（基础数学专业论文）关于b（h）上线性保持映射若干问题的研究.pdf

关于舀( h ) 上线性保持映射若干问题的研究 王琳琳 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的迅速发展，现 在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支它与量子力学，非交换几何，线 性系统和控制理论，甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联系 和相互渗透为了进一步探讨算子代数的结构近年来，国内外诸多学者对算子 代数上的线性保持映射进行了深入研究，并不断提出新的思路算子代数上的保 持问题是研究算子代数中元素的某些特征不变的映射本文研究的主要内容为保 持拟相似性的有界缵陛满射，以及长度分别为l 和2 的保酉相似性的初等算子 本文共分三章： 第一章主要介绍了在本文中用到的符号，定义和后两章需要用到的一些定 理首先我们介绍了用到的符号所表示的意义，接着引入算子的谱，相似，拟相 似，酉相似，初等算子等概念，最后，给出了一些常用的定理 第二章我们讨论了保拟相似的线性映射设“是复可分的无限维h i l b e r t 空 间，b ( x ) 是由h 上的有界线性算子全体组成的b a n a c h 代数在文献| 1 中，借 助对b ( h ) 中复线性相似不变子空间的刻画，证明了舀( h ) 上双边保相似性的有 界线性满射是数乘同构或数乘反自同构在文献【2 l 中，刻画了b ( 7 ) 上保渐近相 似性的有界线性满射本章研究了b ( x ) 上的保持拟相似性的线性映射应用线 性算子逼近的方法，证明了t ；( 7 ) 上的拟相似不变子空间只能是下列三种形式之 一：0 ，c i ，b ( 7 ) ，并且证明了b ( h ) 上保持拟相似性的有界线性满射一定是数乘 同构或数乘反同构 第三章我们讨论了初等算子在文献3 i 中，刻画了m ( x ) 上长度为1 的保相 似性的初等算子在本章中，我们首先刻画了长度为1 的保酉相似的初等算子 接下来证明了长度为2 的保酉相似的初等算子a ( x ) = a 1 x b l + a 2 x b 2 ，对任 意x 舀( “) 当i r a n ( a ) 时，有( x ) = a 1 1 a x ( 2 ) a 一。，其中a = ( a 1 ，a 2 ) b o7 - t ，加，a l l c i ，对任意xe8 ( h ) 类似地，可以证明：长度为2 的初等算 子( x ) = a l x b l 十a 2 x 岛，对任意x b ( t t ) 当i r a n ( , ) 时，则此初等算子 保相似陛( 保渐近相似性，或保拟相似性) 的充分必要条件是a ( x ) = 。1 a x ( 2 ) 4 - 。， 其中a = ( a 1 ，a 2 ) e8 o7 - 1 ，7 - ) ，( 2 1 1 c ，对任意xe 舀( 爿) 关键词：线性算子相似拟相似酉相似一秩幂零算子保拟相似的线 性映射初等算子 r e s e a r c ho nl i n e a rp r e s e r v i n gm a p p i n g sw h i c ha r eo nz 3 ( n ) l i n l i nw a n g a b s t r a c t ：t h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n3 0 t i m e so ft h e2 0 t h c e n t u r y w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y ) n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c h p l a y i n gt h er o l eo fa ui n i t i a t o ri nm o d e r nm a t h e m a t i c s i th a su n e x p e c t e dr e l a t i o n s a n di n t e r i n 矗l t r a t i o n sw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y 1 i n e a r s y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , i n d e e dn u m b e rt h e o r ya sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n t b r a n c h e so fm a t h e m a t i c s i no r d e rt od i s c u s st h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s