（应用数学专业论文）cev模型下期权定价的差分方法.pdf

c e v 模型下期权定价的差分方法 摘要 “金融数学、金融工程和金融管理”是国家自然科学基金确定的重大研究项 目，而期权定价理论则是目前金融工程、金融数学所研究的前沿和热点问题。 为了满足金融市场及不同的投资者的特殊需求，也为了防范自己所面临的风 险，在标准欧式期权合同的基础上，人们运用期权理论和分析方法，设计创造出 各种具有不同特征的变异期权品种。美式期权、两值期权也在其中。对于此类含 复杂边界的期权定价问题，数值方法显得有很多优越性。 本文在研究欧式期权特性的基础上，将b s 模型一般化，即标的股价服从 不变方差弹性( c e v ) 模型下，得到期权价格满足的偏微分方程。对不存在解析 解的美式看跌期权和两值期权分别给出了显式、隐式差分算法，并对格式的相容 性、稳定性、收敛性进行了分析。数值实验结果表明这种方法是有效而实用的。 关键字：c e v 模型；有限差分法；美式期权；两值期权；适定性 t h ed i f f e r e n t i a la l g o r i t h m sf o ro p t i o n sp r i c i n gf o l l o w i n g c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a r i a n c em o d e l a b s t r a c t “f i n a n c i a lm a t h e m a t i c 、f i n a n c i a lp r o j e c ta n df i n a n c i a l m a n a g e m e n t c o n s t i t u t eas i g n i f i c a n tr e s e a r c hp r o j e c ts p e c i f i e db yt h en a t i o n a lf o u n d a t i o no f n a t u r a ls c i e n c eo fc h i n a ，i nw h i c h o p t i o np r i c i n gt h e o r yi sap r o b l e m o fl e a d i n ge d g e a s w e l l 船a h o t o n e o nt h ef o m a d a t i o no fs t a n d a r dc o n t r a c t , m o r ed i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c se x o t i c f i n a n c ed e r i v a t i v e sw e r ed e s i g n e di no r d e rt os a t i s f yt h ef i n a n c em a r k e ta n dt h e d i f f e r e n ti n v e s t o re s p e c i a ln e e d s ，a n dk e e pa w a yt h er i s kw h i c hm a n yi n v e s t o r sm i g h t f a c e ，w h i c hi n c l u d i n ga m e r i c a no p t i o na n db i n a r yo p t i o n n u m e r i c a ls o l u t i o n sa l e d i s p l a y e dt oa d v a n t a g ef o rs u c hc o m p l e xb o u n d a r yi s s u e s t h i st h e s i ss u p p o s e st h a tu n d e r l y i n ga s s e tv a l u ef o l l o w sc o n s t a n te l a s t i c i t yo f v a r i a n c e ( c e v ) m o d e l ，w h i c hi st h eg e n e r a lo fb l a c k s c h o l e sm o d e l ，b a s e do nt h e r e s e a r c h o f o p t i o n c h a m c t e m f o r t h e a m e r i c a n p u t o p t i o n a n d b i n a r y o p t i o n w h i c h d o n o th a v ea n a l y t i c a ts o l u t i o n , w ep r o p o s ea l g o r i t h m sb a s e do ne x p l i c i ts c h e m ea n d i