（流体力学专业论文）纤维悬浮流中两纤维直接相互作用的数值模拟.pdf

纤维悬浮流中 两攀竺矍望的掣塑 摘要 了纤维悬浮流的应用意义、研究历史与研究现状， 泛应用的细长体理论的基本原理及其应用进行了详 本论文的主要内容是根据p e t r i c h 和k o c h 实验观察到的结果， 对两纤维直接接触相互作用的过程建立了数学模型，增加了一个与 速度相关的阻力，并对这个附加阻力进行了详细阐述。在建立的数 学模型基础上，对两纤维直接相互作用的过程进行了数值模拟。在 模拟中，改变纤维的初始状态、长径比和比重以及流场的粘度等各 种参数，得到了这些因素对两纤维相互作用过程的影响。 在论文最后，经过综合分析各参数的影响，得到了一个能概括 半长度l 、半径r 、溶剂流体粘度v 和纤维比重p 这四个参数对纤维 直接相互作用过程影响的组合量川。 论丈首次用数值研究的方法探讨了多种参数对纤维间直接相互 作用的影响，对于深入了解纤维悬浮流的运动特性，进而指导工程 应用具有重要意义。 浙江大学硕士学位论z张志超2 0 0 1 1 2 n u m e r i c a ls i m u l a t i o no f t h em e c h a n i c a li n t e r a c t i o nb e t w e e n t w o c o n t a c t i n g f i b e r si nt h ef i b e rs u s p e n s i o n s a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，t h ea p p l i c a t i o n o ff b e r s u s p e n s i o n a n di t sr e s e a r c h h i s t o r ya r er e v i e w e da sw e l la si t sc u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o n s t h et h e s i s a l s od e m o n s t r a t e si nd e t a i l st h es l e n d e r b o d yt h e o r yt h a ti s w i d e l yu s e d u n d e rl o wr en u m b e rc o n d i t i o n s t h e m a j o r c o n t e n to ft h et h e s i si st os i m u l a t et h em e c h a n i c a l i n t e r a c t i o nb e t w e e nt w oc o n t a c t i n gf i b e r sa c c o r d i n gt ot h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t so b t a i n e db yp e t r i c ha n dk o c h t h ei n i t i a lm o d e ld o e s n ta c c o r d w i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sw e l lw i t h o u ta l la d d i t i o n a ld r a gi n c o r p o r a t e d i n t oi t t h ep o s s i b l es o u r c eo ft h i sa d d e dd r a gt e r mh a sb e e ni l l u s t r a t e di n t h et h e s i s a f t e r o b t a i n i n g t h en u m e r i c a im o d e lw h i c ha c c o r dw e l lw i t ht h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，w ec h a n g ea l lk i n d so fp a r a m e t e r ss u c ha st h ei n i t i a l s i t u a t i o n so ft h es e t t l i n gf i b e r ，t h er a t i oo f l e n g t ha n dr a d i u so f t h ef i b e r ， t h ef i b e r s