j n r e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sb o t hh e r ea n da b r o a dh a v ef o c u s e do nl i n e a rp r e s e r v i n g m a p p i n g so no p e r a t o ra l g e b r a sa n dh a v ei n t r o d u c e dm o r ea n dm o r en e wm e t h o d s t h ep r e s e r v i n gp r o b l e mo uo p e r a t o ra l g e b r ai st or e s e a r c hs o n i cm a p p i n g st h a t p r e s e r v ec h a r a c t e r i z a t i o no no p e r a t o ra l g e b r a o nt h eb a s i so fe x i s t i n gp a p e r s ，i n t h i sp a p e rw em a i n l ya n dd e t a i l e d l yd i s c u s sl i n e a rb o u n d e ds u r g e c t i o n st h a tp r e s e r v e q u a s i s i m i l a r i t y ，a n de l e m e n t a r yo p e r a t o r so fl e n g t h1a n d2t h a tp r e s e r v eu n i t a r y s i m i l a r i t y t h i sp a p e rc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s ： c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e ss o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m ew e l l k n o w n t h e o r e m sa r eg i v e nf i r s t l y 】w eg i v es o m en o t a t i o n s s u b s e q u e n t l y , w ei n t r o d u c et h e d e f i n a t i o n so fs p e c t r u m ，s i m i l a r i t y ，q u a s i s i m i l a r i t y ，u n i t a r ys i m i l a r i t y ，a n de l e m e n t a r yo p e r a t o r se t c f i n a l l y w eg i v es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sb o u n d e dl i n e a rm a p p i n g st h a tp r e s e r v eq u a s i s i m i l a r i t y l e t7 - b eas e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ea n d8 f 爿) t h eb a n a c ha l g e b r a o fa l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so n 州i n 1 1 ，a u t h o r sr e s e a r c h e dt h el i n e a rm a p p i n g s t h a ta r ep r e s e r v es i m i l a r i t yi ni n f i n i t ed i m e n s i o nt h e yc h a r a c t e r e dt h eb o u n d e d l i n e a rs u r j e c t i o n so nb ( h ) t h a tp r e s e r v es i m i l a r i t yi nb o t hd i r e c t i o n sb yc h a r a c t e r i z i n gt h es i m i l a r i t y i n v a r i a n ts u b s p a c e so f8 ) i n 吼a u t h o rc h a r a e t e r e db o u n d e d l i n e a rs u r j e c t i