（通信与信息系统专业论文）基于凸优化理论的中继系统资源分配研究.pdf

重庆邮电大学硕士论文摘要 摘要 有关于传统无线网络的资源分配问题已经得到了广泛的研究，由于具有中继的 两跳无线网络不同于，而且复杂于传统一跳的无线网络，所以，有关于传统无线网 络的资源分配的策略就不可能轻易的应用在两跳的无线中继网络中。因此，在无线 中继网络中，如何以不同系统性能作为优化目标进行资源优化分配具有重要的意 义。 本文主要目标是基于优化理论研究中继网络中的资源优化分配问题，主要工作 包括： 第一、为了降低非再生中继网络的中断概率，研究了基于中断概率最小化的功 率分配问题。首先分析了两跳中继传输方式和协同分集传输方式的中断概率近似表 达式，然后以中断概率最小化作为优化目标，在总功率一定的条件下，提出了非再 生中继系统中基于中断概率最小化的功率分配优化模型，通过l a g r a n g e 乘数法获得 了源节点和中继的最优功率分配。仿真结果表明，与在源节点和中继中采用平均功 率分配策略相比，采用基于中断概率最小化的最优功率分配策略的中继网络，在中 断概率下降的同时，也增加系统的容量。 第二、研究基于多用户q o s 保证的两跳非再生中继网络中的功率分配策略。首 先，在基站( b s ：b a s es t a t i o n ) 和中继偎：r e l a y ) 的总功率受限的约束条件下，提出了 最小化最大( m i n m a x ：m i n i m i z e - m a x i m u m ) 用户的中断概率的功率分配方案。其次， 在用户中断概率，基站b s 和中继r 的总功率受限的约束条件下，提出了最大化最 d 、( m a x m i n ：m a x i m i z e m i n i m u m ) 用户速率的功率分配方案，由于上述功率分配问 题的目标函数是非线性、非凸的，获得全局最优功率分配的求解比较复杂，所以， 将两个功率优化问题转化为等价的几何优化( g p ：g e o m e t r i cp r o g r a m m i n g ) i h - 题，从 而用优化技术获得最优的功率分配。仿真结果表明，基于最小化最大用户的中断概 率和最大化最小用户速率为目标的功率分配策略，在改善最差用户的中断概率和数 据速率的同时，也使得用户之间的有较高的公平性。 关键词：中继系统，凸优优化，资源优化分配，几何优化( g p ) ，中断概率 重庆邮电大学硕士论文 a b s t r a c t a b s t r a c t r e s o u r c e sa l l o c a t i o ni nt h et r a d i t i o n a lo n e - w a yw i r e l e s ss y s t e m sh a sb e e n i n t e n s i v e l ys t u d i e ds of a r s i n c et w o - w a yr e l a ys y s t e mw o r k sq u i t ed i f f e r e n t l yf r o ma n di s m o r ec o m p l e xt h a no n e - w a yr e l a ys y s t e m ，t h er e s o u r c e sa l l o c a t i o na l g o r i t h m sd e v e l o p e d f o rt h et r a d i t i o n a lo n e w a yw i r e l e s ss y s t e m sc a n n o tb er e a d i l yu s e di nt w o - w a yr e l a y s y s t e m s t h u s ，i n t h ew i r e l e s sr e l a yn e t w o r k s ，h o wt oo p t i m i z ea n da l l o c a t et h er e s o u r c e s u s i n gt h ed i f f e r e n ts y s t e mp e r f o r m a n c ea st h eo b j e c t i v ei sv e r yi m p o r t a n t t h i sp a p e r m a i n l yr e s e a r c h e dt h eo p t i m i z a t i o na n da l l o c a t i o no ft h er e s o u r c e si nt h er e l a yn e t w o r k b a s e do nc o n v e xo p t i m i z a t i o n , a n dm a i n l yd e s c r i b e da sf o l l o w ： f i r s t l y ，i no r d e rt or e d u c et h eo u t a g ep r o b a b i l i t yi nt h en o n - r e g e n e r a t i