（固体力学专业论文）固体力学中的非线性问题与分岔.pdf

武汉理工大学博士学位论文 摘要 本文采用理论建模分析与实验研究相对比的方式，对固体力学中某些非线 性问题进行了研究。介绍了非线性微分动力系统、运动稳定性、结构稳定性与 分岔的一些基本概念及其发展史；推导了一维非线性微分动力系统出现鞍一结 分岔、跨临界分岔和音叉分岔这三种基本静态分岔的条件；介绍了非双曲平衡 点分岔性态的研究方法与霍普夫分岔。 具体对一根一端固定另一端可在轴向滑移的梁，在其滑动端施加轴向激励 时，对其屈曲的状态下的非线性响应过程作了具体的理论分析，推导了这根参 激屈曲梁的运动控制方程。由此出发，用多尺度近似法计算出系统的局部分岔 值；用数值计算方法分析了该系统的全局分岔现象，给出了在不同激励力作用 下屈曲梁横向扰动的位移极值列表；描述了周期激励下该非线性动力系统由倍 周期分岔导致混沌的模式，说明倍周期分岔是产生混沌运动的一个途径。模拟 出了周期吸引子、混沌吸引子、倍周期吸引子的形态，并且出现了暂态混沌现 象，证实了在系统中存在周期倍化、混沌运动以及由暂态混沌过渡到混沌过程 中出现的周期窗口等复杂的动力学行为。 在进行理论分析后，设计了一个对应的实验，以检验理论分析的可信程度。 实验显示了参数激励作用下屈曲梁基本参数共振与主参数共振的运动过程，得 到了梁在周期倍周期拟周期暂态混沌间歇混沌周期窗口混沌一系列非线性 响应的时域波形与频谱图，揭示出在此类边界条件下的参激系统非线性振动的 特性。实验所得数据与理论分析及数值计算所得之结果颇为吻合。 此外，本文还总结了梁、壳、拱等结构的非线性振动问题，将之归结为具 有材料非线性、几何非线性、边界条件非线性等性质的动力学模型，模型的数 学形式是带有时空变量导数的非线性偏微分方程。根据这类模型的物理关系和 几何关系，将它们转化为非线性常微分动力学方程。运用m e l n i k o v 方法讨论了 此类方程在参数变化情况下的动力学行为，寻求出现s m a l e 型马蹄变换意义下 混沌的临界值，用数值方法模拟系统在临界值附近的动力学现象，得到的结果 与用m e l n i k o v 方法分析之结论吻合。 关键词：固体力学，非线性动力学，分岔，m e l n i k o v 方法，参数激励系统， 倍周期分岔，混沌 武汉理工大学博士学位论文 a b s t r a c t b yc o m p a r i n gt h e o r ym o d e l i n g w i t he x p e r i m e n tr e s e a r c h ，s o m en o n l i n e a r p r o b l e m si ns o l i dm e c h a n i c sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r a tf i r s tb a s i cc o n c e p t sa n d h i s t o r yo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ld y n a m i cs y s t e m ，m o v e m e n ts t a b i l i t y , s t r u c t u r e s t a b i l i t ya n db i f u r c a t i o na r ei n t r o d u c e d ，a n dt h e nt h ec o n d i t i o n sg i v i n gr i s et os t a t i c b i f u r c a t i o n ss u c ha ss a d d l e - n o d eb i f u r c a t i o n ，t r a n s c r i f i c a lb i f u r c a t i o na n dp i t c h f o r k b i f u r c a t i o no fo n ed i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a ld y n a m i cs y s t e ma r ed e d u c e da n d n o n - h y p e r b o l i cp o i n tb i f u r c a t i o np r o p e r t yi n v e s t i g a t i o nm e t h o da n dh o p f b i f u r c a t i o n a r es t u d i e d t h e nt h e o r e t i c a la n a l y s e so nt h en o n l i n e a rr e s p o n s eo fac l a m p e d - s l i d i n g b u c k l e db e a mt oah a r m o n i ca x i a le x c i t a t i o na r ep r e s e n t e d w ed e d u c et h eg o v e