o n so ns ( n ) t h a tp r e s e r v ea s y m p t o p i c a ls i m i l a r i t y i nt h i sc h a p t e r ，l e t 咒b eas e p a r a b l ei n f i n i t ed i m e n s i o n a lh i l b e r ts p a c ea m db ( h ) t h eb a n a c ha l g e b r ao f a l lb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r so n7 - w es t u d yt h eq u a s i s i m i l a r i t y i n v a r i a n ts u b s p a c e s o f 廖) a n dq u a s i s i m i l a r i t y p r e s e r v i n gl i n e a rm a p so n 舀( 州) - i nt h i sc h a p t e r 、i ti s p r o v e dt h a tt h eq u a s i s i m i l a r i t y - i f l v a r i a n ts u b s p a c e so f8 ( “) h a v et h r e ef o r m s ，t h a t i s o ) ，c ia n d8 ) a n dt h a te v e r yb o u n d e dl i n e a rs u r j e c t i v cm a p p i n go n8 ( 州) i i w h i c hp r e s e r v eq u a s i s i m i l a r i t yi sn o n z e r os c a l a rm u l t i p l eo fe i t h e ra l la u t o m o r p h i s m o ra na n t i a u t o m o r p h i s mb yu s i n gt h em e t h o do fl i n e a ro p e r a t o ra p p r o x i m a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s se l e m e n t a r yo p e r a t o r s i nf 3 1 ，a u t h o rh a dc h a r a c t e r i s e d t h ed e m e n t a r yo p e r a t o r so fl e n g t h1t h a t p r e s e r v es i m i l a r i t yw ed i s c u s st h ee l e - m e n t a r yo p e r a t o r so i l 尽( m ) i nt h ef i r s tp l a c e 、w eg i v et h ec h a r a c t e r a s i t o n sf o r e l e m e n t a r yo p e r a t o r so fl e n g t h1t h a tp r e s e r v eu n i t a r ys i m i l a r i t ys u b s e q u e n t l y ll e t e l e m e n t a r yo p e r a t o ra ( x ) = a 1 x b l + a 2 x b 2o fl e n g t h2o n8 ( 州) p r e s e r v e su n i t a r ys i m i l a r i t y , i f r a n ( a ) ，t h e na ( x ) = a i i a x ( 2 ) a f o re v e r yx 廖( m ) a n da = ( a l ，a 2 ) 8 ( h o 州，“) ，d l l c s i m i l a r l y , i f ，r a n ( a ) ，t h e nt h i s e l e m e n t a r yo p e r a t o ro fl e n g t h2p r e s e r v i n gs i m i l a r i t y ( a s y m p t o p i c a ls i m i l a r i t yo r q u a s i s i m i l u r i t v ) i fa n do n l yi fa ( x ) = n l l a x ( 2 ) a 。