（应用数学专业论文）基于garch12模型的股票期权定价方法研究.pdf

哈尔滨1 二程大学硕士学位论文 摘要 期权定价问题是金融数学的核心问题之一。1 9 7 3 年，美国金融学家f b l a c k 和m s c h o l e s 提出了经典的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，该模型在数 学上的严密性有利于计算，但其假设股票价格遵循几何b r o w n 运动，且股票 收益波动率为常数的假设与实际市场差别很大。大量的研究表明，股票收益 的波动率是随时间的变化而变化的，因此其实际应用性受到了学者们的广泛 质疑。 1 9 8 6 年，l b o l l e r s l e v 提出了广义自回归条件异方差( g a r c h ) 模型，它 能够反映出金融市场上资产收益率的“尖峰厚尾”现象和其波动的集群现象。 因此，g a r c h 模型为预测b l a c k s c h o l e s 期权定价模型中的波动率提供了一 种行之有效的方法。低阶的g a r c h ( 1 ，1 ) 模型能够准确地预测股票收益的波 动率已经得到证实，但由于g a r c h 模型是一个非线性模型，因此 6 a r c h ( p ，q ) 模型的性质和参数估计并不能由g a r c h ( 1 ，1 ) 模型简单的递推 出来，而是需要对模型逐个地研究。g a r c h ( 1 ，2 ) 模型由于较为复杂，因此在 应用其来预测波动率方面，至今仍无结果。 本文的创新结果如下： 1 推导出了g a r c h ( 1 ，2 ) 模型的峰度计算公式。公式表明，在一定的条 件下，g a r c h ( 1 ，2 ) 模型具有正的超出峰度，因而能够准确地描述股票市场上 收益率的“尖峰厚尾”现象。 2 利用统计学中的极大似然估计方法，推导出了g a r c h ( 1 ，2 ) 模型参数 估计的偏微分方程组，即得到g a r c h ( 1 ，2 ) 模型的参数估计方法。此方法估 计出的波动率能够提高b l a c k s c h o l c s 公式的精确度。 关键词：股票期权；波动率；b l a c k s c h o l e s 公式；g a r c h ( 1 ，2 ) 模型；参数估 计 哈尔滨工稃大学硕士学位论文 a b s t r a c t o p t i o np r i c i n gp r o b l e mi s o n eo ft h ek e yi s s u e si nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s a m e r i c a nf i n a n c i a le x p e r t s ，f b l a c ka n dm s c h o l e s ，p r o p o s e dt h ec l a s s i c b l a c k s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e li n19 7 3 t h em a t h e m a t i c a lr i g o ro ft h em o d e l i si nf a v o ro fc a l c u l a t i o n ，b u tt h e f o l l o w i n gt w oa s s u m p t i o n st h a ts t o c kp r i c e s f l u c t u a t i o n sf o l l o wt h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o na n dt h ev o l a t i l i t yo fs t o c k r e t u r n si sac o n s t a n t ，c a nn o tc h a r a c t e rt h ea c t u a lm a r k e t al a r g en u m b e ro f s t u d i e sh a v es h o w nt h a t ，v o l a t i l i t yo fs t o c kr e t u r n si sc h a n g i n gw i t ht i m e h e n c e ， t h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no ft h i sm o d e lh a sb e e nq u e s t i o n e db yr e s e a r c h e r si nt h i s a r e a l b o l l e r s l e vp r o p o s e dt h eg e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ( g a r c h ) m o d e li n1 9 8 7 ，w h i c hc a nr e f l e c th i g h