（工程力学专业论文）启发式粒子群优化算法及其在结构优化设计中的应用.pdf

摘要 摘要 结构的优化设计历来都受到工程师的重视，因为合理的优化设计可以减少工 程的造价。传统的优化设计方法对需要优化的目标函数和其所受的约束作出过多 的限制，对求解实际工程中的优化问题带来诸多不便。一种新的基于群体智能的 随机优化算法一粒子群优化算法在1 9 9 5 年被提出后，受到研究人员的广泛关注。 它在求解过程中不依赖目标函数的解析性质，同时能通过对问题的解空间的多点 并行搜索，以较大的概率收敛于全局最优解。本文基于传统的粒子群优化算法， 提出了一种新的启发式粒子群优化算法，其特点是具有较高的收敛速度。 论文首先介绍了粒子群优化算法和被动群集粒子群优化算法。这两种优化算 法分别有两种类型。一种类型是适用于设计变量是连续变量的；另一种类型是适 用于设计变量是离散变量的。 然后，我们介绍了一种新的处理约束条件的方法一“回飞技术”。新的方法 要求飞出边界条件的粒子返回原来的位置，以保持在可行区域内的种群数量保持 不变。 论文分析了当粒子群优化算法与“回飞技术”结合使用处理约束优化问题时 的不足之处，即有效搜索次数偏低。本文将“和声搜索”优化算法生成解的新颖 思想引入粒子群优化算法和被动群集粒子群优化算法中，提出了一种新的启发式 粒子群优化算法。启发式粒子群优化算法将被应用到若干个经典的桁架结构截面 优化设计算例中，结果表明所提出的方法具有很高的精度和很好的收敛性。 最后，我们尝试将启发式粒子群优化算法应用到大跨度双层网壳结构的截面 优化设计中，检验该算法实际应用的可能性。 关键词：粒子群优化算法；和声搜索；优化设计；收敛速度。 广东t 业大学硕十学位论文 a bs t r a c t g r e a ta t t e n t i o nh a sb e e np a i dt 0t h eo p t i m a ld e s i g n , d u et ot h ef a c tt h a ti tc a nr e d u c e t h ec o s t m o s to f t h et r a d i t i o n a lo p t i m a la l g o r i t h m s ，w h i c ha r eb a s e do nt h en u m e r i c a l l i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o g r a m m i n gm e t h o d s ，r e q u i r es u b s t a n t i a lg r a d i e n ti n f o r m a t i o n a n du s u a l l ys e e kt oi m p r o v et h es o i n t i o ni nt h en e i g h b o r h o o do fas t a r t i n gp o i n t t h e t r a d i t i o n a lo p t i m a la l g o r i t h m sp r o v i d eau s e f u ls t r a t e g yt oo b t a i nt h eg l o b a lo p t i m a l s o l u t i o ni nas i m p l em o d e l h o w e v e r , m a n yp r a c t i c a le n g i n e e r i n go p t i m a lp r o b l e m s a r cv e r yc o m p l e xa n dh a r dt os o l v eb yt h et r a d i t i o n a lo p t i m a l a l g o r i t h m s t h ep a r t i c l e s w a r mo p t i m i z e r , w h i c hi sas w a r mi n t e l l i g e n c ea l g o r i t h m ，h a sb e e np r o p o s e d i ti sa p o p u l a t i o n - b a s e do p t i m i z a t i o na l g o r i t h m a n d r e q u i r e s f e wp a r a m e t e r st ob e i m p l e m e n t e d f i r s t l y , t h i st h e s i sp r e s e n t st h ep a r t i c l es w a r mo p t i m i z e r ( p s o ) a n dt h ep a r t i c l e s w a m lo p t i m i z e rw i t hp a s s i v ec o n g r e g a t i o n 佃s o p c ) t h e n , t h et h e s i sp r o p o s e st h e h e u r i s t i cp a r t i c l es w a r mo p t i m i z