f o re v e r yx b ( h ) ，a n d a = ( a 1 ：a 2 ) 嚣( h o7 - 1 ，h ) o l l l c k e y w o r d s ：l i n e a rm a p p i n g ，s i m i l a r i t y ，q u a s i s i m i l a r i t y ，u n i t a r ys i m i l a r i t y ，r a n k o n en i l p o t e n to p e r a t o r ，l i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gq u a s i s i m i l a r i t y ，e l e m e n t a r yo p e r a t o r i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书面使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：至塑塑骘日期：! ! ! 苎。! 。 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：j 磷鞋日期h 尘_ 二竺匆 前言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，自2 0 世纪3 0 年代以 来，已得到了迅速发展它的研究不仅具有十分重要的理论价值，而且同时还具 有十分广泛的应用前景现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支，它与 量子力学，非交换几何，线性系统和控制理论，甚至数论都有着相互的联系和渗 透 近二十多年来，国内外许多学者，开展对算子代数上保持算子的某种性质不 变的线性映射的研究，这就是所谓线性保持问题的研究( 设a 和尽是两个算子 代数，令西：a 一召为线性映射对于任意a a ，如果a 具有性质( p ) ，蕴涵 西) 也具有性质( p ) ，称圣保持性质( p ) ) ，且已取得一系列结果如果把矩阵代 数螈( c ) 看作有限维空间上的算子代数，那么线性保持问题的研究可以从十九 世纪末算起近二十多年来，人们开始关注无限维空间上的算子代数的保持问题 研究，而且所用的方法与有限维也不同，例如：文献f 4 ，5 是关于线性保可逆性映 射，文献 6 ，7 】是关于线性保谱的映射，以及在文献【8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 中研究 了其它保持问题和一些相关问题 在许多保持问题中，保相似的线性映射一直受到许多学者的关注对于丁，s b ( 爿) ，若存在可逆算子a 舀) 使得t = a s a 一，则称t 与s 相似( 记为t s ) 如果t s 号圣( t ) 一圣( s ) ，称巾保相似性1 9 8 7 年，在文献f 1 6 1 中，h i a i 给出 了矩阵代数上的保相似性的线性满射的刻画，并且，许多学者对矩阵代数上保相 似性这一问题进行了研究( 1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ) 在文献f 1 】中，设爿是复可分的h i l b e r t 空间，借助对b ( n ) 中复线性不变子空间的刻画，证明了8 ) 上双边保相似性的 有界线性满射为同构或反同构的常数倍在文献f 3 1 中，设h 是复可分的h i l b e r t 空间，刻画了长度为1 的保相似性的初等算子在文献f 2 1 中，设h 是复可分的 h i l b e r t , 空间，证明了b ( n ) 上的保渐近相似性的有界线性映射为同构或反同构的 常数倍，在文献1 8 1 中，r a h o r n 等学者刻画了矩阵代数上的保酉相似性的线 性映射最近，在文献f 2 1 1 中，t p e t e k 把这些结果推广到了无限维情形，即刻 画了8 ( n ) 上双边保酉相似的线性满射，其中m 是无限维的复h i l b e r t 空间本 论文进一步对保持拟相似的有界线性映射和保酉相似性的初等算子进行讨论 本文共分三章： 第一章主要介绍了在本文中用到的符号，定义和后两章需要用到的一些定 理首先我们介绍了用到符号表示的意义，接着引入算子的谱，相似，拟相似， 酉相似，初等算子等概念，最后，给出了一些常用定理 第二章我们讨论了保拟相似的线性映射设m 是复可分的无限维h i l b e r t 空 间，b ( 州) 是由? - 上的有界线性算子全体组成的b a n a c h 代数本章研究了8 ) 上的拟相似线性映射应用线性算子逼近的方法，证明了r 3 ( x ) 上的拟相似不变 子空间只能是下列三种形式之一：0 ，c i ，口( m ) ，并且证明了召( h ) 上的保拟相似 的有界线性满射一定是数乘同构或数乘反同构 第三章我们讨论了初等算子，在本章中，我们首先刻匦了长度为1 的保酉相 似的初等算子，接下来证明了长度为2 的保酉相似的初等算子，当e7 a n ( a ) 时，有a ( x ) = 。】l a x ( 2 ) a 。