v er e l a y i n g n e t w o r k , t h i sp a p e rs t u d i e dt h ep o w e ra l l o c a t i o np r o b l e mb a s e do nm i n i m i z i n gt h eo u t a g e p r o b a b i l i t y f i r s t l y , t h ep a p e ra n a l y z e dt h ea p p r o x i m a t ef o r m u l a t i o n o ft h eo u t a g e p r o b a b i l i t yo ft w oh o pt r a n s m i s s i o n s c h e m ea n dc o o p e r a t i v e d i v e r s i t yt r a n s m i s s i o n s c h e m e ，t h e n , o nt h ea s s u m p t i o no fc o n s t a n tt o t a lt r a n s m i tp o w e r , w i t hm i n i m i z i n g n e t w o r k so m a g ep r o b a b i l i t ya st h eo p t i m i z a t i o no b j e c t i v e ，e s t a b l i s h e dt h eo p t i m a lp o w e r a l l o c a t i o nm o d e li nt h en o n - r e g e n e r a t i v er e l a ys y s t e m , b a s e do nm i n i m i z i n go u t a g e p r o b a b i l i t y , a n da t t a i n e dt h eo p t i m a lp o w e ra l l o c a t i o no ft h es o u r c ea n dt h er e l a yb y l a g r a n g em u l t i p l i e r m e t h o d s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o w e dt h a tt h e o p t i m a lp o w e r a l l o c a t i o n ss c h e m eb a s e do nm i n i m i z i n go u t a g ep r o b a b i l i t yr e d u c e st h eo u t a g e p r o b a b i l i t ya n de n h a n c e st h es y s t e mc a p a c i t ys i m u l t a n e o u s l y , c o m p a r i n gw i t ht h ee q u a l p o w e ra l l o c a t i o ns c h e m eb e t w e e n t h es o u r c ea n dt h er e l a y s e c o n d l y , w es t u d yt h ep o w e ra l l o c a t i o ns t r a t e g i e sb a s e d o nm u l t i u s e rq o s c o n s t r a i n ti na m p l i f y - a n d - f o r w a r dw i r e l e s sr e l a yn e t w o r k s c o n v e n t i o n a l l y , e a c hr e l a yo r b a s es t a t i o ne q u a l l yd i s t r i b u t e st h e a v a i l a b l er e s o u r c e st oi t ss 0 u r c e s h o w e v t h i s a p p r o a c hi s n o tg e n e r a l l yo p t i m a ls i n c ee a c hu s e re x p e r i e n c e sd i s s i m i l a rc h a n n e l c o n d i t i o n s t h e r e f o r e ，i no r d e rt og u a r a n t e et h eq o sr e q u i r e m e n t so fe a c hu s e r , w e p r o p o s e dn o v e lp o w e r a l l o c a t i o ns c h e m e st o i ) m i n i m i z et h em a x i