（基础数学专业论文）集中因子与仿射框架的新准则.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 o 1 摘要 本文的第一部分讨论利用经典的f o u r i e r 系数确定周期可积函数 在第一类间断点跳跃值的集中因子法。设a ( z ) 是 0 ，l 】上的连续函 数，考虑带因子盯( k n ) 的f o u r i e r 共轭部分和序列更( ，z ) 在第一类 间断点处的收敛问题。我们对a g e l b 和e t a d m o r 的定理作了较大 的改进，得到了盯( k n ) 是，在第一类间断点f 处的集中因子的充要 条件。设芦( z ) 是【0 ，) 上的连续函数。我们考虑带因子口( ( 1 一，) ) 的 f o u r i e r 共轭级数的a b e l p o i s , s o n 平均掣( ，茁) 在第一类间断点处的 收敛问题，也建立了判别定理。我们对文中所建定理都进行了相应 的证明此外，我们估计了霹( ，z ) 和群( ，z ) 在，( z ) 任意连续点上 趋于零的速度，还对块余弦函数建立了与f o u r i e r 三角函数系平行的 结果。 文章的另一部分主要讨论仿射框架的判别定理。仿射框架是小 波理论中很基本的概念。熟知的关于仿射框架的d a u b e c h i e s 判别法 引用了由绝对值1 1 5 ( u ) 西( u 十t t ) i 算出的量来作判别。在本文建立 的新判别法中我们引用了由乒( 一u ) 每( 一u + l t ) 的适当组合的代数和 算出的量来作判别。当谚为偶函数时，新的判别法优于d a u b e c h i e s 判 别法 关键词：集中因子法，f o u r i e r 共轭部分和，a b e l p o i s s o n 平均，仿 射框架，d a u b e c h i e s 判别法 湖南师范大学硕士学位论文 i i - o 2 a b s t r a c t i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ec o n c e n t r a t i o nf a c t o rm e t h o d st h a tm a k ec e r t a i nt h ej u m p so fp e r i o d i ci n t e g r a lf u n c t i o n s s e t 口( z ) i sa c o n t i n u o u sf u n c t i o no nf 0 ，1 】a n d 霹( ，? ) i st h en t hp a r t i a ls u mo fc o n j u g a t e f o u r i e rs e r i e sw i t ht h ef a c t o r 口( n ) ，w ec o n s i d e rt h ec o n v e r g e n c eo f 繇( ， z ) a tt h eo r d i n a r yd i s c o n t i n u i t yfa sw em a k es o m ei m p r o v e m e n t so ft h et h e o r e i no fa g e l ba n de t a d m o r ，w eg e tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s o f 盯( k 加) w h i c hi st h ec o n c e n t r a t i o nf a c t o ro ffa tt h eo r d i n a r yd i s c o n t i n u i t y l e tp i sac o n t i n u o u sf u n c t i o no n 0 ，。) a n d 掣( ，1z ) i st h ea b e l - p o i s s o n m e a n so fc o n j u g a t ef o u r i e rs e r i e sw i t ht h ef a c t o r 卢( ( 1 - r ) k ) t h e nw ec o n s i d e r t h ec o n v e r g e n c eo f 掣( ，z ) a tt h eo r d i n a r yd i s c o n t i n u i t y a n de s