e r ( h p s o ) ，w h i c hi sb a s e do nt h ep s o p c i th a n d l e s t h ep r o b l e m - s p e c i f i cc o n s t r a i n t su s i n ga f l y - b a c km e c h a n i s m t e c h n i q u ea n dt h e v a r i a b l e s c o n s t r a i n t su s i n gt h eh a r m o n ys e a r c hs c h e m e t h eh p s oi st e s t e db ys e v e r a lt r u s so p t i m i z a t i o np r o b l e m s w h i c hh a sb e e n r e s e a r c h e db ym a n ys c h o l a r s ( b e n c h m a r k s ) t h er e s u l t ss h o wt h a tt h eh p s oi sa b l et o a c c e l e r a t et h ec o n v e r g e n c er a t ee f f e c t i v e l ya n dh a st h ef a s t e rc o n v e r g e n c er a t et h a n t h ep s 0a n dp s o p c f i n a l l y , t h eh p s oi sa p p l i e dt ot h ed o u b l el a y e rs p h e r i c a ls h e l l so p t i m a ld e s i g n t h ef e a s i b i l i t yi st e s t e df o rt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o no ft h ea l g o r i t h mp r o p o s e di nt h i s t h e s i s k e y w o r d s ：p a r t i c l es w a m io p t i m i z e r ；h a r m o n ys e a r c h ；o p t i m a ld e s i g n ；c o n v e r g e n c e r a t e 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导师的 指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他用途馊 用过的成果。与我一同工作的同志对本研究工作所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论文成果 归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 指导教师签名： 论文作者签名： 南癖 l 贵志斌 2 0 0 6 年1 2 月 2 8 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 结构最优化设计问题 人们在日常的生产和生活当中，需要建造各种各样的工程结构，例如用于生 产的工业厂房，用于居住的高楼大厦等。工程师在设计这些工程结构时要考虑很 多的因素，除了要使结构满足基本的效能外，还希望把结构设计得尽量理想，尽 量“优”。 传统的结构设计，需要工程师根据经验和通过判断去设计方案，随后对给定 的方案作出力学分析，校核其方案是否安全和可行。但是，人们认识到这只是做 到了“分析结构”，更重要的是去“设计结构”。而“设计”这一个词，本身就包 含了优化的概念，设计出来的方案不应只是可用和比较合理，而是应该追求尽可 能的理想的设计方案锄。 所谓的最优化设计问题，就是在满足一定的约束条件下，寻找一组参数值， 以使某些指标的度量得到满足，也就是说使系统的某些性能指标达到最大或者最 小。1 。这个指标就是优化设计问题中的目标函数。对于结构的优化设计，目标函 数一般是结构的建造成本或者重量。工程师所要寻找的参数值被称为设计变量。 对于不同的结构优化设计问题，设计变量不尽相同。对于桁架结构的优化设计， 设计变量一般是杆件的截面面积。工程师虽然可以对设计变量进行修改和调整， 但是这种修改和调整需要受到各种各样的限制。例如，为了减少桁架结构的重量 而减少杆件的截面面积时，不允许其挠度太大而导致无法正常使用。这些对设计 变量的限制统称为约束条件。最优化设计问题按设计变量的性质分，有连续变量 优化设计和离散变量优化设计两种。 连续变量的最优化设计问题的数学模型为： i i l i n ，( ) ( 1 1 ) s u b j e c t t og ( x ) 0 ，f = l ，2 ，m( 1 2 ) 其中，s ( x ) 为目标函数，蜀( x ) 为约束函数，x 为d 维设计变量，m 是约束条 件的总数。 