m u mo u t a g e p r o b a b i l i t yo v e ra l lu s e r s ，a n di i ) t om a x i m i z et h em i n i m u mr a t eu n d e rt h eo u t a g e p r o b a b i l i t ya n dt o t a lp o w e rc o n s t r a i n t s a b o v et h et w op o w e ra l l o c a t i o ns c h e m e sa r e n o n - l i n e a ra n dn o n - c o n v e x ；t h ep o w e ra l l o c a t i o ns c h e m e sa r ef o r m u l a t e du s i n g g e o m e t r i cp r o g r a m m i n g ( g p ) s i n c eg pp r o b l e mi s r e a d i l yt r a n s f o r m e di n t o 孤 i i 重庆邮电大学硕士论文 a b s t r a c t e q u i v a l e n tc o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e m ，o p t i m a ls o l u t i o nc a nb eo b t a i n e de f f i c i e n t l y s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o w e dt h a tp r o p o s e ds c h e m e sc a l le f f i c i e n t l yg u a r a n t e et h eq o s r e q u i r e m e n t k e yw o r d s ：r e l a ys y s t e m ，c o n v e xo p t i m i z a t i o n ， r e s o u r c eo p t i m i z a t i o na n d d i s t r i b u t i o n ，o u t a g ep r o b a b i l i t y i i i 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 1 1移动通信的发展 第一章绪论 时至今日，通信技术的发展已经经历了一百多年的历史，1 8 9 7 年，文献 1 】中， 马可尼( m a r c o n i ) 在英格兰海峡第一次成功的实现了两艘在行驶中的船只之间的无 线通信，从此以后，人们就对无线通信的研究产生极为关注，1 9 4 8 年，香浓( s h a n n o n ) 提出了香浓公式等信息论【2 】，从那时开始，通信技术的发展已经进入快速发展的时 代。特别是2 0 世纪9 0 年代以来，短短的几十年间，移动通信技术飞速发展，而且 已经经历了三个时代的飞跃，第一代移动通信系统是模拟移动通信系统经历的时间 大约由1 9 8 0 年至1 9 9 4 年，主要采用频分多址( f d m a ：f r e q u e n c yd i v i s i o nm u l t i p l e a c c e s s ) 技术为主，只能提供语音业务，速率只有9 6 k b p s ，而不能提供数据等业务， 在这个系统里，主要采用的制式有：a m p s ( a d v a n c e dm o b i l ep h o n es y s t e m ) ， t a c s ( t o t a la c c e s sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ) 和n m t ( n o r d i em o b i l et e l e p h o n y ) 等，第 一代移动通信系统的最大贡献体现在移动性上，这是和以往传统的固话通信有很大 不同的，也是其他传统通信方式不可代替的，而且该系统还采用了蜂窝结构，重复 利用有限的频谱资源，实现了区域覆盖，由于采用了模拟的语音传输方式，第一代 移动通信系统也有很多不足之处，比如终端设备重，技术简单，保密性差，通话质 量低，业务种类单一等缺点。 2 0 世纪9 0 年代，由于数字信号处理技术和集成电路技术的成功应用，出现了 以g s m 为代表的第二代移动通信系统，该系统采用时分多址( t d m a ：t i m ed i v i s i o n m u l t i p l ea d d r e s s ) 和窄带码分多址( n - c d m a ：n a r r o w b a n d c o d ed i v i s i o nm u l t i p l e a d d r e s s ) 技术为主要的接入技术，数据传输速率由9 6 k b p s 提高到几百k b p s ，可以 支持话音业务和低速的数据业务。