（基础数学专业论文）p可解群中子群的相互作用及有关论题.pdf

摘要 本文考察了可解群的基本性质及一些子群的相互作用，在p 可解群中，着 重考察了当q ，( g ) = 1 时的情况另外，我们考察了在一个群中一个素数幂阶 子群所能正规化的子群及有关性质在最后一部分考察了群的“分解”问题， 即将一个给定群表示成子群的乘积或由一组具有特定性质的群生成的问题 关键词：p 可解群，p - 长度，幂零作用，横截 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw er e s e a r c ht h eb a s i cp r 。p e r t ya n dt h ea 乩i o n 。hs u b g r 。u p 。f 8 。h 。a b l e g r 。u p s ，i np 8 0 1 v a b l eg r 。u p sw e e s p e c i 出l y n g 试e ri ti nt h ec a s e ( 砖，( g ) = 1 协p 8 。1 7 8 b 1 8 g r o u p sa n d w es e 雒幽t h es u b g r o u pw h i c hc a nb en 。r m 胡e db yp 8 u b g r o u p i n8g 。u p i n t h ee n dw er e s e a r c ht h ep r 。b l e mo f “d e c 。m p 。s i t i 。n ”。fg r o u p s ，t h a t l sap 。b l e l nh 。wt 。 r e p r e s e n tag i v e n 掣。u pb yt h em u l t i p l i c a t l 。no fs u b g r o u p o rb y 地eg e n e r a t i o “o f8 e ”。a l g r o u p sw h i c hh a v es p e c i a lp r o p e r t y k e y b r d s ：p 8 0 l v a b l eg r o u p p l e n g 恤；n i l p o t 。n 乞a c t i o n ；t 8 n s v e 2 郑重声明 y9 7 2 1 7 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者隘匐2 走料 二零零六年四月 引言 局部分析方法是有限群理论最基本的方法所谓局部分析就是通过分析和 考察局部子群的性质和结构，从而确定单群本身的结构和性质局部子群原来 是指p 局部子群，即g 的任一个非平凡p 子群的正规化子；2 0 世纪8 0 年代 后期，局部子群定义为g 中非平凡可解子群的正规化子但对于p 局部子群 的讨论仍是局部分析理论最重要的组成部分 由p 局部子群的定义可知，任何一个p 局部子群都包含一个正规p 子 群，因此p 局部子群分析理论一个重要内容是考察p - 局部子群中的子群和元 素，特男噱；p 子群和p ，_ 元素在p 子群上的作用 如果p 局部子群不是可解群，那么往往我们要考察该局部子群的广义f i t “n g 子群， 有时局部子群可能具有某种“可解性”，例如町解或p 可解因此考察p 可解群的意义不仅在于确定一类群的结构和性质，而且有助于我们解决有关单 群理论的一些问题 本文所涉及的群大多为p 可解群，我们考察了如下三个方面的问题 第一类问题是p 一可解群中一些基本性质及一些子群的相互作用 第二类问题是考察一个群中的( 素数幂阶) 子群所能够正规化的子群及其 集合的有关性质 第三类问题考察了群的“分解”问题，即一个群能否写成一些子群的乘积， 或者给出一些特定的生成群 第二、三两类问题中涉及一些有着重要应用背景的情况，我们将在下文中 阐述这些问题 有关定义及常用结论 定义11 称群g 的子群h 为g 的极大子群，如果日 2 ，同样规定 a l ，4 。】= 命题16 ( p h a l l 三子群引理) 设4 ，b ，e 是群g 的子群，塑g 若限g ，州s ，【g ，a ，剀s ，则阻，b ，q 特别地，当= 1 时，上述结论成立 定义1 1 2 称有限群g 为n 一可分群，如果存在g 的一个正规群列 g = 0 三m 飓兰r = 1 ， ( 1 1 ) 使m t + 1 为7 r 群或 7 一群，l _ o ，1 ，r 1 而称g 为”一可解群，如果g 中存在正规群列( 1 1 ) ，使腿贱+ 。