r n i n g m o v e m e n te q u a t i o no ft h eb u c k l e db e a ma n dc a l c u l a t et h e1 0 c a lb i f u r c a t i o nv a l u e so f t h es y s t e mb ym u l t i s c a l em e t h o d ，t h e nu s en u m e r i c a lm e t h o dt oa n a l y s et h e 砻o b a l b i f u r c a t i o np h e n o m e n aa n dp r e s e n tt h el i s to ft h ed i s p l a c e m e n te x t r e m u mo ft h e b u c k l e db e a m sc r o s s w i s e p e r t u r b a t i o n ，d e s c r i b e t h em o d et oc h a o sf r o m p e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o no fan o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e mu n d e rp e r i o de x c i t a t i o n w h i c hi n d i c a t e st h a tp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni sa na p p r o a c ht oc h a o s t h e c o n f i g u r a t i o n so fi t sp e r i o da t t r a c t o r s ，c h a o sa t t r a c t o r sa n dp e r i o d d o u b l i n ga t t r a c t o r s a r es i m u l a t e da n dt h et r a n s i e n tc h a o sp h e n o m e n aa r eo b s e r v e d i t sp r o v e dt h a tt h e r e e x i s t sp e r i o d - d o u b l i n g ，c h a o sm o v e m e n ta n do t h e rc o m p l i c a t e dd y n a m i cb e h a v i o r s s u c ha st h ep e r i o dw i n d o w sb e t w e e nt r a n s i e n tc h a o sa n dc h a o s a f t e rt h et h e o r e t i c a la n a l y s e s ，w ed os o m ec o r r e s p o n d i n ge x p e r i m e n t st oc h e c k u pt h er e l i a b i l i 够o ft h et h e o r e t i c a la n a l y s e s t h ee x p e r i m e n t sp r e s e n tt h em o v e m e n t c o u r s eo ft h ef u n d a m e n t a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c ea n dp r i n c i p l ep a r a m e t r i cr e s o n a n c e ， e x h i b i tt h et i m eh i s t o r i e sa n df r e q u e n c ys p e c t r ad i a g r a m sa n dt h e np o s tt h e c h a r a c t e r i s t i c so fn o n l i n e a rv i b r a t i o n so ft h ep a r a m e t r i cs y s t e mu n d e rt h i st y p eo f b o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ee x p e r i m e n td a t aa c c o r dw i t ht h et h e o r e t i c a la n ds i m u l a t i o n r e s u l t s 1 1 武汉理工大学博士学位论文 _ 一一一 m o r e o v e rp r o b l e m so fn o n l i n e a rv i b r a t i o no fs o m es t r u c