（基础数学专业论文）关于三类特殊曲面的显式构造.pdf

摘要 本文内容分两章。 第一章中，我们用3 维球面和3 维反d es i t t e r 空间中的l e g e n d r e 曲线分别 构造出c p 2 和c h 。中l a g r a n g e 曲面，进而利用l e g e n d r e 曲线的曲率性质对这 些l a g r a n g e 曲面的极小性进行了刻画。 第二章中，我们研究了双曲空间日s ( 一1 ) 中的常g a u s s 曲率曲面首先，我 们构造了双曲空间h 3 ( 一1 ) 中一类互不合同的常g a u s s 曲率曲面，这些曲面的 主曲率都是有界的；然后我们给出了一类从h 2 ( c ) ( 一1 c 0 ) 到日3 ( 一1 ) 的等 距浸入，这些浸入具有无界的主曲率。 关键词：l e g e n d r e 曲线；l a g r a n g e 浸入；h o p f 纤维化；平均曲率；极小浸 入；等距浸入；双曲空间；主曲率。 a b s t r a c t i t h i sp a p e ri n c l u d e st w oc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e w ec o n s t r u c tl a g r a n g i a ns u r f a c e si nc p 2a n dc h 2b yu s i n gl e g e n d r e c u r v e si nt h e3 - s p h e r ea n da n t id es i t t e r3 - s p a c e a m o n gt h e s es u r f a c e s ，w ec h a r a c t e r i z e m i n i m a ls u r f a c e si nt e r m so ft h ep r o p e r t i e so ft h ec u r v a t u r e so ft h eg e n e r a t i n gc u r v e s i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t es o m es u r f a c e sw i t hc o n s t a n tg a u s sc m w a t u r ei nh y - p e r b o l i cs p a c eh 3 ( 一1 ) f i r s t ，w ec o n s t r u c tac l a s s o fn o n c o n g r u e n ts u r f a c e sw i t hc o n s t a n t g a u s sc u r v a t u r e si nh y p e r b o l i cs p a c eh 3 ( 一1 ) ，a n dp r i n c i p a lc u r v a t u r e so ft h e s es u r f a c e s a r ea l lb o u n d e d ；t h e nw eg i v eat y p eo fi s o m e t r i ci m m e r s i o n sf r o mh 2 ( c ) ( 一1 e o 是c - + - 中具有常截面曲率c ，中心在原点的超球面。 我们考虑h o p f 纤维化： ( 1 3 1 )7 r ：s 轨“( c ) 一c p ”( 4 c ) 在s 凯+ 1 ( c ) 上考虑切触结构( 即c 计的复结构j 在s 2 n + i ( c ) 上的投影) 和结构向 量场 = j x ，其中z 是位置向量。一个等距浸入，：m s 2 计1 ( c ) 被称为d 全实 的( 或一可积子流形) ，如果f 是f , ( t m ) 的法向量并且( ( t m ) ) ， ( t m ) ) = 0 ， 其中( ，) 表示伊+ z 上内积c t 件上复结构，是由江j 诱导的。