（基础数学专业论文）多重dirichlet级数的收敛性与重排.pdf

摘要 本文研究三重和船重d 埘c h k t 级数的收敛性、二重双随机d i r i c l l l e t 级数的收 敛性、双随机d 试c l l l e t 级数的收敛性和增长性以及二重d 试c h l e t 级数的重排等问 题，改进并推广了前人已有的结果 第一章回顾了d i r i c l l l e t 级数研究的历史，给出了本文的一些主要结果 第二章研究了三重d i r i c h l e t 级数和聆重d 试c h l e t 级数的收敛性，同时在一定 的条件下研究了三重随机d 证c l l l e t 级数的收敛性此外还在条件 p l 以。险研9 玎9 ) + o 。 = o = o 下，研究了二重双随机d 砸c h l e t 级数的收敛性，得到了一些类似于二重d i r i c h l e t 级数的有关结论 第三章研究了两类d 试c h i c t 级数的系数重排后的增长性一方面研究了右半 平面上零( 五) 级解析d i r i c l l l e t 级数，给出了其系数经过重排后以下两类指标 面堕：丝塑：。 u m 一2 c 口斗o + 一l n 盯 砌2 蓦焉擎 保持不变的条件；另一方面研究了二重d i r i c h l e t 级数，得到了其系数经过重排后 线性级岛保持不变的充要条件 关键词d m c h l e t 级数，二重双随机d i r i c h l e t 级数，三重d i r i c l l l e t 级数，多 重d i r i c h l e t 级数，收敛性，增长性，重排 a b s t r a c t t h i st h e s i sr e s e a r c h e st h ec o r e 唱e n c eo ft r i p l ea 1 1 d 刀一p l ed i r i c l l l e ts e r i e s ，m e c o n v e 唱e n c ea n dg r o w t l lo fb i 一啪d o md i r i c h l e ts e r i e s ，t h ec o n v e 唱e n c eo fd o u b l e b i m d o md i r i c h l e ts e r i e s ，a 1 1 dt h e 黟o w lo fd o u b l ed i r i c h l e ts e r i e s 晰t l lt l l e r e 猢g e m e n t so ft 1 1 e c o e 伍c i e n t s a n ds o m ek n o w nr e s u l t sa r ei m p r o v e da n d g e n e r a l i z e d c h a p t e r1o u t l i i l e st 1 1 er e s e a r c hd e v e l o p m e n to fd i r i c h l e ts e r i e s ，a n dp r e s e n t st 1 1 e m a j ni i e s u l t so b t a i n e di nt h et h e s i s c h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h ec o n v e 玛e n c eo ft r i p l ea 1 1 d 刀- p l ed i r i c h l e ts 耐e s ，t 1 1 e c o n v e 唱e n c eo ft r i p l er a l l d o md i r i c h l e t s e r i e su 1 1 d e rc e n a i nc o n d i t i o n s ，a i l d 廿l e c o n v e 唱e n c eo fd o u b l eb i r a n d o md i r i c l l l e ts e r i e su 1 1 d e rt l l ec o n d i t i o n p | l 。