t u r e ss u c ha sb e a m ，a r c h a n ds h e l la r es u m m e du pt od y n a m i c a lm o d e l sp o s s e s s e dm a t e r i a l ，g e o m e t r i ca n d b o u n d a r yc o n d i t i o n sn o n l i n e a r i t i e s t h em o d e l sm a t h e m a t i c a lf o r m i sn o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs p a c e - t i m ev a r i a b l ed e r i v a t i v e s u s i n gp h y s i c a la n d g e o m e t r yr e l a t i o n so ft h em o d e l s ，w ec h a n g et h e mt on o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l d y n a m i ce q u a t i o n s ，t h e nu s em e l n i k o vm e t h o dt os t u d yt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro f t h i st y p eo fe q u a t i o n s ，s e e kt h ec r i t i c a lv a l u ew h e ns m a l eh o r s e s h o e sc h a o st a k e s p l a c e ，e m p l o yn u m e r i c a lm e t h o dt os i m u l a t et h ed y n a m i cp h e n o m e n a a tt h ev a l u e s n e a rt h ec r i t i c a lv a l u e t h er e s u l t sm a t c ht h o s e 强a l y s e db ym e l n i k o vm e t h o d k e y w o r d s ：s o l i dm e c h a n i c s ，n o n l i n e a rd y n a m i c s ，b i f u r c a t i o n ，m e l n i k o v m e t h o d p a r a m e t r i ce x c i t e ds y s t e m ，p e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ，c h a o s i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：量1日期：兰堕：! ! ：垒 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：曼墨 导师签名：之垄趁盛筮日期：三竺2 ：! ! ：兰玉 武汉理工大学博士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的提出和意义 在对以梁、壳、拱等结构为研究对象的一些动力学系统进行动力分析中， 由于系统诸多的非线性因素( 例如几何非线性，材料非线性，边界条件非线性， 耗散非线性等) 的影响，力学系统可能出现诸如分岔【1 卅、混沌【7 10 1 、分形【1 1 1 5 】、 突变【1 6 1 7 1 、孤立子【1 8 2 0 1 等复杂的不确定性的动力学现象。因而，研究随时间的长 期发展系统各种运动模式的复杂性和演化过程，尤其是系统状态的时间渐进性 态以及对参变量的依赖关系，成为固体力学动力系统研究的主要目标之一【2 1 。2 5 1 。 过去对动力系统的研究一般多限于线性系统，即其动力学方程都是线性的。 也就是说，在方程中只有各状态变量及其各阶导数的线性( 一次) 项。这样做 是因为线性方程易于求解，而且具有一些简单的特性，如当初始条件给定后， 方程的解( 代表系统的运动) 便是确定的，而且解服从叠加原理：方程不同解 的线性组合仍是方程的解。然而实际的自然现象或社会现象毕竟是很复杂的， 其动力学规律往往都须用非线性微分方程描述 2 6 - 2 9 ，即实际存在的客体大多数 都是非线性系统。非线性方程除极少数情况外，大多不存在解析解，从而难于 用一些经典方法了解其特性。事实上，早在1 9 世纪末2 0 世纪初，法国著名数 学家和力学家h p o i n c a r e 就已指出，某些非线性系统具有内禀的随机性【3 0 , 31 】。2 0 世纪六七十年代随着计算机科学技术的迅速发展，人们可以求得一般非线性方 程的数值解，这才使人们对非线性系统有了较深刻的了解，而且使非线性动力 学在自然科学和社会科学的许多领域中得到广泛的应用。 