（流体力学专业论文）基于复合形方法的翼型优化设计及并行计算研究.pdf

西北工业大学硕士论文 摘要 本文将流场分析程序、复合形优化方法和并行计算耦合起来，发展了一种工 程实用的翼型优化设计方法，用以提高翼型在单个或多个设计点、多种约束条件 下的气动性能。 本文采用基于n s 方程的流场计算程序来求解流场，得到升力系数、阻力 系数、力矩系数等气动参数，并以其中某个或某些参数构成目标函数。优化设计 从一个基本翼型开始，将光滑的几何扰动叠加到基本翼型表面上，形成新的翼型。 利用h i c k sa n dh e r m e 型函数生成几何扰动量，以型函数的权系数为设计变量， 以某些参数为约束条件，提出优化问题。对于多目标优化，通过对各个目标的权 重组合实现单目标化，利用复合形优化方法对形成的目标函数进行最优化，从而 得到具有良好气动性能的翼型。 对于多目标优化设计，采用基于m p i 平台的并行计算策略，针对各个不同 的设计点，分别分配不同的计算机c p u 进行流场计算，然后将计算所得的参数 传递给主机，由主机进行优化过程的计算，提高了优化设计效率。 流场分析程序采用雷诺平均的n s 方程，提高了计算结果的可靠性。优化 算例研究表明，本文发展的翼型优化设计方法效率高，整个优化过程稳定：因 而在工程实际上有较大的应用价值。并行算例表明，本文发展的并行计算思想可 以成功运用于多目标的优化设计，使计算效率得到了较大提高。因而本文发展的 优化设计方法和并行计算思想在工程实际中有较大的应用价值。 关键词：复合形优化方法并行计算n s 方程多目标优化设计 西北工业大学硕士论文 a b s t r a c t a na i r f o i l s h a p ed e s i g n m e t h o dt h a t c o u p l e sv i s c o u s f l o wa n a l y s i s ，a c o m p l e xm e t h o da n dp a r a l l e lc a l c u l a t i o n i sd e s c r i b e di nt h i sp a p e r n 把m e t h o di s a p p l i e d t os e a r c ha l la i r f o i lg e o m e t r yw i t hi m p r o v e da e r o d y n a m i cp e r f o r m a n c ea t s i n g l e o r m u l t i p l ed e s i g n - p o i n t w h i l et h es p e c i f i e d d e s i g n c o n s t r a i n t s b e i n g s a t i s f i e d n 幢a e r o d y n a m i co b j e c t i v ef u n c t i o ni s d e s c r i b e da ss o m ea e r o d y n a m i c p a r a m e t e r sg a i n e db yr e y n o l d s a v e r a g e d n se q u a t i o n s ，s u c ha s - t h el i f t ，t h ed r a g ， t h er a t i oo fl i f tt od r a go rt h ep i t c h i n gm o m e n t ，e t c t h eo p t i m u mp r o c e s si s s t a r t e db yab a s ea i r f o i l t h ea l r f o i l g e o m e t r yi sm o d i f i e db ya d d i n gal i n e a r c o m b i n a t i o no fh i c k sa n dh e n n ef u n c t i o n s as e r i e sc o c f f i c i e n t so fs h a p e f u n c t i o n sa r ed e f m e da s d e s i g nv a r i a b l e s t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mc a l l b e d e s c r i b e da st h e a e r o d y n a m i co b j e c t i v e f u n c t i o na n dt h e d