i 聊p 刀p ) + ， m = o ”= o a n do b t a i n ss o m er e s u l t ss i m i l a rt od o u b l ed i r i c h l e ts e r i e s c h 印t e r 3d e a l s 埘t 1 1t h e g r o w t l l o ft 、ob n d so fd i r i c h l e ts e r i e sa r e r r e a r r a i l g e m e n to f t 1 1 ec o e m c i e n t s f i r s t ，t 1 1 ec h a p t e ri n v e s t i g a t e st l l e ( r ) 一o r d e rz e r oo f a i l 址皿cd i r i c h l e ts 面e sd e f i n e di nt h er i g h th a l f p l a n e ，a i l do b t a i n st 1 1 eu i l v 撕e d c o n d i t i o no ft h ef 1 0 1 1 0 w i n gt w oi n d e x e s 瓦l n + m ( 盯) l l m = 口_ o + 一1 n 盯 = c 砌2 甄焉擎 a r e rr e a m m g i n gt h ec o e m c i e n t s s e c o n d ，t h ec h a p t e rd i s c u s s e st h ep r o p e n i e so f d o u b l ed i r i c l l l e ts e r i e s ，a i l do b t a i n st h es u m c i e n ta 1 1 dn e c e s s a 】哆i u l v 撕e dc o n d i t i o no f 秒- l i n eo r d e r 岛a r e rr e a r r a j l g i n gc o e m c i e n t s k e l w o r d s ：d i r i c h l e ts e r i e s ，d o u b l eb i - r a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ，t r i p l ed i r i c h l e t s e r i e s ，m u l t i p l ed i r i c h l e ts e r i e s ，c o n v e r g e n c e ，g r o w c h ，r e a r r a l l g e m e n t s i i 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本入完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作 的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业 大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 善主! 、夕 钐孵年月7 日 指导教师签名 丁晚考 撕7 年争月7 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他己申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 p 学位论文作者签名：兰盘= 岬年月7 日 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 d i r i c h l e t 级数是十九世纪中叶d i r i c h 吼研究数论时引进的，可以看作1 a y l o r 级数的推广，也是l 印l a c e s t i e 峋e s 变换的特例研究d i r i c h l e t 级数，一方面是为 了解决数论中提出的问题，另一方面是为了研究级数本身的分析性质后者的研 究主要由以下四个方面组成：收敛性、自然边界( 以及奇异点的分布) 、增长性和值 分布 收敛性不仅是d i r i c l l l e t 级数的一种重要性质，而且是进一步研究增长性与值 分布理论的前提 d i r i c h l e t 级数的一般形式是 ( j ) = 吒e 却， ( 1 1 1 ) 其中溉) 为一列复数，s = 盯+ i r ( 盯，f 且) ， 矗 满足条件 o 如 五 五个佃 二重d i f i c l l l e t 级数的一般形式是 ，( s ，) = e 却， ( 1 1 2 ) 其中 订。) 