离散变量的最优化设计问题的数学模型为： 广东1 = 业大学硕士学位论文 r r f i n f ( x 4 ) ，d = l ，2 ，d s u b j e c t t o 岛( 一) 0 ，q = l ，2 ，小 一岛= 五，五，巧 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中，一为d 维优化变量，配则为优化变量从中选取数值的离散变量集，而以 则为集内的离散变量值，f ( x 4 ) 为目标函数，器( ) 为第口个约束函数，埘为约 束条件总数。 1 2 结构优化设计算法的发展概况 在上世纪六十年代初，结构的优化设计得到了很大的发展，这得益于两件事。 第一件事是有限元方法的出现，它解决了复杂结构的分析问题，为优化设计的发 展提供了良好的条件。第二件事是数学规划的引入，把优化设计作为非线性规划 的一个命题，只要把优化的目标和设计所受的种种约束作出数学描述，就可利用 数学家研究出来的数学规划方法来求解，加上利用电子计算机作数值求解，其解 题能力与过去经典的变分解析法相比有天壤之别。然而，结构优化设计的变量多， 约束条件也多，并且大多是复杂的隐式函数，每做一次重分析工作的工作量浩大， 如果直接搬用数学优化的各种各样数值搜索最优解的方法，也只能解决一些规模 比较小的例题，遇上稍微复杂的实际结构系统，要求迭代和重分析的次数就急剧 增加，其计算工作量之大，即使用能力很大的电子计算机也很难胜任0 1 。 到了上世纪七十年代，工程师不得不重新考虑回到比较现实的基础上，一是 把优化的目标和约束的性质局限于较低的水平，例如只考虑构件的截面尺寸，在 单一或者很少的约束种类下做使结构重量最轻的设计，而不是做一揽子或者全盘 的优化；二是又回到理论上不那么广泛适应而应用上比较容易实现的优化准则 法。 于是从上世纪七十年代起，结构的优化设计有了数学规划和优化准则两条不 同的途径。优化准则法被称为间接法，因为它用准则的满足代替了使目标函数的 取极值。它的最大优点是收敛快，要求重分析的次数一般跟变量的数目没有多大 的关系，所以对中型和大型结构的优化设计有重要的实际意义。但是不同性质的 约束条件要用不同的准则，对元件的刚度与变量之间的关系也有一定的要求。此 外，结构优化设计的目标也只局限于最轻重量，而且结构的布局和集合是固定不 2 第一章绪论 变的给定形式。如果要同时考虑多种约束，或者刚度变量之间的关系比较复杂， 则准则设计就不那么简单了。此外，如果优化目标不限于结构重量或者材料的体 积，或是结构布局和几何也是可变的，准则法就难以适用。至于数学规划法的发 展与准则法类似。它把优化设计的目标、对象范围和约束条件的种类暂时也局限 于比较简单的基础上，然后充分结合力学的概念和各种近似手段，把高度非线性 的问题变成一串近似的、带显式约束的问题，再用迭代的方式求解这一串近似问 题来逼近原来的问题。到上世纪七十年代末，对于同样的问题，数学规划法和准 则法的解题效率已经不相上下了。 到了上世纪的七、八十年代，进化优化设计算法开始出现和发展。遗传算法 ( g e n e t i ca l g o r i t h m , g a ) ，进化策略( e v o l u t i o n a r ys t r a t e g y , e s ) ，进化规划 ( e v o l u t i o n a r yp r o g r a m m i n g ，e p ) 和遗传程序设计( g e n e t i cp r o g r a m m i n g ，g p ) 等进化 类算法在理论和应用方面发展迅速、效果显著，并逐渐走向融合，形成了一种新 颖的模拟进化的计算理论，统称为进化计算( e v o l u t i o n a r yc o m p u t a t i o n , e c ) ，进 化计算的具体实现方法与形式称为进化算法( e v o l u t i o n a r ya l g o r i t h m , e a ) 。1 。 到了上世纪的九十年代，人们受到社会系统和生物系统等机制的启发，开始 了对群体智能算法( s w a r mi n t e l l i g e n c ea l g o r i t h m ) 的研究，其基本思想就是模拟自 然界中生物的群体行为来构造随机优化算法。典型的群体智能算法有m d o d g o 提出的蚁群算法( a n t c o l o n y a l g o r i t h m ) 。1 和j k e n n d y 与r e b e r t h a r t 提出的粒子群 算法( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z e r a l g o r i t h m ) 嘲。 1 3 传统结构优化设计算法 在结构的优化设计上，可以使用的传统结构优化算法种类繁多，而且各有优 点。在众多的优化算法中，以满应力法及在此基础上改进的齿行法的应用最为普 遍。 满应力法起源于“同步失效”的概念，也就是构件的各个组成部分同时抵达 容许强度或者失稳的安全限度，由此得出一组联立方程，其解析解就提供了构件 截面的优化尺寸。对于只存在拉杆和压杆的桁架结构，应用“同步失效”准则提 供的公式则变得相当简单，构件的优化就是满应力状态。让桁架结构中的每根杆 件都成为满应力，这就成为满应力准则设计。