e s i g nv a r i a b l e s c o n s t r a i n e db ys o m ep a r a m e t e r s m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e mo ft h i s p a p e ri st r a n s f o r m e di n t oas i n g l e o b j e c t i v ep r o b l e mb yw e i g h t i n gt h eo b j e c t i v e f u n c t i o n so fd i f f e r e n td e s i g np o i n t s t h e nt h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni si m p r o v e db y t h ec o m p l e xo p t i m u mm e t h o da n dt h em o s ta e r o d y n a m i c a l l yf a v o r a b l eg e o m e t r y t h a tb ep r o v i d e dw i t ht h eb e t t e ra e r o d y n a m i cp e r f o r m a n c ei so b t a i n e d i no r d e rt oi r e p r o v et h ee f f i c i e n c yo f t h e m u l t i - p o i n to p t i m i z a t i o np r o b l e m t h ep a r a l l e lc a l c u l a t i o nb a s i n go nm p ii sa p p l i e d d i f f e r e n tc p uo ft h ew e bi s a l l o c a t e dt oc o m p u t et h ef l o wf i e l dc o r r e s p o n d e dw i t ht h ee v e r yd e s i g n p o i n t ，t h e p a r a m e t e r sa r et r a n s f e r r e dt ot h em a j o rc p u i nw h i c ht h eo p t i m a m p r o c e s si sr u n t h ef l o wi sm o d e l e dw i t hr e y n o l d s - a v e r a g e dn se q u a t i o n si no r d e rt o g a i nr e l i a b l ed e s i g nr e s u l t s s e v e r a lo p t i m u me x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt h a tp r o v e t h ec o m p l e xo p t i m u mm e t h o di nt h i sp a p e rr u n se m c i e n t l ya n dr o b u s f l y t h e p a r a l l e le x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt h a tp r o v e dt h ep a r a l l e lc a l c u l a t i o ni se m p l o y e d i nt h em u l t i - p o i n to p t i m i z a t i o np r o b l e ms u c c e s s f u l l ya n dt h ep r e f e m b l ee f f i c i e n c y i so b t a l n e d t h i sm e t h o dd e s c r i b e di nt h i sp a p e rc a nf i n di t sa p p l i c a t i o ni na i r c r a f t i n d u s t r y w h e ni ti s e m p l o y e d t o i m p r o v e t h e a e r o d y n a m i cp e r f o r m a n c e c