（工程力学专业论文）颗粒增强复合材料热力耦合问题模型分析.pdf

摘要颗粒增强复合材料在高温卜仍具有高的比强度和比模量而受到人们的高度重视。然而，在一般情形卜，基体和颗粒材料的热、力学性能有较大差异，方面造成这种复合材料在受到温度影响时，颗粒和基体将，“生热失配，另一方面在受到机械载荷时，将产生变形失配。而这种材料在实际使用中往往是热和力同时作用，在一定条件下，这将给材料带来难以预料的破坏。建立复合材料在这种工作环境中的合理模型对于复合材料力学来说具有重要意义。本文以颗粒增强复合材料热力耦合问题为丁程背景，建立了在热、力载荷共同作用下的随机分布刚性椭圆夹杂模型和弹性圆形夹杂呈双周期分布的理想界面模型，以及含界面层圆形弹性夹杂呈双周期分布的理想界面模型。运用m u s k h e is h v i l i 的复变函数理论，采用级数展开技术和叠加原理，将问题转化为求解线性方程组，获得了问题的解析解答，并画出了相关的曲线图表。结果表明，为使界i ：自i 应力最小，夹杂的含量并不是越多越好或是越少越好，而是根据两相材料的剪切模量之比的不同，有一个合适的范围；界面层的厚度也不是越厚越好，或越薄越好，而是根据具体的基体、夹杂以及界面层的剪切模量的比值，有一个最佳尺度。全文共分为四章，第1 章为绪论，综述了复合材料的用途，分类，以及目前的研究现状和在力学方面所提出的新要求，同时针对本文所研究的对象一颗粒增强复合材料的热力耦合问题，对国内外在这方面的研究进行了综述和评论，最后提出本文所研究的内容及其意义。第2 章研究了随机分布刚性椭圆夹杂模型，得出了夹杂界面应力的一般公式。第3 章研究了呈双周期分布圆形弹性夹杂的热力耦合问题，分析了界面应力随夹杂含量以及热膨胀系数的变化规律。第4 章考虑当含界面层弹性圆形夹杂呈双周期分布时的热力耦合问题。本文结果包含了以往文献的若干成果，对于在热力耦合环境中服役的该类复合材料的结构优化设计与损伤研究具有重要的理沦意义和应用价值。关键词：热力耦合，随机分布夹杂，双周期分布夹杂，界面应力，复势方法。主婴塑! 塑塾塑塑墨鱼塑整垫生塑鱼塑望堕型坌堑a b s t r a c tp a r t i c l e r e i n f o r c e dc o m p o s i t e sh a v eg a i n e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s tf o rw h i c ht h e yc a np o s s e s st h es u p e rr a t i oo fs t r e n g t ha n dm o d u l u si nh i g ht e m p e r a t u r e h o w e v e r ，i ng e n e r a l ，t h et h e r m a la n dm e c h a n i c a lp r o p e r t i e so fm a t r i xa n dp a r t i c l e r e i n f o r c e m e n ta r ev e r yd i f f e r e n t o nt h eo n eh a n d ，t h e s ek i n dm a t e r i a l sw i l la p p e a rt h e r m a l m i s m a t c hw i t ha c t i o no ft e m p e r a t u r el o a d ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h e y ，w i l la p p e a rt r a n s f o r mm is m a t c hu n d e rm e c h a n i c a ll o a d s g e n e r a l l y ，t h em a t e r i a l sa n dt h ed e v i c e sa r ed es i g n e dt ow o r ku n d e rc o u p l i n gt h e r m a la n dm e c h a n i c a ll o a d si ne n g i n e e r i n g ，s oi tisd i f f i c u l tt of o r e c a s tt h e i rf a i l u r e t h u s ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt oe s t a b l is hr e a s o n a b l em o d e lf o rm e c h a n i c so fc o m p o s i t e s t h ea r b i t r a r i l yd i s t r i b u t i o nm o d e lo fr i g i de l l i p t i c a li n c l u s i o n sa n dt h ei d e a li n t e r f a c em o d e lo fe l a s t i cc i r c u l a ri n c