e rp e a ka n df a t t a i l p h e n o m e n o no fc a p i t a lr e t u r n sa n dt h ep h e n o m e n o no fc l u s t e r i n gi n f i n a n c i a l m a r k e tv o l a t i l i t y t h e r e f o r e ，g a r c hm o d e li sa ne f f i e c t i v ea p p r o a c ht op r e d i c t t h ev o l a t i l i t yo ft h eb l a c k s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e l i th a sb e e np r o v e dt h a t t h eg a r c h ( 1 ，1 ) m o d e lc a l l a c c u a t e l yp r e d i c tt h ev o l a t i l i t yo fs t o c kr e t u r n s h o w e v e r ，c o n s i d e r i n gg a r c hm o d e l i san o n l i n e a rm o d e l ，t h en a t u r ea n d p a r a m e t e re s t i m a t i o no ft h eg a r c h ( p , q ) m o d e l c a nn o tb ed e d u c e ds i m p l yb yt h e g a r c h ( 1 ，1 ) m o d e l b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo fg a r c h ( 1 ，2 ) m o d e l ，s of a r ，i t h a sn o tr e p o r t e dt h a tt h eg a r c h ( 1 ，2 ) m o d e li su s e dt op r e d i c tt h ev o l a t i l i t y t h ei n n o v a t i o no ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s ： 1 t h ef o r m u l af o rt h ek u r t o s i so fg a r c h ( 1 ，2 ) i sd e v e l o p e d t h i sf o r m u l a i l l u s t r a t e s t h a tt h et a i lo fg a r c h ( 1 ，2 ) m o d e li st h i n n e rt h a nt h a to fn o r m a l d i s t r i b u t i o nu n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s t h e r e f o r e ，g a r c h ( i ，2 ) m o d e l c a n a c c u a t e l yc h a r a c t e rt h eh i g h e rp e a ka n df a tt a i lp h e n o m e n o no fr e t u r n 2 t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e s c r i b i n gt h ep a r a m e t e r se s t i m a t i o no f 哈尔滨 二程大学硕十学位论文 g a r c h ( i ，2 ) a r c ：d e r i v e db yu s i n gt h em a x i m u m l i k e l i h o o de s t i m a t i o nm e t h o di n s t a t i s t i c s n ev o l a t i l i t ye s t i m a t e dc a l li m p r o v eb l a c k - s c h o l e sm o d e l k e y w o r d s ：s t o c ko p t i o n ，v o l a t i l i t y ，b l a c k s c h o l e sm o d e l ，g a r c h ( 1 ，2 ) m o d e l ， p a r a m e t e re s t i m a t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用 已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中己注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品 成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 作者( 签字) ：彳f 朗两 i 、j 日期：t 印，年多月f 宫日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者签字：香丽娲 日期： 口。