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东北大学硕士学位论文 摘要 三相交流电弧炉非线性研究 摘要 本文推导了在假定电弧电压为矩形波条件下，电弧电流的瞬时值数学表达 式，明确了电弧连续性与随操作参数i i 。的关系，推导中考虑了线路电阻的影 响；分别求得了电弧连续与不连续情况下的无量纲电气参数；得到了电弧连续性 准则：给出了计算临界功率因数的线性高精度近似计算式。导出了在电弧电压为 矩形波条件下，考虑电弧非线性的电弧炉电弧电压与运行电抗的关系式；采用无 量纲方法，得到了电弧炉无量纲电弧电压、无量纲运行电抗与无量纲运行电流的 关系式；分析了工作电抗，导出了对于结构一定的电弧炉，无量纲运行电抗、无 量纲电弧电压与电源电压高低无关的结论。提出了一种计算电弧炉电弧电流的新 方法，该方法利用叠加原理将电弧炉电弧电流分解为短路电路电流与另一个仅有 电弧电压作用的等效电路电流，从而通过分别推导这两个电路的电流的表达式就 可得到三相电弧炉电弧电流的数学表达式；具体地对该方法进行了阐述和证明； 利用该方法推导出了电弧电压为矩形波的条件下电弧电流的数学表达式和电弧 电压不连续条件下的电弧电流表达式：最后，提出了利用电弧电流波形模拟电弧 电压的数值方法，并给出具体的实例。 关键词：电弧炉连续性无量纲运行电抗非线性电弧电压电弧电流 东北大学硕士学位论文摘要 a n a l y s i so f t h en o n 1 i n e a rn a t u r eo ft h e t h r e e - p h a s e a r cf u r n a c e a b s t r a c t m a t h e m a t i c se x p r e s s i o n so fa r cc u r r e n ta r ed e d u c e dc o n s i d e r i n gt h ec u r r e n t r e s i s t a n c eo f t h ea r cf u r n a c e ，b a s e do nt h ea s s u m p t i o nt h a te l e c t r i ca r cv o l t a g ef o l l o w s r e c t a n g l ew a v e ，a n dt h ee l e c t r i cp a r a m e t e r sr e l a t e dt oc o n t i n u o u sa n dn o n c o n t i n u o u s e l e c t r i ca r ca r eo b t a i n e d t h ep r i n c i p l eo fa r cc o n t i n u i t yi sd e m o n s t r a t e da c c o r d i n gt o t h ee x p r e s s i o n sa n da na p p r o x i m a t e e x p r e s s i o nc o n v e n i e n tf o rp r a c t i c a la p p l i c a t i o n si s b r o u g h tf o r w a r d w a v ev a r i e t yo f t h ea r cc u r r e n tf r o mc o n t i n u o u st on o n - c o n t i n u o u s e l e c t r i ca r ci sd e s c r i b e di nd e t a i l sw i t ht h eo p e r a t i o np a r a m e t e ri i s c h a n g i n gt h e f o r m u l ao fe l e c t r i ca r cv o l t a g ew i t h o p e r a t i o nr e a c t a n c ew e r er e f e r r e dc o n s i d e r i n gt h e n o n - l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c so fe l e c t r i c a r c ，s u p p o s i n gr e c t a n g l ew a v eo fe l e c t r i c a r c v o l t a g e b yd i m e n s i o n l e s sm e t h o d ，t h er e l a t i o nb e t w e e no p e r a t i n gr e a c t a n c ea n da r c c u r r e n ti so b t a i n e d t h eo p e r a t i o nr e a c t a n c ei sa n a l y z e da n di ti sc o n c l u d e dt h a tt h e