，其中0 1 1 l c ；类似地，可以证明：长度为2 的初等 算子( x ) ，当i r a n ( a ) 时，则此初等算子保相似( 保渐近相似，或保拟相似) 的充分必要条件是a ( x ) = o t l l a x ( 2 ) a ，其中n l l c 2 第一章预备知识 1 0 引言 本章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定 理第一节主要介绍了算子的谱，相似，拟相似，酉相似，初等算子等概念第 二节给出了本文后两章所需要的几个定理 下面是本文用到的一些符号： 文中b ( x ，y ) 表示有界线性算子t ：爿一y 全体构成的线性空间设州是 无限维的复h i l b e r t 空间，b ) 表示h 上的全体有界线性算子令n 表示自 然数集合，r 表示实数域，c 表示复平面 咒( 冗) 和昏( h ) 分别表示舀) 上 所有紧算子和所有可逆算子当t 肟( h ) 时，k e r ( t ) ，r a n ( t ) 及口( 丁) 分别表示 t 的核，t 的值域及t 的谱z ，y h ，zoy 表示一秩算子，对任意z 州， x o ( o ) = ( z ，口) z 1 1 基本概念 定义1 _ 1 1 【2 2 】设t b ( m ) 如果 ec 使得t a 是不可逆的，称a 为t 的一个谱点所有具有上述性质的复数所组成的集合称为t 的谱，记为口( t ) 定义1 1 2 t z 2 设t 廖( 秆) ，7 ( 丁) = s 即( 川：o 口( r ) ) 称为t 的谱半径 定义1 1 3 f ”】设t 目( h ) ，若p t = 丁t + ，则称t 为正规算子； 若t + = z 则称t 为自伴算子； 若丁+ t = t t + = ，则称t 为酉算子 定义1 1 4 设t 凸( h ) ，若对于任意的z 7 - 都有( t z ，z ) 0 ，则称t 是一个正算子，记作t 0 定义1 1 5 1 铡如果一个h i l b e r t 空间上的有界线性算子e 满足e = e 2 ，那 么我们弥e 是一个幂等算子如果一个幂等算子p 满足k e r ( p ) 一r a n ( p ) 1 ，那么 我们称p 是一个正交投影 3 定义1 1 6 设t 层( 何) ，若对任意的z 7 - ，有 i t x i = 忪 i ，则称t 为等 距 定义1 1 7 设a ，b 召) ，若存在t 蛋) ，使得a = t - 。b t ，则称a 与 b 相似，记为a b 定义1 1 8 2 ：；】令s ( a ) 表示a 的相似轨道，即s ( a ) = t - 1 a t ：teg ( h ) ) 若s ( a ) = s ( b ) ，则称a 与b 渐近相似，记为创口，其中s ( a ) 表示a 的相似轨 道的范数闭包 定义1 1 9 【2 4 】设a ，b 日( 州) ，若存在x ，y t ；( 7 - t ) ，x y 是单射稠值域算 子，使得a x = x b ，y a = b y ，则称a 与b 拟相似，记为a 瓮b 定义1 1 1 0 1 1 】设m 尽( h ) ，若对任意a m ，都有s ( a ) 3 , 4 ，则称川 是相似不变的；若朋是闭于空间，则称3 , t 是相似不变子空间 定义1 _ 1 1 1 设a 8 ( h ) ，令( 4 ) ，表示a 的拟相似轨道，即( a ) 。= b ：a b ，b 日( h ) ) i j 巧= 表示a 的拟相似轨道的范数闭包设朋罄( h ) ， 若对任意a 川，都有( a ) 。朋，则称m 是拟相似不变的；若朋是闭子空 间，则称m 是拟相似不变子空间 定义1 1 1 2 【2 1 】设a ，b 日( h ) ，若存在u 为酉算子，使得a = u + b u ，则称 a 与b 酉相似，记为a 品b 定义1 1 1 3 1 2 5 1 如果存在算子 a 1 ，a 2 ，- 一，a 。，b l ，b 2 ，- ，五8 ( h ) 使得对任意x 日) ，有( x ) = 羔。a 。x 鼠，则称是一个初等算子整数 l ( a ) = i n f n ：z x ( r ) = ：，a i ( ) b d 称为a 的长度 1 2 预备定理 命题1 2 1 1 2 2 】设t b m ) ，则下列结论成立： ( 1 ) w 是正规算子当且仅当对任意z 7 - ，有l l t z | | = i i ? + z ( 2 ) w 是自伴算子当且仅当对任意z 7 - ，有( t z ，。) er ( 3 ) w 是酉算子当且仅当t ：“一m 是等距同构 4 ( 4 ) t 是正交投影算子当且仅当存在正交分解h = h 1eh ，h 1 是h 的闭子 空间，t 是从咒到h l 的投影算子 ( 5 ) t 是等距当且仅当t + t = j 命题1 2 2 1 2 q 设t 嚣( h ) ， ( 1 ) 若t 是正规算子，则r ( r ) = l i t ! i ( 2 ) 若t 是自伴算子，则口( 丁) 翟， ( 3 ) 若t 是酉算子，则口( t ) a c ：f i a i | = 1 ) 命题1 2 3 t 2 2 】若a 8 ( m ) ，且ae c ，则下列命题等价： ( 1 ) a 口。