7 年占月l 妒日 导师( 签字) ： 昊于协旯产d 7 d o 产6 月倍日 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 1 1 金融数学的发展 第1 章绪论 现代金融理论伴随着金融市场的发展大量应用概率统计，数学技术以其 精确的描述，严密的推导不容争辩地走进了金融领域，这是经济数学化的最 大成就，从而出现了一个全新的学科金融数学( f i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ) t 1 1 。 金融数学，又称数理金融学、数学金融学或分析金融学，它是以概率统计和 泛函分析为基础，以经济计量学和计算机科学为工具，对金融资产进行数学 建模、理论分析、数值计算等定量分析，主要包括在不确定环境下研究风险 资产( 包括金融衍生产品和金融工具) 的定价、规避风险和最优投资消费策略 的选择1 2 4 0 】。金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用， 因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展得很快，是目前十分活跃的前 沿学科之一。 现代金融数学的发展大体可以分为三个阶段。2 0 世纪初到6 0 年代是新 古典理论体系的发展和成熟阶段，其代表是近代资产定价分析。2 0 世纪7 0 年代到8 0 年代是衍生资产定价理论发展阶段，主要以b l a c k s c h o l e s 定价公 式为代表。2 0 世纪8 0 年代以后，重点则进入了金融市场、金融创新和金融 机构的研究。这是明显不同的三个时期l l l l 。 最早在g c r a m m e r ( 1 7 2 8 ) 矛1 d b e m o u l i ( 1 7 3 8 ) 那里就有对如何在不确定 环境下进行决策的最初思考，但是早期的经济学家关心的是整体价格水平、 利息率如何决定，不重视微观金融过程，因此g c r a m m e r 和d b e r n o u l i 的 理论沉寂了长达两个世纪之久1 1 2 1 。 金融数学的开创性论文是1 9 0 0 年法国数学家l b a c h e l i e r 的博士学位论 文投机理论1 1 3 1 。在他的论文中首次利用随机游动的思想给出了股票价格 运行的随机模型，是最早的期权定价模型。该模型假设股票价格过程是绝对 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的b r o w n 运动，单位时间方差为仃2 且没有漂移，买权的预期价格为 c 毋圣( 差m 似赭+ 盯厉似杀) 其中，s 为股票价格；k 为敲定价格；t f 为距到期日的时间：e 为买权的 价格；圣( ) 为标准正态分布的分布函数；皿( ) 为标准正态分布的概率密度函 数。lb a c h e l i e r 模型奠定了现代期权定价理论的基础，但该模型假设股票价 格过程是绝对b r o w n 运动允许股票价格为负，这与有限债务假设相悖。 另外，该模型忽略了资金的时间价值为正，期权与股票间的不同风险特征以 及投资者的风险厌恶，因而在应用上受到限制。 1 9 5 2 年，美国经济学家、金融学家、1 9 9 0 年诺贝尔奖获得者d m a r k o w i t z 在文献 1 4 ( p o r t f o l i os e l e c t i o n ) q b 提出了投资组合选择理论，第一次从风险资 产的收益率与风险之间的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合 的选择问题，获得了著名的基金分离定理，为资产定价理论奠定了坚实的基 础。被誉为是金融史上第一次“华尔街革命”。并提出利用投资组合选择， 在一定的预期收益下，使投资风险达到最小，表示如下 r a i n 盯：= x x x r a i nx a x 盯：2 高 其中，咋2 为组合方差；x = “，) 7 ，- - - 1 ；a 为，l ，z 实对称矩 阵；1 = g ，1 ) 7 ；r 为均值；如为组合均值。 1 9 5 9 年，d m a r k o w i t z 在文献 1 5 ( p o r t f o l i os e l e c t i o n ：e f f i c i e n td i v e r s i f y c a t i o no fi n v e s t m e n t ) 中，提出了资产组合均值方差理论，这既是现代资产组合 理论的奠基石，也是整个现代金融理论的奠基石。 