d e n s i t ya n dt h ev i s c o s i t yo f t h ef l u i d ，e t c ，i no r d e rt os e et h e i r i n d i v i d u a li n f l u e n c eo nt h ei n t e r a c t i n gp r o c e d u r e a tt h ee n do ft h et h e s i s ，w ei n c o r p o r a t et h ei n f l u e n c e so fa l lt h ef o u r p a r a m e t e r s - - h a l f - l e n g t hl ，r a d i u sr ，v i s c o s i t yo ft h e f l u i dya n dt h e d e n s i t yo f t h ef i b e r p i n t oo n ec o m p o u n dp a r a m e t e r a 1 3 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 l1 2 1 1 引言 第一章绪论 纤维悬浮流是指固态的纤维包含在液体或气体中而形成的混合物，它涉及 到多相流和非牛顿流理论研究中的诸多难点。在流动中，流体与纤维相互影响， 同时纤维之间也互相作用。纤维的存在及运动影响了流体的性质，而纤维在流 体的作用下，也在不断的移动和转动因此，纤维悬浮流构成了一个复杂的动 力系统。 但是，这样的复杂问题却不能回避，因为纤维悬浮流的应用已经广泛地渗 透到了工业生产的很多领域中。例如在产品的加工过程中，加入纤维，可以强 化或改变流体的属性，从而影响成品的质量，有时，这种影响是巨大的。为了 更大地发挥纤维的作用，需要研究纤维悬浮流的运动特征以及纤维的运动和取 向，这样才有可能提供最佳的条件，设计和控制生产进程，使成品的属性朝着 期望的方向发展 纤维悬浮流的这些应用领域包括材料、化工和纺织等行业。在材料中，短 纤维的复合材料的成型和加工与纤维悬浮流的动力学特性密切相关，加工过程 中由流动诱导的纤维取向决定了成品的质量；在4 艺7 - - 中，聚合物是最常见的基 质，而纤维固状物代表了一大类聚合物，纤维在流体作用下的运动与取向、纤 维对流体的作用等都决定了聚合物的特性；纺织工业中，大部分纺织品的成型 与加工都是短纤维分组成束、成片的过程，纤维在气流中的指向、均匀度、绕 卷度、扭曲度等直接决定了成品的质地、强度和手感诸如此类的应用颇为广 泛所以进行纤维悬浮流的研究具有重要的实际意义 1 2 纤维悬浮流的描述 所谓纤维就是长度比直径大得多的粒子，长径比，= l d ( l 是纤维长度，d 为直径) 自然是它的一个重要参数 纤维悬浮流中纤维的浓度对悬浮流性质有重要影响，描述该浓度主要有两 个参数：纤维数密度n 和纤维体积百分数n 是单位体积悬浮流中的纤维个数 西是单位体积悬浮流中所有纤维粒子所占的体积，对圆柱状粒子悬浮流， = ( 等d 2 妒根据这两个参数我们可以对悬浮流进行分类： q a ) 当n l 3 l ，即以纤维长度为边长的立方体中纤维数少于1 个时，我们称 为稀悬浮流：此时矽 ( d l ) 2 4 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 11 2 b ) 当1 甩l 3 l d ，e 口d l n l 2 d 1 ，相应的( l a ) 2 1 时，悬浮流处于半浓或浓相。相应的妒 忆d ) 。 可见讨论浓或稀悬浮流时，不能单根据1 1 或值的大小来判断，对不同长 径比的悬浮流，区分浓还是稀，n 或谚值范围是不一样的。比如长径比较大时， 半稀悬浮流的定义范围要宽些。 纤维在最终产品中的分布方式对纤维复合物产品的力学、热以及电等方面 的性质有很大影响。所以纤维的取向特征有实际意义。对纤维取向的描述有方 向矢量、分布函数以及方向张量。 下图为单根纤维粒子的方向状态： 图1球坐标下单根纤维的方向和位置状态 方向矢量户可以表示成： ( s i n o c o s q 1 p = ls i n 0 s i n l l c 口j 为了描述大量粒子的分布状态，可以引入方向分布函数的概念。函数 妒皖，户，f ) 被定义为：v ；g , i t 、位置只处，在方向户上存在粒子的可能性，即概率。 这样，在d p 范围内，存在粒子的数目就可以简单地写为妒眈，户，f 舻。