文献【2 0 】 中的结果是下面的特殊情况 设g ：m c p n ( 4 c ) 是一个l a g r a n g e 等距浸入，则存在一个等距覆盖映射 - r ：露一m 和一个d 全实等距浸入，：衍一s 2 1 ( c ) 使得9 ( 丁) = 丌( ，) 因此每一 个l a g r a n g e 浸入都能被局部( 或整体，如果我们假设流形是单连通的) 提升为 相同黎曼流形的一个c 一全实浸入。相反地，设，：厨一s z ( c ) 是一个d 全 实等距浸入，则g = 丌( ，) 砑一c w ( 4 c ) 也是一个等距浸入，且是l a g r a n g e 的 5 在这个对应下，和g 的第二基本形式h ，和舻满足霄。h i = h g ，而且 ，关于丌 是水平的( 我们将用h 表示 ，和舻) 情形2 面n ( 4 c ) = c h ”( 4 c ) ，c 0 在这种情况下，我们考虑被赋予p s e u d o - e u c l i d 度量g o 的复n + 1 维空间四十1 ，其中 n + 1 ( 1 3 2 )g o = 一d z l d - 5 1 + 奶奶 5 = 2 设 ( 1 3 3 )h ；1 ( c ) = z = ( z l ，2 2 ，z n + 1 ) ：( 2 ，z ) = 1 c o ) ， 其中( ，) 表示四+ 1 上由g o 诱导的内积度量，砷+ 1 是反d es i t t e r 空间 我们设 z = z c “+ 1 ：r e ( u ，z ) = r e ( u ，i z ) = o ) ，h = a c ：入x = 1 ) 则我们有h i 2 时1 ( c ) 上一个作用 zh a z ，v z 日 “+ 1 ( c ) ， 而向量i 2 是上述作用的切向量。由于g o 是h e r m i t e 度量，我们有孵g o ( i z ，i z ) = 1 c 注意到轨道是由轧= ( c o s t + is i n t ) z 给定的，并且d x 。d t = i x 。因此轨道位于由 z 和娩张成的负定平面上。商空间h n + 1 一是具有常全纯截面曲率4 c 的复双 曲空间c h n ( 4 c ) ，且复结构t ，是由四+ 1 上典型复结构j 通过下面全测地纤维化 诱导的： ( 1 3 4 )7 r ：研时1 ( c ) 一c h ”( 4 c ) 和情形( 1 ) 一样，设g ：m c h “( 4 c ) 是一个l a g - r a n g e 浸入，则存在一个等距 覆盖映射r ：砑一m 和一个d 全实等距浸入，：砑一日产+ 1 ( c ) 使得夕( f ) = ”( ，) 因此每一个全实浸入都能被局部( 或整体，如果我们假设流形是单连通的) 提 升为一个c - 全实浸入。相反地，设，：廊一所蚪1 ( c ) 是一个d 全实等距浸入， 则9 = 丌( ，) ：衍一c h ”( 4 c ) 也是一个等距浸入，且是l a g r a n g e 的。在这个对应 6 下，和g 的第二基本形式危，和矽满足7 r 。h i = h g ，而且 ，关于_ 7 r 是水平的 ( 我们将用h 表示和 。) s 3 ( c ) ( 或研( c ) ) 中d 全实曲线就是l e g e n d r e 曲线 1 4l e g e n d r e 曲线和w a r p e dl a g r a n g e 曲面 设s 3 ( 1 ) 和研分别表示俨中单位超球面和单位反d es i t t e r 空间， s 3 ( 1 ) = ( z ，w ) c 2 ：l z l 2 + l 叫1 2 = 1 ) ，研= 如，w ) c 2 ：i z l 2 一i 伽1 2 = - 1 设 一y ：= 一y ( s ) = ( 7 l ，一y 2 ) ： + s 3 是s 3 ( 1 ) 上的一条单位速度l e g e n d r e 曲线， q ：= q ( ) = ( o l l ，0 2 ) ：2 _ h 是研上的一条单位速度l e g e n d r e 曲线，则，y 和q 满足： ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 饥1 2 + i 仇1 2 = 1 ，1 7 i 1 2 + l 镌1 2 = 1 ，y l t ，y - 1 + 幔_ 2 = 0 0 9 1 1 2 一j d 2 1 2 = 一1 ，i n i l 2 一l o ：1 2 = 1 ，n t l - n 1 一a 幺- 2 = 0 设7 ，卢都是s 3 ( 1 ) 上的单位速度l e g e n d r e 曲线。