l u s i o n su n d e rc o u p l ea c t i o no ff o r c el o a d sa n dt h e r m a ll o a d si ses t a b l i s h e da sw e l la sd o u b l y p e r i o d i ca r r a yo f i n c l u s i o n si n c l u d i n gi n t e r p h a s e b ya p p l y i n gt h ec o m p l e xp o t e n t i a lt h e o r yo fe l a s t i cm e c h a n i cse s t a b l i s h e db ym u s k h e l i s h v i l i n i ，t h et e e h n i q u eo fs e r i e se x p a n s i o na n dt h ep r i n c i p l eo fs u p e r p o s i t i o n ，t h ep r o b l e mc a nb er e d u c e dt oas e to fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n sa n dt h ea n a l y t i c a lr e s u l t sa r eo b t a i n e dt h ec o r r e s p o n d i n gg r a p h so ft h ep r o b l e ma r ea ls op l o t t e d f r o mt h er e s u l t s ，t h ep r o p o r t i o no fi n c l u s i o n si sd e t e r m i n e db yt h er a t i os h e a rm o d u l u so ft h et w om a t e r i a l s ( m a t r i xa n di n c l u s i o n ) i no r d e rt oa t t a i nt h em i n i m u mo fi n t e r f a c es t r e s sa n dt h e r eisa na p p r o p r i a t er a n g e i nt h es a m ew a y ，t h et h i c k n e s so fi n t e r p h a s el a y e r si sa l s od e t e r m i n e db yt h er a t i oo fs h e a rm o d u l u sb e t w e e nm a t r i x ，i n c l u s i o na n di n t e r p h a s el a y e r sa n dt h e r ei sam o d e r a t es i z e t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r s ，t h eu s a g ea n dc l a s s i f i c a t i o nh a sb e e ni n t r o d u c e da sw e l la st h ef o r e g r o u n da n dn e wr e q u e s tt om e c h a n i c so fc o m p os i t e s i nt h es a m et i m e ，t h ei n v e s t i g a t i o n so fp r o b l e mo np a r t i c l e r e i n f o r c e dc o m p o s i t e si nr e c e n th a v eb e e na ls oi n t r o d u c e da n dr e v i e w e d ，f i n a l l y ，t h ec o n t e n ta n ds i g n i f i c a n c eo ft h es t u d i e si nt h ep a p e risi n t r o d u c e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h ea r b i t r a r i l yd i s t r i b u t i o ，nm o d e l0fr i g i de 1 1 i p t i c a li n c l u s i o n sh a sb e e ns t u d i e da n dt h eg e n e r a ls 0 1 u t i o n0 ft h ei n t e r f a c es t r e s s e so fi n c l u s i o n si sa t t a i n e d i nt h et h i r dc h a p t e r s t h et h e