为”一群或 p 一群，其中p ”，。= o ，1 ，r 一1 定义1 1 3g 的所有正规”，子群的生成的子群仍为g 的正规”子群，记 作d 。( g ) 它是g 中最大的正规”一子群，也是g 的特征子群 定义11 4 对于任意群，我们以。一( g ) 表o 。，( g 7 g ( g ) ) 在g 中的原像同 样地，以侠一( g ) 表瓯( g ( ) 一( g ) ) 在g 巾的原像，依此类推 命题1 7 设g 是”一可解群，则 ( 1 ) g 中存在一日卅f 子群和”一日f 2 子群 ( 2 ) g 的所有”一日。f f 子群共轭，并且g 的所有”7 一日“f 子群共轭 ( 3 ) g 的任一”一子群包含在某一”一日n “子群之中，对”子群也有类似结 论 定义1 1 5 设g 为p _ 可解群，定义g 的e 升p 列如下： l = 玮( g ) 旦a 岛( g ) 里p l ( g ) 里尬( g ) 里里p f ( g ) 里m f ( g ) = g 其中 坛( g ) 只( g ) = 。p ，( g 只( g ) ) ， 只( g ) ，慨一1 ( g ) = ( g 尬。( g ) ) 我们称数f 为g 的p 长度，记为如( g ) 由定义容易证明： ( 1 ) 若司g ，则知( g ) s2 ，( g ) ， ( 2 ) 若u g ，则l ，( u ) si ，( g ) ( 3 ) 若h 为g 的正规群，则( g h ) = f ，( g ) 命题18 设g 为p 可解，且p s 鸲( p p ，( g ) ) ，p 7 r ( g ) 则c g ( p ) 茎 q ，( g ) 命题1 9 设g 是有限群，p 是g 的p 子群，但不是s y 2 0 u p 子群，则 p j 。( p ) 命题11 0 设g 是有限群，旦g ，h g 若冬( h ) ，则曼( g ) 命题1 1 1 ( f r a t c i n i 论断) 设塑g ，p s 妈( ) ，则g = ( 尸) a ， 定义1 1 6 群g 的所有幂零正规子群的乘积f ( g ) ，叫做g 的f i t t j n g 子群 显然，f ( g ) c n 7 g 定义l1 7 群g 称为完全的，若g = g 7 群g 称为亚单的，若g 完全，且 g z ( g ) 为单群n 茎g 说是g 的一个成分，若亚单且鱼望g 命题1 1 2 设k 为g 的一个成分，9 笪g 则成立ks 或夥吲= 1 命题l1 3 设k 1 ，k 。为g 的成分，则成立甄= k 。或【确k t 】；1 特别 地，成分之积为子群 定义8 令e ( g ) = ，显然e ( g ) 曲w g 定义11 9 令f + ( g ) = f ( g ) e ( g ) ，称，+ ( g ) 为g 的广义f i t c j ”g 子群，显然 f 。f g l c l a rg 命题11 4 若g 是有限群，则( f ( g ) ) sp ( g ) 特别地，当g 可解时， 有c 台( f ( g ) ) f ( g ) 定义12 0 称g 为g l ，岛，岛的中心积，若g = g l g 2 瓯，且v f j ， i g ，g j 卜1 命题1 1 5 设e ( g ) 1 ，甄，为g 的成分，且z = z 旧( g ) ) ，五= z ( 甄) ， 玛= 甄z z ( = l ，n ) ( a ) e ( g ) 为子群妃，、，k 。的中心积，特别地z = 蜀玩 5 ( b ) 五= z n 甄，毋同构于非可换单群五 ( c ) e ( g ) z 笺e 1 e 。 命题1 1 6 设群为群g 的极小正规子群，则成立 ( a ) v m 里g ，成立m 或n m = 1 在后一种情况下有f ，m 1 - 1 ( b ) 若，可换，则对于日s g ，g = h ，成立s 或n h ：1 定义1 2 1 设usg ， s g ，称s 是u 在g 中的右横截，若总有 s nu f = l ，地g 类似地，可给出左横截的定义 6 主要结论的证明 第一节 下面一组定理中，我们考察了有限群( 主要是p 可解群) 中一些子群，特 别是p 子群的性质及子群间的相互作用 引理1 1 设g 为一n 可分群，且o 。，( g ) = 1 ，则成立：( 仉( g ) ) o 丌( g ) 证明： 令0 = ( o 。