t a b l i s ht h e r e l e v a n tt h e o r e m w ep r o v e da l lt h et h e o r e m se s t a b h s h e di nt h ep a p e r i n a d d i t i o n ，w ee s t i m a t et h ev a n i s h i n gr a t eo f 畿( z ) a n d 掣( ，z ) a tt h ea r b p t r a r yo r d i n a r yd i s c o n t i n u i t yo f ，( z ) w ea l s oe s t a b l i s ht h ep a r a l l e lt h e o r e m i n c o s i n es e r i e s i nt h eo t h e rp a r to ft h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ec r i t e r i o no na f i l n e f r a m e s a f f i n ef r a m ei sav e r yb a s i cc o n c e p ti nw a v e l e tt h e o r y i nt h ew e l l - k n o w nd a u b e c h i e sc r i t e r i o no na f f i l i ef r a m e s ，t h eq u a n t i t i e sw h i c ha r ec a p c u l a t e di nt e r m so fa b s o l u t ev a l u e sf 砂( u ) 妒( 。+ t t ) ia r ea p p l i e d i nt h e n e wc r i t e r i o ne s t a b l i s h e di nt h i sp a p e r ，w eu s en e wc r i t e r i o nq u a n t r i e sw h i c h a x ec a l c u l a t e dv i aa l g e b r i cs u i u so fs u i t a b l ec o m b i n a t i o n so f 砂( a j w ) 移( a i w + i t ) w h e n 曲i sa ne v e nf u n c t i o n ，t h en e wc r i t e r i o ni s m o r ea d v a n c e dt h a n d a u b e c h i e sc r i t e r i o n k e yw o r d s ：t h ec o n c e n t r a t i o nf a c t o rm e t h o d s ，t h en - t hp a r t i a ls u m o fc o n j u g a t ef o u r i e rs e r i e s ，a b e l p o i s s o nm e a n s ，a f f i n e 行a m e s ，d a n b e c h i e s c r i t e r i o n 湖南师范大学硕士学位论文 第一章前言 边界探测是调和分析与小波理论应用中的重要课题寻找函数 的第一类间断点且计算在间断点处函数的跳跃值是边界探测实践的 主要理论依据。本文的第二章讨论利用经典的f o u r i e r 系数确定周 期可积函数在第一类间断点跳跃值的集中因子法。早在1 9 2 0 年， f l u c k d c s 2 就已经指出了用f o u r i e r 共轭级数的部分和序列来求函数 跳跃值的可行性设f l ( t ) ，t = ( 一”，” 且( 一丌，”】是周期2 7 r 的函数，的第一类间断点。以& ( ，嚣) 表示，的f o u r i e r 共轭级数 a k s i n k x b kc o s k x 七= 1 的第n 部分和。f l u c k h c s 证明，成立着 。l 。i m 。一三璺i 巡nn = 畦( ，) ， n _ 。o 这里噍( ，) 一，+ z ) 一，幢一x ) 为函数，在点处的跳跃值。用这个 方法求跳跃值的收敛速度为o ( 1 i n n ) 。