由于采用了数字技术，第二代移动通信系统克服 了第一代移动通信系统的不足，在话音质量和保密性方面都得到了很大的提高，在 终端设备上，采用了用户识别模块( s t m ：s u b s c r i b e ri d e n t i t ym o d u l e ) ，实现了机卡 分离，而且终端设备的重量也大大减轻。由于第二代移动通信系统的不同制式和不 统一的标准，移动用户虽然能在一定的区域进行漫游，但是还不能满足人们在全球 进行漫游的需求，而且还不能实现多媒体业务等高速数据速率业务的传输，也就在 一定程度上限制了数据业务的发展和应用。 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 早在1 9 8 5 年，i t u ( i n t e m a t i o n a lt e l e c o m m u n i c a t i o nu n i o n ) 就开始着手提 出一个工作在2 0 0 0 m h z 频段的未来的移动通信系统，也就是被命名为 i m t 2 0 0 0 ( i n t e r n a t i o n a lm o b i l et e l e c o m m u n i c a t i o n s - 2 0 0 0 ) t 列的第三代移动通信系统， 这个系统主要采用的是c d m a 技术，主要是面向多媒体等业务而设计的，能提供 多种峰值速率要求，如在室内可以达到2 m b p s ，步行时速率可以达到3 8 4 k b p s ，在 低速车载时的速率可以达到1 4 4 k b p s ，不仅能支持语音和数据业务，而且能根据不 同带宽需求提供可变速率的业务，支持不同服务质量要求的业务，目前将第三代移 动通信技术和国际互联网技术结合在一起，可以提供图像、音乐、视频流等多种媒 体形式的业务，让移动用户提供更加丰富的无线业务的体验。 随着i n t e m e t 和多媒体技术的快速发展，移动用户在移动通信系统中希望提供 更加丰富的业务，为了适应将来的移动通信的发展要求，r r u 开始将目光转到3 g 以后的无线通信的通信系统上，也就是目前的后三代移动通信系统( b 3 g ：b e y o n d t h i r dg e n e r a t i o nm o b i l ec o m m t m i c a t i o ns y s t e m ) 或者第四代通信系统( 4 g ) ，随着 各种技术的成熟和发展，可以相信，人类将会实现美好的愿望：任何人( w h o e v e r ) 在任何时间( w h e n e v e r ) 和任何地点( w h e r e v e r ) 都能与另外一个人( w h o e v e r ) 进行任何方式( w h a t e v e r ) 的通信( 即是5 w ) 。 1 2中继的概述 在移动通信中，无线信道的特性是影响传输可靠性的重要因素，主要包括各种 衰落。由于移动通信中所使用的工作频段很高，将使得信号的空间传播有更大的路 径损耗，也就是说，在发射功率不变的情况下，无论是基站还是移动终端都会降低 其覆盖距离，因此为了达到无线覆盖的要求，就需要部署更多的基站来满足覆盖的 需求，同时由于增加单个用户的发射功率会使得用户设备的能源很快耗尽，同时也 使得对小区范围内的其他用户产生更大的干扰，因此，也就不可能无限制的靠增加 发射功率来换取通信性能的提升，为了满足低成本无线移动网络的部署，采用无线 多跳中继技术是其中较好的解决方案之一，中继网络架构如图1 1 ，在传统的蜂窝 网络中部署中继节点有以下优点： 提升单个基站的高数据速率覆盖能力和扩大基站的覆盖范围； 减小无线终端的功耗，从而减少干扰和延长终端设备电池的寿命； 使得基础设施的成本更低而且组网灵活，建设速率快； 因此，在b 3 g 或4 g 移动通信系统中，把a d - h o e 网络中多跳通信引入到传统 2 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 单跳蜂窝移动网络中，也就是在传统的蜂窝网络中部署中继，以现有的网络平台为 基础，从而改变传统的单跳网络，在本文中，把基站和移动用户之间的信息传输称 为单跳或直传，而把基站和移动用户之间的信息传输通过中继进行转发的通信方式 称为两跳，其中根据对信号的处理方式的不同可以分为放大前向转发( a f ： a m p l i f y - a n d f o r w a r d ) 【4 】和译码前向转发( d f ：d e c o d e a n d - f o r w a r d ) t 5 j ，放大前向中继 a f 又被称为非再生中继，是中继对接收到的信号只进行简单的放大、量化等处理后 直接发送给目的节点的中继方式。译码前向中继d f 又被称为再生中继，是指中继 对接收到的源节点的信号进行完全解码再重新编码以后发给目的节点的方式。 ，o 单跳直传 i 一二一两剧8 n 膂 用户j f j 三 。 ，。 ， ， 基站 | ， 国 图1 1 中继网络架构 。 。