为一列复数，s = 盯+ 访，f = 孝+ 切( 盯，f ，孝，玎r ) ， 以 和 以) 满足条件 o 如 五 以个佃， o “ 段 鸬 o 时，级数在收敛圆盘iz i r 内收敛、绝对收敛， 并且在其中的任一闭圆盘i z 峰r ( c r 0 上收敛，r ) ， 吒= i n f c r o ：级数( 1 1 1 ) 在r e j c r 0 上一致收敛，c r 0 r ) ， 吒= i n f ( ：级数( 1 1 1 ) 在r e s c r o 上绝对收敛，c r 0 r ) 为了确定d i r i c l l l e t 级数的各种收敛域，需要计算各种收敛横坐标，文介绍了一 种比较简单的方法v a l i 啪公式 引理1 2 1 1 1 1 对于级数( 1 1 1 ) ，有 匦爿掣s 甄号掣+ 燕等 z m 这个公式是对c a u c h y - h a d 锄a r d 公式的推广 1 9 6 2 年余家荣【2 】研究了二重d i r i c h l e t 级数的收敛性并给出了相应的v a l i r o n 公式： 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 其中 引理1 2 2 【2 】对于级数( 1 1 2 ) 有 甄而尝拓郇鸭甄丽尝拓怫m 2 力 岛2 瓢丽( 咖 争 以上咯= ( c ，口) ，= ( c ，d 和= p ，口) 分别为相关有界收敛横坐标、相关一致 有界收敛横坐标和相关绝对收敛横坐标本文在第二章第二节中，研究了多重 d i r i c l l l e t 级数的收敛性，并给出了相应的v a l i r o n 公式：对于级数 八五，矗) = 。e 一一， 有 其中 ，吃，+ d 0 ， ，：西f 旦匕! q “九c o s 卿+ s i i l 纯c o s 仍+ + s i n 仍s i n 仍s i i l 纯一2s i n 纯- l 见2 再硒而硒而孝篇舞面再丽， 【o ，争( 1 m 川 2 0 0 0 年田范基1 4 】研究了二重随机d 耐c l l l e t 级数 厂o ，r ，国) = 口f 姗。y 册( ) e 一卜， ( 1 2 3 ) 其中j = 盯+ i f ，f = 善+ 幻，盯，f ，善，叩均为实数， o a 五 厶个佃， 0 “ 2 鸬 - 0 ，使得s u p e i j o l 4 + ，且级数( 1 2 3 ) 满足 面业：而坐：o 。 “+ ”以， 那么 伽) = ，：i ( 班柏) = 甄石尝拓( o 护 争她 本文借鉴田范基的方法研究了三重随机d i r i c l l l e t 级数的收敛性，推广了原 有的结果 1 9 9 8 年田范基吲研究了双随机d i r i c l l l e t 级数 ，( s ，脚) = 吒( ) e 删。 ( 1 2 4 ) 的收敛性问题，其中 ) ，阮) 是定义在某概率空间( q ，4 ，p ) 上的随机变量列， o a 五 九个佃乱s 在文【5 】中，田范基给出了如下两个条件： n月 魄一玩 ( i ) o 地l 生l _ 峰i i m j 目一i 刀9 佃，刚羁i h 一9 佃， 下，研究得到级数( 2 4 1 ) 与( 2 4 3 ) 的收敛横坐标、一致收敛横坐标、绝对收敛横坐 标都巩s 为o o ，并且( r ) 一级扎s 相等在右半平面上也有类似的结果 在第四节基础上，文章在第二章第五节研究了级数 在满足条件 l ( 珊) e 。引嘶砒佃 ；ln ；l 4 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 以l k 陲肌9 矿) 佃 下，得到的结论是：级数( 2 5 2 ) 和( 2 5 4 ) 的相关有界收敛横坐标、相关一致收敛收 敛横坐标以及相关绝对收敛横坐标都乱s 为m l3d i r i c h l e t 级数系数的重排 在幂级数的增长性理论中，系数的重排是一个有趣的问题“重排问题”来自 于阿贝尔可求和级数，是关于级数的系数和增长性之间关系的问题v a l i m n 【1 7 l 。 l i n d e l o f 和p 血g s h e i m 以及余家荣9 j 9 。