r m a l m e c h a n i c sc o u p l e dp r o b l e mo fd o u b l y p e r i o d i ca r r a yi io fe l a s t i cc i r c u l a ri n c l u s i o n siss t u d i e d t h e n t h ev a r i a t i o nr u l e so ft h ei n t e r f a c es t r e ss e sw i t ha l t e r a t i o no ft h ec o n t e n to fi n c l u s i o n sa n dt h ec o e f f i c i e n to ft h e r m a le x p a n s i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r s ，t h em e c h a n i c a lp r o b l e mo fd o u b l y p e r i o d i ca r r a yo fe l a s t i cc i r c u l a ri n c l u s i o n si n c l u d i n gi n t e r p h a s el a y e r sh a sb e e ni n v e s t i g a t e d t h eg e n e r a ls o l u t i o n si nt h i sp a p e ri n c l u d i n ge x a c ts o l u t i o n sa ss p e c i a lc a s e sw i l lc o n t r i b u t et ot h ei n v e s t i g a t i o n so ft h es t r u c t u r eo p t i m i z e d d e s i g na n dd a m a g eo ft h i sk i n do fc o m p o s i t em a t e r i a lsu n d e rt h et h e r m a lm e c h a n i csc o u p l e de n v i r o n m e n t k e yw o r d s ：t h e r m a l m e c h a n i c sc o u p l e d ，a r b i t r a r i l yd i s t r i b u t i o ni n c l u s i o n s ，d o u b l y - p e r i o d i ca r r a yi n c l n s i o n s ，i n t e r f a e es t r e s s ，c o m p l e x - p o t e n t i a lt h e o r y 湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于l 、保密口，在年解密后适用本授权书。2 、不保密团。( 请在以上相应方框内打“”)作者签名：导师签名：日期：日期：年月日年月目= ；。；丝兰兰竺望生：第1 章绪论能源、信息和材料被认为是现代经济发展的三大支柱，其中材料更是现代人类物质文明的基础，它支撑着其它新技术的发展。没有先进的材料，就没有先进的工业、农业和其它科学技术。新材料被视为新技术革命的基础和先导，因此，世界各发达国家对材料的研究、开发、生产和应用都极为重视，并把材料科学技术列为2 l 世纪优先发展的关键领域之一”】。复合材料是由有机高分子、无机非金属或金属等几类不同材料通过复合工艺组合而成的新型材料。它既能保留原组成材料的主要特色，并通过复合效应获得原组分所不具备的性能。可以通过材料设计使个组分的性能互相补充并彼此关联，从而获得新的优越性能，与一般材料的简单混合有本质的区别。复合材料主要可分为结构复合材料和功能复合材料两大类。结构复合材料是作为承力结构使用的材料，基本上由能够承受载荷的增强相组元与能联结增强体成为整体材料同时又起传递力作用的基体组元构成。增强体包括各种玻璃、陶瓷、碳素、高聚物、金属以及天然纤维、织物、晶须、片材和颗粒等，基体则有高聚物( 树脂) 、金属、陶瓷、玻璃、碳和水泥等。由不同的增强体和不同基体即可组成名目繁多的结构复合材料，并以所用的基体来命名，如高聚物基复合材料等。结构复合材料的特点是可根据材料在使用中受力的要求进行组元选材设计，更重要是还可以进行复合结构设计，即增强体排列设计，能合理地满足需要并节约用材。功能复合材料则具有某种特殊的物理或化学特性，可根据其功能来分类，如导电、磁性、阻尼、摩擦、换能等。功能复合材料般由功能体组元和基体组元组成，基体不仅起到构成整体的作用，同时也对复合材料整体的物理性能有影响。复合材料还可以分为常用和先进两类。常用复合材料如玻璃钢便是用玻璃纤维等性能较低的增强体与普通高聚物( 树脂) 构成。由于它的价格低廉得以大量发展，已广泛用于船舶、车辆、化工管道和储罐、建筑结构、体育用品等方面。先进复合材料指用高性能增强体如碳纤维、芳纶等与高性能耐热高聚物构成的复合材料，后来又把金属基、陶瓷基和碳基以及功能复合材料包括在内。