d i m e n s i o n l e s sa r cv o l t a g eo ro p e r a t i n gr e a c t a n c ei sn o td e p e n d e n to nt h er e s o u r c e v o l t a g e an e w m e t h o df o rd e d u c i n gt h em a t h e m a t i c se x p r e s s i o n so f t h r e e - p h a s ea f c c u r r e n tw a s p r e s e n t e d w a v ev a r i e t yo f t h et h r e e - p h a s ea r cc u r r e n tf r o m c o n t i n u o u st o n o n c o n t i n u o u se l e c t r i ca r ci sd e s c r i b e di nd e t a i l sb yt h i sm e t h o d u l t i m a t e l y , an e w m e t h o df o rs i m u l a t i n gt h ew a v ev a r i e t yo fa r cv o l t a g ew a sp r e s e m e d b a s e do nt h e k n o w na r cc u r r e n t k e yw o r d s e l e c t r i ca r cf u r n a c e ；c o n t i n u i t y ；d i m e n s i o n l e s s ；o p e r a t i n gr e a c t a n c e n o n l i n e a r ；a r cv o l t a g e ；a r cc u r r e n t i l l 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 本人签名： 日期：。，一午2 2 - 1 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 目自口世界上钢产量的3 5 是有电炉冶炼的，而且电炉钢的产量还正在迅速的 增长。在今后十年内，将以每年4 的速度攀升。根据1 9 9 5 年的统计，美国电 炉钢所占的比例为3 4 9 ，加拿大为3 8 3 ，日本为3 2 3 ，欧洲、东南亚等约 有2 8 个国家电炉钢所占比例约为1 0 0 o “。据预测，世界粗钢总产量将会下降， 而电炉钢比重将会逐年增加，据保守估计，年增长速度可能为1 4 2 “1 。电炉钢 发展的主要原因有：钢铁积累的增长和废钢循环量的增加；与高炉一转炉流 程相比，电炉工艺流程短，基建投资少，产品灵活多样，资金回收快，对环境的 污染相对较少；直接还原铁、海绵铁、碳化铁、熔融还原铁等新铁源的不断增 加；由于电炉炼钢生产技术和装备的不断进步以及电炉一二次精炼一连铸一连 轧四位一体的新工艺流程的发展，为电炉的增长以及市场竞争创造了有利条件 0 1 。随着世界经济的回暖和炼钢新工艺的不断出现，许多炼钢企业把精力放在降 低炼钢成本上，努力寻求优化工艺的方法。电炉炼钢电耗2 5 0 k w h t ，电极电耗 l k g t ，生产率2 5 0 t h 以上，这些指标在几年内就可以达到了。 电弧炉炼钢技术是电炉炼钢的一个很重要的发展趋势。电弧炉炼钢的的技术 进步是以保证质量为基础的，以提高生产率为目标，近年来电弧炉炼钢的技术进 步大致可概括为四个方面“1 ：电弧炉的大型化：增加能量的投入和回收利用； 二次冶金精炼的在线化；最大程度的减少通电时间。这些新工艺新方法不 仅体现在对已有的电弧炉炼钢设备的具体操作上，更体现在对旧设备的改造上。 从普通电弧炉提升至高功率电弧炉再至超高功率电弧炉，所经历的发展不仅仅体 现在具体的电弧炉技术参数上，所取得的效果也是非常惊人的。而在炼钢工艺流 程和设备结构的改进中，从原料来源( 如打包废钢、铁水等) 、废钢预热、氧燃 烧嘴、二次燃烧、泡沫渣及喷吹技术”“7 ”( 工艺流程的改进) 到双竖炉、指状 竖炉、d c 电炉、e b t 电炉、c o m e i t 电炉、连续电弧炉。”等( 设备结构的改进) ， 从提高生产率、降低成本、降低能耗以及电极消耗、提高热效率、余热的回收利 用、减少电弧闪烁及提高系统运行的稳定性等各个方面优化了电弧炉的炼钢过 程。不管是缩短工艺流程还是增加辅助设备，无论电弧炉炼钢的工艺过程如何改 进，却终不能取代电弧炉的最主要的熔炼过程。 随着近年来三相交流电弧炉在各工业领域的广泛应用，以及各种电弧炉新技 术的不断涌现，在交流电弧炉的设计、使用和维护等方面也相应的出现了许多新 的问题，这同时也对电弧炉的理论研究提出了更高的要求。 在工程实际中，从热工角度对炉体设计的考虑主要体现在炉子的建设阶段， 东北大学硕士学位论文第一章绪论 而当炉子建成之后，若想通过改进炉体本身来达到改善电弧炉运行技术经济指标 的目的，则不仅成本高昂，而且甚至有可能影响到正常生产。