（基础数学专业论文）关于子群指数和及孤立数的一些新结果.pdf

摘要 指数和是数论的一个重要的研究课题之一。本文第一部分重点讨论 h e i l b r o n n 型和g a u s s 型子群指数和的估计和应用，分别改进y v m a l y k h i n 关于h e i l b r o n n 型以及s v k o n y a g i n 关于g a u s s 子群指数和的非显然界的 估计，另外还列举它的一些应用以及和e r d o s - s z e m e r e d i 猜想的一些联系另 外在初等数论方面，完全数，相亲数以及孤立数一直是数论研究的一个热 点最近，在孤立数方面取得了一些进展，2 0 0 0 年，l u c a f 证明了f e r m a t 数都是孤立数；2 0 0 5 年，乐茂华教授证明了2 的方幂都是孤立数，本文的第 二部分用乐茂华教授的方法给出了孤立数的一些新的结果：对于任意含有 4 w + 1 ( z ) 型素因子的正整数n ，设p 为n 的任意一个4 w + 1 ( w z ) 型 素因子，则在舻，p 2 7 1 , 2 ，p 4 n 2 ，p 6 n 2 里至少有一个是孤立数，因此可以证明孤立 数在完全平方数里有正密度，另外也给出求解确定孤立数的方法 关键词指数和；子群；e r d o s - s z e m e r e d i 猜想；同余；相亲数；孤立数 a b s tr a c t e x p o n e n t i a ls l i mi so n eo fa l li m p o r t a n tt o p i ci nm n n b e rt h e o r y , t h ef i r s t p a r to f0 1 1 1 p a p e rd i s c u a st h ee s t i m a t i o no fm l b g r o u po fh e i l b r o n ne x p o n e n t i a l s u ma n dg u a s ss u m ，a n di m p r o v et h eb o l m do fy v m a l y k h i no nh e i l b r o n n g u l na n ds v k o n y a g i no i lg a n s s 辨l m 。g i v et h e i ra p p l i c a t i o na n dt h ec o n n e c - t i o nw i t he r d o s - s z e m e r e d ic o n j e c t u r e m o r e o v e r ，p e r f e c tn u m b e r ，a m i c a b l en n d 2 - b e ta n da n t i - s o c i a b l en u m b e ri sa l w a y sa nh o tt o p i ci nm l m b e rt h e o r y r e c e n t l y , t h e r ei ss o m ea d v a n c e si na n t i - s o c i a b l em l m b e r i n2 0 0 0 ，l u c a fp r o v et h a tf e r - m a tn u m b e ri sa n t i - s o c i a b l en u m b e r ，a n di n2 0 0 5 ，p r o f m a o - h u al ep r o v ea l lp o w - e r so f2a r ea n t i - s o c i a b l en u m b e r t h es e c o n dp a r to fo u rp a p e ru s et h em e t h o do f m a o h u a - l e st og e ts o m en e wr e s u l t sa b o u tt h ea n t i - s o c i a b l en u m b e r ：f o re v e r y i n t e g e rnw h i c hc o n t a i n sp r i m ed i v i s o r sw h i c hb e1m o d 4 1 e tp 兰1m o d4b e a l la r b i t r a r yp r i m ed i v i s o ro f 死，t h e nt h e r ei sa tl e a s to n ea n t i - s o c i a b l en u m b e r i nn 2 ，p 2 舻，p 4 n 2 ，p 6 n 2 ，h e n c ec a np r o o ft h a ta n t i - s o c i a b l en u m b e r sh a v ep o s i t i v e