它们性能虽然优良，但是价格相对较高主要用于国防工业、航空航天、精密机械、探测器、机器人结构件和高档体育用品等。复合材料通过材料设计和复合效应，将会不断创造出新颖的品种而且已经j i ：；兰些塑：堡垫望堡茎垒翌些垫窒塑垒塑矍鳖型坌堑始研制具有自适应的机敏型或智能型复合材料。复合材料不仅已经成为近代先进材料中的一个大类，而且与其相关的专1 32 1 2 艺技术、基础理论、性能检验等也都得到相应发展。m m复合材料力学作为固体力学的一个分支，研究复合材料在外力、环境( 湿、热) 、时间等因素作用下的变形、应力、振动、冲击和稳定性等力学问题。研究对象具有细观非均匀性和宏观均匀各向异性。通常分为复合材料细观力学和复合材料宏观力学。复合材料是由多相材料复合而成的非均匀的结构物，其力学问题比一般均质材料复杂得多。由基体开裂、界面脱胶、纤维断裂和分层。4 种基本损伤形式构成的失效断裂、层间应力及耦合效应等复杂力学问题和成型过程中的工艺力学问题都是常规工程材料中不存在的。许多复合材料力学规律尚难以严格的理论推导得出，仍处于试验阶段。细观结构力学、界面力学、层板( 壳) 的断裂与过屈曲、湿热效应、工艺力学、混杂效应和多向编织的复合材料力学问题，都是研究的重要课题“。科技工作者在研究含夹杂的复合材料力学性能的过程中，认为影响力学量的因素可以分为两类m m m ，一类是复合材料中每一组份的弹性常数；另一类是复合材料内部的微结构特征，它包括夹杂( 纤维、颗粒、晶须、空洞、裂纹等) 的形状、几何尺寸、在基体中的分布和夹杂相的相互作用，于是问题就归结为建立合理的细观力学模型。因为细观模型反映微结构的完备性问题是复合材料细观力学建模中具有普遍意义的基本问题，而为了构造既完备又不过于复杂的细观力学模型，还需要研究微结构影响的局部性能的复杂因素在建模时的简化。以往单纯靠实验及数值结果对照来研究细观力学模型的精度和实用范围，既受条件的限制，也不便于研究材料微结构影响局部性能与宏观性能机制。复合材料一般有纤维或颗粒增强。增强物的微结构特征，体积份数以及其性能对复合材料的宏观力学性能都有直接的影响。e s h e l b y 3 1 采用等效夹杂法给出了含夹杂的非均匀体的有效弹性模量，但这一方法仅局限于夹杂体积份数较小情况w 。为了克服上述缺点，b u d i a n s k y 和w u 。和k r o n e r 提出了自相似法。另外，对有效弹性模量的上下限问题，h a s h i n 和s h t r i k m a n “采用的是变分法，而n o m u r a 和c h o u 1 采用的是局部应变的扰动展开法。上述四种方法仅仅考虑了夹杂的形状，而忽略了夹杂的大小，分布和相互作用影响。显然，这些方法具有局限性。k u n i n ：在考虑兴杂的形：沃的情况下还考虑了夹杂的分布影响，但由于附加了过多的假设，因而其理论同样具有局限性。颗粒增强金属基复合材料( m m c ) 由于具有高的比强度和高的比刚度而广泛应用于航空与航天及军事工程领域，同时由于它能用标准的加工技术进行批量生产，具有高的性价比。目前已经成为国际上十分重视的先进复合材料。这种材料在加工及服役过程中不可避免地同时经受温度变化和机械作用。因此研究这种材料在制备，加工和使用过程中的热一力耦合条件下，增强颗粒的分布与含量、外形、尖锐角、以及与基体材料的刚度比，热膨胀系数比及界面层参数与应力集中、应变能密度分布的定量关系及热力耦合破坏效应的影响规律，具有重要的学术意义和具体的应用价值。颗粒增强复合材料的细观机理研究是当前固体力学和材料科学领域都比较关注的热点之一。由于基体与颗粒增强相的热和力学性能有较大差异，一方面造成这种复合材料在受到热冲击下的热失配，另方面，在受到机械载荷时，将产生变形失配。而这种材料在实际使用过程中往往是热和力同时作用，在一定条件下，这将给材料带来难以预料的破坏，凶此，研究颗粒增强复合材料的热一力耦合问题具有重要的意义。自从e s h e l b y 提出一个椭球形弹性央杂问题后，s m i t h 、g o n g 与m e g u i d “相继研究了圆形，椭圆形弹性夹杂问题，m a r i n o s a 和k a t t i s 。研究了刚性夹杂的界面裂纹问题，最近，z h e n g ”7 ，提出了i d d 模型，显式地给出夹杂的分布和互相作用及基体等对复合材料的等效性能的影响。关于夹杂材料的热应力问题，近年也有不少研究成果，c h a o ”“研究了点热源下圆形夹杂的平面热弹性问题；z h u 和m e q u i d “求解了无穷远均匀热流下含多个圆形夹杂的热弹性问题；k a t t i s 和m e q u i d ”“研究了含一条界面圆弧裂纹的热弹性问题；r u m l 研究了均匀温度变化下含界面层椭圆夹杂的热失配问题：s h e n t w 研究了均匀温变下非理想界面椭圆复杂的热应力问题；而文献 2 3 研究了各向异性材料界面共线刚性线夹杂的纵向剪切问题。关于空间复杂区域的弹性力学问题，前苏联学者研究了，含孔洞的弹性空间与弹性半空间的问题，并提供了将三维1 4 题转化为二维问题求解的二维辅助状态方法。