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关于三类补数的均值问题 基础数学专业研究生杨海文指导老师郭金保教授 摘要 本文的主要目的是利用初等、解析和复分析的均值估计方法去研究罗马尼亚著 名数论专家在o n l yp r o b ! e m sn o ts o l u t n s 中提出的三类补数闻题，即平方补 数问题，立方补数问题和m 次幂补数问题，分别记为n 。( n ) ，劬( n ) ，n 。( n ) 。作了以下 研究： ( 1 ) 利用初等均值估计方法得到了a 2 ( n ) 的较一般形式的渐近公式，并给出了各 种形式的推论 ( 2 ) 对n 提出另外一种唯一分解式的基础上，和用初等均值估计方法得到了 a 3 ( n ) 的渐近公式。 ( 3 ) 利用解析和复分析的均值估计方法给出了n 。( n ) 的几个渐近公式 本文分三章对这三个问题进行了详细的论证，从而对f s m a r a n d a c h e 教授提出 的整个补数问题给出了较为完整的讨论，并得到了一系列有趣的渐近公式。 关键词：平方补数立方补数m 次幂补数数论函数均值 答辩日期：年月一日 指导教师签字 d nt h em c a n 场l u ep r o b l e m so f t h r e ek i n d so fc o m p l m e n t s a b s t r a c t ：t h em a i np u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d yt h ei n e a _ ，? lv a l u ep r o b l e m s o ft h r e ek i n d so fc o m p l m e n t sp r e s e n t e db yt h ef a m o u sr o m a n i a nn u m b e r t h e o r e t i ce x p e r tf s m a r a n d a c h ei nh i so n 驴p r o b l e m s n o ts o l u t i o n si nt e r m so fp r i n l a r y ) a n a l y t i ca n d c o m p l e xm e a n - v a l u ee s t i m a t i o n t h e s et h r e ep r o b l e m sa r es q u a r e c u b i ca n d 1 一p o w e r c o m p l e m e n t sd e n o t e db y0 2 ( 犯) ，n 3 ( n ) ，o m ( n ) r e s p e c t i v e l y t h ef o l l o w i n g sa r es t u d i e d ( 1 ) t h ea s y m p t o t i cf o r m u l a eo fa 2 ( n ) w i t hm o r eg e n e r a lf o r ma x eo b t a i n e di nt e r m s o fp r i m a r ym e t h o d s ，a n da l lf o r m so fc o r o l l a x i e sa r eg i v e na nw e l l ( 2 ) b a s e d o nt h ea n o t h e ru n i q u ef a c t o r i z a t i o no fn ，b yu s i n gp r i m a r ym e t h o d s ，t h e a s y m p t o t i cf o r m u l a o f0 3 ( n ) a r eo b t a i n e d ( 3 ) i na d d i t i o n ，s e v e r a la s y m p t o t i cf o r m u l a eo f 咏n ) a r eo b t a i n e di nt e r m so fa n a l y t i c a n dc o m p l e xa n a l y t i cm e t h o d s t h e p a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e e5 e c t i o n st od i s c u s