d e n s i t yi np e r f e c ts q u a r en u m b e r s ，a n da l s og i v et h em e t h o dt of i n dt h ee x a c t a n t i - s o c i a b l en u m b e r s k e y w o r d s e x p o n e n i t a ls u m s ；s u b g r o u p ；e r d o s - s z e m e r e d ic o n j 3 0 t u r e ；c o n g n m n c e ；a m i c a b l en u m b e r ；a n t i - s o c i a b l em n n b e r 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文 中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研 究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 签名：同抛嚼日期：伽7 每佗目i 囝 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权保 留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借周；学校可以公布论文的全 部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：1 司姒硝导师签名：胁佤争期：洳a 尹鼍t 2 月6 曰 第一章介绍 1 1 子群指数和的简介与研究现状 1 1 1 设p 为素数，并且设e ( x ) = e x p ( 2 7 r i x ) ，h e i l b r o n n 指数和定义如下； s ( a ) ：壹e ( 警) ( 1 1 1 ) n = l o 这里( n ，p ) = 1 ，由初等数论的知识有，如果n 三n ( m o dp ) ，则有n p 三 n p ( m o dp 2 ) ；反之也成立，因此( 1 1 1 ) 是一个完全和( r o o dp 2 ) h e i l b r o n n 和d a v e n p o r t 先后证明了，当p o o 时，有s ( a ) = d p ) o d o n i 2 0 1 证明了s ( a ) 的平均值为o ( p 1 2 ) ，但是他的方法在求单个值的时候 却不是很理想，他得到s ( a ) = 0 ( 矿2 ) ，比显然界还要差一些利用s t e p a n o v 方法，h e a t h b r o w n 6 取得了重大的进展，得到了s ( a ) p l l 1 2 ，后来h e a t h - b r o w n 和s k o n y a g i n 合作 7 】，充分利用s t e p a n o v 方法，将结果改进到s ( a ) p 7 8 最近，t c o c h r a n e 和c p i n n e r 比较系统的发展了s t e p a n o v 方法，可参阅【3 】，【4 】 后来的一些学者研究了一些与( 1 1 1 ) 相平行的结果，余红兵研究了如 下指数和； s h ( 。) ：壹e ( 警) ( 1 1 2 ) n = l ， h e a t h - b r o w n 在他未发表的文章里，证明了鼠( o ) ( 九，p 一1 ) 5 4 p 1 1 1 2 ，余红 兵【2 4 】将其改进到( ，p 一1 ) p 1 1 1 2 其实将【7 】和 2 4 的方法结合，比较容 易的得到( ，p 一1 ) p r 8 ，利用这个思想，j c p u c h t a 2 1 】漂亮地将结果改进到 ( ，p 一1 ) 1 1 1 6 8 ( 之前并未注意到j c p u c h t a 的结果，在作者未发表的文章 里，曾经先后将结果证明到( 危，p 一1 ) 7 8 p 7 8 和( h ，p 一1 ) 3 肇7 8 ) 至此，在研究h e i l b r o n n 指数和方面就没有取得太大的进展 1 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 y v m a l y k h i n 从新的角度出发，研究了h e i l b r o n n 型子群指数和，并取 得比较好的结果； 1 1 2 设g 为名的一个子群，且# g = t n 名，我们把s ( a ，g ) = e x e g e g ( 口z ) 叫做遍历子群g 的指数和并且有 s ( g ) 。罂笏阢，g ) l 为了求得s ( g ) 的最好的界，我们要借助于以下同余等式解数的估计 瓦( g ) ：= 嚣 ( z 1 ，z 2 z 2 k ) ：。