即 广东工业大学硕十学位论文 【矛oi i f = l ，2 ，疗( 1 5 ) 叫罱捌 n 6 ， 其中q 为第i 根杆件的应力， 一 为第i 根杆件的许可拉应力值， 为第i 根杆件的许可压应力值，n 为杆件总数。 对于静定结构来说，由于内力分布不受杆件的截面变化的影响，满应力设计 就是最轻设计。但是对于超静定结构，杆件的截面面积影响着杆件的内力分布， 情况变得复杂得多。因为要进行多次迭代计算才行，而每一次迭代就要进行一次 重分析，计算工作量相当繁重，在电子计算机出现之前，只进行一到两次迭代计 算得到一个比较轻的设计就满足了。在上世纪六十年代，数学家们引用数学规划 严格地证明了满应力设计和最轻设计并不总是等价的，而且满应力解的存在与收 敛都是有条件的。这些条件跟结构本身的构造和荷载情况都有关系。1 。之后，人 们为改进满应力法提出了应力比法和满应力齿行法，在一定的程度上改善了满应 力法的不足之处。 1 4 传统结构优化设计算法的缺点 传统结构优化设计算法已经发展了几十年，对结构的优化设计作出了不少的 贡献，但同时也暴露出不少的缺点。数学规划法虽然严谨，但对需要优化的目标 和受到约束作出过多严格的限制，对求解工程中的实际问题带来诸多不便。至于 在工程上常用的准则法也有类似的问题，下面以满应力法为例，叙述一下其不足 之处。 就优化策略来说，满应力设计是一种分部优化( 与此相对应的是整体优化) 。 分部优化可以这样来理解：对于一个结构方案在各种工况下进行结构整体分析， 得到它的内力分布，然后把结构拆开成为若干个部分构件或子结构，根据各部分 重新拼合得出新的结构方案，这样就是一次循环或迭代。如果接着继续的两次结 构方案的变化足够微小，在预定的误差范围以内为止的话，就停止优化计算。最 后应作出一次结构分析，检验这个收敛的方案是否可行0 1 。 4 第一章绪论 对于分布优化，存在着一个可能或者不可能的问题，这个问题关乎约束条件 的性质。有的约束条件只涉及到一个局部，叫做局部性的约束条件，例如应力约 束、局部稳定约束、局部相对变形约束等，对于这种局部性的约束条件是可以采 用分布优化方法。 相反地，有的约束条件涉及到结构整体，叫做整体性约束，像频率约束，整 体稳定约束等。因为结构的频率，失稳荷载等是跟结构各部分都有牵连，而且这 些牵连很难作暂时拆开。对于这种整体性的约束，是不能采用分布优化方法的。 化整为零，对一个构件或者子结构进行优化，当然比对结构作出整体优化要容易， 但是聚零为整，分布优化的集合是否等价于整体优化却不肯定。 1 5 进化算法 在上世纪八十年代出现了一种新颖的模拟进化的计算理论，它被称为进化计 算( e v o l u t i o n a r yc o m p u t a t i o n ，e c ) ，它的具体实现方法与形式称为进化算法 ( e v o l u t i o n a r ya l g o r i t h m ，e a ) 。进化算法是一种随机算法，存在多个分支，下 面分别介绍几个重要分支。1 。 遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ，g a ) 最早由美国m i c h i g a n 大学的j h o l l a n d 博士提出的阿。遗传算法的操作对象是一组二进制串，即种群。每一个二进制串 称为染色体或个体，每个染色体或个体都对应于问题的一个解。从初始种群出发， 采用基于适应值比例的选择策略在当前种群中选择个体，并使用交叉和变异来产 生下一代种群，如此一代一代进化下去，直至满足期望的终止条件。 进化策略( e v o l u t i o n a r ys t r a t e g i e s ，e s ) 是由德国柏林工业大学的 i r e c h e n b e r g 和h p s c h w e f e l 等提出的“1 。早期的进化策略，其种群中只包含 一个个体并且只使用变异操作。具体在每一操作代中，变异后的个体与其父代个 体进行比较，从中择优选取作为新一代个体，这就是所谓的( 1 + 1 ) 策略。由于 ( 1 + 1 ) 策略难以收敛到最优解，并且搜索效率较低。其改进的方法就是增加群 内个体的数量，即( 1 1 + 1 ) 进化策略。此时种群内含有u 个个体，随机抽取一 个个体进行变异，然后取代群体中最差的个体。为了进一步提高搜索效率，后来 又提出了( p + ) 进化策略和( i l ， ) 进化策略。 进化规划( e v o l u t i o n a r yp r o g r a m m i n g ，e p ) 方法是由美国科学家l a w r e n c e 广东工业大学硕十学位论文 j f o g e l 等人提出的嘲。它在求解连续参数优化问题时与e s 的区别很小。进化规 划仅使用变异和选择算子，而绝对不使用任何重组算子。其变异算子与进化策略 的变异相类似，也是对父代个体采用基于正太分布的变异操作进行变异，生成数 量相同的子代个体，即p 个父代个体总共产生出肛个子代个体。 遗传程序设计( g e n e t i cp r o g r a m m i n g ，g p ) 是由s t a n f o r d 大学的j r k o z a 提出的o 】。g p 采用遗传算法的基本思想，使用一种更为灵活的分层结构来表示空 间。这种分层结构的叶结点是问题的原始变量，中间结点则是组合这些原始变量 的函数。它们很类似于l i s p 语言中的s 一表达式。