( - 4 ) ； ( 2 ) n ( a a ) o ) 或n ( a a ) 不是闭集； ( 3 ) 不存在一个常数c 0 ：使得对所有。h 有i i ( a a ) z | | c 蚓| 命题1 2 4 【2 2 】设e 是h i l b e r t 空间上的任意一个幂等算子，m = r a n ( e ) 和 a z = e r f f ) 那么 ( 1 ) e 是一个幂等算子当且仅当是i e 一个幂等算子； ( 2 ) m = k e r ( i e ) ：= r a n ( i e ) 并且m ，是“上的闭线性子空间； ( 3 ) m n = 0 并且朋+ = h 5 第二章尽( 咒) 上的拟相似保持线性映射 2 0 引言 近几十年来，国内外许多学者对于线性保持问题的研究，即研究矩阵代数 或算子代数上的保持某些特征不变的线性映射的刻画问题，获得了许多结果，其 中包括： 1 9 8 7 年，f h i a i 给出了矩阵代数上的保相似线性映射的刻画随后， 一些学者给出了在算子代数上的保相似映射，保渐近相似映射，以及保酉相似映 射的刻画，如文献f 1 ，3 ，1 7 ，2 6 ，2 7 ，2 ，2 8 ，2 1 】 当咒是有限维时，拟相似的两个算子一定相似；但是当h 是无限维时，两 个概念是不一致的：相似一定拟相似，反之，则不成立设m 足b ( “) 上的线性 映射，如果当a b 时，有壬( 4 ) 一垂( b ) ，则称中是保相似线性映射；如果当 1 4 戈b 时，有西( 4 ) 瓮圣( b ) ，则称中是保拟相似线性映射本文将给出序( h ) 上 的有界满的保拟相似性线性映射的刻画 2 1b ( h ) 上的拟相似保持线性映射 在本章中，用h 表示复可分的无限维h i l b e r t 空间z ，y h ，z y 表示一 秩算子，对任意z 州，z y ( z ) = ( 。，y ) x 下面的定理是本章的主要结果 定理2 1 1设圣为8 ) 上的有界满的拟相似保持线性映射，则存在s g ) ，o c ，n 0 ，使得对所有x 召) ，有西( x ) = a s x s ，或圣【x ) = d s - 1 x s ，其中x 。是指x 在h 的一组固定的正规正交基下的转置 为了证明定理1 ，我们需要下面的命题和引理由文献中的定理2 7 ，可 得出下面的结论 命题2 1 2设m 日( m ) 是拟相似不变子空间，则m 为下列形式之一： ( 1 ) o ) ；( 2 ) c i ；( 3 ) 口) 6 设雪是从b ) 到舀( “) 的有界满的拟相似保持非零线性映射，由命题2l2 知，圣一定是单射下面部分引理的证明类似文献【2 】中引理的证明由于相似 和拟相似有本质的差异，因此我们给出完整的证明 引理2 - 1 3 中( c ) = c j 引理2 - 1 4 若z 是一秩幂零算子，则中( z 0 ) 也是一秩幂零算子 证明 如果存在一秩幂零算子x 0s 驹，使得西( 加固踟) 是一秩幂零算子，则 对任意的一秩幂零算子。 y 圣( zo g ) 也是一秩幂零算子设固1 是一秩幂零 算子，由于中是满射，存在x b ) ，使得 垂( 爿) = f 圆r 下面分两种情况讨论： 1 当x 为拟幂零算子时，由文献 1 】中的引理2 4 和引理2 5 后的注记知， 存在一秩幂零算子z o v oe 吾两于是有 圣( 。o 圆v o ) ( 壬( x ) ) 。 由于壬是单射，可知圣( 。0 0 加) 为一秩幂零算子 2 否则，由文献f 2 3 j 中命题5 1 3 知，存在正规算子n ，使得n 亏丽，则 垂( ) e 面耳j = 由于西是单射，所以西( ) 为一秩幂零算子由于譬c j ，则n 至少有两个谱 点，设口( n ) 2 a l ，a 2 ) ，取q 1 , q 2 为c 上的两个开集，使得a leq 1 a 2 2 2 且 可n 面= 口，则关于空间分解 肚n 其中n2 l ( ) a d b 是n 的谱分解取单位向量跏e 1 ) 州，y oee ( n 2 m ，则 圣( ) 戈西( ) + 佗圣( z o 固y o ) ， 那么存在一秩幂零算子矗o ，使得 西( ) + n 由( x o y o ) = 矗 因此由中是单射可知， 垂( x o 圆y o ) 是一秩幂零算子 类似于文献 2 中引理3 的证明，我们有下面的结论 引理2 1 5 设e 7 - ，e 0 ，则存在h 以及 e ) 1 到 ) 1 的有界线性算 子a 或共轭线性算子b ，使得面( e o z ) = o a x 或圣( e 固z ) = b x 圆 证明 设 岛：i = 1 ，2 ) 为 e ) 1 的一组正规正交基，由引理2 1 4 可设 西( e e i ) = 6 0 、i = 1 ，2 是一秩幂零算子由引理2 1 4 知 西( e 0e 1 + e oe 2 ) = 1 町l + 2 叩2 也是一秩幂零算子，因此 f l ，2 ) 或 礼啦) 是线性相关的，并且只有一种情况成 立 下面分两种情况讨论： 1 当 ，) 线性相关时，不失一般性，可设f = = 2 ，则 叩1 1q 2 ) 线性 无关，因此对任意的i n ，豫已 线性相关事实上，假设存在一个i ，i 1 ，2 ， 使得 f ，已) 线性无关，则 q ，叩i ) 线性相关，而 e 圆c 2 + e e i 是一秩幂零算子，则 0 啦+ 矗 哺 是一秩幂零算子由 f 1 ，2 ) 线性相关可知， 0 任意 20 ，取x e 1 且i l 。