m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ea n dt h e np r o v et h a ti ti sc o n s i s t e n c e ，s t a b l ea n dc o n v e r g e n t t h er e s u l to f n u m e r i c a le x a m p l es h o w st h a tt h em e t h o d sa l ee f f e c t i v ea n dp r a c t i c a l k e yw o r d s ：c e vm o d e l ；f i n i t ed i f f e r e n c ea l g o r i t h m ：a m e r i c a no p t i o n ；b i n a r yo p t i o n ； w e l lp o s e dp r o b l e m 插图清单 图2 2 2 1 欧式期权价格求解区域的网格化1 0 图3 3 1 美式期权价格求解区域的网格化。1 9 图4 1 1 现金或无值期权 图4 1 2 资产或无值期权 二2 6 2 6 图4 2 1 两值期权价格求解区域的网格化2 7 表格清单 表2 3 i 看跌期权的计算结果 表2 3 2 改变时间步长时有限差分法与b s 公式的定价比较。 1 4 表2 3 3 改变股价步长时有限差分法与b - s 公式的定价比较1 4 表2 3 4 盯改变时期权价格的变化 表3 5 1 取不同时间步长计算的美式看跌期权的价格( m = 2 0 0 ) 2 4 表3 5 2 取不同股价步长计算的美式看跌期权的价格( n = 2 0 0 ) 2 4 表3 5 3 最佳执行股票价格和相应的期权价格( k = 6 0 , m - - - 2 2 0 ，n = 3 0 0 ) 。2 4 表4 4 1 不同时间步长计算的现金或无值看涨期权的价格( m = 2 0 0 ) 3 0 表4 4 2 不同股价步长计算的现金或无值看涨期权的价格( n = 3 0 0 ) 3 0 表4 4 3 不同时间步长计算的资产或无值看涨期权的价格( m - - - 2 0 0 ) 3 1 表4 4 4 不同股价步长计算的资产或无值看涨期权的价格( n = 3 0 0 ) 3 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 盒筐王些盍堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：丁会 签字日期；) - 哆年j 月了口丑 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘腿王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送变论文的复印件和磁盘允许论文被查阅和借阅。本人授权盒蟹 王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：了2 牟 签字日期7 0 7 年5 月3 。日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址； 导师签名： 秒彤杉 签字日期：驷扫 年厂月，口日 电话： 邮编： 致谢 本论文是在导师杜雪樵教授悉心指导下完成的导师渊博的知识、严谨的学 风、朴素的作风给我留下了深刻的印象，使我无论在做学问还是做人方面都将终 生受益，对于我今后的学习、工作、生活必将产生不可磨灭的作用在本论文工 作结求之际，谨肉恩师表示最衷心的感谢l 在此也感谢理学院多位教授在我读研期问给予的鼓励、指导和帮助感谢几 年来与我朝夕相处、共同学习工作的同学给予我的理解和支持，并感谢所有给予 我各方面关怀和帮助的学校、院的领导和老师 感谢我的家人，他们温暖的亲情、无私的爱和默默的奉献一直鼓励我不断学 习，全家人的殷切期望更是我努力的最大动力 作者：丁华 2 0 0 7 年5 月 第一章绪论 1 1 选题背景及意义 在现代金融理论和实践中，各种衍生证券的定价是很重要的问题截止到 1 9 9 8 年底，全球各种衍生证券的交易总和已超过3 万亿美元。期权是一种非常 特殊的衍生工具，是在未来时间的选择权，是一种“或有”要求权期权也是 最重要的衍生工具之一。自1 9 7 3 年春季，期权在芝加哥期权交易所首次进行交 易以来，期权市场的发展十分迅猛。1 9 9 8 年初，仅股票期权的交易市值已达1 4 8 0 亿美元 期权交易的发展引起众多学者的极大关注。