在d m a r k o w i t z 的现代投资理论的基础上，另一位美国经济学家、金融 学家、1 9 9 0 年诺贝尔奖获得者w f s h a r p e 在文献 1 6 ( c a p i t a la s s e tp r i c e s ：a t h e o r yo fm a r k e te q u i l i b r i u mu n d e rc o n d i t i o n so fr i s k ) 中，在比较强的市场假设 哈尔滨工程大学硕士学位论文 下，给出了均值方差模型的均衡版本，即资本资产定价模型( c a p i t a la s s e t p r i c i n gm o d e l 简称c a p m ) ，基础公式如下 = r l + 纯( 丘一r r ) 其中，为第i 个资产的预期收益率；r l 为无风险资产收益率；气为市场组合 的预期收益率；r k r f 为市场风险溢价；& = c o y ( r , ，r k ) , r ：为第f 个资产的p 系数1 1 7 ，代表市场组合发生变动时，某项资产的变动敏感程度；仃：为资产组 合的方差，即系统风险。 1 9 6 5 年，e f f a m a 和p a s a m u e l s o n 分别在文献 1 8 】和【1 9 】中提出了有 效市场理论。该理论认为，在一个正常发挥功能的资产市场，资产价格的运 动过程可以用半鞅过程来描述，债券价值的最佳估计是今天的价格。它给 出了资产价格运动的动力学理论框架和金融市场如何根据外界消息来进行调 整的机制，开拓了利用统计学方法证实检验信息是如何反映在债券价格中的 新途径。 期权定价理论在l b a c h e l i e r 后的半个多世纪里一直发展甚微，直到1 9 6 5 年，p as a m n e l s o n 在文献 2 1 ( r a t i o n a lt h e o r yo f w a r r a n tp r i c i n g ) 中，首次给 出了如下的股价模型 d s = i z s d t 一- c r s d b 其中，s 为某股票在t 时刻的价格，p 和盯为常量，b 服从b r o w n 运动。这个 模型与l b a c h e l i e r 在1 9 0 0 年提出的模型比较起来进行研究是件很有意思的 工作1 2 1 。 另外，p a s a m n e l s o n 在文献f 2 1 中还考虑了期权和股票的预期收益率 因风险特性的差异而不一致，并认为期权有一个固定的更高的预期收益率p ， 从而得出一个买方期权的表述公式，即股票价格漂移方程，表达如下 c f - - e 。一觚s 西 l n ( 昙) + ( q + 三仃2 ) f 丁一r ) o 也j 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 - e 一口( r 一) k 圣 其中，o f 为股票的预期收益率：p 为看涨期权的预期收益率。 1 9 7 3 年，f b l a c k 和m s c h o l e s 在文献 2 2 ( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n d c o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) 中，用无套利的方法提出了具有普遍意义且不包含任何风 险因素的b l a c k s c h o l e s 模型，被誉为是金融史上第二次“华尔街革命”。公 式如下所示 瓦o v + 心面o v _ 12 s 2 豢卅( 1 - 1 ) 其中，s 为标的变量的衍生资产的价格；v = y ( s ，f ) 为关于s 的衍生未定权益 的价格；r 为瞬间无风险利率；盯：为标的物收益率的方差。并成功地推导出 了欧氏看涨和看跌期权的解析定价公式【：】，这激发了在理论和实际工作中大 量运用这种方法的热情。 b l a c k s c h o l e s 期权定价理论提出后，r c m e r t o n 于1 9 7 6 年又进一步发 展了b l a c k s c h o l e s 期权定价理论，考虑了利率是随机变量时的期权定价模型 。定义b ( t ) 为与期权同时到期且到期时支付给持有人$ 1 的贴现债券的价 值。r c m e r t o n 假设口遵循以下过程 譬：出+ a n d z 雪 了2 班+ 雪 其中，如是债券价格的增长率，它是随机变量；o b 是b 的波动率，它假定 为时间的已知函数；比口是w i e n e r 过程。他得出的欧式看涨期权与看跌期权 的定价公式如下 c = s n ( d 。) 一b k ，v ( d 2 ) = b k d v ( 一d ：) 一s n ( 一d 1 ) 其中， 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 d 2 = d 1 一方丁一f 彦2 厉= f ( 伊2 + o ；- - 2 p o t 7 b ) a t 参数t 7 是股票的波动率且p 为股票价格与债券价格之间的瞬间相关系数。这 里，b ( t 1 = e - r 仃- ，r 为r 时刻到期的无风险债券的利率。