自然科学和工程技术中的动力学系统从本质上讲都是非线性系统，这是因 为反映系统特征和影响系统运动的许多因素都是非线性的，例如非线性的物理 因素、几何因素、结构因素等。而线性系统只是真实的动力学系统的一种理想 模型，仅当影响系统运动规律的非线性因素很小时，才能在一定的程度上描述 了系统的真实运动规律。但是，对动力学系统的这种理想化并非总是可靠的， 当系统的非线性因素的影响不可忽略时，线性模型就完全失效。这就促使人们 去研究和认识各种非线性因素对系统性态和运动规律的影响，从而着手建立系 武汉理工大学博士学位论文 统的非线性动力学模型。由于非线性动力学系统具有线性系统没有的丰富而复 杂的动力学特性，人们需要利用或控制这些性质，这就促进了非线性动力学的 进一步发展。因而，在上一世纪，非线性科学得到了飞速的发展并取得了巨大 的成功。人们发现各种非线性现象广泛存在于固体力学、结构静力学和动力学、 天体力学、多刚体力学、机器人动力学、飞行器动力学、电磁场理论、凝聚态 理论、超导和超流理论、控制理论、电子学、化学反应动力学、生物力学以及 社会发展变化规律和经济运行规律等各个自然、社会经济和工程技术领域。一 些推动2 1 世纪发展的高新技术，如玻色一爱因斯坦凝聚、遗传与基因工程、光 导与光纤通讯、混沌通讯、纳米技术、等离子体技术和超导技术等都与非线性 科学密切相关。因而，非线性科学中的“混沌”现象的发现被誉为继相对论和量子 力学之后，二十世纪物理学的第三大发现【3 2 , 3 3 】。在2 0 0 1 年由力学进展举办 的“2 0 世纪理论和应用力学十大进展”评选活动中，“稳定性、分岔和混沌理论” 名列第四【3 4 1 。 分岔和混沌是非线性动力学的重要特性。分岔是指非线性动力系统的参数 变化所引起的系统的拓扑结构突然变化的现象。非线性微分动力系统的分岔问 题【3 5 。3 9 】分为静态分岔和动态分岔。静态分岔研究动力系统的平衡态的数目和稳 定性的变化，动态分岔研究动力系统的相轨迹的拓扑结构的变化。非线性微分 动力系统的分岔问题分为局部分岔和全局分岔。局部分岔只研究平衡点或闭轨 的邻域内相轨迹的变化，而全局分岔则研究动力系统在相空间大范围区域内相 轨迹拓扑结构的变化情况，即研究动力系统的全局行为。 在一定的条件下，非线性动力系统的分岔将导致混沌运动的产生。和分岔 现象一样，它是非线性系统所特有的行为。混沌运动是指在确定性系统中所出 现的有限范围内的、敏感地依赖于初始条件的非周期运动。它类似于随机运动， 具有长期行为的不可预测性，但又不是随机运动，因为它的短期行为是可预测 的，而真正的随机运动具有完全不可预测性，且对初始条件不敏感。混沌运动 的存在揭示了有序和无序、确定性和随机性的统一。 大量的研究表明湖郴j ，非线性动力学研究的分岔和混沌是非线性系统最重 要而又最基本的特性，几乎在所有涉及非线性科学的领域中，都存在分岔现象 和混沌运动。因而分岔和混沌的研究，一直是近三十年中非线性科学最活跃的 研究前沿。由于非线性系统本身的复杂性和丰富多彩的特性，人们目前对非线 性动力系统的认识仍处在初级阶段，这一领域的研究仍将是今后一段相当长时 2 武汉理工大学博士学位论文 间内的研究重点和热门课题之一。 1 2 分岔理论研究现状及进展 1 2 1 分岔理论研究简介 分岔问题的研究起源于1 8 世纪以来对天体力学、流体力学和非线性振动中 一些失稳现象的探讨，它具有深刻的工程应用背景。在1 8 世纪中叶，伯努利 ( b e m o u l l i ) 和欧拉( e u l e r ) 等人就已经研究过杆件在纵向压力作用下的屈曲 问题。1 8 3 4 年，雅可比( j a c o b i ) 在研究自引力介质的椭球形状旋转液体星的平 衡图形时，首先引入分岔这个术语。1 8 8 3 年，雷诺( r e y n o l d s ) 发现在临界雷诺 数时层流转变为湍流的现象，从此开始了流动稳定性的研究。1 8 8 5 年，庞加莱 ( p o i n c a r e ) 提出了旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论。固体力学的屈 曲一直是推动分岔研究的重要动力。2 0 世纪3 0 年代，范德波( v a nd e rp 0 1 ) ， 安德罗诺夫等在非线性振动研究中已经发现大量的分岔现象。然而，在相当长 的一段时间里，分岔研究主要是在应用领域中进行的。直到上世纪6 0 年代，微 分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论，电 子计算机和有效计算手段的相继出现，不同领域中混沌现象的发现，都促使分 岔理论迅速发展。 经过一百多年来微分方程理论的发展，特别是近二三十年来，在微分动力 系统理论和数值计算技术的推动下，分岔理论的研究与应用己超越原来的数学 学科的界限，广泛应用于力学、物理学、化学、生物学、生态学等学科和自动 控制、系统工程、机械振动等工程技术部门，以及经济学和社会科学等领域。 分岔问题研究的内容广泛而丰富，对其研究既需要深厚的数学基础，又需 要宽广的专业知识。