（基础数学专业论文）高阶脉冲微分方程的振动性.pdf

摘要 本文主要讨论了高阶脉冲微分方程解的振动性，得到了高阶脉冲微分方程解 振动的充分条件所得结论是对低阶脉冲微分方程解的振动性的结论的推广 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ：w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no ft h eh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q ua _ t i o nw i t hi m p u t s 髂s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st og u a r a n t e et h eo s c i l l a t i o n so fh i g h e r o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s e sa 聪o b t a i n e d 、t ep o p u l a r i z et h er e s u l t s o ft h el o w e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s e s 序言 有关现实世界中的许多现象呈突变状态，气候变化对种群的影响，大的经济 环境的突变对供给和需求的冲击，金融波动，机械性能的不稳定对产品质量的影 响，而且有时还表现出一种滞后或超前的现象，由于常微分方程解决的廿j 题反映 的是事物随时问的变化而连续变化，所以对上述廿j 题的解决已无能为力了，泛函 微分方程可以解决单纯的滞后或超前问题，但如要解决现实中这种”突变现象 ”自然而然的引入一种新方法，即用脉冲常微分方程或脉冲泛函微分方程的理论 来解决上述现象 最早脉冲微分方程的研究可追溯到6 0 年代m i l m a n 和m ： s h k i s 的工作 1 自此以后8 0 年代以来，有关这方面的研究迅速发展并取得了非常好的结果 专著f 2 5 】系统描述了咏冲微分方程基本理论、稳定性、周期解等其本特性 近年来脉冲微分方程的振动性、渐近性理论作为一个新的科学领域逐渐发 展起来期间众多的科究工作者对脉冲微分方程的振动性、渐近性理论的研究作 了大量工作，得到一些很好的结论，但大邵分偏重低阶脉冲微分方程的研究 1 9 8 9 年，g o p a l s a m y 和张炳根发表了第一篇有关带有时滞的脉冲微分方程 的振动性的文章f 6 1 ，该文就脉冲微分方程与不带脉冲的常微分方程的振动性与 渐近性是否具有联系的问题给出了经典结论文 7 1 g 】都研究了具有偏差变元 和固定脉冲时刻的一阶脉冲微分方程的振动性，分别得到了一切解振动的充分条 件文【17 】考虑了具振动系数的脉冲微分方程非振动解存在的充分题条件文 【l s l l l 9 】给出了含时滞的脉冲微分方程非振动解存在的充分条件文 2 0 则给出 了充要条件保证方程的非扳动解存在有关二阶脉冲微分方程的研究也有一些很 好的结果文【2 1 】用叠合度理论研究了非线性二阶脉冲周期边值问题获得了解 存在的充分条件文f 2 2 4 a 】首先解决了二阶非线性和次线性脉冲微分方程； io ”( t ) + ，( t ，工( t ) ) = 0t 2 屯，t “，k = 1 ，2 ， x ( t t ) = 9 k ( z ( t ) ) z ( t ：) = t ( 工( t ) ) ， 【z ( 对) ：。，z ( t j ) ：z ： 中z 。( t ) 的符号嗍题，给出了重要引理，并得到了保证其一切解振动的判定定理 其后文f 2 3 l 【2 4 】推广了f 2 2 1 的结果，得到了一些判定振动的依据文 2 5 2 9 l 同 样给出了判定二阶脉冲微分方程振动性的判定定理文 3 0 1 研究了二阶线性脉 冲微分方程“”( t ) = 一p ( t ) “的振动性与非振动性，这里p ( t ) = n ，d ( 1 一为 脉冲函数得到振动与非振动得充要条件文 3 1 1 中b , t i n o v 用微分不等式的研 究了脉冲抛物方程的振动性文【3 2 】研究了三阶脉冲微分方程的振动性与渐近 性绘出了解决一( t ) ，z “( t ) 的符号的引理，并得到了一些保证解振动或趋零的充 i i 分条件文f 3 8 】研究了三阶非线性脉冲时滞微分方程的振动性与渐近性，并得到 了一些保证解振动或趋零的充分条件文 4 2 】研究了四阶脉冲微分方程的振动 性 f 。