我们考虑由下面式子 ( 1 4 3 )1 】 ，( t ，8 ) = ( 7 t ( s ) 仍( t ) ，y ，( 8 ) 岛( ) ，( s ) ) 给出的映射妒：1 1 厶cr 2 _ s 5 ( 1 ) cc 3 由( 1 4 3 ) 我们可得 ( 1 4 4 )讥；( ，y ，( s ) 儡( ) ，1 1 ( s ) 厮( t ) ，o ) ，以= ( 嘶( s ) 伪( ) ，嘶( s ) 岛( ) ，呓( s ) ) 由( 1 4 1 ) 中最后一个方程，可得 ( 1 4 5 )( 也，讥) = 7 l ，y - - 4 1 p 2 p - - 2 + 7 l 萌屏万l = 0 7 和 ( d 妒，d e ) = ( c t d t + 妒s d s ，c t d t + 妒。d s ) ( 1 4 6 )= i 讥1 2 d t 2 + l 识f 2 d s 2 = d s 2 + i ，y l l 2 d t 2 因此，映射( 1 4 3 ) 定义了一个从1 1 1 2 到伊的等距浸入，其诱导度量是 w a r p e d 乘积度量g = d s 2 + 1 7 1 1 2 疵2 由于7 是s 3 ( 1 ) 上的一条单位速度l e g e n d r e 曲线，我们可知( ，y 7 ，竹) 三0 ，即 ( 嘶，研1 ) + ( 镌，i 7 2 ) = 0 由( 1 4 1 ) 的第一个方程，可得 ( 也，i 砂) = ( ( 嘶忍，伪，) ，( 幻，岛，吾7 - 西，i 仇) ) ( 1 4 7 ) 3i 恳1 2 ( 嘶, i 7 1 ) + i 岛1 2 “, i v l ) + ( ，研2 ) = ( 嘶，i 7 1 ) + ( ，i 7 2 ) = 0 对于每一个固定的8 ，( 1 4 3 ) 表明 s ) 岛是自然浸入到s 5 ( 1 ) 的一个d 全 实子流形。所以，( x ，i 砂) = 0 ，x 切于w a r p e d 乘积的第二部分。因此缈正交于 w a r p e d 乘积，1 川2 通过( 1 4 3 ) 容易证明s 5 ( 1 ) 上的切触结构映w a r p e d 乘积的每一切向量为 法向量。因此，妒是一个d 全实等距浸入，再由前面第三节中情形( 1 ) 可知 = 7 ro 妒是一个从厶1 1 。1 如到c p 2 ( 4 ) 的l a g r a n g e 等距浸入 所以，我们有 命题1 4 1 映射( 1 4 3 ) 给出了一个l a g r a n g e 等距浸入 万= 7 ro 妒： h i 2 一c p 2 ( 4 ) 设，y 是s s ( 1 ) 上的单位速度l e g e n d r e 曲线，o 是研( 一1 ) 上的单位速度l e g - e n d r e 曲线。我们考虑由下面式子 ( 1 4 9 )妒( 8 ，t ) = ( ，y 1 0 ) 0 1 ( t ) ，仇( s ) n 1 ( ) ，a 2 ( t ) ) 8 给出的映射砂：1 2 1 3cr 2 一h ( - 1 ) c 四 同上面一样可知： 映射( 1 4 9 ) 定义了一个d 全实等距浸入 ( 1 4 1 0 )砂：1 2 i 。i 如，日 ( 一1 ) cc ? ， 并且有 命题1 4 2 映射( 1 4 9 ) 给出了一个l a g r a n g e 等距浸入 万= 7 ro 妒：1 2x l m i 如_ c h 2 ( 一4 ) 1 5极小l a g r a n g e 浸人 在这一部分我们利用l e g e n d r e 曲线的曲率性质对前面构造的l a g r a n g e 曲面 的极小性进行了刻画。 