st h r e ep r o b l e m si nd e t d f i s ，t h u sa ni n t e g r a ld i s c u s s i o n i sg i v e na b o u tt h ew h o l e c o m p l e m e n tp r o b l e m sp r e s e n t e db yf s m a r a n d a c h e ，a n d as e r i e so f i n t e r e s t i n ga p p r o x i m a t i v e f o r m u l a ea r eo b t a i n e d y a n gh a i w e n ( n u m b e rt h e o r y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rg u oj i n b a o k e y w o r d s ：s q u a r ec o m p l e m e n t s c u bc o m p l i m e n t s m p o w e rc o m p l e m e n t s n u m b e r t h e o r e t i cf u n o t i o nm e a nv a l u e 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得延安大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：李弛逸延日期：盘! ! 聋! 丛! ! ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解延安大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属延安大学。本人保证毕业离校后，发表论文或 使用论文工作成果时署名单位仍然为延安大学。学校有权保留送交论文的复印件 允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后 本人签名： 导师签名 日期 适用本授权书。 ：坦翌季叠! ! 罗 嗍碰叫地 第一章平方补数均值的推广 前言 数论函数是数论中特有的函数，对数论的研究离不开对数论函数的研究，数论 中有许多重要的数论函数，如：除数函数，除数和函数，e u l e r 函数，m 6 b i u s 函 数，d i r i c h l e t l 一函数，r i e m a n n 一( 函数等等，对他们性质的研究奠定了对数论 研究的基础 罗马尼亚著名数论专家f s m a r a n d a c h e 在他所著的o n l yp r o b l e m sn o ts o l u ， t i o n s 一书中又提出了一系列经典的数论函数，由于对这些数论函数的性质我们根 本不知或知之甚少，因而引起了众多学者的兴趣，现在f s m a r a n d a c h e 提出的1 0 0 个未解决的问题已经有许多获得了答案，如文献i i i h l 9 】分别使用不同方法从不同 角度对f s m a r a n d a c h e 提出的第2 7 ，2 8 ，3 6 ，3 7 ，4 0 ，8 0 等问题给出了相关 的性质。 本文同样使用不同方法，从不同角度对f ，s m a r a n d a e h e 教授提出的三类补数问 题，分三章进行了详细讨论，并给出了许多有趣的渐近公式。 第一章平方补数均值的推广 1 1 引言及定义 平方补数是罗马尼亚著名的数论教授f s m a r a n d a c h e 提出的第2 7 个问题，很少 有学者对之进行研究，如文献【l l 】仅得到了关于平方补数的两个形式简单的渐进公 式： 。( n ) = 磊+ o ( z ) 式( 1 1 ) 丽1 = 怒面删i n x ) 式( t - 2 ) 急n ( n ) 一、7 7 本文通过对平方补数的进一步研究，并且利用初等方法得到了关于平方补数的 许多更一般形式的渐进公式本章按照逐步推理的顺序给出由式( 1 一1 ) 推广得到的 各个渐进公式，式( 1 2 ) 也可作类似的推广，限于篇幅不在赘述 定义n 为任一正整数，o ( n ) 是使得n k 成为一个平方数的最小正整数k ，则称 关于三类补数的均值问题 o ( n ) 是n 的平方补数。