b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年发 表了关于期权定价的经典论文【l 】，t h ep r i c i n go fo p t i o n s a n dc o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ”( 期权与公司债务定价) 在这篇论文中提出了著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式他们在股票价格服从对数正态分布的假设下，运用无套利理论 推导出基于股票不支付红利的欧式期权定价公式： g ( s ，f ) = s n ( 4 ) - k e - ( 1 - 4 ) ( 如) ( 1 1 1 ) 其中西= ll l l 司+ ( r + 盯2 2 ) rl 盯f ，吃= 磊一仃f ，其中s 是标的资产的价 格，e 是执行价格，f 是到期日时间，是无风险利率，o ) 而是标准正态随 机变量的累积分布函数，即( 功= p x x ) ，其中x n ( o ，1 ) 。除了b l a c k 和 s c h o l e s 之外，m e r t o n 也对期权定价理论和实践的发展做出了独到的和开创性 的贡献，他几乎和b l a c k 、s c h o l e s 同一时间，得到了期权定价模型【2 】以及其他 成果例如，b l a c k 和s c h o | e s 只考虑了股票价格连续变化的情况，而实际上股 价并不是始终连续变化的，可能存在着非连续的跳跃点【3 】，另外由于b s 模型 中没有考虑标的股票在合同有效期内发放股息的情况，这是这个模型又一个缺 陷。1 9 7 3 年m e r t o n 考虑了标的股票存在连续支付股利的期权定价问题，给出 了修正后的b s 公式，从而使该模型的实用性大大增强，被学术界成为b s m 模型b l a c k 、s c h o l e s 和m e t r o n 的定价理论是现代金融学最杰出的成就之一， 该理论为金融经济学的研究开辟了新天地。三十多年来，金融学的发展几乎都 是在b s 模型或者b s m 模型的基础上进行的。 目前，在西方金融市场蓬勃发展的资产证券化业务中，期权发挥着特殊显 著的作用。期权由于其损益状态图的非线性和具有特殊性能的时间价值，通过 组合可以构造出具有许多奇异的收益，风险特意的新型金融产品。而且，在各 种金融交易和企业的财政活动中，还存在许多隐蔽的期权。在所有的这些方面， 期权的定价理论都提供了重要的理论基础。它的应用，现在已经进一步延伸到 实物资产的投资决策上去因此，上年度诺贝尔经济奖授予在期权定价理论方 面做出杰出贡献的学者，正体现了经济学界对期权定价理论巨大意义的充分肯 定。 中国在经济发展和改革开放的过程中，金融市场逐渐发育并于世界接轨。 各种新型金融产品的出现和新型金融交易的引入，是势不可免的。因此，开展 期权定价理论的研究是非常必要的 对于欧式期权，b l a c k 和s c h o l e s 早已给出解析形式的定价公式然而，对 于一些较为复杂的期权价格，并不存在这样的解析公式，并且研究过程中对模 型的不断修正，更难以求出精确解。因此，运用和发展数值方法具有重要的实 际意义 1 2 期权定价闯题 1 2 1 期权简介 随着金融市场的蓬勃发展，金融市场日益呈现出高风险和不确定性。半个 世纪以来，金融活动在给投资者带来巨大收益的同时，也蕴涵着日益显著的高 风险，给投资者带来巨大的经济损失尤其是近十多年来，这种高风险引发的 严重的金融危机频繁发生，其带来的损失都是前所未有的。因此促使了学术界 和金融界开始考虑和重视如何能够正确评估金融风险和加强风险管理。而这些 都从客观上要求国际金融界和学术界重视金融学的研究金融学研究的主要对 象之一就是金融衍生证券或者称为未定权益，是指一切未确定的或者是或然的 权益。常见的衍生证券有：远期合同( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 、期权( o p t i o n ) 、期 货( f u t u r e s ) 和互换( s w a p s ) 。对衍生证券的研究主要从两个方面来考察，即 如何确定衍生证券的价格问题和衍生证券的套期保值问题。衍生证券的价格是 指为了拥有在未来某一时刻( 如t 时刻) 的衍生证券而现在应该支付的费用 衍生证券的套期保值是解决衍生证券的出售者应该采用哪种策略才能避免或者 尽可能的降低因为出售衍生证券而在未来可能遭受的损失。在衍生证券的研究 中，期权既能够给投资者提供套期保值功能，又不丧失盈利机会，因而在金融 衍生工具中占有重要的地位 期权作为一种最基础的金融衍生工具，是一种权力期权的买方向卖方支 付一定数额的权力金后就获得了这种权力，即在一个预先约定的时间或者在特 定的期限范围内，以一个事先约定的价格买入或者卖出一定数量的某种原生资 产的权力。但是这只是一种权力，而不是义务。期权是一种特殊的金融合同， 按照权力的性质分，可以分为买权( c a l lo p t i o n ) 和卖权( p u to p t i o n ) 两种类型。 其中买权又叫看涨期权，是指期权的持有者尤其在某一确定的时间以某一确定 的价格购买标的资产；而卖权又叫看跌期权，是指期权的持有者在某一确定的 价格出售标的资产。如果根据合同持有者在有效期内行使权力的自由度不同， 期权又可以分为美式期权和欧式期权。