定理1 5 1 设7 ，卢都是s 3 ( 1 ) 上的单位速度l e g e n d r e 曲线，则由 ( 1 5 1 )妒( t ，s ) = ( 1 1 ( s ) 屁( t ) ，y t ( s ) 岛( t ) ，讹( s ) ) 给定的l a g r a n g e 浸入石= 丌。妒是极小的充分必要条件是l e g e n d r e 曲线p 是s 3 上的测地线，并且l e g e n d r e 曲线1 满足 ( 1 5 2 )甄= 一( 竹1 ，嘶) 1 1 1 1 2 ， 其中是s 。中曲线7 的曲率 证明：设 a1a e 1 2 丽e 2 2 丽瓦 和 w l = d s ，w 2 = f 7 l l d t ， 则我们得到妒的一族局部标准正交基 e t ，其对偶为 叫 对应地，似，e i ) 是 c 2 上一族局部标准正交基，其中1 i 2 9 通过文献【1 我们可以用下面公式计算出砂的第二基本形式 ( 1 5 3 ) 蜡= ( e e ( 勺( 妒) ) ，e 驴) 我们做下面计算： e l ) = 仉= ( 仉( s ) 仍( ) ，啊( s ) 俄p ) ，( s ) ) ， 8 。( 妒) 2 赢讥。斋( ( s ) 鹾( 。) ，7 ( 8 ) 层( 。) ，o ) ， e l = 儿t ) = ( 竹i ( s ) 屁( t ) ，钾i ( 8 ) 尻( t ) ，t ( s ) ) 8 2 一j e 。( 砂) 2 赢( 研t ( 8 ) 膨( ) ，竹，( s ) 眦) ，o ) ， e ，( e l ( 妒) ) = ( ? ( s ) 疡( ) ，w ( s ) 角( t ) ，镌( s ) ) ， 8 2 ( 8 。( 砂) ) 2 赢( ，y ( s ) 鹾( 。) ，y ，( s ) 硝( t ) ，o ) ， 8 t ( 8 。( 妒) ) 2 南( ，y 厦吼( s ) 觑( ) ，o ) ， 8 - ( 8 。( 妒) ) = 丽l t s ) 熙( 。) ，们) 邸) ，o ) 从上面计算再利用( 1 5 1 ) ，( 1 4 1 ) 和文献3 1 可得： ( 8 l ( e l 【砂) ) ，e l ) ( ( 1 1 岛，7 7 历，y ；) ，( 咖i 国，f 1 ：卢1 ，i ) ) ( 7 1 ，竹；) l 历1 2 + ( 一y i l t ，z ，y i ) 岛1 2 + ( 谚，i 倪) ( ，y ：，i 嘶) 十( 镌，i 幔) 0 嘶一 7 1 ，幻i ) + k ，一 7 2 ，i ) 畅( 1 “1 2 + 1 1 2 ) 一( 1 ，钾：) 一( m ，t ) k ， ( e l ( e l ( o ) ) ，e 2 ) ( ( 1 ：岛，w 风，镌) ，南( ，y - 展，嘞历，。) ) 1 l ，y 。i 乳( 7 7 侥i 弓蕊+ w 历i 亏两) 丽1 酬, r - - 石( - - + 岛两) 。南聍( i w 7 - - - - 1 - o ) = 0 ， i i z ；= ( e 。( e 2 ( 妒) ) ，e 。) = ( 砰1 ( 7 1 彤，y 雕，。) ，( “疡，t 7 ：n ，蹦) ) 2 赤乳( ，y - 醪丽+ 1 硝丽 2 赤州( 蕊+ 钟厕，y ，一】 2 赢州( o 确厦一尾) ( 一压) + o 鳓联一风) 。( 一 两) ) ，y 1 胃】 2 赢州，y 1 1 - - - - - 4 i - - i - - i ( + ) 】 = 研1 宵) = 警， ；一( e 2 ( e 2 ( 砂) ) e 2 。) = ( 而1 f ( 7 - 硝，7 1 群，o ) ，南( 竹一层，哳研，o ) ) 2 赤验( 1 - 眵丽怕硝丽) 5 赤1 7 1 2 ( ( 硝，i 毽) + ( 钟，剃) 5 赢( o 蚴厦一岛，毽) + ( 2 蚴麒一岛， 麒) ) 。南( 确i 1 2 一( 风，l 成) + k e l o l i 2 一 0 ) 和m “( c ) = h ”( c ) ( c o ) 关于从m ”c ) 到m 1 ( c ) 的等距 浸入的问题，下面是一些已知的整体结果： ( i ) c = 0 任何一个等距浸入到驴+ t 中的的完备流形m n 都是通过一平 面曲线建立的n 维柱面，即m “= 酽一xc ，其中c 是正交于驴一的平面上的 一条曲线。