r c m e r t o n 的模 型支持使用尺，而不是b l a c k s c h o l e s 模型中的，。在大多数可交易的期权中， 彦接近于盯。因此波动率的调整对于期权价格几乎没有影响。 1 9 7 6 年，j c o x 开创了基于无套利的风险中性定价方法。 1 9 7 6 年，s a r o s s 在文献【2 5 】( t h ea r b i t r a g et h e o r yo fc a p i t a la s s e tp r i c i n g ) 中，基于w f s h a r p e 的c a p m 模型提出了一种新的资产定价理论，即套利 定价模型( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ，简称a p t ) 。该模型用多个因素来解释风 险资产收益，并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因素之间存 在( 近似的) 线性关系这个结论。单个时期风险资产的收益率可以写成如下 形式 r j = e i + 芝二 3 i k f k 七巴j j ：k ，j 其中，e ，为资产_ 的预期收益率，氕为随机变量( 非指定的外生因子) ，为 干扰因子，也是随机变量，称为残差。 1 9 7 9 年，j c o x 、s a r o s s 和m r u b i n s t e i n 在文献【2 6 】共同提出了二项 式期权定价模型( c o x r o s s r u b i n s t e i n ，简称c g r ) ，模型假定：股票现在价格 为s ，从现在到未来的一期间内，股价有e ( 0 p 1 ) 的可能性上涨到“s ，也 有l p 的可能性下跌到办，且只有这两种可能，具体表达如下 c ，_ ，。丢弗f ( 1 一q ) r - i m a x ( u i d r - i s - k , 0 ) ( 1 - 2 ) 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中，c 是到期价格；，为总收益率；2 三墨。 “一口 在文献【2 7 】中给出了未定权益定价理论，即在假定 ( 1 ) 没有交易成本，资产是可分的； ( 2 ) 有大量的投资者，每个投资者都可以在市场上以现有的价格进行资产 交易； ( 3 ) 资产市场出清； ( 4 ) 在交易市场上，借款利率和贷款利率一致； ( 5 ) 资产1 ( 它是风险资产) ； ( 6 ) 资产2 ( 它是未定权益，也是风险资产) 。 已知资产1 和资产2 的价值关系为 当0 f 其中，q 是样本空间，r 是序数集。对于每个f ( f 丁) ，x ( ，t ) 是样本空间q 中 的一个随机变量。对于每一个u q ) ，x ，) 是随机过程在序数集丁中的 一次实现。一般简记为 置，t 丁) 或 墨 。 随机过程包括离散型和连续型两种。如果x 是一个连续( 离散) 型随机 变量，则称为连续( 离散) 型随机过程。金融资产价格随时间的变化是连续 的，因此形成一个连续型随机过程，简称连续过程。观测到的价格即为连续 过程的一个实现。因此随机过程的理论是对观测到的价格进行分析和做出统 计推断的基础。本章所考虑的都是连续过程。 连续型随机过程又分为两种。一种是连续时间的连续过程，如 b l a c k s c h o l e s 模型。另一种是离散时间的连续过程，即价格变化发生在离散 的时间点上，又称为随机序列。 定义2 2 当t = 0 ，一2 ，一1 ，0 ，1 , 2 ，一或t = 1 ，2 ， ，此时的随机过程称 为随机序列或时间序列。 论述这种数据的统计方法就为时间序列分析。时间序列最为重要和有用 的特征是承认观测值之间的依赖关系或相关性，这种相关性一旦被定量地描 述出来，就可以从系统的过去值预测将来的值。时间序列模型被广泛的应用 在金融、控制、医学等各个领域的建模。然而本论文感兴趣的是在金融领域 的应用，即建立对分析金融时间序列有用的简单的经济计量模型。如a r 模 型、m a 模型、a r m a 模型、a r c h 模型及g a r c h 模型。 1 2 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 2 1 随机变量的条件数学期望 定义2 3 设( x ，聊为二维连续型随机变量，给定y ，设对于任意固定 正数，p ( y 一 0 ，且若对于任意实数x ，极限 姆p ( x 纠y - e 是白噪声序列，p20 ，q 0 ，则称 x ，) 服从自回归滑动平均模型， 简记为a r m a ( p ，q ) ，p 与口称为自回归滑动平均模型的阶数， 馋( f = 0 ，1 ，2 ，p ) 和破( f = 1 ，2 ，目) 称为a r m a ( p ，q ) 的参数。 当q = 0 时，式( 2 - 5 ) 变为 p 置= + 吆z 一，d - g t( 2 - 6 ) t = l 此时，称 x ， 服从自回归模型，简记为a r ( p ) ，p 称为a r o ) 的阶数， 峨( f = 0 ，1 ，2 ，p ) 称为a r ( p ) 的参数。 