( 4 ) ( t ) + p ( t ) z ( t ) = 0 ，t 兰t o ：t t k ， z ( i 1 ( t j ) = n ? z t ( “) ，i = 0 ，1 ，2 ，3 ，k = 1 ，2 l 卫( ( 培) = 孝1 ， 给出了解决z ( t ) ，z ”( t ) ；( t ) 的符号的引理，并得到了一些保证解振动有用结 论文【4 3 研究了高阶脉冲微分方程的振动性 ( t ) + p ( t ) x ( t ) = 0 ，t t o ，t t k ， f ) = a 0 。( t ) ) 。i = 0 ，1 ，2 n 一1 ，k = 1 ，2 - 培) = z 扎 给出了解决复杂的导数的符号问题，得蓟了几个非常有用的引理，从而保证解振 动的充分条件 在对脉冲微分方程渐近性态的研究中，文 3 3 研究了一般脉i 中微分方程解的 全局吸引性使用了分段连续的l i a p u n o v 法在文f 3 4 】中，通过对方程z ( t ) r e n ( t ) z ( t 一兀( t ) ) = 0 ，t t k ；z ( t 2 - ) 一x ( t k ) = b k z ( t k ) ，n 的非振动解和 这振动解渐近性态的研究，得到了方程下凡解渐近稳定的充分条件文3 5 则 给出了z ( t ) + a ( t ) z “一t ( f ) ) = o ，t t k ；z ( t i ) 一z ( t k ) = 厶0 ( “) ) ，女 的一类持续解和渐近性态的判别准则文 3 6 z 7 在b a b a d l 空问中研究了 脉冲微分方程，得到了方程渐近性态问的关系其中文f 3 _ 】研究的是两个系统 一 ) = a ( t ) x ，t t l ，z ( t ) = 三j ( 芒i ) ，j = 1 ，2 ，和y ( d = 4 ) + f ( t ，! ，) ，t t l ， = ( l j + 马) ”，j = 1 ，2 ，得到了这两个系统渐近等价的条件文 3 8 】对一 类含有时滞的脉冲逻辑斯蒂型方程的渐近性态进行丁研究文 3 4 】给出了方程 z 。( t ) + ( t ，x ( t r ) ) = 0 ，t t o ，t t k ，z ( t ) 一x ( t k ) = 0 ( “) ) 女n 每一解趋 于零的充要条件，该结论包含了非脉冲方程的结论文 3 9 用1 函数法研究了 二阶线性脉冲微分方程的渐近性态。给出了几个判定方程有界和趋零的定理 从以上的研究工作可以看出，有关高阶脉冲微分方程的研究不多本文主要 研究了高阶脉冲微分方程的振动性并得到一些结论 全文共分三节 第一节系统的讨沦了高阶非线性脉 申微分方程： i 卫( 孙0 ) + ( t ，卫0 ) ) = 0 ，t t o , t t k ， 簖) = g k ( i ) ( 童( “) ) ，i = 0 ，1 ，2 n 一1 ，= 1 ，2 【z ( o ( 培) = 。g ， 振动性，给出了其一切解或有界解振动的几个充分条件 第二节系统讨论了高阶非线性脉冲微分方程： fz ( “o ) + p ( t ) l z ( t t ) i 。s g n x ( t r ) = 0t t o ，t f 女 z “卜n g 卫哪( ：i = 0 ：1 ，2 n l ，k ：1 ，2 【z ( 4 1 ( 培) = z g ， 振动性，得到一切解振动的几个充分条件 第三节系统讨论了高阶自共轭线性脉冲微分方程： l r 0 ) ( 2 “一1 ( t ) + p ) “) = 0 ，t o ，t “； z ( t ) = a kx “j ( t k ) ：i = 0 ，l ，2 n 一1 ：1 ，2 【。a ( 培) = 考， 振动性，给出了其一切解或有界解振动的几个充分条件 第一节2 n 阶非线性脉冲微分方程解的振动性 以下研究高阶非线性脉冲微分方程 t o ，t t k ： = 0 ，1 ：一，2 n 一1 ，k = 1 ，2 这里n 为正整数，0 t o t l t 2 o ( t o ) ：( z ) 0 ( b ) 在( 一o o ，+ o 。) 上乳f ) ( z ) 连续，且存在正常数口，b 9 1 ，i = 0 1 ， 2 n 一1 ：满足 ，、 n 2 塑掣s 秽 ( c ) m - t o ，+ 拳c 圳+ 篇也卜+ 蒜长( t m + l - - t m ) t - 一棚 ( 1 2 j 记 州小慨坚鳖等竺鳖，( 砖j = 舰兰盟等鲨塑 i = 1 ，2 ：，2 n 一1 ，k = l ，2 ，一 定义1 t 函数z ： t o ，t o + “) _ r t o 0 ，“ 0 ，称为( 1 1 ) 的解( 这里 口 0 ) ，若它满足： ( i ) x o ) ( t o + ) = z 扎i = 0 ，1 ，2 n 一1 ： ( i i ) 当t ( t o ，t 0 + q ) ，t “时，z 0 ) 满足z l “1 ( t ) + f ( t ，z 0 ) ) = 0i ( 饿) z ( 1 ( t ) 在t t o ：t o - 4 - n ) 处左连续且满足z ( 。