可见，分 布函数的概念既方便地描述了方向状态，又直接同粒子的数目联系在一起 根据分布函数的定义以及实际的物理意义，它必须满足归一化条件即各个 方向上的积分和为l ，即f 妒皖，户，f 舻= 譬譬4 伊p ，力耐行觎彤口= 1 分布函数能完全而明确地描述纤维的方向状态，但它实际应用起采很麻烦， 因此，可以引入另一种简明易用的量：方向张量 方向张量是这样定义的：以方向矢量户的分量纽成偶数阶的张量，如只只， f p 只只等，在各个方向下积分它们与分布函数的乘积，得到的结果即为一系 列的偶数阶方向张量，如： 浙；工上学硕士学位论之 张志超2 ( 川l 2 二阶方向张量： = f p 只妒p ：妒 四阶方向张量： c l q k i = f p 尸只只妒p 舻 这里之所以没有提及奇数阶的方向张量，是因为分布函数是偶函数，奇数 阶的张量积分结果为零。 1 3 纤维悬浮流研究综述 与牛顿流体不同，纤维悬浮流因纤维的存在而具有流变性。流变特性由多 种因素造成，一方面由于纤维与流体的相互作用“h y d r o d y n a m i c s ”，另外还有 非水动力相互作用“n o n h y d r o d y n a m i c s ”。当纤维悬浮流为稀相或半稀相时， 由于纤维之间很少接触，因此只考虑“h y d r o d y n a m i c s ”是合理的，但是，当纤 维较浓时，纤维之问的碰撞和相互摩擦很普遍，此时必须考虑“n o n h y d r o d y n a m i c s ”的作用。 l i3 1 稀悬浮漉理论 早期的理论研究局限于稀( 门p 1 ，d 1 ) ，转动周期大约0 0 1 ，) ， 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 11 2 因为沿流动方向时所受的力矩很小，为0 ( 2 l ) ，所以纤维的大部分时间将沿 流动方向。这样，纤维将在0 ( 1 ，) 这小部分周期里快速滑过在速度梯度方向投 影为o o ) 那样的取向位置。如果纤维没有沿任何特定方向排列的倾向，悬浮流 粘度将取o ( , u n l 3 ) 。然而不发生相互作用的纤维将有沿平均流方向的强烈倾向， 因此它们对应力的贡献只有( 7 1 n l 2 d ) 1 3 2 浓纤维悬浮流的谚 究 对稀相或半稀相纤维悬浮流，上面提到的理论或数值模拟结果通常能跟实 验较好地吻合实际上在这种只有水动力学相互影响的情况下，悬浮流的剪切 粘度因为纤维存在的增加非常小，可以忽略不计，因为此时，纤维将遵循上面 提到的j e f f e r y 轨道规则( 即纤维在犬部分时间内，沿流动方向) 。而只有当纤 维的取向在速度梯度方向有不可忽略的分量时，它们才对粘性耗散有重要贡献。 当浓度很高 s u n d a r a r a j a k u m a r 和k o c h ( 1 9 9 7 ) 】或流体为非线性 i - i a r l e n e ta l ( 1 9 9 9 ) 以至非水动力学相互作用( 如物理接触) 发生时，实验结果与纯水动力学理论 之间的矛盾才显示出来。对浓纤维悬浮流的数值模 g s u n d a r a r a j a k u m a r 和 k o c h ( 1 9 9 7 ) 表明，有效粘度的增加不只是由于纤维接触时的直接应力传递，还 在于纤维因碰撞而滑动的现象更加频繁纤维间的机械相互作用通过改变纤维 的取向分布以及在聚集纤维簇之间传递应力等机制将大大增加悬浮流的有效应 力 p e t r i c h ，k o c h 和c o h e n 2 0 0 0 】对浓悬浮流在高剪切率下的实验研究证实了 实际应力比仅考虑水动力相互作用的结果要大得多的预测但是纤维相互滑动 的频率和纤维方向的扩散比数值模拟预测的要小得多p e t r i c he ta l 认为这是因 为纤维的相互滑动会被纤维的排斥体积所抑制，而s u n d a r a r a j a k u m a r 和k o c h 在对细纤维的数值模拟中没有考虑这一点一般在雷诺数小到可忽略的流体中， 润滑力将阻止光滑粒子的接触但s u n d a r a r a j a k u m a r 和k o c h 的结果表明，当 粒子是长条形时，如纤维，这些力的效果并不明显最近p e t r i c h 和k o c h ( 1 9 9 8 ) 提供了低雷诺数下纤维粒子问机械接触的实验结果 浓悬浮流中纤维粒子之间的机械接触将带来很多非线性的流变性质，如有 限正应力差 c a r t e r ( 1 9 6 7 ) 】、屈服应力 b e n n i n g t o n e t a 1 ( 1 9 9 0 ) 、爬杆 z i r n s a k e t a l ( 1 9 9 4 ) 】以及剪切变稀 就剪切变稀而言，其机理目前还不是很清楚g a n a l i 和p o w e l l ( 1 9 8 5 ) i , & n 是由于作用在悬浮流溶剜流体某些部分的剪切率比平均剪切率要大引起的t 因 为这将使得溶刑的牛顿平台向低剪切率区漂移但这样的解释对在很大范围内 的都是牛顿流体的溶剂就不适应了b e n n i n g t o ne ta 1 则将长而有弹性的纤维粒 子悬浮流的剪切变稀归因于纤维之间的相互缠绕值得注意的是，即使考虑了 8 新江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 1 惶 c o u j o m b i c 摩擦力，s u n d a r a r a j a k u m a r 和k o c h ( 1 9 9 7 ) 4 1 , 没在他们对浓纤维悬浮流 的流变性质的数值模拟中发现剪切变稀。