e 。d 匕) 由于1 1 毋p o o ( t ) = 1 ，所以e 。p o o ( t ) 班 o ，矛盾故d o 口 c l uj 0 d 称为x 在。状态的漂移系数 注：对于一般的p o l i s h 空间上的具有左极右连轨道的齐次强m a r k o v 过 程，漂移系数可能为o 例如b r o w n 运动的漂移系数即为o 而m a r k o v 链的 漂移系数不可能为o ，否则与m ”k o v 链的标准性矛盾 对于任意的u n ，集合两x 面_ 面f 表示 ；托( u ) = o ) 的闭包，记作 z ( u ) 开集( o ，o 。) z ( u ) 可以表示成至多可数不相交的开区间的并集，即 ( o ，。0 ) z ) = u ( 啦( u ) ，如( u ) ) o 每一个( 啦( 。) ，以( u ) ) 都称为x ( u ) 的游程区间，叱( u ) 一啦( u ) 称为游程区间 ( 啦( “) ，如( u ) ) 的长度轨道x ( u ) 限制在每个游程区间上的部分都称为x 的游程由推论，厶( u ) 在游程区间上不增，而在z ( u ) 上“增长”由于x 的所有轨道都满足条件a ，所以v a ，弛。= o 对于任意的6 o ，将长度大于6 的游程从左到右排列如果存在m 个 长度大于6 的游程区间，则蘸( u ) 和峨( u ) 分别表示第m 个长度大于6 的游 程区间的左端点和右端点，否则令蘸( u ) = 薅( u ) = o 。显然d 毛，m = 1 ，2 ， 都是停时 9 对于任意的u n ，vz 2o ，令脘( u ) = i n f ( s 江。) 咄 阿( u ) = i n f s ；l 。( u ) = t 过程碱) i o 称为局部时的右逆， 阿) c o 称为局部时的左逆显然 阿( u ) = i 陋风( u ) ；矿( u ) 是单调增左连续函数，肛( u ) 是单调增右连续函 数；v t2o ，如果侥 o ， ( s ) e ，如果叫( “) = o ，贝0 v 口 u ，叫( 计) = o u 上的坐标过程记作 e ( t ) ) ，一代数一 e ( t ) ；t o ) 记作“o ( “o ) 称为 m a r k o v 链x 的游程空间每一个”u 都称为游程令 盯o ( w ) = i n “ o ；叫( “) = o ) ，v u 印( ”) 称为”的生存时间显然o o 是“o 可测的并且印可以取值。 对于任意的u q ，令d y ( u ) = 0 k c u ，c “，= i + u ( u ) 阿( u ) 觑( u ) ) ，对于任意的t d y ( u ) 当o o ；风( u ) = o o 如果 ) o 。，显然筇( “) o 。，口( ( u ) = o o ，并且在( 麽( “，) ，o 。) 上x ( u ) 恒不等 于o 定理2 5 ：在p 0 ) 下， k ；d y 是取值于( 以卯) 的、“杀死”时刻 为的p 豳s o n 点过程，即对于任意的口“o ，过程 批：= 社ds ；k 口 = 在玩以前的且在b 中的长度有限的游程的个数 是一个p o i s s o n 过程 p o i s s o n 点过程 k ；t d y ) 的特征测度记作户由p o i s s o n 点过程f k ；t d y ) 的定义可知户是游程空间( 甜o ) 上的一有限测度户称为m “k o v 链 x 的游程测度按照 3 中的约定，对于任意的( 以“o ) 上的可测函数f ( ) ， 积分正，f ( ”) p ( 幽) 仍记作p ( f ) 1 0 定理2 6 ：对于任意的o t l t 2 t ) ，( o 。) = 户 a o = o 。) 则 ( i ) ( ) 是( o ，。o 】上的单调减右连续函数 ( i i ) 对于任意的t o ，( t ) o ，( t ) o ， 珑+ 。( i ) ；仉( ) m 。( t ) 缸壬o 1 l 证明：对于任意的t o ，显然 仉( i ) = p 0 ( t ) = i ) = 户 印 t = ( t ) t 0i 0 所以吼( ) 是一个有限测度 对于任意的 e ， o ，由u 的定义与定理2 6 ， 研+ 。