这是文献【1 1 】中的结果，礼= 2 的情形见文献 1 2 】 ( i i ) c = 1 一个从伊( 1 ) 到舻+ 1 ( 1 ) 的等距浸入是刚性的，即它只能是一全测 地嵌入f 1 3 ，1 7 ，1 8 1 双曲的情形和上面大不相同，等距浸入似乎更加丰富。事实上，文献【1 4 构造了具有三种不同性质的从日2 ( 一1 ) 到日。( 一1 ) 的一族单参数的等距浸入的例 子。文献【1 9 】证明了对于给定的舻( 一1 ) 中余维为1 的全测地叶状结构，有一 族从舻( 一1 ) 到h 肿1 ( 一1 ) 的等距浸入使得相对的零维叶状结构和给定的一致。 文献【15 】把h 2 ( 一1 ) 到h 3 ( c ) ( c 0 ，0 0 2 a - ，则f 定义了一个等距浸入于是我们有 命题2 1 3 上述浸入的g a u s s 曲率k 是常数的充分必要条件为 m 惮f l 1 - c - k r 2 ；+ 瓦 其中0 c 1 ，k 0 ，苔是一常数 设h 2 ( c ) ( 一1 c 0 ) 是日3 ( 一1 ) 中一平面，s r 一6 ( 8 ) h 3 是一常曲率 7 5 ( s ) = 击的曲线。设z ( s ) 是6 ( s ) 的法平面上的单位向量，并且( y ( s ) ，如( s ) ) = 去， 其中- m ( 8 ) 是6 ( s ) 的主法向量，则我们有 命题2 1 4 设 m 2 = ( c o s h t ) b ( s ) + ( s i n h t ) z ( s ) ，8 ，t r ) 1 7 则m 2 是等距浸入， ( 2 3 1 0 ) 和 ( 2 3 1 1 ) 如2 面( 叨1 + c ) e t 2 2具有有界主曲率的曲面的显式构造 由映射f 我们可知 ( 2 2 1 ) 毋= ( c 。观蛐丽r s i n h f + 厕，c o s h ，丽r c o s h f + 厕，s i n h ，) ( 2 2 2 ) 显然 ( 2 2 3 ) 和 ( 2 2 4 ) 乃= ( 一rs i n 0 ，r c o s 目，0 ，0 ) ( d r , d f ) = ( 日，b ) d r 2 - 4 - ( f o ，f a ) d 8 2 = 南”俨d r + r 2 舻 因此映射f 定义了一个从r 2 到日3 ( 一1 ) 的等距浸入，其诱导度量为 ( 2 2 5 ) g = 南+ ( 1 + r 2 俨d r 2 + r 硼2 下面我们来求f 的单位法向量 设亭= ( a ，b ，c ，d ) ，显然 ( ，r ) = ( ，r ) = ( ，f ) = 0 1 8 由( f ，r ) = 0 知 由( ，r ) = 0 知 由( ，f ) = 0 知 触目+ 腼n 口+ c 厨r s i n h f + 厮，c o s h ，) 加师r c o s h f + 厄刁，s i n h ，) = o ； a ( - r s i n 8 ) + b ( r c o s p ) = o ； a ( r c o s e ) + b ( r s i n 8 ) + c ( 、t 干s i n h f ) 一d ( 、丁干c o s h f ) = o ； 又因为f 是单位法向量，故 联立以上四个式子，解之得 a 2 + b 2 + e 2 一d 2 = 1 a ：( 1 + r 2 ) 3 2 f c o s o 1 + ( 1 + r 2 ) 2 厂7 2 b ：( ! 竺丝墅! 、l + ( 1 十t 2 ) 2 f 。 。( 1 + r 2 ) r ，7 s i n h ，一c o s h ， 1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪 d ：! ! ! ! 丝! 竺竺三竺堕 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 2 则所求的单位法向量为 e=(1。+r(2。)3+2，f。c)o。