在更近的一次数值模拟中，s c h m i d e t a l ( 2 0 0 0 ) 得到了弹性纤维( 纤维很容易弯曲) 剪切流中结决的结果，但对直而 刚性的纤维没有。而m o h e n dc h a o u c h e 和k o c h ( 2 0 0 0 ) 则在他们的实验中发 现刚性非布朗纤维粒子悬浮流也会发生剪切变稀现象。 l ，3 3 纤维阃直接接触耦互作甬 由上节可知，随着纤维浓度的增加，非水动力学相互作用的影响越来越大。 所谓非水动力学相互作用( n q n h y d r o d y n a m i c s ) 主要就是纤维与纤维接触后的 机械相互作用( 包括摩擦力和粘附力) ，这种相互作用会极大地增加悬浮液的有 效应力，引起纤维悬浮流的许多非线性流变特性。 纤维接触后的粘性力可分成四种：表面触须之间的机械链结力；弹性纤维 弯曲引起的力；胶质力；以及表面张力。胶质力只在较低浓度时比较重要，弹 性纤维弯曲提供的法向力和摩擦力则在浓纤维悬浮流时占主导地位。 m o h e n dc h a o u c h e 和d o n a l dl k o c k ( 2 0 0 0 ) 实验测出了两刚性纤维闻存在 粘性吸引力，并且该力与溶剂流体粘度无关而对流体的化学性质很敏感，与纤 维长度无关而随直径的增加而增大对长36 m m ，直径2 7 ，5 a n 的纤维在硅油 中的情况，测得的粘性力为l3 1 0 4 s r a n d e r s s o n 和a r a s m u s o n ( 1 9 9 7 ) 研究了纸浆和人造纤维在空气或啦 中的摩擦特性他们发现表现摩擦系数在法向力小时较大( 这与经典摩擦公式 矛盾) ，于是提出了两种形式的对经典摩擦定理f - - u n 的修正： f = a n ”对纯弹性纤维n = 2 3 ，纯塑性纤维n = i f = r n + f of o 是与法向力无关的附加粘性力 实验测得摩擦系数在干摩擦情况为0 , 4 0 6 ，湿摩擦时范围是o 6 08 。c 在干摩擦情况大约是o 0 1 m n ，在湿摩擦时的范围是00 2 0 0 6 m n sra n d e r s s o n 和a r a s m u s o n 在测量摩擦力的实验中还观察到了纤维之间 的粘滑现象“粘滑”是界于静摩擦和动摩擦的中间状态，要出现“粘滑”运动， 有三个必要条件：粗糙表面、与速度有关的摩擦力以及动静摩擦状态的转变 p e t r i c h 和k o c h ( 1 9 9 8 ) 实验观察了低雷诺数下两根纤维从相互接触、彼 此滑动到相互分离的全过程，用摄象机记录下了运动纤维的位移和倾角随时间 的变化情况 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 11 2 1 4 本论文工作 由上面的丈献综述部分，我们知道目前对纤维悬浮流的研究已经从最开始 的稀相悬浮流理论发展到了对半浓或浓纤维悬浮流的研究。而浓相纤维悬浮流 中纤维粒子之间的直接相互作用对悬浮流将产生很大影响，因此弄清该种相互 作用的一些本质特征以构建浓悬浮流模型，成为当前纤维悬浮流研究领域的一 大热点之一。 本论文将根据p e t r i c h 和k o c h ( 1 9 9 8 ) 的实验结果来构建两纤维相互作用 的数值计算模型，在验证模型可行的前提下改变纤维及流场参数，得到一些普 遍规律。 