关于热力耦合的研究国内文献也不少，如文献 2 4 ，2 5 对热障涂层材料( t h e r m a lb a r r i e rc o a t i n g s ，t b c ) 进行了研究；文献 2 6 ，2 7 则研究了电力设备的热失配问题：文献 2 8 ，2 9 研究了金属一陶瓷复合材料的热失配问题；文献 3 0 研究了热障涂层的热一力耦合破坏机制；文献 3 1 则研究了颗粒增强复合材料的热一力耦合问题。这些文献主要关注的是多层材料系统，而许多实际问题需要知道的是界面层对于夹杂基体系统的影响。文献 2 1 虽然研究了界面层对于减少热失配影响的机理，但考虑的是单夹杂和没有载荷作用的情况。这些大量的关于央杂问题的研究对于解决许多工程中的实际问题起到了巨大的作用，王明斌：颗粒增强复合材料热力耦合问题模型分析然而这些工作只关注了单一的机械力载荷或单一的热载荷下的宏观和细观的材料力学行为，热载荷和力载荷之问具有强烈的依赖关系。而目前我们很有限的理论分析虽然能得到一些好的结果，但不是真正的热一力耦合模型。多夹杂相互作用是当前的热点研究问题，太量文献已经发表，例如文献 3 2 3 研究了颗粒形状，含量和基体特征对金属基复合材料力学行为的影响：文献 3 3 是关于纯弹性材料与压电材料双圆柱夹杂间相互作用的研究；文献 3 4 是关于多椭圆夹杂相互作用的研究。许多人造与天然材料具有周期结构的单位胞元，根据力学原理近似给定边界条件来求解，比如文献 3 5 就用有限差分法计算了方形排列双周期圆柱形夹杂的纵向剪切问题。另外，根据文献 3 所述，在细观层次上，复合材料作为有两种或两种以上组分材料组成的宏观非均匀材料可以用合适的具有某种周期分布的材料来表示。如文献 3 6 研究了呈双周期分布的裂纹问题；文献 3 7 则研究了呈周期分布的弹性夹杂问题：文献 3 8 则研究了呈双周期分布的孔问题：文献 3 9 则研究了椭圆形刚性夹杂呈双周期分布的反平面问题；文献 4 0 则研究了双周期圆柱形夹杂的反平面问题。b e e k e r和n e e d l e m e n 4 1 则利用双周期孔洞模型研究弹塑性材料孔洞的扩展规律，k n a u s s 4 2 ，4 3 则利用双周期的模型研究与预测粘弹性体的模量特征。同样的文献 4 4 则证明了当适当选取双夹杂模型中的外椭圆的形状和取向，则该模型可以给出许多显式的细观力学模型。复合材料作为有两种或两种以上不同材料组元复合而成的，不但基体材料本身的性能强烈地影响着复合材料的性能，而且增强材料的形状、数量、分布以及基体材料的界面结构也影响着复合材料的性能。而对于这些问题，现在还大多处于试验阶段，比如对于颗粒增强复合材料一般遵循的原则是，颗粒应高度弥散均匀地分散在基体中；颗粒的直径的大小要合适；颗粒数量不宜太多也不宜太少；颗粒和基体之间应有一定的粘结方式，比如增加界面层；颗粒和基体的热膨胀系数差别不宜太大等等m m m ，；但这些原则对于最优化情况下设计复合材料没有给出很好的理论作为指导本文则通过建立反映复合材料结构特征的模型，运用m u s k h e l i s h v i l i复变函数的理论m m “，采用级数展开法，将各区复势设为无穷级数t根据界面上的力、位移的连续性，将未知系数的求解化为解线性方程组，得出了界面应力随夹杂含量，基体与夹杂热膨胀系数之比以及界面层厚度的变化规律。级数方法求解直接，容易掌握，而且可以推广到多连通区域的情况。借助计算机容易求得满足各种情况下的解答。本文得到的坝上学位论义有关解答对于复合材料的结构优化设计具有一定的工程实用价值。第2 章随机分布刚性椭圆夹杂模型分析2 1 引言如图2 1 所示在无限大基体髓机分布月个各种形状的刚性夹杂，假定夹杂和基体的界面是完好粘接在一起的。当复合材料中夹杂相和基体相的弹性模量比值很大时，以及夹杂的热膨胀系数很小时，可以将夹杂视为刚性。在界面处满足位移连续的边界条件和刚体有转动与平移的位移条件，并且设刚体央杂是绝热的。本章通过构造反映任意分布并且相互影响的椭圆形刚性夹杂模型的复应力函数，采用坐标变换和复变函数的依此保角映射方法n “，达到满足各个夹杂的边界条件，利用同线积分将求解方程化为线性代数方程，推导出了无穷远受均匀拉伸且全平面均匀升温时夹杂界面应力的一般公式。图( 21 ) 物理平面硕士学位论文= = = = = ；= = = = = ；= = = ；= = = = = = = = = = = = = ；= = ；2 2 任意分布刚性椭圆夹杂的复应力函数根据平面弹性理论，应力和位移可以用两个复应力函数妒( z ) ，y ( z ) 表示如下”“1 ：盯，+ c 0 = 2 妒( = ) + 妒( z ) ( 2 1 )o - ，一盯，+ 2 i t 叫= 2 g o ”( z ) + y7 ( z ) 】( 2 2 )2 g ( u ，一“p ) = x f o ( z ) 一z 妒7 ( z ) 一y ( z ) + g a & , t 2( 2 3 )式中盯，q ，分别表示在直角坐标系下工，y 方向的应力分量，x y 坐标面内的剪应力；“。，“。分别表示在直角坐标下x ，y 方向的位移分量。其中：对于平面应变问题，盯= 3 4 ，；对于平面应力问题r = 上，此处的，为泊松比，g 为剪切模量，a 为热膨胀系数，7 1 表示温度场变化量。