而从电工角度，通 过改变供电制度以及对电弧炉的电路中的部分设备进行适当的调整或改进等方 法来改善电弧炉运行技术经济指标，则具有方便、高效和经济等优点，在工程中 更为常用。因而本论文将侧重点放在对交流电弧炉的电气特性的研究上。 本论文所要研究的主要内容：( 1 ) 在不考虑短网不对称的条件下，交流电弧炉 的电弧连续性规律，以及运行电抗究竟是怎样的概念，它是怎样形成的，与短路电 抗由和区别：( 2 ) 建立全面考虑短网不对称性以及电弧非线性的交流电弧炉数学 模型，解释电弧电流波形畸变的产生原因及规律，进一步研究三相交流电弧炉弧 不连续条件下的运行特性，为电弧炉的运行特性提供全面的数学描述：( 3 ) 利用交 流电弧炉数学模型对交流电弧的非线性进行研究，提出利用已知的电弧电流来模 拟电弧电压的数学方法 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 第二章文献综述 2 1 交流电弧炉传统电气特性 为便于研究电弧炉的运行特性以制定合理用电规范指导电弧炉的运行，考察 电弧炉的视在功率、有功功率、电弧功率、损耗功率、功率因数、电效率等参数 在工作电压给定时随工作电流的变化规律，称之为电弧炉的电气特性( 曲线) 。 为了便于研究电弧炉的电气特性，对电弧炉电路需要作一定的简化和假定， 并将变压器一次侧的所有参数经过等效变换，合并到变压器的二次侧。传统的电 气特性对电弧炉电路所作的简化和假定为“： ( 1 )三相系统用单项系统来代替； ( 2 ) 电炉设备的所有电阻( 电弧电阻除外) 合并为一个线路电阻r ； ( 3 ) 所有电抗合并为线路电抗x ( 且认为是常数) ； ( 4 ) 电路设备的主要参数( 二次侧电压u 、线路电阻和线路电感) 均与负 荷电流无关； ( 5 ) 电路变压器的负载特性是对称的，即所有三相的电弧电流、电源电 压和线路阻抗皆被认为相同； ( 6 )电源电压与电弧电流均被认为是正弦波形； ( 7 )电弧电阻被认为是纯电阻； ( 8 )变压器空载电流等于零。 定义短网阻抗为z s ，电路的阻抗为z ，二次侧电路的电源电压为e ， 抗为x ，线路电阻为r ，电弧电阻为r ，在做出了上述的简化和假定后， 到下面的电弧炉电气参数计算的传统关系式： 基本计算公式如下： 1 视在功率( k y a ) ： s = e i 2 有功功率( k w ) ： p ：s c o s 伊= e l e o s 妒 3 电抗百分数( ) ： f ：丝1 0 0 线路电 可以得 ( 2 1 ) ( 2 _ 2 ) ( 2 3 ) 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 4 功率因数： 电网中的电力负荷如电动机、变压器等，属于既有电阻又有电感的电感性负 载。电感性负载的电压和电流的相量间存在着一个相位差，通常用相位角妒的余 弦c 0 8 妒来表示。c 0 8 妒称为功率因数，又叫力率。功率因数是反映电力用户用电 设备合理使用状况、电能利用程度和用电管理水平的一项重要指标。功率因数的 计算公式为： pp 8 妒2 i 2 矿虿 ( 2 4 ) 功率因数分为自然功率因数、瞬时功率因数和加权平均功率因数。 ( 1 ) 自然功率因数：是指用电设备没有安装无功补偿设备时的功率因数，或 者说用电设备本身所具有的功率因数。自然功率因数的高低主要取决于用电设备 的负荷性质，电阻性负荷( 白炽灯、电阻炉) 的功率因数较高，近似等于1 ，而 电感性负荷( 电动机、电焊机) 的功率因数比较低，都小于1 。 ( 2 ) 瞬时功率因数：是指在某一瞬间由功率因数表读出的功率因数。瞬时 功率因数是随着用电设备的类型、负荷的大小和电压的高低而时刻在变化。 ( 3 ) 加权平均功率因数：是指在一定时间段内功率因数的平均值，其计算 公式为： 。： 童塑皇篁= ：一= = ： 有功电能2 + 无功电能2 ( 2 5 ) 提高功率因数的方法有两种，一种是改善自然功率因数，另一种是安装人工 补偿装置。 5 电路损失功率( k w ) ： p f i2 r f( 2 6 ) 6 电弧功率( k w ) ： p 。= p p 。 ( 2 7 ) 7 无功功率( k w ) ： q = s s i n 妒= 2 1 2 x ( 2 8 ) 8 电效率( ) ： d 7 = 2 1 0 0 。p ( 2 9 ) 9 电弧电流( k a ) ： 一d 一 东北大学硕士学位论文 第二章文献综述 ，：里：兰 z ( r ，+ 异。) + x 2 1 0 电弧长( m m ) ： l = e 。一( 2 0 。4 0 ) g 1 1 短路电流( k a ) ： 仁而霸e 蓊。i e s 呱 这时的功率因数角： 舻鲁 1 2 电弧喷射指数( 相当于以前炉壁耐火材料烧损指数r i ) ： a b i ：p o 。e o 3 d 2 式中卜从电极侧面到炉壁的最短距离，c m 。 2 2 交流电弧特性概述 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 1 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 电弧是交流电弧炉区别于其它电炉的主要标志，电弧的状态决定着电弧炉的 各种电气行为。