( g ) ) ，= g n 瓯( g ) 则g 肛为g 的”一可分正规子群，且 成立d 。( g ) = 1 ，事实上d 。( g k ) = 0 。( g ) k ( e n o 。( g ) ) 驯k = 叫k = 1 设ks45g 能使a = 0 。一( g k ) ，易知此时a 旦g 由s c h u t z a s s e n h a u s 定理在4 中有补口，且由于a g ，则成立a = k h = 耳h ，故有 h = c 丌，( a ) o ，( g ) = l ，由此即得o 。( g ) = 1 = o 丌，( c k ) ，即g = k ，即 c r = c n o 。( g ) ，c b ( ( k ( g ) ) 曼0 。( g ) 定理l 令h ，k 为可解群g 的 p ，q 日毹f 子群，若x q ( h ) nk 则 x ( ) ，( ) 证明： 本定理相当于证明0 ，( 日) n ksq ( k ) 因此不失一般性可假定x = 岛( h ) n k 对 g i 进行归纳以进行证明设r 为g 的一个极小正规子群，则r 为可 换群，且r 为r 一群，r ”( g ) ( 1 ) 若p r g 由假定p r q 可得曰一日r 佃兰日h n 兄掣h 且同样可证露竺k 因为q ( h ) r r 为p 一群，且o ，( h ) r 俾望日r 肛，故q ( 日) r 佃s 嗥( 曰) 又【司为q ( ) r 俾掣q ) ( 日) n r 垒岛( 打) 笺q ( 曰) ，故q ( 日) 月佃= 0 p ( 宙) 且同样可证q ( k ) r r = q ( 露) 我们有 ( ( 乃( h ) nk ) r 冗( 日) 兄rnk r r = d ，( 日) n o p ( ) = o p ( ) r r 7 则( 哪( h ) n k ) r ( k ) r 由d e d e k i n d 公式可得q ( k ) r n k = q ( ) ( r n ) = 嗥( k ) 所以q ( h ) n k q ( ) r n = q ( k ) 这就证明了q ) n k q ( ) ( 2 ) 若r = g 则存在q s 蛎( g ) ， r5q 日。，g g ，故舻。1 曼h ，即r 日，故 兄曼h n k 我们有 ( ( ) p ( h ) nk ) r r 0 ( h ) r 矗n r r 茎o ，( h r ) n 露= o 刍( 曰) n 露( ) ，( 霄) 以上表示q ( 露) 在中的完全原象即三r = g ( 霞) ，则l 塑，因为兄为l 的s f o 哥子群，且冗旦上，故矗= q ( 上) 下证o p ( l ) = o ，( k ) 魄( r ) 显然。p ( l ) q ( ) 设a 为的正规p 一子群，则a 刷r 为叫r 的正规p 一子群，a r 佃s o ，( k ) = 工r ，故4 兄冬上， a 茎上， 4 鱼三，故( ) p ( k ) q ( 三) ， 0 ，( ) 月】 岛( l ) n r = 1 ，故q ( 工) sq ( r ) 下证g l ( 兄) = 0 ，( 三) r 因为矗里l ，故r 在三中有补b ，三= r b ，显然r ( ( r ) n b ) 既( r ) ， m ( h 月i 锗觜粥( 刚器啪( 划端冲羽驯 故rx ( 魄( r ) nb ) = 既( r ) ，故只需证魄( r ) n b = d ，( 三) 0 p ( 上) 茎c 乙( r ) n b ，( 屯( r ) nb 塑三，( 屯( r ) n b 0 ，( l ) ， 故既( r ) n b = q ( 三) 这就证明了q ( r ) = d p ( 三) r 故o p ( 五) 勖0 ( 既( r ) ) 因为 o i ( 日) n ，捌 q ( h ) 兄】= 1 ，所以o ，( 日) n 耳c b 旧) 又因为( ( h ) n ) r l ，q ( h ) n ，所以o ，( h ) n s 吼( 兄) 因为吼( r ) 中只有一个勖蛔up - 子群o ，( l ) ，故q ( 日) n k 曼o ，( l ) 一( k ) 定理2 令g 可解且有可换勖f p 子群p ，假定q ，( g ) = 1 ，则p 塑g 即p = q ( g ) 证明； 8 我们对1 g 1 进行归纳以进行证明 首先证明对任意k 司g ，成立p n k 里g 则p n s 如( k ) ，岛，( ) c n r k 翼g ，q ，( g ) 塑g ，由于( g ) 为g 中极大正规p ，一子群，故成立q ，( ) 曼q ，( g ) = 1 由假定pn 旦k 因为 p n s 比( k ) ，且为的正规子群，故p n 为k 的唯一的勖l o p 子群， 故p n c n r k ，p n 塑g i 司为q ( g ) 翼g ，所以( q ( g ) ) 塑g ( 1 ) 若( q ( g ) ) = g 因为( q ( g ) ) so ，( g ) ，所以g = 嗥( g ) 显然此时p = g ( 2 ) 若( ( g ) ) g 则( o p ( g ) ) 司g ，p n ( o p ( g ) ) g g 又因为p = p n ( o ，( g ) ) ，故p 里g 定理3 设g 为z r 叮解群，0 ( g ) = 1 ，令p 勋f ，( g ) ，b = ， 则： ( 1 ) b 为可换群， ( 2 ) 吼( g c b ( b ) ) = 1 ， ( 3 ) ( b ) 为g 的中心化z ( ，) 的极大正规子群 证明： ( 1 ) 由于o p ，( g ) = 1 ，故有z ( p ) s ( q ( g ) ) 曼q ( g ) ，从而有b ( ) ，( g ) 对于b 中任意两个生成元o m ，护，o ，6 z ( p ) ，9 l ，9 2 g ， n 们b 驰= 。日1 9 21 9 2 泸2 = ( 驴1 虻1 厅) 卯= ( 她9 1 町1 ) 9 2 = 护2 n 肌 即b 中任意两个生成元可换，故口为可换群 ( 2 ) 设l 为q ( g ( b ) ) 在g 中的完全原象，即上( b ) = 睇( g ( b ) ) ， 则l 旦g 令s 勖f ，( l ) ，则存在p 勋f p ( g ) 使s p ，这时z = z ( p ) 日， 且z 中心化s 因为s s 蛎( 工) ，( b ) 为g 的正规子群，所以s ( b ) ( b ) s 屿( 三( b ) ) 又因为l ( b ) 为p 群，则s ( b ) ( b ) = l ( b ) ，故工= s ( b ) 则 地上，有n = s c ，其中s s ，c ( b ) 故有酽：s c ，且z 中心 9 化s 。即z 中心化工的所有s 9 f o p 子群v 口g ，f 三，我们有 s 2 = ( 弘_ 1 ) 9 ， s 2 9 “曼l 2 9 = 上，故s 2 ，勖f ，( 三) 故z 中心化弘_ 。， 护 中心化( 弘1 ) 。= 即b 中心化三中s f p 子群，特别地s 茎( b ) 故 上= ( 鬼( b ) ，0 0 ( g ( 殆( b ) ) = 1 ( 3 ) 显然，( b ) 为g 的中心化z ( p ) 的正规子群 设a 宴g ，且a 中心化z ( p ) ， v n a ，6 z ( p ) ，9 g 雪n = g ，护b ，n 7 a ( 6 9 p 一护n = 铲9 = 护 故4 ( b ) ( b ) 为g 的中心化z ( p ) 的极大正规子群 定理4 设g 为一p 可解群，且均”( g ) 及s s 乩( g ) 成立： s y f 一( g ( s ) ) s 可f ，( g ) ( + ) ，贝4 有g = o ，( g ) 证明： 对蚓进行归纳以进行证明 ( a ) 若，( g ) = 1 v s s 可f q ( g ) ，贝0o p ( g ) s g ( s ) ，故 o p ( g ) s 】茎q ( g ) ns = 1 ，ss ( ( _ ) ”( g ) ) ( ) ，( g ) ，故s = 1 ，即g 为p 群，故g = o 咖( g ) ( b ) 若o ，( g ) 1 令n2o t ，i g ) ，s s 9 t q 心) ，e = g j n ，s = s n ，聪s s 幽i 。、 n o t s l = n g 啪t s n f n ) ，n o i s 、2n g t s 、n ? n 盟一l g 型! ，g i l g | ，i g i i 万丽2 丽丽丽丽三赢确2 旆i 高向 故”口) 垦p 7 ，故s 屿( a l 雪( 雪) ) 勖o ( o ) ，由归纳假定o ：o ，乍( o ) ，即 g c ( g ) 2 ，p ( g q ，( g ) ) 故g = d 脚，( g ) = 嗥，( g ) 定义设a ，g 是群，a 作用在g 上，规定 g a i l 】= g ，刎， g a ；。