这是一个相当慢的速度，不 适合应用为了提高收敛速度，a ，g e l b 和e t a d m o r 1 于t 9 9 9 年提出 了集中因子法设a ( x ) 是 0 ，1 】上的连续函数，考虑带因子口( n ) 的 f o u r i e r 共轭部分和序列 鼬，扣宴a ( ：) s i n n 吣峨) 若在第一类间断点f 处成立 熙鬈( ，) = d e ( f ) ， 则称 a ( 七n ) ) 为，在点f 处的集中l 霾- 7 - 。在他们的论文f l 】中， g e l b 和t a d m o r 建立了集中因子判别法他们证明，若口0 2 0 ，1 】， 盯( 1 忱) = o ( 1 l n n ) ( 乱一o 。) ，j 0 。( 盯( 。) 屈) d x 一一，r ( 扎一o 。) 且 乏朵1i c r ( 1 n ) l j 一2 = d ( 1 ) ( 扎一o 。) ，并且f ，任+ ) ，任一f ) 】# 一1 l o ，州，贝 盯( 七礼) ) 是，在第一类间断点处的集中因子( 见 1 中主要定理) 他 湖南师范大学硕士学位论文 2 们的判别条件较强。我们证明，若一l i p 。i o ，1 且【，挺+ ) 一侬一p l f 0 ，丌j ，则 盯( 加) 是厂在第一类间断点处的集中因子的充要条 件是露盯( z ) z 一1 d z = 一”，对g e l b 和t a d m o r 的定理作了较大的改进 2 0 0 3 年，f m o r i c z 3 对f o u r i e r 共轭级数的a b e l p o i s s o n 平均 茸( ，z ) = ( a k s i n h b kc o s k 。) r ，0 r 1 和b 0 。 考虑仿射函数族i ：- ：= 饥，m ( z ) = j 2 妒( a j z b k ) ，j ，k z ) 假如存在 正数a b ，使得对于任意的，l 2 成立 a i i f l l 2 芝：l i s b u l l 2 k e z 则说仿射函数族痧构成l 。的一个框架仿射框架是小波理论的重要 组成部分。关于它的判别最早的结果是1 9 9 0 年i d a u b e c h i e s 1 2 建立 的第三章我们应用2 0 0 0 年c h u i 和s h i 1 l 】中引进的n 进数的概念建 立了一个新型的仿射框架判别法新的判别法在万为偶函数时明显 地优于d a u b e c h i e s 的判别法。 本文的第二章主要取材于已投s c i 杂志“a c t a m a t h h u n g a r ” 的论文【l7 】。该杂志的评审员认为“作者在较弱的条件下证明了较 广的定理”，并且关于a b e l p o m s o n 集中因子证明了另一个“令人感 兴趣的定理”。“结果是新的，证明正确。本人向a c t a m a t h h u n g a x 湖南师范大学硕士学位论文 3 的编辑们推荐接受该文并发表”。( 原文如下：t h ep r e s e n ta u t h o r s p r o v em o r eg e n e r a lt h e o r e m su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s i na d d i t i o n ，i n s p i r e d b y at h e o r e mo f f m o r i c z ，t h e yi n t r o d u c e c o n c e n t r a t i o nf a c t o r so fa b e l p o i s s o n t y p ea n dp r o v ea n o t h e ri n t e r e s t i n gt h e o r e m t h er e s u l t sa r en e w ，t h ep r o o f s & r ec o r r e c t ir e c o m m e n dt h ee d i t o r so ft h ea c t a m a t h h u n g a rt oa c c e p t t h ep a p e rf o rp u b l i c a t i o n ) 第二章中关于收敛速度和块三角函数系的讨论尚未投稿 本文的第三章取材于即将发表在“数学年刊”的论文 1 8 。 湖南师范大学硕士学位论文 4 第二章求函数跳跃值的集中因子法 2 1 引言 令t ：= f - 丌，”) ，l ( t ) 表示丁上所有周期为2 7 r 的可积函数。