j i-lil-i-ifl i，illll l 夕 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 1 3国内外研究现状和选题意义 在无线通信领域中，由于无线资源的分配对于整个通信系统的性能来说有很大 的影响，在一个含有中继的移动通信网络中，由于中继的存在，传统的移动用户到 基站之间的通信链路可能会被两跳的中继传输链路所代替，因此，在这样一个传输 链路比较复杂的移动通信系统里，每一跳传输链路的性能都会直接影响到整条链路 的总体性能，因此，如何分配和优化资源也就显得格外重要。 目前已有大量的资源分配算法，文献 6 】和 8 中联合最优中继节点选择、最优 中继策略、最优的功率和带宽分配，作者提出了效用最大化的架构，采用了拉格朗 日对偶分解的方法进行最优的中继节点选择、最优中继策略、最优的功率和带宽分 配；文献 7 】中在基于o f d m a ( o r t h o g o n a lf r e q u e n c y - d i v i s i o nm u l t i p l ea c c e s s ) 的小区 网络中，作者提出了最大化最小用户之间的吞吐量问题，使用两级拉格朗日对偶分 解的方法把优化目标分成物理层子问题和高层子问题，最后得到最优的解，保证了 用户之间的公平性；文献 1 1 中作者在中继o f d m a 小区网络中，在基于路径选择 和p i t y m a c 层的约束条件下，研究了上行吞吐量最大化问题，采用拉格朗日对偶 分解和k k t 条件，获得问题的最优解。文献 1 8 作者在基于中继协同的小区中，分 别对最大化下行和上行容量进行了研究，都是将问题分为子载波分配和功率分配两 个步骤，后分别采用了贪婪算法和注水算法获得问题的解。文献 9 】在o f d m a 小区 网络中为了最大化系统的容量，研究了子载波和功率分配，采用了次优的方法，把 优化目标分成为两个启发式的步骤。 文献 1 0 】中，在中继小区网络作者研究了联合资源优化，而且，他们的目标是 最大化总的容量。没有考虑公用户之间的公平性。文献【1 4 】中，在中继公平性限制 的条件下，用图论的理论解决了最优的源中继子载波的分配问题。但是，它假设 固定功率分配给子载波，而这不是最优的情况，因为在蜂窝网络里功率控制是很重 要的。文献 1 s l q b 研究了多个源端，多个中继和一个目的端o f d m a 的网络，提出 了完全公平的跨层资源优化问题，而且考虑了源端和中继的公平性，也采用了图论 的理论解决最优资源优化的问题。 文献【1 2 】和文献 1 3 】中作者对多跳的m e s h 网络进行了研究，其中在文献 1 2 针 一对o f d m t d m a 接入方式，提出了一个最优功率分配算法，该算法利用对分搜 索找到令各跳即时信道容量相等的功率分配，并在各跳内部采用灌水法则把功率最 优分配到各个子载波。针对o f d m f d m a 接入方式，提出了一个功率与子载波联 合分配算法，该算法通过对各跳的初始子载波集合的不断调整寻找到令各跳即时信 道容量相等并最大化的子载波与功率分配，文献 1 3 研究的是在o f m d a 再生多跳 4 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 链路的子载波和功率优化分配，为了最大化多跳链路端到端的容量，提出了三种次 优的资源分配策略。 文献 1 6 以无线蜂窝网络，无线m e s h 网络和认知无线网络为研究背景，在信 息论和优化理论的基础上，研究了跨层资源优化问题，其中，对无线蜂窝网络中， 讨论了传统的蜂窝网络和多跳的蜂窝网络中的跨层资源优化问题，该论文首先通过 合理的假设对系统进行数学模型建模，后将研究的问题建模为一个凸优化问题，并 通过l a g r a n g e 乘数法得到问题的最优解。 研究者针对有很多不同假设条件已经提出了资源分配算法：文献 1 7 【1 8 研究 了对固定中继模型提出了路由选择算法和智能信道选择算法。文献 1 9 】在综合小区 和a d - h o c 中继系统里提出了负荷平衡算法。文献 2 0 】中在o f d m a 多跳中继系统里， 作者把子信道分配问题制定为一个线性优化问题。然而，文献 2 0 】只关注于子信道 复用，而没有功率优化。在时分多址接入系统里，文献 2 l 】 2 2 研究了时隙分配算 法。尽管，在一个小区里为了最大化所有用户的共同的吞吐量的时隙分配问题能被 制定成为一个线性规划问题( l p ：l i n e a r p r o g r a m m i n g ) ，但是在文献 2 1 】中使用的模 型对于大多数实际情况过于简单，在文献 2 3 】 2 4 2 5 也对这样一个简单的模型，研 究了功率分配算法。文献【2 6 】使用预先分配子信道，把优化问题制定为一个凸问题。 然后，使用拉格朗日对偶分解方法引出资源分配算法，证明最优的功率分配是改良 的注水算法，它通过使用内外对分法能够有效地解决功率分配问题。而且，也提出 了一种在复杂度上简单而且能获得接近最优的性能的启发式功率分配算法，进一 步，这个结果引发了一个启发式子信道分配算法。最近，e d u a r dc a l v o 等人，在具 有不完全信道状态信息( c s i c h a n n e ls t a t ei n f o r m a t i o n ) 的中继小区网络中，为了最 大化网络的容量，通过p a r e t o 算法，获得了最优解，而且还提出了一种次优的算法 1 2 7 。 