1 g ，a ；n 一1 】，州h 称为在g 上幂零作用，若存在n n ，使【g ，a ；叫：1 命题若a ，g 都为p 群，a 作用在g 上，则 在g 上幂零作用 1 0 定理5 设g 为p 可解群且q ，( g ) = 1 ，令q 为g 的一个p 7 一子群，a 为 g 的一个p 子群能使刎= q 则成立怫( g ) ，a ，刎1 证明： 假定怫( g ) ，4 ，q 】= 1 ，则成立协( g ) ，驯s ( 印) ，特别地q 作用在怫( g ) ，州 上故协( g ) ，州分别被q ( g ) ，_ ，q 所正规化怫( g ) ，卅鱼睇( g ) a q 我们有 旧，o ；( g ) ，州 0 ，( g ) ，a 由三子群引理必有h q ，嗥( g ) 慨( g ) ，刎即协q ( g ) 】曼 o p ( g ) ，刎， 且【o ，( g ) ，a d 刍( g ) 记冗，= q ( g ) ，q 】，贝0 兄，0 】= f 0 ，r - = a 0 ，r t 【q ，r l ，a 】s 【r l ，a 】【r 1 ，a ，q 】【( 0 ( g ) ，a ，q 】= l 【r l ，创且( r 1 ，a 里r l a q 故由三子群引理，旧，创= q r - s 旧，刎即 讳( g ) ，q ，钥s q ( g ) ，a ，刎 下面用归纳法证明【d ，( g ) ，q ：州【。p ( g ) ，a ；n 1 假设 q ( g ) ，0 ；n l 】【( g ) a ：一1 】 o ，( g ) ，q ；n = ( g ) q ：n 一1 ，q = q ， q ( g ) ，0 ；n 一1 = a ，q ， 0 ，( g ) ，q ；n 一1 】 而【q ，【( g ) ，q ；礼一1 】，a 】【0 ，( g ) ，0 ；n 一1 】4 j 【 o ，( g ) ，a ：n 一1 ，a 】= 【0 ，( g ) ，a ；n q ，( g ) q ；n l 】，a ，q 】曼 【( ) ，( g ) 4 ；n 一1 ，a ，q = o ，( g ) ，a ；n j ，0 】 。j ) ( g ) ，a ，0 = 1 墨 0 ，( g ) a ：，z 且【( ) ，( g ) ，a ；? l j 璺【o ，( g ) ，q ；儿一1 4 印 故由三子群引理i 。p ( g ) ，q ；嘲= 陋，q ，【q ( g ) ，q ；n 一1 】 玉【q “g ) a ；，z 由丁a o ，( g ) 均为p 群，所以a 在o ，( g ) 上幂零作用故对于适当的虬 成意( o ，( g ) ，a n = 1 ，因为q 为p ，一群，故由【o ，( g ) ，q m l _ 1 可得【o ，( g ) ，q ：n 】- 【q ( g ) ，刎= l ，即qs ( q ( g ) ) 曼q ( g ) 矛盾 定理6 设g 为p 可解群，q ，( g ) = 1 ，印= q ( g ) ，s 为g 的任意p _ 勖f m “ 子群，则7 不包含于m ( s ) 之中 证明： 由于g 为p 可解，故q 1 假设q 西( s ) ，则q m ( g ) 我们说此时 中( g ) 为p 群事实上由于q ，( 垂( g ) ) 如n r 圣( g ) 塑g ，故有q ，( 圣( g ) ) 里g ，从而成立 d 备，( 西( g ) ) 曼。刍，( g ) = 1 设r s 可f ，( 圣( g ) ) ，r p ，则g = 西( g ) ( 矗) = g ( r ) ， 即r 里g ，故兄为虫( g ) 的正规p 一群，矛盾故圣( g ) 为p 群，( g ) 一q 令h 为o ，( g 0 ) 在g 中的完全原像，则由于h 伯为p ，群，故由s c h u r - z a s 8 e n h a u s 定理，成立h = 矿q ，这里u 为q ( g ) 在中的补u 为日的 p 一h o “子群，且中所有一h n f f 子群在日中共轭，设9 g ，则伊= h ， 即u a q = 矿q ，u 9 为h 的矿一日n 朋子群，则存在 h ，使泸= u “ 从而有u 曲1 = u ，则北。1 j 】v g ( 矿) ，9 囟( 矿) r g ( u ) h ，从而可知： g = g ( u ) 日= g ( u ) u q = j 1 v 0 ( u ) q = a ( u ) 圣( g ) = 舀( u ) ，故有矿笪g ，占f 假 定c ) 。