川等人曾对级数的系数和增长级之间的 关系进行过研究 在1 9 6 1 年，g u h a 1 研究了收敛幂级数g ( 力= ，的系数重排问题，证明 了一个收敛幂级数的系数经过适当重排后，它的收敛半径保持不变 2 0 0 0 年，郑少薇1 1 4 1 、刘伟群等利用g l | h a 的方法研究并得到了级数( 1 1 1 ) 在全平面上的系数经过重排后，级p 保持不变的充要条件 乃血丸，- 乃l i l 丸+ d ( l i l ) 本文主要在第三章研究了两类d 试c i l l e t 级数的系数重排后的增长性：一方面 研究了右半平面上零( r ) 级解析d 撕c l l l c t 级数，给出了其系数经过重排后以下两 类指标 甄訾钆砌2 戛焉半 口+ 一l i l 盯o + 1 、 保持不变的条件分别是 m _ l 峨+ o ( 1 峨闸吒+ 志； 另一方面研究了二重d i r i c h l e t 级数，得到了其系数经过重排后线性级岛保持 西北工业大学硕士学位论文第一章绪论 不变的充要条件 ( 厶，c o s 口+ 以，s i n 口) l n ( 以c o s 曰+ 以，s i n 曰) = ( 丸c o s p + 以s i n 口) l n ( 九c o s 口+ 以s i n 口) + d 【( 以c o s 口+ 以s i n 秽) l i l ( 厶c o s p + 以s m 口) 】 6 西北工业大学硕士学位论文 第二章收敛性 第二章收敛性 2 1 引言 收敛性是d 试c l l l c t 级数的一个重要性质，是进一步研究增长性与值分布理论 的前提 余家荣在【l 】，【2 】中分别对d i r i c l l l c t 级数和二重d i r i c b l e t 级数的增长性进行 了研究，其后田范基在【4 】，【5 】中对随机问题也给出了相应结果本章将在第二至 第五节推广以上结果 对于二重d m c l l l e t 级数，文献【2 】和【7 】给出收敛横坐标的计算方法本文将 在第二节利用文献【2 】的证法，对原有的结果进行推广和完善；第三节在一定的条 件下，得到计算三重随机d i r i c h l e t 级数的收敛横坐标的方法：第四节在条件 列以l ) 佃，刚以i 胛一9 ， 佃 下，研究双随机d m c l l l e t 级数的收敛性和增长性；第五节在 以) 和 版) 独立同分 布的情况下，研究二重双随机d i r i c h k t 级数的收敛性 2 2 多重d i r i c h l e t 级数的收敛性 考虑三重d 埔c l l l e t 级数 e 却卅弘， ( 2 2 1 ) 其中s = 盯+ i r ，f = f + i 7 7 ，z = x + 涉，盯，f ，f ，叩，x ，_ y 均为实数， f ) 为一列复数， o 也 乃 厶个佃， o “ 段 以 以个+ 西北工业大学硕士学位论文 第二章收敛性 令 o 白 白 白 白个+ m月， f ，力= e 一和嘶“” l z l ，；t i = 】 如果对于某一组数值j ，r ，z ，数列 s 0 ( j ，z ) ) 有界，而且极限 一啦墨m 0 ，z ) m 一。，斗 存在，则称级数( 2 2 1 ) 对这一组数值s ，f 及z 有界收敛，称此极限为级数( 2 2 1 ) 的 和如果 s m ( c r o + i f ，彘+ 幻，+ 纱) 在 上一致有界。而且极限 叫 f ，咖 町 ，哪 y a o 。热。s 一( 气+ i f ，品+ 研，+ 纱) 关于 f ， 刁 o 。， 磊，r e ( z ) t 时，级数( 2 2 1 ) 有界收敛；当 r e ( j ) 吒，r e ( ，) ，r e ( z ) = 毛 8 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 对，级数( 2 2 1 ) 在盯= ，孝= 磊，x = 而上一致有界收敛；而当 r c ( s ) = q 吒，r e ( r ) = 石 磊，r c ( z ) 艺 时，级数( 2 2 1 ) 绝对收敛；而当 r e ( j ) 吒，r e ( f ) 乞，r e ( z ) 毛 时，级数( 2 2 1 ) 不绝对收敛 以盯，f ，为轴作空间直角坐标系，把相关有界收敛横坐标，相关一致有界收 敛横坐标以及相关绝对收敛横坐标表示为这空间上的点当p ，p 为定值时，作直 线，直线上的点可以表示为 匡享 ( o 口 石2 ) ， ( o 妒 万2 ) ， 其中，为参数，设与点 ( 吒( 曰，矿) ，姜( p ，妒) ，t ( 幺伊) ) ，( 吒( 只妒) ，互( p ，妒) ，毛( p ，伊) ) 以及 ( 吒( 口，妒) ，彘( p ，妒) ，k ( p ，鳓 相对应的参数分别为= ( 只力，= ( 口，矿) 以及= 屹徊，妒) 定理2 2 1 如果在j = 而，f = ，z = 毛上， s 0 ( s ，f ，z ) ( m ，l ，= l ，2 ，3 ，) 有界且 r e ( ) = c o s p s i n 伊，i k ( ) = s i n 秒s i n 仍r e ( 毛) = c o t 伊 ( 删 三，o 妒 那么当 r e ( 屯) = ，2 c o s 口s i n 妒，r e ( ，2 ) = 吒s i n 口s i n 缈，i k ( z 2 ) = ，2 c o t 妒 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 ( o 口 三，呦 + d 时，级数( 2 2 1 ) 在j = 岛，f = 岛，z = 乞时绝对收敛，这里 2 瓦而瓦高舞去而面( 川 三，o d + 占，我们就有 q 删e 一。