即 ( n ) ) = l ，2 ，3 ，1 ，5 ，6 ，7 ，2 ，1 ，1 0 ，1 1 ，3 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 ，1 7 ， 2 ，1 9 ，5 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，6 ，1 ，2 6 ) 1 2 几个主要结论 这一章我们得到了许多渐近公式，但可归结为以下三个主要结论： 结论l设o ( n ) 是n 的平方补数，( ( s ) 为r i e m a n nz e t a - 函数，则对任意实数 。1 ，t 0 ，口o 有渐近公式： 量怕t ( n ) = 黝州+ 。( 什幻 结论2设p 为给定的素数，则对任意实数z 1 ，t 0 ，a 0 有渐近公 式： 至执) = 矿苦鼯头丽x a + t + l - - 0 妒卅幻 p 恤 结论3 ：设p 。及p 2 为任意两个不同素数，则对任意实数1 ，t 0 ， o 0 有渐近公式： 三 ) = 万啊籀嗡鬲丽一+ 。卅幻 1 3 定理及证明 下面给出所有定理及其证明： 定理1a ( n ) 是n 的平方补数， ( ( s ) 为r i e m a n nz e t a - 函数，对任意实数 z 1 ，t 一1 ，有渐进公式： 三以啦渊1 删啕 却_ 3 ) 证明。2 ( n ) = d 2 h 。p ( d ) = 萨u c a ) h 。 + 。( 乏拶) 2 一 讯 i | 第一章平方朴数均值的推广 = 箸。纛篇+ 。，急b ( d ) r m d 、，2，喇o = 筹曼警zc 川”。( 鍪) 删一+ 1 ) i ”7 = 器揣1 + d ( 潮 定理2a ( n ) 是n 的平方补数，( s ) 为r i e m a n nz e t a - 函数，对任意实数z l ，t 一l ，对以上均值加限制条件p i n 有渐进公式： 证明 推论1 丽掣笋蔫+ l + o ( 。t ；) 式( 1 4 ) 0 f + 1 + p 一1 ) ( t + 1 ) e ( 2 ) 。 。” + ”。 ( n ) = a ( p n l ) n 。 n l ； p i n = 。( n ) + 一( 咖。 n - 詈n - ； ，1 。i 乏( n 1 ) 一乏( n 1 ) + 乏) j i n ；n - 孟 n t ； j p i n l p l n l = p 2 n 。( n t ) 一一1 ) ( 跳) n - ；n 2 参 = 。( n t ) 一p 一1 ) 0 t ( n 2 ) + ( p 一1 ) 2 。( n 2 ) n i ；n z 乒“t 毒 = p 2 n 6 ( n ，) 一矿f 1 ) ( n 2 ) + p 。一1 ) 2 i ；”2 争 ( n a ) 一一1 ) 3 ( n 3 ) n s 嘉“a 寺 ：壹( 叫p t 一1 ) 以n ) k 2 1 ”翥 = 孓t ) t - i p t 小妒一( 器糍( 矽) + 0 ( 5 件 ，= 一1 ) b 1 ( 粼( 孝+ 件 ) k = 1 、。，、。， = 万考等器丽x t m + o ( 一幻 3 = no 繁 关于三类补数的均值问题 1 ) 由式( 1 3 ) 和式( 1 4 ) 直须注意到n 。( n ) = 。( n ) 一( n ) 可得 n 2n n 2 p n训n 舅= 誊等絮揣一啕 却叫 2 ) 由式( 1 4 ) 当p = 2 时可得 描善等糌糯x t m + o ( 柚式0-6)2t+2t 1t ( 1 +一) ( + 1 ) e ( 2 ) “ 7 由式( 1 3 ) 和式( 1 6 ) 当我们还可以给a t ( n ) 前加上摆动系数( 一1 ) ”1 的均值 直须注意到 ( n z 便日 得： 3 ) 车( _ 1 ) n - 1 以n ) - 者黼x t m + 0 p 均 式( 1 - 7 ) 当我们再给a t ( n ) 前加上系数扩时可得更一般形式的均值，即定理3 ： 定理3a ( n ) 是n 的平方补数，e ( s ) 为r i e m a n nz e t a - 函数，对任意实数z 1 ，t 一1 ，有渐进公式： i ：端z + 件l + 。( z 。+ 件 ) 式( 1 8 ) 证明 舻0 c ( n ) =( m 2 k ) 。1 芦( 蚓= m 2 。 萨h ) 卧。p ( d ) = m 2 。产+ 2 。p ( d ) h 0 + m 2 d 2 ：h 赤 ：护产铷刖) f 专x 再) a 万+ t + l + o ( 志) 州) ) z ”+ l r 、p ( d ) 2 i 了玎匆d 2 m 2 t + 2 + o ( 。