l + + z 膏= 尘七+ l + + = 2 k ( m o dq ) 如g 引理0( 主要的不等式) 对于任意的正整数，七，z ，我们有以下不等式成立 s ( c ) ( q t k ( g ) t t ( g ) ) 1 2 m t l 1 t 一1 z 同样的不等式可参阅i 。m 。v i n o g r a d o v ( 1 3 】) ，也可以在a a k a r a t s u b a ( 1 1 】f 1 2 】) 的文章里找到，在s v k o n y a g i n 和i e s h p a r l i n s k i 1 0 的书里，有这个不等式 严格的证明和推理 注： 在引理0 里，我们取k = z = 1 ，我们可以得到s ( c ) m i n ( t ，q l 2 ) ，( 因 为乃( g ) = 亡) ，所以引理0 在我们的实际应用当中是非常方便的 1 1 2 1 我们先来考虑最为简单的情形，当q = p 时为素数) ，我们发 现g a u s ss l i m s & a ，p ) = ：1e p ( a = n ) 可以很简单用我们的遍历子群指数和 来表示，令g = 扩：z 零) ，有 & ( q ，p ) = 1 + ( 几，p 1 ) s ( a ，g ) 利用s a s t e p a n o v 方法 2 3 】对死( g ) 的估计，d r h e a t h - b r o w m 和s v k o n y a g i n 得到下面的著名的指数和的估计gc 磊 s ( g ) p 1 8 t 5 8 ，讧 p 1 3 t p 1 2 ； l p u 4 4 i f p v 2 矿7 牝 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 3 对于任意的正整数k ，s v k o n y a g i n 得到了死( g ) 的界，从而得到当 t p l 珠时，有以下不等式成立 s ( a ) c ( e ) 扣一6 ( )( 1 ) 对于一般的的情况可以在b o u r g a i n 的文章里【1 】得到： 定理( b o u r g a i n ，【1 】) 如果gc 毛， 0 ，和t 旷，则有下面不等式成立 s ( g ) c ( e ) 幻一6 ( ) 注：在文章【1 】和 2 】里的6 ( e ) 比较小 1 1 2 2 设g 为任意的一个子群，# g = ，当t p 时，比较容易的有 s ( g ) = 0 ，我们假设在t p 下，y m a l y k h i n 1 7 得到以下结果 当q = p 2 时 定理0 1 t z ( g ) p x 2 t 2i ，p l 2 t p 死( g ) 矿7 4 t 7 7 2 ， 汀 p 1 7 2 。 矿7 4 ( 1 。g p ) 一l - i 矿2l o g p ，i f 矿4 ( 1 0 9 p ) - 1 t 弘 s ( c 1 7 t 2 6 ) 1 3 6 ， p l 9 t 5 6 ( 1 0 9 p ) 1 9 t 1 7 ) 1 2 4 ( 1 0 9 p ) m 2 ， 矿8 t m ， i f 1 0 t p 3 4 0 0 9 p ) 一1 ： i f p 3 4 ( 1 0 9 p ) 一1 t p 7 1 9 ； i f p t 9 t p 4 5 ： i f p 4 5 亡 p ； 从m a l y k h i n 的定理，i f 不难看出只有当矿1 0 t p 时，才可以得到s ( a ) 的非显然界 2 d d 7 上海大学硕士学位论文 4 一_ 一 另外利用【1 7 1 的1 1 1 理1 ，作者得到s h ( a ) ( ，p 一1 ) 1 知啪，x 而改 进了j c p u c h t a 的结果，只是，由【1 t 的结果很轻易i t 可以得出鼠( o ) ( ，p 一1 ) 1 2 p 7 8 为了下面文章表达的方便，首先取( 定理1 1 1 的证明中将阐述这样取法的原 因) 秒，= 箬善 钕= p 和硒蕊丽( 1 0 9 p ) 一再爿孙丽 注意到当七4 时，有老 1 ，也就是说墩( 忌为正整数) 为关于七的 严格单调递减函数 对于任意的正整数k 4 ，我们得到了死( g ) 一般的表达式 定理1 1 1 当q = p 2 ，七4 时 仁嚣：) l o 酝；i f f 笔篡； 定理1 1 2 当p i 3 + g 0 m a x i a + a i ，i a a l ) 。l a l l 扣 m - n a t h a n s o n 1 9 得到了a = 1 3 1 ，最近由j s o l y m o s i 得到了q = 3 1 1 一e 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 5 很自然的，我们不禁要问：( 2 ) 对于磊是否成立? 