一弛唧i = fc i 啪，e o h 一钉丑| | e 一是一而。“也- | l 卜卉一而 o 从而 丽磊高舞丽丽 + 三厶c o s p s i i l 妒+ 以s i n 口s i i l 妒+ 白c o t 矿 帅 2 d “口一铂一m 一纳l 岛，“2 一：堡! ：! h “ = 足( 榭矿m ： 茎 m 1 + 4 疗5 + 9 ，1 + 口。 。磊。e 咄”眦咱吣k 。磊。赤 m + n + l = n m 懈l = n l r li 1 0 西北工业大学硕士学位论文 第二章收敛性 足耋荔瓣专 佃 于是级数( 2 2 1 ) 在s = 屯，t = f 2 ，z = 乞时绝对收敛定理2 2 1 得证 现征我w 把v a n 公式推厂剑三重d i r i c 址乳级数 定理2 2 2 ( v a l i r o n 公式) 对于级数( 2 2 1 ) ，有 瓦丽蕊蒜舞郇鸭”+ “+ 7 蛐厶c o s 口s i n 妒+ ，s i n 口s i i l 妒+ 白c o t 伊一一1 一 瓦丽蕊高盘丙面峨，( 2 2 s )”+ 一+ ，。厶c o s 臼s i i l 伊+ ，岛s i l l 口s i n 妒+ 白c o t 妒一8 9 、一7 其中o 口 薹，o 缈 三，岛，是( 2 2 2 ) 式给出 证明不等式( 2 2 3 ) 的中间一部分s s 是显然的，首先证明( 2 2 3 ) 式中后 一不等式，只须考虑岛。 。o 的情况令 m ( 2 赢而赢高舞而面， 叫) 不妨设p 是有限数 下面证明：如果 r e = c o s 口s i n 妒，r e f 0 = s i l l 口s i n 妒，r e 气= c o t 妒 ( o 耿詈，o o ) 由( 2 2 4 ) ，当肼+ 疗+ ，充分大时( 设m + 万+ ， 1 ) ， 丽蕊高焉石p + 詈，如c o s 口s i n 妒+ h ，s i n 口s i n 矿+ 白c o t 妒 2 这时 1 日舢，e 一厶一“如一。知i = ia m ，i e 一局厶蝴8 “计“姗9 蛐计白c o p 2 时) ，有 丽而高等丽焉方+ 三，丸c o s 口s i l l 矿+ ，厶s i l l 口s i n 妒+ 白c o t 伊 虬9 4 7 因而当肌+ 刀+ ， m a ) 【( l ，2 ) 时， i ，e 一铂啪一。“i e 岛，“4 仿照证明定理2 2 1 的最后一步，得到级数( 2 2 1 ) 在j = ，r = j f o ，z = 气时绝对收敛 这里就尸为有限数的情况成立，当p = + m 时，不等式( 2 2 3 ) 中最后一部分仍然成 立 现在证明( 2 2 3 ) 中第一个不等式设当 r e ( q ) = c o s 口s i i l 矿，r e ( ) = s i n 口s i n 缈，r e ( 毛) = c o t 伊 ( 薹，o 妒 o 存在。使得 1 4 删e o 一舶咱而i e 粥9 蛐计 枷8 湖9 + q 甜计， 屯= ，2 c o s 矽s i i l 矿， f 2 = ，2s i l l ps i n 伊， 乃= 吃c o t 缈 这就表明 口。f e 一厶一舶4 ) 无界，于是 ( 屯，2 ，z ：) ) 也无界，而级数( 2 2 1 ) 在( 屯，岛，乞) 处不是有界收敛的定理2 2 1 证毕 下面把三重d 试c l l l e t 级数的收敛性推广到疗重d i f i c l l l c t 级数 设疗重d i r i c l l l e t 级数 ，( 墨，) = 晦e 一钿1 ， ( 2 2 5 ) 其中= + 吒，0 为实数，l 肌押， 为一列复数， 令 盯= ( q ，) n ”，o 气个 & ( 耵一，晶) ：窆羔q ” “ 一l= l 如果对于某一组值丑， & ( ，) ( q ，= l ，2 ，3 ，) 有界，而且极限 1 i m ( ，) q ，t 斗。 存在，则称级数( 2 _ 2 5 ) 对这一组数值5 l ，- - ，凡有界收敛，称此极限为级数( 2 2 5 ) 的 和如果 & ( q 。