电弧由于其非线性特点，使得电弧炉电路中产生谐波并使运行中 的电弧炉的各种电气行为变得非常复杂。研究电弧炉电弧特性的文章众多，本文 中仅对电弧波形以及相关特性作一概述。 1 在交流电弧炉运行期间，电弧的几何和热力学参数几乎都经历周期性的 变化。相对于电压周期的o 0 2 秒的间隔( 工频条件下) ，电弧具有较短的时间 常数：1 0 1 1 0 “秒。 2 电弧电压波形在熔炼初期物料为固态的阶段接近于矩形波，而在精炼期 物料完全熔化的阶段接近于正弦波。 3 在电弧电压波形处于近似矩形波的阶段，在电弧电流一定的条件下，如 果电弧的长度不发生改变，那么可以认为电弧电压大小不变。电弧电压的方向将 随着电弧电流方向的改变( 电弧电流过零) 而改变。交流电弧炉中，电弧电流、 电源电压以及电弧电压波形的示意图如图2 1 所示： 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 弋八f 次v 八 j n 弧n 厂 juu 图2 1 澡电压 山- t 电 图 图中i 表示电弧电流；u 表示电源电压；u 。表示电弧电压。 4 矩形波条件下，电弧电压值与弧长之间存在着近似的线性关系”3 。”3 ，如 公式( 2 1 5 ) 所示： u a2 口+ b f 一 位1 5 ) 式中u 。为电弧电压常数；z 。为弧长；常数a ，b 是由炉内压力以及炉内气氛 组成决定的。其中系数b 被称为增益系数，根据周围气氛的不同，该系数应是 l o v i n c h 3 0 v i n c h 之间的一个量“”。 2 3 交流电弧炉传统不对称供电研究 2 3 1 平衡电弧功率的- - f l 电流不对称供电 交流电弧炉的三相电弧功率的平衡是非常重要的。对于高功率和超高功率电 弧炉如果三相电弧功率不平衡就会造成熔化废钢时化料不均，使某些区域熔化过 快，而某些区域熔化过慢，其结果是影响钢水质量，延长熔化时间，增大能量损 耗，还使得电弧功率较大一相电极附近的炉衬易过热，腐蚀较快，降低炉体寿命， 该相的电极端部也很容易损坏。 东北大学硕士学位论文 第二章文献综述 由于以往的供电制度上采用三相平衡供电，短网不平衡的结果将造成三相电 弧功率的不平衡。此外，实际生产中常有一些特殊情况发生，诸如炉料分布不均 匀( 某根电极下有难熔废钢或废钢较多) 时，希望加大该相电弧功率，以防止恶 性塌料损坏电极：或某根电极附近的炉壁烧损严重时，希望降低该相电弧功率或 提高其他两相功率，以达到均匀熔化的目的。因此，工艺上有时会要求特定的三 相不平衡功率。那么，能否采用“以夷制夷”的供电方法，控制三相电流的不平 衡，进而得到平衡的三相电弧功率昵? 文献 顾 对此问题进行了研究。 在研究电弧炉三相不对称供电时，电弧炉的三相短网自身的阻抗可能不相 ( a ) 图2 2 三相电弧炉等效电路图 等，而且由于电弧炉各相之间存在着磁路连接，导致三相电弧炉实际的工作阻抗 也不相等。 三相电弧炉的等效电路示意图如图2 2 所示，设三相不对称的电流为五、五、 五，电流夹角分别为口，、，( 如图2 3 所示) 。 图2 3l 乜弧炉三相电流矢量图 东北大学硕士学位论文 第二章文献综述 r i = + ( 一帆) 珊争s i n 口 r ：= + ( 如一) 国鲁s i n b = + ( 一蚝) 国争s i n ， 置= 础，一洲。，+ ( m ：一m 。3 ) 争c 。s 口 工：= c o l 2 - 洲。：+ ( 蚝一吮) 国鲁c 。s 卢 毕母毗州旷蚴争， ，。， 公式( 2 1 6 ) 表明了等效电阻、等效电抗不仅取决于自身电阻和自感，而且还 取决于各相之间的电流和互感。因此公式( 2 1 6 ) 反映了不对称电流对等效、等效 电抗的影响。公式表明，等效电阻、等效电抗与不对称电流有关，只有在电流对 称时，等效电阻和等效电抗才是常数。由于短网结构的不对称和电路互感的影响， 当三相电流不对称时，电弧炉电路的等效电阻和等效电抗是随着不对称电流的变 化而不断变化的。 设各相的工作电阻为各相的等效电阻和电弧电阻之和，分别记为届。、忍、 尼。，即： r w2 胄t 机，i = 1 , 2 ，3 ( 2 1 7 ) 且设三相电源线电压分别为毫：、岛，和宣，矗：与左”的夹角为占，则电弧 巨2e 2 3 马e 玛 圈2 4 三相电弧炉简化电路圈图2 5 交流电弧炉电压、电流矢量图 炉电路将进一步简化，如图2 4 所示。 由k v l 定理可得 2 东北大学硕士学位论文 第二章文献综述 捧z2 ，1 ( 蜀。+ 弘，) 一，：( r 。+ i x ：) 旧。7 2 ( r 蹰+ x 2 ) 一，3 ( + 心，) ( 2 1 8 1 由电压矢量图2 5 可知 导。”庄船= 矗： 5 2 3 ( 2 1 9 ) 将式( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式代入( 2 1 7 ) 式并相除可得 声 e j a ( 月i g + 膨i ) 一( r 2 9 + 成) ；生p j 8 = 二一 r r 。