这样的每一个分层结构对应问 题的一个解，也可以理解为该问题的一个计算机程序。遗传程序设计是使用一些 遗传操作动态地改变这些结构以获得解决该问题的可行的计算机程序。 1 6 群体智能算法 上世纪的九十年代，人们受到社会系统和生物系统等机制的启发，开始了对 群体智能算法( s w a r mi n t e l l i g e n c e a l g o r i t h m ) 的研究，它有许多优点和特点“： ( 1 ) 群体中相互合作的个体是分布的，这样更能够适应当前网络环境下的工作状 态： ( 2 ) 没有中心的控制和数据，这样的系统更具有鲁棒性，不会由于某一个或某几 个个体的故障而影响整个问题的求解； ( 3 ) 可以不通过个体之间的通信而是通过非直接通信进行合作，这样的系统具有 更好的可扩充性。由于系统中个体的增加而增加的系统的通信开销在这里是 十分小； ( 4 ) 系统中每个个体的能力十分简单，这样每个个体的执行时间比较短，并且实 现也比较简单，具有简单性。 粒子群优化算法便是群体智能算法的一个典型代表。粒子群优化算法 ( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z e r ，p s o ) 是在1 9 9 5 年由美国社会心理学家j a m e s k e n n e d y 和电气工程师r u s s e l le b e r h a r t 共同提出的嘲。这个算法的基本思想是 受对鸟类群体觅食行为的研究而受启发的，并利用了生物学家f r a n kh e p p n e r 的生物群体模型。有关此算法的详细介绍是本文后面章节的内容。 6 第一章绪论 1 7 本文的研究内容 本文是在系统地研究粒子群优化算法的基础上，指出其处理约束条件的不足 之处，并引入另一种优化算法生成解的思想，提出了一种新的启发式粒子群优化 算法。新的粒子群优化算法能够大大加快原有算法的收敛速度，能够在更少的迭 代次数下寻找到最优解。而新的启发式粒子群优化算法更能够适用于设计变量为 连续变量和离散变量两种不同的情况。此外，本文将优化算法与有限元方法相结 合，实现大跨度空间网壳结构的截面优化设计。 1 8 本文的创新之处 本文在粒子群优化算法的基础上，提出新的启发式粒子群优化算法，能够 加快原来算法的收敛速度( 参见攻读学位发表的相关学术论文之三) ； 新的启发式粒子群优化算法能够适用于设计变量为连续变量和离散变量 两种不同的类型( 参见攻读学位发表的相关学术论文之六、八) ； 首次将新的启发式粒子群优化算法应用到大跨度空间网壳结构的优化设 计中( 参见攻读学位发表的相关学术论文之七) 。 首次将启发式粒子群优化算法与有限元方法结合，以实现实际工程结构的 优化设计( 参见攻读学位发表的相关学术论文之四) 。 7 广东t 业大学硕十学位论文 第二章粒子群优化算法 2 1 粒子群优化算法的基本原理 在自然界中有许多以群体形式生存和生活的生物，如鱼群、鸟群等。群体中 的每一个个体的行为相当简单，但整个群体的行为却非常复杂。r e y n o l d s 使用计 算机对群体行为进行仿真分析。他在仿真中采用了下列三条简单规则“”： ( 1 ) 向背离最近同伴的方向运动； ( 2 ) 向目的地运动； ( 3 ) 向群体的中心运动。 上述的三条规则构成了b o i d 模型。在群体内的每一个个体都可采用这三条规则 来描述，这是粒子群优化算法的基本概念之一。 b o y d 和r i c h e r s o n 在研究人类的决策过程时，提出了个体学习和文化传递的 概念。他们的研究成果指出，人们在决策过程中使用两类重要的信息。一是自身 的经验，二是其他人的经验。也就是说，人们根据自身的经验和他人的经验进行 自己的决策，这也是粒子群优化算法的另一基本概念“。 粒子群优化算法的模型同时也利用了生物学家f r a n kh e p p n e r 的模型。1 。在 f r a n kh e p p n e r 的模型中，一开始每一只鸟均在飞行，但无特定目标，直到有一 只鸟飞到栖息地，当设置栖息比期望留在鸟群中具有较大的适应值时，每一只鸟 都将离开群体而飞向栖息地，随后就自然地形成了鸟群。由于鸟群使用简单的规 则确定自己的飞行方向与飞行速度，当一只鸟飞离鸟群而飞向栖息地时，将导致 它周围的其他鸟也飞向栖息地。这些鸟一旦发现栖息地，将降落在此，驱使更多 的鸟落在栖息地，直到整个鸟群都落在栖息地。 k e n n d y 和e b e r h a r t 对h e p p n e r 的模型进行了修正，以使个体能够飞向解空 问并在最好解处降落，解决了个性与社会性之间的平衡问题，也就是希望个体具 有个性化，像鸟类模型中的鸟不互相碰撞，又希望它知道其他个体已经找到了好 的解并向它们学习，即社会性。他们在1 9 9 5 年的i e e e 国际神经网络学术会议 上提出了粒子群优化算法( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z e r , p s o ) ，简称p s o 算法旧。 8 第二章粒子群优化算法 2 2 粒子群优化算法的数学模型 粒子群优化算法源于对鸟群觅食行为的模拟。鸟群的搜索范围对应于设计变 量的变化范围。鸟群寻找的食物则对应于目标函数的最优解。每只鸟，即每个粒 子在搜索空间中的位置对应于设计空间中的一个可行解。