h a r a c t e r i s t i c so fa ne x i s t i n gb a s e l i n ea l r f o i lt om e e ts p e c i f i e d e n g i n e e r i n g r e q u i r e m e n t k e yw o r d s ：c o m p l e xo p t i m u mm e t h o d p a r a l l e lc a l c u l a t i o nn s e q u a t i o nm u l t i - p o i n to p t i m i z a t i o np r o b l e m 2 西北工业大学硕士论文 第一章绪论 1 1 翼型优化设计的背景、意义 设计具有诸如高升力低阻力等优秀气动性能的翼型对于飞机、导弹、叶轮机 械、螺旋桨等具有重要的意义，传统的翼型设计方法主要是根据已有翼型的实验 资料和一些具有许多简化和经验成分的翼型理论进行剪裁建材修正和实验论 证，这些方法费时费力，要求设计人员具有丰富的经验和专业知识，也不便于考 虑粘性、激波等因素。随着现代空气动力学的日益复杂化、精密化和高效化，许 多气动翼型已经超出传统翼型的适用范围，而且现代设计周期越来越短，这类方 法面临着严峻的挑战。 近几十年来，计算流体力学( c f d ) 成为流体力学空气动力学领域当中发展 最快的方向之一，c f d 和计算机的长足发展为气动研究和设计带来许多新的变 化，由于c f d 快速、经济、可以定量、精细和任意瞬时的描述流场及其气动效 果，可以方便的改变物体形状和流动参数。进入7 0 年代后，计算流体力学的蓬 勃发展为翼型和机翼的设计提供了崭新的手段：把之前由风洞里的实验变成了计 算机上的迭代。先用计算流体力学进行大量的数值选型试验，最后再经过少量的 风洞试验进行校核，逐渐发展成为翼型设计技术上的一个主流。 因而利用c f d 进行气动设计便成为c f d 的重要研究方向之，希望通过它 能真正实现完全自动化和最优化的气动设计。这对于气动工程及其他方向的设计 问题也具有十分重要的意义。 实际上，伴随着c f d 及计算机的快速发展，科学家们提出了气动设计的一 些新概念、新方法，从而取得了初步的、可喜的成果，这些方法都是依靠c f d 、 计算机技术和最优化理论的。一般的。可以将这些方法分为两类： 一类是反设计方法“2 。“圳：另一类是直接数值优化设计方法“。5 。“”，简称 为最优化设计方法。反设计方法是首先给定希望达到的气动状态( 如压力分布) ， 再通过几何和流动控制方程，逐步逼近给定的气动状态，从而求得满足给定流场 的翼型来；而直接数值优化设计方法将c f d 同最优化方法结合起来，通过几何 形状的不断修正来寻求目标函数( 如升力，阻力，力矩等) 的极值，从而完成最 优化设计。 反设计方法和数值优化设计方法都是新的气动设计方法，能够通过计算机实 现自动、优化的气动设计，省时省力，可以有效地提高气动特性，克服了传统翼 型设计的许多缺点，具有广泛的应用前景，近几十年来的研究已显示其特有的能 力和潜力，因而受到全世界的普遍重视。 1 2 并行计算在流场求解上的实施 在新的设计方法产生和不断应用的同时，由于设计当中计算量越来越大，往 往使需求远远超过目前计算机的计算能力，为了解决这个矛盾，人们提出了并行 西北工业大学硕士论文 计算的思想。近些年来，世界上和我国的高性能并行计算机的发展己取得长足的 进步。使得以前许多无法求解和研究的问题现在已经成为可能，随着计算机技术 和计算方法的飞速发展，当今几乎所有的学科均趋向定量化和精确化，但是仍不 能满足需求。向量机的出现使得单机速度提高了一个数量级，而采用大规模的并 行使计算的速度提高了几个数量级，在进入九十年代后期，利用并行计算已经成 为国际研究的前沿课题之一。利用微机网络进行并行计算”9 。”“”l = 】一经出现就 格外受到计算流体力学工作者的关注，这种方法的优点是：( 1 ) 、投入比较低， 只需要微机的联网即可。( 2 ) 、可以得到较高的计算效率，使得个人的超级计算 成为可能。 根据并行的硬件环境来说，目前常见的并行计算一般可以分为多c p u 的并 行计算和多网络并行计算。从并行实现的软件环境而言，可以分为两类：一类是 基于支持特定机器的并行软件，例如v i s u a lf o r t r a n ；另一类是借助第三方软件进 行并行计算，典型的平台如p v m ( p a r a l l e l v i r t u a lm a c h i n e ) 、m p l ( m c s s a g e p a s s i n g i n t e r f a c e ) ，这两种软件都是公开软件，已经广泛应用于各行各业，本文的并行计 算属于这类方法，并且以m p i 为平台。 