2 3 ( r 2 9 + j x 2 ) 一争e - j p ( r 3 9 + i x 3 ) o ( 2 2 0 ) 进一步化简可得两个代数方程： 鲁c o s 础- 。一c - + 叁c 。s 占，r 2 9 + 爱i 1 3c 。s p 一历坞。 ：争蜀s i n 口+ 争争五。试占一所一争五。i n 占 j 2 如，23 。“屹一 f 2 2 1 ) 1 2 s i n f z r , 。- e e 2 1 2 3s i n 6 r 2 9 + e 1 2 ，i 1 3s i n ( 占一觚。 划+ e 惫- - c o s e ) x 2 - 和音秘哑州，亿：， 为了求得各相的工作电阻风、忍、甩，根据图2 5 的电流和电压矢量图， 在a1 0 3 中利用余弦定理可得： 易1 2 = k 2 + 巧2 2 5 v , c o s ( r + 0 3 一b ) 2 ，1 2 ( r 1 9 2 + x l2 ) + 2 ( r 3 9 2 + x 3 2 ) 一2 v y 3 c 。s ( ，+ 岛一岛) f 2 2 3 1 其中0 和口。为1 相和3 相的功率因数角，又因为 2 k 巧c o s o ，+ 岛一只) 2 2 v l v 3e o s r ( e o s o ic o s 0 3 + s i n o is i n 0 0 2 v y 3s i n r ( c o s 0 1s i n 8 3 - s i n o i c o s a 3 ) 。2 厶厶。0 8 “蜀s + x 1 x 3 ) 一2 i j l 33 1 n h 曷s 也+ 马s 五) f 2 2 4 、 代入( 2 2 3 ) 并整理可得 厶2 月i p 2 + l 2 r 3 9 2 2 ，】，3 c o s y r i g r 3 f + 2 1 , 1 3 x 3s i n y 置p 一2 厶墨s i i l ，r 3 ， 蜀+ 2 1 一，墨墨c 。s ，印五2 厶2 墨2 ( 2 2 5 ) 将( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 组合，可得到交流电弧炉不对称供电的方程 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 扣呶_ ( 1 + 鲁c o s 引r 2 9 + e 1 2 i 1 3 c o s p f 1 ) r ，。 = i l l x s i n a + i e l 2 丢删妒舻卺删m 。l ：l s i n o c r g i e l 2s i n 吣。+ 卺，扣。一f 1 ) r 3 。 娟+ 卺c o s 啪：一扣百e 1 2 厶i _ l x 3 c o s ) i t2 r 1 9 2 + 1 3 2 r # 一2 1 1 1 3 c o s ) r l g r 3 9 + 2 1 1 1 s x 3s i n 7 r l 。一2 1 1 1 3 x is i n 7 。r 强 = 瑶+ 2 j 1 1 3 x x 3c o s y 一，1 2 五2 一2 耳 们 当炉子一定，电压一定时，电路的自阻、自感和互感就已确定，若已知三相 电流且不论其是否平衡，由( 2 2 1 ) 可得电弧炉电路的等效电阻和等效电抗，则在 方程组( 2 2 6 ) 0 7 ，除电路的工作电阻r t g 、r 2 9 、r s g 以外，其余的变量均为已知， 因此可以求解上述方程组得到各相的工作电阻，进而得到各相的电弧功率等电气 参数。 匕2 乒( 心一r ，) ，f = 1 ，2 ，3 佗_ 2 7 1 如果不考虑电源电压的不对称，上述方程组还可以进一步简化，式( 2 2 6 ) 可 变为 r 3 9 ( 4 哮s i n 口+ 争c o s 口十1 ) 一月2 9 + 2 1 1 2 c o s ( r r i g = 墨夸s i n a 一虱厶c o s 口一_ ) 一珏：+ 争置s i n a 一( 争s i n 口一万争c 0 $ 口- - 4 5 ) + 妇：。一2 1 1 1 2s i n a r l 。 = x 3 ( f 5 鲁s i n a + ，1 ，1c o s a + 1 ) - x 2 + 2 置妻c 蝴 i j r 、：+ 1 2 r 3 ：一2 1 1 1 3 c o s ? k r 垤+ 2 1 l 1 3 x 3 s i n a r l g - 2 1 l 1 3 x 1 s i n 7 r 3g = e 2 + 2 1 1 1 3 x x 3c o s y 一矸研一霹霹 8 1 2 3 2 不对称供电中电弧电流的确定 上一节中讨论了平衡电弧功率条件下三相电流不对称供电方法，推导出了充 分考虑了电弧炉结构参数不平衡和电源电压不平衡条件下的三相电弧电流的无 量纲表达式。同时，通过这些表达式就可以确定出电弧电流与电弧功率之间无量 纲关系式。这些关系式构成了平衡电弧功率条件下三相电流不对称供电方法的基 础。利用这些关系式就可以获得利用三相功率确定电弧电流的手段。这里需要说 明的是，该方法不仅仅可以适用于工程中通常追求的三相电弧功率平衡状态，对 东北是学硕士学位论文第二章文献综述 于某些特殊工况下的要求的特定的功率不平衡状态该方法也同样适用。