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 11 2 参考文献 1 】s u n d a r a j a k u m a rrr ，k o c hdls t r u c t u r ea n dp r o p e r t i e so fs h e a r e df i b e r s u s p e n s i o n sw i t hm e c h a n i c a lc o n t a c t s ，n o nn e w t o n i a nf l u i dm e c h ，19 9 7 ， 7 3 ：2 0 5 2 a n d e r s s o nrs ，r a s m u s o nad r ya n dw e tf r i c t i o no fs i n g l ep u l pa n ds y n t h e t i c f i b e r s ，p u l pp a ps c i ，19 9 7 ，2 3 ：j 5 3 p e t r i c hmp ，k o c hd li n t e r a c t i o n sb e t w e e n c o n t a c t i n gf i b e r sj d 矗胪i c so f f l u i d s a ，1 9 9 8 ，1 0 ( 8 ) ：2 111 4 l e ei f r i c t i o na n da d h e s i o no fs i l i c af i b e r si n l i q u i dm e d i a ，m a t e r s c t 1 9 9 5 ，3 0 ：6 0 1 9 5 b a t c h e l o rg kt h es t r e s ss y s t e mi na s u s p e n s i o no f f o r c e f r e ep a r t i c l e s ，f l u i d m e c h ，1 9 7 0 ，4 1 ：5 4 5 6 b a t c h e l o rg k t h es t r e s sg e n e r a t e di nan o n - d i l u t e s u s p e n s i o no fe l o n g a t e d p a r t i c l e sb yp u r es t r a i n i n g m o t i o n ，f l u m m e c h ，1 9 7 1 ，4 6 ：8 1 3 7 】d i n h s m ，a r m s t r o n grc ar h e o l o g i c a l e q u a t i o n o fs t a t ef o rs e m i c o n c e n t r a t e df i b e rs u s p e n s i o n ，r h e o l ，1 9 8 4 ，2 8 ：2 0 7 8 s h a q f e hes ，f r e d r i c k s o nghh e a ta n dm a s st r a n s p o r ti nc o m p o s i t e so f a l i g n e ds l e n d e rf i b e r sp h y s f l u i d sa19 8 9 ：1 9 】s h a q f e hes ，f r e d r i c k s o ngh t h eh y d r o d y n a m i c ss t r e s si nas u s p e n s i o no f r o d sp h y s f l u i d s a1 9 9 0 2 ：7 10 】d u r l o f s k y ，j f b r a d yd y n a m i cs i m u l a t i o no fh y d r o d y n a m i c a “yi n t e r a c t i n g p a r t i c l e s ，f l u m m e c k ，1 9 8 7 ：2 1 1i 】m i c h a e l b m a c k a p l o w an u m e r i c a l s t u d y o fr h e o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f s u s p e n s i o n so f r i g i d ，n o n - b r o w n i a nf i b r e s ，f l u i d m e e k ，1 9 9 6 ：1 5 5 12 】m i c h a e lbm a c k a p l o w r h e o l o g yo fn o n b r o w n i a nr i g i df i b r es u s p e n s i o n s w i t ha d h e s i v ec o n t a c t s j r h e o l 2 0 0 1 ，4 5 ( 2 ) ：3 6 9 浙江大学硕士学位论文张志超2 0 0 11 2 第二章细长体理论 2 1 引言 所谓细长体是指长度( 2 1 ) 远比其截面尺寸( 2 尺。) 大的长直物体，其截面形 状可以是任意的。