，( g ) = 1 相矛盾 定理7 令g 为一群，”7 r ( g ) ，p ”，设h 为g 的一个可解”一子群， q 为g 的一个q 一子群，q ”7 假定q 作用在h 卜，则成立： ( 1 ) 若【q f ( h ) = 1 ，贝4 【q ，日 = 1 ( 2 ) 若q 中心化h 的一个s ”f p 子群，则成立( q ，h 】墨( h ) 证明： ( 1 ) 由假定【q ，f ( h ) = 1 ，则成立心，f ( h ) ，h = l ，以及【f ( h ) ，h0 f ( 日) ，q j = 1 则由三子群引理，我们有阻q ，f ( 日) 卜1 即旧，q sc ( f ( h ) ) s f ( h ) 故【h ，qq 】【f ( h ) ，0 】= 1 ( 日q 】= 【h q ，q ) = 1 ( 2 ) 记l = q h 令s s 螈( h ) ，且q 中心化s ，由于q 为7 r 7 一群，故有s s ”f 。( 工) ， qs 既( s ) 由于日可解，工h 羔q 可解，故工可锯令t = s n q 印( 工) ，则 t s 孵( ，p ( 上) ) 故瓯( t ) 茎( 西( l ) ，由假定qs 瓯( s ) 墨魄( 丁) ，( 工) ， 因为嗥，( l ) 为协( 工) 的正规p f 一日n “子群q 为q ，( l ) 的p l 群，l 可解 所以q ( 上) ，故陀日 日n 【犯) ，h j 曼hno ( 工) 吩( 日) 这就证明了 旧，h s 0 ，( 日) 命题( t h o i n p s o n a 日引理) 设h = a 曰是p 群g 的一个自同构群，其 1 2 中a 是p 7 一群，而b 是p 群如果( a ) ( b ) ，则a 在g 上平凡作用 定理8 令g 为一群，p ”( g ) ，p 为g 的一个p 子群令x 为g ( p ) 的 子群，能使x q ，( k ( p ) ) = e ( g ( p ) q ，( ( p ) ) ) 则x 中心化d p ( g ) 证明： 记= g ( p ) ，工= c 0 ( ) ，0 = o p ( g ) ，r = c y 。( p ) 下面分三步进行证明 ( 1 ) ，p = 1 由于n = n g t 一，极奄p = p l 江旦n f l ，又爻= x f l = e l n f l l ，散 有限司兰贾n 户，故匣胄】为贾的可解正规子群，设露为l 的成分， 则霞为足的成分，因为垆，贾】为贾的可解正规子群，故 户，贾 露】= 1 ，因 为贾为州三的成分的中心积故匣司曼z ( 贾) ，从而有暇贾，嗣= 1 ，这时 又有 贾，户，灭j 【z ( 足) ，贾 _ 1 ，从而由三子群引理成立 贾，同= 暖，元，司= 1 这意味着【x ，卅l ，又因为x 曼= ( p ) ，故x 正规化p ，从而有 【x ，p 】茎上np = 1 ( 2 ) 【x ，卅= 1 显然有矗，且r 塑从而成立丘旦霄，矗里贾因为詹= 月l 上翼州l ， 且矗为p 一群，所以暖，司元n 盈= l ，r sl 故陋，捌ln 尺= 1 ( 3 ) 【x ，别= 1 由于贾= e ( l ) ，故贾为三中成分的中心积，设露为这样一个成分 由于露，z ( 露) 为非可换单群，故n ( 露z ( 露) ) 兰3 ，故可以找到s ”( 霞胆( 露) ) ， 且s p 设雪勋f 。( 霄) ，则雪不包含于z ( 露) ，这时 为露的正 规于群，且 不包含于z ( 露) ，故有霞= 令s 为亏在 中的完全原像，k 为露在中的完全原像，则k = 由于s5x ，故有s p = s 尸，s p 作用在p 群0 上，又由( 2 ) 成立 ( p ) = r c b ( s ) 又由于p 为p 群，s 为一群，故由a b 引理可知，s 平凡作用在q 上，由于= ，故平凡作用在0 上 1 3 由于贾为上中所有成分的中心积，故x 为牡中所有成分的中心积， 故x 为l 中所有成分在中完全原像的乘积，故由换位子运算性质直接可 得 x ，创= 1 1 4 第二节 下面一组定理讨论了被一个子群正规化的子群及其集合的有关性质特别 要指出，在定理9 中所考察的集合( x ) 是一个更一般的集合n g ( a ”) 的特殊 情况，这里( a ，”) 表示g 的所有a 。