另一方面，现代飞机设计概念的不断更新和计算流体力学自身的不断发展， 使得计算流体力学研究的问题越来越复杂：一方面是流场的控制方程从简单到复 杂，从速势方程、e u l e r 方程、n a v i e r - s t o k e s 方程，另一方面是计算的构型也在 从简单到复杂的变化，特别是利用计算流体力学流场分析软件进行数值优化设 计，有可能上千次的调用流场分析软件，使得计算量更加惊人。因此国内外c f d 工作者都把目光投向了并行计算。 真实流动的数值模拟需要大量的内存和c p u 时间，并行计算技术的出现极 大的减少了复杂流动数值模拟的时间，国内外的计算流体力学工作者已经把目标 投向了流场计算和并行计算的结合上，并开发出相应的计算流体分析软件，都借 助于p v m ，m p i 等并行平台，从而使得许多过去认为在计算规模上难以实现的 流体力学问题现在也逐渐成为可能，节省了大量的计算时间。 1 3 本文的工作内容 ( 1 ) 、实施准确、高效、可靠的翼型流场计算 对翼型进行优化设计，必须通过计算翼型的绕流场来确定对翼型的优化是否 达到了预期的目标，所以，对翼型绕流场的计算的精确模拟是优化翼型气动特性 的基础，而为了能够更加精确的对流场进行模拟，翼型绕流场的控制方程由全速 势方程升级为欧拉方程乃至n s 方程，在进行翼型优化设计的过程当中，每进 行一次优化，就得重新调用流场计算程序，所以，为了加快计算的速度，缩短设 计所用的时间，其中关键的一步是必须提高流场分析程序的计算效率，与此同时， 在优化的过程当中要对形状各异的翼型进行优化，因而，这就要求流场计算程序 对不同的初始翼型具有较强的适应性。 本文采用雷诺平均n s 方程作为翼型流场的控制方程，n s 方程考虑了流场 中粘性的作用，能够模拟所有重要的物理现象。对n s 方程，采用格点格式的 有限体积法进行空间离散，可以提高空间离散的精度，采用五步龙格一库塔公式 进行时间推进，其中湍流模型选用了b a l d w i n - - l o m a x 模型。1 ，并且在进行计算 2 西北工业大学硕士论文 的过程当中引入了人工粘性，采用了加速收敛的措施，为了能够较大的加快计算 的收敛速度，还采用了多重网格技术。“。 ( 2 ) 、研制和发展出一种适用于翼型设计的优化方法 首先，由于空气动力学问题具有较高的非线性和复杂性，而有时候，要优化 的目标函数的性质我们并不清楚，这样就要求所采用的优化算法像翼型流场计算 程序一样有较好的适用性，能够优化各种不同的目标函数。 其次，由于流场计算程序本身就十分耗时，若采用的优化算法效率不够高， 就会过多的调用流场计算程序，从而使整个翼型优化设计过程收敛速度变慢，所 以，要求所编制的优化设计方法程序能够尽可能少的调用流场计算程序。 当前的最优化设计方法可以分为两种，一种是在计算迭代过程当中需要频繁 的计算目标函数的梯度，如最速下降法“5 “”1 ，共扼梯度法“，牛顿法n “ ，还有用于解非线性规划问题的序列二次规划法。“”。等等，而在工程计算当 中，梯度的计算往往很困难；另一种方法是非梯度优化算法，如遗传算法“1 ” “2 ，模拟退火算法。3 2 “删，复合形法“”3 ，信赖域法“7 ”，这些算法的优点 是通用性强，不必求目标函数的梯度，其中前两种算法又能得到全局最优解，但 其缺点是要大量的调用流场计算程序，从而使得计算的收敛速度变慢；另外，近 年来出现了基于控制理论的优化方法“2 “，这类方法把物体边界函数作为控制函 数，把控制方程作为约束条件，通过引入l a g r a n g e 因子，将约束问题转化为无 约束问题，从而使求梯度的计算量与设计变量数日无关，但这种方法需要求解共 轭方程和梯度，而本文选用的复合形方法不需要求梯度，构思直观，使用方便， 效果稳定，适用于中小规模的计算。 在多目标优化设计方面，已经出现大量的用于多目标优化的设计方法“。2 7 “1 ， 所使用的方法多是梯度类算法，通常在求实际工程问题时，梯度很难准确求出来。 近些年来，出现了使用遗传算法和模拟退火算法等全局优化算法，若采用全局优 化算法，那么计算量会大幅度增加，这里采用“统一目标函数法”和复合形优化 算法相结合的办法来克服这一困难，在优化过程当中使用了函数值信息，不用求 梯度，而且计算量比遗传算法和模拟退火法要小得多，编程简单，适合翼型的优 化设计。 ( 3 ) 、基于分布式网络环境下m p i 2 ”并行计算的实施 由于在进行的翼型优化设计当中，所采用的流场计算程序及优化算法程序都 存在要加快计算速度的问题，为了提高计算的速度节省计算时间，本文采用并 行编程来解决这一困难。 