当细长体在流体中运动时，未受扰动的流体对细长体的相对 速度在细长体做平移运动时是各点一样的， - 3 细长体做转动或者周围流场做纯 拉伸时，相对速度则是沿细长体长度的函数。在雷诺数很小的情况下，惯性项 可以忽略。这时细长体对流场的影响可以用一串斯托克斯小涡环来表示，这串 斯托克斯涡环将诱导一个速度场，该速度场在物体表面要满足无滑移条件，由 此条件便可解出斯托克斯涡环力在细长体上的线分布，然后沿长度方向积分便 可得出用来维持细长体平移运动所需的力、维持细长体转动所需的力偶以及细 长体放置于拉伸流场时所受的纯剪切力等等。这便是细长体理论应用的中心内 容。 在只需一阶近似时，斯托克斯小涡强度分布f ( x ) 与细长体截面形状无关， 大约是, u u e ，这里u 是流体对细长体的相对速度，小量s = ( 1 0 9 2 1 r 。j 。在 高阶近似中，f f x ) 则与细长体截面形状及其沿长度方向的变化情况都有关。通 过研究细长体某部分附近的流场，以及它必须满足与外部流场( 由整个细长体 决定) 平滑拼结这个连续性条件，我们发现对特定截面形状及特定截面大小， 在所有的纵向相对运动情况下可以等价于某半径大小的圆，在所有的横向相对 运动中则等价于某长短径大小及取向的椭圆该等价圆或椭圆的参数可以分别 从调和或双调和方程的边界值问题中得到 “细长体理论”最先是由b u r g e r s ( 1 9 3 8 ) 提出来的，但是此后很多年都没再 引起人们的注意直到1 9 6 0 年，b r o e r s m a ( 1 9 6 0 a ，b ) 才对b u r g e r s 提出的基本理 论形式做了些小改动，此后该理论一步步得到完善 t u c k1 9 6 4 ，1 9 7 0 ；t a y l o r1 9 6 9 ； c o x1 9 7 0 a b ：t i l l e t t1 9 7 0 但所有这些人的工作都只考虑了圆形截面的情况， 而实际应用中的细长体- j - 以是任意截面形状的于是b a t c h e l o r 在1 9 7 1 年把细 长体理论的应用扩大到任意形状的截面，这便形成了迄今为止仍在广泛应用的 细长体理论下面详细介绍它的基本理论及应用 2 2 理论基础 细长体上采小段对周围流场的影响由它作用在自己那一小段边界上的力引 起，而斯托克斯涡环就是用来代表作用在斯托克斯流场中某点上力的影响的， 固此我们认为斯托克斯流中一个细长体存在所造成的扰动可以由适当选择的一 翌垩查兰堡主兰焦堡茎羔薹堡1 _ 三! ! ! 旦 串斯托克斯涡环来等价。 在一个没有其他运动来源的无限流场中，当有一个力f 作用在原点时，在 忽略惯性力的情况下，将产生诱导速度场： 这里“是流体粘度。相应的涡量场为： a 刚 4 z , u 。驰缸t ( 2 2 一1 ) 可见速度和涡量都随侧斗o 。而快速递减，因此当分布在一， r ，上的斯托克 斯涡环力线密度为f r x j 时，所引起的i 处的诱导速度为： 峒= 壶j = ， 毒舞 ( 2 - 2 2 ) 这里7 2 2 x z 2 + x ；x x ；= o ， 墨和x ：尽可能用z 和x 来代替。各坐标的意义 如下图所示： 细长体表面上某点对应的r 为： r = 尺似，x j 这里t a l l = x 3 x 2 ，对细长体| r ， 1 截面形状可能与x 有关 我们把坐标轴固定在细长体上，在截面x 处流体的未受扰动速度( 就是假设 堕阿仫情 生咖 一 汰 ，糍兰缸 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 t1 2 物体不存在时流体所应具有的速度) 记为一u r z j 。当物体在静止的无限流场中 以ur 己，u ，j 平动时，细长体表面各点的u 矢量都相同；当细长体绕其中点 以规则的速度( 0 ，力：，q ) 转动时，则有u = r o ，q x ，一力：x j ；当物体浸在拉伸 率为f ，( 方向沿细长体长度) 的纯拉伸流中时，相应的u = r 一毛，z ，0 ，o j ，拉伸方 向与细长体长度垂直时，细长体对流场的影响可以忽略不记。 为了满足无滑移条件，在物体表面的流体最终速度百( x ) + ( 一u ( x ) ) 应该为零。 因此代表斯托克斯力线密度的未知函数f ( x j 盛须适当选择以使得其诱导的扰 动速度u r x j 与未扰动速度叽7 x j 在物体表面各点恰好相等b u r g e r s ( 1 9 3 8 ) 对固截 面细长体把f ( x j 写成一个低阶多项式，选取系数使边界条件满足得最好； b r o e r s m a ( 1 9 6 0 a ，b ) 通过增加多项式的阶数完善了这种方法 通常，只通过线性分布斯托克斯涡环不可能使物体表面所有点都精确满足 无滑移条件。