欧式期权是指期权的买方在合同的到期 2 日当天才能行使权力；美式期权则可以在合同到期日以前任何一天行使权利 由于欧式期权的特征比较容易分析，所以对期权的研究都是以欧式期权为起点 的如果期权按交易方式分，又可以分为标准化期权期权和非标准化期权( 奇 异期权) 标准化期权是在交易所上市交易的期权，例如欧式股票期权，股指期 权，外汇期权和利率期权等非标准期权又称为变异期权，大多是在店头市场 进行交易按照标的资产类型的不同，期权可以分为股票期权、利率期权，货 币期权、黄金期权、商品期权、期货期权等 由于期权是一种权力，不是义务，即合约持有人有放弃合同的权利，所以 要获得这种权利就必须为获得这种权利而支付一定数量的权利金。这种支付的 权利金就叫做期权的价格，而期权的价格很难从市场交易中直接反映出来因 此期权的定价一直是金融实践和金融数学中的一个重要的课题 1 2 2b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 在b l a c k 和s c h o l e s 的第一期权定价模型中，他们认识到期权的风险实际上 在标的物的价格及其运动中得到反映，而且标的物的价格还反映了市场对未来 的预测。因此，要研究期权定价必须首先刻画标的物价格的运动规律，而这也 是所有后续的期权定价理论的出发点经典的期权分为欧式和美式两种。欧式 期权是到期日才能执行的，而美式期权则在到期日之前都可以执行的。在对标 的物的特性和期权及标的物的交易规则给出一系列假设条件【4 】后。他们对作为 标的物的股票的价格运动规律做出了一个基本假定：即股票价格的运动是连续 变化的，遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动规律，即称作伊藤过程的一种 随机过程，可以表示为 d s = t t s d t + ( r s d w ( 1 2 2 1 ) 其中s 表示标的物( 股票) 的价格；表示连续计算收益率的股票在单位 时间内收益的自然对数的数学期望值；盯表示连续计算收益率的股票在单位时 间内收益的自然对数的标准差：d w = 占牺表示标准布朗运动，占的数学期望值 为0 ，方差为1 。 我们有以下一个重要的数学结果( 即所谓的伊藤引理【5 】) 肌学+ 筇豢畦拶争d t + ( a sa 洲v ) a w ( 1 2 - z 2 ) 其中矿= v ( s ，f ) 是衍生品的价格( 取决于标的物股票的价格s 和时间t ) 。 b l a c k 和s c h o l e s 用期权、标的物股票和一种无风险证券来构筑一个无套利 均衡的组合头寸，是这样做的： 卖空一个单位的期权( 其价格用y 表示) ，买入等份标的物股票( 股票的 价格是s ) ，再卖出与这两者组合的价格之和等值的无风险证券 前两者组合的价格记为 n 一詈 经过一段微小的时间a t ，这两者组合的价格变化应为 n = _ y + 丛竺0 s 伊藤过程刻画了丛而伊藤引理刻画了a v ，将( 1 2 2 1 ) 和( 1 2 2 2 ) 式代入 上式，则有 n = ( 百8 v 一三幽2 爱出 注意到，在上面的表达式里，随机项d w 不再出现这意味着在两者的组合 里，风险已经被对冲掉。所以，这两者的组合和与之等价的无风险证券是完全 等价的即两者组合的收益率应当等于无风险收益率r ，有 a 兀 。 可剐 于是，这两者的组合加上等值的无风险证券的空头( 即卖出无风险证券) 就构成了一个无套利的组合头寸，令斗0 并在上述关系式里展开n 和n ， 就得到了b l a c k - s c h o l e s 随机微分方程 华+ 心篓+ ! c r 2 s ：娶一：o a ta s2a s | 按照期权到期时的情况可以定出这个微分方程的终端和边界条件如下：对 于看涨期权来说。有 k ( 墨t ) = 矿叮) = m a x ( s c t ) - k ，o ) 当t = t l k ( s ，f ) = 0当s = 0 ( 1 2 2 8 ) k ( s ，0 = s当s j l 其中置是期权中预先指定的标的物的价格( 执行价格) 。 对于看跌期权来说，有 巧拶，乃= 匕( 劢= m a x ( k - s ( t ) ，o )当t = t l 匕( s ，f ) = k当s = 0 ( 1 2 2 9 ) 圪( s ，t ) = 0 当s - - - - hq ol 由( 1 2 2 7 ) 式一( 1 2 2 9 ) 式，不难得到b l a c k s c h o l c s 的欧式看涨期权和 看跌期权定价公式： 4 k ( s ，f ) = s v ( 4 ) 一i 一仃。( 杰) f ) = 殷一 ( 咆) 一肼( - 西) ， 其中 ，( = 去芳痧。( 功为标准正态分布变量的概率分布函数，即 这个变量小于x 的概率 【1 2 2 1 2 ) ( 1 2 2 1 3 ) 利用它们的数学表达式，编制好程序装入计算器里，经纪人可以随时很方 便的用它们给期权定价 我们知道美式期权和欧式期权的主要区别是：美式期权可在期权有效期内 的任何时间执行因此，我们还需对美式期权加以除( 1 2 2 7 ) 式一( 1 2 2 9 ) 式外的限制条件。