目前最重要的并行编程模型是数据并行和消息传递，数据并行编程模型的编 程级别比较高，编程相对简单，但它仅适用于数据并行问题；消息传递编程模型 的编程级别相对较低，但消息传递编程模型可以有更广泛的应用，更易于用于工 程实际当中。 本文采用基于m p i 的消息编程模型进行并行计算，m p ! ( m e s s a g ep a s s i n g i n t e r f a c e ) 是1 9 9 4 年五月发布的一种消息传递接口，它实际上是一种消息传递函 数库的标准说明，吸取了众多消息传递系统的优点，是目前世界上最流行的并行 编程环境之一，m p i 具有许多优点：具有可移植性，有完备的异步通信功能，有 正式和详细的精确定义，在基于m p i 编程模型中，计算是由一个或多个彼此通 过调用库函数进行消息收、发通信的进程组成。 西北工业大学硕士论文 在优化计算过程当中最耗费时间的地方是流场计算部分，几乎占到了整个计 算量的9 6 ，而对于多目标优化设计，优化过程中新得到翼型的各个不同状态都 要进行一次流场计算，计算量会大幅度的增加。 为了节省计算时闻，本文针对多目标优化设计，在每一次优化迭代过程中， 将不同的流场状态分配给不同的c p u 进行计算，得到各个不同状态的升力系数、 阻力系数、力矩系数，然后再将这些参数传递给主机，由主机进行优化部分的计 算，从而加快了整个计算过程。 ( 4 ) 、将流场计算程序、优化程序及并行计算相互结合起来，形成实用的多目标 多约束的翼型优化设计程序。 进行翼型的最优化设计，首先对所选用的翼型生成网格，调用流场计算程序， 计算所要求解的目标函数值，看是否满足约束条件，再调用优化算法程序，通过 循环迭代，得到优化的翼型，在计算过程当中，每进行一次优化，都要调用流场 计算程序来求解目标函数值，通过比较函数值来确定是否达到了优化翼型。若是 单机的情况下程序运行成功，为了加快计算的速度，可以对原来的计算程序在计 算翼型的不同状态时进行并行化，然后再由主机计算出目标函数的值，进行优化 计算，从而使得该程序可以在多个c p u 的基础上进行计算。 1 4 小结 本文将流场分析程序、复合形优化方法和并行计算耦合起来，研究和发展了 一种翼型优化设计方法，用来提高翼型在单个或多个设计点、多种约束条件下的 气动性能。 本文采用基于n - s 方程的流场计算程序来求解流场，结合复合形优化算法， 以升力系数、阻力系数、力矩系数等为目标函数，如果是多目标优化，采用统一 目标函数法实现单目标化。优化设计从一个基本翼型开始，将光滑的几何扰动叠 加到这个基本翼型的上、下表面上，利用型函数进行拟合，生成新的翼型，以型 函数的权系数为设计变量，采用复合形方法不断优化目标函数，得到具有良好气 动性能的翼型。从而得到具有良好气动性能的翼型。 因为优化设计过程当中会频繁的调用流场分析程序，这在多目标优化过程中 尤为明显，考虑到流场分析程序中已经使用了多重网格技术，本文的并行思想比 较简单，只是简单的对不同的计算状态进行并行。对于多目标优化计，采用基于 m p i 平台的并行计算策略，针对各个不同的设计点，分别使用不同的计算机c p u 进行流场计算，然后将计算所得的不同设计点的参数传递给主机，由主机进行优 化过程的计算，提高了优化设计效率。 本文的算例分析表明。本文发展的翼型优化设计方法和并行思想在翼型的单 目标和多目标优化设计都取得了成功，具有很大的应用价值。 4 西北工业大学硕士论文 2 1 引言 第二章流场求解 进行翼型的优化设计，通常是追求最小的阻力系数、最大的升力系数、最高 的巡航因子，这些参数就是通过求解流场程序而得到的，所以，流场程序实用性、 可靠性是一个至关重要的环节，从而直接影响到优化的结果和整个程序的有效 性。 本文采用雷诺平均的n s 方程作为翼型流场的控制方程，n s 方程考虑了粘 性的作用，相对于e u l e r 方程能够模拟更多的物理现象。对于n s 方程，采用格 点格式的有限体积法进行空间离散，采用五步龙格库塔公式进行时间推进；同 时引入了人工粘性，为了加速收敛，还采用了多重网格技术。 本文采用保角变换的方法，生成n s 方程数值计算所需要的c 型贴体网格。 这种方法生成网格速度比较快，根据需要，本文分别使用了粗网格( 图2 1 ) 和细 网格( 图2 2 ) 。 2 2 二维n - s 方程 2 2 1 控制方程 在直角坐标系( x ，y ) 中，守恒形式的二维n s 方程为： 妒+ ，加p 声。 z m 上式中有： w = p 朋 p e f = 一陬1二 门= l 开，j g = 删 删。+ p + o x p u v + r 口 删o x + v 勺一t 豢 p u v + r 8 p v + p + 盯。 h + u c x y + v 中k q 表示任一位置固定的控制体，a q 是其外表面。