归纳起来，其主要研究内容大致分为如下几个方面【l 】： ( 1 ) 分岔集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件与充分条件，这是分 岔问题研究的基本内容。 ( 2 ) 分岔性态的定性研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化的 情况，这是分岔研究的重要内容。 ( 3 ) 分岔解的计算，即对系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分 岔的直接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要寻求实用而有效的求解方 武汉理工大学博士学位论文 法。 ( 4 ) 研究各种不同分岔的相互作用，以及分岔与动力系统中其它现象( 如 混沌等) 的联系。 近年来，分岔理论取得了很大进展，提出了多种研究方法，这些方法大致 可分为定性方法、定量方法和数值方法三大类。定性方法主要有奇异性理论、 p b 规范形法、后继函数法、l y a p u n o v 方法、次- 谐m e l n i k o v 函数法等。定量方法 主要有基于摄动法的平均法、多尺度法、w k b 法、幂级数方法、内谐波平衡法 等。 由于非线性动力问题的复杂性，且理论分析往往需要较深奥的数学理论， 使得定性分析和定量分析均十分困难，因而数值计算方法在分岔问题研究中具 有十分重要的地位，且己取得了卓有成效的进展。随着分岔问题研究的不断深 入，分岔理论及其工程应用取得了较大的发展。如陈予恕等对非线性系统的分 岔问题进行了多方面的研究，发表了一系列研究成果【4 弘5 2 】。金吉铎等对超音速 板的颤振等问题作了局部与全局分岔研究。袁小阳等用p o i n c a r e 映射方法计算了 多圆盘滑动轴承系统的概周期解，分析了发电机转子在不平衡外激励和轴承自 激励联合作用下的概周期运动特性。非线性动力学中分岔问题的研究内容十分 广泛，这些研究表明，分岔不仅与系统中不同运动状态之间的联系和转化有关， 还与混沌运动密切相关。分岔是研究混沌产生机理的重要途径。 物理系统的动力学行为是用微分方程来描述的，描述线性物理系统动力学行 为的微分方程是线性的，描述非线性物理系统动力学行为的微分方程是非线性 的。分岔是非线性微分动力系统的重要特性之一，它反映了当系统的物理参数 发生变化并经过某些临界值时，系统的定性性质，如平衡状态或周期运动状态 的数目以及状态的稳定性，将会发生突然变化( 这相应于描述非线性物理系统 的非线性微分方程的定常解的数目及定常解的稳定性在参数的临界值点发生突 然变化) 。 1 2 2 分岔分类 当分岔发生时，系统是结构不稳定的。由于完整地研究系统的分岔需要分 析系统全局的拓扑结构，这是十分困难的。因此需要根据实际问题的性质和要 求进行具体的研究。当只研究系统在平衡点或闭轨附近的拓扑结构的稳定性变 化时，就只要研究系统在平衡点或闭轨的邻域内的局部分岔；如果需要研究系 4 武汉理工大学博士学位论文 统全局的拓扑结构，那么就要研究系统的全局分岔。倘若只研究系统的平衡方 程解的数目及其解的稳定性随参数的变化情况，那么所研究的就是局部静态分 岔；如果研究动态方程的解的拓扑结构随参数的变化性态，那么就要研究系统 的动态分岔【5 3 - 5 6 。 静态分岔可以看作动态分岔的一种特殊情形，而静态分岔( 定态数目的突 变) 往往要引起动态分岔( 方程的解包括非定态解的拓扑性质发生突变) 。 1 动态分岔中，较重要的是由于定点稳定性突然变化而出现极限环的霍普 夫( h o p f ) 分岔。用状态变量参量空间表示，霍普夫分岔的特点是：当参 量小于某临界值时，定点是稳定点或稳定节点；反之，定点变为不稳定并出现 了极限环。参量取不同值时，极限环的大小和形状也不同。 2 几种典型的静态分岔如：鞍结分岔、跨临界分岔( t r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ) 、 音叉分岔等。 同时还须指出，一个系统的分岔有时不仅仅出现一次，随着参量取值的不 断改变，可能出现一系列的分岔点。这就是所谓逐次分岔( s u c c e s s i v eb i f u r c a t i o n ) 。 系统从稳定定态经第一次分岔到达稳定状态时，由于参量值的变化，该状态自 身可能在某一参量值再出现分岔，其形式可能与原来出现的分岔一样。如此下 去，便出现了一系列的次级分岔( s e c o n d a r y b i f u r c a t i o n ) ，这种一系列次级分岔 所构成的逐级分岔便是所谓级联( c a s c a d e ) 现象口7 1 。 分岔和次级分岔具有重要的实际意义。既然分岔使系统的动力学方程解( 状 态) 的拓扑性质发生了变化，自然也要相应地使系统的结构发生质的变化。对 于一个物理学和化学的物质系统，这意味着系统在分岔点的两侧是处于不同的 相( p h a s e ) 中，因此，物质的分岔现象表示其相变( p h a s e t r a n s i t i o n ) 。 通常，物质系统都处于力学或热力学平衡态中。经过分岔，原来的平衡态 在分岔点另一侧变为不稳定态，并出现了新的稳定定态或稳定振荡状态( 稳定 极限环) 。