但是这个是不大可能 成立的，因为当a = 磊时，那么我们有a + a = a a = a ，所以我们考虑当i a i 稍微小的时候，且a 是的名子群( 子集的一种特例) n k c b ) 表示同余武的解的个数 z l + z 2 + + 乳兰b ，x l ，z 七g 我们不难得到 n 七c b ) = 讲 b e k g n k ( b ) 2 = 瓦( g ) b e k g 由上面两式，再利用c a u c h y s c h w a r t z 不等式有 l k g i l a l 弘t , ( a ) ( 3 ) 推论1 1 1当g = p 2 耐，由定理1 1 和( 3 ) 有 i七gl【p。；-一(1去-。2。一t-。k。)t一3。-，。2”2-，*。gp，一。，：p仡l七2t t k 七a k 。； 推论1 1 3当q ：p 时，如果i a l 囟( 1 0 9 p ) 一1 】蕊3，k ，由定理 1 1 3 和( 3 ) ，则有 k g l i a l 2 2 1 一 1 2 孤立数的简介和研究现状 孤立数的介绍对于正整数n ，设6 ( 几) 是n 的不同约数之和如果正整 数几和m 满足 6 ( n ) = j ( m ) = m + n ( 2 1 ) 则称m ，m ) 是一对相亲数相反；如果对于给定的n ，不存在任何的正整数m 可使( 2 1 ) 成立，则称n 是一个孤立数由于当相亲数适合m = 佗时，凡即为著 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文6 名的完全数所以相亲数与孤立数一直是数论中的一个引人关注的课题，其 中有很多历史悠久的问题迄今为止尚未解决 5 】 2 0 0 0 年，l u c a f 1 4 】证明了f e r m a t 数都是孤立数；2 0 0 5 年，乐茂华教授 【1 5 】证明了2 的方幂都是孤立数本文将给出孤立数的一些新的结果 定理1 2 1 ：对于互不相同的奇素数p l ，耽，m ，存在相对应的正整数 8 1 ，s 2 ，酞使得n 警l 等i 兰7 ( r o o d8 ) ，则他= n 笔l 硝是孤立数 定理1 2 2 ： 对于互不相同的奇素数p l ，耽，m ，存在相对应的正整 数8 1 ，8 2 ，矾，使得( 2 件1 1 ) n 笔1 等寻一2 芝3 ，5 ，7 ( m o d8 ) ( 亡1 ) ，则 n = 2 。兀：l 是孤立数 定理1 2 3 ：对于任意含有4 叫+ 1 型素因子的正整数n ，设p 为n 的任 意一个4 w 十l 型素因子，则在舻，p 2 n 2 ，p 4 n 2 ，p 6 n 2 里至少有一个是孤立数 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文7 第二章子群指数和的一些新进展 2 1 预备知识 2 1 1 当q = 矿时 设g 为绉的一个子群，并且l g i = t ，于是有tip 函一1 ) = 嚣绉假定 有pit ，则i e t = t l p ，p ，t 1 ) = 1 考虑召的一个子群g 1 且l g l l = t 1 显然 集合 z 乙：zr o o dp g 为的一个g 的子群，且元素个数为t 因此有 z g 营z + p g ，故有 s ( 口，g ) = 节( 口z ) = 印( 8 p + p ) ) = s ( a ，g ) e p 2 ( a p ) 故当a p 0m o dp 2 ) 时候，我们有s ( a ，g ) = 0 现在我们考虑当lp 一1 时候的情形，令g ：= gr o o dp 它是的忍 的一个子群，且度数为t ，和g = 矿：z g 设 9 1 ，9 2 鼬 是g ，的陪集 g i ，g ：g ：的代表元素( 我们可以假定g l = 1 ) 从上面的叙述，我们看出元素o ，p g i ，劈+ 力( i = 1 ，2 d ，歹= l ，2 p 是 g 陪集( i nz ) 的代表元素我们来证明它：首先，我们证明这些元素属于不同 集合，设g g ，9 ；= g ( m o d p ) ，g g 我们有( 贸+ 力) 9 = ( 鲮+ 纠) ( r o o dp 2 ) 号g i 9 7 = 鲰( r o o dp ) ji = 七，9 = 1 兮歹= z 其他的证明和这个类似，每个 集合，除开0 集合，元素都是t 个，故有1 + d t + d t p = 1 + p 一1 十p 一1 ) = p 2 个元素 我们定义的g i , j 代表元素为鳢+ p j ，g t 的代表元素为p g i ，且g o = 0 ，因 此我们有 j 5 口 磊：= g ouug tuug 巧 讧1 ，2 d 嘉学暑 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 8 军= ug i , y ，g = g 1 t ；1 2 d = l ，2 p 2 1 2 当q = p 时 此时的情形相对来说要比q = p 2 简单一些，类似的有 设 夕l ，9 2 驰) 是g 的陪集g l ，g 2 g d 的代表元素，我们定义g 的代 表元素为晓，且g o = 0 ，因此我们有 知 名= g o u ug t i = 1 ，2 d 召= ug i ，g = g i = l ，2 d 2 2 1 当q = p 2 时 对于任意的u g 口，我们定义 n 鲁：= # ( z 1 ，x 2 ) ：z l + x 2 = t ，x l gx 2 g 口 这里a ，p = o ，io r ( i ，歹) 我们现在证明有以下的性质( 可以参考【l7 】) 性质 io 乞= # ( z 2 ) ：g g l + x 2 = t 上，钆x 2 gt 郇 i ip 0 n ：= # ( z ，可) ：1 + z = 可，z g ny g p 引理1 设( 诟，矗，0 ) 是不同的四元素组，并且s p t 一1 2 ，则有 童 喀奎p 1 3 t 1 届s 2 厣 口 引理1 的证明可以参考m a l y k h i n 文章【17 】中的引理3 同样对于任意的t | g 口，我们定义 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 9 b k ，卢：= n k ( u ，g ) = # 1 ，x 2 ，x k ) ：x l + z 2 + + 钆= 让，黾g ) 引理2对于任意大于1 的正整数k ，有 k ，卢= b k 吐。n 鲁孔( g ) = 磋，o + t 磋乒+ t 磋( i j ) l 蟛 ( 5 ) 引理2 的证明考虑等式，z 1 + x 2 + + x k = “：选定a ，这里有 口曼对( z 1 ，z ) gxg 。，使得x l + z = “成立，对于其中的每对，我们有 b k 一1 p 对p 2 ，x 3 ，z 七) gx gx xg 使得2 2 + 2 3 + + z 七= z 把q 。、，一 n - 1g eg 累加起来，我们得到nb k l ，a 醒对 l ，2 2 ，z 七) g 兰g 芝：茎9 ，使得 n9 eg z 1 十x 2 十+ 钆= 牡成立( 5 ) 中的第二个等式可以根据等式死( g ) = u 缸帆( 仳，g ) 2 得孙 引理3 设( ，如) ：l 为不同的数组，如果s s o ：= 矿- 2 2 - k t 一+ 2 舭+ 2 一( 1 0 9 p ) 一： 3 3 2 一3 且当露4 和t 一l = p 蓼面积司石萨( 1 0 9 p ) 事面两= t 耳丽i 磊时，有 推得 故 b k 肌如) m i n 驴( 1 趔“) t 奄一h 舭s 粥，t a = l 引理3 的证明 由定义 玩，卢：= 厂七( 让，g ) = 样 ( z l ，勋z 知) ：z l + x 2 + + z 七= t ，鼢g k ，卢：= # ( l ，2 t a 一1 ) ：1 + t l + t 2 + 十t k 一1 = t 正，屯gu 郇) 0 k ( r 以) t k l 仃= 1 ( 6 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 0 现对七用归纳法，当詹= 3 的时候，由m a l y k h i n 1 7 的引理5 ，可知结论成立 假定对七：m 一1 时，结论成立，即当s 即：= 矿一2 2 一一1 t 一+ 掣忙- 1 + 2 一一1 ( 1 0 9 p ) 一3 时有 由于k ，多= n k l ，n n 2 ，有 h 肌川= 6 m _ 1 口。驴= 6 m - 1 ，。护+ o - - - - 1 o - - - 1na = l d 5o k 圳n p 十6 m - l ( 埘吗j 9 i - - - - 1 t r - - - - 1 i , j o - - - - 1 因：1 硌如1 ，及由( 6 ) 又因对任何的z ，1sz p 一1 ，存在唯一的i = i ( z ) ，使吃1 ( , z 1 ) = 1 ( 1 p ) ，而其余 的n 如皆为0 ，所以 d3s 6 m _ l ，t n ；，= 响穷6 m _ l 弛) , - - - - 1口= io = 1 m a x 6 m 一1 ，i ( o ) m i n ( s ，p ) t k 一2 p l 3 8 2 3 p ( 1 _ 2 x - k ) t k 一；+ 2 和。s 2 3 经过验算，当k 4 和t p 4 5 时，上面最后一个不等式成立 现将6 m l ，( 幻) 按大小来排序，设有6 m l ，( i 。j 。) 6 m l ，似加) 6 m l ，_ 函) ，那 么由归纳假设可导出 其中 k 一1 1 ，岳) 嘶o 机一，岳) 嘶 q r ：m i n ( p ( 1 2 1 一似一1 ) t ( m 一1 ) 一j 7 干5 12 3 一m 一1 1 r 一1 a , 矿n 一2 7 一1 ) 、l r ， 2一 少 3 2 s u m 一 2 l 一3 + 7 3 一 一m k m 一 炉一 q 2 3 p r l nm p h 。耐 一 m 一 如 h o 0 。l 0 一 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 1 因此 这里 h 砌加吗如= a = l 州 k - l 似j r ) 璐a r s t = l a = l r = l s = ；：。