+ 4 m 2 。m 咖。p ( d ) ) = 等羔乏警磊去蜊。襄。铬，件1 岛俨悬群”。m 敏z 州” 4 譬 帮 2 第一章平方补数均值的推广 = 筹晶e 警z 川， d v ，o 倒南”妒。磊砌磊知 = i ：；揣z d + 蚪1 + 。( z 。+ h ) 同定理2 一样我们再给以上均值加限制条件刮n 可求得另一渐进公式，即定理 4 ： 定理4a ( n ) 是n 的平方补数，e ( s ) 为r i e m a n nz e t a - 函数，对任意实数z 1 ，t 一1 ，对以上均值加限制条件p l n 有渐进公式： n o p 坼 而r 婴缨善。十t + l + o ( 。+ c + ) 式( 1 9 ) 币西了j i i _ 二_ 巧i f 芊i j _ 丽。+ 。 1 叫 证明n c t a t ( n ) = p 。n ( p n - ) = p c , n 咖- ) + 矿e n 。p nz ) n r n l 吾“1 言 “i 盖 p 协 p t lp n l = p 州n ( n - ) 一n f - ) ) + 矿n ) m 吾m 言”，； p i n lp n i = p 。+ 。n ( n ) 一p q ( p 。一1 ) p a n , a t z ) 7 1 , 1 ；“2 景 + n ；。2 ) ) n 。孝 p n 2 = p 。+ 。n f ( n - ) n l 言 p 2 a ( p 。一1 ) ( n ( p n 2 ) n 2 寺 p 耳3 = 多州c t p t ) ( 端= p 妇“( 1 一卜1 ( 蔷等商 女= 1 ( 蠢r ”1 + o ( ( “啕) 5 dn 嚼 p | | o n 2 峰 n + p p o p p o d 3 o p 婶 卢 一 b o 矿 一 + | | 0矿 唪 枉 pn + 产 随 关于三类补数的均值问题 =庐考骘犏+o(xa+t+p 1 ) ( + 1 十一) ( a + t + 1 ) ( ( 2 ) “ 。7 由式( 1 8 ) 、式( 1 9 ) 我们可的以下推论 推论2 1 ) 由式( 1 _ 8 ) 和式( 1 9 ) 并注意到( n 。( n ) n o p t “ 可得： 便得 暑讹，= 孝 糯删叫， 却川， 2 ) 当p = 2 时可得由( 式( 1 - 9 ) ) 我们可得 1 2 t + i ：i 2 ：；! ! i ；：犏z n + + l + o ( z a + 件；，(1 + o 一1 ) ( o + t + 1 ) ( 2 ) 。 。“、 3 ) 由( 式( 1 8 ) ) 和( 式( 1 1 1 ) ) 并注意到( ( nz 而善巢磐芸唼黼。n 十c + l + o ( 。州十 ) 式( 1 1 2 ) ( 2 t + l + 2 。一1 ) ( o + t + 1 ) e ( 2 ) 。 。 如果我们给( 式( 1 3 ) ) 加上两个限制条件并利用( 式( 1 9 ) ) 和( 式( 1 一l o ) ) 可得另一 个新的渐进公式，即定理5 ： 定理5 ：o ( n ) 是n 的平方补数，p l ，p 2 是任意两个不同素数，则有渐进公式 驴啦再器鬻丽一1 删啕式( i - 1 3 ， p l l “ p 引n o o 证明一( n ) = p i ( z n o k = l p 1 1 n p 2 1 n 6 匣 等 一 m n铲 如 箭 2 0 心 = 一 矿 0 增曲 扣 西 拜 嗡 扛 醍 一 建 “ 西 一 西 第一章平方补敷均值的推广 = 静，删。静t 训。( 器锱c 扩圳a ) 1 = p i ( 卜削。p 5 ( 卜p 扩1 ( ( 妄) 件1 + d ( z ) ) i = li = 、。 = 萨雨笺雾鞍z + 。p 啕( p 十1 + p i 一1 ) ( p 2 ) 蚪1 十杰一1 ) ( t + 1 ) e ( 2 ) 、 4 同理我们还可得到： p d “ p 2 t n 开并蠕若等x t + i + o 嘲式( 1 1 4 ，0 1 + p j 1 ) ( p 2 ) 蚪1 + p 5 1 ) ( 亡+ 1 ) 1 ，有渐进公式 黔= 型等黼型脚_ 1 ) ( m 1 ) “- 0 【叫哮) 定理2 设m 2 是一给定的正整数，n 为任意正整数，。( t 。) 是n 的m 次幂 补数，( 5 ) 是r i e m a n n z e t a - 函数，f ( n ) 是除数函数，对任意的z r 且z 1 ， 有渐进公式 r ( n m ( n ) ) = r ，( 1 ) z + o ( 扣) 定理3 设m 2 是一给定的正整数，n 为任意正整数，n 。