( t ) = 户 e o + s ) = i ，= p e ( s ) = ，e ( + s ) = 廿 k = p e ( s ) = m ( t ) 缸壬0 = ( ) 氟( t ) 口 对于任意的o n 6 ，由命题2 4 ，存在( o ，。) 上的测度丽( d r ) ，使得 豇( ( 口，胡) = ( o ) 一( ，vo 。 o ，t o ，令 肌( u ) = 带 s ；s o ) 胍表示肛在t 以前的跃度在( 。，6 j 中的跳跃点的数目，即在时刻胁之前的 游程长度在( o ，6 j 中游程的数目从而= 弁 k ；s n ) 由 定理2 5 ，过程 k o 是一个参数为p 6 a o 。) = n ( o ) 一( 6 ) = 丽( ( n ，纠) 的 p o i s s o n 过程所以 岛= 觑一盯；t d y ) 是( o ，。) 上的特征测度为面( 打) 的p o i s s o n 点过程 另外，由于p 是l 的右逆，所以 n m 风= o o ) ( 五) d s + 玩 。” 5 s t = ”风+ 风 5 s t = d l 成+ 风= d t + 风 这意味着m ) 锄为一从属子，漂移系数为d ，l e v y 测度为豇) 对于任意 的a o ，利用l e v y - h i n c h i n e 公式以及分部积分法，可得 口 “p 一a 岛) ) = e x p 卜t m + z ”( 1 一e h ) 瓦( d r ) 】) = e x p 郴+ j ( 。0e 咖阶腓 ( i i ) 当 k ；t d y ) 是中断的p o i s s 。n 点过程时，证明方法与( i ) 相似口 命题2 6 漂移系数d 和函数( ) 满足规范性条件： d + j ( 0 。e “酬川+ 萎j ( 。e “嘶肛， ( 2 3 ) 证明；对于铲e 枷d 厶应用积分变换，得z 0 。e 埘越户z 。e 一帆批从而 e 。 z 。oe m d l t ) = e 。 z o 。e 一 风d t ) ：，。e o f 成批 j 0 ：，。0 。p 圳【d + 厂e 曲( r ) d r 】) 斑= e x p 一a t 【d + e 一”( r ) d r 】 矗亡 j 0 j o = 一 d + ( 0 。e 曲( r ) d r l ( 2 4 ) 在( 2 4 ) 中令a = 1 便可得到( 2 3 ) 口 引理2 1 ：在p 0 下，当a o o 时，a 上”e 一搬出几乎必然收敛于d 一1 证明： 矽m z 。e 圳肌d - 1 2 ) = p a 2 上。z 。e x p 一一( 口s + 岛) a s 班) - 竽矽 z 。e 。觑出) + a - 2 显然，当a o o 时， e 。 a 2z ”z 。“- 一a ( 风+ 风) ) d s 出) = 驴p z 0 。j ( 。e x p 叫风倒出) 蝴2 z 。矽棚岛 。e x p 叫风刊) d s 出 蝴2 z 。伊拟啪。 0 。e 计m 刊 d s 噍肛 = z a z 。oe 。 e x n 一2 a 觑) ) d t 【d + z 。e 一如( r ) d r 】一1 ：【d + ，。e 埘r ( 岫1 j 0 _ d 1 【d + ，。e 一 r ( r ) d r 一1 j o 警酽昕e 。风出) = 研最丽一丕 所以在p o 下a ，。一m 出平方收敛于d j 0 推论：对于任意的i e ，在p 下，几乎必然地有 j 1 翼af ”e n i 。 ( x t ) d 亡= 1 _ 。j o 、 证明；当扛。时，由命题2 - 3 的推论， 一z o 。e 一 。，t 。，c x t ，a t = = - z ”e a 。a m e = - a 上o 。e 一 。a l t 口 再由积分变换，d - a z ”e 州d 厶= d a z 。e m 班所以在p 0 下，当a _ o 。 时， x 卜她t 。 ( 咒) 疵= d a z 。e 一祁疵一d - d 一= 1 同理，对于任意的t o ，在p 下，几乎必然地成立： 熙a j ( 。e 。