岔，利用a b e l 变换有； 州p d r q ，s = 嘶t 昂+ ( 一q ) 昂 g = l r - - - - i p = l ( 1 0 ) 我们设定r o = t 2 一 2 ：l 一协以p 一( 1 2 卜一1 n ，r 1 = p t 一1 2 然后将( 1 0 ) 最后的和分成 三个部分( 1 ，2 ，3 ) 第一个和的求和范围为1 r o ，第二个和的求 和范围为r o 7 ，最后一个和的求和范围为 r 础 对于1 。因为s s o ，因此r s r o s o r l = p t 一1 2 ，然后由引理1 有：2 ls p 1 3 t l 3 r 2 3 s 2 ，3 ，当r r o 时有，= p ( 1 2 1 一”- 1 ) t ( m 一1 卜；+ 2 3 一一r 一1 7 3 因此 ，1 p 百1 葛2 ( 1 2 1 一”一1 ) t 去+ ( m 一1 ) 一+ 2 3 一”一s 2 3 r r br 一2 7 3 p 1 r 5 2 ( 1 2 1 一m 一1 ) ) t + ( 竹t 1 ) 一i 7 1 。j 1 2 k m 一1 8 2 1 3 r ：3 = p ( 1 2 1 一”) 亡m 一+ 2 3 一”s 2 3 从，的证明过程中，我们发现，当r r 0 时，始终都要能取得嘶= p ；( 1 2 1 一似一1 ) t ( m 一1 ) 一。7 - 。1 。2 3 一一1 ，_ 一l 3 ，也就是说要求有r o 8 0 ，即有 t 2 一 2 3 一t n 一1 p 一( 1 2 1 一f n 一1 ) p 2 2 2 一f n 一1 t 一2 + 2 9 ”一1 + 2 一“一1 ( 1 。g p ) 一3 t 2 一p 一“+ 一汐”一1 协” t p 矿一2 2 一一2 3 一( 1 0 9 p ) 一3 另外还要求有r 0 8 0 1 ，亦即有 铲一2 ：i _ ( m 叫p ( 1 2 l - ) 矿一2 2 _ 协叫t 一+ 2 咖_ l m - m 1 ( 1 0 9p ) 一3 p t 一1 7 2 t 一+ ( 弘”一1 一1 ) 2 扣”p l - 2 2 - 0 0 9 p ) 一3 p t 一1 2 t ( 2 9 “一1 一1 ) 2sp ( 1 1 ) ( 1 2 ) 对于2 ，因咱 ，i 孚，有：；：ls p p 1 3 t 1 i s r 2 3 s 2 3 ，此时，q r = t i n - 2 r ，故 弦耐 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 2 2 p 1 7 3 俨- 5 3 8 2 3e t o r r 1 ( ， - - 1 - - ( r + 1 ) 一1 ) r 2 3 p 1 3 t m 一5 ，3 3 2 3 r o 7 1 下有 而此时同样坼= t i n - 2 r ，因此 昂r s t 垅 3 s t m - 3 2 r 砸r 一1 s t i n - 3 2l o g p 因此当s 晶= 矿一2 2 一”t 一2 + 2 3 - , 0 0 9 p ) 一3 3 p 2 ( 1 2 1 一) t m i 7 i 1 2 3 一s 2 3 由于2 9 ( 七) = 西2 1 - - 乏2 5 两- k 2 ，故有s o 晶 最后，和估计3 一样 由啪1 护一2 ( p d 十1 ) 一1 ， 嘶 p - - - - i 罄l 昂p d s t m ，推出 品s t m 一3 2 p ；( 1 2 1 一”) t 仇一；+ 3 1 9 _ l - m s 2 ，3 再由1 ，2 ，3 和n 肼1 罄1 昂和( 1 0 ) ，我们就完成了引理3 的证明 2 2 2 当q = p 时 同样的，对于任意的k 和札g 口，我们定义有： k ，p = k ( t 正，g ) = # ( z l ，z 2 ，x k ) ：z 1 - t - 2 ：2 + 十x k = u ，戤g n ! = # ( z l ，z 2 ) ：z 1 + z 2 = 让，z l g ，x 2 g 。， 这里口= 0 或者i 且有当让l ，珏2 嘞，则有肌( 钍l ，g ) = n k ( u 2 ，g ) ( 可以用一一映射的观点 来解释) 显然有下面几条性质： ( i )n f = # ( z l ，现) ：z l + 现= t | ，z 1 ，z 2 g ( i i ) p 0 ， 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 3 = 雾 ( z ，y ) ：1 + z = y ，z g 口，y g 匆 和引理2 的证明类似的有 引理4对于任意大于1 的正整数k ，有 玩，p = a b k l ，。n 2 现在来研究晶，0 8 ，n 2 ， 弓 晶= 襻 ( z 1 ，2 7 2 ) ：x l + x 2 = 似，z 1 g ，x 2 g 。