气体服从以下状态方程 西北工业大学硕士论文 应力分量为 p = p ( ，一1 ) e t ：p ，p = 叫b + 瓦o v 假定粘性系数服从以下经验公式 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 例” 叫， 其中： 旯= 一詈( 2 “2 ) 7 一 挚堡号至数后由p r a n d t l 数恒定的假设得到。各无量纲量与其对应的有量纲 量( 加横杠表示) 的关系式如下： v y = g - ， c p = p p 。 丁：三 瓦 孺一2 孺 e ：， p * z 二_ 一 p ； 。= 1 f f i m - 。 氏= 坦r , 。上p r ( y - 1 ) = 凡南1 4 p r ( ，一) 在上述各个式子中，o 。表示自由来流值，；表示翼型的弦长，y 是绝热指数。自 抛一缸 卸妙 2 2 、，l 加一砂 加一钞 + + 抛一缸 锄一良 ，j，、 五 丑 一 一 = = 吒 q 压 一f 一= 石l i cp一；毒一焉石 肛 胪 西北工业大学硕士论文 由来流的马赫数m 。、雷诺数疋。、普朗特数p r 的定义如下 帆：垒，r 。：鱼垡，p ：了, 1 o o c p n m ；u 。k 。 这里扎，口m ，c 。分别表示自由来流的速度、音速和定压比热。 署：一偌一偌 亿：刀 上式左边表示控制体q 中矢量旷的时间变化率的积分平均值，右边表示穿过控 制体表面的质量、动量、能量的通量。 在湍流的情况下，如果采用某一湍流模型给出涡粘性系数“和湍流普朗特 数巩，贝j j ( 2 2 7 ) 式仍然成立，这时( 2 2 7 ) 式叫做雷诺平均的n s 方程。总的输运 系数为： j u 2 j u t + 3 t h 摇+ 钏 q 2 8 这里的卞标，表示层流，下标，表示湍流。 2 2 2 湍流模型 本文采用b a l d w i n - l o m a x 模型”1 。b a l d w i n l o m a x 模型是一种平衡型代数 模型，分为内外两层。在内层有： “。= p ( o 4 d y ) 2 q ( 2 2 9 ) 这里有： y 是计算点到壁面的距离，q 是旋度的模。下标w 表示在壁面处取值。对于外 嚣 西4 k , _ r - ：l k 大学硕士论丈 “。= ( o 0 1 6 8 x 1 6 ) p f o k 。f( 2 2 1 1 ) 其中： = m i n y 。巴，y 。0 。一q m i n ) 2 i f 卜彳s ( l 州y e ) q 2 1 2 下标m 表示在沿物面法线方向f 取最大值处取值；符号q 表示速度的模 g 。，g 。i 。分别表示这一法线方向上g 的最大和最小值。在尾迹区，d 取1 0 。最 后总的涡粘性由下式给出： 2 2 3n - s 方程的边界条件 n s 方程的物面边界条件包括以下： ( 1 ) 物面无滑移条件，即物面上 “= v = 0 ( 2 ) 物面压强法向梯度为0 ，即物面上 望：o o n n 为物面的外法线方向。 ( 3 ) 绝热壁条件，即物面上 塑：o a n f 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 远场边界条件的处理如下： 计算翼型的流场必须人为给g - + n n 边# 条件，这个远场边界条件要保证 向外传播的扰动波不被反射回流场，否则会降低计算精度和收敛精度。本文利用 r i e m a n n 不变量来处理远场条件。远场边界上的r i e m a n n 不变量可写为： 町 叼 y y 氨 y y y 黼 于 等 ，ji肼 l l 向方 线法面物沿是 y 西北工业大学硕士论文 ( 2 2 1 7 ) 这里下标肝表示垂直于远场的外边界，表示自由流，口表示音速，g 。和口。 可由距远场最近的单元上的值来确定。 由以上两个式子，可以得到远场边界上的法向速度吼和音速口： 口。n = 三2 k x e + + - r - 。一1 1 a ：等睁k ) 亿2 1 8 如果g 月0 ，则边界点上的切向速度吼和熵s 取自由来流的值：如果吼 0 ， 则吼和熵s 可取为距远场边界最近的单元上的值。；f i t 吼，q ，d 和j ，则远场边界 上的p ，倒，p v ，卢匠等所有的物理量就可以确定下来7 。 堕鲁 一 卜 = = 砧 西北工业大学硕士论文 3 1 引言 第三章数值优化方法 优化技术是和电子计算机的应用息息相关的，总体上说，它是一种数值计算 而非解析法，具有简单的逻辑结构，可以反复的进行计算，不需要精确求解，只 需要求出满足精度要求的近似解，满足这些要求的计算方法实质上是一种数值迭 代方法。 所谓优化。