进一步的次级分岔自然是发生在远离平衡态的区域。因此，非线性 系统中出现的分岔现象相当于非平衡相变。 在热力学平衡态中，系统的熵取极大值，物质分布将是尽可能地处于均匀 无序状态。这时系统具有最高对称性，即一切对称操作都不改变系统的状态。 或者说，这时存在有无穷多对称元素：空间各种平移、各种转动、反射以及时 间平移。经过分岔，系统处于新的定态或振动状态中，如空间分布的规则图案 或时间上的周期过程( 极限环) 。这些状态不会像热力学平衡态那样均匀无序， 武汉理工大学博士学位论文 而是不同程度的有序化了。也就是说，系统的对称性受到某种程度破坏而不如 原来那样高了。以普里戈京为首的布鲁塞尔学派称这种由非平衡过程形成的空 间有序结构或时间上的有序状态( 如极限环振荡) 为耗散结构( d i s s i p a t i v e s t m c 眦) 。可见，耗散结构是由于分岔引起的对称破缺( s y m m e t r yb r e a k i n g ， 指对称性降低) 而形成的。 1 3 混沌 混沌运动是1 9 6 3 年由美国气象学家洛伦茨( e l o r e n z ) 在研究区域小气侯、 求解他所提出的模型方程式首先发现的。通过对洛伦茨方程，受迫达芬方程和 若斯勒方程的分析，可以认为，混沌是服从确定性规律但具有随机性的运动。 所谓服从确定性规律，是指系统的运动( 或演化，e v o l u t i o n ) 可以用确定的动力 学方程表述，而不是像噪声那样不服从任何动力学方程。所谓运动具有随机性， 是指不能像经典力学中的机械运动那样由某时刻状态可以预言( 或预测) 以后 任何时刻的运动状态，混沌运动倒是像其他随机运动或噪声那样，其运动状态 是不可预言的，换言之，混沌运动在相空间中没有确定的轨道。洛伦茨把混沌 运动的这种在确定性系统中出现的随机性称为“貌似随机”。 1 9 7 5 年李天岩和约克( j y o r k e ) 在题为周期3 蕴含着混沌的论文中，首 先提出了现在在非线性理论中普遍采用的混沌概念，即混沌是非线性系统的一 种特殊的运动状态。开始时( 主要是2 0 世纪7 0 年代) 为了把它与传统的表示无 序概念加以区别，有时人们把这种具有专门含义的混沌称为“确定性混沌” ( d e t e r m i n i s t i cc h a o s ) 。现在科技界已普遍接受并习惯使用“混沌”一词的专门含 义了，于是一般便去掉了“确定性”这一定语。人们己普遍认为“混沌”就是“确定 性系统中出现的随机状态”( 1 9 8 6 年英国皇家学会举办的一次国际性专题学术会 上与会者达成的共识) 。 1 4 混沌运动的一些特点 综合迄今人们对它的认识，混沌至少有以下特点： ( 1 ) 混沌运动是决定性和随机性的对立统一，即它具有随机性但又不是真 正的或完全的随机运动。原因是：1 混沌运动服从确定的动力学规律；2 混沌振 6 武汉理工大学博士学位论文 荡虽具有随机性且不是规则的，但其运动也不是完全杂乱无规的；3 虽然混沌运 动在整个时间进程中具有随机性，即在较长时间上不能对其运动做出预言，或 者说他不服从因果律，但是在较短的一定的时间范围内，预言还是可能的，或 者说，因果律并未被完全否定。因此才可以说，混沌运动是决定性和随机性的 对立统一。 ( 2 ) 对初始状态的敏感依赖。与随机性密切相关的是混沌运动对初始状态 的敏感依赖。系统作通常规则运动时，无法避免的涨落或噪声干扰所引起的初 始条件的微小变化一般只引起运动状态的微小差别。即两个运动若其初始状态 很接近则其运动轨道总是很接近的，甚至可能趋于一致。混沌运动则不然，由 于系统无法避免的涨落( 内禀的噪声) ，初始条件的微小差别往往会使相邻轨 道按指数形式分开。洛伦茨戏称混沌运动这种对初始条件的敏感依赖性为蝴蝶 效应( b u t t e r f l ye f f e c t ) ：如果全球气象处于混沌状态，那么有一只蝴蝶在巴西拍 动翅膀，就可能在美国德克萨斯州引起龙卷风。 ( 3 ) 只有非线性系统才可能作混沌运动。当然，系统的非线性只是混沌出 现的必要条件，还不是充分条件。也就是说，非线性系统不一定都能作混沌运 动，作混沌运动还得满足一定的适当条件：1 只有3 个或3 个以上的变量的自治的 非线性系统才有可能作混沌运动。2 同一系统的运动性质( 是否作混沌运动) 还 与其所处条件( 运动方程中的参量取值) 密切相关。同一系统，当其所处内在 或外在条件不同时，它既可能作混沌运动，也可能作其他形式的运动。 混沌现象成为自然科学最活跃的研究前沿之一。上世纪7 0 8 0 年代对混沌的 研究，主要集中在以下几个方面：( 1 ) 研究自然科学、社会科学和工程技术各个 领域中的混沌现象，几乎在所有的领域中都发现有混沌现象；( 2 ) 揭示混沌的特 征，如对初值的敏感依赖性，非周期性，局部不稳定性，无穷嵌套的自相似几 何结构，具有分形性质等。( 3 ) 通向混沌的途径，如倍周期分岔途径，阵发性 途径，准周期分岔途径和激变途径等。( 4 ) 混沌的刻划和判据，如梅尔尼科夫 ( m e l n i k o v ) 判据，李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数 5 8 , 5 9 ，分形维数，柯尔莫哥罗 夫( k o l m o g o n o v ) 嫡等。 