( t ) = 吼“) z ( ( “) 定义1 2 方程( 1 1 ) 的解称为非振动的，如果这个解最终为正或最终为负， 否则称该解为振动的，如果( 1 1 ) 式的所有解为振动的，则称( 1 1 ) 式为振动的 由于高阶非线性脉冲微分方程可化为脉冲微分方程组而对脉冲微分方程组的整 体解存在性可参看文 2 在下文中。我们总假定( 1 1 ) 的解在 f 0 ，+ 。) 上是存在 的 0 ) = k 娟忙 m 蛳毋 + i l | | 吣帖时 协m z z z ，llijf、itt、 引理1 1 设z ( t ) 为( 1 1 ) 的解，且条件似) ( b ) ( c ) 成立，又设对某一 i f 1 ，2 一，2 n 一1 ) ，存在t t o ，使当t t 时，一“( f ) o ( o ( 0 ，z ( “1 ( ) 0 以下分两种情况讨论： ( 1 ) ：若对一切“ t 时，有t ( “帆) 0 且在 ( 掂“+ 1 】上单调不减，从而当t ( t t ，t 2 】时，有 积分上式得 同理可得 z o 一1 ( t 3 ) x 0 - i ) ( t ；) + ( i 1 ( t ) ( f 3 一如j 注意到z ( ) ( ：l = 2 ) z ( 1 ( t ) ，由( 1 3 j 、( 1 4 ) 得 z “一1 ( t 3 ) z ( i 一1 ( t 手) + z ( i ) ( t ) ( t 3 一t 2 ) 喀一1 ) x 0 一l ( 如) + o g ( t ( t 2 ) ( t 3 一t 2 ) 碴1 陆“一l 0 ) + 。( ( 对) ( t 2 一t 1 ) + n z ( t 1 ( t 2 ) ( t 3 一t 2 ) 喀一修一1 ) + x o ) ( 蝴如一t - ) + 萨a ( o ( 制t s 一圳 用归纳法可得 z ( “) d 妊? 6 9 一1 谚。1 ( 时) + t l l ( 对) ( 如一t 1 ) + $ ( t 3 - - t 2 ) + + $ 抟( t i n - - t m - i ) 】) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 注意到a # 0 ，6 “j 0 ，由条件( c ) 知当m 充分大时，( 1 5 ) 式的右端大于 零从而当m 充分大时，有z ( ”1 ( t 。) 0 ，与假设矛盾! 所以对一切“ t ，情 形( 1 ) 不可能出现 ( 2 ) ：若存在某个j ，0 t 时有x ( i - - 1 ( 0 ) 0 则z ( i - - 1 ) ( t ，) n r “z ( 1 1 ( 0 ) 0 因为x o ) ( t ) 0 ；所以z ( ”1 ( t ) 在( 0 t j + l 】上单调增加从而当f ( f ，t + i 】时， 有z ( 卜1 ( t ) z ( 1 ( 对) 0 特别地有z l i - - 1 ) ( f 什1 ) r 【”1 1 ( 寸) 0 类似地有 t ( t j + l ，0 十2 】时，。( 卜1 ( t ) z ( 卜1 1 0 + 十i ) n o 川- 1 r o - 1 ) ( 0 + 1 ) 0 用归纳法可 知当t ( 0 + 。一l ，0 十。】得z o - 1 ) ( f ) 0 所以当t 0 + l 时， z ( i - 1 ) ( t ) 0 综合( 1 ) ( 2 ) 可知，存在五l 当t 五时，都有z ( ”( t ) 0 引理1 i 证毕 2 引理1 2 设o ( t ) 为( 1 1 ) 的解，且条件( a ) ( b ) ( c ) 成立，又设对某一 i n ，2 一，2 n ，存在t f o ，当t t 时，有z ( t ) o ( o ( 0 若不然，则存在某个t j t ，使z ( 卜1 ( t j ) 茎0 由z ( 4 ( t ) 0 知当k j 时 z 卜1 ( t ) 在任何一个( t t ，t k + i 上单调不增， z i - 1 ) ( t k + j ) ( ”1 ( f 女) 0 又由 条件知z ( 1 1 ( t ) 在任一区间n + o 。) 上不恒为零故存在某个t l t d 使一1 ( t ) 在 ( t t t t + l 】上不恒为零，为方便起见，不妨设f = j ，即z 【”( t ) 在( f ，0 + l l 上不恒为 零从而有 z 。