l ；= a 贝4 b + 。0 = 。= a e 恻 ， 即b + 在 e ) 1 上是数乘等距由e 的任意性知，b 是h 上的数乘等距同理， a 也是h 上的数乘等距 2 当= 0 时，取自0 ，使得a e l 0 同上面的证明，存在“。0 ，使得 对任意。 e 1 ) 1 ，l l b z i = o 。，蚓1 _ 取e 2 o ，b + e 2 0 同理，存在b e 。0 ，使得 对任意y e 2 ) 1 ，i i a y l i = 6 。：i i g l l 假设在( e l 上上为零，即o e ”则b + e l o 任意。 e 1 ) 1 ，x 圆e l 品q z ， 由于是保持酉相似性的映射，则 a z q b 4 8 l 兰a e l b + 。， 2 4 那么 l i a x l 川b 4 e t i i = l i a e lh i l b + z 【= 0 因此，有a x = 0 所以，a 在 e l 卜上也是零因此，a e l 0 取z o c 1 1 ：且 怕| i = l i z o 沁则z o 固x o 品e ， e 。由于是保酉相似的映射，有 ( z o x o ) 兰( e 1 e 1 ) 那么 0 = 1 i a x o 川b + 。d l = l i a e l i b 4 e 1 1 1 0 而这是不成立的，因此假设错误，即伊在 e ，) 1 上不为零，则b 4 在 e 。 1 上为 非零数乘等距同理，a 在 e 2 1 上为非零数乘等距 因为a e l 0 ，b + e 2 0 假设b 4 e l = 0 则取z e 1 1 ：y e l j 且忙i l = | _ 就有z e 1 品e loy ，那么0 = l i j 4 z 川b + e l l l = i a e l l i t b + 训o 而这是不成立 的，因此b + e 1 o 所以p 是单射，同理a 也是单射同上证明，a ，b + 为m 上的非零数乘等距 ( ：) 可设a ，b + 为等距 下面分两种情况讨论： 1 当b a = a ，0 时，由前面的命题31 5 知，b = o a + ，川= 1 设为任 意酉算子，令t = a u a 4 + ( j a ”) ，则 t + = a u 8 a + + ( i a a 4 ) 经计算可得，t t = t + t = i ，即t 是酉算子对任意x 廖( h ) ，有 a ( u x u + ) = a u x u + b = a u x u 4 ( a a 4 1 = t a x b t + = t a ( x ) t + 因此，是层( 九) 上的保持酉相似性的映射 2 当b a = 0 时，则r ( a ) k e r b 而a 岔= p r ( a ) ，b 。b = p ( m 且】一且 岔b + = 0 ，其中r f 是h 从到m 上的投影设矿为任意酉算子，令t = a u a + + b u b + ( p ( 胁日) 。e 如( ) ) ，则 t 4 = a u + a 4 + b + u + b + ( p ( 胁剐。e p r ( a ) 2 5 经计算可得，t 丁+ = t t = i ，即丁是酉算子对任意xe 尽) ，有 a ( u x u + 1 = a u x u + 口= t a ( x ) t 因此，是8 ( h ) 上的保酉相似的映射 因此，由文献【3 j 中的结论，可得出下面的推论 推论3 1 4 设是长度为1 在8 ( “) 上保持酉相似的非零初等算子，其中 h 是复可分的无限维h i l b e r t 空间，则a 一定是保持相似性的映射和保持渐近相 似性的映射；反之，则不一定成立 3 2长度为2 的保酉相似的初等算子 这一节是长度为2 的情况，本节设州为无限维h i l b e r t 空间 在本节中要用到下面的定理： 定理3 2 1 1 “l 设a ，b b ( 爿) ，其中z 是维数大于2 的b a n a c h 空间，则对 每一个oe 爿，a x 与b x 都线性相关的充分必要条件是下列之一成立： ( 1 ) a 与b 线性相关； ( 2 ) 存在x o 爿，以及 ， z + ，使得a = x 0o ，b = 3 7 0o f 2 引理3 2 2 设a ( x ) = a l x b l2 - - a 2 x b 2 ，其中a l ，日1 ，4 2 ，b 2 日( “) ，a 是 长度为2 保持酉相似的初等算子，则存在。