1 4本文的主要工作 从收集的资料上看，目前对中继网络中有关于资源优化和分配问题大量研究的 文献中，主要是集中在对网络的吞吐量和容量最大化问题上，但大多文献未考虑用 户的公平性、业务优先级、业务类型( 实时和非实时业务) 、时延o o s ( q u a l i t yo f s e r v i c e ) 和中断概率q o s 等，因此，本文主要目标是基于优化理论研究中继网络中 的资源优化分配问题，主要工作包括： 第一、为了降低非再生中继网络的中断概率，研究了基于中断概率最小化的功 率分配问题。首先分析了两跳中继传输方式和协同分集传输方式中断概率近似表达 重庆邮电大学硕士论文第一章绪论 式，然后以中断概率最小化作为优化目标，在总功率一定的条件下，提出了非再生 中继系统中基于中断概率最小化的功率分配优化模型，通过l a g r a n g e 乘数法获得了 源节点和中继的最优功率分配。 第二、研究基于多用户q o s 保证的两跳非再生中继网络中的功率分配策略。首 先，在基站b s 和中继r 的总功率受限的约束条件下，提出了最小化最大( m i n - m a x ) 用户的中断概率的功率分配方案。其次，在用户中断概率，基站b s 和中继r 的总 功率受限的约束条件下，提出了最大化最小( m a x m 访) 用户速率的功率分配方案， 由于上述功率分配问题的目标函数是非线性、非凸的，获得全局最优功率分配的求 解比较复杂，所以，将两个功率优化问题转化为等价的几何优化g p 问题，从而用 优化技术获得最优的功率分配。 本论文所使用的数学工具是凸优化和几何优化g p ，相关的数学背景知识将在 第二章做简单介绍。 1 5本文的内容安排 本文研究了基于凸优化理论的中继系统资源分配，全文共分五章，各章内容具 体安排如下： 第一章介绍了移动通信的发展，中继的概述，国内外的研究现状和本文的主要 工作。 第二章介绍本文所用的优化理论。 第三章研究了基于中断概率最小化的功率分配问题。首先分析了两跳中继传输 方式和协同分集传输方式中断概率近似表达式，然后以中断概率最小化作为优化目 标，在总功率一定的条件下，提出了非再生中继系统中基于中断概率最小化的功率 分配优化模型，通过l a g r a n g e 乘数法获得了源节点和中继的最优功率分配。 第四章研究基于多用户q o s 保证的两跳非再生中继网络中的功率分配策略。首 先，在基站b s 和中继r 的总功率受限的约束条件下，提出了最小化最大( m i n - m a x ) 用户的中断概率的功率分配方案。其次，在用户中断概率，基站b s 和中继r 的总 功率受限的约束条件下，提出了最大化最小( m a x m i n ) 用户速率的功率分配方案， 由于上述功率分配问题的目标函数是非线性、非凸的，获得全局最优功率分配的求 解比较复杂，所以，将两个功率优化问题转化为等价的几何优化g p 问题，从而用 优化技术获得最优的功率分配。 第五章是总结所作的工作，指出所做研究中有待于改进的地方，并探讨了进一 步的研究方向。 重庆邮电大学硕士论文 第二章优化理论 2 1 引言 第二章优化理论 凸集和凸函数是线性规划和非线性规划都要涉及的基本概念，关于凸集和凸函 数的一些定理在最优化问题的理论证明和算法研究中具有很重要的作用，因此，本 章将对凸集，凸函数和非凸优化作一般性的介绍，要详细了解这方面的优化理论， 可以参考文献 2 8 1 1 2 9 。 2 2 凸集和凸函数 凸集的定义：设c 是n 维欧式空间r “中的一个集合，如果连接c 中的任意两点， 组成的线段仍然属于c ，也就是，对于每一个实数五 0 , 1 】，对集合c 中的任意两 点 ，工2 c ，都满足： 触1 + ( 1 - 2 ) x 2 c( 2 1 ) 则称c 为凸集。而饥+ ( 1 一名) x 2 称为x i g l x ：的凸组合。 凸函数的定义：设c 是刀维欧式空间r ”中的一个集合，f 是定义在c 上的函数， 若对集合c 中的任意两点，x ：c ，和每一个实数名 0 , 1 】，都满足： f ( 2 x 1 + ( 1 一五) z 2 ) 允f ( 工1 ) + ( 1 2 ) f ( x 2 )( 2 2 ) 则称，是集合c 上的凸函数。若对集合c 中的任意两点五，x ，c ，和每一个实数 a 【0 , 1 】，都满足： f ( 2 x 1 + ( 1 一五) x 2 ) 旯f ( z 1 ) + ( 1 2 ) f ( x 2 )( 2 3 ) 则称，是集合c 上的严格凸函数。如果一f 是集合c 上的凸函数，则称f 是集合c 上的凹函数。有关凸集和凸函数的判定请参考文献【2 9 】。 2 3 数学优化 把有如下形式的优化问题： m i n i m i z e f o ( x ) s u b j e c tt of a x ) 魏，扛1 ，m 7 ( 2 4 ) 重庆邮电大学硕士论文 第二章优化理论 称为数学优化问题或优化问题。其中向量x = ( 五，毛) 是优化问题的优化变量，e o ) 是要优化的目标函数，v i ( x ) 是约束函数，而6 f 是约束的值，巧( x ) 6 ，i = 1 ，m 称 为优化问题的约束条件。