+ i ，吒+ i ) ) ( q ，= 1 ，2 h 吼。，为实数) 在 0 o o ( 1 聊”) 上一致有界，而且极限 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 射1 黔。& ( 气+ i f l ，一，吒+ 1 ) 关于 0 + d 时，级数( 2 2 5 ) 在j = ( 脚= l ，2 ，打) 时绝对收敛，这里 见2 恧硒而再而老筠鬻而而瓦瓦 【o ，争( 1 m 川) ( 2 2 6 ) 定理2 2 4 对于级数( 2 2 5 ) ，有 ，s s ，+ d 0 ，( 2 2 7 ) ，：i i ；f j 巫丝j 一一 吨扣+ 郴c o s 仍+ 8 m 纯c o s 仍+ + s l n 仍s m 仍s m 一2s l n 纸一l 其中“o ，争( 1 肼疗一1 ) ，见是由( 2 2 6 ) 式给出的 定理2 2 4 的证明同定理2 2 2 类似 2 3 三重随机d i r i c h l e t 级数的收敛性 设三重随机d i r i c h l e t 级数 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 以。( ) e 却一唧， ( 2 3 1 ) = lh ；l ，；l 其中s = d + i ，f = 亭+ 幻，z = x + 砂，口，f ，f ，7 ，x ，) ，均为实数， d “) 为一列 复数， j 。 为概率空间( q ，4 ，p ) 上的三重随机变量列， o 五 五 九个佃， 0 h 鸬 鸬 以个佃， o 蔓白 岛 白 o ，使得 s u p 怛i k p ) 2 ( ) 时，有 二二 i 咒。，( m ) 喀所9 n9 ，9 引理2 3 1 的证明因为 ， 22 2 、 p ll k i 聊i 玎；乒l p ( i k 除存拧2 ，2 ) ；ln = l ，t l 、，m l ”一i ，- l ( 2 3 5 ) 薹喜喜等，：船煳埘溪去喜吉喜古 m ， 并且 p 姒址篇；胆量p ( n 篇，； 州x p lnui k l 脚；行；f 1l p li 戤。l 蜥二栉= ，- i _ o ( 一o 。) ， 。l m + 月“- ， m + 肿，= p ( c ：! 。且。0 k l 赢幂 _ 。，p 嗡，曳。( l 赢笨 _ - ， p lnui k l 埘i 拧i f - | | = o ，p lnuli k l 脚i 甩；乒= 1 ， ，；l m + n “一_ t l m + + z 所以( 2 3 3 ) 成立，( i ) 得证 用砧代替k 可得( i i ) 中( 2 - 3 5 ) 式，则( i i ) 得证 定理2 3 1 设级数( 2 3 1 ) 满足( 2 3 2 ) ，( 2 3 4 ) 和 而粤：而坐：面坐：o ，( 2 西北工业大学硕士学位论文 第二章收敛性 其中 这样 咖心( 咖和) = 瓦而蕊高耘妊而万a s ( 2 - 3 7 ) ( o 耿三，o 缈 争 证明由三重d i r i c h l e t 级数的v a l i f o n 公式。 瓦而蕊畿盎吲咖和h ( 口)m + 啪厶c o s 口s i i l 缈+ ，厶s i n 口s i n 伊+ 白c o t 伊 6、7”。74 、 瓦丽赢訾盎峨，( 2 s 8 )m + 一+ 。，。以c o s 口s i n 缈+ ，s i n 口s i n 妒+ 白c o t 伊 以9 7 、 岛，= 瓦不赢而嚣丽吨 屹( 口) = ( 缈) = ( 国) = 瓦而蕊畿舞渊)m + 。郴丸c o s 口s i n 缈+ 以s i n p s i n 伊+ 白c o t 妒 、7 ( 删 詈，o 伊 o 使得 o 0 ， 因而存在一正数占，使得 p ( i j | 万) o ( 2 3 1 4 ) 由于 独立同分布，有 由b o r e l c a l l 把l l i 引理得 p ( | 。p 占) = + o o ， = l 尸( 舰( i h m p 6 ) ) = l 1 9 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 即a s 国q ，i k 。( 缈) l 中有无穷多项大于子，这样 面 竺! 