对于美式看跌期权，有 圪( s ，o m a x ( k s ，0 ) 0 f t 同样地对于美式看涨期权，有 圪 ，f ) m a x ( s - k ，o ) 0 t t 不难知道，对任何时间f ，从期权的持有者来看必存在某一值9 。对执行 美式期权来说它是最优的美式期权的定价更加复杂，既然在每时刻我们不仅 要决定期权的值，而且还要决定对每一s ，是否应该执行期权，这就是自由边 界问题。在第三章我们将进一步讨论美式期权的定价公式 1 3期权实际操作中遇到的问题和本文的主要工作 b l a c k s c h o l e s 期权定价模型对市场做了许多理想化的不切实际的假设：例 如，标的资产价格波动率为已知，且在期权的寿命期内不发生变化；股票交易 是连续不间断进行的，因此它的价格变动是平稳的，在短的时间内不会发生向 上或下的跳跃；短期无风险利率为一给定的常数，不是随机变量；任何人都能 以同一利率借入或贷出任何金额的资金；可以任何卖空标的股票或期权，且所 得的可以立即全额使用；股票市场或期货市场均不存在交易成本：投资者参与 市场交易并不影响其所承担的税赋：股票市场和期货市场都具有充分的流动性； 标的股票不支付股利；期权为欧式的，即投资者只能在期权到期日行使权利； 不存在兼并或其他可能中止期权寿命期的事件等显然过于严格的假设削弱了 原始定价公式在现实中的应用，使其在理论和应用上存在缺陷其后m e r t o n 、 一一一而 霉 s c h o l e s 和c o x ，r u b i n s t e i n 和b l a c k 、h a r r i s o n 、s a m u e l s o n 等学者对模型进行 了更加详细深入的研究和改进，并把它推广到对其他金融衍生工具的估价和金 融风险控制这些。更普遍的环境”中，使期权理论得到进一步完善这里简要 的介绍是围绕着上述假设进行的推广 ( 1 ) 利率不是常数时的期权定价问题 在b s 模型中，利率是给定的常数。实际上，利率的变化相当复杂。不同 的性质，不同到期日的证券，利率变化规律互不相同，这些是利率的期限结构 利率不变实际上是假设利率的期限结构是一平坦的直线，显然这是不符合实际 情况的1 9 7 3 年m e r t o n 考虑了这种情况，首先给出了利率随机变化的欧式期 权定价模型【2 】。由于各种原因，他的模型在实际中很少采用近年来由于利率 风险日益突出，利率期权的利率衍生证券得到了飞速的发展，关于利率期权定 价方法的研究在期权定价理论研究中尤其重要综合这方面的研究可以分成两 类：一是b s 模型为基础的修正和推广例如m e r t o n 的债券期权模型【3 】【6 】； 二是基于对利率期限结构变化的估计和建模例如h u l l - w h i t e 模型【7 1 【8 】和 c o x i n g e r s o l l r o s s 9 是比较重要的研究成果 ( 2 ) 股票价格是非连续变化时的期权定价问题 在现实中的股票价格可能出现非连续的变化，即所谓的跳跃性，这使得使 用b s 模型下股票服从对数正态分布的假设无法处理。为此需要引入新的分布， 1 9 7 6 年m e r t o n 第一个考虑了股价服从跳跃扩散过程的期权定价问题 1 0 1 ，由于 得到的定价公式十分复杂，而且所含参数不容易确定，使得这个模型在实践中 难以推广应用；另一方面，c o x 等人在1 9 7 9 年提出股票价格变化服从对数泊松 分布的假设，从而得到了所谓的“跳跃过程”离散买权定价模型【l l 】。 ( 3 ) 波动率不是常数时的期权定价问题 股票价格的波动率是刻画未来股票价格变动的一种最为关键的变量，在 b s 模型的大部分推广中，总认为股票价格的波动率为常数事实上，金融统 计数据表明b s 模型与实际情形存在显著的系统差异，其中主要的两种不一致 现象是：一是由b s 模型确定的无条件报酬分布的峰度过小；二是实际观测的 资产价格分布的两条拖尾曲线都比b s 模型假设的对数正态分布要宽。同时， 实际观测到的衍生证券市场价格表明，隐含波动率并不符合模型所做的常值假 设，而是存在隐含波动率微笑现象总之，b s 模型关于标的资产价格的分布 规律的假设与实际相违背而大量事例分析表明，随着时间的变化，波动率一 般不是一个常数例如波动率的大小往往与股价水平高低成反方向变化关系 因此如何估计波动率的变化规律，并将它反映在期权定价模型中，是学者们十 分关注的问题。早在1 9 7 6 年，c o x 和r o s s 就给出了考虑非定波动率的买权定 价模型，即所谓的常方差弹性期权定价模型【1 2 】，然而人们经过研究发现股价 水平只能部分解释波动率的变化，因此，有必要考虑更一般的方法，即将波动 6 率盯作为随机变量，建立随机波动率模型【1 3 不过，这样做的结果把期权定 价模型从单因素模型变成了二因素模型，即定价模型中同时存在两个随机变量， 从而大大增加了建模的复杂性，难以得到模型的解析解。