即使在轴对称的情况下，通常也需要增加斯托克斯小力偶或更高 阶的奇点但我们也看到，当物体足够细时，无须显示引入其他高阶奇点就能 获得某阶近似的斯托克斯涡环分布并且许多我们感兴趣的流场参数( 如物体维 持特定运动而施加给流体的总力矢或力矩) 可以只通过斯托克斯涡环力分布而得 到 2 3 斯托克斯力一阶近似解 ( 2 - 2 1 ) 式表示的积分方程在0 = u ，p = r ，的边界条件下无法直接求解。但 是我们可以采用渐进的方岳俾，_ o j ，考虑以下积分式： 卜f ：舌舞， 我们发现，l 1 时，a t ： 。工善筹忙叫，2 ， ，az 姆若+ z 垤警 l j * 2 i i a0 1 ：* i 一2 其中，i ；的误差为r 2 ，2 阶，而i f 的误差为r l 阶 一个长度值在下面的分析中有一个特征小量： ( 2 - 3 一1 ) 民是代表物体截面的 占= ( 1 0 9 2 1 r 。 当斯托克斯力线密度为常数时，在满足， 1 的点，由( 2 - 2 1 ) 和( 2 3 1 ) 可得诱导速度为： 1 4 浙江大学硕士学位论文 f r “小引扣 张志超2 0 0 l1 2 + 6 , 1 耻晶+ 等f ( 2 - 3 - 2 ) 其中，是横向平面上的矢量，上式中右边起决定作用的是含1 s 的项，于是 州i ) z 去e + 6 , 1 f + j f i o ( s ) ) 可见取均布斯托克斯力线密度为如下值 只= 2 ：r c 6 , u u l ，f = 2 ； r 6 , u u ，( i = 2 ，或3 )( 2 - 3 3 ) 则正好对应物体在流场中以( u 。，u ：，u ，) 平动，此时物体施加在流体上的力为 胁z + 彬= 毒 吉铷+ 铷+ - u z6 似s ) ) ( 2 - 3 - 4 ) 这里r 。可任意选定，只要与物体宽度相当选择不同的r o 只影响上式中的误差 项。可以看到对横向运动的阻力是纵向运动阻力的2 + 0 p ) 倍。 s - t l u | 随x 线性变化的情形我们可以类似的解决先看下面的积分式： = ；j 二， x a k b ) 2 + ，2 声 在， 1 的情况下 一斗 o 2 x l ，j i 0 ，2 一( 2 x 1 ) 0 = o ，1 ，2 ) 其中，厶，j ：的误差为，2 ，2 阶，而j f 的误差为r l 阶于是当斯托克斯力分布 给定为： 巧( z 。) 8 掣= 一i 1p 。麟，e = o ，只= 。，( 2 - 3 - 5 ) 时，在满足r 1 1 的位置上有 u 。c i ，* 一e 。x 一卯，。x - 。s ( 1 一x 2 l 2 ) 2 r r o ( 2 - 3 6 ) 。警 出一乒 丝 堕州 k n t ：紫 昭 2+ “一心 昭 2 ，叫刀0 、引可 一 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 11 2 可见( 2 - 3 5 ) 所表示的斯托克丝力分布正好是任意截面形状细长体浸在纯拉伸 ( 拉伸率为p 。且沿杆向) 流场中的结果在此我们感兴趣的是的一阶积分力 矩，其加负号的形式被b a t c h e l o f ( 1 9 7 0 ) 叫做细长体的小应力： 一二，芏( r ) 出= j i ：；笔；戋= - f 1 + 。( 占) ( z 一，一，) = 0 ， f ( x ) 8 n - , u = 寺x q j s l v ( f ，= 2 ，3 ) ( 2 - 3 8 ) “砂叩十喾乜+ 等) ( 2 - ，圳 静止的流场中绕其中点以角速度( 0 ，q ：，q ，) 转动的情况并且物体作用在流体 f ，s ，。，x 一( x 。) 出+ = j ；i 笔；专i 垂+ 。( s ) 综上所述，式( 2 - 3 3 ) 、( 2 - 3 5 ) 和( 2 - 3 8 ) 分别代表了细长体在流体中 平动、静止在纯拉伸流体中以及在流体中转动这三种简单情况下的斯托克斯力 线密度分布而式( 2 - 3 4 ) 、( 2 - 3 7 ) 和( 2 - 3 1 0 ) 正是我们感兴趣的物体对 流场的作用力公式这些公式不受截面形状、截面大小以及截面形状沿长度方 向变化规律等的影响 2 4 高阶近似解 2 4 1 导吉 上一节得到了细长体在流场中平移或转动时将施加给流场的作用力，其反 作用力，即流场施加给物体的力，就是我们所希望求得的然而上节的公式都 是在满足，r 大到使f 远小于l 这个前提条件之下得到的由i r 。