兰必剑 卿五吨c o s6 i s l n 妒+ ，8 l n6 l s l n 妒+ 氕c o t 缈 牌1 1 1 l 吼删+ 憋石忑丽面巧石忑丽 l n 万o = o 扎s 定理2 3 2 设 k ) 独立同分布，存在口 o ，使得o e i b l 4 佃，且级 数( 2 3 1 ) 满足( 2 1 3 6 ) ，那么 咖r ”咖) = 瓦丽瓦高舞而丽a 坤3 1 5 ) ( o 口 要，o 妒 要) 证明由( 2 3 6 ) 式，我们有 咖r ( 咖和) = 瓦石蕊爿蠹瓣而而， 由e i j o w1 4 + ，类似于( 2 3 1 0 ) 式证明有 百 垫! 纽f 兰型! 再设 1 正- 忑型譬是_ a 3 ( 2 3 1 6 ) m + 。+ 。以c o s 口s i n 妒+ ，s i l l 口s i n 妒+ 白c o t 缈 、7 百 垫! 垒! ! “喇丸c o s p s i n 妒+ 以s i n 口s i i l 伊+ 白c o t 伊 “。 l i l i 吼i = l i m j _ = 竺型一 ”c o s 口s i l l 妒+ ，8 i n 口s i n 妒+ 鼠c o t p ( o 口 三，o 缈 三，当然他+ 嘎+ 寸m ，当_ i 寸。o 时) 由( 2 3 1 3 ) 式有 百 垫! 红f 兰型! 川+ 7 _ * 丸c o s 曰s i n 妒+ ，s i n 目s i n 妒+ 白c o t 妒 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 而 竺! 垒丛生竺! 生巫! 瑚c o s 口s i i l 妒+ ，s i n 口s i l l 伊+ 鼠c o t 矿 一1 ：一 l i l l i = l i m 二竺坚型l 二一 。c o s 口s i l l 妒+ ，8 i l l p s i i l 妒+ 钇。o t 矿 丽 l n i i + 1 1 m - = j u l 一 呻。c o s 口s i i l 伊+ ，ks i n 口s i n 妒+ 鼠c o t p 1 面_ 忑型阜如_ 懿 ( 2 3 1 7 ) ，一丸c o s 口s i n 妒+ 以s i l l 口s i l l 伊+ 白c o t 伊 、7 由( 2 3 1 6 ) 式与( 2 3 1 7 ) 式，定理2 3 2 得证 2 4 双随机d i r i c h l e t 级数的收敛性和增长性 考虑双随机d i r i c h l e t 级数 ，( j ，国) = 咒( m ) e 一咄。o = 盯+ i ) ， ( 2 4 1 ) 月= o 其中 口。) 是一列复数，盯，f 是实变量， 以) ， ) 是定义在完备概率空间( 刃，彳，p ) 上的随机变量序列，并且 o s 五 冯 o 使得 列瓦i 矿， 佃，剐瓦l 疗一9 ) 佃， ( 2 4 2 ) ”= 0 = o 用吒( m ) ，吒( ) ，吒) 分别表示级数( 2 4 1 ) 的收敛、一致收敛、绝对收敛横坐标 考虑d i r i c h l e t 级数 ，( j ) = 8 “厶， ( 2 4 3 ) n = 0 用吒，吒，吒分别表示这个级数的收敛、一致收敛、绝对收敛横坐标 本节的主要结果是下述定理 定理2 4 1 设 以 满足( 2 4 2 ) 若 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 ( i ) 舰去= t ； ( i i ) 而坦：d 矿 佃下， 由此推出 p ( n u i 以陲矿) ) = o ， p ( u n | zi 矿 ) = 即a - s v 国口，存在自然数l ( 国) ，当疗l ) 时，有 i 以( 功) | 矿 在条件削瓦降疗一9 佃下， 由此推出 p ( n u i 瓦降，一9 ) ) = o ， p ( u n | 以p h 一4 ) ) = 1 即a s v 力，存在自然数2 ( 国) ，当以2 ( m ) 时，有 l 以( 甜) p 胛一 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 取( 缈) = m a ) 【 1 ( 国) ，2 ( 国) ，则当玎 ) 时，有 ，1 1q 以( 彩) 峰， 证明定理2 4 1 对于级数( 2 4 3 ) ，由v 甜i r o n 公式1 得 吒吒吒甄掣+ 甄等= 瑚， 由引理2 4 1 及定理( i ) 得 吒( ) 吒( m ) 吒( 国) 面磊生咀旦：垄二尘m + 甄粤竽 ” ”。 s 面鼍掣+ ( 1 + p ) 面导：。， “州也”。