但是实证分析表明随 机波动率假设更接近实际，它能给出和市场数据更为吻合的结果，所以随机波 动率假设下的期权定价将是今后研究的重要方向之一，也是笔者这篇论文主要 研究的目标 正因为衍生证券问题的求解取决于基本资产价格过程的变化规律，对标的 资产价格过程的分布规律的各种假设，构成了当今各种各样的衍生证券定价模 型。根据数学建模理论，评价这些模型好坏的标准是：1 关于标的资产价格过 程运动规律的假设应尽可能接近现实；2 力求构造的模型数学上易于处理，实 践上易于执行 在对b - s 模型的修正和完善的同时，近二十多年来，各种解析近似和数值 方法都被应用到了期权定价问题上对于解析近似方法，有插值方法，复合期 权近似方法，二次近似方法等等( 参见文献 i 4 1 8 】) 而数值方法沿着两条主 线发展，一种是模拟股票价格的随机过程，另一种是解自由边界问题，目前比 较成熟的数值方法有二叉树方法，蒙特卡罗方法，有限差分，有限元方法， f r o n t t r a c k i n g 方法等 1 9 2 4 本文在研究欧式期权特性的基础上，将b - - s 模型一般化，即标的股价服 从不变方差弹性( c e v ) 模型下，得到期权价格满足的偏微分方程，并用有限差 分法求其近似解，同时对不存在解析解的美式看跌期权和两值期权分别给出了 显式、隐式差分算法。理论和数值实验的结果都表明这些方法是有效而实用的。 7 第二章b l a c k - s c h o l e s 模型下欧式期权定价研究 期权是当今世界金融交易的主要金融产品之一对于一般欧式期权可以 直接代入定价公式为其定价但在当今计算机的使用已相当普及的情况下，数 值方法还是有一定优越性的。对于期权定价常用的数值方法就是二叉树方法 2 5 2 6 2 7 】。本章仅提供了一种有效的基于有限差分格式的数值方法为欧式看 跌期权定价，将微分方程转化为一系列的差分方程后，再用迭代法求解这些差 分方程对复杂的期权将在后两章进行展开 2 1 定价模型 本章采用期权定价的b l a c k s c h o l e s 模型，期权价格矿满足的微分方程是： 娶十心鬃- 4 - 委c r 2 s 2 祟州：0 ( 2 1 1 ) 国as2a s 2 7 其中，为无风险利率，盯为股价波动率，s 为标的股票价格 对于欧式看跌期权，定价条件是： v ( o ，f ) = k 。 矿( s o ，f ) = 0 ， v ( s ，d = 矿( d = m a x ( 【- 昌，o ) ( 2 1 2 ) 其中k 为期权的执行价格，岛为标的股票的到期日价格。趾设为可以达 到的足够高的股票价格。 上列定解问题的解是： v ( s ，f ) = 缸。( 之) 一s n ( - d , ) ， ( 2 1 。3 ) 其中： 磊= 型号杀笋幽， 仃r f 如：一ln(se)+(r-o5tr2)(r-t)：4一仃r4tj-t # 4 r - t ( 功为标准正态分布的分布函数 对于欧式看跌期权，也可以用数值方法求解，本章提出一种基于差分格式 的数值方法。计算是从期权有效期最后时刻开始，倒推回期权有效期的初始时 刻。 3 2 2 差分方程的推导及定价数值方法 2 2 1 差分方法简介 差分方法是通过用差商代替微商对方程以及定解问题离散化。 众所周知，如果) ，= f ( x ) 充分光滑，那么用差商来代替f 7 ( x ) 和厂。( x ) 有 以下几种典型的形式： 厂f ( x + f a x ) - f ( x ) = 萤， 厂一f ( x _ ) - f f ( x - 一a x ) = 。xx。 ( 前差商) ( 后差商) ，( x ) 一f ( x + a x i ) - f ( x 一- a x ) = ( 等。 ( 中心差商) 厂( 功一f ( x + 缸) - 2 五f ( 7 x ) + f 一( x - a x ) = 磐) 。 ( 二级中心差商) 由t a y l o r 展开，以下误差估计成立 卜卜萤，1 。c 蝴 卜h 等。l = o ( 缸， 旧一划- 0 ( l 厂一够，l = 0 ( 建立与偏微分方程相应的差分方程有多种方式，但从求解的方式来划分， 它可以分为两大类：一类是显式差分格式，求解的过程是显式的，通过直接运 算求出它的值；另一类是隐式差分格式，求解的过程必须通过求解一个代数方 程组才能得到它的值。为了说明这一点，本章和后几章期权定价求解分别采用 2 2 2 隐式有限差分方法 分别对时间( 从现在0 时刻到欧式期权到期日r 时刻) 和股票价格进行等 闻隔的分割即对期权价格的求解区域彳= o s s ，o a t ! ；t 网格化趾为 股票可达到的最高价格 9 s 趾 2 s o 图2 2 2 1 欧式期权价格求解区域的网格化 假设a t = t n ，总共有+ 1 个时间点：o , a t ，2 a t ，7 同时定义 a s = s u m ，考虑肘+ 1 个股票价格：0 , a s ，2 s ，。上述离散过程如图 2 2 2 1 所示，该图构造了一个共有( m + i x n + d 个点的坐标方格坐标上的点 o ，d 对应时刻f 缸和股票价格弘s ，用变量代表点o ，力的欧式看跌期权价格 对于坐标方格内部的点( f 力，利用隐式差分法，取 笙。