对 任意f l ( t ) ，以 o o 季 ，】( z ) r _ a k s i n k x b k c o s k x k = l 表示其共轭f o u r i e r 级数，其中 = ；，( t ) c o s 黜删吣= ；邢徊曲砒 k = 1 ，2 ，3 ， 以 夏( ，z ) ：= n s i n k x b k c o s k x 表示级数( 21 1 ) 的第n 部分和在1 9 2 0 年，f l u c k d c s 2 】证明了以下 的定理。 1 定理a 如果 畦( ，) ：2 t t io m + f ( 4 - ) 一，( 一t ) 存在且为有限，则成立 熙一型i n 盟n l i t = 删 n ( 见a z y g m u n d 【5 】) ( 2 1 2 ) ( 2 1 ，3 ) 等式( 21 3 ) 表明函数在第一类间断点的跳跃值可以用谱数据来 求出，其收敛速度为o ( 1 1 n ) 为了进一步提高收敛速度，在1 9 9 9 年，a g e l b 和e t a d m o r 1 】引进了集中因子。设仃是【o ，1 1 上的连续函 数，记 霹( 加) ：妻盯( 妻) ( 叫t n 蛔咄c 。s 湖南师范大学硕士学位论文 5 如果( 2 1 2 ) 在点的极限存在，且 l i m 霹( ，) = 噍( ，) ， 则我们称 盯( ：) l 。脚品 为，在点的集中因子 对于( 一”，丌】，以d 表示满足下面两个条件的函数f l ( t ) 的集合： ( i ) 噍( ，) 存在； ( i i ) 世攀叫o ，州 这里，记魄0 ) ：= ，幢+ ) 一，幢一t ) 。 下面的定理是a + g e l b 和e t a d m o r 在f 1 】中的主要结果。 定理b 假设o - 满足以下条件： ( i i i ) 口c 2 【o ，1 】 ( i v ) 勃警，n - 2 1 s ( v ) 当礼一o o 时 似) 当n o 。时， i 警一一霄 喜掣一。 若( 一丌，丌】且，d f ，则t 盯( ：) ) m _ 1 ，。：，“是f 在点z = f 的集中 因子。 在本章中，我们将建立以下两个定理，它们都是定理b 的改进 湖南师范大学硕士学位论文6 定理2 1 1 假设( 一”，”】且盯l i p l i o ，1 l ，那么对于任意的 f 风， 盯( ：) e ：1 ，。；t 扎是，在z = 点的集中因子当且仅当 ，1 盟d 。f 2 1 4 1 j o x 它的证明将在2 2 中给出。 定理2 1 2 假设( 一玎，丌 ，矿b v o ，1 且o ( 0 ) = 0 ，那么对于 任意的f d e ， 。( ：) ) t ；k 。：，是，在z = 点的集中因子当且 仅当 “ ，* 、 | i mf 掣：一7 r ( 2 1 5 ) “。一k = l r 定理2 1 2 的证明将在2 3 中给出。现在，我们来比较定理2 1 1 、定 理2 1 2 和定理b 。 注记2 1 3 由定理2 1 1 或定理2 1 2 可见，定理b 中的条件( i v ) 和( v i ) 可以被取消 注记2 1 4 定理a 中的条件o - c 2 o ，l 】可以被条件o - l i p l o ，1 取代 例2 1 5 设r 是属于l i p l 【o ，1 】且满足口= 詹r 和) 如0 的函数， 那么函数o ( x ) = 一霄丁( z ) z 口满足定理2 1 1 中的条件因此，根据定理 2 1 1 可见p ( ：) t ：k 。：t 凡是，在点处的集中因子，其中f d f 。 2 0 0 3 年，f m o r i c z 3 讨论了根据( 2 1 1 ) 的a b e l - p o i s s o n 和来探测 函数的跳跃点的问题。记 p r ( f ，z ) ：= ( a k s i n 妇一b kc o s k z ) 一，0 r 1 k = l m o r i c z 3 】证明了下面的定理 定理c 设f l ( t ) 假如极限( 2 1 2 ) 存在且为有限值，那么 l i m 器= d d f ) ，。t o 面商 。 我f r i l l 进a b e l - p o i s s o n 型集中因子的概念。设p 是 0 ，o o ) 上的连 湖南师范大学硕士学位论文 7 续函数，满足p ( o ) = 0 切当z o 。时， i 肛( z ) l = 0 ( ( 1 十z ) m j ， 这里m20 对于f l ( t ) ，级数 哥( ，z ) ：= 肛( ( 1 一r ) ) ( n k s i n 船b kc o s k z ) r ”，o r 0 ，定义“( z ) 为 l。