u g t ) 故只有a 5 = 1 ，对于其他的i ，有口6 = 0 同理有： 韶= 08 乏= o 其中有- 1 g i o 现在来讨论嘭的性质 引理5设( 话，矗) 是不同的二元素组，当8 矿t 一4 时，有 ( 1 3 ) 咄( 亡s ) 2 3 ( 1 4 ) a - - - - 1 引理5 的证明和【7 】的方法类似，掩其稍做修改。就可以得到引理5 对于以，由于性质 ( i i ) p 0 ， 故有 醒= 棼 ( z ，y ) ：1 + z = y ，z g 口，y g p ， = # ，可) ：1 + z = y ，z g j ，y g i ，) = 律 z z ；：z g i ，z 一1 g j ， 类似的有 。= n = # z z ；：z g i ， ，z 一1 g 矗，) ( 仃= 1 ，2 8 )= u ；：l 白 磋 d； + 0磋 =g 孔 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 4 这里岛是互不相交的，即e 吼ns 乃= “歹) 我们设多项式a ( x ，kz ) 磊i x ，k 刁，有 d e g x 圣 a ，d e g y $ b ，d e g z $ b 然后设置合适的多项式 皿) = a ( x ，x 。，( x 一1 ) 2 ) ( 1 5 ) 设皿( x ) 的每个零点至少有d 阶，也就是说对于任意的z s ，我们不难的 得到有d # e d e g $ ( x ) ，注意到皿( x ) 不恒为0 ，我们有 d e 9 山( d e g x $ ) + t ( d e g y $ ) + t ( d e g z $ ) a + 2 t b 因此，当皿( x ) 不恒为0 时有 d 耗a + b 为了使得皿的零点z 至少有d 阶，我们需要 ( 袅) 叫驯脯= o 舫礼 d 由于z 0 ，1 ，这个相当于 我们注意到有 和 x ( x 一1 ) n ( 鬲d ) “皿( x ) i x - - - - z 0 川袅口= 南x n 科袅协= 淼舻 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 辔 。嘲 = 矿 耗 ，耐 = 托 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 5 因此有 ( x - 1 ) 仇( 去) m ( x _ 1 ) 纪= 南( x - 1 ) 缸 x ( x 一1 ) n ( 袅) n x 口x 协( x 一1 ) 钯= r ，口，岫( x ) x 功( x 一1 ) 钯 这里的r ，口，6 ，。( x ) 要么为0 ，要么次数为几十a ，我们因此可以推理出 x ( x 一1 ) n ( 袅) “x n x 砧( x 一1 ) k i x - - - - ，。 玩h ，b h ，c h , 、a 岫( z ) 上式用到了当z 岛时，有p 夕云1 】 = 1 ，和【 一1 ) 啄1 p = 1 我们现在设 圣( x ，kz ) = 入n b , c x 枷yz c a , b , c 知 r ，口( x ) = 九 c h b h e h , - , 嘶( 茁) 口，b c 所以有d e g p n ，莎( x ) a + n 和 x ( x 一1 ) n ( 袅) 竹圣( x ，x 。，( x 一1 ) 。 x - - - - z 晶，( z ) ， ( 1 8 ) 对于任意z 白，我们将设置合适的多项式系数k c ，使得对于i t , ，当 n d 时，r ，口( x ) 恒为0 ，为了使得( 1 7 ) 成立，每个多项式r ，p ) 至多有 a4 - 7 1 , a4 - d 个系数，并且它们都是关于入口扣c 线形的，因此 +d(a4 - d ) s a b 2( 1 9 ) 这里就有足够多的非0 系数k ，6 彤使得当n d 和多项式r ，( z ) 为0 我们先来考虑是否垂( x ，x 。，( x 一1 ) 。) 为0 。而圣( x ，y ，z ) 不为0 。我们 设有 垂( x ，k z ) = 圣。( x ，y ) 矛 c 我们设c o 为最小c 的使得垂。( x ，y ) 不恒为o 因此有 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 6 垂( x ，x 。，( x 1 ) 。) = ( x 一1 ) 蚴圣。( x ，x 。) ( x 一1 ) 。( c q ) o a s c b 如果圣( x ，x 。，( x 一1 ) 。) 恒为0 ，则有 圣匈( x ，x 。) 暑0 ( m o d ( x 一1 ) 。)( 2 0 ) 我们先来看一个弓f 理 引理6 设p ( x ) z p 】是1 个次数互异的单项式的和，假设有 d e g ( p ) 1 ，我们设 这里z 跑遍n 不同的值 尸( x ) = q x 。 