一1 1 ( o + 1 ) z “一1 1 ( t j ) s 母一1 z “一1 1 ( o ) so 叉当t ( 0 + l ，t j + 2 时，并注意到z ( h 1 ( 勺+ 1 ) 0 故有 z ( h 1 ( t ) 墨z ( ( 填1 ) 兰q ( i + - - l 1 z ( 1 ( 。+ i ) 0 特别有x ( i - 1 ) ( t s + 2 ) 0 由归纳法可得当t ( t j + 。t j + 。 时，当m 充分大时， 有z ( “( t ) 0 故在( 0 + l + o 。) 上有z ( “( t ) 0 z ( ( t ) s0 由引理1 1 可得 当t 充分大时。有z - 2 ) ( t ) 0 ，再 由x ( i “) 0 ) 在( t k ，t k + l l 上单调不增，知当t 充分大时，有。( 。1 1 ( t ) 0 引理1 2 证毕 引理1 3 设z ( t ) 为( 1 1 ) 的解，且条件( 4 ) ( b ) ( e ) 成立又设存在t t o 当t t 时，有卫( t ) 0 ，则存在，t 及f ( 1 j3 一，2 n 一1 ) ，使当t r 时有 z ( ) ( t ) 0 i = 0 1 ，1 ： ( 一1 ) i 一1 z ( 1 ( t ) 0 、i = i + 1 一，2 n 一1( 1 6 ) lz ( “1 1 ( t ) 0 证明：不妨设t = t o 因z ( f ) o ( t t o ) ，由( 1 ) 及p ( t ) 非负且在任何区间 ( t ，+ o 。) 上不恒为零知， z ( 鼽( t ) = 一f ( t z ( t ) ) 一p ( t ) 妒( z “) ) 0 且z 2 ( t ) 在任何( t + ) 上不恒为零由引理1 2 知，充分大时有z ( 如“( f ) 0 ， 为方便起见不妨设t 三“时，z i - - 1 ) ( f ) 0 ，从而有i ( 2 n - 2 1 ( t ) 在。k + l 】上 单调增加若对一切t k ，有z ( 2 n - - 2 ( “) f j 时有2 n - 2 ) ( t ) 0 由此知存在五t ，使下面两情形之一成立： ( a 1 ) z ( 2 n - - i ( t ) 0 z ( 2 “一2 1 ( t ) o ，t 丑 ( 口1 ) z ( 2 n - - i ) ( t ) o ，。( 2 n - - 2 1 ( f ) 0 反复利用； 理1 1 ，最终可得当t 充分大时， x ( 2 n - - t ( t ) o ，z ( 2 n - - 2 ( t ) 0 ，z ( t ) 0 ，x ( t ) 0 当( 口1 ) 成立时。类似前面的讨论，利用引理1 2 可知当t 充分大时，有 z ( 2 ”3 ( t ) 0 ：且进一步可推知存在正五，当f t 2 时，有以下两种情形之 成立： ( a 2 ) z ( 2 “一3 0 ) 0 z ( 2 ”一4 1 ( t ) 0 ，t 正： ( b 2 ) z ( 2 “一3 ( t ) 0 ，z ( “一4 ( t ) 0 ，i = 0 ，1 ；，f ( - 1 ) i 一1 z ( i “) 0 ，i = f + 1 1 f + 2 一2 n 一1 1z ( “( t ) 0 引理1 3 证毕 注： z ( t ) 为( 1 1 ) 的最终负解的情形，也有类似引理1 2 、1 3 的结论 定理1 1 设条件( a ) ( b ) ( e ) 成立，且有n 妒1 ( = 1 ，2 ) 和 则( 1 _ 1 ) 的一切解振动 证明：若( 1 1 ) 有一个非振动解x ( 0 ，不失一般性，可设z ( t ) o ( t t o ) ，由引 理1 3 知，存在r2t o 及z f 1 ，3 ，2 n 一】) ，当t ，时。( 1 6 ) 成立不妨 设，= “故当t t o 时，有z ( t ) 0 z ( t ) o 茁( 2 t 1 ( t ) 0 z ( “1 ( t ) 0 故 z ( 2 ”1 ( f ) 在( 札“+ j 】上单调不增而z ( t ) 在( “，“+ 。】上是单调增加的令 “”篱 4 愁嚣 贝0 “( t 王) o ( k = 1 ，2 ，。j u ( t ) oc t t o ) 又由条件) 知妒( z ) 0 ：故当t t k 时 “m 卜渊一 筹h 球胚刊 坤 ) = 等辫篙掣 挚b 1 2 - 1 ) u ( t t ) 对( 1 8 ) 式从t o 到t t 积分得 u ( t 1 ) ( 培) 一p ( t ) d t j 抽 “o ) b ( 2 n 一”u 0 1 ) 6 1 2 ”一1 ( t 古) 一f 1 1p ( t ) d t 类似有以下不等式 “( 譬) 谬n - 1 ) “( 如) 6 p - 1 ) h ( t ) 一衅p ( t ) a t 垆。