o ，y o h ，使得a 1 z o 与a 2 z o 线性无 关，b ：珈与b ；珈线性无关 证明若对任意z h ，有a 1 z ，a ：。：线性相关由于 1 ，a 2 ：线性无关，则 a l ，a 2 为一秩算子，可设a 1 = a 固b ，a 2 = a o c 取z 0 ，使得( b ，z ) = ( c ，z ) = 0 对 任意y ? - l ，可取y 1 ，使得( b ，y ) = ( x ，y 1 ) 且| | l y l l = 忙洲1 玑则有b y 品z o y l ， 那么 a ( b oy ) 品a ( z o 1 ) ， 有研= 一( c ，b ) l l b lj 2 呸因此b 1 ，b 2 ：线性相关这与b - ，易：线性无关矛盾因 此，存在x o ，使得a l x o 与a 2 x o 线性无关；同理，存在珈，使得e 舶与垦珈线 性无关由此定理可得出下面的结论 引理3 2 3 任意。0 ，y 0 ，当长度为2 的初等算子( x ) = a l x b l4 - a 2 x b 2 保持酉相似时，有a 。与a 2 z 线性无关， 日：g 与邑9 线性无关 证明任意。0 ，取y l ：使得z o o y o 品z 0 y i 则 z x ( z o 固g o ) 品a ( z 圆y 1 ) 而由前面的引理3 2 2 知，a ( x o y o ) = a t x o 圆b 。 y o + a 2 x o g g g o 是二秩算子， 所以a l x 与a 2 x 线性无关，同理，对任意y 0 ，b ；g 与呸线性无关 由此引理3 23 ，可得出下面的结论 引理3 2 4 当长度为2 的初等算子a ( x ) = a l x b l + a 2 x b 2 保持酉相似 时，a ，a 2 ，历，匝都是单射 ；l 理3 2 5 若a 是有限秩算子，对所有a e ，当= i 时，有a 品a a ，那 么a 是幂零算子 证明由于a 兰a a ，则o ( a ) = c ，( a a ) = 口( 且) 若存在0 a 口( a ) ，则 a a d ( a ) 对任意n n 有a7 3 a o ( a ) 而a 为有限秩算子，所以口( a ) 有有限 个点，设为m 个点，取使得a ”1 = 1 且0 8 1 则o ，q ，” 口( a ) ，且 互不相同，则共有m + 1 个，与口) 中只有1 1 1 个点矛盾所以口( a ) = 0 而有限 秩的拟幂零算子是幂零算子，因此a 是幂零算子 设。 y 是一秩幂零算子，由引理3 25 知，扛 y ) 是二秩幂零算子 下面两个引理，也可以证明a ( x 圆y ) 是幂等算子 引理3 2 6 当长度为2 的初等算子a ( x ) = 4 l x b l + a 2 x b 2 保酉相似时， 对任意z o ，存在y o ，使得。 珈为一秩幂零算子且( ( z o 珈) ) 2 = 0 证明取0 y o 。，历a l x ，易a i x ，口l a 2 x ，b 2 a 2 x 1 ，则ooy o 是一秩幂 零算子而( ( 。o 口o ) ) 2 = ( a 1 zb ：g o ) a l 。 b ；y t ) + ( a e x ，彩口o ) a 2 zpb 2 y o + ( a 2 。，b ：y o ) a l x 圆b ；y o + ( a l o ，垅y o ) a 2 x b y o = ( b i a l o ，y c ) a l z 圆b ：蜘+ ( b 2 a 2 x ，y o ) a 2 。ob ；管o + ( b l a 2 z ，y r ，) a l xob ；静o + ( b 2 a 1 z ，y o ) a z xsb ；可。= 0 由引理3 26 ，可得下面引理： 引理3 ，2 7 当长度为2 的初等算子( x ) = a 1 x b l + a 2 x b 2 保持酉相似 时，设a 圆b 是任意一秩幂零算子，则( 拙 6 ) ) 2 = 0 ， 2 7 因此 证明由引理3 2 6 ，存在a c ，使得口ob 品z o g o ，则 a ( c m 0b ) 芝( z o y o ) ( 2 x ( c r a o6 ) ) 2 兰( ( 。 g o ) ) 2 = o 引理3 2 8 当长度为2 的初等算子僻) = a 1 x b l + a 2 x b 2 保持酉相似 时，存在“。，c ：i ，j = 1 ，2 ，使得鼠a j = d 。， 证明对任意。，0 ，当。上时，由引理3 27 知，0 = ( 蜀a ，。，v ) a 。z b ：可+ ( b 2 a 2 0 ，y ) a 2 zo 彩掣+ ( b 1 a 2 z ，掣) a l z b ；可+ ( 1 3 2 a t z ，v ) a 2 z b ；，由于 a l z 与a 2 z 线性无关， e 与哦线性无关，有( b 1 a 1 z ，口) = ( b l a 2 。，) = ( b 2 a l z ，口) = ( b 2 a 2 x ，口) = 0 则存在o q j c ，i ，j = l ，2 ，使得鼠乌= 。巧， 引理3