在每次的迭代中，粒子 的位置会根据每个粒子具有的最佳适应值的可行解p 妇和整个粒子群中出现的 最佳适应值的可行解g 椭来更新自身的位置。具体的数学描述如下： 设在一个d 维的搜索空间中，一共存在n 个粒子，它们组成了一个粒子群 ( s w a r m ) 。粒子群中的每个个体，即每个粒子，都没有重量和体积。每个粒子会 在搜索空间中以一定的速度飞行，并且在飞行的过程中不断地调整自身的速度。 其中，第i 个粒子在搜索空间中的位置可以表示为向量x ，其历史最优位置为 n ( 或用n 表示) ，对于最小化问题，目标函数的数值越小，对应的适应值就越好。 以是所有以或用b 表示) ( i _ 1 ，2 ，n ) 中的最优。粒子的飞行速度可表示为向 量所。在第他 1 ) 次的迭代计算中，每个粒子的飞行速度及位置按公式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 进行迭代计算： v ( k + 0 _ - 垆+ 粥( 一) + 如，2 ( 一) ( 2 1 ) z “1 ，= 掣) + k ( ( 2 2 ) 其中，q 和乞为正的常数，称为学习因子或加速因子，i 和眨为【0 ，l 】问均匀分布 的随机数。为了控制x 和k 在合理的范围内，一般需要指定x 。和。来限制。 粒子群中的每个粒子的初始位置和速度都会随机产生，然后按公式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 进行迭代计算，直至取得满意的解为止。 从粒子群优化算法的数学模型可以看出，粒子的飞行速度就是搜索步长，其 大小直接影响着算法的全局收敛性。若粒子的飞行速度太大，能够保证各个粒子 以较快的速度飞向全局最优解的区域。但是，当粒子接近最优解区域时，由于粒 子飞行速度缺乏有效的控制及约束，很容易飞越最优解转而去探索其他区域，从 而导致算法很难收敛于全局最优解。这同时说明了原算法不具备较强的局部搜索 能力0 1 。 为了平衡算法的全局搜索能力和局部搜索能力，单单控制。是不足够的。 s h i 与e b e r h a r t 提出在原算法中加入惯性权重系数，以实现对粒子飞行速度的 9 广东t 业大学硕士学位论文 控制和调整“”。将原模型修改后的迭代公式如下： 吵= 国一+ q ( 一) + c 2 r 2 ( 曩k ) - 掣) ( 2 3 ) 墨“) = 省) + 恤( 2 4 ) 其中，m 为惯性权重系数，其值越大，粒子将以较大的步长进行全局搜索；其值 越小，粒子将趋向于进行精细的局部搜索。s h i 与e b e r h a r t 等人通过数值实验发 现，当0 9 0 9 ，1 2 】时，算法具有较理想的搜索性能“”。此外，在搜索过程中可 以对。进行动态调整：开始的时候，可以给( 1 ) 赋予一个较大的正值，随着搜索的 进行，。逐渐线性减少，这样做可以使粒子在开始时以较大的步长在全局范围内 探测到较好的种子。而在搜索的后期，较小的u 值可以使粒子在极值点周围作精 细搜索，从而使算法具有更大的机率以一定的精度收敛于全局最优解。 目前，有关粒子群优化算法的研究都是基于带惯性权重的粒子群优化算法之 上的，所以，一般所指的粒子群优化算法都是指带惯性权重的粒子群优化算法( 公 式( 2 3 ) 与公式( 2 4 ) ) 。 2 3 粒子群优化算法的计算流程 粒子群优化算法的计算流程如下： ( 1 ) 对粒子群中的每一个粒子的位置和速度赋予随机值，以实现初始化； ( 2 ) 计算每个粒子的适应值： ( 3 ) 确定初始化时每个粒子的，值和粒子群的b 值； ( 4 ) 按公式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 进行迭代计算，更新粒子群的速度和位置； ( 5 ) 计算每个粒子的适应值，并更新粒子群的尸妇和最值。 ( 6 ) 判断是否达到收敛准则，若是则结束计算，否则返回步骤( 4 ) 。 2 4 离散变量的粒子群优化算法 离散变量设计的基本特点就是设计变量的离散性，由此导致其数学模型中的 目标函数和约束函数不连续，从而将连续变量优化的数学模型转化为不可微的， 可行域转化为可行集，连续变量优化中的许多有效的解析数学算法和优越条件不 可用“。离散变量优化设计的意义很明显，也具有相当的实际应用意义。 1 0 第二章粒子群优化算法 k e n n d y 和e b e r h a r t 在提出粒子群优化算法后，在1 9 9 7 年又提出了离散变量 的粒子群优化算法“”，但该算法是以二进制编码的形式给出，不能有效地应用到 结构的优化设计上去。本文在下面给出能够适用于离散变量优化设计的粒子群优 化算法。 离散变量优化设计的难点在于：解析的数学工具显得力所能及，必须采取组 合数学的方法，而离散变量结构优化设计的问题在组合优化数学中属n p 困难问 题“”。传统的离散变量优化设计一般是将设计变量连续化来求解，最后是将求 解出来的结果取整或者向最近的离散变量值取值。这样做的缺点是容易遗漏最优 解，而且最后得出的结果往往是非可行解或者非最优解。本文将采取对离散变量 集内的元素进行编号，以编号代替具体的离散变量值来用于搜索，尽可能将搜索 连续化。 