坠! 二兰：出 a s 2 a s 一8 v 。兰：! ：幺。一- = - ；o 和 塞* 鳖訾丑 把( 2 2 2 1 ) 代入( 2 1 1 ) 中，注意到s = j t s ，各项进行合并，并考虑巧 的终值条件( ( 即s = 0 ，s = 趾和t = t 时的看跌期权值) 得到一组方程： i q 巧j i + t + 勺巧，+ l = 形+ i l = m 戤皿一鹏o 】j = o ，1 ，m i 巧o = k = o ，l ，n 【= 0 l o 其中 巳= 圭归 彬戤 屯= l + 一，2 a t + r a t , c j = - l f f a t j 1 叮2 广址 首先求解与t - a t 时刻相对应的点利用( 2 2 2 2 ) 式和i = 一1 可以给出 m - 1 个同时成立的方程： 令 和 五0 1 = c i 吒6 2c 2 口0 _ lk - l 巧一q 珞1 o j j ，一i h 0 q m - 、= g h f 圳 q q ： l l k 州 因此，可以求出m 一1 个未知数：珞- l j ，哪，p “。与t - 2 & 对应的结 点也按同样方式处理，并以此类推。最后就会得到，2 ，j f d 。 2 2 3 显式有限差分方法 如果能够假设在坐标方格上( f ，d 点的詈值和豢值与( f + l ，d 点的值相同， 方法就可以简化。于是筹和警变成： 罢。监尝， a s2 丛 。 豢* 些鼍 鳖as2色擎 而( 2 2 2 2 ) 式变成了 q 一十屯巧“j + c j 。i + l = ( 2 2 3 1 ) 式中： 町= 志( - 丢倘+ i 1 a 2 ，2 ， = 志( 1 _ 0 - 2 - ，2 ， 0 = 百1 哇归+ i 1 。2 ，- 2 址) 这样就产生了所谓的显式有限差分法。 2 2 4 隐式法和显式法的比较 由偏微分方程的数值分析理论知。隐式有限差分法的优点在于它很有效， 当f 和缱趋于零时它基本收敛于微分方程的解【2 8 】【2 9 】，即收敛性好。在不影 响精度的情况下，适当放大f ，所得结果还是可信的。缺点在于为了从。，的 值计算出屹的值必须同时求解m 1 个方程，这使得计算相当复杂。 显式有限差分法的优点在于它的计算相当简单，只需简单的代入公式计算 缺点在于为了保证收敛性，必须进行特定的事先假设。而且，如果随意改变时 间步长或股价步长，可能导致方法失效 以下数值实验结果说明，用数值方法为期权定价时，隐式有限差分法优于 显式有限差分法。 2 3 数值实验及结果 考虑一个不付红利股票的5 个月期欧式看跌期权。股票价格为5 0 美元，期 权执行价格为5 0 美元，无风险利率为每年1 0 ，波动率为每年4 0 ，用符号表 示s = 5 0 ，k = 5 0 ，严o 1 0o r = 0 4 0 ，t = 0 4 1 6 7 。 用隐式有限差分法对本例进行数值计算，取m - - - - 2 0 ，n = 1 0 ，丛= 5 ，a t = 0 0 4 1 6 7 ， 并设趾= 1 0 0 ，利用m a t l a b 编程计算，得出结果见表2 3 1 。 表2 3 1 看跌期权的计算结果 从列表可知，本算例按隐式法算得的看跌期权价格是每股3 9 1 1 3 美元，对于 现价为其他数值的同类期权，也可从表中查到其价格。为了考察本算法的有效性， 以及离散步长和参数的最佳取法，对于上述算例做以下的数值实验： 1 ) 将隐式法和显式法算出的欧式看跌期权和b - - s 公式算出的欧式期权 的价格作比较。 取m = 2 0 ，丛= 5 ，改变时间步长，计算结果如表2 3 2 。 取n - - 1 0 ，a t = 0 0 4 1 6 7 ，改变股价步长，计算结果如表2 3 3 。 表2 3 2 改变时间步长时有限差分法与b s 公式的定价比较 表2 3 3 改变股价步长时有限差分法与b s 公式的定价比较 从表2 3 2 可以看出，n 取1 5 0 时，隐式法计算结果与b s 公式解最为接 近，相对误差是0 0 2 5 ，而显式法失效 从表2 3 3 可以看出，m 取1 0 0 时，隐式法计算结果与公式解最为接近， 相对误差是o 0 1 7 。当m 取5 0 时，显式法计算结果与公式解最为接近，相对误 差是0 0 0 7 。 综上知，本章所提供的算法是有效的而且，隐式法比显式法更有效。 2 ) 取r = 0 1 ，m = 2 0 ，a s = 5 , n - - 1 0 ，a t = 0 0 4 1 6 7 ，j p 5 0 ，波动率盯从0 2 到0 5 改变，每次差差o 0 2 ，计算结果如表2 3 4 1 4 表2 3 4 叮改变时期权价格的变化 以上数据表明：波动率的估计对期权价格具有很大的影响。分别观察1 7 = 0 2 ， 仃= o 3 。1 7 = 0 4 和o r = 0 5 时。由b - - s 定价公式算出的欧式期权价格，分别为 1 ，6 3 ，2 8 4 ，4 0 8 ，5 3 1 ，可以看出，虽然盯的取值只相差0 1 ，但算出的期权 价格却是1 - - 2 美元的差距，可见波动率的估计对期权价格的影响相当大，所以 不能随意估计波动率。