如果有一个向量x x 是所有向量中使得e ( x ) 取得最小 值，即f o ( z ) f o ( x ) 而且对于任意的z 都满足e ( z ) 6 l ，c ( z ) k ，那么称石是 优化问题( 2 4 ) 的最优解。如果优目标和约束函数磊( x ) ，巴( x ) 都为线性，比如：对 于任意的z ，y r ”和口，r ，满足： f i ( a x + f l y ) = a f , ( x ) + f l f | ( y ) ( 2 5 ) 则称优化问题( 2 5 ) 为线性优化，目标和约束函数瓦( 功，巴( 功不满足线性，则称则 称优化问题( 2 5 ) 为非线性优化。 如果优目标和约束函数磊( x ) ，巴( x ) 都为凸函数，也就是说，对于任意的 x ，y r “，和口+ = 1 ，其中口，r ，且口0 ，0 ，满足： 只( c z x + f l y ) 口巧( x ) + 巧( j ，) ( 2 6 ) 则称优化问题( 2 6 ) 为凸优化问题，如果优化目标是求凹函数的最大值，并且同样满 足约束条件都是凸集的要求，则这样的问题同样也是凸优化问题。 2 4l a g r a n g e 对偶问题 对偶理论在优化理论的发展和算法的研究中具有非常重要的作用，为了方便文 章后面的讨论，在本节将对对偶理论作简单介绍，如需更加详细了解，可参考文献 【2 9 。 下面给出l a g r a n g e 对偶中的原问题与对偶问题，考虑非线性优化问题： m i n i m i z e f oo ) s “b j e c t o 正( x ) o ，f = 1 ，朋， ( 2 7 ) 日，( 工) = 0 ，j = 1 ，n ， 、 x c ， 将上述问题( 2 7 ) 称为原始问题，将满足所有约束条件的解x 称为原始向量，引入对 偶变量名r ”和占r “，放松原始问题的约束条件，可以得到l a g r a n g e 函数： l ( x ，五，s ) = 届( x ) + 五e ( 工) + o q ( x ) ( 2 8 ) i = 1 扣l 定义原优化问题的对偶函数d ( 名，占) 为： d ( 2 ，占) = m i nl ( x ，名，占) ( 2 9 ) 重庆邮电大学硕士论文 第二章优化理论 在很多优化问题中，通常直接对原优化问题进行求解是比较困难的，甚至根本 无法对优化问题进行求解，根据l a g r a n g e 对偶优化理论【2 9 1 ，可以将一个复杂的原优 化问题转变为一个对偶的凸优化问题，然后对对偶问题进行求解，有关对l a g r a n g e 对偶问题的求解方法可以参考文献 2 9 】。 2 5l o 汀( k a r u s h k u h n t u c k e r ) 条件 如果原优化问题为凸，则k k t 条件对于原优化问题和对偶优化问题取得最优值 是充分的，也就是说，对于优化问题( 2 7 ) 当f a x ) 是凸，而且日，( x ) 为仿射时，则有 石，名，g 是任意点都满足k k t 条件，即 e 0 ) 0 ，i = l ，m ， ( 2 1 0 a ) 日，( x ) = 0 ，j = 1 ，刀，( 2 1 0 b ) 石0 ，扛1 ，历，( 2 1 0 c ) 笱墨( 石) = o ，i = 1 ，m ， ( 2 1 0 d ) v f o ( x ) + ：。笱踞( x ) + ：。6 ；v h i ( x ) = o ， ( 2 1 0 e ) 其中，前两个条件( 2 1 0 a ) 和( 2 1 0 b ) 的表示的是原始最优变量x + 是可达的；条件( 2 1 0 c ) 表示对偶变量可达，条件( 2 1 0 d ) 表示要满足原始和对偶不等式的互补松弛关系，而 条件( 2 1 0 e ) 等价于v ，( x ，允，占) = 0 ，因此，工是最小化l ( x ，兄，g + ) ，由以上可以得 到以下结论： d ( 名，s ) = 三( x ，a ，占) ：磊( x ) + 羔粥( x ) + ni q ( z ) 2 1 1 i=1_，=l 因为日，( 工) = 0 和万巧( z ) = 0 。因此，d ( 五，占+ ) = f o ( x ) ，这表明，工。和( 名，s ) 有零 对偶间隔，因此，是原始优化问题和对偶优化问题的最优解。总之，有不可分解目 标函数和约束条件的任何凸优化问题，任何满足k k t 条件的点都是最优的，而且有 零对偶间隔。 k k t 条件在优化理论中起了非常重要的作用，判别一个局部极值是否是全局最 优的必要条件，在一些特殊的条件下，能够通过使用k k t 条件来获得优化问题的最 优解。 2 6 几何优化g p 几何优化g p 是优化目标和约束函数都有特定格式要求的一种数学优化问【3 们。几 何优化g p 的标准形式如下： 9 重庆邮电大学硕士论文 第二章优化理论 m i n i m i z e f o ( 工) s u b j e c tt of a x ) 1 ，i = 1 ，m ， t ( x ) = 1 ，j = 1 ，刀， ( 2 1 2 ) 其中：玉是正的优化变量，巧( 工) 是正项式函数( p o l y n o m i a lf u n c t i o n s ) ，而日，( x ) 是 单项式( m o n o m i a l ) ，从几何优化g p 的标准形式可以看出，目标函数必须为正项式 函数，而且优化目标也必须为最小化，不等式约束条件只有一种形式，也就是左边 的一个正项式要小于或等于1 ，而等式约束只有一个等于1 的单项式。