离散变量的粒子群优化算法的数学模型为：对于一个拥有p 个离散变量的离 散变量集& ，按一定的规律排序后可表示为 & = x l ，五，x 一以) ，1 ，p ( 2 5 ) 作一映射函数用其序号代替中的离散值，即 _ i l ( ，) = ( 2 6 ) 则其序号值可代替具体的离散变量值用于搜索，这样做的目的在于尽量使要搜索 的值连续化，避免搜索效率下降。 设共有n 个粒子，在d 维的搜索空间中，第i 个粒子的位置可以表示为向量 x i ，即 x 。= ( 霹，# ，彩，妒) ，l d d ，f = 1 ，甩 ( 2 7 ) 其中，彩 l ，2 ，p ) 通过映射函数h ( j ) 对应于离散变量集 五，五，j ，”也) 。这样在以后的搜索中，粒子在连续空间中进行搜索，但 只会停留在整数空间中，即向量x 。的各个分量均为整数。第i 个粒子的历史最优 位置为以或用p 6 表示) ，乓为所有以或用n 表示) 中的最优，粒子的飞行速度 可表示为向量巧。在第( k + 1 ) 次迭代计算中，每个粒子的飞行速度及位置按公式 ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 进行迭代计算： 巧“”= 珊耻+ q ( f “一”) + 乞吒( “一) ( 2 8 ) 川= i m ( ”+ k 耻“) ( 2 9 ) 其中q 和c 2 为正常数，称为学习因子或加速因子，和吒为【o ，1 】间均匀分布的随 广东工业大学硕士学位论文 机数，m 为惯性因子。开始计算时粒子群的初始位置及速度随机产生，然后按公 r ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 进行迭代计算，直至取得满意的解为止。第i 个粒子在经过( k + 1 ) 次迭代计算后，公式( 1 3 ) 和( 1 4 ) 的目标函数和约束函数分别变成 f c h c x l ) ，厅( # ) ，i l ( ) ，办( 工尸) )( 2 1 0 ) g 。( ( 爿) ，矗( # ) ， ( ) ，- _ l l ( x 尸) ) ( 2 1 1 ) 第三章被动群集粒子群优化算法 第三章被动群集粒子群优化算法 3 1 被动群集粒子群优化算法的基本原理 自粒子群优化算法在1 9 9 5 年提出后，其简单且容易实现的特点受到了众多 学者的关注和研究。a n g e l i n e 指出p s o 算法在迭代计算初期的搜索性能优于其 他的进化算法，但随着迭代次数的增加，其搜索性能会急剧下降“”。众多学者对 p s o 算法进行了改进，提出了各种各样的改进方案。s h e 等人提出的被动群集 粒子群优化算法相当有效“”。它是在标准的p s o 算法基础上增加了一项来描述 群的被动群集现象，以此来改进p s o 算法。 p s o 算法来源于对群集生物行为的观察，如鸟类的觅食，鱼类的觅食等行为。 对于每一种生物种群都会有不同的生物作用力来保持该种群的整体形态，而且这 种生物作用力是必须的。p a r r i s h 和h a m n e r 在1 9 9 7 年曾给出多个数学模型来描 述动物群的空间结构m 1 。生物群在这些模型中群存在着聚集( a g g r e g a t i o n ) 和集合 ( c o n g r e g a t i o n ) 两种行为。而聚集和集合又分为主动和被动两种不同的形式( 有关 两者的具体区别可参考文献 1 8 1 ) 。每一种群居生物群都有着不同的聚集或者集 合形式。在群体集合( c o n g r e g a t i o n ) 的行为中，信息的传递以被动的形式居多啪1 ， 这种形态可称为被动群集( p a s s i v ec o n g r e g a t i o n ) 。鱼的觅食行为就存在着被动群集 的形态。由于p s o 算法的其中一个观察来源是鱼的觅食行为，所以s h e 等人在 p s o 的原来模型上，加入新的一项来描述生物群的被动群集行为。改进后的粒子 群优化算法称为被动群集粒子群优化算法( p a r t i c l es w a r mo p t i m i z e rw i t hp a s s i v e c o n g r e g a t i o n ，p s o p c ) 。 p s o p c 算法的数学模型为：设在一个d 维的搜索空间中，一共存在n 个粒 予，它们组成了一个粒子群。粒子群中的每个个体，即每个粒子，都没有重量和 体积。每个粒子会在搜索空间中以一定的速度飞行，并且在飞行的过程中不断地 调整自身的速度。其中，第i 个粒子在搜索空间中的位置可以表示为向量膨，其 历史最优位置为以或用n 表示) ，对于最小化问题，目标函数的数值越小，对应 的适应值就越好。，窖为所有以或用b 表示) ( i _ 1 2 1 1 ) 中的最优。粒子的飞 行速度可表示为向量k 。在第( k + 1 ) 次的迭代计算中，每个粒子的飞行速度及位 广东_ 业大学硕十学位论文 置按公式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 进行迭代计算： 呼“= c o v , ( 0 + q ( 一彩q ) + c ：吒( 曩一f ”) + c 3 巧( 耐一墨砷) ( 3 1 ) 义p “) = ) + ( ( 3 2 ) 其中，q 和c 2 为正的常数，称为学习因子或加速因子，和，2 为【o ，1 】间均匀分布 的随机数。