( n ) 是n 的m 次 幂补数，c ( 5 ) 是r i e m a t l n z e s a - 函数，p ( n ) 是m s b l u s 函数，对任意的z r 且 z 1 ，有渐进公式 p 洲，= 勰脚”扣， 3 2 引理及证明 o ( n ) 是n 的m 次幂补数，p i 是素数0 = 1 ，2 ，n ) 引理1 。，。( n ) 是积性函数h ( 也称可乘函数【5 j ) 证明设m ，n 2 n 且( n t ，n 2 ) = 1 由算术基本定理知： 扎= n 1 礼2 = p 0 1 p ；h p 令a 。；( 岛m o d r r 。) 则由m 次幂补数的定义有：o 。( m n t ) = ( n ) = a 。晡1 p ；一疗) = i i p ，一8 ，n 。) = p mm 而由( n 1 ，n 2 ) = l 知p ? 1 n 1 ，则必有群g n l ( 反 1 3 关于三类补数的均值问题 过来也成立) ，所以，当i 取遍1 到j 时便有： a r n ( n 1 ) 。m ( n 2 ) 口。坼1 2 ) = a m ( “1 ) o 。( “2 ) ，即a b r 。( ) 是积性函数。 显然。袅( n ) 也是积性函数。 定义a ( s ) = 掣，因为。( n ) n 。1 绝x , - j - 一致收敛易得以下引理： 引理2设t 是任意正常数，当口k ( m 1 ) + e 时，则1 ) a ( s ) 在半平面 月e s k ( m 一1 ) + 1 十e 上有界且解析。 z 川= 塑糍拦甚等型蹴 其中r ( s ) = ( 1 歹若镉) 在半平面r e s 七协一1 ) + l + e 上有 界且解析。 3 3 定理的证明 由引理l ，引理2 及其e u l e r 积公式嘲有： ，：妻掣：n ( - 十等+ 学+ 学) = u 睡c o 等km t + 薹筹+ ，+ 薹餐等) ：nf 霎嘉c 。抓，十学+ 警卜，+ 篱，) = “删m 等十等+ 南) 柏s ) ( + 也竿笋) 叫m s ) ( 五；s ) 耳( t h 蜘- 1 ) - p - ”) ：螋淼笺掣耳( ，一p 名m 希)2 丽f 五面= 丽广一半一s + p 吣舢) 蜘s ) = ( - 一名器) 有a ( s ) = 塑精邕铲踯) 1 4 而从 邓 m ： p ， 第三章m 次幂补数的几个渐近公式 由p e r f o ，q , 公式【5 】有： 薹紫2 磊1z o 知。c ! 掣， + o ( x 1 a o h ( 2 咖州l ，字) ) + 1 。h ( n ) m 概( 1 志) ) 其中n 是离z 最近的整数，当z 为半奇数时，取n = z 一 , 1 1 x l l = l z 一l 在上式中取s o = 0 , b = k ( m 1 ) + 2 ，t = z ；，( z ) = x k ( m1 ) b ( 刚= 了j 而斋 我们有 一k ( r a1 ) + 2 + i 掣器酱篱产球，。旧卅k ， 为了估计主项 1 5 矾1f 。k ( m - 。1 ) + 。2 + 。i 2 垫铎岿糕器型砷) 等出 2 a fj “矾1 十2 “ e ( 2 ( 占一( r n 一1 ) ) ) 、。5 我们取n = k ( m 一1 ) + ，b = 旧1 ) + 2 ，把上式的积分线从a 士站移到b _ _ i r i t , ，并考虑 到函数a ( s ) ：= i l 。 。k 。( 。m 一- 、，1 + ) + 。2 + 。i6 ! ：! ! ； ； j ! ：； ；铲丑( s ) 在一= = t ( n 。一，) + - 处有一个一级碱：留菇理并注意到“耻譬骆击( e + “十e + 仁) 乓 ：胁础删一( s ) 等 = ! 亟唑恭兰岂警业踯( m _ 1 “叫“其中r e s s = k ( 一1 - l 表示在 瓤司等8 ：錾曼案 击z ：。郇，手幽x k c m - 1 ) + 扣 关于三类补数的均值问题 从而薹柏= 丽il f b + i t ) 芋出= 坠杀铲 r ( 嘶叫+ 1 ) z k ( m - 1 ) + l + 磊1 ( a b + i t + 仁- i tt ) a 等d s + 。f 。a + “i ta ( s ) x - - s s d s + 0 ( z ( ”1 1 ) + + ) ：堂型嘉竺帮掣r ( ( 。一1 ) + 1 ) x k ( m - 1 ) + t ? r 2 ( 自( m 一1 】+ 1 ) ”。 + d ( t k ( m - 1 ) + + ) 其中r c 。( m 一，+ ，= 耳( ，一；鬲善笔篆未；j ；嵩) 下面证明定理2 和定理3 ： 显然t ( n m ( n ) ) 礼m 一1 凡m 一1 ；i p ( o m ( 礼) ) l 1 ，所以当r e s r n + ：r e s 1 + ，q 寸5 誊9 二! ! 堡! ! ! ! 壁! ! 竺鱼! 1 1 寸，级数n = l 掣；三掣n = l 些也翌2 鲁 矿 绝对憾锄扣耋掣似轳 由e u l e r 积公式有： 咖，= 薹掣= 吣掣十学+ 学 = 珥( i a 薹。蝴p i n t s + 虽t = ( 1 业p r n t + 1 ) s h + 薹帮) = 耳( 薹嘉，+ 掣+ 耸掣+ 掣掣 = ( m s ) ( 椰，+ 学+ 丁7 ( p m - 2 ) 卜+ 蒜) ( ，+ ；+ 歹m - 1 卜+ 丽3 + p 上( 。- i ) s ) ，m + 1 ，3p 一5 ( 1 一p 一”5 ) 、 。p ” 1 一p “ _ ( ( s ) 耳( 坠鲨塑喘i 裟笋型) 口 ， 刊耳( 贮与蒜) 1 6 ， s s n n ， = i i 蔓型也塑幽墼堕些邋坌生1 7 令州= h 。m p m - ( m 。- 1 一 p m i + 3 p - - 2 忡，2 薹掣= 吣掣+ 学+ 学+ 。耳嬉学+ 耋誉卜+ 耋篙警) 2 9 瞧嘉( m ，+ 警+ 警- 一黼) ) 州叫u ( ，一歹1 一高) = c ( m s ) ( 2 再l - - p i m 5 ) 叫班c t 嘲f - 一笆篓) 蜘， ，= 珥( ，筹) r 【n ) ) = r ，( 1 ) 。+ o ( t + e ) n o 至脚小) ) _ 溉脚喇+ e ”f ? ”j 于是全部命题得证 关于三类补数的均值问题 小结 本文主要讨论了f s m a r a n d a c h e 教授提出的整个补数问题，给出了一些有用的 结论，至此，对补数的均值问题有了初步的了解，但由于问题的复杂性我们并没有 得到三种补数的所有形式的渐近公式，对于其它形式的渐近公式还有待去进一步研 究。 对于f s m a r a n d a c h e 教授提出的1 0 0 个未解决的问题，虽然有许多学者给出了 一些探索性的结论和一些优秀的方法，但对许多问题的解决并不彻底都有待于我 们给出更好，更多的相关性质另一方面fs m a r a n d a c h e 教授提出的许多问题都存 在着内在的联系。如平方补数，立方补数和m 次幂补数存在纵向联系，而m 次幂 补数，m 次幂剩余和无m 次幂因子数又存在着横向联系，如果我们综合起来考虑 这些问题，将会提出一系列f s m a r a n d a c h e 教授未提出的新问题，这些问题也有待 于我们去进一步研究 这些问题的研究使我受到很多启示，使我认识到解决问题的关键在于探索新的 方法，一些现有的方法在使用过程中常会受到许多局限，例如，在使用解析方法中 的e u z e r 乘积和p e r r o n 公式时要求所要研究的函数是积性函数，而这个条件的限 制使得许多问题的研究方法受到限制，而从大多数学者的研究来看，方法上仍然显 得较单一，我们能否找到其它更好的方法给出这些问题更多更好的性质，还有待于 我们去进一步进行深入研究所以我想以后还要继续研究下面几个问题：( 1 ) 寻 找新的方法从另一个角度去解决这些问题，特别是寻找研究非积性函数的类似性质 的方法。( 2 ) 给出类似于f s m a r a n d a c h e 新的未解决的问题，并使用新的方法去 研究他们的性质。 1 8 关于三类补数的均值问题 参考文献 1 】郭金保，崔艳难兰著数论函数引导【m 西安：西北大学出版社，1 9 9 7 2 】f s m a r a n d r a c h e o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s 【m 】- c h i c a g o ：x i q u a np u b l i s h i n g 3 1t m ，a p o s t 0 1 i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y 【m 】，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e w 4 1 潘承洞，潘成彪著初等数论 m j 科学出版社，北京，1 9 9 2 f 5 1