l x 尸( x ) - l o p ( x ) = q ( z l o ) x 2 z 现在我们选取l o 为的尸( x ) 最高次数，因此上面的式子的右边有个n 一1 不 同的项，可以看到( x - 1 ) 不能证明p ( x ) ，否则有( x 1 ) 一1 整除x p 7 ( x ) 一 l o p ( x ) ，这样就和我们先前的归纳矛盾，因此引理5 成立 引理6 将证明( 2 0 ) 不能成立，如果 我们选取a ，b 为 a b t a n d a + t b p ( 2 1 ) a = 妒3 s - - 1 3 】 n 以 b = 1 l ；1 3 8 1 3 1 这些正整数a ，b 满足( 2 1 ) ，且保证t 2 8 s ，t a s p a 另外，在区问 t 2 3 s 一1 s d t 2 3 s 一1 3 内，存在整数s 使得( 1 9 ) 成立，再由不等式( 2 1 ) 则有 能t b d ( 幻) 2 3 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 7 如果s t 2 ，由显然界有 托t ( t s ) 2 3 因此有引理6 成立! 首先我们可以得到这样的结论 引理7 当s s 。：- - p 3 ( 1 。g p ) 一3 t 一( 5 _ 2 l - k ) 和t ( 南) 南时，有 引理7 的证明我们使用数学归纳法，首先当七= 2 时候的情形，由i t 中 的引理5 可以得到 现在假设当后= 矾一1 的情形成立，即当s s o ：= p a ( 1 0 9 p ) 一3 t 一( 5 2 1 一阳一1 ) 时，有下面式子成立 6 m 矗t ( m - 1 ) 一狲2 2 _ 一s 2 7 3 a - - - - 1 当忌= m 时候，我们利用k ，p = 。6 七一1 ，a 醒有 而k 一1 ，o 俨一2：，n 冬1 ，故只需讨论曷：。6 m 一，j ：。雩 我们把6 m l j 按大小的顺序排列，6 m 一1 j 。6 m l j ：，因此有 故有 ( 2 2 ) 6 m 一1 痴o ，r = m i n t ( m 一1 ) 一+ 扣2 一”。r 一1 3 ，t m 一2 r ( 2 3 ) l矗l8l k 卅亏= 6 m t 矗喀， 5 = 1 a - - - ir - - - - 1a - - - 1r - - - 1 其中s ，= ；：。喀 利用a b l e 变换有； ( 2 4 ) 32 s 2 l 一3 + 6 - 3 一 七 七6 。d 哆 。棚 o 。芦 十 毋 。脚 ook = 孝 oh 口。硝 = bk 。耐 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 8 l l + l i 娴，= a l + l s 十 r = l r - - - 1r - - - - 1k 一嘶+ ) p = l ( 2 5 ) 利用( 1 8 ) 和( 2 8 ) ，可以得到：l 昂t 2 1 3 p s ) 2 3 。且当r r o = t 1 2 卜阳1 时，由( 2 3 ) 有 口r = t ( m 1 ) 一再51 。i 1 2 2 一”一s 一1 3 ，因此 p 一2 + 扩一s 2 届r 一2 3 t m - 2 + 三2 2 - ( = , - t ) 8 2 3 r l 归 r r o = t ( m 1 ) 一j 2 i 1 2 t - ( m - 1 ) 8 2 3 = t m 一5 5 一r i l 2 - - ”t s 2 3 和q = 矿时类似的，要求有r o 8 0 ，即有 t 1 2 1 一州p 3 ( 1 0 9 p ) 一3 t 一( 5 2 1 一一1 ) t ( 面p 尸3 际 另外还要求有r o 8 0 r o ，即有 t a 一2 1 一”一1 xp 3 0 0 9 p ) 一3 参一( 5 _ 2 1 - ( , - - x ) 7 o ，由( 2 7 ) 有 t ( m 叫一s 2 3c r 一一p + 1 ) 一1 ) r 2 卢t ( m - i ) 一s 2 3 r 4 卢 2 r o r r l s 1 0 r 0 ，有口，= t m - 2 r ，则 p - 1 t m s ，一l = t m s p 一1l o g p 3 r t s r k 又当s s ：= p 3 ( 1 0 9 p ) 一3 t 一( 5 2 2 一) 时，有t m s p 一1l o g p t m 一+ 1 - 2 - - m 8 2 3 ( 2 8 ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 9 经过简单的计算，我们有8 0 s ：l 按照估计e 3 的方法同样可以计算 ( 2 9 ) 故当8 s o = 矿0 0 9 p ) 一3 t 一( 5 2 1 - ”) 时，由( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 9 ) 有 (