，80翥，了(1亍+彳ir2丽)32fsin8，史二乞雾岂等帮， ( 1 + r 2 ) r f 7 c o s h f s i n h f 由两个切向量f r ，日我们可知 ( 2 2 6 ) ( 1 + r 2 ) 耽 + 裂+ l v f f - ( f i l h ，+ ，) ( 2 2 7 )乃日= ( 一r c o s 0 ，一r s i n 0 ，0 ，o ) ， ( 2 2 8 )f r o = ( 一s i n 0 ，一c o s 0 ，0 ，0 ) = 厮 则 h n = ( b ，f ) = ( 0。，盟地等篙磐鬯型 + 而r f c o s h f f + 仃酽( ，c 。s h ，+ ，彪s 州) ， ( 1 + r 2 ) ( c o s h f + r f 7s i n h f ) 一r 2c o s h f f 1 + r 2 ) 3 2 + 锷+ 厮s i n h ，+ ，a c o s h f ) ) ( ! ! 鲨：! ! ! 业 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 ，2 ( 1 + r 2 ) r f 7 s i n h f c o s h f ( 1 + r 2 ) r f 7 c o s h f s i n h f 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪 ( 1 + r 2 ) ( s i n h f + r f 7 c o s h f ) ) ) + 一c o s h f + 内酬鬻蔫笋 r ( 1 + r 2 ) ( c o s h ，+ r f s i n h f ) 一r 2 c o s h ，r f 7 s i n h f l ( 1 + r 2 ) 3 2折雨j + 1 v 4 7 ( f s i n hf + f a c o s hf ) 等蔫产 3 r ，+ ( 1 + r 2 ) ，”+ ( 1 + r 2 ) 2 r ，毋 万可再7 开胛 ( 1 + r 2 ) 3 2 f s i n 0 ( 1 + r 2 ) r f s i n h f c o s h f 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 心。 1 + ( 1 + r 2 ) 2 i 彪 ( 1 + 产) r ，c o s h f s i n h ，、 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪 “ ：- r e o s olf(1+r2)a2fcosoi - - r s i n oi 一( 1 + r 2 ) a 2 f s i n oi 【、l + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪j【g 1 + ( 1 + r 2 ) 2 ，。j r f 7 f l + r 2 ) 3 2 1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪 h 2 1 = h 1 2 = ( 辱口， ) = ( ( - s i n o , - c o s s , 0 , 0 ) 1 ( 、，( 1 。+ 十l r 2 ) s 十2 f ， c o s 8 ；， ( 1 + r 2 ) 3 2 f 7s i n 0 ( 1 + r 2 ) r f 7s i n h f c o s h f 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 心、l 十( 1 + r 2 ) 2 f 彪 ( 1 + r 2 ) r f 7 c o s h f s i n h ，、 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f ” “ 又因为浸入的诱导度量为 ( 2 2 5 ) 所以 浸入f 的主曲率为 ( 2 2 9 ) 和 ( 2 2 1 0 ) 9 e 丽1 + ( 1 q - r 2 ) f 彪d r 2 + r 硼2 9 1 1 = 丽1 + ( 1 + r 2 ) ，心，仍2 = r 2 