m e l n i k o v 方法是研究混沌现象的解析方法【6 0 , 6 1 】，该方法具有重要的地位。 此方法的基本思想是将动力系统归结为平面上的一个p o i n c a r e 映射，研究该映 射是否存在横截同( 异) 宿轨道的数学条件，从而得出映射是否具有s m a l e 马 蹄变换意义下的混沌性质。所以，m e l n i k o v 方法给出了一类非线性动力系统 武汉理工大学博士学位论文 s m a l e 马蹄变换意义下出现混沌现象的判据。此外，m e l n i k o v 方法还可判定次谐 分岔的存在性。由于m e l n i k o v 方法可以直接进行解析运算，这样更便于对动力 系统进行定性和定量的分析，因而m e l n i k o v 方法得到了很大的关注和发展。此 方法被推广到高阶m e l n i k o v 方法【6 2 侧，并且在多自由度系统【6 5 6 7 】和广义 h a m i l t o n 系统中进行了的推广 6 8 , 6 9 j 。 进入上世纪9 0 年代以来，人们对于混沌研究由认识阶段进入了控制和应用 阶段。1 9 9 0 年，奥特( e o t t ) ，格瑞伯基( c g e r e b o g i ) 和约克( y o r k e j a ) 提出了控制混沌的思想( o g y 方法) 产生了广泛的响应。紧接着，迪托 ( w l d i t t o ) 和罗意( r r o y ) 等完成了控制的实验。从此以后，引起了混沌控 制和混沌同步的热潮。人们提出了各种控制混沌的方法，并且在大量的实验和 应用中得到验证。归纳起来，目前已有的控制混沌的方法可以分为反馈控制和 非反馈控制两大类。反馈控制的基本思想是：根据无穷多不稳定的周期轨道稠密 的分布在混沌吸引子上的特点，通过连续地对系统的参数施加含时间小扰动， 使在无穷多不稳定周期轨道中所期望的不稳定周期轨道稳定化，从而达到将混 沌态变为稳定的周期运动的目的。这种方法的优点是可以保留系统原有的动力 学性质，并且只要很小的控制信号。各种反馈控制方法的共同特点是用系统的 动力学变量的部分实测数据反馈回控制信号中，这就需要对系统进行持续准确 的监测，并作出即时响应，这在一些实际情况中不容易实现。混沌的非反馈控 制方法能够克服这一困难。非反馈控制技术的基本特点是控制信号不受系统变 量实际变化的影响，因而也就免除了对系统变量数据的持续采集和响应，但非 反馈控制方法也有它自身的局限性。因此如何改进已有方法，发展新的控制方 法，仍然是混沌及其应用研究的重点。 1 5 结构屈曲问题 目前，结构的屈曲问题【7 0 l 已经成为固体力学十分活跃的分支之一。研究内 容涉及杆、板、壳、拱等各类常见结构单元在各种载荷作用下的屈曲问题的各 个方面。如屈曲准则的建立、临界载荷的确定、初缺陷的影响或后屈曲分析等。 结构稳定性问题的研究经历了由静载到动载，由弹性到塑性的研究历程， 稳定性问题虽然有各种不同的定义，但粗略的讲，是研究系统在外界干扰微小 时系统状态的扰动是否也是微小的问题，如果是系统状态的扰动发生了较大的 8 武汉理工大学博士学位论文 变化，则称之为系统的失稳或屈曲。事实上，理想完善结构的屈曲是最常见的 固体力学定态分岔现象。早在1 8 世纪中叶，e u l e r 和b e r n o u l l i 就研究了细长杆在受 压时失去稳定性的临界载荷计算问题， 飞行器等设计中的大量使用，杆、板、 成为固体力学的重要问题。 随着细长及薄壁构件在建筑物、船舶、 壳以及其他组合结构的稳定性问题已经 从数学上说，结构在静载作用下出现屈曲( 即失稳) 可以归结为平衡方程 解的多值性问题，因此，它是定态分岔问题【7 。通过分岔分析，不但可以对结 构的屈曲状态作定性或定量的研究，而且可以得到屈曲时临界载荷的计算方法。 分岔的定性分析理论告诉我们，结构在最小临界载荷处出现超临界的定态分岔， 并且分岔解总是成对出现的，当线性化问题有多重特征值时，将有更多的分岔 解出现，随着载荷的进一步增大，初始屈曲状态还可能失稳并产生二次分岔， 结构的屈曲之后的行为即称为初始后屈曲。本文对某些结构后屈曲非线性动力 学为进行了详细讨论。 综上所述可知，对非线性系统分岔现象和混沌特性的研究具有重要的理论 价值和实际意义，进一步深化分岔和混沌理论及其应用的研究仍然是非线性科 学所面临的重要任务。因此，本文研究目的是揭示分岔混沌的某些基本特征， 研究固体力学中常见非线性系统的分岔混沌现象。 1 6 本文的主要研究内容 1 逐一介绍了微分动力系统的基本理论与各类分岔类型及其分岔特性的研 究方法，并比较了它们的特点。 2 详细研究了一端固定一端滑动承受轴向激励的屈曲梁的非线性响应过 程，推导了其运动控制方程，并用多尺度近似法与数值计算方法分析了该系统 的局部分岔与全局分岔现象，描述了周期激励下一个非线性动力系统由倍周期 分岔导致混沌的模式，说明倍周期分岔是产生混沌运动的途径之一，模拟出了 周期吸引子、混沌吸引子、倍周期吸引子的形态，并观测到了暂态混沌现象。 证实了系统中存在周期倍化、混沌运动、暂态混沌过渡到混沌过程中出现的周 期窗1 ：3 等复杂的动力学行为。 