埘置) 出= 1 口 定理2 9 ：对于任意的t o ，船p e ( t ) = t ) 存在 证明：v o o ，使得当s 1 一e 由定理2 6 1 4 7 p e ( t 7 ) = i ( 1 一s ) 所以p e ( t ) = t ) 击p ( ( t ) = 吐从向 1 1 号嚣p 户 印7 ) = ) si _ 笔户 以) = r 芝( t ) o o t 1 0 1 一e1 一。 再令t lo ，立得 1 1 弓嚣9 p e ( ) = t ) i _ 芝1 1 i j 驴声 e ( t ) = t ) o ，当一。时，一e 。n s 庇。，( s 油收敛因此在d ( ，) 下，子列 z 。 是，是一个c a u c h y 列所以e + 是一个紧度量空间 口 对于任意的a o ， ，j e ，e 。5 硒( s ) d s 记作，( a ，t ，j ) j 0 引理2 2 ：对于任意的a o ，j e ，j o ，( a ，j ) 是e 上的d 一连续函数 证明：显然对于任意的有理数a o ，( ，j ) 在度量玑) 下是e 上的 连续函数对于任意的实数a o ，取一列有理数a 。，n ：1 ，2 ，a 。单调增 收敛于a 对于任意的 e ， ，( 。，t ，j ) 一，( ，t ，j ) 1sfi e 一1 n 8 一e 一如 硒( s ) d s j 0 2 以8 。唧一。x p 卜( 1 1 n ) s ) 蜿( s ) 如 e 一 n 8 ( 一 。) 8 d 8 + o ( 。+ ) 所以当a 。一a 时，( k ，j ) 一致收敛于，( a ，j ) ，从而对于任意的a o ，( a ，j ) 是e 上的d 连续函数 口 函数，( a ，j ) 在e 4 上的连续扩张仍然记作，( a ，j ) 1 6 例：假定礼口2 ，是一列正实数，考虑如下的q 矩阵： 国的转移函数记作助( t ) ， ，j e ，不难计算出 序诚删s = 孛* 甄靠篡； 显然对于任意的a o ，j o ，当i o 。时，( a ，f ，j ) 收敛因此e + 是e 的一点紧化，即e + = e u o 。) ，而e 的边界为( o 。 容易看出，对于任意的a o ，j o ，当q i l 收敛时，( ，。，j ) o ；当 酊1 发散时，( a ，。，j ) 一o 七= 1 引理2 - 3 ：对于任意的a o ，j e ，j o ，在户( 下，瓣，( a ，e ( t ) ，j ) 几乎 处处存在 ” 证明：( 1 ) 将可数集 r q ；o r 1 记作 l ，r l ，r 2 ， 对于任意的n n ， 将1 ，钆r 2 ，按大小顺序重新排列，得嵋 r ； r i ，则p 0 是 ( u 甜o ) 上的概率测度对于任意的sn ， h 一，旗e ， e 0 级+ 1 “e ( r 归。，。( ，：) ： ) = 岛 e “7 “1 ，( a ，e ( r 4 1 ) ，j ) 0 。( ，归。，。( ，归。 2 南f 打4 “ 蚤p e ( r ，) 刮h 一哟砘，c ( “h ) z 0 。e 扎聃) 幽 。南矿扣4 n l ( 0 。e 山睬一”一，如沪埘耋幻( “州汕 、， 0 o 0驰 o 0 q船 0呵妇o； o n o o ； = 而矗而f h “， 鲰( r ，) = 礼，“) = 埘z o 。e 。( s + r “) d s 2 南m 伽礼一伽埘e 咖。，1 e 小鼬) d s 赢p e ( r i ) = l ，e ( ) = e 一1 7 ：，( a ， k ，j ) = 岛 玩i e ( r i ) = t ，e ( r ：) = t 。 ) 所以在p 0 ) 下 五；江1 ，2 ，n + 1 ) 是一个上鞅 ( 2 ) 设n 6 是两个非负整数令丑事砷表示而，磊+ ，从右至左穿过 ( 。，6 ) 的次数令 勺= 1 ， q = i n “而；七sn + 1 且z 七醵， 丁2= i n f f 南；s 后s 咒+ 1 且j 夏 o ， 亿m + l = i n f 墨n m 七sn + l 且j 不6 ， 7 j m + 2 = i n f 七；r 2 m + 1s 七茎礼+ 1 且z 女n 约定空集的下确界为o 。