指的是在一定限制条件下求某个函数的最小值，在数学上可以表 示为： m 1 1 3 c = 0 ， 盯q o ， 尺曲 f = 城j ( 3 1 1 ) i = ，吃+ 1 ， 川 这里，r a i n 是m i n i m i z e 的缩写，x = x i ，z 2 ，h 7 是n 维列向量( t 是转置符号) 称为变量；f ( z ) ，岛( z ) 为，的实值函数，称f ( 工) 为目标函数，c l ( x ) o 为约束条 件。如果f ( x ) ，o ( x ) 全为r 的线性函数时，优化问题称为线性优化问题，否则称 为非线性优化。在翼型优化过程当中，约束条件包含几何约束和性能约束，因为 性能约束要通过调用流场计算程序来求解。所以是一个非线性优化问题。 在绝大多数的翼型优化问题中，要从所有可行解中寻找出全局最优化解是相 当困难的，本文采用复合形方法成功解决了这些困难，复合形方法具有简单易行、 性能稳定的特点，从而成为当今工程设计当中最有效的优化算法之一。 3 2 有关优化方法的基本概念 3 2 1 设计变量 优化设计中参与设计的量可以是常量，也可以是变量，我们把参与优化设计 的变量称为设计变量。 设计变量一般是指在优化过程中工程人员所关心的参数，主要分为两类：一 类是物理参数，例如结构优化设计当中遇到的材料的弹性模量、应力、变形、结 构的固有频率、材料的屈服极限等：另一类是几何参数，如翼型优化设计过程中 遇到的翼型厚度、截面积，结构优化设计中遇到的板宽度、节点坐标、柱的高度、 梁的间距等。在优化设计当中，设计变量的个数往往还不至一个，随着优化问题 的日益复杂化，变量的数目就越来越大，我们梅设计变量的个数称为该优化问题 的维数。一般的，把设计变量看成是一个矢量，它由n ( 维数) 个设计变量构成， l o 西北工业大学硕士论文 例如：，z 个设计变量分别为：x l ，x 2 ，x 。，用矩阵可表示为： = i x ，x ：，矗r( 3 , 2 1 ) 矢量端点的坐标就是一个设计点，表示一种设计方案，这些设计点的集合， 就是设计空间。因为在工程设计中，设计变量一般都是实数，所以优化设计空间 被称为欧氏空间，记为：r ”。 对于优化设计问题，设计变量越多，那么该问题就越复杂，所需要的计算 时间就会越长，但是，同时设计的自由度也会越大，这样有利于取得更好的优化 结果。所以就工程优化问题而言，应该合理选用优化设计变量的数目，选择对 优化结果最有影响的物理参数、几何参数为设计变量。 随着科学研究的发展，工程上要优化的问题就越来越复杂，表现出了很多 新的特点：多峰、不连续、不可导等，这就对优化算法提出了新的要求。多峰是 指所要优化的目标函数具有多个优化结果；在优化设计中可以连续取值的设计变 量称为连续变量，只能选用某些离散值的设计变量称为离散变量；不可导是指优 化的目标函数不能直接用来求导数。 3 2 2 约束条件 在优化设计中，设计变量z f ( f = l ，2 ，, 1 ) 的取值是要受到某些条件的限 制，这些限制数学上统称为约束条件，它反映了有关设计规范、计算规程、安装、 构造等各方面的要求，有些时候在具体的设计问题上，还反映了设计者有目的性 的要求。对某个或某些变量有直接限制的约束条件称为显约束，对某个或某些与 设计变量无明显关系的变量或者无法直接说明的变量来加以限制的约束条件称 为隐约束。 对于翼型优化设计，一般情况下约束条件比较多，可以分为两类：几何约束 和性能约束。 几何约束是指设计规范等规定和要求的变量的数值范围，比如翼型的最小厚 度、翼型的最小截面积，这类约束条件比较简单，一般情况下都是显约束。 性能约束是指需要通过求解流动分析程序才能得到的变量的约束，比如： 升力系数、阻力系数、力矩系数、巡航因子等，这些变量一般与设计变量没有直 接的关系，所以通常都是隐约束。 约束条件可以分为等式约束和不等式约束两种，用数学表达式可以写成： 羔如净1 2 p (322)h l j ( x ) = 0 j = 1 , 2 ，q ” 西北工业大学硕士论文 约束表达式大多数都是不等式形式，比如：翼型优化中的升力系数、阻力系 数等性能参数的约束。 3 2 3 目标函数 优化设计要求在多种约束条件下寻求最能令人满意、最适宜的一组参数，从 而使设计达到所要追求的目标，根据某个特定问题所追求的目标，用设计变量的 数学关系式将其表达出来，这个数学关系式就是优化设计的目标函数。对于有门 个设计变量的最优化问题，目标函数可以写成下列式子； f ( x ) = f ( x l ，x 2 ，x n )( 3 2 3 ) 目标函数是评价一个设计方案优劣程度的依据，所以选择目标函数是优化设 计过程中最为重要的决策之一。一般情况下，目标函数值越小的设计方案就越优， 但不是所有的问题都是追求目标函数值的极小，相反，是追求目标函数的极大， 这时只要注意到求( - f ( x ) ) 或者( 炸m ) 极小值和求f ( x ) 极大值是等价的，不难 ，、。