浒”1 1 “( t 手) 一妒1 船p ( t ) d t 一舒p ( t ) d t 炉。理”忡手) 一腙p ( t ) d t 一南f ；i ：p ( t ) d r 由数学归纳法易证对任何自然数m 有 “( t 志) s6 p 1 垆。埭叫呻j ) 一f ：p ( t ) d t - 南f t t l 2p ( t ) d t - 一矿项考四此= p ( t ) d 亡 ( 1 - 1 3 ) 一驴可可奄册j 恕，p ( t ) a t 由( 1 7 ) 0 1 3 ) 得，当m 充分大时，有“( 境) 0 ，有妒如6 ) 妒( a ) 妒( 6 ) ， 船燃乞糍胖以+ 辨黪删咖一 + 筹溯靡“p o ) d r + 一+ 。 “ 则( 1 1 ) 的一切解振动 证明t 不妨设( 1 1 ) 有一个非振动解。( t ) ，不失一般性我们可设二r ( f ) o ( t t o ) 由引理1 3 及方程( 1 1 ) 知存在r f o ，当t r 时，有 z ( 2 。1 ( t ) s0 ，卫( 2 n - 1 ) o ) o ，。( t ) o ，z ( t ) 0 ( 1 1 5 ) 5 o 穹 。 加 n 挖 0 n n n ( t k ：t k + 1 上是单调增加的令 砷) = 篱 则( f ) o ( k = 1 ，2 ，) ；u ) o ( t o t o ) “一渊一 错h 加胚刊埘 州嘲= 辨兰篙 蕞署 ( 1 磊t ) 蛾) 矫鞴 阶手) 一倍p ( t ) 小一鹅f ：v ( o d t 一耸黔害艘p u ) a z n 1 8 一耳a 砰冠再曩字j k 。 一筹尝攀也，p ( t ) 州 6 矗q 6 ：h _ 1j 6 譬：1 ) j f 仇一】p 、，1 由( 1 1 4 ) ( 1 1 8 ) 知当m 充分大时，有“( 砖) 0 ，t t 。 由引理1 , 3 知存在r t o 及f 1 3 ：一，2 n 一1 ) 使t r 时( 1 6 ) 成立，下 面分两种情形c ( i ) f = 1 即有z ( t ) 0 ，z 0 ) 0 ，一“) 0 ，z o “) 0 ；z ( 2 ”1 ( t ) 0 ( i i ) l 3 即有x ( t ) 0 ：z “) 0 ：z “( t ) 0 r “( t ) 0 ，：t ( “( f ) 0 ： z ( h 。1 0 ) 0 ，z ( m 。1 0 ) 0 因x ( t ) 0 ：。( t ) 0 知t ( t ) 在( “，“+ l 】上单调增加叉注意到n ? 1 故r ( r ) 在整个 t o ，。o ) 上单调增加从而t f o 时卫( t ) z ( t o ) 由( 1 1 ) 式有 。( 2 ”( s ) = 一，( s ，。( s 1 ) 一p ( s ) 妒( z ( t o ) ) = 一q 9 ( s ) ，s p 女，t + l 】( 1 1 9 ) 6 这里c = 妒( z ( f 0 ) ) 0 对( 1 1 9 ) 左右两边同乘s “。：然后从o i 到t 积分有 ，k t 8 2 n 1 2 ：( 2 n ) 如一( 一。1 ，( s 小) ) d s 一c 0 ，t ( t 女，t 女+ l 】，k 1 有 z ( t ) z ( t ) n j l z “。) z ( t ) z ( t 参) a z ( t 。) “弛i 1 1 z7 ( t 1 ) 有数学归纳法知，对任意自然数k ，有 一( t ) z ( t ) n i l a 妲，n ( t - ) 结合( 1 2 1 ) 和口譬21 ，有 m l z ( t ) z ( t 1 ) 毋n 锉。n h “+ - 一t k ) ， t ( k ，t l = l 由条件c 和6 7 1 ，有 毋n 妲，n 1 1 ) ( t 川一t k ) = + o 。 t = l 故当t _ + + o 。时，x ( t ) _ + o 。，与z ( t ) 是有界矛盾因此方程( 1 1 ) 的一切有界 解是振动的证毕! 定理1 4 设条件( ) ( b ) ( e ) 成立，若对任意j 0 ，行a p b 0 ，m = 1 ，2 ，6 p 。1 1 且 l ，+ l _ 蚓贬。巾，z ) 出| 2 + o 。 ( 1 2 2 ) 则方程( 1 1 ) 的一切解是振动的 8 证明：设( 1 1 ) 有非振动解z ( t ) ，不妨设x ( t ) 0 ，t t o ，由引理1 3 知，z ( f ) o ，f t o ，x ( t ) 在 t o ，+ 。) 