换而言 之，三相功率平衡或特定的功率分布状态构成了不对称供电的原则，决定了三相 电弧电流的分布。 与线性方程组不同，除特殊情况外，非线性方程组的求解不能用直接法，而 要用迭代法。迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率。对于线性方程 组，若某迭代法收敛，则取任何值都收敛。但是，对于非线性方程组，不同的初 值可能有不同的收敛性态，有的初值使迭代收敛，有的则不收敛。一般来说，为 使迭代法收敛，初值应取在解的附近。通常在求解非线性方程组时一般采用如下 几种方法：不动点迭代法，牛顿迭代法，拟牛顿法等。考虑到迭代法的收敛性、 收敛速度和计算效率与电弧炉自身的供电特点，采用n e w d o n 迭代法来求解电弧 炉不对称供电模型方程组。 在文献“”中，平衡电弧功率的方法仅是在只保证平均功率不变的条件下，调 配各相电流使功率不平衡度减小，而且各相电流值也是用试探的方法来确定的。 这种试探的方法虽然具有一定的优化效果，但不能准确表达在不同的电弧功率分 布下各相电流的精确组合。为了准确表述电弧功率和实际的不平衡操作电流之问 的对应关系，可以采用迭代方法求得在电弧功率平衡或不平衡时的三相电流组 合，从而满足各种不同具体工艺条件的需求。 由于非线性方程组求解问题无论在理论上或解法上都不如线性方程组成熟 和有效。因此，对非线性方程组解的存在性及寻找有效的数值方法均存在很多问 题，需要进一步研究和与解决。例如，对非线性方程组是否有解，有多少解，理 论上没有很好解决“”。在解法上，除对极特殊的非线性方程组外，直接求解几乎 是不能实现的，而要用迭代法。即使方程组有实数解，考虑到收敛性的问题，一 般迭代的初始值要选在解的附近，否则有可能造成发散。 方程组( 2 2 8 ) 可简化为三相电弧电流五、五、五的方程组形式： z ( 5 ，2 ，3 ) = 0 ，( f = 1 , 2 ，3 ) r 72 0 、 首先可对矗、五、五求一阶泰勒级数并将其转化为线性方程组，然后再用迭 代法求解出z 、厶、五。则迭代所用的线性方程组为 ，( o ，1 2 0 ，1 3 0 ) + ，1 ，1 ( o ，j 2 0 ，l o ) ( 五一 o ) + ，2 ( o ，2 0 ，j 如) ( ，2 一，2 0 ) + ，( ，l o ，厶o ，毛o ) ( 厶一厶o ) = o ，( f = 1 , 2 , 3 ) r 2 3 方程组中。，：。，为迭代所取的初始值，z 如，5 0 , 1 3 。) 为j ( 。，厶，k ) 对正的偏导数，其余类推。 必须指出，对于某些少数给定的电压和功率，用上述方法可能得不到收敛的 解，需要通过另外的迭代方法来求解。即在允许的三相电流的变化范围内，通过 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 嵌套和循环语句，连续改变三相电流的值( 即把电流作为己知求电弧功率) ，直 到计算得到的电弧功率和要得到的电弧功率的值两者之间的相对误差小于允许 误差，然而，这种由电流求功率的方法迭代求解需要的时间很长，尽量避免采用。 用迭代法求解非线性方程组时，初始值的选取至关重要。初值不仅影响迭代 是否收敛，而且当方程多解时，不同的初值可能收敛到不同的解。一般来说，为 了保证迭代的收敛性，初始值应当取在所求解的足够小的领域内。有的实际问题 可以用某些方法预测一个近似解，从数学的角度讲，这时一个相当困难的问题。 但在实际的工程问题中，根据工艺过程和一些运行特性来确定迭代的初值，一般 来说比较符合电路自身的特性，很容易收敛。在这里三相电流的初值可由下式确 定： 一 r ：= ：- 一 只= ，2 ( ( e l i ) 2 一2 一r ) n3 1 、 r ， i 一一 其中，、e 、x 和r 分别为三相平均电弧功率、单相相电压、平均等效 电抗和平均等效电阻。在单相系统中，由一个电弧功率可以确定两个电流。为了 确定电流初值，在这里先假设三相电流相等，这样可以得到两组迭代初值。进一 步研究发现，当炉子一定，电压一定时，三相的电弧功率的大致范围就已确定。 需要指出，给定的三相电弧功率不能超过各相的最大电弧功率，否则迭代将不收 敛。一般情况下，可以参照三相平均电弧功率或额定功率等来近似选取三相不平 衡的电弧功率。 2 4 电弧炉传统非线性研究 文献“”对不考虑交流电弧炉电路不对称性条件下的电弧连续性进行了研究。 该文献中认为电弧炉的线路电阻相对于线路自感而言非常小，因而忽略了线路电 阻的影响。但是，实践表明，尽管线路电阻相对较小，对于线路电阻与线路自感 比值不同的电弧炉而言，其电气特性是有相当的区别的。在本研究中将针对该问 题进行改进，进一步考虑线路电阻的影响，并对不同线路电阻与线路自感比值条 件下的电弧连续性进行了讨论； 电弧炉的短网参数对电弧炉的运行指标有重要影响。短路试验所测得的短网 参数是在无电弧情形下的值，而电弧炉实际运行时，由于电弧的存在而导致电弧 回路中产生谐波，进而使回路的电抗增加。因而电弧炉短路试验所得到的电抗值 ( 称为短路电抗) 与电弧炉实际运行时的电抗值( 称为运行电抗) 并不相同。此 外，在文献”中还在假定电弧电压为梯形波的条件下，提出了电弧电抗的概念。 