，令瓦= 磊+ 卜 则 z 1 一磊+ 1 = ( 历一，一互m ) = ( 一。) + ( 。一。) ( b o ) 日磐6 + ( z 。一z r 2 。+ 。) 所以岛 而一磊+ 1 ) ( b o ) 岛 砖9 ) + ( 。一z 。+ ，) ) ( 6 一n ) 岛 碰删) 从而 户 砖9 ) 2 丽女可玩 砖。， z 毒而士e o z 1 ) 一：( e 0 ) 6 一。一”。l j 1 8 ：f 1 户 五) d o ：土取e 珈；，( a ，e ( r i ) ，j ) ) d 一口 = 击- p z 。e 山茎p e ( r i ) _ l 蒯s ) d s = 击p ；j ( 。e 战附i + s ) 钏d s = 击f e 扎附 d s s 击- f e 山啪) d s 。，篇麓篱鬻安置尝霹要掌蔓端竺恐型言 n 一时，毋9 t 日( 啪) ，所以p ( 日扣9 ) i 三工8 “8 p ( ( 8 ) 2j ，d s o ，当t ，t 一。时， 户 i ，( a ，e ( t ) ，j ) 一，( a ，e ( n j ) b o 证明：对于任惹的o t o ，( a ，以j ) = o ) 孚多有 一个元素对于任意的b 0 r e l 集a e + ，令”( a ) = 户 e ( o ) a s ) 显然”( 如) 是上的测度并且* ( s ) = o 由 e + = 【u ，( a ，e ( o ) ，j ) 。) 】u s ； ，n q + 。( 。e + ；，( a ，。，j ) 。) ) ：户 ，( a ，e ( o ) ，j ) n ) 茎：p ，( a ，e ( o ) ，j ) ) o ，j e ，j o 疋+ m ，刈) ”( 如) = 户 ，( 扯( o ) ) = fe 。嘲( s ) = s j e + 。” ”( d z ) 称为户 ) 的初始分布 2 2 对于任意的 e ，t o ，令气= ”；”以1 1 墨e ( t ) = i ) 定理2 1 2 ：对于任意的i e ，i o ，p a ；= d - 9 0 t 证明：( 1 ) 对于任意的叫越，如果d 一船e ( ) 存在，则d 一船e ( t ) = i ，所 以 e ( o ) = i ) ”；d 一船e ( t ) 不存在) 由引理2 3 的推论，a e ( o ) = 订 是一个孰卜。测集，即在如上几乎处处地有e ( o ) = i 对于任意的a o ， m i ) p 户 m ，e ( o ) ， ) = z 0 0e 粕p ( f ( s ) = i ) d s 两端同乘以 并令入一。，得 p a t ) 熙入z 。e 。5 p 权s ) = 岫 = 溉眯( s ) = i ) = d 口m ( 2 ) 对于任意的”v ，如果”隹，由w 满足a 条件，必存在r o v t ( o ，r ) 上，e ( ) i ，从而 1 1 冀9 a j ( 。e 州) ( e ) 出蛐罂9 a z ”e 埘斑= 1 1 冀旷h = 。= h m 女口果 a ，贝41 i m 8 u p a e 一砧7 “) “( t ) ) 出s1 = h ；( ) o 。 ju 。潦而言之， “p 8 u p ( o 。e m i 。) ( e ( t ) ) 班n 。) 一。 j 0 。1 因此 就a ) 就1 1 竺p az 。e 气水电) ) 蚴 - o 。 j u 1 1 m 8 u p a ，。e m p ( e ( t ) ：t ) d t = d 帆 所以p a 。) = p ( e ( o ) = t ) = * ( 订) = d 日m 口 令a 。= 伽；w 以船e ( t ) = o 。) 由上述定理，a 。与 e ( o ) 譬e ) 只相差 一个p o 测度集合 定理2 1 3 ：对于任意的o t l o ，显然 l ：罂a z 5e 一知 ( e ( s ) ) d s 曼“；) 所以 户( 1 1 鼍矿6 ( s ) = i ，e ( 2 ) = j ) 户 1 1 筹1 上2e 。8 酬删如叱 ( 删) 熙即z 2 e 。5 酬e ( s ) ) d s 驯删) ：、l i ma 2e 。