上单调非减 z 1 ) z ( 臂) ，。( ，) z 0 ) d ( 0 z ( t 。) n ( 0 1 z ( 甘) z ( z 3 ) z ( f ) 毋z ( 如) 乜字1 订( 0 1 r ( f 手) 由数学归纳法 ? ( t m + 1 ) 上( t 嘉) d 拦z ( t m ) _ n j w 乜n 摆z ( t 古) 6 z ( t 于) 从而可保证x ( t ) 有正的下界k ( 讨) 由( 1 2 2 ) 可得 ( ，( s ；z ( 蝴c f s z 妇( 时) i ! n 水f + 。，( s ，z ( 刚d s - + o 。巾_ t m ) ： 故t _ + o 。时，坛，( s ，z ( s ) ) d s _ + o 。把( 1 1 j 由扎到t ，积分，得 z ( 2 n 1 1 ( t 。) + ，“，( s z f s ) ) d s ：z ( t n 一- f t 亭) j t o 一 类似地把( 1 1 ) 由t k 一- 到t k 积分( 为自然数) 得 z 加一1 ( “) + f “，( s ，z ( s ) ) d s ：z ( “- ( 啦，) j “一1 。 即有 石( 2 - t ( t 。) + ，“，( s ，z ( s ) ) 如：。( m - 1 ( 培) jt o 。 z ( “叫( 屯) + “，( s ，z ( s ) ) 如：z ( 沁- 1 ( 甘) j t l z(“一1。，)+f“”，“，。(s)ds：z(2t11(t矗一。)jf t n - 1 毋酬+ ( 。m ，小) ) d s = 护。m 轰) 当t ( f 。，t 。+ j j 时有 n 1 + r n 护”( 蚤舻。+ 肋m 一驴2 p ”( t ) 即 产懒+ 意i = l ( 抄1 1 ( 铲抄1 ) + z m ，删d s = 舻川( 付) o 故 叫雌一i 量= 1 ( ( 1 一妒叫) 叫( 柚) 一m ，小) ) d s + 护- 1 ) ( t j ) ( 1 2 3 ) 注意到引理1 3 知，t 充分大时z ( 2 ”_ 1 1 ( t ) 0 ，又因为b ( 2 ”“曼1 由上式得 x ( 2 n 1 ) ( t ) 墨一j ；：1 ，( s ，z ( s ) ) 如+ z ( 2 ”1 ( 对) 故令t _ + o 。，( 1 2 3 ) 式右边_ 一o 。， 从而知t 充分大时z ( “一1 f t ) 0 产生矛盾综上所述知 ( 1 , 1 ) 的一切解振动 推论1 1 设条件( 4 ) ( b ) ( c | ) 成立，且有n ? 1 ，b p _ 1 1 ， 如j + ”p ( t ) d t = + o 。则方程f 1 1 ) 的一切解振动 证明t 由于b ( 2 n - 1 ) 1 有 盛p o ) d t + 寿f 字p ( t ) d t + 矿奇两摩p ( t ) 出卜 + 酽啊晶丽f 磨“p ( t ) d t 2 豫p ( t ) d t + l 疑p ( t ) d t + s 麓p ( t ) d t + + l ：“p ( t ) d t = 麝p ( t ) d t 当m _ + o o 时，+ ”p ( t ) d t 叶+ o 。，从而 f , p ( t ) d t + 南睹p ( t ) 以+ 萨堍师廖p ( t ) m + + 碡甄习瓦乒告叼f l - ，p ( t ) d t + 。= + 。 由定理1 1 知，方程( 1 1 ) 的一切解振动 推论1 2 设条件( ) ( b ) ( e ) 成立，且存在常数a 0 n 1 夏j ；b ( 警) 。，如，+ ”t 。p ( t ) d t = + o 。则方程( 1 1 ) 的一切解振动 证明t 由丽杀可( 警) 。有 睹p ( t ) d t + 耐可辟p ( t ) m + 矛如鹰p ( t ) f i t + + f 可声平扉”p ( f ) 出 砰去可j 0 p ( t ) 出+ 可磊习瓦1 即j 毒p ( t ) d t + + 萨可考可霹两廊“p ( f ) 出 7 i ，一r f f - t ；p ( t ) d t + 偿t g p ( t ) d t + + 矗：“1t ：l p ( t ) d t 寿【船t 。p ( t ) d t + j 毒t 。p ( t ) d t + + 矗? ”t p ( t ) a t 】 = 击髓t 。p ( t ) d t 1 0 当m - 斗o 。时詹t o p ( 0 d t 斗+ o 。有 腙p ( t ) d t + 萨b 胺p ( t ) d t + 矛书店p ( 。) 