当p = 0 时，式( 2 - 5 ) 变为 哼 置= 一谚一，+ 乞 f = 1 ( 2 7 ) 此时，称 x ，) 服从滑动平均模型，简记为m a ( q ) ，q 称为m a ( q ) 的阶数， ，谚o = l2 ，q ) 称为m a ( q ) 的参数。 对于平稳的a r m a 模型，其无条件均值为 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 她户五尚( 2 - 8 ) 2 2 3 平稳时间序列模型的性质 为了模型定阶的需要，下面给出自相关系数、自相关函数( a c f ) 、偏自 相关函数( p a c f ) 以及样本自相关函数、样本偏相关函数的定义。 定义2 1 3 设 墨) ，t t 是平稳时间序列，称 e x ，一e ( 五) 】e 【置一。- e ( x , 一。) 】= ，y t ，k = 0 ，1 , 2 ， 为自协方差函数。当k = 0 时，得到滞后零阶的自协方差，即x 的方差。这 些协方差仉是x 和它自身的先前值的协方差。 另一种更为简便的描述这种关系的是自相关系数。表达式如下 风= 福黜2 锗= 鲁 仁9 ， n 是标准化后的自相关系数，它的取值在1 之间。且当k = 0 时，有p o = 1 。 定义2 1 4 以滞后期k 为变量的自相关系数 以 ，k = o ，l 2 ，( 2 1 0 ) 称为自相关函数。因为既= 以。，即c o y ( x , 一。，z ，) = c o y ( x , ，z + t ) ，自相关函 数是零对称的，为偶函数。 定义2 1 5 设吮，识：，丸满足 或 7 0 ： 仉一1 乃 7 0 ： 仇一2 1 岛 岛 1 p k 1p k 2 屯。 晚： ： 丸 屯。 晚： ： 九 乃 ，y 2 ： 7 3 岛 p 2 ： p k ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 弋 以 。 址址； 一 一 一 一 一 纯跟；1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 约定= 1 ，则称丸，k 0 为偏相关函数。方程( 2 1 1 ) f f 【i 方程( 2 1 2 ) q b 的系 数矩阵称为t o e p l i t z 矩阵，方程( 2 1 1 ) 和方程( 2 - 1 2 ) 称为y u l e - w a l k e r 方程f 5 1 】。 偏相关函数能够在概率上刻画平稳时间序列 x ，) 的任意一个长为k + 1 的片段墨，墨州，x m 圳x 卅，在中间两x ，h ，x t + 2 , - - , x 一，固定的条件下， 两端x 。和x 的线性联系的密切程度。 定义2 1 6 设 x ，】- ，t t 是平稳时间序列，称 1 丁一七 倪= 专【x ，- e ( x ，) 珲【x h - e ( x , 一。) 】，k = o ，l 2 ， ( 2 - 1 3 ) j t = l 为样本自协方差函数。称 名 反= 警，k = o ，1 ，2 ，( 2 1 4 ) y o 为样本自相关函数。 定义2 1 7 设咴，晚：，丸满足 或 1 a a 1 p k 一1p k 一2 呶：l jl 一 蚪 乃 7 2 ： 岛 j d 2 ： p k ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 则称丸，k 1 为样本偏相关函数。 2 2 4 平稳时间序列模型的建立 a r m a 是一个平稳的时间序列，可以用来描述一个时间序列的结构性 质，是条件异方差模型的基础。因此这里简要给出建立一个a r m a 的方法， 主要可包括三个步骤： 1 9 4 也 ok亿i：仉；亿仇；址 一 一 艮纯；1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第一步，检验序列的零均值性和平稳性。零均值性的检验，即将样本均 值i 和均值的标准差s e ( i ) 进行比较，根据3 盯原则可知，在零均值条件下， i 应以9 9 7 3 的概率落入区间【一3 婚( i ) ，3 s e ( i ) 】中，否则不具有零均值性。 对时间序列的平稳性检验可采取数据图判断法，a c f 、p a c f 法，特征根法， 逆序检验法，游程检验法或单位根检验法。其中，较常用的是数据图判断法 和a c f 、p a c f 法。 第二步，模型识别。主要是依据序列的自相关函数和偏相关函数的拖尾 性和截尾性来识别模型的类型。 第三步，模型定阶。确定模型的阶数目的是反映数据的动态特征。可以 通过画出数据的时间图以及a c f 和p a c f 的图像，来初步定阶。也可采用f 检验定阶法或最佳准则函数定阶法( 主要有f p e 准则、a i c 准则、b i c 准则) 。 第四步，参数估计。可以采用矩估计方法、最小二乘法估计( l s ) 或极大 似然估计( m l e ) 。考虑到精度的因素，通常采用的是最小二乘法估计和极大 似然估计。 第五步，诊断与检验。