为此下面两章对b s 模型进行修正，研究较为复杂的 期权数值定价问题。 第三章c e v 模型下美式看跌期权定价研究 对b - - s 模型下的美式看跌期权已取得一定的研究成果。本章将b - - s 模型 一般化。即标的物股价服从不变方差弹性( c e v ) 模型下，讨论如何用显式有 限差分方法给美式看跌期权定价。 3 1c e v 模型的描述 不变方差弹性模型( c o n s t a n te l a s t i c i t yo f v a r i a n c em o d e l 简称c e v ) 是c o x 与r o s s 于1 9 7 6 年提出的 3 0 1 ，他们认为虽然几何布朗运动在许多情况下是资 产收益率的一种很好的近似，但不同类别的资产有相当大的偏差 设盯 ) 表示股票价格置的波动率。则有： 墨塑堡2 ：4 叮 ) a 毽 其中口为常数，称为弹性因子由此得到： 盯( 墨) = a s , 4 ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 这里f 为常数。 在这个模型中，资产回报的波动率是资产价格的函数。有： a s , = i u s , d t + a s , 4 彤 ( 3 1 3 ) 其中p 为期望回报率，d 形为标准b r o w n 运动，参数a 0 ，1 】，决定了股价 的变动对股票价格水平的敏感度。波动率的弹性常数模型的基本原理是所有公 司都存在与经营业绩无关的固定成本当股票价格下降对，我们可以设想公司 的营业业绩下降，且固定成本具有增加波动率的效果。当股票价格上升时，相 反的情况发生了，固定成本具有减小波动率的效果。一种类型的固定成本是由 财务杠杆引起的一般来说，波动率的弹性为常数模型，类似于复合期权模型 【3 l 】。当a = 1 时，波动率是个常数，( 3 1 3 ) 式即为经典的b s 模型。 在之后的几十年里，学者对这种模型进行了研究。1 9 8 0 年，b e c k e r ss 研 究了标准欧式期权在该模型下的应用【3 2 】1 9 8 2 年，e m a n u e l 和m a c b e t h 研究 了c e v 下欧式看涨期权定价模型计算 3 3 】s c h r o d e r m 在1 9 8 9 年研究了美式 期权的定价公式 3 4 】。在9 0 年代人们对c e v 模型的研究几乎停止。到了本世 纪，人们有开始对一些奇异期权进行研究 3 5 1 1 3 6 】。下面我们仅考虑a l 时情形 下，美式期权的数值解问题。 根据期权的定义，它可以用股票一债券交易策略来进行复制，即 y ( 墨t ) = 口| s + 6 f 屈 其中q 为股票s 的份额，屯为无风险证券属的份额( 粥= r p , e t ) 。 d v = 口l d s + 6 l 碱= ( q s + 包，属) 西+ q c r s 4 ，形 ( 3 1 4 ) = ( 詈+ 砖嚣+ i 1 盯2 矿骞矽+ ( 鹕4 司b y 川 ( 3 1 5 ) 生置簧+ - 1cr2铲寄=qcs,as, ，tot 2 ) 一+一+ 一c r 。置一7 2 ， 。a s 1 a s ? 用( 3 1 5 ) 减去( 3 1 4 ) ，得： 鳓f ) 一够s b , r p , ) a t + 蚪豢一q 群) 彤= o ( 3 1 6 ) 令( 3 1 6 ) 左端随机项d t 与彤的系数为0 ，就得到关于口i ，岛的一个线性 f q ( s ，r ) = q ，码一岛r 层 i 嚆4 署= 哪掣 。 7 l 铲酉 1 岛：华 。 幻 y ( s ，t ) = q s + 6 i 尼， 将( 3 1 8 ) 代入得： y ，f ) ：瓦o _ v vs 。+ q ( s , , t ) - r i u s , o v o s , ( 3 1 9 ) 对( 3 1 9 ) 式两边同乘以r ，再由q ( s ，t ) 的定义就得到关于v 的偏微分方 詈+ 嘎簧甲12 s 知筹卅= 。 。， 3 2c e v 下美式看跌期权的定价模型 本章以不付红利的美式看跌期权为例建立数学模型。 对于终止期为r = t 的美式看跌期权v ( s ，0 ，它存在两个区域：一个是继续 持有区域4 = ( s ，0 i s ( ，) s s o o ，0 s t ( k s ) + ；另一 个是终止持有区域4 = ) l o s s s ( f ) o s f 研，在这个区域内： v ( s ，) = ( k - s ) + ；在这两个区域中间有一条最佳实施边界r ：s = s ( f ) 。 在区域z = ( s ，0 t o ( k s ) + ，甲矿= 05 ) 在区域五上； y ( s ，0 = ( k - s ) + ，t f v = 、壬，( 足一回= 一，世 0 ； ) 在终止时间t = t 时： y 岱，刃= ( 足一d + ； i v ) 当s 斗时：