不变”一子群的集合，对( 以，”) 的分析 和讨论是局部分析理论的重要组成部分 引理2 1 设g 作用在集合n 上，旦g 且成立： ( 1 ) ( 1 i i g k i ) = 1 ； ( 2 ) k 或g ，f 町解； ( 3 ) a ，在n 上传递 则对于k 在g 中的每个补日，成立： ( a ) g ! ( h ) 。； ( b ) c k ( ) 在a 。( 日) 上传递 证明： ( a ) 设口q 由( 3 ) h k l 且g = k g p ，故有g j ( 兰g 口kn g p 对于g d 和 中的正规子群n 应用s c i ，u i z “s c n h a u s 定理，则n 在吼中有补 爿1 因为g = g 。= ( k ng 口) 日l = k h l ， kn h l = n g 芦nh l = 1 ，故h l 也是在g 中的补且p q 2 ( 日1 ) 由s c l l t - r z a s s e n h a u s 定理，k 在g 中的补 均互相共轭，由此即得( a ) ( b ) 设，卢a2 ( h ) ，使q 。= p 则日，日都是kng 口在 。巾的补，将s c h u r z a s s e n h a u s 定理用于吼，h ，日。在kn 吼之下互相共 轭设7 kn 嘶使日川= h 则n 心= 口，且【女7 日】hnk = 1 即有 7 c k ( 日) 即c k ( 日) 在q 1 ) 上传递 定理9 设a 为g 的幂零”一子群，q ”，我们以敝( 4 ) 表示g 的子群x 的a 不变q 一子群集合，以峨( a ) 表示h x ( a ) 中极大元之集合若对于奴( a ) 下面条件成立 1 5 ( ) v q 粘( a ) ，o 。，( ( a ) n g ( q ) ) 在n ：( 口) ( a ) 上传递作用 则成立： ( a ) g 的包含a 的幂零n 子群b ，满足条件( ) ( b ) 嵫( b ) 嵫( a ) ，其中b 如( a ) 所定义 证明： 由于a ，b 幂零，a 翼塑b ，故不妨假设ag b ( a ) 即要证v y r g ( b ) ，o 。，( ( b ) n g ( y ) ) 在k ( y 】( b ) 上传递作用， 我们首先证明：b 作用在n k ( y ) ( a ) 上设y k g ( 口) ，x n ( y ) ) ， 即要证：对任意6 b ，成立x 6 k ( a ) 显然x 6 j v g ( y ) ，v 。a ，x k = x 。“= p ，即p 为a 一不变的 若x 6 不是k g ( y ) ( 4 ) 中的极大元，则p 蜀，义1 “g ( y ) ( a ) ， 则x x 1 ，x 1 “( r ) ( a ) ，即x 不是“帆m ，) ( a ) 中的极大元，矛盾 故x 6 n 丸) ( 4 ) ，v b 口故b 作用在n 砘( y ) ( 4 ) 上 令k = o 。，( a ) n ( y ) ) ， = ( a ) n ( y ) 则( 4 ) 里( a ) ， bs g ( a ) ，故( a ) b = ( a ) ， ( y ) b = ( y ) ， 赶ek f 8 = a j 1 ( = 0 。一t 1 1 1 ( c h n 、a 1 k 8 c h ( r fn j b = i ，散k b = k b 为”一群，k 为”一群，作半直积b k ，b 为幂零群，故b 可解，k 在 “) ( j 4 ) 卜传递作用则由引理2 1 ，c k ( b ) 在a2 ( b ) j 二传递，n = h 新m 1 ( a ) 要完成证明，还需证明( b ) o 一( ( 口) n ( y ) ) ，oz 旧) = k k ( b ) 由定义可知喁( b ) = n k ( y ) ( b ) 显然c k ( b ) ( b ) n b ( y ) ，且c k ( b ) 为7 r 一群，故只需证c k ( b ) 9 ( b ) n 1 、b ( y ) v 七( 口) ，9 ( b ) n ( y ) ( 4 ) n g ( y ) ，则舻k ，舻( b ) ， 则魄( b ) 璺( b ) n ( y ) ，故( 口) sd 。，( ( b ) n ( y ) ) 故b 满足条件( ) ( b ) 显然妫( b ) n g ( 日) n g ( 4 ) 设x n ( b ) ，假定n ；( b ) 不包含于 ( a ) ，即x 不属于妫( 4 ) ，则存在y 物( a ) ，x 是】，的真予群由于y 为矿群，故x 是肌伍) 的真子群由于x ，y 都是a 一不变的，故y ( x ) 1 6 也是a 一不变的，这表明x 真包含在k 。