h = 一l x t 再 3 可r f 干+ ( 矿1 + 再r 2 砑) f 可+ 万( 1 + r 2 一) z r f r a 如一篇r v 1 篇1r 条2 ) f + f + 27 2 且其g a u s s 曲率为 ( 2 2 1 1 ) k = k l 也= 地瑚希等鬻竽 r l l 十l l 十r j ，l 由g a l l s 8 方程r 1 2 1 2 = 一1 + k 可知 = 丛瑚等等鬻产一 一r + r f 心( 1 + r 2 ) 2 + ，”( 1 + r 2 ) 3 r ( 1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪) 2 ：一三f ! 二三 、， 2 r 、1 + ( 1 + r 2 ) 2 f 彪) ” 则 讯) 7 = 2 r ( 1 吲 又因为k 是常数，两边积分得 r 2 ( 1 - m c = 可毒杀 因为上式对任意的r 都成立，且式子右边恒大于0 ，故k 0 所以 弘：! = ! 二丝! ! 。 ( c + r 2 ( 1 一k ) ) ( 1 + r 2 ) 2 0 c s1 ，k 0 从而命题2 1 3 得证。 推论2 2 1 上述浸入的主曲率都是有界的 证明：因为 h = 一v 压+ r 2 3 1 r f 耳+ 可( 1 + 万r 2 丽) f 可+ 旷( 1 + r 2 一) 2 r f a ( k 2 ) 2 = r 干【r ，7 ( 3 + 石1 - c 西- k j r 石2 ) + ( 1 + r 2 ) f ”1 ( 1 + ( 1 + r 2 ) 2 ，屹) 3 2 一k r ( 1 2 c 一2 r 2 十2 k r 4 ) 们雨- ( 1 + r 2 2 k r 2 ) 3 2 ；丝f ! 二丝二! ! !o f r 。) 、1 + 古( 1 + r 2 2 k r 2 ) 3 2 、。 ，堙( 1 + r 2 ) 3 r 2 ( 1 + ( 1 + r 2 ) 2 严) 口 ( 1 + r 2 ) 3 再而1 - 磊c - k 翮r 2 2 可甬百万r 2 、2 鬲磊1 - c - 焉k r 2 鬲 ( 1 一c k r 2 ) ( 1 + r 2 ) r 2 ( 1 + r 2 2 k r 2 ) ，( 1 一c k r 2 ) ( 1 + r 2 ) 、 r 2 ( 1 + r 2 1 = 一k + 之一一k ( r o o ) ， 所以两个主曲率都是有界的 口 2 3具有无界主曲率的曲面的显式构造 设7 ：s r o ( s ) h 2 ( c ) 是以s 为弧长参数的一条曲线，其中a ( s ) = ( 、与+ s 2 2 ，9 弓s ，s 2 2 ) ，则其单位法向量为y ( s ) = ( 一8 2 2 ，一旷乏8 ，v 与一s 2 2 ) 下 面我们来看映射( 8 ，t ) r 2 一z ( 8 ，t ) h 2 ( c ) ，其中x ( s ，t ) = ( c o s h t ) ( 5 ) + ( s i n h t ) y ( s ) 容易证明这个映射是从砰到h 。c ) 的微分同胚，所以我们给出了h 2c ) 上的一 个整体坐标系( s ，) z 的两个切向量为： ( 2 3 1 )z 。= ( 8 e 一，旷乏e 一，s e 一) 和 ( 2 3 2 )轨= (s i n h t e - - t s 2 2 ，一寸乏s e 一， c o s h t e “s 2 2 ) 由于在r s 中向量 ( 2 3 3 )z 。t = ( 一s e 一，一= ；e 一，一8 e 一。) 等价于一，这意味着对于日2 上协变微分v 有 ( 2 3 4 ) v 。( ) = 一 由于x t 可交换，我们也有 ( 2 3 5 )v 。( z t ) = 一 2 3 这部分的构造方法是：若h 2 上的一个( 1 ，1 ) 型张量场a 满足g a u s s - c o d a z z i 方 程，则由曲面的基本定理我们可知存在一个从h 2 ( c ) 到h 3 ( 一1 ) 的等距浸入，且 该浸入以a 为其第二基本形式。