该文献提出不能忽略电弧电抗而将电弧作为纯电阻处理。而关于短路电抗、电弧 东北大学硕士学位论文 第二章文献综述 电抗以及运行电抗间的关系；电弧电抗对电弧炉的运行状况的影响；运行电抗与 运行电流间的关系等等问题在目前的文献中鲜有详尽且系统的论述。所以本研究 致力于分别从理论推导和实验两个角度入手，对运行电抗产生的机理进行解释， 并提出可以在工程上应用的运行电抗表达式； 另一类对电弧炉非线性的研究是考虑短网不对称的电弧炉电气特性研究，一 般而言，此类研究是在三相电路模型下进行的。由于考虑了短网不对称问题的存 在，相比不考虑不对称的研究而言，其结果接近于工程实际。进行类研究对于深 入地分析和了解电弧炉运行特性和制定合理的供电制度都有着非常重要的意义。 在交流电弧炉运行特性的理论研究方面，由于电弧这一非线性电气元件的存 在，使得在交流电弧炉短网电路中有较严重的谐波存在，这一点直接体现为在负 载运行状态下的电弧电流波形将发生波形畸变，偏离正弦波形态。以往关于电弧 电流的瞬时状态的研究有很多，研究手段也不尽相同，在理论研究方面，文献 1 3 和文献 1 4 都就三相交流电弧炉的瞬时运行状态提出了自己的计算模型，所 不同的是，在确定电弧炉中各种电气参数与电路结构参数的关系时，文献 1 3 采用的是直接利用数学方法推导关系式，而文献 1 4 则采用的是数值方法来直接 模拟电弧电流瞬时波形。就文献 1 4 中采用的方法而言，表达是的形式具有直观、 使用方便和具有普便意义等显而易见的优点，但是由于直接推导不仅过程繁琐， 而且在解算不平衡条件下的电弧炉电路时，更重要的是在数学上还存在相当的障 碍。所以文献 1 4 中建立的是三相结构参数完全对称的模型，此外，还忽略了电 源电压的不平衡，以及电弧电压的不平衡的影响。这种极度理想条件下的电弧炉 模型对于工程实际而言显然是不够严谨和完备的。以此模型为基础进行的研究在 所涉及的问题上也是有相当大的局限的。通过文献 1 4 中的数值方法可以较容易 地获得某一具体炉体在特定情况下的运行状态。而且，该方法充分考虑了各相电 路间互感的影响、各相电路结构参数的不对称、电源电压以及电弧电压分布的不 平衡等诸多因素的条件，这使得所建立的计算方程比较接近于工程实际；但是， 通过该方法，对于明确电弧炉个参量之间的关系，归纳交流电弧炉的运行规律而 言都是较困难的。 2 5 交流电弧炉电气参数的高频数据采集 随着近年来电子技术的飞速发展，电弧炉的实验和测试的手段也大为改进， 而不再只局限于使用传统仪表。计算机自动控制下的高频数据采集技术就是目前 众多的测试新技术之中的一个亮点，通过该技术可以实现对实验数据的采集、存 储和数据处理的自动化，更重要的是该技术使得对电弧炉的瞬时运行状态的测量 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 成为可能。它的应用使得对交流电弧炉的研究工作可以深入到以往无法涉足的深 度和领域。 文献 1 9 中，对沈阳有色冶金机械总厂铸钢车间的一台容量为5 t 电弧炉进 行了短路实验条件下和工作状态下的电气参数高频数据采集。从理论上而言能够 直接获得二次侧( 短网) 的电弧电流信号，对于交流电弧炉的非线性研究最具价 值，但是由于二次侧存在较大干扰，不易准确地获得电弧电流的瞬时波形。同时， 监视电弧炉运行状态的工程仪表的线路大都布置在一次侧，从方便接线的角度， 采用从一次侧接线可以直从原有仪表引线，既不会对电路结构进行太大的改动， 也不会影响到电弧炉的正常生产，而相应的二次侧的各相电气参数可以通过固定 的换算方程获得。因此，文献 1 9 中对电弧电流波形的采测选取在一次测。测量 所获得的电弧电流的1 、3 相波形如图2 6 和图2 7 所示： 茹一 卅 u 蟋 脚 鬣 锄 4 d 0 0 0 2 0 0 0 r r 育影r 一幕 从上述的波形图中，可以清楚地观察到电弧电流分成三段畸变的特性。这与 通过理论研究所获得的电弧电流波形特性是相符合的。从实验的角度印证了不对 称非线性交流电弧炉理论与叠加方法的正确性。 一1 4 东北大学硕士学位论文第二章文献综述 2 6 综述 首先，考虑到在传统的单相电弧炉非线性研究中，对电弧连续性以及运行电 抗的研究中忽略了线路电阻的影响，数学模型也未能进行无量纲化，本论文将在 电弧连续性研究部分增加考虑这部分问题。针对短路电抗和运行电抗间的区别， 运行屯抗的产生机理，本论文也将进行深入地分析； 第二，在传统交流电弧炉供电研究中，回避了由于电弧非线性而引起的电弧 电流波形畸变，而将电弧电流假定为正弦波，从而将三相交流电弧炉的计算模型 简化为线性方程组。从宏观上来把握交流电弧炉的运行特性。但是由于电弧的非 线性特性以及三相电路的相互作用使得电弧电流事实上呈现明显的三段形态 。“3 ，而且随着电弧的拉长这种波形畸变会变得更加明显。此外，这种简化模型 也无法对电弧的连续性问题进行研究，无法全面地描述交流电弧炉的运行特性。 那么，是否能寻找到一种兼有文献 1 3 ，1 4 中两种方法的优点，同时又克服和改 善了这两种方法的不完备和不直观等缺点，也就是一种直接进行数学推导，同时 又可以兼顾考虑各种不对称和不平衡特性的方法呢? 