以+ + 驴瓦旁昭庀? “p ( t ) 出十。= + 。 由定理1 1 知，方程( 1 1 ) 的一切解振动 推论1 3 设条件( 4 ) ( 口) ( e ) 成立，对任意n b 0 有妒( a 6 ) ( n ) ( ”且 存在常数 o 是磐( 警) 。，如，+ ”r p ( t ) d t = + 。则方程( 11 ) 的一切解 振动， 注：推论1 3 可由定理1 2 推出，其证明类似于推论1 2 例1 1 ( 12 4 ) 其中a 字= b ? = 学 1 a 妒= 磺= 1 i = 1 州2 2 n 一1 ，p ( t ) = 再1 ，妒( z ) = z 3 f ( t ，z ) = 击z 3 。t k = k ，t o = j 1 可以验证该倒满足条件( - ) ( 口) ( c ) ， 显然条件) ( _ 8 ) 满足，对于条件( c ) 当i 1 时，n g = 磺。) = 1 ( t i - - t 0 ) + ( t 。一t 。) + ( t 。一如) + + ( t i n + 1 - - t i n ) + = ；+ 1 + + 1 + - - = + o o 当i = 1 时n ? = 1 ，6 ：0 1 ；警 ( t 1 一t o ) + f t 2 一t 1 ) + ( t 3 = 互1 + 1 + i 1 + + 丽1 再+ a t 而条件( c ) 成立- 而对干( 1 7 ) 式， 麝p ( t ) d t + 南府p ( t ) 小+ 矿磕两f i ：p ( t ) d t + 。 + 丽而而杀丌厕j ：? “p ( t ) d t p ( t ) a t 十矛而霹西：；：玎 = 髓p ( t ) d t + 麝p ( t ) a t + j 窖p ( t ) 出+ + 船“p ( t ) d t = 麝”“p ( t ) d t = 盛t l t = f 耐| ：l ”= ；( 跏t n l + l i n t o ) 由上式知t n 一+ o 。时，f n t ，。+ l _ + 。，故定理1 1 条件满足，从而( 1 2 4 ) 式 所有解振动 1 l 一蛳嚣 碍玳臻 删妒蝴 + m 一 +0 彘 + 扣佃 哟= 例1 2 ( 12 5 ) 其中，n ? = 蹬= 1 o k “1 = 1 = 者i ，i = 1 ，2 ，2 n 一1 ，p ( t ) = 古，t k = k ，( t ) = z ，f ( t ，z ( t ) ) = 嘉z ( f ) ，o = j 1 可以验证该倒满足条件) ( 口) ( e ) ， 显然条件( - ) ( 口) 满足，对于条件( c ) 当i 1 时，n g = 堙“1 = 南 ( f 一) + ( t 2 - t k ) + ( t 3 一t 2 ) + + ( t 。+ l t 。) + = ；+ 1 + + 1 + = 当i = l 时，n 2 1 ) = 彘，甥= 1 “l t o ) 十( t 2 一f 1 ) + ( t 3 一t ) + + 再南( t n 件l t m ) + = 互1 + 互1 + i 1 + + 鬲l _ = + 。 从而条件( c ) 成立 取n = 1 ，玎2t k + l 警= 牛，+ ”忉( t ) 出= ，+ ”t 击出= ，+ ”；m = + 。 故推论1 2 条件成立，从而( 1 2 5 ) 式所有解振动 1 2 凯鼻钉 僻静 p 啦 = 一 篙一 p m 圯 第二节2 n 阶非线性脉冲时滞微分方程解的振动性 以下研究高阶次线性脉冲微分方程 fz ( 2 ( t ) + p ( t ) l z 0 一r ) 1 7 s g n x ( t r ) = 0 t t o ，t t k ， z ( f ) = n 0 1 z ( “) 江0 i ，2 n 一1 = 1 ，2 ( 2 1 ) lz ( t j ) = z ” 这里n 为正整数，0 t o t l t 2 0 ，t k + l 一“ f p ( t ) 为 t o ，+ ) 上 连续、非负。且对任何t t o ，p ( t ) 在区间【1 - + ) 上不恒为零 ( 口+ ) m 吨，+ 茄咱，+ 葶端也+ 秽舞州一h 。 1 22 j 记 州炉牌。型坠牛竺燮，m 劫：l i m 。