c 3 称为被动群集系数，吩为【o ，1 1 间均匀分布的随机数。r ，为在粒子群 中随机选择出的一个粒子在搜索空间中的位置。c o 为惯性因子，用于控制算法的 搜索步长。粒子群中每个粒子的初始位置和速度都会随机产生，然后按公式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 进行迭代计算，直至取得满意的解为止。 被动群集系数c 3 是一个新引入的系数，它的取值影响着p s o p c 算法的搜索 性能。s h e 用了四个经典的测试函数来确定g 的取值，这四个函数包括： s p h e r ef u n c t i o n ：厂( x ) = # ； r o s e 曲础s 劬砸。n ：厂( 工) = 莩( ，o o ( 靠。一# ) 2 + “一- ) ) 2 ； r a s t r i g i n sf u n c t i o n ：，( x ) = ( # 一1 0 c o s ( 2 碱) + l o ) 2 ； 嘶e 础删o n ：m ) = 而1 善3 0 ( 叫啊一垂c o s ( 守卜 由结果来看，c 3 的最佳取值应该不大于0 6 “”。从对一系列的数学测试函数的结 果来看，p s o p c 算法的精度和收敛速度均优于p s o 算法“”。 3 2 被动群集粒子群优化算法的计算流程 被动群集粒子群优化算法( p s o p c ) 的计算流程如下： ( 1 ) 对粒子群中的每一个粒子的位置和速度赋予随机值，以实现初始化 ( 2 ) 计算每个粒子的适应值； ( 3 ) 确定初始化时每个粒子的p 胁值和粒子群的乓值： ( 4 ) 按公式( 3 1 ) 和( 3 2 ) 进行迭代计算，更新粒子群的速度和位置； ( 5 ) 计算每个粒子的适应值。并更新粒子群的，和最值。 1 4 第三章被动群集粒子群优化算法 ( 6 ) 判断是否达到收敛准则，若是则结束计算，否则返回步骤( 4 ) 。 3 3 离散变量的被动群集粒子群优化算法 离散变量的被动群集粒子群优化算法( p s o p c ) 的数学模型如下： 对于一个拥有p 个离散变量的离散变量集& ，按一定的规律排序后可表示 为 & = 五，x 2 ，置，以 ，1 - ，p ( 3 3 ) 作一映射函数用其序号代替岛中的离散值，即 h u ) = x ， ( 3 4 ) 则其序号值可代替具体的离散变量值用于搜索，这样做的目的在于尽量使要搜索 的值连续化，避免搜索效率下降。 设共有n 个粒子，在d 维的搜索空间中，第i 个粒子的位置可以表示为向量 i j 即 x 。= ( 爿，# ，妒) ，l d d ，i = l ，订 ( 3 5 ) 其中，彩 1 ，2 ，p 通过映射函数 ( ，) 对应于离散变量集 五，墨，x ，“以) 。这样在以后的搜索中，粒子在连续空间中进行搜索，但 只会停留在整数空间中，即向量x ；的各个分量均为整数。第i 个粒子的历史最优 位置为蹦或用n 表示) ，以为所有以或用n 表示) 中的最优，粒子的飞行速度 可表示为向量k 。在第他 1 ) 次迭代中，每个粒子的飞行速度及位置按公式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 进行计算： k “1 = k + q ( c ( k ) - - x _ ) + c 2 吒( 柏一# 幻) + 白吩( 群一列) ( 3 6 ) “”= i n “”+ k 忙“) ( 3 7 ) 其中q 和岛为正常数，称为学习因子或加速因子。和眨为【o ，1 】间均匀分布的随 机数。岛称为被动群集系数，吩为【o ，l l f f i 均匀分布的随机数。r j 为在粒子群中随 机选择出的一个粒子在搜索空间中的位置。珊为惯性因子，用于控制算法的搜索 步长。开始计算时粒子群的初始位置及速度随机产生，然后按公式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 进行迭代计算，直至取得满意的解为止。第i 个粒子在经过( k + 1 ) 次迭代后，公式 ( 1 3 ) 和( 1 4 ) 的目标函数和约束函数分别变为： 广东工业大学硕七学位论文 f ( h c x _ ) ，厅( # ) ，矗( 一) ，厅( x 尸) ) g 。( ( f ) ， ( # ) ，h ( x t ) ， ( x 尸) ) 1 6 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 苎婴兰竺墨墨竺竺竺垄查鲨 第四章约束条件的处理方法 4 1 约束优化问题 在科学和工程的各个领域中，许多的极值问题的求解往往受到现实中各种各 样的因素制约，例如，为减少桁架式吊车梁中的杆件的截面面积，不应该使吊车 梁的刚度降低太多而导致挠度太大，致使原结构无法正常使用。这些制约通常由 一系列的约束条件来描述。求解这些带有约束条件的极值优化问题则被称为约束 优化问题( c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n , c o ) 。 由于约束条件的存在，使得约束优化问题的求解比无约束优化问题的求解复 杂、困难得多。对于带约束条件的极小化问题来说，不仅要使目标函数值在迭代 计算的过程中不断减小，而且还要注意到所求出的解的可行性。一般来说