(z)：=su，。py,zeo，。：l警i十。!：曼l肛(”)1，卅，口z i y 一。 lo ! 。 以a 表示满足下述条件的函数乒的全体： ( v i i ) p ( o ) = 0 ； ( v i i i ) 存在m 0 ，使得当z o 。时， l p ( z ) = o ( ( 1 + z ) m ) ( 2 1 7 在2 4 中，我们将证明下述定理。 定理2 1 6 设( 一百，丌1 ，d f 且弘a ，那么( 2 1 6 ) 是，在 点的a b e l - p o i s s o n 型集中因子当且仅当 r 。z t m l - - o 妻掣九一 ( 2 ) o 根据【2 和1 4 】，我们可知对于某个常数睡( ，) ，定理a 和定理c 中的条件可以分别减弱为 糯元1z “眦p 州，) 出钿 湖南师范大学硕士学位论文8 和 l i m 1 “哦( t ) d t = d f ( ，) 我们很自然地提出疑问：定理2 1 ，1 ，2 1 2 ，2 1 6 中的条件歹d f 是否 也可以作相应的减弱? 回答是肯定的。在5 2 2 ，2 3 和24 中，我 们将进一步分别证明加强的定理2 1 1 ，2 1 2 和2 16 。在此，我们衷心 感谢a c t a m a t h h u g a r 的审稿人的有益建议。 2 2 定理2 1 1 的证明 2 2 1定理2 1 1 的改进 对于( 一丌，”】，以d ；表示存在常数l ，使得 c d _ t ) - z l 0 , 7 r 】 的，l ( t ) 全体组成的集，其中哦( f ) = ，( + t ) 一，( 一t ) 。显然， 哦cd ；。因此，定理2 1 1 是下述定理的推论 定理2 2 1 设f ( 一丌，7 r 】且盯l i p l o ，1 1 那么对于任意的， 联， l i m 畿( 工) = 瑶 成立，当且仅当( 2 1 4 ) 成立 2 2 2 辅助引理 为了证明定理2 2 1 ，我们需要以下几个引理。 引理2 2 2 若，l a ，6 】，则 l i m f ( t ) e m d t = 0 。”j n 这就是周知的r i e m a n n - l e b e s g u e 引理 引理2 2 3 若，l ( t ) ，则 弧卜妻z ”州争咖 湖南师范大学硕士学位论文 9 = 一玎删 寄十知t k 引理2 2 3 是熟知的共轭部分和的表达式。 引理2 2 4 设( 一”，” 且f l ( t ) 。若存在一常数l f ，使得 成立，则当n o o 时， 必lo，7rt j j 曼( ，1 泸一新华出 ( 22 1 ) 业幽一塑坠唑+ 。( 1 ) ，( 2 删 7 r 成立，这里7 = 0 5 7 7 2 1 是欧拉常数。 证明：定义 彬一珂觜 由引理2 2 3 ，知 7 1 - 嘶= 一珂黼蚺新糌c 删蹴 ( 2 23 ) 新慨 ，s i n n ? c d t - - o ”( 舀k = l 出 = 驰+ j l + j 2 + 以，s a y 由引理2 2 2 ，我们可以从( 2 2 1 ) 推出，当n 0 0 时， 和当n 0 0 时， 下一步，我们估计以 j 1 o 如_ 0 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 扣一1 a 瓤一 s i n k t d t = - 等塞半皿。吲 一i a 。i n ( n + 1 ) 一, + l n 2 ) + 。1 i ) 联合( 2 2 3 ) 一( 2 2 7 ) ，我们可以得到( 2 2 ，2 ) q e ，d 出 湖南师范大学硕士学位论文 1 0 2 2 3 定理2 2 1 的证明 充分性由a b e l 变换可以得到 砖沪量( a ( ：) 盯( 半) ) 文( ，f 卅m ) 曼a ( 2 z s ) 将( 2 2 2 ) 代入( 2 , 2 8 ) 中，可以得到 1 一垫! ! 业( 2 舢) 7 r 、 + 。c ， 十。c t ， ( 耿一半) 一掣 这里班如( 2 2 3 ) 中所定义由于 喜( 盯( ：) 一仃( 等) ) ( 驰一半) 删( 鲰一掣 并且 。( ：) ( 鞋 乇( 7 十i n2 ) 7 萎( 。( ；) 一口( 等) ) 7 r州，) 媸掣 = 等妻k = l 矿( ：) 娜岫叫= 等妻k = l 仃( 跏( t + ) = 等妻k = l 口( 等) ( ；+ 。