有关g p 的背景 知识和在通信系统的的应用可以参考文献 2 9 ，【4 1 ， 4 6 】。总之，g p 是把非线性，非 凸的优化问题转化成非线性的，凸优化问题。在第四章有关的功率分配问题转化成 g p 优化问题。 2 7 本章小结 本章主要介绍本文所用的优化理论知识，具体地说，首先介绍了凸集，凸函数 基本定义，接着介绍了数学优化理论模型，重点介绍l a g r a n g e 对偶方法，k k t 条件 和几何优化g p 的标准形式。本章的内容是后面章节的基础，具有非常重要的作用， 在此基础上，在后面章节中，我们将讨论中继网络中的资源分配和优化问题，并用 本章介绍的优化理论分别对不同优化模型进行求解，获得最优值。 1 0 重庆邮电大学硕士论文第三章非再生中继网络的功率优化分配 3 1 引言 第三章非再生中继网络的功率优化分配 在移动通信中，无线信道的特性是影响传输可靠性的重要因素，主要包括各种 衰落。由于移动通信中所使用的工作频段很高，将使得信号的空间传播有更大的路 径损耗，也就是说，在发射功率不变的情况下，无论是基站还是移动终端都会降低 其覆盖距离，因此，为了达到无线覆盖的要求，就需要部署更多的基站来满足覆盖 的需求，由于增加单个用户的发射功率会使得用户设备的能源很快耗尽，同时也使 得对小区范围内的其他用户产生更大的干扰，因此，也就不可能无限制的靠增加发 射功率来换取通信性能的提升，为了满足低成本无线移动网络的部署，采用无线多 跳中继技术是其中较好的解决方案之一，如何以不同系统性能作为优化目标进行功 率分配是一个重要的课题。 文献1 3 1 1 提出了基于译码转发瑞利衰落信道的单中继情况的功率分配，它在目 的节点处采用了选择合并的方式，从而简化了系统的性能分析，文献【3 2 在协同分 集系统里，提出了时隙、带宽和功率的联合分配，而且在目的节点也讨论了多种合 并方式。由于推导中继网络的中断概率的具体闭式求解比较复杂，在信噪比较大情 况下，当源节点和中继采用等功率分配时，文献 4 】推导了再生和非再生中继网络的 中断概率的近似表达式。文献 3 4 】在瑞利和莱斯混合的衰落信道中，得到两跳非再 生中继的中断概率的精确表达式和下界表达式，而且证明了，在信噪比较大时，两 个表达式的中断概率很接近。文献 3 5 1 ，对于采用固定或选择的放大转发中继协议 的两跳协同传输系统，得到中断概率和比特错误概率的闭式。文献 3 6 1 在中断概率 一定的条件下，最小化系统的平均功率，而且比较分析了最大比例合并( m r c ： m a x i m u mr a t i oc o m b i n i n g ) 和等增益合并( e g c ：e q u a lg a i nc o m b i n i n g ) 两种方式 的系统功率。文献【4 7 在无线中继网络中，为了最大化系统的容量，提出了对每一 个用户的功率和时隙优化分配，而且是通过先优化分配功率，后优化分配时隙的两 个步骤，然后通过找根算法获得优化问题的最优解。在采用a f 协议的中继网络中， 在接收端接收到的信号对相邻小区的干扰门限值的约束条件下，文献 4 8 】研究最大 化信噪l l ( s n r ：s i g n a l t o n o i s er a t i o ) 和最小化均方误差的优化问题。文献 4 9 1 在采 用a f 中继协议的网络中，考虑了正交发射和非正交发射的情况，以比特错误率( b e r ： b i te r r o rr a t i o ) 作为优化目标的功率分配。在多用户的a f 中继网络的下行链路中， 重庆邮电大学硕士论文第三章非再生中继网络的功率优化分配 在对中继单独功率和总功率的约束，以及对中继分配的约束条件下，文献 5 0 以最 大化所有用户的和速率为优化目标，分别对固定中继选择和联合中继选择的功率分 配的情况进行了研究。 以上文献都没用针对中继所处位置的不同而对系统中断概率和系统容量的影 响。因此，本章主要从系统的中断概率出发，首先分析了两跳中继传输方式和协同 分集传输方式的中断概率近似表达式，然后以最小化中断概率作为优化目标，在总 功率一定的条件下，建立了非再生中继系统中基于中断概率最小化的功率分配优化 模型，通过l a g r a n g e 乘数法分析源节点和中继的最优功率分配策略。 3 2 系统模型 中继网络的模型如图3 1 所示，分别由一个源节点s ( s o u r c e ) ，一个中继r 和一 个目的节点d ( d e s t i n a t i o n ) 组成。假设源节点s 到目的节点d 和中继r 信道系数分别 为扛，红，中继r 到目的节点d 的信道系数为见，鬼、见和见是相互独立的零均值 的复数高斯随机变量，在以下的讨论中，分别设所= 限1 2 、儿- - i h ：1 2 和乃= 阮1 2 ，定 义网络的信道状态信息c s i 为厂= ( 乃，托，乃) ，其中以服从参