( y ) ( a ) 的某个元之中由假定”一群 o 。，( ( 4 ) n ( ? ) ) 在r 沁忧) ( a ) 上传递作用，又x 在畴，( c b ( a ) nj v g ) ) 作用 下不变，故h 沁( 捌( a ) 中每个元都真包含x ，且l h k ( x ) ( a ) i 为”7 数由于b 为 ”一群且b 作用在k ( x ) ( a ) 上，故b 固定n 沁( x 】( a ) 中某个元，矛盾这就证明 了h ；( _ 日) k 各( a ) 引理2 2 设g 为p 可解群，翼g ，为p - 群，0sg ，“i ，蚓) = 1 ， 则成立：o ( 审) = 丙；i 疆万，( 为( 国) = 虿；t 两 证明： 显然g ( q ) = g ( q ) ，故只需汪( q ) = g ( q ) 显然g ( q ) g ( 0 ) ，q | 】v g ( q ) ，故g ( 0 ) g ( q ) 若z g ( 0 ) ，则q 。( q ) 。= q 因为( i f ，l q l ) = 1 ，q 和q 。皆 为q 之p 一h 。“子群故存在 q ，n 使驴= q “= 驴，由此得 ( = q 肌，即z n 一1 ( q ) ，z ( q ) n g ( 0 ) 即( q j v ) 5 g ( q ) ， 故( 国) = 丽 下证：( 国) 一乙可两 显然瓦i 丽( 囝) 设i ( 国) ，由于( 国) 茎o ( 囝) = j 丽，则存在，t 及a ，g ( q ) ，使 r = ，叫，则有e = i 且。= ( z ) ”= 护，妇q 换位子队1 】n q = 1 ， 故9 ( q ) ，i = i 历丽，故( 西) = 历丽 定理1 0 设g 为p 一可解群，且q ，( g ) = 1 ，0 为g 的p ，子群，能使 p ii g ( q ) ( q ) i ，则口不正规化g 的任何s y f o w p 子群 证明： 假定g 为极小反例，且q 正规化p ，p s 此( g ) ( 1 ) 若q 璺g 则 p ，q 茎p n 0 = 1 ，p5o 舀( q ) ，p 不整除l g ( q ) c 台( 0 ) i ，矛盾 1 7 ( 2 ) 若g 不正规化q 设为g 的极小正规子群，则为p 群，令亏= g ，国= q 则由归纳p 不整除j 0 ( 印) c 台( q ) f 事实上，若pf ( 印) ( q ) j ，则囝不正规化0 的任何s f p 子群 而由假设，q 正规化g 的某个s f p 子群p ，可推出审正规化户矛盾 碘q 由弓理3 2 成立：n c j n i q n f n ) = n c l q l n f n ，c g m i q n n 、= c g i q l n f n ， 故有( 印) ( q ) 羔g ( 0 ) ( q ) 设u 勖f p ( ( 珐( q ) ) ，且u w 7 s f p ( 7 v g ( q ) ) ，则，= w s y f ，( g ( q ) ) ， 故w = u ( wn ) ，此时眇n ，q 1 ，驯，吵n ，钏 彬刎sq ， 故 w n ，q i 茎n q = 1 即w n 曼( q ) ，故w = ( w n ) s ( q ) ，而 w s v f ，( ( q ) ) ，故p 不整除i k ( q ) ( q ) l ，矛盾 1 8 第三节 本节考虑了“分解”问题，把一个子群分解成两个子群的乘积，往往会带来 很大方便特别值得一提的是定理1 2 ，定理1 2 中的条件= 是 一个类似于不可约性的条件，这一条件的一个直接结果是k = k ，g ( k ( s ) ， 我们这里则得出r 更强的结果k = f k ，g 】c k ( g ) 可以看出这一结果类似于 互素作用的结论具有类似性质的还有群g 的子群e ( g ) ：若hsg ，则 e ( g ) = f e ( g ) ，h g f ( g ) ( h ) 定理1 l 令g 为p 可解群，p 为g 的一个固定的s f o u ，p 子群我们以 h ( p ) 表示g 的具有如下性质的子群日的集合： ( a ) 日的p 长度不超过2 ；( b ) p h ；( c ) j ”( 日) l 兰2 则成立：g = 证明： 我们首先固定如下的符号：设u 为一群，q 为u 的固定的s 们一p 子群， 令州f ，( q ) = 则