函数上方撇表示求导次，两撇表示求导两次，横杠表示取共轭，f 为单位虚数沿任一曲线a b 上的面力主矢表示为：e + f 一= 一i e ( z ) + z 妒( z ) + ( z ) 】：( 24 )其中，e ，e 表示曲线彳b 上x ，y 方向的面力分量极坐标应力分量表示为如下：+ 盯，= 4 r e ( p ( z ) ( 25 )盯d 一盯，+ 2 i t 巾= 2 e 2 借 三伊”0 ) + y + ( = ) 】( 26 )式中仃，r 。分别表示在极坐标系下径向、环r a l 应力分量和剪应力，r e 表示取函数的实部在无限大各向同性弹性基体中，随机分布拧个各种形状的刚性夹杂，基体均匀升温r ，在无穷远处作用均匀拉应力m ，如图2 1 所示，根据文献 4 6 - 4 8 可以取应力函数为( 在映射后的数学平面上) ：p ( f ) ：主要+ 窆主要+ m z( 27 )( f ) ：主要+ 宝宝+ 彪k = l 与jj = l 女= lb5f 2 ，8 )存( 27 ) 式的各项都是对各自的局部坐标写的，且第二项与第三项没有转化到，号夹杂局部坐标中去( - f 面将完成这一工作j ，所以上面的写工l 卅斌：颗粒增强复合利料热力耦合问题模型分析法仅是形式j ：的，其中的第项是，号夹杂在相半面圆心展开的罗朗级数，第二项是除，号夹杂外的各夹杂对号夹杂的影响项，第j 项是无穷远外力的作用项，其中：m ：一n m ，：一翌e - 2 , ( ，j42为了满足，号央杂的边界条件，需要将( 2 7 ) ( 2 ，8 ) 式中所有变量都转换到，号夹杂的局部坐标中去。采用号夹杂保角映射”“：图( 2 2 1 相平面，：c o l ( 、：r rr r + 生、( 29 )z j = w ) = j ( “+ )t 2 圳bj其中：口+ b口，一6 f ，= 乞+ i t ，2p e x p i o j 】；r ，2 l i 二；，2 i 了矿口6 分别为椭圆长短半轴。从上式可知，r j 代表了夹杂的大小；m 代表了夹杂的形状。经映射得到相平面如图( 2 2 ) 。经保角映射，对于j 号央杂，物理平面上的椭圆边界上，上的：点( 图中未标出) ，相应地变换成相平面的单位圆边界r ，上的o - ，点，令：= ：= x ：+ i y j = 一e x p i f l7 盯= e x p i 6 ，】硕1 学位论文则有：t a n s t a n o j其中：= 抓虿厂i 万y ；t a n = ；s7 = 鲁；0 ，为单位圆的角度；“t a n ”表示正切。又因夹杂形状都相同j 号夹杂具有相同的映射式子，故由：f ，= “( z s )又令：刚= 古= 高2 去佤一瓣，将( 2 1 0 ) 代入( 2 7 ) ( 2 8 ) 得：妒( f )s 号夹杂与( 2 10 )善争喜善南一蕊h 姚，hhoy ( f ) = 鲁+ 5 b k 尸( o ) + m l= 1 ，5 s = l ，2 1= ：| | ；鲁嘻善南亿腑卜m z 坐标变化关系式为z 。= zje x p i ( a i 一2 。m r pe x p i ( f l i 。z _ z je x p i a ，】+ 0e x p i f l j 代入( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式中，于是，就得到在数学平面(夹杂局部坐标系的应力函数表达式妒( 厶) ，( f ，) ：2 3 边界位移方程的一般形式第，号夹杂的边界位移方程为”( 2 13 )f ，) 上相对丁号婶( 叫一筹歹( 弓) 一矿( ) + g 以丁r 胪，+ 考) = 2 g g p j ) + c ，( 2 1 4 )其共轭式为：拖h0旷协。葛+一菇。h：三些鎏；蝥堡冀塑茎窒垒坠蝥尘塑垒望璧篓型竺丝=：=：痧( 引一昙高妒协) 一v ( 叫+ g a 豫，( 击+ m 一) = 2 g 菩( 口”丁，( 2 15 )式中：o - ，= e x p i 0 ，j 。对于固定边界，所施的拉应力一r - 能0 i 起刚性夹杂的平移与转动，因为单个夹杂的平移用其刚性平移而略，j ，只考虑刚性夹杂绕其中心转动的角度占，( 暂刚未知) ，此时在围线上位移分量的值为：g j = 一5 j y ，ig ；= 占j z jg ，一。心，+ y ，) 3 i c t z 5 “，r 胪，+ )这里需说明的是：5 ，需待妒( ) ，y ( f ，) 确定后，根据周围的利料作用于夹杂上的主矩等于零这一条f l ：来确定，而c 并不影响应力值，可令其等于零，将应力函数关系式妒( f ，) ，( f ，) 依此代入( 2 4 ) ( 2 1 5 ) 式得到两纽方程，将该方程的左端用厂 ，) 表示，则边界方程简写为，陋，) = 0 由| f 砒h a c k 定理可知，( 盯，) = 0 与柯西型积分等价”“，即：措旷。( 2 ：( ) 妻( ) ，：，p = ls ，妻。善( 2 1 7 )p - ob j将( 2 17 ) 式代入到( 2 1 6 ) 式，由于白在l o - ，( = 1 之外，因| f i if 0 ，故只有：4 吖厂( q ) d _ = 0 ，( p = 1 , 2 ，卜o 。)( 2 】8 )口这样就将边界方程化为线性代数方程组，以利于求解。具体做法是：将厂( 盯，) 式中不含。