币 e ( s ) = i ，( t ) = j ) d s + o 。j n ：、l i ma 2e 。5 p e ( s ) = i ) 锄。一s ) d s j 0 2 j 毋p e ( s ) = t ) 。硒( 。) = 8 叮0 。】j 巧( 。) 下证“ ”号不成立，只能取“= ”号： 如果存在j e ，使得p ( 1 1 鼍e ( s ) = ( t ) = j ) d q o i + 硒( t ) ，则 d 。岫2 户 u 墨e ( s ) = d q o i 西( t ) = d 蛳 ? ：0 矛盾所以户 1 1 墨 1 fe ( s ) = i ，e ( t ) = j ) = 4 口0 硒( ) 同理，对于任意的o t l o ，映射i 一硒( t ) 疵是e 到m ( ( o ，) ) 中的映射 对任意的z e + ，设n e ，n = l ，2 ，d 一收敛于z 显然a 。，( t ) d t ，n = 1 ，2 ， 在淡收敛距离下是有极限测度的由于对于任意的a o ，盘。，( t ) 出的l a p l ”e 变换，( a ，k ，j ) 收敛于，( a ，z ，j ) ，所以盎。( t ) 疵，n = 1 ，2 ，的极限测度的l 印l a c e 变换唯一因此a 。j ( t ) 出，n = 1 ，2 ，淡收敛所以映射 一硒( t ) 出可以唯一 地扩张成e 4 到州( ( o ，o o ) ) 上的映射，记作z 一呦( d t ) 显然池，( 出) 相对于l e b e s g i l e 测度绝对连续并且对于任意的a o ， ，。 ，( a ，z ，j ) = e 。肛”( 出) j 0 易证z 一，( 出) 是( e + ，d ) 到( m ( ( o ，o 。) ) ，p ) 中的连续映射 ( 2 ) r + 上的有紧支撑的连续函数的空间记作g ( ( o ，o 。) ) ，q ( ( o ，o 。) ) 上的 距离为最大模距离显然( ，p ) 一一巾) p ( 是q ( ( o ，。) ) m ( 豫+ ) 上的连 续函数对于任意的e o ，可取一列r 上的连续函数k ，n = 1 ，2 ，使得 s u p p ( k ) 【一叩】并且kt _ 。】因此对于每个k ，( t ，z ) 一fk ( t u ) p 。，( 抛) 是( o ，o 。) e + 上的连续函数从而 ( ，z ) ”拽上k ( 。一“) 肛叼( 4 “) 2 呦( 炉5 ) v o ，。+ 5 1 ) 是( o ，。) f 上的可测函数 ( 3 ) 令 鲫) 划酯剑坠掣 则( t ，。) 一p 。，( t ) 是( o ，。) e + 上的可测函数且对于任意的z e + ，j e ，j o 幻( t ) 是p 。( 出) 的r a d o n _ n i k o d y m 导数，因而对于任意的a o 上”e m p 巧o ) d 亡= z o 。e 一p 。( 出) = ，( 凡z ，j ) ( 4 ) 对于任意的。e + ，设z = d 一撬，i n e ，n = l ，2 ，对于( o ，o o ) 上 的任意的有紧支撑的连续函数h ，由( 1 ) ，赢。，( t ) 出淡收敛于勤( t ) d t ，所以 o 。，o 。 r o 。 蚤上坤减水) 出2 薹。骢上坤) a 一聊。 熙萎上蝴谢( 咖 s f 。坤) 出 o 。 从而锄( ) 在( o ，o 。) 上几乎处处不大于1 口 j = l 推论1 ：对于任意的a o ，j e ，po ，e 一 s 户 。( 。) = j ) d s j 0厶+ 盯e 战划踟小) 推论2 ：对于任意的( o ，+ o 。) 上的非负可测函数 ( ) 以及j e ，j o z 。吣熙s ) _ 刖s = 五。盯m 拗( s ) 小如)上“( 8 ) p ( s ) = j ) d s 。厶。【上“( s ) 如，( s ) 4 s j 丌( 如) 定理21 5 ：对于任意的a o ，弘 o ，j e 刀 o ，”( 如) 一几乎处处地成立 z 0 。序肌”塾c 蜊s 膨幽 f o 。f o 。一 c 一“s 西叼( t + 。) d t