坐堕等坐塑 i = 1 ，2 ，一，2 n 一1 ，k = 1 ，2 ，一 令9 ：【t o r ，t 0 】_ r 在 t 0 一r ，t o 】上，1 ( t ) 有有限个第一类间断点 定义2 1 函数z ：t o r ，a ) _ r ( o t o ) ，称为( 2 1 ) 的解( 这里o o ) ，若 它满足： ( i ) z ( ( t ) 在t ，“) 处连续，t “，k = 1 2 ， ( i i ) x ( ( t ) = 妒( ( t ) i = 0 1 ，2 n 一1 ：t 【t o r ，t o ( i i i ) t t o ，n ) z 0 ) 满足x ( 2 - ) ( t ) + p ( t ) l x ( t r ) 1 7 s g n x ( t 一丁) = 0 ( n ) 满足z ( 1 ( t ) = n g z ( j 1 ( t 女) ，t k t o “) 定义2 2 方程( 2 1 ) 的解称为非振动的，如果这个解最终为正或最终为负， 否则称该解为振动的，如果( 2 1 ) 式的所有解为振动的，则称( 2 i ) 式为振动的 由于高阶非线性脉冲微分方程可化为脉冲微分方程组，而对脉冲微分方程组的整 体解存在性可参看文| 6 1 在下文中，我们总假定( 2 1 ) 的解在 t o ，+ o 。) 上是存在 的 引理2 1 设。( t ) 为( 2 1 ) 的解且条件( a ) + ) 成立，叉设对某一 i 1 ，2 ，2 n 一1 ) ，存在t t o 使当t t 时，z ( f ) ( t ) o ( o ( o ，z ( t ) 0 知x ( o ( t ) 0 且在 ( t ，t t + l 】上单调不减，从而当 ( t l ，t 2 】时，有 积分上式得 z “一1 ( 屯) x ( i - t 0 ) + z ( 4 o ) ( f 2 一t 1 ) 同理可得 工( 卜1 ( h ) x ( i - 1 ( 垃) + 嚣( 1 ( 付) ( t 3 一如) 注意到z ( ( t 2 ) z ( 1 ( t ) 由( 2 3 ) 、( 2 4 ) 得 。“一1 1 ( t 3 ) z “一1 1 ( t ) 一z 4 ( t ) ( t 3 一t 2 ) = a ( h ) 。( h 1 ( f 2 ) + d ( 1 z ( ( t 2 ) ( t 3 一t 2 ) n 一1 b ( t 1 1 ( ，) + z ( t u ) ( 屯一t l 】1 + 1 z ( t 1 ( t 2 ) ( 3 一t 2 ) n 妒1 1 ( f ) + 州t m 。一t - ) + 暑t 与o 州t 批3 一t 。) 用归纳法可得 ( 2 3 ) ( 2 4 ) z “一1 ( t 。) n 妊y n g 一“n 一” z “一1 1 ( t ) + 。( i ( 对) ( 屯一t ，) + $ ( t 3 - - t 2 ) + + $ 羚( t i n - - t m - i ) 】) 哆+ 5 注意到a 0 ，由条件( 驴) 知当m 充分大时，( 2 5 ) 式的右端大于零从而当 m 充分大时，有o ( ( t 。) 0 ，即存在，当m n 时，有z ( 卜1 ( t 。) 0 ，再由 。( ) ( f ) 0 可知，当t ( k t i + l 】时有。( “1 ( t ) ( h ) ( “) 0 ，这里“， 记h = t t ，则当t ：- 1 时，有f 【1 ( t ) 0 引理2 1 证毕 引理2 2 设z ( t ) 为( 2 1 ) 的解，且条件( a + ) ( 口4 ) 成立，又设对某一 i 1 ，2 ，2 礼) ，存在t t o j 当t t 时，有z ( t ) 0 ，z l t ( t ) 0 ，且窖【t 1 ( t ) 在任何区问t ，+ ) 上不恒为零，则当t 充分大时，有z t _ 1 ( t ) 0 证明：不妨设t = f o 下证对一切t k t ，有z n “) ( “) 0 若不然，则存在某个t j t ，使f - 1 1 ( f ，) 0 由z ( t ) 0 知当女j 时， z ( u ( t ) 在任何一个( t + l 】上单调不增，又由条件知贯( t ) 在任一区问h + ) 上不恒为零故存在某个n t ，使z ( ( t ) 在( 如，t f + l 】上不恒为零，为方便起见， 不妨设f = j ，即卫( o 在( t ，】上不恒为零，从而有 叫( o + 1 ) 二r ”1 1 ( t ，) = 。z ( ( o ) 0 又当( t j + l ，0 + 2 】时，有 z ( “( t ) x i - l l ( t + + 1 ) = “觜z ( ”1 ( t ) 0 ， 由归纳法可得当t ( 0 + 。，0 + 。州】时，当m 充分大时，有z ( i - 1 ) ( t ) 0 故在 ( 0 扎+ o 。) 上有z ( “) ( t ) 0 。( ( t ) 0 由引理2 1 可得当t 充分大时，有 z ( ”2 ( t ) 0 ，知当t 充分大时，有 z ( ”1 ) ( f ) 0 引理2 2 证毕 引理2 3 设x ( t