止屯 因此级数( 2 4 1 ) 与( 2 4 3 ) 的( 一致、绝对) 收敛横坐标为m 扎s ，并且和函数，( j ) 为 整函数，厂( j ，珊) a s 为整函数” 下面证明级数( 2 4 1 ) 与( 2 4 3 ) 的( r ) - 级相同由【1 】中的定理3 2 1 知： 胤嗽p 铮甄器= 现在需证明，( s ，印) 有( r ) 一级p ( m ) = p ，即证 由( i ) 知 因此只需证明 由引理2 4 1 可得 ，p = o ， 一三，o p 佃， p o ，p = 佃 而警窑o ：而生尝告地 ( 2 4 4 ) l o g 五e 乃l o g e 、 而! ! g ! 堡丝l ：而垫g ! 生互la 且 一l o g 五e 五l o g e 乃 而! ! g l 鱼墨! ：而! 型生! 。矗 乃l o g e 五e 以l o g e 丸 西北工业大学硕士学位论文 。第二章收敛性 百鬲垫g ! 鱼兰。! 五i ! ! 量! 笠!+ i i i 翌垫堡竺 e 矗l o g e 厶e 矗l o g e 丸一呻”e 五l o g e 以 ：巫害掣型- 她 ( 2 岣 一一e 五- l o g 既 、7 以上我1 f j 诃佑j 坌半回上敢随羽ld l n c l l l e t 缴毅明收敛性和瑁长住，针对半平 面的情形，我们有下面的结论 定理2 4 2 设 咒) 满足( 2 4 2 ) ，若 ( i ) 舰去卅； ( “) 丽等：d 佃，面墨掣：咖； 丘以”丘 则级数( 2 4 1 ) 与( 2 4 3 ) 的收敛横坐标、一致收敛横坐标、绝对收敛横坐标都乱s 为 零 定理2 4 3 设 以 满足( 2 4 2 ) 级数( 2 4 1 ) 满足定理2 4 2 中的条件( i ) 和( i i ) ， 则 面i ! ! 曼：丝! 三：旦：面! ! 墨叫 4 4 0 + l o g 上 l o g e 五 证明定理2 4 2 对于级数( 2 4 3 ) ，由v 甜i r o n 公式1 1 得 。= 甄罨掣s 吒吒吒甄罨+ 囊筹= 。， 由引理2 4 - 1 及定理2 4 1 中( i ) 得 啦融( 邮删甄半+ 甄警 而粤掣+ ( 1 + p ) 丽导：o ， ”丘以”止 。：丽刿：而竺兰兰而堕l 生益盟l 丽竺耍量o ：丽刿：而：区i 而堕l 生益盟! + 丽：! 互燮! 塑! ! 三些盔堂堡主堂堡堡壅 蔓三兰些竺堡 面丝连擎型+ q 面业：丽生血型剑 一一e 五 1 一一e 一 五 吒( 脚) 吒( 彩) 吒( 凹) 因此级数( 2 4 1 ) 与( 2 4 3 ) 的( 一致，绝对) 收敛横坐标为零氛s 引理2 4 2 2 1 1 设d i r i c b j e t 级数( 2 4 3 ) 满足定理2 4 2 中的条件( i i ) ，则 甄警= 甄裂 亿4 回 “+ l o g 三 一l o g e 乃 、7 证明定理2 4 3 由引理2 4 2 知 丽堕丝孽：旦：丽! ! g l 堡益! 乱。 4 卅 l o g 土 l o g 矗 根据定理2 4 1 中( i ) 可得 而丝兰辈盟：而丝l 型t ! 。 4 4 0 + 1 0 2 土 l o g e 丸 由引理2 4 1 可得 而孥坚型面粤呈掣+ 而? 生旦坠：面生墨l 型。矗( 2 4 7 ) 1 0 9 职l o g 观j o g 巩l o g 砚 7 面粤掣：而兰掣面! ! 竖! & 墨l + 面竺壶 ” 。l o g 魄”一l o g e 五一4 ”l o g 五一一l o g e 甄墨掣+ 甄卷薏= 甄墨掣a s q a s ，一一l o g e l o g e 五一一l o g e 丸 、。 2 5 二重双随机d i r i c h l e t 级数的收敛性 关于级数( 2 4 1 ) 的收敛性和增长性，已经有了许多成果限1 ”田范基i ”利用强 大数定律和中心极限定理研究了双随机d i r i c l l i e t 级数的一些性质本节在相似的 西北工业大学硕士学位论文第二章收敛性 条件下来研究二重双随机d 试c l l l e t 级数，对以上有些性质进行了推广 设二重双随机d m c h l c t 级数 k ( 功) e 堋。h 舯， ( 2 5 2 ) m = lh ；l 其中j = 盯+ i f ，r = 孝+ 幻，盯，f ，善，智均为实数， 为一列复数， k ) 为概率空 间( 力，4 ，p ) 上的二重随机变量列， o 五 如 冯 厶个佃， o m 膨 飓 肌9 玎9 ) 佃 ( 2 5 3 ) 辨= l 胆l 用 ( p ，口，m ) ，彘0 ，口，) ) ，( 吒p ，曰，国) ，( f ，护，国) ) ，( 吒0 ，口，珊) ，彘( c ，口，) ) 分别表示相关有界收敛横坐标、相关一致收敛收敛横坐标及相关绝对收敛横坐标 考虑级数 用 厂( j ，r ) = e 一以一似 o = 盯+ i f ，r =