( 去) ) 从等式( 2 2 9 ) 可以导出 畿( ) ，1 、r l 石八耿 半) 一等喜掣州喜掣 + o c t ，鄯扣( 半) 卜， 掣 厂v睾 一 k 一 “ “ 1 1 0 、 湖南师范大学硕士学位论文 1 1 = + j 2 + 如+ 如+ o o ) ，s a y 1 2 2 1 0 ) 由矿( z ) z 一1 l o ，1 】和口l i p l o ，l 】，我们可以得到盯( o ) = 0 ，因此口 满足 i 一( z ) c l xr 由此可见，当n o 。时 i j , i = o ( ：) 姐 ( 2 2 1 1 ) 再来看j 2 写着 一等z 1 挚+ 等喜v “ 掣一掣k + l a 广型如一堡型( 2 2 1 2 ) 丽然 搿“掣如= 。( ：) ，( z z l 3 ， 又有 e n 鞘- 1 州f ( 。k + ”加 掣卫k - t m i 1 扣副y m m ( ；一赤) 如 十n - i r ( 1 。+ 加知h 仡，) 如 = 。( 妻掣) 刊1 。1d x ) q 2 均k = o ( 鼍掣j + u ) ( 2 2 1 4 ) = l ” 设s 是一个任意给定的正数取n 。使得 壶“ 因此，当n 一。时有 壹掣：妻掣+d(11k 啦) 鲁 2 厶k = l 舻 ” 湖南师范大学硕士学位论文 1 2 = o ( 1 ) + o 0 由此可见，当扎一o 。时 壹掣一。 联合( 2 21 2 ) ，( 2 2 ，1 3 ) ，( 2 2 v 1 ) 和( 2 2 1 5 ) ，得到 如= 一搿譬如俐 由( 2 2 1 5 ) ，当, f f o o 时 l 五1 0 显然，当n o o 时 ：芝o ( 跏- 一( 1 ) ， 联合( 22 1 0 ) 一( 2 2 1 8 ) 知，当n o 。时 珊瑚= 一篓i f la ( 一x x ) d x + o ( 1 ) 联合( 21 4 ) 和( 2 2 1 9 ) 可见，当n o o 时 爵( ，) = k + o ( 1 ) 这就完成了充分性的证明 必要性设，( z ) = ( z 一) ，其中 i5 手， i ，0 n l ，有 记 ( ，r ，a l 0 且 p ( z ) 一南矿 那么( 2 1 6 ) 是，在点的a b e l - p o i s s o n 型集中因子，其中，缺cd ： 事实上，如果p21 ，那么p 满足定理2 4 1 的所有条件由 (-r)呻=妻揣一k= 0 、 7 =妻高(r1+。(1)一k= 0 湖南师范大学硕士学位论文 1 8 可以见到，当r l 一0 时 喜掣拄一等喜( k + 1 ) v - 1 ( ) 一” 因此由定理2 41 ，例2 4 2 的结论是正确的，如果0 p l ，那么由 与定理2 4 1 相似的证明，我们可以得到同样的结论。 2 5 趋于零的速度 本节中我们讨论受( ，。) 和謦( ，z ) 在，( 岱) 的任意连续点上趋于 零的速度。a g e l b 和e t a d m o r 1 j 证明，如果，( z ) 是分段g 2 函数， 那么对于，( z ) 在c 。中的正则点。，有 圳 c d 叫警巾( 抓 设o 。1 ，( 一几棚。7 以雩表示l ( r ) 中满足 i ( x ) 一，( ) i i z 一9 l 。，v 。，y 僖，+ 2 n ) ( 2 5 1 ) 的函数，的全体。显然，若条件( 2 5 i ) 成立，则吐( i 厂) 存在。进一步可 知，雌c 哦又d c 联，所以霹cd ；。记如( ) = ，( + t ) 一，( z t ) 的话，l 忆( ) 茎例。 引理2 5 1 若，蠼，其中0 d 1 ，( 一”，叫，则有 瓦( 加) = 氕卅o ( 万i n n ) ( 2 舢) 证明：由以前的证明，得到 珊= 衲+ 妻z ”怒如一去z ”蝴) s i 州出 ：= 氕z ) + 十也 ( 2 5 3 ) 这里 确：= 一珂怒出 湖南师范大学硕士学位论文 1 9 现在我们考虑j t 。通过变量替换，得 因此 2 ：一三 7 r 驴丢i 瓣c o s 删t ：( - - 姒。晕r 2 t a n 一箍2 t a nt ) c o s 删t攀j 。 + 汜磐一c o s n t d t + 三7 1 z ：糕c o s 删e = l 十 2 十 3 + 4 存在t o o ，7 r ) ，使得= 茁+ o 或z t o 因此有 别；f 。 il 也( + ：) 一也( ) 2 t a n ； d r + 1 - r o 7 rj ! c 0 8 n t d t 、i i l l l 2 t a n 警 扣1 i 。