因此，下面我们先假设第二基本形式a 满足 ( 2 3 6 ) a ( x t ) = 半v - 乏e 谁耽 和 ( 2 3 7 )a ( x 。) = - - c a x 。， 其中a = a ( s ，t ) 是一个合适的函数c o d a z z i 方程应该被满足； ( 2 3 8 )v 。( a ( 甄) ) = v 。( a ( ) ) 辰口 v 。( 半压e _ 2 t 观) = v “叫蚴， 一c 私+ 以x s = - - 厅譬竽坠0 t 针厅譬# ( - ) 所以x ( s ，t ) 与s 无关，且 瓮= a 一生x e 坚i a 出 解之得 胁。c - e t + 蒜) 5 ， 其中g 为常数。 由于 ( 2 3 9 ) j = ( z 。z 。) d s 2 + ( z t z t ) d 2 = 、= - e 一射d s 2 一c d t 2 所以主曲率为 ( 2 3 1 0 ) ”e 巾t + 拦) 5 和 ( 2 3 1 1 ) 如2 两( 1 砺+ c ) e t 由h 。中曲面的基本定理我们可知存在一个从h 2c ) 到h 3 ( 一1 ) 的等距浸入，且 以k 。，k 2 为其主曲率显然主曲率k ，是无界的 下面我们来确定这样的等距浸入，：h 2c ) 一h 3 ( 一1 ) 设b ( s ) = ，( n ( s ) ) 和 z ( s ) = ( 1 ，( s ) ) ，其中 是，的微分算子。h 3 ( 一1 ) 和h 2 ( c ) 上协变微分分为髟 和v ，且 ( 2 3 1 2 ) v o a , ( b ( s ) ) = ( v 州钿( ( s ) ) ) + ， 其中6 ，( s ) 和( s ) 分别是曲线6 ( s ) 和n ( s ) 的切向量，享是曲面i ( h 2 ) 的单位法 向量场于是 ( 2 3 1 3 ) v a a 。( ) = z + f ， 且 ( 2 3 1 4 ) v a l a 。( z ) = v a a 。( ) = 一6 ， 因此h 。中曲线6 ( s ) 的曲率为 = 砺1 ， 主单位法向量为 驴等， 副单位法向量为 勖= 髻， 挠率为 面( s ) = 0 v s ，z ( s ) 是6 ( s ) 的法平面并且( y ( s ) ，砀( s ) ) = 击，映h 2 中 曲线为h 3 中测地 线。因此我们有 ，( z ( s ，) ) = ( c o s ht ) 6 ( s ) + ( s i n ht ) z ( s ) 从而命题2 1 4 得证。 口 注记：这里r 7 + l 中的内积为何，y ) l ：一z o 蜘+ 量z t 玑，v x ：( ，) ，y ： ( y o ，y 1 ，y n ) er n + 1 参考文献 z j h ua n dh l i ，w i l l m o r el a g r o n g i a ns p h e r e s 伽t h ec o m p l e xe u c l i d e a ns p a c ec ”，a n n g l o b a la n a l ( 】e o m2 5 ( 2 0 0 4 ) ，7 3 - 9 8 d j o y e e ，s p e c i a ll a g r a n g i a nm - ，0 i d s 讥c mw i t hs y m m e t r i e s ，d u k em a t h j 1 1 5 ( 2 0 0 2 ) ， 1 5 1 i c a s t r oa n db y c h e n l a g r a n g i a ns u ? f a c e si nc o m p l e xe u c l i d e a np l a n ev i as p h e r i c a la n d h y p e r b o l i cc u r v e s ，t o h o k um a t h j ( 2 ) 5 8 ( 2 0 0 6 ) ，5 6 5 - 5 7 9 b y c h e n ，j a c o b i se l f i p t i c f u n c t i o n sa n d l a g r a n g i a n i m m e