本研究将致力于寻求新的 数学方法，建立一个满足以上要求的新的数学模型，推导出各种参量间的关系式， 并利用该模型对考虑不对称条件下三相交流电弧炉复杂的不连续状态展开讨论， 以对交流电弧炉电弧电流波形畸变产生的原因和机理及其与各相电气参数和电 路结构参数之间的关系进行系统的论述： 第三，日前，对电弧电流波形畸变条件下的电弧炉电气参数的研究，一般是 从两个角度进行的。一种是在假定电弧电压为矩形波 1 3 , 14 】或梯形波 1 8 】条件下，推 导出电弧电流表达式，进而获得其它的电气参数。然而，在实际运行过程中，电 弧电压波形随熔炼过程的进行而不断变化，因而假定的电弧电压波形与实际波形 之间具有一定的差距，所以利用该模型进行模拟计算难以准确地描述出电弧炉的 运行状态：另种是直接对二次侧的电弧电压或相电压i l 卅进行实测。但是，由于 短网对电压的测量信号干扰很大，所以事实上很难准确的获得电弧电压或相电压 的测量值。以往的研究 1 3 , 1 4 , 1 5 l 表明，在确定电弧炉的结构参数条件下，电弧电压 与电弧电流问存在一定的对应关系。换言之，电弧电流波形中同时也包含有电弧 电压的信息，如果可以从中获取到电弧电压的准确波形，那么电弧炉电路中电弧 功率、运行电抗等电气参数都将被确定下来，从而准确地确定出电弧炉的运行状 态。随着测试水平的不断提高，利用高频数据采集技术，可以比较准确的测量出 各相电弧电流的波形数据。那么，如何能利用测得电流波形来确定出电弧电压的 真实形态呢? 本论文将就此展开讨论。 东北大学硕士学位论文第三章不考虑短网不对称的交流电弧炉电气特性研究 第三章不考虑短网不对称的交流电弧炉 电气特性研究 3 1 电弧炉电弧连续性研究 由于在电弧炉运行过程中会发生电弧不连续现象，所以有必要研究电弧炉的 短网结构参数( r ( ) l ) 和操作参数( i i s ) 对电弧的连续性影响，以及两种情况 下的电弧电流波形和电气参数进行研究。 以往的研究表明1 15 。，在熔炼初期，电弧电流的畸变最为严重，且电弧电压相 对较高，对电弧炉运行状态的影响也相对较大。而在相关的研究 1 3 , 1 4 d p 电弧电压 也通常被假定为矩形波。故在本章中，亦将电弧电压波形假定为矩形波。文献 1 5 对电弧连续性的分析中，假定线路为纯感性，而在本论文下述的研究中，不仅考 虑了电弧炉线路电阻对电弧连续性的影响，而且采用了无量纲的方法来进行研 究，使研究结果更具通用性和普遍性。 3 1 1 无量纲电弧电流波形 u - 图3 1 单相电弧妒计算电路 通常，电弧炉的计算电路被表示成图3 1 的形式。其中，e 、r 、l 、u 。分别表 示电源电压有效值、线路电阻、线路自感和电弧电压，r 和l 可通过短路试验测 得。从而可求得短路条件下的电流有效值i s ( 以下称短路电流) ，其表达式如公式 ( 3 1 ) 所示： ，。：墨：量 。z ( - l ) 2 + r 2 刚1 式中u 为电源电压频率，z 为短路阻抗： 选择s 来进行电流的无量纲化，原因是电弧电流小于短路电流。i i s 变 化范围是o 1 ；当短路发生时i i s 为1 ；当电弧开路时，i j i i s 为零。 考虑到电气参数的周期性特点，在稳定状态下电流波形亦为与电压同周期的 东北大学硕士学位论文第三章不考虑短网不对称的交流电孤炉电气特性研究 函数，并且相邻半周期的电流只是方向不同，而波形则完全相同。所以只需对半 周期内的电流波形进行研究即可得到稳定状态下的电流波形的状况。根据电工学 原理，可获得如下微分方程( 3 2 ) ： 抄l焘枷。=emsmh卿一uadoj 鲫2 1 f f 1 式中：e 。为电源电压最大值伏，t 为时间，中电源电压超前电弧电流的相角 ( 弧度) ，i 为电弧电流瞬时值。 i i s l l 燕警 x 州 ： l | 、 弋弋 7 71 暖专1 2 1 蠢i 挚； 警髦毒最纣蘸耋乎件下 操作参披 ( # ) 对电鬟诲挟饿的雕彭崎 为了研究问题的便利，将电流的初相位设定为0 弧度。解常微分方程( 3 2 ) 可求得电流随时间t 变化的函数的无量纲表达式： 东北大学硕士学位论文第三章不考虑短网不对称的交流电弧炉电气特性研究 毒圻( 一s m c o s m h + 。- 1 ) 器) 限。、 式中：g t = s i n “( r z ) 电弧的连续性决定了公式( 4 ) 中的中是以不同方式确定的，在电弧连续情 况下，由i ( “) - - 0 ，可求得： o s 1 u o i 睾篙卜 限4 ， 在电弧不连续时，只有在供电电压瞬时值大于起弧电压( 近似认为等于电弧 电压) 3 1 时，电弧电流才不为零，故其中值为： o = s i i l 。1 恤1 - e r n - ( 3 5 ) 由公式( 3 3 ) 和( 3 4 ) 可以得到无量纲电流波形图3 2 ( a - f ) 。图中，电炉的电 气结构参数为r ( l ) 为0 3 。图a 表示短路状态，因此电弧电压为o ，电弧电 流为正弦波。图b ，c 表示在较大c a 弧电流下，电弧是连续的，操作电流越小， 电弧电流波形偏离正弦波形越远。图d 表示在电气结构参数r ( 。l ) 为0 3 条 件下，电弧连续的临界状态操作参数i i s 为0 5 5 4 6 ；由图d 还可以看出，尽管此 时电弧连续，但电弧电流