的项移到右边，方程两边同时乘以( x ；d c r ，= i e x p i ( p + 1 ) d 0 ，且积分区间为0 2 n ，( p = 1 , 2 ，3 一o o ) ，将方程按实部，虚部分成两个方程，其中令复系数a 。= 口：+ i a ：，b 。= b ：+ i b j ，( “：，b ：为实部，d ：，“为虚部) ，于是就得到了满足，号夹杂边界条件的4 xk 个线性方程，当有个夹杂时，将各个夹杂依此取作，号夹杂，于是i 一以得到4 n k 个线性方程，未知系数共有4 n k 个，即可解出未知系数a 。、，从而可确定妒( f ，) ，v ( f ，) 。2 4 应力场一般公式根据已经求出的应力函数妒( “) ，少( 旬) t ad ( f ) ，代入f 面的应力公式”+ = 2 1 $ ( 0 + 面( 芗) j( 2 j9 )硕i 一学位论文其中仃。一盯，+ 2 打胂= 万【荀( f ) 巾( f ) + 印( f ) 甲( f ) ( 2 2 。)。k 、：里塑( f )甲f f l ：幽盟( f )面( 手) ，面( f ) 分别表示( f ) 与( f ) 的共轭函数：c p ( f ) ，y7 ( f ) ，( f ) ，中7 ( f ) 分别表示妒( f ) ，y ( f ) ，国( f ) ，中( f ) 列f 的导数；o - 。，7 加表示正交 j f f 线坐标系下的应力分量。由此可以计算出整个基体应力场。把( 2 13 ) 式代入( 2 1i ) ，( 2 12 ) ：妒( f ，)吲f ，+ ) e 呐，nv f 嗡+ 中w 啦严叩一叫 删吗c 乞+ 秒甲竹，吲旬+ 争) e 和，n ( 2 2 1 )jiii；：_：_；ii：=：_：_=：丽k+肘t尺，cf，-詈，eh，+。e帆，将( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 式代入到( 2 ，1 9 ) 式，整理后得善盯饥岛e “”蚂+ 主妻盯西磊s ) ( 1 k s = lk = l 丽f p ；p 一咔“+ “t ：1、j “5 ，+ l c j b p 3 p 1 4 p m + “一( 一 ) e k p 4 e “耻“q + “i = i( 2 2 2 )p l i p 。p 搬“溉1 一面4 p 6 p 慨”叫一瓦a e “q 吲( 2 2 3 )l喜砉高删。”锄) k t p j p l t e “ m ) _ m 唧m 7 l 萨咖一女生。坍2一(，1l 蚓。两。m。葛协一。m一一f叭硝r一吼一b一豫一口。w1 - _ f w 斌：颗粒增强复台材料热力耦问题模型分析其中：q 为相对于o j 工，乃的坐标辐角。”d 1 = rjc o s ( 口j d ，+ o j ) + m r ，c o s ( 口j a ，一q ) 一c o s ( 卢”一口。)芦d 2 = r ，s i n ( a 一“，+ q ) + 肌尺js i n ( a ，一d ，一q ) 一r s j l l ( 口，)p 。= 肝：卒五f 瓦忑艿石酉丽fp ：舻瓦习面而历再两ps i n ( t ? j 2 ) 】2p 1 4 = 月jc o s ( 口，十q ) + ，竹r jc o s ( 口一o j ) + oc o s ? , 2 + f 月，s i n ( o ，+ 口f )7 1 42a r c t a n+ r i m s i n ( a ，一o j ) + 0s i n f l ，】2仉吐肌瓦巧声d 二d 面2 ”p一，”d 2 一p ls i n ( r 】2 )玑铷一言苟篙竺型竺：型生竺型生二竺! ! ，! 些一r | c o s ( 0 i + a | 1 + r i mjc o s ( a i o j 、 r ? c o s f lj+ ( - m js i n 2 0 j ) 一2 ，印3p 4 = 【( 1 + m ) c o s 0 ， 2 + 【( 1 一，) s i n o s 2 ，叩4：删蛐_ 二型丝堡1 一，”，c o s 2 0 ，：a r c t a n ! - - m j ) s i n 0 s( 1 + m ，) c o s 0 ，p 5 = p 4 ，叩5 = ( p + 2 + k ) o j + 叩4 ；p 6 = r j p ，7 6 = 7 7 3舻瓜丽而一a r c t a n 掣舻m 。懒= 等胁砘+ 等棚，川胁铂，7 7 1 0 = = 吨、| d l2p 。= 、j 一p scos(t6-aj+as)-109cos792+p6s i n ( q s - a , + 一a , ) - , 0 9 s i n q 9 1 2p 。，= ，r ， 撕7 1 + m j ) c o s z + ( 1 一) s i n o j ( 1 + 埘，) c o s o j矾72 删锄瓦葡- 1 2 糍卜一卜吒q兰一裟孤洲硕i 一学位论文把( 2 2 3 ) 式两边同乘以o j d c r = i e i ( p + 1 ) o j d o j 且积分，积分区问为0 2 丌，( p = 1 , 2 ，3 o o ) 再按方程实部，部分成两个方程，其中复系数a 。= a ：+ i a ：，b 。