， 把求目标函数极大值问题转化为求目标函数的极小值问题。 在工程实践中，经常会碰到多目标函数的问题，希望几项设计指标同时达到 最优值，这就是多目标函数的优化问题，在数学上可以表示为： r a i n e ( x ) r a i n e ( x ) m i n e ( 曲 s l g ，( x ) 0 i = 1 , 2 ，m 3 3 优化方法的分类 ( 3 2 4 ) 一般的，大多数工程实际优化问题，都有许多不同的附加限制条件，这些附 加限制条件就是约束条件，这类问题称为有约束最优化问题，数学模型可以表示 为：求一组设计变量而，z ：，x ，以，在满足约束条件下，使得目标函数f ( x ) 最 小，即： 求设计变量： 茁r ” 使得目标函数： f ( x ) 的值最小 且满足约束条件 岛h j ! 。0 毖警东 ， = ( ，= l ，2 ，q ) 。 西北工业大学硕士论文 总的来说，最优化算法是一种数值计算方法而非解析法，具有简单的逻辑 结构，可以反复的进行计算，不需要精确求解，只要求出满足精度要求的近似解。 其基本思想是：从某一个选定的初始设计点z o 出发，按照某种最优化方法，确 定适当的搜索方向和步长，获得第一个修改设计点x ”，计算出该点的目标函数 值f ( x ) ，使其满足f ( x ) f ( x o ) ，然后再以x 1 点为新的起点重复上述步走 取得第二个设计点x “，依次得到x ( ”，x ( ”，最终达到与理论最优点x + 非常逼 近的近似最优点x ”。一般的，迭代格式可以表示为： x ( + 1 ) = x ( ) + 口( ) j ( 女 ( 3 3 2 ) 式中口为搜索步长，j 为搜索方向。 有约束最优化问题的求解方法比较多，根据对约束条件处理的方法不同，有 约束优化方法可以分为直接算法和间接算法两大类。 直接法的基本思路是：每次迭代求得的点都必须是限制在可行域内，且逐 步降低目标函数的值，直到最后获得一个在可行域内的约束最优解。在直接法的 迭代过程中，对每一个迭代点都要进行可行性条件“和适用性条件“”的检验。 ( i ) 可行性条件是指新的迭代点x ”必须落在由不等式约束条件所形成 的可行域内，即满足：g 。( x ) 0( f = 1 , 2 ，p )( 3 3 3 ) ( 2 ) 适用性条件是指新的迭代点x “1 的目标函数值较前一点x ( 。是下降 的，即满足：f ( x ( “1 ) f ( x ( )f 3 3 4 1 直接法主要用于求解具有不等式约束的优化问题，但是也可以用于不很复杂 的等式约束优化问题。 间接法的思路是：将有约束最优化问题通过一定形式的变换转化为无约束最 优化问题，再用无约束最优化方法求其最优解。这类算法可以选择有效的无约束 优化方法，而易于处理同时含等式约束和不等式约束的优化问题。常用的此类方 法有：拉格朗日乘子法、消元法、惩罚函数法。 3 4 迭代的收敛条件和终止迭代的准则 3 4 1 点列收敛的柯西准则 设某种迭代过程所产生的设计点序列( 点列) 为： x ( t = 0 , 1 2 一) 西北工业大学硕士论文 所谓点列是收敛的，即存在极限 l i r a x ( = z + ( 3 ，4 1 ) 点列x ( t = 0 ，1 ，2 ，) 收敛的必要与充分条件是：对于任意指定的足够小的正数 s ，存在自然数，使得当两个自然数m ，p 大于时，满足： ”川1 1 占 ( 3 _ 4 2 ) ( 3 , 4 2 ) 式称为点列收敛的柯西准则，满足此条件的点列叫做基本点列。 收敛条件( 3 4 2 ) 式也可以写成 臣 、( 毫一2 占 ( 3 4 f 3 ) vi = l 从而必然有： x ；“一x p i 占 i = 1 ，2 ，z ( 3 4 4 ) 3 4 2 迭代计算的终止准则 理论上，优化迭代过程是得到个无穷点的序列x t k ( i = 1 , 2 ，) ，一直到使目 标函数值达到极小值的点x 才可以终止计算，对于一个具体的工程优化问题 目标函数值理论极小点工+ 在何处。预先并不知道，因此要找到一个理想的终止 准则是比较困难的，只能根据计算过程中进行的情况来判断。通常采用的迭代终 止准则有以下几种形式： 或： ( 1 ) 相邻两次迭代点x 和x “1 之间的距离己达到足够小时，即 l i x n “) 一x 似 s s ( 3 4 5 ) ( 2 ) 目标函数的下降量已经达到足够小时，即 p ( x 1 ) 一f ( z ) i 或者目标函数值相对下降量达到足够小时，即： 警 谯对f ( 曲进行极小化舶过程巍中，为了使各个分目标鼹数都能均匀致的 悲魄镄是熬最钱毯禄，采耀了“转捺墩诗攒糠法”，簸是宠黪各矮设诗撵褥舔转 化为统一的无量缁值，并鼠将置级间时限定为