3 结合i n v l 6 0 1 振动实验系统的硬件与软件，用实验方式展示了参数激励 作用下屈曲梁在基本参数共振与主参数共振下的运动过程，得到了梁在周期倍 9 武汉理工大学博七学位论文 周期拟周期暂态混沌间歇混沌周期窗口混沌一系列非线性响应的时域波形 与频谱图，结合第三章对参激梁非线性响应的理论与数值分析，揭示出参激系 统非线性振动的特性。 4 总结了梁、壳、拱等结构的非线性振动问题，将其归结为具有材料非线 性、几何非线性、边界条件非线性等性质的动力学模型，将它们转化为非线性 常微分动力学方程。运用m e l n i k o v 方法研究此类方程在参数变化情况下的动力 学行为，寻求出现s m a l e 型马蹄变换意义下混沌的临界值，并在临界值附近取 值，用数值方法模拟系统在该值下的动力学现象，得到的结果与用m e l n i k o v 方 法分析之结论吻合。 1 0 武汉理工大学博士学位论文 2 1 引言 第2 章非线性微分动力系统与分岔 物理系统的动力学行为是用微分方程来描述的，描述线性物理系统的微分 方程是线性的，描述非线性物理系统的动力学行为是非线性微分方程。分岔是 非线性微分动力系统的重要特性之一，它反映了当系统的物理参数发生变化并 经过某些临界值时，系统的定性性质，如平衡状态或周期运动状态的数目以及 状态的稳定性，将会发生突然变化( 即描述非线性物理系统的非线性微分方程 的定常解的数目及定常解的稳定性在参数的临界值点发生突然变化) 。 本章首先介绍了分岔的一些最基本的概念，接着推导一维非线性微分动力 系统发生鞍结分岔、跨临界分岔和音叉分岔等三种基本静态分岔的条件，然后 研究了高维动力系统降维的中心流形方法以及霍普夫分岔。 2 2 稳定性与分岔 2 2 1 运动稳定性 运动稳定性问题是非线性动力学研究的重要内容，它反映单个系统的运动 状态受到初始扰动后运动状态保持不变的动态特性。运动稳定性的定义如下： 对于非线性系统 戈= f ( x ，f ) x r ”，t er ( 2 1 ) 设x = x 。( 吐( t o f 0 使得当0 x o x ：0 8 ( e ，) 时，对于一切t t o 有 l i x ( t ) 一x ( f ) 0 ，则称解x = x + ( f ) 是稳定的。 研究非线性系统运动稳定性的基本方法是俄国学者李雅普诺夫1 9 世纪末在 他的博士论文中提出的李雅普诺夫直接方法。另一常用方法是根据非线性系统 的派生系统的稳定性来判断原系统的稳定性【7 2 , 7 3 】。 武汉理工大学博士学位论文 2 2 2 结构稳定性 结构稳定性是指当非线性微分动力系统受到扰动后解的结构或者说系统的 相轨迹的拓扑结构保持不变的性质。为了给出结构稳定性的定义，先介绍几个 相关的概念， 同胚：单值连续且其逆也单值连续的映射，即设f ：a b ，彳r n , b r ”的 单值连续映射，若其逆厂1 存在且单值连续，则称厂是a 到b 上的一个同胚 ( h o m e o m o r p h i s m ) 。 流形：设点集mc r ”，如果m 有一个开覆盖 k 1 ，且有一簇同胚 够1 ， 够：l r ”，使得仍( k ) 是r ”的开集；对不同的f ，_ ，复合映射仍缈，- 1 在其定义 域上为c 7 ( 0 ，) ，则称m 为r “中的一个甩维c 7 流形( m a n i f o l d ) 。如果，l ， 则称m 是c 7 微分流形。 拓扑等价：设m 为微分流形，善，r 是m 的c 7 向量场，它们分别生成流仍和 ，如果存在一个同胚乃：m m ，将流仍的轨线映为的轨线，并保持时 间定向，则称向量场孝和刁是拓扑等价的。也就是说，如果相空间之间的同胚将 一个系统的相轨迹变为另一系统的相轨迹，且保持时间定向，则两个系统称为 拓扑等价。 于是给出结构稳定性的定义如下：如果一个微分动力系统受到小扰动后产 生的新的系统与原系统拓扑结构等价，则称此系统是结构稳定的，不具备结构 稳定性的系统称为结构不稳定的。 结构稳定性理论就是要确定系统相轨迹拓扑结构稳定的条件。安德罗诺夫 ( a a a n d r o n o v ) 和庞特里雅金( l s p o n t r y a g i n ) 最早研究结构稳定性问题， 得到了平面系统拓扑结构稳定性的结论【7 4 】： 平面系统结构稳定的充分必要条件为：( 1 ) 仅由有限个平衡点和闭轨，且 均为双曲的；( 2 ) 不存在联结鞍点的相轨线。 由此可知，如果二维微分动力系统具有非双曲平衡点或具有连接鞍点的同 宿轨道或异宿轨道，则此系统是结构不稳定的。对于高维微分动力系统，若有 非双曲的平衡点或闭轨，或者系统的某些稳定流形与不稳定流形非横截相交， 则该系统是结构不稳定的。 1 2 武汉理工大学博士学位论文 2 2 3 分岔 对于结构不稳定的非线性微分动力系统，总存在任意小的扰动，使系统的 拓扑结构发生变化，这就是分岔现象，其定义为： 设有含参数的非线性微分动力系统 莺= f ( x ，)x r ”，r ” ( 2 - 2 ) 当参数p 连续地变动时，若系统相轨迹的拓扑结构在= 甄处突然发生变化，这 种现象称为分岔( b i f u r c a t i o n ) 。 由分岔的定义可知，当分岔发生时，系统必定是