+ 。- i 业盖剑；：唑盖型出 = 。( 。去出) + 。( ；p 2 d t ) + 。( ：) + 。( 去) 0 ( 害) 再来看 。，有 平易地可以得到 和 l im 2 t a n 犷。 【2 54 ) 。= 。( 上；l t + ：i 。一1a t ) = 。( 去) c z s s ， 护z ：。c t ) d r = 0 ( 去) 枷z ：叩) d t = 0 ( ；) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 鬻 堕她 4 n e n ，一 1 一丌 湖南师范大学硕士学位论文2 0 由( 2 5 4 ) 一( 2 5 7 ) ，我们可以得到 再来看如 以= 。( 害) 如1 o ：蜊s i n n t d t - 去r 邺) s i n 删t 这就完成了引理2 5 1 的证明。 ( 2 58 ) ( 2 5 9 ) ( 2 5 1 0 ) 定理2 5 2 假设口c 1 o ，1 】，且a ( x ) x l 0 ，1 】，则对于，罐 0 o s1 ，( 一7 r ，7 r 】，有 又 f 爵( 加) ： 【 o ( i 。n 。n ) ，若 。( 宰) ，若 证明；由以前的证明，得到 0 n 1 ( 25 1 1 ) n = 1 矶= 确+ 。( 警) 弧，= 喜( 仃( ；) 一盯( 等) ) m 胁州z s 嘲 因此 珊，扣盯( ；) 确侧盯。，去喜掣+ 。( 警) s 、， qo u 叫 坐俨 ，一 o 0 | + 、_ 、 土胪 “ ，、 | | o + 、h 、，m爵 ( 到 0 导 却 懈我 k 由 r ：= d ( i 嘁董! 掣 显然 i i i 。( 眵l i 。) i i n n l 三面1 给1 一，如g 叠：“仁s 均 其中a ， 所以 0 q 1 q = 1 再由( 2 5 1 3 ) 和( 2 5 1 4 ) ，我们即可得到定理2 5 2 的结论。 定理2 5 3 假设仃c - 【o ，1 】，且l i m 。一。：，华存在，则对于 ，月? ，0 os1 ，( 一7 r ，r ，有 f o ( 1 。n 。f * ) ，若0 o 1 ， ( ，。) = 【。( 峄) ，若狂= t 定理2 53 的证明完全类似于定理2 5 2 。 下面，我们考虑謦( ，iz ) 收敛于零的速度。 定理2 5 4 假设p a ，且 | i m 子巡! 二! 趁一 m l - - o 华一 o r 若 若 黔警l 0 d ，、【 数 = 常 f 为q 湖南师范大学硕士学位论文2 2 存在，则对于，g g ，0 n sl ，( 一丌，丌 ，0sr 1 ，有 l 0 ( ( 1 一r ) “i n 击) ，若0 n 1 ， 謦( ，z ) = ( 2 5 1 5 ) io ( ( 卜r ) i n 2 再1 ) ，若n = 1 证明：设0 。 1 且b 0 。对于任意的咖l 2 ：= l 2 ( r ) ，称 函数族 c j , k ( z ) ：= a j 2 妒( a j z b k ) ，j ，k z ， ( 3 1 1 ) 为由函数妒产生的仿射函数族 假如存在常数且和b ，0 o 若 a 1 和b 0 若 f 1 胁 o o ， 则函数族( 3 1 1 ) 构成l 2 中以 4 = 学 和 b ：绁1 6 为框架界的框架。 下面我们就定理3 11 和定理d 的比较作几点注记。 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 注记3 1 2 我们不能对 和日作直接的大小比较，因而，不能说定 理3 1 1 的结论在任何情况下都比定理d 强但是有一点必须指出， i d a u b e c h i e s 的判别量刈黾由崩算得，而屈是形如i 西( n j u ) 硒( 一u 十f t ) i 的函数之和的上确界。 是这些上确界的适当的几何平均的和在 定理1 中相应的判别量被日所替代口是( u ) 的绝对值之和的上 确界，而如) 是由许多谚( 一u ) 参( u + l t ) 的代数和算得。可以断 言，在极大部分情况下，目应当比a 更小。 “ 懒 蚝 叩v = p 和 湖南师范大学硕士学位论文 2 8 注记3 1 3 假如毒是对称的，即毒为偶函数，那么岛= 口一t 。因 此我们有 = 廓= e ”s u ，p 。m ( n 7 “) 够( a 钆十盯) i f z f o f z o j e z s u p f 谚( 一u ) 甜w + z 刁f l e z o j e z = 删s 罂m u ) 甜“+ s r ) f 。