= b ：+ i b ：，( 口：，b ：为实部，d 矗b ：为虚部) ，经整理两个方程为：rn盯( 7 c ：群+ 7 c t1 4 ) + k ( ”e 4 p r 4 ) 一( g ：7 4 一g - 爿：)5 = 1j ，n，l一( ”t t ：5 a ；- ”州4 ) 一( ”三：研+ ”。噬) 一( e z 。研一e 域)；i ；i j= 。h 2 + 疋一k j m 2 + q 2 一口f 2( 2 2 4 )c ：。4 ) + 盯c c5 爿：一”4 ) 一( 7 g t + g 23 爿：)_ = ls j一窆( ”h ，5 十”h ：5 4 ) 一n ( ”l ，5 噬+ ”：5 噬) 一( 。臣研+ j e 2j b ；)暑鬻= 确+ 7 正一符坼z l + 7 q l 一口。r l( 2 2 5 )其中：，4 = ，i ，n ，7 口；。研= 7 6 i ，虻，7 啪，4 = - a ：，“，甜；噬= 6 ：，。畦，7 酢) 75 a ：= 5 a ：，5 口，口；磁= 5 6 7 ，5 醚，酢) 7。群= 5 8 ：，5 拜，5 口；噬= 5 影，5 7乜= m 3 c o s ( p - k + 1 ) o j 怕 d o jl 2 ，。oljp ：6 工上面只是写法上的，而在计算中应取有限项，c 。为( x t ) 阶方阵，下面各矩阵阶次相同，都为( 庀) 阶方阵，为简便起见，不再写出脚标。c ：= l 协s i n 妇一t + 1 ) 够+ 玑】蚂l即12 j f 血( 2 m ：r jc o s k r 2 + ( p + 1 ) 帅，鹇”五= l2 j i ( 2 p ，。2 ，r , o ，3 厂s i n t ，7 z + ( p + 1 ) 口，+ 玎，】d 口，je l ! f j 斌：颗粒增强复合材料热力耦台闷题模型分析。g = 2 i c 一七，p ，c 。s c 玎，d 曰，；”弘陆c o s 锄以”e ，= 2 i pc o s ( p + k + 1 ) q + 玎，d 臼， ；i - 2 z”厶。! p t3c o s o h s ) d 够jj 刃，= 了卢、，c 。s c 叩，d 目， ，：。，。，：，、。：慨=心(-k)p扣咖；)d00，慨= lj，s i 咖；，iil；= 陆s i n 渤叫”e ：= 了p ，s i n t c p + t + ，p ，+ 叩。，d 口，；”l ：= 了p 。，s i n c 刀：，d 疗，不再一一写出：。豫= ；。c o s e 印：。，d 嘭；， ：= 2 1 p 7 6s i n ( r h 。) d 巳牛m 帆n c o s 2 ( a t - a j ) c o s ( p + 1 ) 0 j + - r h 4 + p s p l 4 i ns i n 2 ( a a ，) s i n ( 尹+ 1 ) 0 + 露，一瑁。 d 够j妒1 2 =p ，肌n c o s 2 ( a - - o ! j ) s i n 骱+ 1 ) 0 j + - 7 h 4 一肪几芸s i n 2 ( 口一a j ) c o s t ( p + ) o s + 玎3 一叩，4 l d o ，j= ：i p l ac o s ( q l s ) d l0q 1 jk p z ( - t ) p 4 p “( 2 m 。r ，) 8r z 事q 221j p t ss i n ( q s ) d o ，1l0j叼1 2 = ( 1 一七) 7 7 2 + r 4 + r 1 l + ( p + 1 ) 曰，r 13 = - k r 2 + 玎3 + ( p + 1 ) 0jp l s = _ n p p 1 4 ，=v14+rrhsr s + t 7 p + t ) 0 jp 1 5 = i p 3 p 1 4 = 7 7 4十十p 1 6 = n _ p 4 p 6 ，r h s = r 6 货j + 叮4 + t 7 p + 1 ) 哆p 1 6 = i p 46 =a j 十7 珀十十1 f 口1 82 p 3 , 0 1 i 1p 1 9 = 寺r p 4，7 8 = 印1 7 + r 3 + ( p + t ) o ，r 42 珂1 9将( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 式代入到( 2 14 ) 式，做如上同样的处理t 就得到另外两个方程，分别为：1 4 肛-_f_1_，_lqd叩nshp。，lj j啪，lh forl一一疋j淼硕十学位论文。c i 4 ；) 十r ( 声e 。爿；一”e ”爿：) 一( g ；7 以：+ 7 g 一爿；)一( ”_ ：+ ”；3 4 )n ：+ 巧一盯m ：+ q ；一a ；”芷( c ：4 十7 c ；。群) + 盯( ”e ”+ ”l q 以) 一c g ( 爿：e ；7 蛾)( 2 ，2 6 )= 。n ：+ 正7 一盯锄i + 纠一口；( 22 r )这样就得到了满足，号央杂边界条件的4 女个线性方程组a其中：( 与前面类似，以下各矩阵阶次相同，皆为k ，没再写m 角标)7 c li p ，s i n 【( p 一+ 1 ) 目，一玑】蚂l叫了淼c o s - k r 2 + ( p + 1 ) 帅叫p 足= l2 7 f ( 2 p 。2 ，k r p ；3 )