= 1 0 ”时， g = ( o6 9 + 2 3 0 胛) - 1 可知n 必须远大于l 才行而实际应用中纤维的长径比一般 为3 0 1 0 0 ，对应的s 为o 2 4 5 0 1 9 ，可见并不是很小，所以一阶精度远远不够， 我们曲须寻求更高阶近似解 浙江大学硕士学位论文 张志超2 0 0 ij 2 从上一节我们看到，当斯托克斯力分布为常数或是x 的线性函数时，其诱 导速度的一阶近似解在满y - r l l 的点上随r 的变化关系刚好一样。这种特性 对另外形式的平滑函数f ( z ) 同样存在。我们来看( 2 2 2 ) 式中的第一个积分式： 芒蔫- e ( x ) i + f ，鬻，( 2 4 _ 1 ) 其中的，在， 1 的情况下，近似为2 1 0 9 ( 2 ( 1 2 一x 2 1 i r 。t u c k ( 1 9 6 4 ) 研究了 上式中最后那个积分式后，认为删去分母中的，2 产生的误差为f i f 2l 。8 7 r 量级。 只要f ( x ) 及其一阶微分有限并且分段连续，则f ( 功的任意阶微分都不会大于 i f i ( o2 ，因此在r l 1 时我们可以写成 f三 f j 高舞娟协o s 警 + f f 竿产，( 2 - 4 - 2 ) 其误差至少跟任何r l 的某正数次方一样小，从而比( 1 0 9 2 l r ) - 1 的任何次方要 小。 对( 2 2 2 ) 式中的后一个积分式，同样有： f f 篱镰f f 藩啦绀2 孙( 2 4 3 ) 其中的最大近似误差为t i 堡a x l l 三ll 。g ；阶于是，诱导速度可以写成 驰去胁o s 哮卜嘏m 把学 p 。q + 扔m 一，r ，警， 它可以近似到( 1 0 9 2 l r ) 。的任意次方 ( 2 - 4 - 4 ) 式与边界条件：u ( 譬) = u ( 更) ，( ，= r ( 庐，x ) ) 一起就构成了求解近似 7 浙大学硕士学位论文 张志超2 0 0 11 2 到任意阶占的f ( x ) 的基础，f 的一阶项即为( 2 - 3 2 ) 式所示，以此为起点迭代 进行，可以依次决定其他各阶f 的系数。 例如对某个只有纵向运动的圆截面细长体，设尺，和r 。分别是位置x 和x = 0 处的截面半径，在纵向其表面的无滑移条件为： 。删蝴卡z 吨絮卜斧出， 如果已知未受扰动速度为如下形式：u ( x ) * x ”( n = 0 或者1 ) 则可直接解出斯托克斯力线密度为： 肫脚删卜2 卜崦矧删胁卜卜引 到满足整个表面无滑移条件的斯托克斯力线密度f ( 功这点我们改变一下方程 姒矿= 去卜“删唱等母f + g 鼬) p 。6 ) 引加卜祥卜_ 如氏，笮r r 。定义为x 处截面周长除以2 z ，r = 尺r ，x j 可见g ，( 曲跟r 无关，但( 2 - 4 - 6 ) 式右边项跟r 有关如果是非四截面，( 2 4 - 6 ) 式右边项会随方位角的变化 而变化不可能找到能够消除这种变化的斯托克斯力线分布f ( x ) 要解决这个 矛盾，秘须改为将斯托克斯力看作分布在整个物体表面才行，这样速度公式变 以选择一个较为简单的等价方法，即通过在x 轴线上增加两阶奇点、四阶奇点 n 阶( n l 对应于斯托克斯力) 奇点诱导的速度场以距离的( - n ) 次方衰减。当 浙江大学硕士学位沦文 张志超2 0 0 11 2 h 2 时，在满足，l 1 的点上，速度主要由附近x 轴上的各种奇点诱导，并 且各种奇点的贡献随r r ：斗m 以( r r ，) 的速度衰减。于是当物体细到存在同 时满足，l i 的区域，则各种奇点在该区域诱导的速度有以下重 要特点：( 1 ) 它主要由( 2 - 4 6 ) 给出的斯托克斯力( 即一阶奇点) 决定，( 2 ) k 轴上 其他各种高阶奇点的影响只来自于临近的轴段 我们假定物体截面形状变化足够缓慢，使得细长体桌部分的t 临近区域一一 我们称之为“内部流场”一一近似与x 无关。内部流场呈圆筒状，下面分别讨 论纵向运动和横向运动情况下的“内部流场”。 2 4 2 纵向运动鼹的内部流场 所谓纵向运动，我们指的是相对物体的未受扰动流体速度一矛( x ) 与细长体长 度方向平行。即矿= ( u ，o ，o ) ，u 可能为常数或x 的线形函数。细长体存在时的 流体速度为磊( z ) ，在细长体表面上满足为0 的边界条件在物体巢部分的临近 区域，i 大致为( “，o ，o ) ，且“。不随x 变化我们在这样的圆筒流场中考虑“。对 横截面平面上坐标分量( y ，z ) 的变化控制方程为： a 2 珂却2 + a 2 巧瑟2 = o 这里= ( o ，乱。昆，一锄l 砂) 为涡量，物体表面是涡量的来源，；窿- - r l r 。 1 时有 相应的速度为 驴毛( - o s 争一。c 铡 p 。固 于是对截面周长为2 积。，每单位长度上的纵向力为只的某部分细长体，其 “内部流场”满足这样的方程： o z u i 勿2 + o = u 1 出2 = 0 而边界条件为：( 1 ) 在