q a ( n ) o ) ( ，8 ) ，( d ) - 鼬砌s u p 。纛i 缸s ) e l ( a ) 她肿订肛9 在这种情况下条件( 3 t 7 ) 明显地优于d a u b e c h i e s 的条件( 3 1 4 ) 。 注记3 1 4 缩小判别量不仅能使函数比较容易满足判别框架的 充分条件，而且还有助于对偶框架的近似计算。假如0 a ，那么由 ( 3 1 8 ) 和( 3 1 9 ) 求出的框架界之比b a 将比由( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 算得 的框架界之比更接近于1 。这个比值越接近于1 就越明显地表示这 个框架接近于紧框架，从而也就比较容易通过逼近的方法求出对偶 框架( 见f 1 3 1 ，p 6 1 ) 3 2 1 辅助命题 3 2 定理3 1 1 的证明 我们需要几个辅助引理，以r 表示l 。中满足下列条件的函数， 全体构成的集： ( ) i i 巾。 o 。， ( i i ) 存在k ，使得s u p p c k ，k 】，且。乏s u 即， 引理3 2 1f 是驴中的稠密子集 湖南师范大学硕士学位论文 2 9 引理3 2 1 的证明是平易的 引理3 2 2 设h e 2 且g 是紧支集有界函数，那么级数 羡上玳求渤睁必 ( 3 2 i ) 在l 2 o ，t 中收敛于周期为t 的函数 g ( u ) ：一t g + s t ) h ( w 十s 即 s e z 其中t 是由( 31 3 ) 式确定的伴随周期。 证明：由周期化可得 刍上撤伽泐”恤= 亍1z r 薹玳瑚t ) e t 埘憾( 3 2 2 ) 因为g 是紧支集有界函数，上述积分号中的和只有有限项，所以( 3 2 2 ) 是l 2 0 ，卅中函数t - 1 g ( u ) 的f o u r i e r 系数因此，级数( 3 2 1 ) 以l 2 0 ，t l 的范数收敛于g ( “，) 证踞完毕。 3 2 2 定理3 1 1 的证明 设厂l 2 ，根据引理3 2 1 ，存在函数列五，n = 1 ，2 ，使得 五一向一0 ，n 一。，( 3 2 3 ) 并且 s u p p 厶c 【一玩，一b 。】u ，风】，( 3 2 4 ) 其中，0 k b n o 。，n = 1 ，2 ，对于固定的j z 定义泛函只如 下： p j ( g ) ：= 酬f 2 一嘉蛐1 2 ( 3 删 崩zz 由于 是紧支集有界函数，而妒l z ，因此由 眦) = 去善五五( 肉弧砖峙磷上五( 删妣m 如山 湖南9 f 范大学硕士学位论文3 0 的绝对收敛性可见泛函( 3 2 5 ) 对r 中的函数厶有定义。由引理3 22 ， 从上式可得 嗽) = 去薹三上五“。砸( w + a j s t ) 声( a - j u + s t 灿( 3 。6 ) 把( 3 2 6 ) 右边按s = 0 和s 0 分成q z 和q 。两部分，即p ( a ) = q ，+ q 2 ， 其中 q 1 。去薹小( 蛳( n 1 删2 山 和 2 丽1 薹。赢，上五( 眦1 城( u m t 腑饥s 触 由风 0 0 ，可见级数q ，是收敛的。记 = 熹薹。赢，i 上五( 帆1 蛳( u m t 腑饥叫蚪 由( 3 2 4 ) 可以导出 铋紫壹纠t a ，j e 。泓a 气妒她 其中j = p o g d 学j + 1 和最= f 一玩，一6 竹i u ，岛 。因此， q ；c o n s t l i 五i l 蝥b 。| | 妒0 2 o 。 结合着q ，的收敛性便知级数( 3 2 6 ) 是绝对收敛的。这样，级数( 3 2 6 ) 可以改写为 p ( 厶) 2 丽1 。磊) 上五( u 胤u + 。，著( 。) 谚( 一u ) 参( 一u + 田扎( 3 刎 把级数( 3 2 7 ) 分解成两部分 p f ，们1 ：m ( 厶) + r ( 厶) ，( 3 2 8 ) 湖南师范大学硕士学位论文 3 1 m ) = 点加( 删”缸赢村u ) 石( a j w - t - s t 眦 和 r 5 丽i 。怎 0 ) 上五( u 胤w + a t ) f u 磊。，附u ) 荔( 矿“+ 打) d 因为，( o ) = z o ) ，我们见到 们( 厶) = i 1 r f n ( u ) 【2 圣。( u ) 山 文赣导出 j 去| i 五1 1 2 m ( 厶) s 譬去| l 厶1 1 2 ， 从而有 j