模型检验即考察设定和估计的模型是否充分。可 以采用过度拟合与残差诊断【s 。1 。过度拟合是指，要拟合比需要用于反映所识 别数据的动态特征还要大的一个模型。残差诊断是指，检查残差项间是否存 在线性关系，如果有，则表明原先设定的模型未能充分反映数据的特征。具 体可以用a c f 和p a c f 或者l j u n g b o x 统计量1 5 4 】来进行检验。 2 3 本章小结 金融时间序列模型主要研究的是资产价值随时间演变的理论与实践，它 的一个特点就是包含不确定因素，因此本章是整篇论文的研究基础。一般将 资产收益率看成是随时间推移而形成的一族随机变量，因此本章首先介绍了 一些条件数学期望的有关理论，包括一个随机变量关于另一个随机变量的条 件数学期望以及随机变量关于给定盯一代数下的条件数学期望。然后介绍了 时间序列的相关知识，包括时间序列的概念及分布。作为全文的基础，本章 2 0 哈尔滨- t 程大学硕+ 学位论文 重点给出了简单的平稳时间序列模型，包括a r ( p ) 模型、m a ( q ) 模型和 a r m a ( p ，q ) 模型，尤其介绍了a r n t a ( p ，g ) 模型的性质，以便对资产收益率 进行建模。最后简要给出了建立一个a r m a 模型的方法。 2 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第3 章条件异方差模型 用来给资产收益率的波动率建模的经济计量模型，称为条件异方差模型。 条件异方差，顾名思义，即在给定的条件下，方差不再是常数，而是随时间 的变化而变化的，即条件异方差模型中的方差也是波动的。 波动率是标的资产收益率的条件方差，是期权交易中的一个重要因素， 同时在风险管理中也起着重要作用。对一个时间序列波动率的建模，能够改 进参数估计的有效性。尤其对于股票的波动率，它具有不可观测性，但是它 的波动群集等特征能够通过资产收益率表现出来。 3 1 资产收益率 金融数学中，常用的金融变量主要有：价格( 股价、股指、汇率、期货价 格) 、收益率( 股票收益率、股指收益率、利率、期货收益率) 、波动、交易量、 公司金融变量( 债券发行、套期保值工具) 。其中，收益率与其波动性备受广 大金融学者的关注。然而，出乎我们意料的是，大多数金融研究的对象并不 是资产价格，而是资产收益率。文献【5 5 】中给出了两个使用收益率的主要理 由：第一，平均而言，金融市场可以认为是完全竞争，投资规模不会影响收 益率，收益率是度量投资机会是否合适的指标；第二，收益率序列比价格序 列更容易处理，因为前者有更好的统计性质( 如平稳性、遍历性等) 。 3 1 1 资产收益率的概念和性质 关于资产收益率有多种定义方式。设s 为资产在t 时刻的价格，暂时假 定资产不支付分红，这里给出常用的几种资产收益率的定义。 定义3 1 从时刻t - - 1 到时刻f 持有一个资产，将获得一个简单总收益率 为 1 + r = 丢 哈尔滨工程大学硕十学位论文 或者 s = s 一，( 1 + 足) 则对应的单期简单净收益率，或称简单收益率，为 r = 妾。= 学 ， 定义3 2 从时刻f 一七到时刻f 持有一个资产共k 期，得到七期简单总收 益率为 1 侧啦 丢西s t1 ”，等 = ( 1 + r ) ( 1 + r 一。) ( 1 + r - k + 1 ) = r i ( 1 + r 一，) 因此，多期简单总收益率就是k 个单期简单收益率的卷积，称为复合收益率。 对应的k 期简单狰收益率为 删= 訾 ( 3 - 2 ) 实践中，在讨论收益率的时候，实际的时间区间非常重要( 例如日收益率、 周收益率、月收益率、年收益率等) 。如果收益区间没有给定，那么就暗含着 实践区间为一年。如果持有资产的期限为七年，则年化的( 平均的) 收益率定 义为 a i l n u a l i z e d r ， k - h 0 + r h ) r 一1 ( 3 3 ) 这是k 个单期总收益的几何平均，由于计算算数平均值比计算几何平均 值容易，并且单期收益率般很小，因此将式( 3 3 ) 写成 a i l i l u a l i z e d 饵【七】) e x p 唼丢1 n ( 1 + r j ) 】一1 ( 3 - 4 ) 通常使用一阶泰勒展开去近似年度化的收益率，得到 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a n n u a l i z e d 似i 1 丢k - 1 r j( 3 5 ) 然而，在有些场合，式( 3 5 ) 的近似程度并不好。 一般地，连续复合的净资产值s 。是 = s oe x p ( r x n )( 3 - 6 ) 其中，s 。为初始资本；r 为年利率；n 为年数。则由式( 3 6 ) 有 s o = s 。e x p ( 一，z )( 3 7 ) & 叫做n 年后价值为的资产的现值。 定义3 3 总收益率的自然对数被称为连续复合收益率，或对数收益率， 表达式为 乩( 1 + r ) = i n ( 芒) ( 3 - 8 ) 对数收益率比净收益率r 更加方便。首先，它考虑了多期收益率，这 里有 陋】= i n ( 1 + 足防】) = l i l 【( 1 + r ) ( 1 + r 一。) ( 1 + r 一。+ 。) 】 = l n ( 1 + r ) + l i l ( 1 + r 一。) + i n ( 1 + r , 一t + 。)( 3 - 9 ) = + 一1 + + 一t + 1 所以，对数收益率是连续复合单期收益率的和，而且具有更易处理的统计性 质。 定义3 4 令p 为一个投资组合，在资产i 上的投资权重为嵋，那么时刻 t 投资组合收益率为 r v 。，= 吃 其中，r 为资产f 在时刻f 的收益率。 定义3 5 一个资产的超出收益率是该资产的收益率与某个参考资产的 收益率之差。这个参考资产通常是无风险的，如美国短期国债的收益率。简 哈尔溟工程大学硕十学位论文 单超出收益率和对数超出收益率分别定义为 z ，= r s o 。 z f2 一1 o f 其中和厂o f 分别是该参考资产的简单收益率和对数收益率。一般情况下， 超出收益率被认为是一个套利投资的赢利。 研究资产收益率，需要先讨论其分布性质。为了理解收益率的行为，考 虑由个资产组成的集合，并且持有丁期。 对数收益率饥i i = 1 ，2 ，n ；t = 1 ，2 ，n 的最一般的模型是其的联合分 布函数 v ( _ 1 一，r 1 ；r 1 2 , - - , r 2 ；r x r ，盯；y ；o ) 其中y 是由决定资产收益率的环境变量组成的状态向量，这些变量描述了决 定资产收益率的环境；0 是唯一决定资产收益率分布函数的参数向量；概率 分布函数c ( ) 刻画了收益率和y 的随机行为。 有些金融理论考虑的是在单个时间点t 上个收益率的联合分布( 即 饥，厂， 的分布) 。另外一些理论则强调各个资产收益率的动态结构( 即 对一个给定的资产f ，饥，】的分布) ，本论文中，我们关心的是后者。 为此，我们把联合分布写成如下形式 f ( ，协；p ) = f ( n 。) ，( ，；2i 。) ，( 7 i j 一，；。) r = f ( ，) 丌f ( h 圳，。) ( 3 1 0 ) f = 2 这个分解突出了对数收益率在时间上的先后相依性。 由于资产收益率为连续型随机变量，将式( 3 - 1 0 ) 写成 r 厂( w 一，b ；o ) = 厂( ，；o ) n 厂( i h ，。；o ) ( 3 1 1 ) t = 2 为了方便起见，本论文中以后的部分将f 省略。 下面介绍两种特殊的分布。 ( 1 ) 正态分布 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 定义3 6 分布的概率密度函数为 m ；们= 击e x p 卜譬】 ( 3 - 1 2 ) 且由它的均值弘和标准差盯完全确定，称为服从均值为p ，方差为口：的标准 正态分布，又称g a u s s i a n 分布，记为( p ，盯2 ) 。n ( o ，1 ) 可以看成是由线性变 换得到的，如果x n ( u , 0 - 2 ) ，则z ：x - # n ( 0 ，1 ) ，且x = p + 盯z 。 仃 在金融研究中，一个传统的假定是：简单收益率 心l t = 1 ，2 ，丁) 是独 立的，且都服从一个固定均值和方差的正态分布，这个假设使得对资产收益 率进行统计推断称为可能。然而，该假定又存在不可克服的困难：第一，简 单收益的下限为1 ，正态分布没有下界；第二，如果兄服从正态分布，那么 多期简单收益率r ，陋】并非服从正态分布，因为它是一期收益率的乘积；第三， 许多金融资产的实证研究表明，它们因具有正的超出峰度 3 3 1 而拒绝正态假 定。 ( 2 ) 对数正态分布 另一个常用的假定就是，资产的对数收益率是相互独立的且都服从均值 为以，方差为的正态分布。那么，简单收益率是独立同分布的对数正态的 随机变量，均值和方差分别为 e ( r ) = e x p ( p a + 妄盯? ) 一1 v a t ( s , ) = e x p ( 2 p a + 露) e x p ( a ；) - i 】 若假设简单收益率服从对数正态分布，均值为心，方差为盯：2 ，则对应的 对数收益率的均值和方差分别为 e c ，= m c 肛：+ 。，i ：丢磊 曲( ，+ 南 哈尔滨工程大学硕士学位论文 3 1 2 资产收益率的矩特征 设“，) 是的丁个观测值的随机样本。 金融资产收益率的样本均值应，即一阶矩，是指收益率样本在观察期内 的平均，计算公式为 下 口= 营( ) = ；1 一 r 。 ( 3 1 3 ) 金融资产收益率的样本方差彦：，即二阶矩，反映了收益率对样本均值的 偏离程度5 ：的计算公式为 如吲沪去( 柏2 ( 3 - 1 4 ) 金融资产收益率的样本偏度j ，即三阶矩，其值为正( 正偏) 或负( 负 偏) 反映了偏斜的方向，其值的大小表示偏斜的程度。样本偏度童的计算公 式为 缸= 业适：亘1 三t ! 二二竺 ( 3 彤) 【坛，( ) 】3 2 彦3 金融资产收益率的样本峰度名，即四阶矩，用来测定收益率分布的形状， 般以正态分布的峰度为基准( 正态分布的峰度是3 ) 。仡一3 称为超出峰度。 当超出峰度为正时，表示该分布比正态分布厚尾；当超出峰度为负